(教师版)2014年高考数学文科(高考真题+模拟新题)分类汇编：C单元 三角函数

2014年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（09解三角形）一、选择题：1. (2014江西文)在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则2222sin sin sin B AA-的值为（ ）1.9A - 1.3B .1C 7.2D【答案】D【解析】222222222sin sin 2372121sin 22B A b a b A a a --⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.(2014江西理)在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积（ ）A.3B.239C.233D.33【答案】C【解析】()2222222222cos 2611cos 22c a b b a b c ab b a b c ab C ab ab b ab ab S ab C b =-+∴+-=-+-==∴-=∴=∴===Q Q g所以选C 。

3. (2014全国新课标Ⅱ理)钝角三角形ABC 的面积是12，AB =1，BC =AC =（ ） A.5【答案解析】B. 解析：∵△ABC 面积为12，1,AB BC ==∴111sin 45,135222B BB ⋅=⇒=⇒=︒︒当B=45°时，222cos 451222111BC A AC AB BC C AB ⋅︒=+-⋅=⇒=-=+此时，AC=AB=1,故A=90°，这与△ABC 为钝角三角形矛盾. 当B=135°时，222cos1352122125225AC AB B BC C A AC B =+-⋅︒=++⋅⋅⋅=⇒= 故选B.考点：考查正余弦定理的应用，中等题.4、(2014四川文)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ）A 、240(31)m -B 、180(21)m -C 、120(31)m -D 、30(31)m + 8、解：如图，由图可知，∠DAB=15°，∵tan15°=tan （45°﹣30°）==＝23在Rt △ADB 中，又AD=60，∴DB=AD •tan15°=60×（23=120﹣3在Rt △ADB 中，∠DAC=60°，AD=60， ∴DC=AD •tan60°3∴BC=DC ﹣3120﹣3=12031）（m ）．∴河流的宽度BC 等于12031）m ． 故选：C ． 5. (2014浙江文)如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 刀枪面对而距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角），若m AB 15=，m AC 25=， 30=∠BCM ，则θtan 的最大值是（ ）A.530 B. 1030 C.934 D. 935 30°75°60mA6.(2014重庆理)已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ） A .8)(>+c b bc B.)(c a ac + C.126≤≤abc D. 1224abc ≤≤【答案】A【解析】2014-6-12qq373780592...8)(,82nC sinAsinBsi 8)(,]8,4[∈∴]2,1[∈4nC sinAsinBsi 2sin 21.1inC 8sinAsinBs ∴21inC 4sinAsinBs nA)sinBcosBsi cosAsinB 4sinAsinB(Ain 4sinBcosBs B in 4sinAcosAs cos2A)-sin2B(1cos2B)-in2A(1cos2Asin2B -sin2Acos2B -sin2B in2A 2B)sin(2A -sin2B in2A sin2C sin2B in2A ∴21-sin2C 21B)-A -sin(C sin2B sin2A C)B -sin(A sin2A 333222Δ22A c b bc R R bca c b bc A R R R C ab S s s s s ABC 所以，选别的选项可以不考虑成立对>+∴=≥==>+======+=+=+=+=++=+++=+=+=++二、填空题：7. (2014北京文)在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . 【答案】2、815 【解析】由余弦定理得24112241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=C ab b a c ，即2=c ； 872221442cos 222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ，∴815871sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=A .8.(2014福建文)在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于__________.9. (2014福建理)在ABC ∆中，60,4,23A AC BC =︒==则ABC ∆的面积等于________10. (2014广东理)在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知b Bc C b 2cos cos =+，则=ba.11．(2014湖北文)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________．13.π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sin π6＝3sin B，解得sin B ＝32.又因为b >a ， 所以B ＝π3或2π3.12. (2014江苏)若ABC ∆的内角满足sin 22sin A B C =，则cos C 的最小值是 。

1.（2014陕西文16）（本小题满分12分） 题型全归纳 ABC △的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，.（1）若c b a ，，成等差数列，求证：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （2）若c b a ，，成等比数列，且2c a =，求B cos 的值.2.（2014江苏15）已知,2απ⎛⎫∈π⎪⎝⎭，sin 5α=． 题型全归纳（1）求sin 4απ⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）求cos 26α5π⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 3. （2014安徽文16）（本小题满分12分）设ABC △的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3b =，1c =，ABC △求c o s A 与a 的值. 题型全归纳4.（2014大纲文18）（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知13cos 2cos tan 3a C c A A ==，，求B .5.（2014江西文16）（本小题满分12分） 已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中a ∈R ，()0θ∈π，.（1）求θ，a 的值； （2）若2452f ααπ⎛⎫⎛⎫=-∈π⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，求sin 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 6.（2014辽宁文17）（本小题满分12分） 洞穿预测题14在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求： （1）a 和c 的值； （2）cos()BC -的值.7.（2014山东文17）（本小题满分12分）ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知π3,cos 2a A B A ===+. （1）求b 的值； （2）求ABC △的面积.8.（2014北京文16）（本小题满分13分）函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示. （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x ，0y 的值； （2）求()f x 在区间ππ,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.9.（2014福建文18）（本小题满分12分） 洞穿高考例1.2 已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+.（1）求5()4f π的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.10. （2014广东文16）（12分）已知函数()πsin ,3f x A x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，且5π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求A 的值； （2）若()()ff θθ--=π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求π6f θ⎛⎫- ⎪⎝⎭.11．（2014湖北文18）（本小题满分12分）某实验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()ππ10sin 1212f t t t =-，[)024t ∈，. （Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.12.（2014湖南文19）（本小题满分13分）如图所示，在平面四边形ABCD中，2123DA AB DE EC EA ADC π⊥==∠=，，，，3BEC π∠=. （1）求CED ∠sin 的值； （2）求BE 的长.13.（2014湖南文21）（本小题满分13分） 已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>.（1）求()f x 的单调区间；（2）记i x 为()f x 的从小到大的第*()i i ∈N 个零点，求证：对一切*n ∈N ，有2221211123n x x x +++<. 14.（2014辽宁文21）（本小题满分12分）已知函数()(cos )2sin 2f x x x x =π---，2()(1xg x x =-π-π.求证：（1）存在唯一00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使0()0f x =； （2）存在唯一1,2x π⎛⎫∈π⎪⎝⎭，使1()0g x =，且对（1）中的0x ，有01x x +>π. 15.（2014四川文17）(本小题满分12分)已知函数()πsin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ .（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，4πcos cos 2354f ααα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos sin αα-的值.AE DCB16.（2014天津文16）（本小题满分13分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，已知b c a 66=-，C B sin 6sin =. （1）求A cos 的值；（2）求πcos 26A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17.（2014浙江文18）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知24sin 4sin sin 22A BA B -+=. 洞穿高考例1.10变式3 （1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC △的面积为6，求边长c 的值.18.（2014重庆文18）（本小题满分12分）在ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且8=++c b a .（1）若522a b ==，，求C cos 的值； （2）若C A B B A sin 22cos sin 2cossin 22=+，且ABC △的面积C S sin 29=，求a 和b 的值. 19. （2014新课标Ⅱ文17）（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，1AB =，3BC =，2CD DA ==.（1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.。

