2011—2012学年度高考数学模拟考试(一)

概率与统计问题，你能渡过“事理关”和“数理关”吗？【常见题型】在概率中，事件之间有两种最基本的关系，一种是事件之间的互斥(含两个事件之间的对立)，一种是事件之间的相互独立的，互斥事件至少有一个发生的概率等于各个事件发生的概率之和，相互独立事件同时发生的概率等于各个事件各自发生的概率之积，在概率计算中正确地把随机事件进行分拆是正确解决问题的根本所在．概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的．一．概率与茎叶图相联系例1【河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试】（理）某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（I ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（II ）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分次数X 的分布列和均值．（Ⅰ）x-甲＝ 1 8(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， x -乙＝ 1 8(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s 2甲＝ 1 8[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝ 1 8[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p 1＝ 38，p 2＝ 1 2，两人得分均超过15分的概率分别为p 1p 2＝316，依题意，X ～B (2，316)，P (X ＝k )＝C k 2(316)k(1316)2－k ，k ＝0，1，2， …7分X 的分布列为…10分 X 的均值E (X )＝2×316＝8． …12分（文）某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（I ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小：（II ）从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到恰好有1场得分不足10分的概率． 解：（Ⅰ）x-甲＝ 1 8(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， x -乙＝ 1 8(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s 2甲＝ 1 8[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝ 1 8[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分 （Ⅱ）题设所述的6个场次乙得分为：7，8，10，15，17，19． …7分二．频率分布表、频率分布直方图与概率相结合 例2【2012年长春市高中毕业班第二次调研测试】 对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如 下：【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布表、频率分布直方图、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法. 【试题解析】⑴由题可知 50.25M =，12n M =，m p M =，10.05M= 又 5121m M +++=解得 20M =，0.6n =，2m =，0.1p =则[15,20)组的频率与组距之比a 为0.12. (4分)⑵由⑴知，参加服务次数在区间[15,20)上的人数为3600.6216⨯=人. (6分) ⑶所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值可能为0元、20元、40元、60元，则 22251222201066177(0)190190C C C P C ++++===， 111111512122212206024286(20)190190C C C C C C P C ++++===， 111152121220101222(40)190190C C C C P C ++===， 11512205(60)190C C P C ==.(10分)()0(0)20(20)40(40)60(60)E X P P P P =⋅+⋅+⋅+⋅7786225290020406019019019019019=⨯+⨯+⨯+⨯= (12分)（文）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：⑴求出表中M 、p 及图中a 的值；三、排列组合和概率相结合例3【2012东城区普通高中示范校高三综合练习（二）】（理）某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的培训次数 1 2 3 参加人数 5 15 20（1的概率； （2）从40人中任选两名学生，用X 表示这两人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列及数学期望EX . 解：（1）这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率为494419134012011515=-=C C C C P . ……………………5分(2)由题意知X =0,1,222251520240111151515202401152024061(0);15675(1);1565(2).39C C C P X C C C C C P X C C C P X C ++===+====== 则随机变量X 的分布列：分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25 [15,20) 25 n [20,25) m p [25,30) 2 0.05 合计M1X0 12P15661 15675395012.156********X EX =⨯+⨯+⨯=所以的数学期望 ……………………13分样本容量与总体中个体数的比为,181905= 所以从,,A B C 三个工作组分别抽取的人数为2，2，1. ------------------5分（II ）设12,A A 为从A 组抽得的2名工作人员，12,B B 为从B 组抽得的工作人员，1C 为从C 组抽得的工作人员，若从这5名工作人员中随机抽取2名，其所以可能的结果是：),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(112112221211211121C B B B C A B A B A C A B A B A A A21(,)B C ,共有10种， ------9分其中没有A 组工作人员的结果是：121121(,),(,),(,)B B B C B C 有3种，--------------------------11分 所以从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，此时这两名工作人员中没有A 组工作人员的概率310P =。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类） 2012.3第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i 12i=-A.42i -B. 42i -+C. 24i +D. 24i - 2. 若集合{}21,A m =，{}3,4B =，则“2m =”是“{}4=B A ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且，则向量a 与b 的夹角为A.6π B.3π C.32π D.65π4. 已知数列{}n a 的前项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则A. 16-B. 16C. 31D. 325. 关于两条不同的直线,与两个不同的平面,，下列命题正确的是 A ．且，则 B ．且，则C ．且，则D ．且，则6. 已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率2e =，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 A ．2212xy -= B ．22123xy-= C.2214xy -= D. 221x y -=7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品 征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年 增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 102,1==a b n 5a =m n αββα//,//n m βα//n m //βα⊥⊥n m ,βα⊥m //n βα//,n m ⊥βα//n m ⊥βα⊥n m ,//βα⊥n m //8. 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值为 A.()n ∈Z B.n ()n ∈Z C. 2n 或124n -()n ∈Z D. n 或14n -()n ∈Z第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.