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第九章不等式与不等式组
本章综述
以不等式（组）为工具分析问题、解决问题是本章的重点，也是本章的难点．
与方程所表示的相等关系相比较，现实生活中大量存在着各种不等关系.因此，不等式（组）的相关知识在现实生活、经济生产中应用广泛．同时，不等式（组）也在各科学习中具有工具性作用，比如：根据三角形中任意两边之和大于第三边，可以判断三条线段是否能够构成三角形等．
本章是在方程（组）的基础上进一步讨论不等式，其内容包括一元一次不等式（组）的概念、解法和应用.一元一次不等式是最基本的不等式，对它的理解和掌握，对于后续学习具有基础性的意义．
本章所涉及的数学思想和方法主要包括两个：一个是由实际问题抽象为不等式（组）这个过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；另一个是解不等式（组）的过程中蕴涵的化归思想.此外利用数轴解不等式组还体现了数形结合的思想.
要学好本章内容，应把握好以下几点：
一、要注重类比，做好从方程到不等式的知识过渡．不等式与方程有着密切的联系，存在可以类比的内容，比如它们的性质、解法、列方程（组）与列不等式（组）.在学习过程中要通过类比，摸索合理的学习途径．
二、要注重建模思想．不等式（组）是解决现实问题的重要数学模型.在学习过程中要善于分析量与量之间的关系，找出其中的不等关系，并建立不等式模型，实现由实际问题向数学问题的转化．
三、要注重合作交流，加强探究性学习．通过探究，激发积极思维，根据题目中的相关信息，将问题数学化，进而寻求解决问题的方法，并通过与同学的合作交流，取长补短，互相启发，加深理解，提高分析问题、解决问题的能力．
四、要注重基础知识和基本技能．在重视数学思想的同时，要注重对本章中的基础知识和基本技能的及时归纳和整理，并进行必要的练习，牢固掌握基础知识，熟练掌握基本技能．。
用求差法比较大小一、教学目标1.了解求差法的概念2.能够从实际问题中抽象出数学模型二、教学过程1、热身动通过前面学习的不等式的基本性质引入，给学生一至两分钟时间完成导学案练习1。
【点四位同学接龙回答，剩下两题齐答】练习1 填空若a＞b,则a-b 0若a＜b,则a-b 0若a＝b,则a-b 0反之若a-b＞0,则a b若a-b＜0,则a b若a-b＝0,则a b2、探究动思考：根据我们刚刚回顾的不等式相关的性质，想一想，我们可以用什么方法比较两个数或整式的大小？【老师点同学回答】新知归纳：我们经常把两个要比较的的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小，这种方法叫做求差法。
探究一：用求差法比较两个实数的大小例1:2+与1+的大小【老师黑板板书讲解】练习1：用求差法比较下列各组实数的大小（1）6-与4-（2）+-【两位同学上台板书，老师讲解】探究二：用求差法比较两个整式大小例题2：用求差法比较()22132x y -+与()221223x y -+的大小【老师黑板板书讲解】练习2：比较下列整式的大小（1）比较式子2542m m -+与2447m m --的大小 （2）已知()2225Aa a =-+，24343B a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，试比较A 与B的大小 【两位同学上台板书并且讲解】探究三：求差法的实际应用制作某产品有两种用料方案，方案1：用4块A 型钢板，8块B 型钢板；方案2：用3块A 型钢板，9块B 型钢板，A 型钢板的面积比B 型钢板大，从省料的角度，应选哪种方案？【老师黑板板书讲解】3、拓展动：分类讨论思想练习3：（1）当a ＞2时，比较5a 与10的大小（2）比较352x +与112x -+的大小 【启发学生思考，老师和学生共同完成】4.课堂小结（1）求差法的基本概念（2）用求差法比较大小的基本步骤（3）求差法解决问题的基本类型以及注意事项5.课下思考小学初中学过基本的四则运算加减乘除，或者说和差积商，今天学习了求差法比较大小，同学们课下猜想探讨或者查阅资料，除了求差法比较大小是否还有别的比较大小的方法？三、课堂板书一．引入a＞b⇔a-b＞0a＜b⇔a-b＜0a＝b⇔a-b＜0二．定义把两个要比较的的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小，这种方法叫做求差法。