数 学C 单元 三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数 2．[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－452．D [解析] 根据题意，cos α＝－4（－4）2＋32＝－45.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0 2．C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C.17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13.因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.C3 三角函数的图象与性质 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.7．[2014·福建卷] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称7．D [解析] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的图像，即f (x )＝cos x ．由余弦函数的图像与性质知，f (x )是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，关于点⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0(k ∈Z )对称，故选D.图1-25．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质8．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C ．πD ．2π8．C [解析] ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx 1＋π6＝π6＋2k 1π(k 1∈Z )或 ωx 2＋π6＝5π6＋2k 2π(k 2∈Z )，则ω(x 2－x 1)＝2π3＋2(k 2－k 1)π.又∵相邻交点距离的最小值为π3，∴ω＝2，∴T ＝π.7．[2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π47．C [解析] 方法一：将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin ＝3π8.13．[2014·重庆卷] 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．13.22[解析] 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，得到y＝sin(2ωx ＋φ)的图像，再向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin2ωx －π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －ωπ3＋φ的图像．由题意知sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －ωπ3＋φ＝sin x ，所以2ω＝1，－ωπ3＋φ＝2k π(k ∈Z )，又－π2≤φ≤π2，所以ω＝12，φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.16．[2014·北京卷] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图像如图1-4所示．图1-4(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．16．解：(1)f (x )的最小正周期为π. x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.11．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增11．B [解析] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图像 ，函数单调递增，则－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，可知函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增．14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .2．[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 2．B [解析] T ＝2π2＝π.4．[2014·浙江卷] 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位4．A [解析] y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝2cos3x 的图像向右平移π12个单位可以得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，故选A.3．[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度3．A [解析] 由函数y ＝sin x 的图像变换得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，应该将函数y ＝sin x 图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，故选A.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.8．、[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )图1-3A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m8．C [解析] 由题意可知，AC ＝60sin 30°＝120.∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC ＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24.在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC∠BAC，于是BC ＝120×222＋64＝240 22＋6＝120(3－1)(m)．故选C.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.18．、[2014·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．18．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52＝－15. (2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C 可得sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3.C6 二倍角公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .14．、[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．14.32 [解析] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin x 2＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以当sinx ＝12时函数y ＝cos 2x ＋2sin x 取得最大值，最大值为32. 16．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．16.43 [解析] 如图所示，根据题意知，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( ) A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin 2α＞0 D ．cos 2α＞0 2．C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .(2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C7 三角函数的求值、化简与证明16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 5．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.15．[2014·江苏卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 15．解： (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55.故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－2 55＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55× ⎝⎛⎭⎫－2 55＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝ ⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3 310.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327.21．、[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝π(x －cos x )－2sin x －2，g (x )＝(x －π)1－sin x1＋sin x＋2xπ－1.证明： (1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1＞π.21．证明：(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝π＋πsin x －2cos x ＞0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数．又f (0)＝－π－2＜0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π22－4＞0，所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，化简得g (x )＝(π－x )·cos x 1＋sin x ＋2xπ－1.令t ＝π－x 则t ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.记u (t )＝g (π－t )＝－t cos t 1＋sin t －2πt ＋1，则u ′(t )＝f （t ）π（1＋sin t ）.由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )＜0；当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2时，u ′(t )＞0.所以在⎝⎛⎭⎫x 0，π2上u (t )为增函数，由u ⎝⎛⎭⎫π2＝0知，当t ∈⎣⎡⎭⎫x 0，π2时，u (t )＜0，所以u (t )在⎣⎡⎭⎫x 0，π2上无零点．在(0，x 0)上u (t )为减函数，由u (0)＝1及u (x 0)＜0知存在唯一t 0∈(0，x 0)，使u (t 0)＝0.于是存在唯一t 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使u (t 0)＝0.设x 1＝π－t 0∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则g (x 1)＝g (π－t 0)＝u (t 0)＝0.因此存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0.由于x 1＝π－t 0，t 0＜x 0，所以x 0＋x 1＞π.12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.16．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．16．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.(2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.C8 解三角形18．[2014·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值． 18．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2， 化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2， 故cos(A ＋B )＝－22， 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.12．[2014·北京卷] 在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________．12．2158 [解析] 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×2×1×14＝4，即c ＝2；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋4－12×2×2＝78，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158.14．[2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．14．1 [解析] 由BC sin A ＝ACsin B ，得sin B ＝2sin 60°3＝1，即B ＝90°，所以△ABC 为以AB ，BC 为直角边的直角三角形， 则AB ＝AC 2－BC 2＝22－（3）2＝1，即AB 等于1.7．、[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 7．A [解析] 设R 是三角形外切圆的半径，R ＞0，由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ．