浙江省杭州市2020年中考数学试题（含答案）
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浙江省杭州市2020年中考数学试题（含答案）
2020年浙江省杭州市初中学业考试（中考）试卷
数学试题
⼀、选择题：本⼤题有10个⼩题，每⼩题3分，共30分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.=?32（ ）A . 5
B .6
C .32
D .23
2.（1＋y ）（1－y ）＝（ ）
A .1＋y 2
B .－1－y 2
C .1－y 2
D .－1＋y 2
3.已知某快递公司的收费标准为：寄⼀件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元。圆圆在该快递公司寄⼀件8千克的物品，需要付费（ ）A .17元
B .19元
C .21元
D .23元
4.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（ ）
A .c ＝bsinB
B .b ＝csinB
C .a ＝btanB
D .b ＝ctanB
5.若a ＞b ，则（ ）
A .a －1≥b
B .b ＋1≥a
C .a ＋1＞b －1
D .a －1＞b ＋1
6.在平⾯直⾓坐标系中，已知函数y ＝ax ＋a （a ≠0）的图象经过点P （1，2），则该函数的图象可能是（ ）
7.在某次演讲⽐赛中，五位评委给选⼿圆圆打分，得到互不相等的五个分数.若去掉⼀个最⾼分，平均分为x ；去掉⼀个最低分，平均分为y ；同时去掉⼀个最⾼分和⼀个最低分，平均分为z ，则（ ）A .y ＞z ＞x
B .x ＞z ＞y
C .y ＞x ＞z
D .z ＞y ＞x8.设函数y ＝a （x －h ）2＋k （a ，h ，k 是实数，a ＝0），当x ＝1时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝8，（ ）
A .若h ＝4，则a ＜0
B .若h ＝5，则a ＞0
C .若h ＝6，则a ＜0
D .若h ＝7，则a ＞0
9.如图，已知BC 是⊙O 的直径，半径OA ⊥BC ，点D 在劣弧AC 上（不
与点A ，点C 重合），BD 与OA 交于点E .设∠AED ＝α，∠AOD ＝β，则
（ ）A .3α＋β＝180°
B .2α＋β＝180°
C .3α－β＝90°
D .2α－β＝90°
10.在平⾯直⾓坐标系中，已知函数y 1＝x 2＋ax ＋1，y 2＝x 2＋bx ＋2，y 3＝x 2＋cx ＋4，其中a ，b ，c 是正实数，且满⾜b 2＝ac .设函数y 1；y 2，y 3的图象与x 轴的交盛个数分别为M 1，M 2，M 3，（ ）
A .若M 1＝2，M 2＝2，则M 3＝0
B .若M 1＝1，M 2＝0，则M 3＝0
C .若M 1＝0，M 2＝2，则M 3＝0
D .若M 1＝0，M 2＝0，则M 3＝0
A B C D
⼆、填空题：本⼤题有6个⼩题，每⼩题4分，共24分.11.若分式11+x 的值等于1，则x ＝__________. 12.如图，AB ∥CD ，EF 分别与AB ，CD 交于点B ，F .若∠E ＝30，∠EFC＝130，则∠A ＝________.13.设M ＝x ＋y ，N ＝x －y ，P ＝xy .若M ＝1，N ＝2，则P ＝________.
14.如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，连接AC ，OC .若sin ∠BAC ＝3
1，则tan ∠BOC ＝________.
15.⼀个仅装有球的不透明布袋⾥共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5.从中任意摸出⼀个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出⼀个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是__________.16.如图是⼀张矩形纸⽚，点E 在AB 边上，把△BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对⾓线AC 上的点F 处，连接DF .若点E ，F，D 在同⼀条直线上，AE ＝2，则DF ＝__________.
三、解答题：本⼤题有7个⼩题，共66分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤。17.（本题满分6分）
以下是圆圈解⽅程13321=--+x x 的解答过程. 解：去分母，得3（x ＋1）－2（x －3）＝1.去括号，得3x ＋1－2x ＋3＝1.
移项，合并同类项，得x ＝－3.
圆圆的解答过程是否有错误?如果有错误，写出正确的解答过程。18.（本题满分8分）
某⼯⼚⽣产某种产品，3⽉份的产量为5000件，4⽉份的产量为10000件.⽤简单随机抽样的⽅法分别抽取这两个⽉⽣产的该产品若⼲件进⾏检测，并将检测结果分别绘制成如图所⽰的扇形统计图和频数直⽅图（每组不含前⼀个边界值，含后⼀个边界值）.已知检测综合得分⼤于70分的产品为合格产品。
（1）求4⽉份⽣产的该产品抽样检测的合格率。
（2）在3⽉份和4⽉份⽣产的产品中，估计哪个⽉的不合格件数多?为什么?
19.（本题满分8分）
如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 边上，DE ∥AC ，EF //AB .
（1）求证：△BDE ∽△EFC .
（2）设能21=FC AF ， ①若BC ＝12，求线段BE 的长.②若△EFC 的⾯积是20，求△ABC 的⾯积。
20.（本题满分10分）
设函数y 1＝x k ，xk y -=2（k ＞0）. （1）当2≤x ≤3时，函数y 1的最⼤值是a ，函数为的最⼩值是a －4，求a 和k 的值.