《用求差法比较大小》教学设计教学目标：1、掌握作差比较法。
2、提高分析、解决问题能力。
3、锻炼学生的思维品质（思维的严谨性、灵活性、深刻性）。
教学重点与难点：1、求差比较法证明不等式是本节课的教学重点。
2、求差后，如何对“差式”进行适当变形，并判断符号是本节课教学难点。
教学过程设计：一、引入1、故事问题：电影《刘三姐》中，秀才和刘三姐对歌的场面十分精彩.罗秀才唱到：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得均？”刘三姐示意舟妹来答，舟妹唱道：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条财主请来当奴才。
”舟妹对答绝妙，三个秀才无言以对，一副狼狈相。
若用数学方法解决罗秀才提出的问题，设“一少”的狗有条，“三多”的狗有条，则解此问题所列关系式正确的是（）A．B．C．D．设计意图：激发兴趣，体会不等式在生活中的应用。
2、温度计上显示的温度分别为—3摄氏度和—5摄氏度，问：哪个温度高？从简单的例子出发，让同学们掌握一些生活中的有理数的比较方法，可以很简单得出正数比负数大，那么两个负数应该怎样比较大小呢？同学们已经学过有理数的大小比较，那么两个代数式如何比较大小呢？3、制作某产品有两种用料方案，方案1用4块A型钢板，8块B型钢板；方案2用3块A型钢板，9块B型钢板。
A型钢板的面积比B型钢板大，从省料角度考虑，应选哪种方案？提问1：方案1的面积（），方案2的面积（）。
学生思考回答。
方案1：4x+8y 方案2: 3x+9y问题2：4x+8y与 3x+9y 如何比较大小呢？师：直接比较这两个式子的大小有困难，但是将两式作差所得到的结果与0比大小比较容易证明，这种方法我们叫做作差法。
设计意图：从学生熟悉的问题出发，自然地引入直接进入主题。
二、讲授新课：（一）阅读材料（教材P121）学生阅读，分享新知。
归纳结论：对于任意两个数a,b的大小比较，有下面的方法：当a＞b时，一定有a-b＞0；当a＜b时，一定有a-b＜0；当a=b时，一定有a-b=0。
第九章不等式与不等式组四、教学目标：1、让学生体验从特殊到一般的数学迁移思想；2、让学生在讨论互助中体验解决问题的快乐，提高学习数学的兴趣；3、在解决问题中体验数学的化归思想。
五、教学过程1、比较（1）正数 0；0 负数；正数负数。
1 0.5； 0 -2（2） 5 3；2-2 -3；2x 0 ；2x+1 0.2、探究问题：制作某种产品有两种用料方案，方案1：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案2：用3块A型钢板，9块B型钢板。
A型钢板的面积比B型钢板大。
从省料的角度考虑，应选哪种方案？解：设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y。
于是，两种方案用料面积分别为：方案1：4x+8y方案2：3x+9y现在需要比较上面两个数量的大小？先解决如下问题：2．比较3x2－2x－7与4x2－2x＋5的大小？解：3x2－2x－7－(4x2－2x＋5)＝－x2－12＝－(x2＋12)＜0显然成立，则：3x2－2x－7＜4x2－2x＋5．3．已知A＝2x2＋3x＋2，B＝2x2－4x－5，试比较A 与B的大小．解：A－B＝2x2＋3x＋2－(2x2－4x－5)＝7x＋7①当x＝－1时有：A－B＝0 所以：A＝B;②当x＞－1时有：A－B＞0所以：A＞B;③当x＜－1时有：A－B＜0所以：A＜B．结论：两个未知量的大小可以通过它们的差来判断。
（1）当a=b时，一定有a-b=0;（2）当a>b时，一定有a-b>0;（3）当a<b时，一定有a-b<0.反过来也对：（1）当a-b=0 时，一定有a=b;（2）当a-b>0 时，一定有a>b;（3）当a-b<0时，一定有a<b。
4．典题精析比较x2＋5x－1与x2＋2x＋7的大小?解：设A= x2＋5x－1, B= x2＋2x＋7A－B＝x2＋5x－1－(x2＋2x＋7)＝3x－8①当x＝83时有：A－B＝0，所以：A＝B；②当x＞83时有：A－B＞0，所以：A＞B;③当x＜83时有：A－B＜0，所以：A＜B．5、解决“探究问题”6、练习巩固7、板书设计8、教学反思:学生喜欢用“特殊值法”进行求值比较，给学生设置分类讨论问题已提高学生“分析问题-全面、正确解决问题”的能力。