故选A.∵sin ≤A sin B ，∴2R sin A ≤2R sin B ，∴a ≤b .同理也可以由a ≤b 推出sin A ≤sin B .13．[2014·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a＝1，b ＝3，则B ＝________．13.π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sin π6＝3sin B，解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3.19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.14．、[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．14.6－24[解析] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c .故cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝34a 2＋12b 22ab －24≥234a 2·12b 22ab －24＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝23时等号成立．18．、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？图1-618．解： 方法一：(1)如图所示， 以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170，0)，直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点 B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43， k AB ＝b －60a －0＝34，解得a ＝80, b ＝120，所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知， 直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切， 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d － 680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680 － 3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大， 即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 方法二：(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO ＝43，所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60，OC ＝170，所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503， 从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003， 从而BC ＝CF －BF ＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝35， 所以r ＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680－3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大，即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 5．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19 B.13 C ．1 D.725．D [解析] 由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝⎛⎭⎫b a 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫322－1＝72. 17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327. 18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 17．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． 17．解：(1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 16．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图1-316．150 [解析] 在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°，所以AC ＝100 2.在△MAC中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，所以∠AMC ＝45°，由正弦定理有AM sin ∠MCA ＝ACsin ∠AMC ，即AM ＝sin 60°sin 45°×100 2＝1003，于是在Rt △AMN 中，有MN ＝sin 60°×1003＝150 .17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中，。

2014年广西南宁市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填在答题卷的对应位置上.）1. 直线x +y −3＝0的倾斜角的大小是（ ）A π4B 34πC 1D −1 2. 函数y =ln(x −1)(x >1)的反函数是（ ）A y =e x +1(x >1)B y =10x +1(x >1)C y =e x +1(x ∈R)D y =10x +1(x ∈R)3. 已知集合A ={x|x −x 2≥0}，B ={y|y =x −x 2}，则A ∩B =( )A [0, 1]B (−∞, 1]C [0, 14]D [0, 12] 4. 在二项式(x −1x 2)6的展开式中，常数项是（ ）A −10B −15C 10D 155. 若向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，则a →⊥(a →−b →)，向量a →，b →夹角大小为（ ） A π6 B π4 C π3 D π26. 若函数f(x)=x 3−x 2+a 在[−1, 1]的最小值是1，则实数a 的值是（ ）A 1B 3C 3127D −1 7. 已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，高为2√7，O 1是A 1C 1和B 1D 1的交点，则异面直线O 1C 与A 1B 所成角的余弦值是（ ）A √154B 14C √32D √228. 设F 1，F 2是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右两个焦点，若双曲线C 上存在点P满足|PF 1|:|PF 2|=2:1且∠F 1PF 2=90∘，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A x ±2y =0B 2x ±y =0C 5x ±4y =0D 4x ±5y =09. 已知α，β是任意角，则“sinα=cosα”是“cos(α+β)=sin(α−β)”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件10. 直线y =a 与曲线y =sin(x +π3)(x ∈[0, 2π)）交于P 1，P 2两点，且|P 1P 2|=23π，则a =( )A √32B −√32C 12D −1211. 在椭圆x26+y22=1的内部共有n个整点（点的横坐标和纵坐标都是整数），以这些整点为顶点的三角形共有（）A 150个B 149个C 148个D 147个12. 已知定义在R上的函数y=f(x)满足下列三个条件：(1)对任意的x∈R都有f(x+4)=f(x)；(2)x∈[0, 2]时，f(x)=lg(x+1)；(3)y=f(x+2)的图象关于y轴对称．则下列结论中正确的是（）A f(4.5)<f(6.5)<f(7)B f(4.5)<f(7)<f(6.5)C f(7)<f(4.5)<f(6.5) D f(7)<f(6.5)<f(4.5)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填答题卷相应题中横线上.13. 设变量x，y满足约束条件{x+2y≥2，2x+y≤4，4x−y≥−1,则目标函数z=2x−y的最大值是________．14. 在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，已知sinA=13，tanB=√2，a=1，则b=________．15. 若等比数列{a n}，对一切自然数n都有a n+1=1−23S n，其中S n为该数列的前n项和，则a n=________．16. 矩形ABCD中，AB=6，BC=2√3，沿对角线BD将三角形ABD向上折起，使A移至点P，且P在平面BCD的射影O在DC上，则二面角P−BD−C的平面角的余弦值是________．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a+c=√2b，A>C且A、B、C的大小成等差数列，求角C．18. 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行篮球比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一场，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.4，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．（1）求红队恰有1名队员获胜的概率；（2）求红队至少两名队员获胜的概率．19. 如图，在四棱锥A−BCDE中，AE⊥平面BCDE，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90∘，AC=6√3，BC=CD=6．（1）求证：BD⊥平面ACE；（2）设点G在棱AC上，且CG=2GA，试求三棱锥E−GCD的体积．20. 设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−3n，(n∈N∗)．(1)证明数列{a n+3}为等比数列；(2)求{S n}的前n项和T n．21. 已知函数f(x)=13x3−12(2a+1)x2+(a2+a)x（1）若f(x)在x=1处取得极大值，求实数a的值；（2）若a>−1，求f(x)在区间[0, 1]上的最大值．22. 已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2√3，A、B两点分别是椭圆E的右顶点、上顶点，且直线AB与圆O:x2+y2=45相切（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O任作两条相互垂直的射线交椭圆E于P、Q两点，试判断直线PQ是否总与圆O 相切，并说明理由．2014年广西南宁市高考数学三模试卷（文科）答案1. B2. C3. C4. D5. C6. B7. A8. B9. A10. D11. C12. B13. 414. √615. (13)n−116. 13 17. 解：∵ A 、B 、C 的大小成等差数列，∴ A +B +C =3B =180∘，∴ B =60∘，∵ a +c =√2b ，∴ 由正弦定理知sinA +sinC =√2sinB ，∴ sin(2π3−C)+sinC =√62， ∴ sin(C +π6)=√22， ∵ A >C ，∴ 0<C <π3，∴ π6<C +π6<π2， ∴ C +π6=π4，∴ C =π12．18. 解：（1）设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D ¯，E ¯，F ¯分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P(D)=0.4，P(E)=0.5，P(F)=0.5由对立事件的概率公式知P(D ¯)=0.6，P(E ¯)=0.5，P(F ¯)=0.5．红队恰有1名队员获胜的事件有：DE ¯F ¯，D ¯EF ¯，D ¯E ¯F...2分由于以上三个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队恰有1人获胜的概率为P =P(DE ¯F ¯)+P(D ¯EF ¯)+P(D ¯E ¯F)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.4．…6分（2）红队至少两人获胜的事件有：DEF ¯，DE ¯F ，D ¯EF ，DEF...8分由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P =P(DEF ¯)+P(DE ¯F +P(D ¯EF)+P(DEF)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5=0.45...12分． 19. （1）证明：由AE ⊥平面BCDE 得AE ⊥BD ，又∠ABC=∠BCD=∠CDA=90∘，∴ ∠EBC=∠BCD=∠CDE=90∘，∴ 四边形BCDE为平行四边形，∵ BC=CD，∴ 四边形BCDE为正方形，∴ BD⊥CE又AE⊂平面ACE，CE⊂平面ACE，AE∩CE=E故BD⊥平面ACE，…6分（2）解：过G作GH // AE交EC于H，…7分∵ CG=2GA，∴ GH=23AE，∵ AE⊥平面BCDE，∴ GH⊥平面DEC，AE⊥EC...9分在直角三角形AEC中，CE=6√2，AC=6√3，得AE=6，∴ GH=23AE=4∴ 三棱锥E−GCD的体积V G−ECD=13×12×6×6×4=24...12分．