若sin 3θ=,(,)2θπ∈π，则tan θ= .10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .（第11题图）12. 设,x y 满足约束条件0, , 230,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值是 ；使z 取得最大值时的点(,)x y 的坐标是 .13. 已知函数213(),2,()24log ,02x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩，则((2))f f 的值为 ；函数()()g x f x k=-恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 .正视图 侧视图14. 已知集合{}22(,)4A x y x y =+≤，集合B =(){},,x y y m x m ≥为正常数.若O 为坐标原点，M ，N 为集合A 所表示的平面区域与集合B 所表示的平面区域的边界的交点,则MON ∆的面积S 与m 的关系式为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 把答案答在答题卡上. 15. （本题满分13分）已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若3()5f α=，其中π3π,44α<<求πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16. （本题满分13分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．(Ⅰ)下表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；(Ⅱ)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．17. （本题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形A B C D 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面A B C D ，EF//AB ，2AB =，=1EF ，=BC （Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ；（Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得C ∠ 若存在，请求出C P D ∠请说明理由.18. （本题满分14分）已知函数()2()1e x f x ax =-⋅,a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值；（Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间. 19.（本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的两个焦点分别为1(0)F ，20)F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点,设点(3,2)N ，记直线AN ，BN的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值. 20（本题满分13分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a （n *∈N ），满足00a =，1n a a n ++= ．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++ ．设1()i i A T A +=，0,1,2i = ． （Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ； （Ⅱ）证明存在数列0A ，经过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n个；（Ⅲ）若数列0A 经过有限次T 变换，可变为数列,0,0,,0n n个．设1m m mnS a a a +=+++ ，1,2,,m n = ，求证[](1)1m m m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m S m +的最大整数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷答案（文史类） 2012.3二、填空题：注：若有两空，则第一个空第二个空三、解答题：15、（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为π3()cos()45f αα=-=，且ππ042α<-<， …………1分所以π4sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭. .…………5分. （II ）()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=ππsin()cos()44x x +⋅+ =1πsin(2)22x +=1cos 22x . .…….…..10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 则当0x =时，()g x 的最大值为12；当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ………13分16、（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=， 0.02550050b =⨯⨯=.……………2分(Ⅱ) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为5061300⨯=，第2组的人数为5061300⨯=，第3组的人数为20064300⨯=，所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． ………………6分 (Ⅲ)设第1组的1位同学为A ，第2组的1位同学为B ，第3组的4位同学为1234,,,C C C C ，则从六位同学中抽两位同学有：1234(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A C A C A C 1234(,),(,),(,),(,),B C B C B C B C 12(,),C C13(,),C C 142324(,),(,),(,),C C C C C C 34(,),C C 共种可能． ………… 10分其中2人年龄都不在第3组的有：(,),A B 共1种可能， ……… ………12分 所以至少有1人年龄在第3组的概率为11411515-=． ………………13分17、（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取A D 的中点N ，连接,M N N F .在D AB ∆中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点， 所以MN//AB,MN 12=A B . ……………2分 又因为EF//AB,EF 12=A B ，所以M N //EF 且M N =EF .所以四边形M N FE 为平行四边形，所以E M //F N . ………………4分 又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故E M //平面ADF . ……………………6分 （Ⅱ）解：假设在EB 上存在一点P ，使得C P D ∠最大.因为EB ⊥平面ABD ，所以EB C D ⊥.又因为C D B D ⊥，所以C D ⊥平面EBD . ………………………8分 在R t C PD ∆中，tan =C D C P D D P∠.因为C D 为定值，且C P D ∠为锐角，则要使C P D ∠最大，只要D P 最小即可. 显然，当DP EB ⊥时，D P 最小.因为DB EB ⊥，所以当点P 在点B 处时，使得C P D ∠最大. …………11分 易得tan C D C P D =D B∠=23.所以C P D ∠的正切值为23.……………………13分18、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅.x ∈R ……………………2分 依题意得(1)(31)e =0f a '=-⋅，解得13a =. 