课题：不等式的性质2和3一、教学目标：（1）、知识与技能①、探究不等式的性质2和3及简单应用。
②、会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。
①、通过经历不等式性质2和3的得出过程，积累数学活动经验。
②、通过分组活动探索不等式的性质，体会在解决问题中与他人合作的重要性。
③、通过类比等式的性质，探索不等式的性质2和3，体会不等式和等式的异同，初步掌握类比的思想方法。
（4）、情感态度价值观①、认识通过观察、计算、类比可以获得数学结论，体验数学活动充满着探索性和创造性。
②、在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，学会分享别人的想法和结果，并重新审视自己的想法，能从交流中获益。
二、教学重、难点：教学重点：探究不等式的性质2和3及简单应用。
教学难点：不等式性质3的探索及运用。
三、教法方法：探究发现法、引导发现法四、教学过程：1、创设情境，引出新知（课件）回顾等式的性质和不等式性质1（课件）出示天平画面，加强学生的感性认识“在解方程时，可以在等式两边进行加减运算和乘除运算，由前面的学习，我们知道，不等式两边也可以进行加减运算，如果不等式两边进行乘除运算，不等号的方向会不会改变呢？”2、实验讨论，探索新知（1）、教师布置学习任务，小组合作交流。
（2）、学生代表（可互相补充）总结本小组的实验过程和结果。
（3）、（课件）出示不等式性质2和性质3。
（4）、如何用式子表示这两个性质？（5）、（课件）两个比一比：a.比一比：不等式的性质2和3有什么区别？b.比一比：不等式的性质和等式的性质有什么相同之处，有什么不同之处？3、运用新知，体验成功（1）、例题1 利用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示其解集：① x 32﹥50 ② -4x ≥3 第1题师规范格式，第2题两学生板演（2）、练习：a. 填一填、说一说设a ＞b ，用“＜”或“＞”填空： (1)a-3 b-3 (2) 2a 2b (3) -4a -4b (4)0·a 0·b b.练一练：解不等式，并将解集在数轴上表示出来(1)x+5﹥-1 (2)4x ≤3x-5 (3)x 71﹤76 (4)-8x ﹥10 c.选一选:由x ﹥y 得到的ax ≤ay 的条件是（ ）A.a ﹥0B.a ﹤0C.a ≥0D.a ≤0d.议一议:试判断3a 与2a 的大小4、小结提高，布置作业总结：以提问的方式让学生小结本课知识点（我的收获）我学会了……印象最深的是……我的困难是……受到启发的是……请同学们在20分钟内完成以下作业：必做题:P128第4-6题 选做题:P128第7题5、板书设计。
9.1.1不等式及其解集一、教学目标：知识与技能：感受生活中存在着的不等关系，知道数有相等和不等之分，了解不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发的寻找不等式的解，掌握解集的概念，并会把不等式的解集正确地表示在数轴上。
过程与方法：经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式的解及其解集的不同意义的过程，渗透数形结合及类比的数学思想。
情感态度与价值观：引导学生独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，小组合作交流的展开，提高对数学的学习兴趣。
二、教学重难点重点：正确理解不等式，不等式的解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示在数轴上难点：解与解集的联系，把不等式的解集正确地表示在数轴上三、教学过程一、情境引入，导入新课（活动）猜猜老师的身高设计意图：以一个学生相对感兴趣的话题引入课堂，创造轻松活跃的环境，让新课、新老师对于学生不那么陌生与不习惯，以此来提高学生参与的热情和学习的热情。
老师身高164cm,和老师一样高的举手，比老师高的起立。