20. 解：(1)令n=1，S1=2a1−3，∴ a1=3. 由S n+1=2a n+1−3(n+1)，S n=2a n−3n，两式相减，得a n+1=2a n+1−2a n−3，则a n+1=2a n+3．a n+1+3=2(a n+3)，a n+1+3a n+3=2，所以{a n+3}为公比为2的等比数列.(2)a n+3=(a1+3)⋅2n−1=6⋅2n−1，∴ a n=6⋅2n−1−3，S n=6(1−2n)1−2−3n=6⋅2n−3n−6．数列{S n}的前n项和为T n=12(1−2n)1−2−(9+3n+6)n2=12(2n−1)−32n2−152n.21. 解：（1）因为f′(x)=x2−(2a+1)x+(a2+a)=(x−a)[x−(a+1)]，令f′(x)=0，得x1=(a+1)，x2=a，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：所以a=1；（2）因为a>−1，所以a+1>0，当a≥1时，f′(x)≥0对x∈[0, 1]成立，所以当x=1时，f(x)取得最大值f(1)=a2−16；当0<a<1时，在x∈(0, a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，在x∈(a, 1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以当x=a时，f(x)取得最大值f(a)=13a3+12a2；当a =0时，在x ∈(0, 1)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减， 所以当x =0时，f(x)取得最大值f(0)=0； 当−1<a <0时，在x ∈(0, a +1)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，在x ∈(a +1, 1)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，又f(0)=0,f(1)=a 2−16，当−1<a <−√66时，f(x)在x =1时取得最大值f(1)=a 2−16， 当−√66<a <0时，f(x)在x =0取得最大值f(0)=0，当a =−√66时，f(x)在x =0，x =1处都取得最大值0．综上所述，当a ≥1或−1<a <−√66时，f(x)取得最大值f(1)=a 2−16， 当0<a <1时，f(x)取得最大值f(a)=13a 3+12a 2，当a =−√66时，f(x)在x =0，x =1处都取得最大值0， 当−√66<a ≤0时，f(x)在x =0取得最大值f(0)=0．22. 解：（1）直线AB:x a +y b =1，即bx +ay −ab =0，∴ {√a 2+b 2=2√55c =√3a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，a 2=35（舍去），∴ b 2=1， ∴ 椭圆E:x 24+y 2=1．…6分（2）当k OP 不存在时，直线PQ 是与问题（2）中的圆O:x 2+y 2=45相切；当k OP 存在时，设OP:y =kx(k >0)，代入椭圆方程x 2+4k 2x 2=4， ∴ x 2=41+4k 2，取x P =√1+4k 2>0，以−1k 代k ，得x Q =√k 2+4， ∴ |OP|=√1+k 2√1+4k 2， |OQ|=√1+1k 2⋅√k 2+4=√1+k 2√k 2+4，因OP ⊥OQ ，∴ |PQ|=√4(1+k 2)1+4k 2+4(1+k 2)k 2+4 =2√1+k 2⋅√5k 2+5⋅=2√5(1+k 2)⋅， 设边PQ 上的高为ℎ，由面积法12⋅√1+k 2√1+4k 2⋅√1+k 2⋅√k 2+4=12⋅2√5(1+k 2)⋅⋅ℎ， ∴ ℎ=2√55，故直线PQ 与圆O:x 2+y 2=45总相切， 同理，由对称性可知，当k <0时，及x p <0，结论也成立．…12分．。

2014年湖南省某校高考数学三模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1. 已知集合A={3, a2}，B={0, 1, a+1}，若A∩B={1}，则A∪B=()A {0, 1, 3}B {0, 1, 2, 3}C {0, 2, 3}D {0, 1, 3, 4}2. 下列说法中，不正确的是（）A “|x|=|y|”是“x=y”的必要不充分条件B 命题p:∀x∈R，sinx≤1，则¬p:∃x∈R，sinx>1C 命题“若x，y都是偶数，则x+y是偶数”的否命题是“若x，y不是偶数，则x+y不是偶数” D 命题p：所有有理数都是实数，q：正数的对数都是负数，则(¬p)∨(¬q)为真命题3. 冬日，某饮料店的日销售收入y（百元）与当天的平均气温x(∘C)之间有下列5组样本数据：根据散点图可以看出，这组样本数据具有线性相关关系，则其回归方程可能是（）A ŷ=x+2.6B ŷ=−x+2.6C ŷ=x+2.8D ŷ=−x+2.84. 执行如图所示的程序框图，若输入x=3，计算机输出的y值为13，则图中①处的关系式可以是（）A y=x3B y=x−3C y=3xD y=3−x5. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a2+a4=10，则使S n>527成立n的最小值是（）A 16B 17C 22D 236. 若抛物线y2=ax经过不等式组{x−y−2≥0,x+2y−8≤0,y≥1表示的平面区域，则抛物线焦点的横坐标的取值范围是()A [124, 14] B [112, 12] C [16, 1] D [14, 32]7. 如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起得到一个三棱锥C−ABD，已知该三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A 1B 2C √3D 2√38. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，过点A向∠BAD所在区域等可能任作一条射线AP，已知事件“射线AP与线段BC有公共点”发生的概率为13，则BC边的长为（）A 1B √3C 3D 3√39. 设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a, b >0)的左、右焦点，动点P 满足PF 1→⋅PF 2→=0，若直线l:3x −4y −10=0与点P 的轨迹有且只有一个公共点，则下列结论正确的是（ ） A a 2+b 2=2 B a 2−b 2=2 C a 2+b 2=4 D a 2−b 2=410. 已知定义在(0, +∞)上的函数f(x)满足：对任意正实数a ，b ，都有f(ab)=f(a)+f(b)−2，且当x >1时恒有f(x)<2，则下列结论正确的是（ ）A f(x)在(0, +∞)上是减函数B f(x)在(0, +∞)上是增函数C f(x)在(0, 1)上是减函数，在(1, +∞)上是增函数D f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是减函数二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11. 已知z 为纯虚数，且满足(2−i)z =4−bi ，则实数b =________．12. 已知圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l 的参数方程为{x =5−√3ty =t （t 为参数），设A ，B 分别为圆C 和直线l 上的动点，则|AB|的最小值为________．13. 如图，已知|OA →|−1，|OB →|=2，∠AOB =∠BOC =60∘，若OC →=λOA →+OB →，则λ=________．14.如图，在△ABC 中，D 为BC 边上一点，已知AB =6，AD =5，CD =2，B =30∘，∠ADB 为锐角，则： （1）sin∠ADB =________； （2）AC 边的长为________．15. 设x 1=2t +i t−1×2t−1+i t−2×2t−2+i t−3×2t−3+...i 2×22+i 1×21+i 0×20． x 2=2t +i 0×2t−1+i t−1×2t−2+i t−2×2t−3+...+i 3×22+i 2×21+i 1×20． x 3=2t +i 1×2t−1+i 0×2t−2+i t−1×2t−3+...+i 4×22+i 3×21+i 2×20．x 4=2t +i 2×2t−1+i 1×2t−2+i 0×2t−3+i t−1×2t−4+...+i 5×22+i 4×21+i 3×20，… 以此类推构造无穷数列{x n }，其中i t =0或l(k =0, 1, 2,…,t −1, t ∈N ∗)，若x 1=110，则 （1）x 2=________．（2）满足x n =x 1(n ∈N ∗, n ≥2)的n 的最小值为________．三、解答题（共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. 已知函数f(x)=√3sin2ωx +6cos 2ωx −3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，其中A 为图象的最高点，B 、C 为图象与轴的交点，且△ABC 为正三角形． （1）求ω的值； （2）若f(x 0)=6√35，且x 0∈(23, 83)，求f(x 0+1)的值．17.今年5月，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估，将各连锁店的评估分数按[60, 70]，[70, 80]，[80, 90]，[90, 100]分成4组，其频率分布直方图如图所示，集团公司还依据评估得分，将这些连锁店划分为A，B，C，D四个等级，等级评定标准如下表所示：(1)估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；(2)从评估分数不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A等级的概率．18. 如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=CD，E为PB的中点．（1）求异面直线PA与DE所成的角；（2）在底边AD上是否存在一点F，使EF⊥平面PBC？证明你的结论．19. 某地区电力成本为0.3元/kw⋅ℎ，上年度居民用电单价为0.8元/kw⋅ℎ，用电总量为akw⋅ℎ（a为正常数），本年度计划将居民用电单价适当下调，且下调后单价不低于0.5元/kw⋅ℎ，不高于0.7元/kw⋅ℎ．经测算，若将居民用电单价下调为x元/kw⋅ℎ，则本年度居民用电总量比上年度增加0.2ax−0.4kw⋅ℎ．（1）当用电单价下调为多少时，电力部门本年度的收益最低？（精确到0.01元/kw⋅ℎ，参考数据：√2≈1.414）（2）若保证电力部门本年度的收益比上年度增长20%以上，求下调用电单价的定价范围．20. 如图，设椭圆中心在原点，焦点在x轴上，A、B分别为椭圆的左、右顶点，F为椭圆的右焦点，已知椭圆的离心率e=√32，且AF→⋅BF→=−1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若存在斜率不为零的直线l与椭圆相交于C、D两点，且使得△ACD的重心在y轴右侧，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．21. 已知函数f(x)=1x+1．（1）设g(x)=f(x)⋅1nx，判断函数g(x)在(0, +∞)上是否存在极大值，并说明理由．（2）如图，曲线y=f(x)在点Q(0, 1)处的切线与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交曲线于点Q1；曲线在点Q1处的切线与x轴交于点P2，过点P2作x轴的垂线交曲线于点Q2；依次重复上述过程得到点列：P1，P2，P3，…，P n(n∈N∗)，设点P n的坐标为(a n, 0)，求数列{a n}的通项公式，并证明：1a1+1a2+...+1a n≥32−12n．2014年湖南省某校高考数学三模试卷（文科）答案1. B2. C3. D4. C5. D6. A7. A8. B9. C10. A11. −812. 113. −214. 分别为：35，3√5．15. 87、7．16. 解：（1）函数f(x)=√3sin2ωx+6cos2ωx−3=√3sin2ωx+3cos2ωx=2√3sin(2ωx+π3)．由于△ABC为正三角形，故高线的长为2√3，故边长为BC=4，故周期为8，即2π2ω=8，求得ω=π8．（2）由以上可得，f(x)=2√3sin(π4x+π3)，由f(x0)=2√3sin(π4x0+π3)=6√35，可得sin(π4x0+π3)=35．结合x0∈(23, 83)，可得π4x0+π3∈(π2, π)，∴ cos(π4x0+π3)=−45．求f(x0+1)=2√3sin[π4(x0+1)+π3]=2√3sin[(π4x0+π3)+π4]=2√3[sin(π4x0+π3)cosπ4+cos(π4x0+π3)sinπ4]=2√3(35×√22−45×√22]=−√65．17. 解：(1)∵ 最高小矩形下底边的中点值为75，∴ 估计评估得分的众数为75；∵ 从左至右第一、三、四个小矩形的面积分别为0.28，0.16，0.08，∴ 第二个小矩形的面积为1−0.28−0.16−0.08=0.48；∴ x¯=65×0.28+75×0.48+85×0.16+95×0.08=75.4，即估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数为75.4；(2)∵ A等级的频数为25×0.08=2，B等级的频数为25×0.16=4，∴ 从6家连锁店中任选2家，共有6×52=15种选法，其中选1家A等级和1家B等级的选法有2×4=8种，选2家A等级的选法有1种,∴ P=8+115=35，即至少选一家A等级的概率是35．18. 