（2）设m ≠0，且m ≠－1，当x ＝m 时，y 1＝p ；当x ＝m ＋1时，y 1＝q .圆圆说：“p ⼀定⼤于q ”.你认为圆圆的说法正确吗?为什么?21.（本题满分10分）
如图，在正⽅形ABCD 中.点E 在BC 边上，连接AE ，∠DAE 的平分线AC 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F .设λ=EB
CE （λ＞0）. （1）若AB ＝＝2，λ＝1，求线段CF 的长.
（2）连接EG ，若EG ⊥AF ，①求证：点G 为CD 边的中点.
②求λ的值。
22.（本题满分12分）
在平⾯直⾓坐标系中，设⼆次函数y 1＝x 2＋bx ＋a ，y 2＝ax 2＋bx ＋1（a ，b 是实数，a ≠0）.
（1）若函数y 1的对称轴为直线x ＝3，且函数y 1的图象经过点（a ，b ），求函数y 1的表达式，
（2）若函数y 1的图象经过点（r ，0），其中r ≠0，求证：函数y 2的图象经过点（λ1，0）. （3）设函数y 1和函数y 2的最⼩值分别为m 和n ，若m ＋n ＝0.求m ，n 的值。
23.（本题满分12分）如图，已知AC ，BD 为⊙O 的两条直径，连接AB ，BC ，OE ⊥AB 于点E ，点F 是半径OC 的中点，连接EF .
（1）设⊙O 的半径为1，若∠BAC ＝30°，求线段EF 的长.
（2）连接BF ，DF ，设OB 与EF 交于点P ，①求证：PE ＝PF .
②若DF ＝EF ，求∠BAC 的度数.
参考答案
⼀、选择题：本⼤题有10个⼩题，每⼩题3分，共30分。
⼆、填空题：本⼤题有6个⼩题，每⼩题4分，共24分.11.0
12.20°
13.43
- 14.22
15.85
16.152-
三、解答题：本⼤题有7个⼩题，共66分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤。17.（本题满分6分）
解：圆圆的解答过程有错误。
正确的解答过程如下：3（x ＋1）－2（x －3）＝6，
3x ＋3－2x ＋6＝6，
x ＝－3.
所以x ＝－3是原⽅程的解。18.（本题满分8分）
解：（1）因为（132＋160＋200）÷（8＋132＋160＋200）×100%＝98.4%.
所以4⽉份⽣产的该产品抽样检测的合格率是98.4%.
（2）3⽉份⽣产的产品中，不合格的件数是5000×2%＝100，4⽉份⽣产的产品中，不合格的件数是10000×（1－98.4%）＝160.
因为100＜160，所以估计4⽉份⽣产的产品中不合格的件数多.19.（本题满分8分）
解：（1）因为DE ∥AC ，所以∠BED ＝∠C ，
⼜因为EF ∥AB ，所以∠B ＝∠FEC ，所以△BDE ∽△EFC .
（2）①因为EF ∥AB ，所以21==FC AF EC BE
因为BC ＝12，所以2112=-BE BE
所以BE ＝4.②因为EF ∥AB ，所以△EFC ∽△BAC . 因为21
=EC BE
所以32=BC EC
设△EFC 的⾯积为S 1，△ABC 的⾯积为S ， 所以941
=S S
因为S 1＝20，所以S ＝45.所以△ABC 的⾯积是45.20.（本题满分10分）
解：（1）因为k ＞0，x ＞0，所以为随x 的增⼤⽽减⼩，
所以当x ＝2时，y 1＝a ，即k ＝2a . ①
⼜因为－k ＜0，x ＞0，所以y 2随x 的增⼤⽽增⼤，
所以当x ＝2时，y 2＝a －4，即－k ＝2a －8. ②
由①，②得a ＝2，k ＝4.
（2）圆圆的说法不正确.
取m ＝m 0，满⾜－1＜m 0＜0，则m 0＜0，m 0＋1＞0.
所以当x ＝m 0时，p ＝y 1＝0m k
＜0；
当x ＝m 0＋1时，q ＝y 1＝10+m k
＞0.
此时p ＜0＜q ，所以圆圆的说法不正确.21.（本题满分10分）
解：（1）因为在正⽅形ABCD 中，AD ∥BC ，所以∠DAF ＝∠F ，
⼜因为AG 平分∠DAE ，所以∠DAF ＝∠EAF ，
所以∠EAF ＝∠F .所以EA ＝EF .
因为λ＝1，AB ＝BC ＝2，所以BE ＝EC ＝1.在Rt △ABE 中，由勾股定理，得EA ＝5. 所以CF ＝EF －EC ＝5－1.
（2）①因为EA ＝EF ，EG ⊥AF ，所以AG ＝GF .
⼜因为∠AGD ＝∠FGC ，∠DAG ＝∠F ，所以△DAG ≌△CFG .
所以DG ＝CG ，所以点G 为CD 边的中点.②不妨设CD ＝2，则CG ＝1.
由①知CF ＝AD ＝2.