经检验符合题意. ………4分（Ⅱ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅，设2()21g x ax ax =+-，15NCA F EB MD（1）当0a =时，()e x f x =-，()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……5分 （2）当0a <时，方程2()21g x ax ax =+-=0的判别式为244a a ∆=+， 令0∆=, 解得0a =（舍去）或1a =-.1°当1a =-时，22()21(1)0g x x x x =---=-+≤， 即()2()21e 0x f x ax ax '=+-⋅≤，且()f x '在1x =-两侧同号，仅在1x =-时等于0，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………………7分 2°当10a -<<时，0∆<，则2()210g x ax ax =+-<恒成立，即()0f x '<恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………9分3°1a <-时，2440a a ∆=+>，令()0g x =，方程2210ax ax +-=有两个不相等的实数根11x a=-+，21x a=--，作差可知11aa -->-+，则当1x a<-+时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(,1)a-∞-+上为单调减函数；当11x aa-+<<--时，()0g x >，()0f x '>，()f x 在(11)aa-+--上为单调增函数；当1x a>--时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(1,)a--+∞上为单调减函数. ……………………………………………………………………13分 综上所述，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调减区间为(),-∞+∞；当1a <-时，函数()f x 的单调减区间为(,1a-∞-+，(1)a--+∞，函数()f x的单调增区间为(11aa-+--. (14)分19、（本小题满分14分） 解:（Ⅰ）依题意，由已知得c =，222a b -=，由已知易得1b OM ==,解得a = …………3分 则椭圆的方程为2213xy +=. …………4分(II) ①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,3x y ==±设(1,3A，(1,3B -，则122233222k k -++=+=为定值. ………5分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213xy +=整理化简，得2222(31)6330k x k x k +-+-=.…6分依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631kx x k +=+，21223331k x x k -=+. ……………………7分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ………………………8分122112(2)(3)(2)(3)(3)(3)y x y x x x --+--=--12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++2212222222336122()[246]3131633933131k kx x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++2212(21) 2.6(21)k k +==+ .…….………………13分综上得12k k +为常数2. .…….………………14分 20、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ； 4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． .……….………………4分（Ⅱ）若数列001:,,,n A a a a 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T-，变换1T-将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+--- ．易知1T-和T 是互逆变换．对于数列,0,0,,0n 连续实施变换1T-（一直不能再作1T-变换为止）得,0,0,,0n 1T-−−→1,1,0,,0n - 1T-−−→2,0,2,0,,0n - 1T-−−→3,1,2,0,,0n - 1T-−−→ 1T-−−→01,,,n a a a ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T-）．反过来对01,,,n a a a 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n ，因此存在数列0A 满足条件．…………………………8分（Ⅲ）显然i a i ≤(1,2,,)i n = ，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a通过变换，不能变为0.由变换T 的定义可知数列0A 每经过一次变换，k S 的值或者不 变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n 时，有0m S =，1,2,,m n = ，所以m m S m t =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤， 所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1m m m S a S m m =-++．………13分北京海淀区2012年高三一模文科数学试题2012.04．05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合2{|1}A x x ==，{|(2)0}B x x x =-<，那么A B = （A ）Æ （B ） {1}- （C ）{1} （D ）{1,1}-2、在等比数列{}n a 中，26a =，318a =-，则1234a a a a +++=（A ）26（B ）40 （C ）54（D ）803、已知向量=(12=(1)x x +-,a b ,),. 若a 与垂直，则||b =（A ）1 （B（C ）2 （D ）4 4、过双曲线221916xy-=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是（A ）34150x y +-= （B ）34150x y --= （C ）43200x y -+= （D ）43200x y --= 5、执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）86、若满足条件020x y x y y a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y 恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为（A ）3- （B ） 2- （C ）1- （D ）07、已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（A ）2a < （B ）2a > （C ）22a -<< （D ）2a >或2a <-b A'B'C'D'A BCD8、在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足'2PA PC +=的点P 的个数为（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. 9、复数2i 1i-在复平面内所对应的点的坐标为 .10、若tan 2α=，则sin 2α= .11、以抛物线24y x =上的点0(,4)x 为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是 .12、已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是 ，左视图的面积是 .13、设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性E Q E P大于1（其中'E Q Q P E PQ=-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 .14、已知函数1,,()0,.x f x x ìÎïï=íïÎïîR Q Q ð 则()()______f f x =； 下面三个命题中，所有真命题的序号是 . ① 函数()f x 是偶函数；② 任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对x ∈R 恒成立；③ 存在三个点112233(,()),(,()),(,()),A x f x B x f x C x f x 使得ABC ∆为等边三角形. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、本小题满分13分）已知函数()sin sin()3f x x x π=+-.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .已知()2f A =，a =，试判断ABC ∆的形状.俯视图16、（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值； （Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿.17、（本小题满分14分）已知菱形ABCD 中，AB =4， 60BAD ∠=（如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线B D翻折，使点C 翻折到点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，DC 1，BC 1的中点． （Ⅰ）证明：BD //平面EM F ； （Ⅱ）证明：1AC BD ⊥；（Ⅲ）当E F A B ⊥时，求线段AC 1 的长．18、（本小题满分13分）已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R .（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 19、（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221 (0)x y a b ab+=>>的右顶点(2,0)A，离心率为2，O 为坐标原点.ABCD图1M FEABC 1D图2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段A P 的垂线l 交椭圆C 于点,E D ，求D E AP的取值范围.20、（本小题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知A ={2，4，6，8，10}，B ={1，2，4，8，16}.