解：（1）取AB的中点G，连结EG、DG，∵ E是PB的中点，∴ EG // PA，∴ ∠DEG为所求的角，由已知得BD=2√2，PD=2，则PB=2√3，∴ DE=12PB=√3，又EG=12PA=√2，DG=√AD2+AG2=√5，∴ DG2=DE2+EG2，∴ ∠DEG=90∘，∴ 异面直线PA与DE所成角为90∘．（2）存在点F为AD的中点，使EF⊥平面PBC．证明如下：取PC的中点H，连结DH，EH，∵ PD=CD，∴ DH⊥PC，①∵ PD⊥底面ABCD，∴ PD⊥BC，∵ 底面ABCD是正方形，∴ CD⊥BC，∴ BC⊥平面PCD，∴ BC⊥DH．②结合①②知DH⊥平面PBC，∵ E，F分别是PB、AD的中点，∴ FD= // 12BC，EH= // 12BC，∴ FD= // EH，∴ 四边形EFDH 是平行四边形，∴ EF // DH ， ∴ EF ⊥平面PBC ．19. 解：（1）设电力部门本年度的收益为y 元，则y =(a +0.2a x−0.4)(x −0.3)，x ∈[0.5, 0.7]，∴ y =[(x −0.4)+0.02x−0.4+0.3]a ≥(2√0.02+0.3)a ， 当且仅当x −0.4=0.02x−0.4，即x =0.4+0.1×√2≈0.54时取等号，故用电单价下调为0.54元/kw ⋅ℎ时，电力部门本年度的收益最低； （2）令(a +0.2ax−0.4)(x −0.3)>0，5a(1+20%)，即x 2−1.1x +0.3>0， ∴ x <0.5或x >0.6， ∵ 0.5≤x ≤0.7， ∴ 0.6<x ≤0.7，∴ 下调用电单价的定价范围是(0.6, 0.7]．20. 解：（1）设椭圆的标准方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)． A(−a, 0)，B(a, 0)，F(c, 0)． AF →=(c +a, 0)，BF →=(c −a, 0)． ∵ AF →⋅BF →=−1，∴ c 2−a 2=−1， 又ca =√32，a 2=b 2+c 2，联立解得b 2=1，a 2=4，c 2=3． ∴ 椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．（2）设直线l 的方程为x =ty +m ，联立{x 2+4y 2=4x =ty +m ，化为(t 2+4)y 2+2mty +m 2−4=0， 设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，则y 1+y 2=−2mt t 2+4．∵ △ACD 的重心在y 轴右侧， ∴x 1+x 2−23>0，即x 1+x 2>2，∴ t(y 1+y 2)+2m >2， ∴−2mt 2t 2+4+2m >2，即4m >t 2+4．∵ 直线l 与椭圆相交，则△=4m 2t 2−4(m 2−4)(t 2+4)>0，化为t 2+4>m 2， ∴ 4m >m 2，解得0<m <4，又t 2≥0，∴ 4m >t 2+4≥4，解得m >1， ∴ m 的取值范围是(1, 4)．21. 解：（1）g(x)=f(x)⋅1nx =lnxx+1(x >0)，g′(x)=1(x+1)2(x+1x−lnx)．设ℎ(x)=x+1x −lnx =1+1x−lnx ．ℎ′(x)=−1x 2−1x=−1+x x 2<0，∴ ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减， ∵ ℎ(e)=1e >0，ℎ(e 2)=1e 2−1<0，∴ ℎ(x)在区间(e, e 2)内存在唯一零点，即存在x 0∈(e,e 2)，使得ℎ(x 0)=0．∴ 当0<x <x 0时，ℎ(x)>0，从而g′(x)>0；当x >x 0s 时，ℎ(x)<0，从而g′(x)<0． ∴ g(x)在区间(0, x 0)上是增函数，在区间(x 0, +∞)上是减函数， ∴ x 0为函数g(x)的极大值点．故函数g(x)在(0, +∞)上存在极大值． （2）∵ f′(x)=−1(x+1)2，则f′(0)=−1，∴ 切线QP 1的方程为：y =−x +1．令y =0，则x =1． ∴ a 1=1．由已知可得Q n−1(a n−1，1a n−1+1)，则切线Q n−1P n 的方程为y −1a n−1+1=−1(a n−1+1)2(x −a n−1)．令y =0，则x =2a n−1+1，∴ a n =2a n−1+1(n ≥2)．∵ a n +1=2(a n−1+1)(n ≥2)，则数列{a n +1}是首项为2，公比为2的等比数列． ∴ a n +1=2n ，即a n =2n −1．因此∑1ain i=1=1+122−1+⋯+12n −1≥1+122+...+12n =1+14(1−12n−1)1−12=32−12n ．。

2014年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（08三角函数三角恒等变换）、选择题：考点；L 函数的求值.3. （2014福建文）将函数y =s in x 的图象向左平移 一个单位，得到函数y =f x 的函数图象，则2下列说法正确的是 （ ）A. y f x 是奇函数B. y = f x 的周期是二C. 3y = f x 的图象关于直线x =—对称D. y = f x 的图象关于点i - —,0对称I 2 .丿 【答案】D【解析】将函数，二血盂的團象向左平移兰牛单位，学科■馮到函数^=sin （x + -） = oo S x I 222. （2014安徽理） 设函数 f (x)(xw :R)满足 f (x + 江)=f (x) +sinx.当0兰x c23叭则f ( )—( )61 爲1A.-B. 一C.0D.--22223兀 17兀23兀 11兀 11兀 17兀f(- —)二 f ( ) +sin -f( ) +sin +sin解析： 有题意 6 66 6 6 65兀 511兀 171111-f( )+si n -+si n +si=0 +— —— +—=—6 66 6 2 2 2 22$— ~ = k n +, k € Z ，即 X ^2 + ^8， " Z ,又 $ >0,所以 需n =.时，f(x)=0.1. （2014 对称，则安徽文）若将函数 :的最小正值是（ A. — B. 8-C. 4f （x ） =sin2x • cos2x 的图像向右平移 「个单位，所得图像关于 y 轴 ） 3 二D.1. C ［解析］方法一: sin 2x + n 4f(x)= \.；2sin 2x + 4的图像向右平移 0个单位，得到y=J 2± 1，即 sin 2 $ - — = ± ,-2©的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin 才-2因为y- cos（-^）= 0- y = /1 X I的医：关于点f-y f1?' J对称* 选D4. （2014辽宁文、理）将函数y =3sin （2 x • ^）的图象向右平移 ？个单位长度，所得图象对应的 函数（ ）5. (2014全国大纲文)已知角的终边经过点(-4,3)，则COS 〉=()43 34 A. - B. - C .D .5 555【答案】D 【解析】r 4试题分折；由题意可知v=3・” 一 • WiUAuos 4=—二-—故选r 5育网6. (2014 全国大纲理)设 a =sin33 ,b =cos55 ,c=tan35 ,贝U ( ) A . a b cB . b c aC . c b aD . cab【答案】c.【解析】T a - sin 33； b - cos 55°=™35^c = ten l - ^flJ ~ > sin35°..\ 0 a> 扛故选 C. cos 35° 【肴点】1 ■三角函数基本关系式(商关系 Z 二角函数的匸调性.7.（2014全国新课标I 文）若tan 一「：• 0， A. sinx 、0 B . cosx 、0【答案】：C正确的结论只有sin 2- 0.圆O 的半径为1，A 是圆上的定点, ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为 距离表示为x 的函数f （x ），则y= f （x ）在［0,二］上的图像大致为A .在区间［12 .Ji］上单调递减 B .在区间 C .在区间［-,］上单调递减6 3 【答案】B 【解析】n扌巴 y = 3s in( 2x+ —) = 3sin 2(x+3n n n n nD .在区间 ［一，上单调递增12 12［-…「］上单调递增6 3n 的周期T = 人2第选B冗一个增区间为卜4-彳 --n ］；右移丿后,4 62C. sin 2一：八 0D. cos2x【解析】：由ta n - 0可得：k —： k—(k Z),故2^ 22 k 二二(k Z)，28. （2014全国新课标I 理）如图, 边为射线OA ，终边为射线OPP 是圆上的动点，角 M ，将点M 到直线 x 的始 OP 的.I H=cos ： =sin I - 丿 12位 71Q 31.，即2，选B2 2【解析】：由y =cosx 是偶函数可知y 二cos 2x = cos2x ，最小正周期为二，即①正确； 】最小正周期为二,即③正6JI11. （2014陕西文）函数f （x ）二COS （2x •）的最小正周期是（ ）4A. B.二 C.2二D.42【答案】 B2 n 2 n【解析】；T= 二 =n ,.••选B2 | 2Rt. QMP 中, =cosxs in x1=—sin 2x , 21f (x) =— sin 2x2/Ty> A /p0』9. （2014全国新课标I 理）设圧三R nA 32【答案】：E【解析】：••• tan ：■1 亠 sin(0,?) —(0--)，且 七…占，则2 2 2sin" = “引“卩 sin a cos P = cosa + cosa sin PCOS J cos :'H A JI兀,_—：：：:• —— ：:：—,0 ::: — - :■ 10.（2014全国新课标I 文 —兀③ y = cos （2x）,④ y 6 A.①②③ B.①③④【答案】：A）在函数① y = cos 12x |，② y =| cos x |JI-tan （2x-）中，最小正周期为 二的所有函数为4 C.②④D.①③y =| cosx |的最小正周期也是■:,即②也正确；y=cosl2x •—确；y 七怙-―）的最小正周期为^-,即④不正确.4即正确答案为①②③,【解析】：如图:OM 字M MD= =OP 过 M 作 MD 丄OP 于D ，贝y PM= sinx , OM=COSX , cosx 対in x1D在12. （2014陕西理）函数f（X）=COS（2x —）的最小正周期是（）6A. —B.二C.2 二D.4'：2【答案】B【解析】；T = 2 n= 2 n= n,A选B|s I 213、（2014四川文）为了得到函数y二si n（x，1）的图象，只需把函数y二si nx的图象上所有的点（）A、向左平行移动1个单位长度B、向右平行移动1个单位长度C、向左平行移动二个单位长度D、向右平行移动二个单位长度3、解：•••由y=sinx到y=sin （x+1 ）,只是横坐标由x变为x+1 ,•••要得到函数y=sin （x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度.故选：A14. （2014四川理）为了得到函数y=sin（2x 7）的图象，只需把函数y=sin 2x的图象上所有的占八、、1 1A•向左平行移动1个单位长度B.向右平行移动'个单位长度2 2C.向左平行移动1个单位长度 D .向右平行移动1个单位长度【答案】A1【解析】因为y =sin（2x 1^sin[2（x •）]，故可由函数y二sin 2x的图象上所有的点向左平2行移动1个单位长度得到215. （2014天津文）已知函数f（x） = 3 sin ■ x cos x^ 0）, R.在曲线y=f（x）与直线y =1的交点中，若相邻交点距离的最小值为"，则f （x）的最小正周期为（）3兀2兀A. B. C.二D. 2■:2 3【答案】C【解析】T f （x ）= 2sin +— | = 1 ,• sin x +—| = 一，• co x1+ —= 一+ 2k^ , e Z 或I 6丿I 6丿2 6 6兀5兀2兀•冬：一——:2k/：,k^ Z，则• ■ X2 -为 2 k2 -心二，又•••相邻交点距离的最小值6 6 3为，•• - 2, T 二二.316. （2014浙江文、理）为了得到函数y二sin 3x • cos3x的图象，可以将函数y - 2sin3x的图象（）。

F 单元 平面向量1．[2014·福建卷] 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →2．[2014·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．p ∨(¬q )3．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.12BC →D.BC →4．[2014·北京卷] 已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( )A ．(5，7)B ．(5，9)C ．(3，7)D ．(3，9) 5．[2014·广东卷] 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝( )A ．(－2，1)B ．(2，－1)C ．(2，0)D ．(4，3)6．[2014·山东卷] 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3 7．[2014·全国卷] 已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．28．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 9．[2014·山东卷] 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3B. 3C ．0D ．－ 310．[2014·浙江卷] 设θ为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1( )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定11．[2014·安徽卷] 设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( )A.2π3B.π3C.π6D ．012．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4，6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1] 13．