（活动）假如某位同学的身高为acm，那么你能用式子表示出刚才的三种情况吗？学生归纳出：1、a=164 2、a<164 3、a>164设计意图：让学生感受生活中存在着不等关系，身高的例子直观让学生感受相等与不等，从而引入课堂，直接类比等式得出不等式新概念。
二、探究新知什么是等式？含有等号的式子叫做等式，类比等式概念，2和3这类式子是用“<、>”表示大小关系的式子，叫做不等式。
追踪练习1：下列式子中，哪些是不等式？（1）-2<5 （2）x+3>2y （3）x^2-2x+10 （4）x=50学生感受不等式中可以含有未知数，也可以不含有未知数。
练习2：用不等式表示下列数量关系： P115（1） a是正数（2）a是负数（3）x与5的和小于7（4）y与2的差大于-1 （5）a的4倍不小于8 （6）b的一半不大于3 追问：那我们为什么要学习不等式？故事开始：明天上午11:20，童老师从蓬街镇中学出发, 匀速开往距离本校50千米的临海开会，要求12:00准时到达，请问车速应满足什么条件？分析：老师到达那的时间和什么有关？那我们就设车速为x千米/小时，那么你如何解决这个问题？变式：路上可能会遇到堵车等各种突发事件，老师想要在12点之前到达，那么这时候的车速应该满足什么条件？（1）准时到达40分钟=小时速度*时间=路程*x=50=x=x=75（2）之前到达40分钟=小时*x>50<x>尝试求解：74，74.8，75，75.1，75.8，78，80，100再列举几个满足的车速度，发现有无数种可能追问：那么，这个车速到底要满足什么条件？在什么范围？形成概念：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集那么对于*x>50等不等式，我们需要求解，那么求解不等式的过程是解不等式。
9.1 不等式 9.1.1 不等式及其解集一课一练·基础闯关题组不等式的定义和列不等式1.数学表达式①-5<7；②3y-6>0；③a=6；④2x-3y；⑤a≠2；⑥7y-6>y+2，其中是不等式的有( )A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】选C.数学表达式①-5<7、②3y-6>0、⑤a≠2、⑥7y-6>y+2是不等式；③a=6是等式；④2x-3y是代数式.综上不等式有4个.2.(2017·卧龙期中)数x不小于3是指( )A.x≤3B.x≥3C.x>3D.x<3【解析】选B.数x不小于3是指x≥3.3.(2017·利州模拟)高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙≥150毫克”，它的含义是指( )A.每100克内含钙150毫克B.每100克内含钙不低于150毫克C.每100克内含钙高于150毫克D.每100克内含钙不超过150毫克【解析】选B.根据≥的含义，“每100克内含钙≥150毫克”，就是“每100克内含钙不低于150毫克”.4.下面列出的不等式中，正确的是( )A.a不是负数，可表示成a>0B.x不大于3，可表示成x<3C.m与4的差是负数，可表示成m-4<0D.x与2的和是非负数，可表示成x+2>0【解析】选C.a不是负数，可表示成a≥0；x不大于3，可表示成x≤3；m与4的差是负数，可表示成m-4<0；x与2的和是非负数，可表示成x+2≥0.【变式训练】下列各项中，蕴含不等关系的是( )A.老师的年龄是你的年龄的2倍B.小军和小红一样高C.小明岁数比爸爸小26岁D.x2是非负数【解析】选D.根据A的题意可列出等量关系；B是等量关系；小明的岁数加上26与他爸爸的岁数相同，是等量关系；由x2是非负数可知x2≥0，是不等关系.5.(2017·滕州模拟)用不等号连接下列各组数：(1)π________3.14.(2)(x-1)2________0.(3)-________-.【解析】(1)π>3.14.(2)(x-1)2≥0.(3)-<-.答案：(1)> (2)≥(3)<6.(教材变形题·P115练习T1)用不等式表示：(1)x与1的差是正数.(2)y的2倍与1的和小于3.(3)y的3倍与x的2倍的和是非正数.(4)b 的与c的和是负数.(5)x的绝对值与2的和不小于3.【解析】(1)x-1>0. (2)2y+1<3. (3)3y+2x≤0.(4)b+c<0. (5)|x|+2≥3.【知识归纳】不等关系的描述在描述同类量之间的关系时，常常会用“至少”“不足”“不大于”“不小于”等表示不等关系，常用的不等号有以下5种.