（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆； （Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数.（ⅰ）求证：当()()C ard X A C ard X B ∆+∆取得最小值时， 2X Î； （ⅱ）求()()C ard X A C ard X B ∆+∆的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学（文科）参考答案及评分标准 2012．04一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9、(1,1)- 10、4511、22(4)(4)25x y -+-=12、3，2； 13、(10,20) ； 14、1 ， ①②③三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()sin sin()3f x x x π=+-1sin sin 22x x x =+- (2)分3sin 22x x =-1cos 22x x ÷÷=-÷÷ )6x π=-.…………………4分由22,262k x k k πππππ-<-<+ Z ， 得：222,33k x k k ππππ-<<+Z . 所以 ()f x 的单调递增区间为2(2,2)33k k ππππ-+，k ÎZ . ………………………6分（Ⅱ）因为()2f A =，所以)62A π-=.所以1s i n ()62A π-=. ………………7分因为 0A π<<，所以 5666A πππ-<-<. 所以3A π=. ……………………………………9分 因为sin sin a bAB =，a =，所以 1sin 2B =. ………………………11分因为 a b >，3A π=，所以 6B π=.所以 2C π= .所以 ABC ∆为直角三角形. ………………………………………13分 16、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由直方图可得200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以0.0125x =. …………………6分（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003220=0.12创.…………9分因为 6000.1272⨯=.所以 600名新生中有72名学生可以申请住宿. …………13分17、（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为点,F M 分别是11,C D C B 的中点，所以//FM BD ． ……………2分又FM ⊂平面EM F ，BD ⊄平面EM F ,所以//BD 平面EM F ．……………4分（Ⅱ）在菱形ABCD 中，设O 为,AC BD 的交点, 则AC BD ⊥．………………………5分所以 在三棱锥1C ABD -中，1,C O BD AO BD ⊥⊥.又 1,C O AO O =所以 B D ⊥平面1AO C ． ………7分又1AC ⊂平面1AO C ，所以 B D ⊥O M FEABC 1D1AC ． ………………………………………9分（Ⅲ）连结1,D E C E ．在菱形ABCD 中，,60DA AB BAD =∠= ， 所以 A B D ∆是等边三角形.所以 D A D B =． ………………10分 因为 E 为A B 中点，所以 D E A B ⊥． 又 EF AB ⊥，EF D E E = ．所以 A B ⊥平面D EF ，即A B ⊥平面1D EC ．………12分 又 1C E ⊂平面1D EC ，所以 A B ⊥1C E ．因为,4AE EB AB ==，1BC AB=，所以114AC BC ==． …………………14分18、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞. 2'()a x af x x xx-+=-= (2)分当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞.……………3分当0a >时，令'()0f x =得x =x =.函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：所以 ()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. ……………6分综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：M FEABC 1D当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.……7分当0a >时，① 1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.………10分② 1>，即1a >时，()f x 在上单调递增，所以 (1)f f >.又 (1)0f =，所以 0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾. ………………………12分综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0-∞ .………………………13 19、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 (2,0)A 是椭圆C 的右顶点，所以 2a =. 又2c a =，所以 c =.所以 222431b ac =-=-=. 所以 椭圆C 的方程为2214xy +=. ……………3分（Ⅱ）当直线A P 的斜率为0时，||4AP =，D E 为椭圆C 的短轴，则||2D E =.所以 ||1||2D E AP =. ………………………………………5分当直线A P 的斜率不为0时，设直线A P 的方程为(2)y k x =-，00(,)P x y ， 则直线DE 的方程为1y x k=-. ………………………………………6分由22(2),14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得224[(2)]40x k x +--=. 即2222(14)161640k x k x k +-+-=.所以 202162.41kx k +=+所以 20282.41k x k =+- (8)分所以||AP ==即||41A P k =+.类似可求||D E =. 所以2||||41D E AP k ==+………………11分设t =则224k t =-，2t >.22||4(4)1415(2).||D E t t t A P tt-+-==>令2415()(2)t g t t t-=>，则22415'()0t g t t+=>.所以 ()g t 是一个增函数.所以2||41544151||22D E t A P t-⨯-=>=.综上，||||D E A P 的取值范围是1[,)2+ . (13)分20、（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.…………………3分 （Ⅱ）设当()()C ard X A C ard X B ∆+∆取到最小值时，X W =. （ⅰ）证明：假设2W Ï，令{2}Y W = .那么 ()()C ard Y A C ard Y B ∆+∆()1()1C ard W A C ard W B =∆-+∆-()()C ard W A C ard W B <∆+∆.这与题设矛盾.所以 2W Î，即当()()C a r d X AC a r d X B ∆+∆取到最小值时，2X Î. …………7分（ⅱ）同（ⅰ）可得：4W Î且8W Î.若存在a X Î且a A B Ï ，则令{}X Z a =ð. 那么()()C ard Z A C ard Z B ∆+∆()1()1C ard X A C ard X B =∆-+∆-()()C ard X A C ard X B <∆+∆.所以 集合W 中的元素只能来自A B .若a A B Î 且a A B Ï ，同上分析可知：集合X 中是否包含元素a ，()()C ard X A C ard X B ∆+∆的值不变.综上可知，当W 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()C ard X A C ard X B ∆+∆取到最小值4. ………………………………………14分2012年北京丰台区高考模试题（数学文）-B 版第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （题1）1．设集合{|1}P x x =>，{|(1)0}Q x x x =->，下列结论正确的是（ ） A ．P Q = B ．P Q R = C ．P Q Ü D ．Q P Ü 【解析】 C ；(1,)P =+∞，(,0)(1,)Q =-∞+∞ ． （题2）2．下面四个点中，在平面区域4y x y x<+⎧⎨>-⎩内的点是（ ）A ．(0,0)B ．(0,2)C ．(3,2)-D ．(2,0)- 【解析】 B ；直接将坐标代入即得． （题3）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（ ）A ．10B ．12C ．15D ．30 【解析】 C ；24362a a a +==，于是33a =，53515S a ==．