[2014·山西大同一中四诊] 如图所示，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0B.BE →C.AD →D.CF →14．[2014·江西卷] 已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13.若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________．15．[2014·四川卷] 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________．16．[2014·湖北卷] 若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________．17．[2014·江苏卷] 如图所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．18．[2014·陕西卷] 设0＜θ ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a ·b ＝0，则tan θ＝______.19．[2014·重庆卷] 已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________． 20．[2014·天津卷] 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________． 21．[2014·长沙一中月考] 平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，若a ＝m b ＋n c ，则n －m ＝________． 22．[2014·湖南师大附中月考] 如图X19-2所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB →＝4AC →，则OC →·(OB →－OA →)＝____________．23．[2014·温州十校联合体期末] 在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1.若函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为____________．24．[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在 △ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．25．[2014·常德期末] 已知向量a ＝cos )32(π-x ，cos )4(x +π，b ＝1，－2sin )4(x +π，f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若A 为等腰三角形ABC 的一个底角，求f (A )的取值范围．。

2014年高考文科数学真题（三角函数）一．选择题（共10小题）1．（2014•广西）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣2．（2014•广西）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．3．（2014•河南）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞04．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④ D．①③5．（2014•四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度6．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增8．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．9．（2014•福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称10．（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）11．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为_________．12．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=_________．13．（2014•上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于_________．14．（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=_________．15．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为_________．16．（2014•湖北）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B= _________．17．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于_________．18．（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=_________；sinA=_________．三．解答题（共8小题）19．（2014•广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．20．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．21．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．22．（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．23．（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．24．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．25．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．26．（2014•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．2014年高考文科数学真题（三角函数）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2014•广西）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．2．（2014•广西）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．解答：解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．点评：本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．3．（2014•河南）若tanα＞0，则（）A．s inα＞0 B．c osα＞0 C．s in2α＞0 D．c os2α＞0考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．解答：解：∵tanα＞0，∴，则sin2α=2sinαcosα＞0．故选：C．点评：本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．4．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．解答：解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为=π，②y=丨cosx丨的最小正周期为=π，③y=cos（2x+）的最小正周期为=π，④y=tan（2x﹣）的最小正周期为，故选：A．点评：本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．5．（2014•四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案．解答：解：∵由y=sinx到y=sin（x+1），只是横坐标由x变为x+1，∴要得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度．故选：A．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题．6．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是π，故选：B．点评：本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．8．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．解答：解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．点评：本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．9．（2014•福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由cos=cos（﹣）=0即可得到正确选项．解答：解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx．即f（x）=cosx．∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；∵cos=cos（﹣）=0，∴y=f（x）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．故选：D．点评：本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题．10．（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．解答：解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．点评：本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．二．填空题（共8小题）11．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为1．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，则答案可求．解答：解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ﹣2sinφcosx=sinxcosφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）．∴f（x）的最大值为1．故答案为：1．点评：本题考查两角和与差的正弦，考查了正弦函数的值域，是基础题．12．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：哟条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx，可得2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，由此求得ω、φ的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．解答：解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象．再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω（x﹣）+φ）]=sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx的图象，∴2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，∴ω=，φ=，∴f（x）=sin（x+），∴f（）=sin（+）=sin=．故答案为：．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．13．（2014•上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式可得sin（x+）=，可知x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，结合x∈[0，2π]，可得x值，求和即可．解答：解：∵sinx+cosx=1，∴sinx+cosx=，即sin（x+）=，可知x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，又∵x∈[0，2π]，∴x=，或x=，∴+=故答案为：点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．14．（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的数量积公式求得2sinθcosθ﹣cos2θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanθ解答：解：∵=sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0，0＜θ＜，∴2sinθ﹣c osθ=0，∴tanθ=，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．15．