种类符号实际意义读法举例小于号< 小于、不足小于3+1<7大于号> 大于、高出大于3+5>7小于或等于号≤不大于、不超过、至多小于或等于(不大于)x≤10大于或等于号≥不小于、不低于、至少大于或等于(不小于)y≥9不等号≠不相等不等于1≠-1题组不等式的解与解集1.(2017·高平期中)下列各数中，是不等式3x-2>1的解的是( )A.1B.2C.0D.-1【解析】选B.只有x=2使不等式成立.2.下面说法正确的是( )A.x=3是不等式2x>3的一个解B.x=3是不等式2x>3的解集C.x=3是不等式2x>3的唯一解D.x=3不是不等式2x>3的解【解析】选A.x=3是不等式2x>3的一个解，故A正确，D错误；由于4，5，6等都适合不等式2x>3，所以x=3不是不等式2x>3的唯一解，更不是不等式的解集，故B，C错误.3.不等式x<2在数轴上表示正确的是( )【解析】选A.x<2是指在数轴上，从表示2的点往左的部分的点表示的数(不含2这个点).【知识归纳】在数轴上表示不等式的解集1.空心点表示不包含该数，实心点表示包含该数.2.大于往右画，小于往左画.【变式训练】把不等式x≥-1的解集在数轴上表示出来，正确的是( )【解析】选B.大于方向是向右的，含等于是实心点.4.(2017·启东期中)下列数中：76，73，79，80，74.9，75.1，90，60，是不等式x>50的解的有( )A.5个B.6个C.7个D.8个【解析】选A.76，79，80，75.1，90满足不等式x>50，所以所给数据中满足不等式解的有5个.5.写出两个使不等式x-4>5成立的数，如x=________，________；写出两个使不等式x-4<5成立的数如x=________，________.【解析】当x=10，23，10.1，11等时，不等式x-4>5成立；当x=8，7，0，-1等时，不等式x-4<5成立. 答案：不唯一.如10 11 0 -16.直接写出下列不等式的解集，并在数轴上表示出来.①x是非负数；②2x>-3；③x+1≤3.【解析】①x≥0，在数轴上表示为：②不等式的解集为x>-，在数轴上表示为：③不等式的解集为x≤2，在数轴上表示为：制作某种产品的两种用料方案，方案Ⅰ是用4张A型钢板，8张B型钢板；方案Ⅱ是用3张A型钢板，9张B型钢板.A型钢板的面积比B型钢板的面积大，从省料的角度考虑，应选择哪种方案.【解析】设A型钢板和B型钢板的面积分别是x和y，则方案Ⅰ用料面积为4x+8y，方案Ⅱ用料面积为3x+9y，所以4x+8y-(3x+9y)=x-y.因为A型钢板的面积比B型钢板的面积大，所以x-y>0.所以从省料的角度考虑，应选择方案Ⅱ.【母题变式】[变式一]制作某种产品的两种用料方案，方案Ⅰ是用4张A型钢板，8张B型钢板；方案Ⅱ是用3张A型钢板，9张B型钢板.若A型钢板的面积不大于B型钢板的面积，从省料的角度考虑，应选择哪种方案.【解析】设A型钢板和B型钢板的面积分别是x和y，则方案Ⅰ用料面积为4x+8y，方案Ⅱ用料面积为3x+9y，所以4x+8y-(3x+9y)=x-y.因为A型钢板的面积不大于B型钢板的面积，即x≤y所以x-y≤0.所以从省料的角度考虑，应选择方案Ⅰ.[变式二]制作某种产品的两种用料方案，方案Ⅰ是用4张A型钢板，8张B型钢板；方案Ⅱ是用3张A型钢板，9张B型钢板.若A型钢板的价格高于B型钢板的价格，从省钱的角度考虑，应选择哪种方案. 【解析】设A型钢板和B型钢板的价格分别是a和b，则方案Ⅰ的费用为4a+8b，方案Ⅱ的费用为3a+9b，所以4a+8b-(3a+9b)=a-b.因为A型钢板的价格高于B型钢板的价格，即a>b，所以a-b>0.所以从省钱的角度考虑，应选择方案Ⅱ.[变式三]制作某种产品的两种用料方案，方案Ⅰ是用4张A型钢板，8张B型钢板；方案Ⅱ是用3张A型钢板，9张B型钢板.若A型、B型钢板每张需分别用工m，n个，从省工的角度考虑，应如何选择方案. 【解析】若A型钢板和B型钢板每张需用工分别为m和n，则方案Ⅰ需用工4m+8n个，方案Ⅱ需用工3m+9n 个，所以4m+8n-(3m+9n)=m-n.当A型比B型钢板每张用工多时，即m>n，由于m-n>0，所以从省工的角度考虑，应选择方案Ⅱ.当A型与B型钢板每张用工相同时，即m=n，由于m-n=0，所以从省工的角度考虑，选择方案Ⅰ，Ⅱ一样.当A型比B型钢板每张用工少时，即m<n，由于m-n<0，所以从省工的角度考虑，应选择方案Ⅰ.。