（题4） 4．若0mn<<，则下列结论正确的是（ ）A ．22mn>B ．1122mn⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．22log log mn> D ．1122log log m n >【解析】 D ；由指数函数与对数函数的单调性知D 正确． （题5）5．甲乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s <>【解析】 B ；1215x x ==，222222221211(6116)(7227)66s s =+++<=+++．甲乙012965541835572（题6）6．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） A ．1321B ．2113C ．813D ．138【解析】 D ；1,1,220x y z ===<；1,2,320x y z ===<； ，8,13,2120x y z ===>，故输出138．（题7）7．已知双曲线2213yx -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅最小值为（ ） A ．2- B ．8116- C ．1 D ．0【解析】 A ；12(1,0),(2,0)A F -，设(,P x yx≥，2212(1,)(2,)2PA PF x y x y x x y⋅=--⋅-=--+，又2213yx -=，故223(1)y x =-，于是2212114545816PA PF x x x ⎛⎫⋅=--=---⎪⎝⎭ ，当1x =时，取到最小值2-．（题8）8．如图，平面α⊥平面β，αβ =直线l ，,A C 是α内不同的两点，,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l ，,M N 分别是线段,AB CD 的中点．下列判断正确的是（ ） A ．当||2||CD AB =时，,M N 两点不可能重合B ．当||2||CD AB =时，线段,AB CD 在平面α上正投影的长度不可能相等C ．,M N 两点可能重合，但此时直线A C 与l 不可能相交D ．当AB 与C D 相交，直线A C 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交 【解析】 C ；若,M N 两点重合，由,AM M B CM M D ==知AC BD ∥，从而A C ∥平面β，故有A C l ∥，故C 正确．第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （题9）9．i 是虚数单位，1i 1i+=+ ．【解析】 11i22+；11i 1i i i 1i22-++=+=+．（题10） 10．在边长为1的正方形A B C D 内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为 ． 【解析】 π4；当P 点在阴影内部时，满足到点A 的距离小于1，概率满足几何概型，故所求的概率为面积比21ππ144⋅=．（题11）11．已知||2a =，||3b = ，,a b 的夹角为60°，则|2|a b -=．【解析】；222(2)44cos 6013a b aa b b-=-⋅︒+= ．（题12） 12．已知2,0()12lg ,0x x x f x x x ⎧-=⎨+>⎩≤，若()2f x =，则x=．【解析】 1-当0x ≤时，由22x x -=得，1x =-（正值舍）；当0x >时，12lg 2x +=，解得x =（题13）13．在A B C ∆中，C 为钝角，32A B B C=，1sin 3A =，则角C=，sin B=．【解析】 150°6由正弦定理知sin 31sin sin 22AB C C BCA==⇒=，又C 为钝角，故150C=︒；11sin sin()sin cos cos sin 32326B A C A C A C ⎛=+=+=⨯-+= ⎝⎭．（题14）14．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数． 现给出下列命题： ①函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的1高调函数；②函数()sin 2f x x =为R 上的π高调函数；③如果定义域为[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是[2,)+∞；其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）【解析】 ②③；①中()f x 为减函数，故不可能是1高调函数；②中，(π)()f x f x +=，故②正确；2()(1)f x x x =-≥的图象如下图所示，要使得(1)(1)1f m f -+-=≥，有2m ≥；1x -≥时，恒有(2)()f x f x +≥，故2m ≥即可，③正确．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（题15） 15．（本小题满分12分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．⑴若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率； ⑵若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率． 【解析】 ⑴设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)．其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)，所以1()2P A =．⑵设B 表示事件“至少一次抽到3”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B 包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)，共7个基本结果．所以所求事件的概率为7()16P B =．（题16） 16．（本小题满分12分） 已知α为锐角，且πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．⑴求tan α的值； ⑵求sin 2cos sin cos 2αααα-的值．【解析】 ⑴π1tan tan 41tan ααα+⎛⎫+=⎪-⎝⎭，所以1tan 2,1tan 22tan 1tan αααα+=+=--，所以1tan 3α=．⑵2sin 2cos sin 2sin cos sin cos 2cos 2αααααααα--=2sin (2cos 1)sin cos 2sin cos 2cos 2ααααααα-===，因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=，所以21sin 10α=，又α为锐角，所以sin 10α=，所以sin 2cos sin cos 210αααα-=．（题17）17．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P A B C -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为侧棱P C 上一点， 它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示． ⑴证明：AD ⊥平面PBC ； ⑵求三棱锥D ABC -的体积；⑶在A C B ∠的平分线上确定一点Q ，使得PQ ∥平面ABD ，并求此时PQ 的长．【解析】 ⑴因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AC BC ⊥，所以B C ⊥平面PAC ，所以BC AD ⊥．由三视图可得，在P A C ∆中，4PA AC ==，D 为P C 中点，所以AD PC⊥，所以AD ⊥平面PBC ， ⑵由三视图可得4B C =，由⑴知90AD C ∠=︒，B C ⊥平面PAC ，又三棱锥D ABC -的体积即为三棱锥B AD C -的体积，所以，所求三棱锥的体积111164443223V =⨯⨯⨯⨯⨯=．⑶取AB 的中点O ，连接C O 并延长至Q ，使得2CQ CO =，点Q 即为所求．因为O 为C Q 中点，所以PQ OD ∥，因为PQ ⊄平面ABD ，O D ⊂平面ABD ，所以PQ ∥平面ABD ， 连接A Q ，BQ ，四边形AC BQ 的对角线互相平分，所以AC BQ 为平行四边形，所以4AQ =，又PA ⊥平面ABC ， 所以在直角PAD ∆中，PQ ==（题18） 18．（本小题满分14分） 椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>2，且过(2,0)点．⑴求椭圆C 的方程；⑵设直线l ：y x m =+与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，若O A B ∆直角三角形，求m 的值． 【解析】 ⑴已知2412c a a==，所以2,a c ==222a b c =+，所以1b =，所以椭圆C 的方程为2214xy +=．