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为π．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期解答：解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π，故答案为：π．点评：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．16．（2014•湖北）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B=或．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用正弦定理列出关系式，将a，sinA，b的值代入求出sinB的值，即可确定出B的度数．解答：解：∵在△ABC中，A=，a=1，b=，∴由正弦定理=得：sinB===，∵a＜b，∴A＜B，∴B=或．故答案为：或点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．17．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于1．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长．解答：解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，解得：c=1，则AB=c=1，故答案为：1点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18．（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=2；sinA=．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及cosC的值代入求出c的值，由cosC的值求出sinC的值，再由a，c的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．解答：解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2；∵cosC=，C为三角形内角，∴sinC==，∴由正弦定理=得：sinA===．故答案为：2；点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．三．解答题（共8小题）19．（2014•广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）即可得出．解答：解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=点评：本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值．解答：解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．22．（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos （α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈z．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cos2α﹣sin2α）•（sinα﹣cosα），即（sinα﹣cosα）=•（cosα﹣sinα）2•（sinα+cosα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sinα=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．23．（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质．专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．解答：解：（1）f（）=﹣（a+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（a+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，∴f（）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα==﹣，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．24．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．考点：余弦定理的应用；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．25．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，直接求A的值；（2）利用函数的解析式，通过f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求出cosθ，利用两角差的正弦函数求f（﹣θ）．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，∴f（）=Asin（+）=Asin=，∴．（2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+），∴f（θ）﹣f（﹣θ）=3sin（θ+）﹣3sin（﹣θ+）=3[（）﹣（）]=3•2sinθcos=3sinθ=，∴sinθ=，∴cosθ=，∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）3cosθ=．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．26．（2014•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：利用三角形的面积公式，求出sinA=，利用平方关系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．解答：解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．点评：本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．。

§4.4 三角函数的综合应用考点三角函数的综合应用1.(2014四川,16,12分)已知函数f(x)=sin.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若α是第二象限角, f=coscos 2α,求cos α-sin α的值.解析(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为,k∈Z.由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z,得-+≤x≤+,k∈Z.所以,函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(2)由已知,有sin=cos(cos2α-sin2α),所以sin αcos+cos αsin=(cos2α-sin2α).即sin α+cos α=(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,知α=+2kπ,k∈Z.此时,cos α-sin α=-.当sin α+cos α≠0时,有(cos α-sin α)2=.由α是第二象限角,知cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-.综上所述,cos α-sin α=-或-.2.(2014重庆,17,13分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f=,求cos的值.解析(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以2·+φ=kπ+,k=0,±1,±2,….由-≤φ<得k=0,所以φ=-=-.(2)由(1)得f=sin=,所以sin=.由<α<得0<α-<,所以cos===.因此cos=sin α=sin=sincos+cossin=×+×=.3.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温? 解析(1)因为f(t)=10-2=10-2sin,又0≤t<24,所以≤t+<,-1≤sin≤1.当t=2时,sin=1;当t=14时,sin=-1.于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.(2)依题意,当f(t)>11时实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin,故有10-2sin>11,即sin<-.又0≤t<24,因此<t+<,即10<t<18.在10时至18时实验室需要降温.。

数学I单元统计I1 随机抽样3．[2014·重庆卷] 某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A．100 B．150C．200 D．2503．A[解析] 由题意，得703500＝n3500＋1500，解得n＝100.11．[2014·湖北卷] 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．11．1800[解析] 设乙设备生产的产品总数为n，则80－50n＝804800，解得n＝1800.3．[2014·湖南卷] 对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2＜p3B．p2＝p3＜p1C．p1＝p3＜p2D．p1＝p2＝p33．D[解析] 不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，它们都是等概率抽样，每个个体被抽中的概率均为n N.2．、[2014·四川卷] 在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本2．A[解析] 根据抽样统计的概念可知，统计分析的对象全体叫做“总体”．故选A.9．[2014·天津卷] 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．9．60[解析] 由分层抽样方法可得，从一年级本科生中抽取的学生人数为300×44＋5＋5＋6＝60.15．、[2014·天津卷] 某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：现从这6)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．15．解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．因此，事件M发生的概率P(M)＝615＝25.I2 用样本估计总体17．、[2014·安徽卷] 某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图1-4所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．图1-4(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K2＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）17．解：(1)300×450015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合列联表可算得K 2＝300×（165×30－45×60）275×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．18．[2014·北京卷] 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图(如图1-6)．图1-6(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； (2)求频率分布直方图中的a ，b 的值；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．(只需写出结论)18．解：(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10(名)，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1－10100＝0.9.故从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.(2)课外阅读时间落在组[4，6)内的有17人，频率为0.17，所以a ＝频率组距＝0.172＝0.085.课外阅读时间落在组[8，10)内的有25人，频率为0.25，所以b ＝频率组距＝0.252＝0.125.(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．20．，[2014·福建卷] 根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：(1)(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．20．解：(1)设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为8000×0.25a ＋4000×0.30a ＋6000×0.15a ＋3000×0.10a ＋10 000×0.20aa＝6400(美元)．因为6400∈[4085，12 616)，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A ，B}，{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{C ，D}，{C ，E}，{D ，E}，共10个．