侧（左）视图正（主）视图PDCBAOQABC DP⑵联立2214x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2258440x mx m ++-=，2226480(1)1680m m m ∆=--=-+，令0∆>，即216800m -+>，解得m <<设A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，i ）当A O B ∠为直角时，则21212844,55m x x m x x -+=-=，因为A O B ∠为直角，所以0O A O B⋅=，即12120x x y y +=，所以212122()0x x m x x m +++=， 所以222888055m m m --+=，解得m =±；ii ）当O A B ∠或O B A ∠为直角时，不妨设O A B ∠为直角，由直线l 的斜率为1，可得直线O A 的斜率为1-， 所以111y x =-，即11y x =-，又2214xy +=，所以211514x x =⇒=±1112m y x x =-=-=±，依题意m <<0m≠，经检验，所求m 值均符合题意，综上，m的值为±±（题19） 19．（本小题满分14分）设数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 满足121(1)2nn nb na n a a a -=+-+++ ，n *∈N ，已知1b m=，232m b =，其中0m ≠．⑴求数列{}n a 的首项和公比； ⑵当1m=时，求nb ；⑶设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有[1,3]n S ∈，求实数m的取值范围．【解析】 ⑴由已知11b a =，所以1a m=；2122b a a =+，所以12322a a m+=，解得22m a =-；所以数列{}n a 的公比12q =-；⑵当1m =时，112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，121(1)2n n nb na n a a a -=+-+++ ，………………………①，2311(1)22n n n b na n a a a +-=+-+++ ，……………………②，②－①得23132n n n b n a a a a +-=-+++++ ，所以111223111123212nnn b n n ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦-=-+=----⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，1222162(2)39929nnn n n b -++-⎛⎫=+--=⎪⎝⎭．⑶1[1]212113212nnn m m S ⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==⋅--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，因为1102n⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以由[1,3]n S ∈得1233111122nnm ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，注意到，当n为奇数时，1311,22n⎛⎫⎛⎤--∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦；当n 为偶数时，131,124n⎛⎫⎡⎫--∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，所以112n⎛⎫-- ⎪⎝⎭最大值为32，最小值为34．对于任意的正整数n 都有1233111122nnm ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，所以42233m ≤≤，解得23m ≤≤，即所求实数m 的取值范围是{|23}m m ≤≤．（题20） 20．（本小题满分14分）已知函数2()()e x f x x mx m =-+，其中m ∈R ．⑴若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；⑵当0m <时，求函数()f x 的单调区间，并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．【解析】 ⑴设()f x 有零点，即函数2()g x x mx m =-+有零点，所以240m m -≥，解得4m ≥或0m ≤；⑵2()(2)e ()e (2)e x x x f x x m x m x m x x m '=-⋅+-+⋅=-+， 令()0f x '=得0x=或2xm =-，因为0m <，所以20m -<，当(,2)x m ∈-∞-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当(2,0)x m ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增． 此时，()f x 存在最小值．()f x 的极小值为(0)0f m =<．根据()f x 的单调性，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，解()f x =0，得()f x 的零点为12x =22x =，结合2()()e x f x x mx m =-+⋅可得在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >．因为0m<，所以120x x <<，并且1(2)222x m m --=-+=4|2|4(2)10222m m m m -+---+-->===>，即12x m >-，综上，在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，0m <，所以，当0m <时()f x 存在最小值，最小值为m ．。

2012年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且b +(a −2)i =1+i ，则a +b 的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 42. 若集合A ={0, m 2}，B ={1, 2}，则“m =1”是“A ∪B ={0, 1, 2}”的( )A 充要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件 3. 设实数x ，y 满足不等式组{y +x ≤1y −x ≤2y ≥0，则z =x −2y 的最小值是（ ）A −72B −2C 1D 524. 如图给出的是计算12+14+16+18+⋯+1100的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A i <50B i >50C i <25D i >255. 某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ） A 16 B 18 C 24 D 326. 已知x ，y ，z ∈R ，若−1，x ，y ，z ，−3成等比数列，则xyz 的值为（ ）A −3B ±3C −3√3D ±3√37. 在直角梯形ABCD 中，已知BC // AD ，AB ⊥AD ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝4，若P 为CD 的中点，则PA →⋅PB →的值为（ ） A −5 B −4 C 4 D 58. 已知函数f(x)={2−x −1(x ≤0)f(x −1)(x >0) ，若方程f(x)＝x +a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A (−∞, 1]B (0, 1)C [0, +∞)D (−∞, 1)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 命题“∃x ∈(0, π2)，tanx >sinx”的否定是________．10. 在极坐标系中，圆ρ=2的圆心到直线ρcosθ+ρsinθ=2的距离为________．11. 在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是________；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是________组．12. 如图，AB 是⊙O 的直径，直线DE 切⊙O 于点D ，且与AB 延长线交于点C ，若CD =√3，CB =1，则∠ADE =________．13. 抛物线y 2=x 的准线方程为________；经过此抛物线的焦点和点M(1, 1)，且与准线相切的圆共有________个．14. 如图，在边长为3的正方形ABCD 中，点M 在AD 上，正方形ABCD 以AD 为轴逆时针旋转θ角(0≤θ≤π3)到AB 1C 1D 的位置，同时点M 沿着AD 从点A 运动到点D ，MN 1→=DC 1→，点Q 在MN 1上，在运动过程中点Q 始终满足|QM →|=1cosθ，记点Q 在面ABCD 上的射影为Q 0，则在运动过程中向量BQ 0→与BM →夹角α的正切的最大值为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 已知函数f(x)=(sin2x +cos2x)2−2sin 22x ． （1）求f(x)的最小正周期；（2）若函数y =g(x)的图象是由y =f(x)的图象向右平移π8个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x ∈[0, π4]时，求y =g(x)的最大值和最小值．16. 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．17. 在正△ABC 中，E ，F ，P 分别是AB ，AC ，BC 边上的点，满足AEEB =CFFA =CPPB =12，将△AEF 沿EF 折起到△A 1EF 的位置，使二面角A 1−EF −B 成直二面角，连接A 1B ，A 1P ．