设事件M 为“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”， 则事件M 包含的基本事件是：{A ，C}，{A ，E}，{C ，E}，共3个．所以所求概率为P (M )＝310.6．[2014·广东卷] 为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )A ．50B ．40C ．25D ．206．C [解析] 由题意得，分段间隔是100040＝25.17．、[2014·湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )．其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平．(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率． 17．解：(1)甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，其平均数为x 甲＝1015＝23，方差为s 2甲＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－232×10＋⎝⎛⎭⎫0－232×5＝29. 乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，其平均数为x 乙＝915＝35，方差为s2乙＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－352×9＋⎝⎛⎭⎫0－352×6＝625.因为x甲＞x乙，s2甲＜s2乙，所以甲组的研发水平优于乙组．(2)记E＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，共7个，故事件E发生的频率为715.将频率视为概率，即得所求概率为P(E)＝715.6．[2014·江苏卷] 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图1-2所示，则在抽测的60株树木中，有____株树木的底部周长小于100 cm.图1-26．24[解析] 由频率分布直方图可得，数据在[80，90]的频率为0.015×10＝0.15，数据在[90，100]的频率为0.025×10＝0.25.又样本容量为60株，故所求为(0.15＋0.25)×60＝24(株)．19．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．19．解：(1)由所给茎叶图知，将50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．(注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分．)18．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均值及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？18．解：(1)频率分布直方图如下：(2)质量指标值的样本平均数为x ＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100. 质量指标值的样本方差为s 2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.8＝0.68. 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．8．[2014·山东卷] 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]．将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，图1-2是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )图1-2A ．6B ．8C ．12D ．188．C [解析] 因为第一组与第二组共有20人，并且根据图像知第一组与第二组的频率之比是0.24∶0.16＝3∶2，所以第一组的人数为20×35＝12.又因为第一组与第三组的频率之比是0.24∶0.36＝2∶3 ，所以第三组有 12÷23＝18人．因为第三组中没有疗效的人数为6，所以第三组中有疗效的人数是18－6＝12.16．，[2014·山东卷] 海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．16．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 记事件D 为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.9．[2014·陕西卷] 某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x －和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A.x －，s 2＋1002B.x －＋100，s 2＋1002 C.x －，s 2 D.x －＋100，s 29．D [解析] 由题目中所给的数据可知x x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 1010，不妨设这10位员工下月工资的均值为y －，则y －＝（x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10）＋100010＝x －＋100，易知方差没发生变化．2．、[2014·四川卷] 在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是( )A ．总体B ．个体C ．样本的容量D ．从总体中抽取的一个样本2．A [解析] 根据抽样统计的概念可知，统计分析的对象全体叫做“总体”．故选A. 17．、[2014·重庆卷] 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图1-3所示．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数；(3)从成绩在[50，70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70)中的概率．17．解：(1)据直方图知组距为10，由(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，解得a＝1200＝0.005.(2)成绩落在[50，60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2.成绩落在[60，70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3.(3)记成绩落在[50，60)中的2人为A1，A2，成绩落在[60，70)中的3人为B1，B2，B3，则从成绩在[50，70)的学生中任选2人的基本事件共有10个，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)．其中2人的成绩都在[60，70)中的基本事件有3个，即(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)．故所求概率为P＝310.I3 正态分布I4 变量的相关性与统计案例17．、[2014·安徽卷] 某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图1-4所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．图1-4(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K2＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）17．解：(1)300×450015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合列联表可算得K 2＝300×（165×30－45×60）75×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．6．[2014·得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( ) A ．a ＞0，b ＜0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＜0，b ＜0 D ．a ＜0，b ＞0 6．A [解析]由图像不难得出，回归直线y ＝bx ＋a 的斜率b <0，截距a >0，所以a >0，b <0.故选A.7．[2014·江西卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1 表2表3A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量7．D [解析] 通过计算可得，表1中的χ2≈0.009，表2中的χ2≈1.769，表3中的χ2＝1.300，表4中的χ2≈23.481，故选D.18．、[2014·辽宁卷] 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行(1)习惯方面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋＋，18．解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×（60×10－20×10）270×30×80×20＝10021≈4.762.由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，b 3)，(a 1，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 3)，(a 2，b 2，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}，其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1，2，b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1，2，3. Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，b 3)，(a 1，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 3)，(a 2，b 2，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.I5 单元综合17．[2014·广东卷] 某车间20名工人年龄数据如下表：(1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差． 1．[2014·株洲模拟]由K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），得K 2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8.附表：A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 1．A [解析] 因为7.8>6.635，所以选项A 正确．2．[2014·济南期末] 为了调查城市PM2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，相应的城市数分别为8，16，24.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则应抽取的中型城市数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6图X33­12．B [解析] 根据分层抽样的特点可知，抽样比例为1248＝14，则应抽取的中型城市数为16×14＝4.3．[2014·长沙四校联考] 为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图X33­1所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是( )A ．中位数为83B ．众数为85C ．平均数为85D ．方差为193．C [解析] 易知该同学的6次数学测试成绩的中位数为84，众数为83，平均数为85.8．[2014·湖南长郡中学月考] 为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为( )A.0.1% B ．1% C ．99% D ．99.9%8．C [解析] 因为K 2＝8.01>6.635，所以有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”．9．[2014·衡阳模拟] 已知某总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表中第1行的第5列和第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A.08 B ．9．D [解析] 从随机数表第1行的第5列和第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故选D.10．[2014·湖南师大附中月考] 某厂对一批元件的长度(单位：mm)进行抽样检测，得到如图X33­2所示的频率分布直方图．若长度在区间[90，96)内的元件为合格品，则估计这批产品的合格率是( )A ．70%B ．75%C ．80%D ．85%图X33­210．C [解析] 易知在区间[90，96)内的直方图的面积S ＝1－(0.027 5＋0.027 5＋0.0450)×2＝0.8，故合格率是80%.。