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小．18. 已知函数f(x)=12x2+2ex−3e2lnx−b在(x0, 0)处的切线斜率为零．（1）求x0和b的值；（2）求证：在定义域内f(x)≥0恒成立；（3）若函数F(x)=f′(x)+ax有最小值m，且m>2e，求实数a的取值范围．19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是12，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的端点，△A1BA2的面积为2√3．（1）求椭圆C的方程；（2）F2为椭圆C的右焦点，若点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=4分别交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆与直线PF2相切于点F2．20. 若对于正整数k，g(k)表示k的最大奇数因数，例如g(3)=3，g(10)=5．设S n=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+⋯+g(2n)．（1）求g(6)，g(20)的值；（2）求S1，S2，S3的值；（3）求数列{S n}的通项公式．2012年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）答案1. D2. B3. A4. B5. C6. C7. D8. D9. ∀x∈(0,π2)，tanx≤sinx10. √211. 84,乙12. 60∘13. x=−14,214. √61215. 解：（1）因为f(x)=(sin2x +cos2x)2−2sin 22x =sin4x +cos4x =√2sin(4x +π4)，… 所以函数f(x)的最小正周期为π2．…（2）依题意，y =g(x)=√2sin[4(x −π8)+π4]+1=√2sin(4x −π4)+1．…因为0≤x ≤π4，所以−π4≤4x −π4≤3π4．…当4x −π4=π2，即x =3π16时，g(x)取最大值√2+1；当4x −π4=−π4，即x =0时，g(x)取最小值0．…16. 生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192．17. 解：不妨设正三角形的边长为3．（1）在图1中，取BE 的中点D ，连接DF ． ∵ AEEB =CFFA =CPPB =12，AF =AD =2，又∠A =60∘，△ADF 为正三角形．又∵ AE =ED =1， ∴ EF ⊥AD ，∴ 在图2中有A 1E ⊥EF ，BE ⊥EF ．∴ ∠A 1EB 为二面角A 1−EF −B 的平面角． ∵ 二面角A 1−EF −B 为直二面角， ∴ A 1E ⊥BE又∵ BE ∩EF =E ，∴ 即A 1E ⊥平面BEF ，即A 1E ⊥平面BEP（2）由（1）可知，A 1E ⊥平面BEP ，BE ⊥EF ，建立坐标系则E(0, 0, 0)，A 1(0, 0, 1)，B(2, 0, 0)，F(0, √3, 0)，D(1, 0, 0)，不难得出EF // DP 且EF =DP ，DE // EP 且DE =FP ． 故P 点的坐标为(1, √3, 0)，∴ A 1B →=(2,0,−1)，BP →=(−1,√3,0)，EA 1→=(0,0,1) 设平面A 1BP 的法向量n 1→=(x, y, z)， 则{BP →⋅n 1→=√3y −x =0˙∴ n 1→=(3,√3,6)． ∴ sin <n 1→，EA 1→>=|n 1→|⋅|EA 1→|˙=√32． ∴ A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小为π3．18. （1）解：求导函数可得f′(x)=x +2e −3e 2x．…由题意有f ′(x 0)=0，即x 0+2e −3e 2x 0=0，解得x 0=e 或x 0=−3e （舍去）．…∴ f(e)=0即12e 2+2e 2−3e 2lne −b =0，解得b =−12e 2． … （2）证明：由（1）知f(x)=12x 2+2ex −3e 2lnx +e 22(x >0)，f ′(x)=x +2e −3e 2x=(x−e)(x+3e)x(x >0)．在区间(0, e)上，有f ′(x)<0；在区间(e, +∞)上，有f ′(x)>0．故f(x)在(0, e)单调递减，在(e, +∞)单调递增，于是函数f(x)在(0, +∞)上的最小值是f(e)=0． … 故当x >0时，有f(x)≥0恒成立． … （3）解：F(x)=f′(x)+ax =x +a−3e 2x+2e(x >0)．当a >3e 2时，则F(x)=x +a−3e 2x +2e ≥2√a −3e 2+2e ，当且仅当x =√a −3e 2时等号成立，故F(x)的最小值m =2√a −3e 2+2e >2e ，符合题意； …当a =3e 2时，函数F(x)=x +2e 在区间(0, +∞)上是增函数，不存在最小值，不合题意； 当a <3e 2时，函数F(x)=x +a−3e 2x+2e 在区间(0, +∞)上是增函数，不存在最小值，不合题意．综上，实数a 的取值范围是(3e 2, +∞)． …19. （1）解：由已知，可得{c a=12ab =2√3a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =√3． …故所求椭圆方程为x 24+y 23=1． …（2）证明：由（1）知A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)，F 2(1, 0)．设P(x 0，y 0)(x 0≠±2)，则3x 02+4y 02=12．于是直线A 1P 方程为 y =y 0x 0+2(x +2)，令x =4，得y M =6y 0x0+2；所以M(4, 6y 0x 0+2)，同理N(4, 2y 0x 0−2)． …所以F 2M →=(3, 6y 0x+2)，F 2N →=(3, 2y 0x 0−2)．所以F 2M →⋅F 2N →=(3, 6y 0x+2)•(3, 2y 0x−2)=9+6y 0x 0+2×2y 0x 0−2=9+12y 02x 02−4=9+3(12−3x 02)x 02−4=9−9(x 02−4)x 02−4=9−9=0．所以F 2M ⊥F 2N ，点F 2在以MN 为直径的圆上． … 设MN 的中点为E ，则E(4, 4y 0(x 0−1)x 02−4)． …又F 2E →=(3, 4y 0(x 0−1)x 02−4)，F 2P →=(x 0−1,y 0)，所以F 2E →⋅F 2P →=(3, 4y 0(x 0−1)x 02−4)⋅(x 0−1，y 0)=3(x 0−1)+4y 02(x 0−1)x 02−4=3(x 0−1)+(12−3x 02)(x 0−1)x 02−4=3(x 0−1)−3(x 0−1)=0．所以F 2E ⊥F 2P ． …因为F 2E 是以MN 为直径的圆的半径，E 为圆心，F 2E ⊥F 2P ， 故以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于右焦点． … 20. 解：（1）∵ g(k)表示k 的最大奇数因数，∴ g(6)=3，g(20)=5． …（2）S 1=g(1)+g(2)=1+1=2；S 2=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=1+1+3+1=6； S 3=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)+g(7)+g(8)=1+1+3+1+5+3+7+1=22．…（3）由(1)(II)不难发现对m ∈N ∗，有g(2m)=g(m)． …所以当n ≥2时，S n =g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+⋯+g(2n −1)+g(2n ) =[g(1)+g(3)+g(5)+...+g(2n −1)]+[g(2)+g(4)+...+g(2n )] =[1+3+5+...+(2n −1)]+[g(2×1)+g(2×2)+...+g(2×2n−1)] =(1+2n −1)×2n−12+[g(1)+g(2)+⋯+g(2n−1)]=4n−1+S n−1…于是S n −S n−1=4n−1，n ≥2，n ∈N ∗．所以S n =(S n −S n−1)+(S n−1−S n−2)+...+(S 2−S 1)+S 1=4n−1+4n−2+...+42+4+2 =4(1−4n−1)1−4+2=4n 3+23，n ≥2，n ∈N ∗． …又S 1=2，满足上式，所以对n ∈N ∗，S n =13(4n +2)． …。

2012年浙江省湖州市德清县自主招生考试数学模拟试卷（一）2012年浙江省湖州市德清县自主招生考试数学模拟试卷（一）一、选择题（每题5分，共10小题，满分50分）1．（5分）居里夫人发现了镭这种放射性元素．1千克镭完全衰变后，放出的热量相当于375 000千克煤燃烧所放出的热量．估计地壳内含有100亿千克镭，这些镭完全衰变后所放出的热量相当（）千克煤燃烧所放出的热量（用科学记数法表示）A．3.75×1013B．3.75×1014C．3.75×1015D．3.75×10162．（5分）设a，b，c，d都是非零实数，则四个数：﹣ab，ac，bd，cd（）A．都是正数B．都是负数C．是两正两负D．是一正三负或一负三正3．（5分）（2003•海淀区）如图，把△ABC纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）4．（5分）（2004•北京）如图，点A、D、G、M在半⊙O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形．设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a=b=c5．（5分）某商场出售甲、乙、丙三种型号的电动车，已知甲型车在第一季度的销售额占这三种车总销售额的56%，第二季度乙、丙两种型号的车的销售额比第一季度减少了a%，但该商场电动车的总销售额比第一季度增加了12%，且甲型车的销售额比第一季度增加了23%．则a的值为（）A．8B．6C．3D．26．（5分）（2005•淮安）一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（）A．20分钟B．22分钟C．24分钟D．26分钟7．（5分）在平面直角坐标系中有两点A（﹣1，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．（5分）如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞0＞k2）在第一象限内的图象是C1，第二、四象限内的图象是C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点M，交C2于点C，PA⊥y轴于点N，交C2于点A，AB∥PC，CB∥AP 相交于点B，则四边形ODBE的面积为（）A．|k 1﹣k2| B．C．|k1•k2| D．9．（5分）如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC=CD=2AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，则tan∠AEB 的值等于（）A．3B．2C．D．10．（5分）（2009•杭州）两个不相等的正数满足a+b=2，ab=t﹣1，设S=（a﹣b）2，则S关于t的函数图象是（）A．射线（不含端点）B．线段（不含端点）C．直线D．抛物线的一部分二、填空题（每题5分，共6小题，满分30分）11．（5分）已知Rt△ABC的一边长为10，另两边长恰好是关于x的方程x2﹣14x+4k﹣4=0的两个根，则整数k的值为_________．12．（5分）小莉与小明一起用A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y，来确定点P（x，y），那么他们各掷一次所确定的点P（x，y）落在已知抛物线y=﹣x2+3x上的概率为_________．13．（5分）若关于x的方程=3的解是非负数，则b的取值范围是_________．14．（5分）若反比例函数的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（﹣2，m）、B（5，n），则3a+b的值等于_________．15．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，点A，C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为_________．16．（5分）当n=1，2，…，2008时，所有二次函数y=n（n+1）x2﹣（2n+1）x+1图象在x轴上所截得线段的长度之和为_________．三、解答题（17～18每题7分，19～20每题8分，21题10分，满分40分）17．（7分）现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′．求线段B′C的长．18．（7分）如图是某单位职工的年龄（取整数）的频数分布直方图，已知图中从左到右五个小组的频数之比为8：14：9：x：5，且第三小组的频数为45，频率为0.225．回答下列问题：（1）该单位职工总人数是多少？（2）年龄在43.5～49.5段的职工人数占职工总人数的百分比是多少？（3）该单位职工年龄的中位数落在五个小组中的哪个小组内？请说明理由．19．（8分）团体购买某“素质拓展训练营”的门票，票价如表（a为正整数）：团体购票人数1～50 51～100 100以上每人门票价a元（a﹣3）元（a﹣6）元（1）某中学高一（1）、高一（2）班同学准备参加“素质拓展训练营”活动，其中高一（1）班人数不超过50，高一（2）的人数超过50但不超过80．当a=48时，若两班分别购票，两班总计应付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元．问这两个班级各有多少人？（2）某校学生会现有资金4429元用于购票，打算组织本校初三年级团员参加该项活动．为了让更多的人能参加活动，学生会统一组织购票，购票资金恰好全部用完，且参加人数超过了100人，问共有多少人参加了这一活动并求出此时a的值．20．（8分）如图，BC是半圆⊙O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E．（1）求证：AC•BC=2BD•CD，（2）若AE=3，CD=2，求弦AB和直径BC的长．21．（10分）（2008•宁德）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，点D在AC上，CD=3厘米．点P、Q 分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q 沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），△DCQ的面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米．（1）求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象；（2）如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长；（3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点0＜OG＜6，过G作EF垂直于x轴，分别交y1、y2的图象于点E、F．①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；②当0＜x＜6时，求线段EF长的最大值．2012年浙江省湖州市德清县自主招生考试数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共10小题，满分50分）1．（5分）居里夫人发现了镭这种放射性元素．1千克镭完全衰变后，放出的热量相当于375 000千克煤燃烧所放出的热量．估计地壳内含有100亿千克镭，这些镭完全衰变后所放出的热量相当（）千克煤燃烧所放出的热量（用科学记数法表示）A．3.75×1013B．3.75×1014C．3.75×1015D．3.75×1016考点：科学记数法—表示较大的数．专题：应用题．分析：在实际生活中，许多比较大的数，我们习惯上都用科学记数法表示，使书写、计算简便．将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数．而且a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点．解答：解：根据题意375 000×10 000 000 000=3.75×1015千克．故选C．点评：把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，n的值是易错点，这种记数的方法叫做科学记数法．[规律]（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．2．（5分）设a，b，c，d都是非零实数，则四个数：﹣ab，ac，bd，cd（）A．都是正数B．都是负数C．是两正两负D．是一正三负或一负三正考点：不等式的性质．专题：计算题．分析：首先判断出四个数中可能出现的符号关系，然后结合有理数的乘法法则判断积的符号．解答：解：∵a，b，c，d都是非零实数，∴a，b，c，d中一定是有2个符号相同或3个符号相同或4个符号相同，再根据同号得正，异号得负，可以判断：﹣ab，ac，bd，cd一定是一正三负或一负三正．故本题选D．点评：本题难点是判断a，b，c，d的符号关系，确定了符号后问题就较容易解决了．3．（5分）（2003•海淀区）如图，把△ABC纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）考点：翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理；三角形的外角性质．专题：探究型．分析：利用三角形内角和的定理求．解答：解：∵把△ABC纸片沿着DE折叠，点A落在四边形BCED内部，∴∠1+∠2=180°﹣∠ADA′+180°﹣∠AEA′=180°﹣2∠ADE+180°﹣2∠AED=360°﹣2（∠ADE+∠AED）=360°﹣2（180°﹣∠A）=2∠A．故选B．点评：主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．4．（5分）（2004•北京）如图，点A、D、G、M在半⊙O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形．设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a=b=c考点：矩形的性质；垂径定理．分析：本题主要根据矩形的性质以及垂径定理进行做题．解答：解：连接OM、OD、OA、根据矩形的对角线相等，得BC=OA，EF=OD，NH=OM．再根据同圆的半径相等，得a=b=c．故选D．点评：此题主要能够根据矩形的对角线相等把线段进行转换，根据同圆的半径相等即可证明．5．（5分）某商场出售甲、乙、丙三种型号的电动车，已知甲型车在第一季度的销售额占这三种车总销售额的56%，第二季度乙、丙两种型号的车的销售额比第一季度减少了a%，但该商场电动车的总销售额比第一季度增加了12%，且甲型车的销售额比第一季度增加了23%．则a的值为（）A．8B．6C．3D．2考点：一元一次方程的应用．专题：应用题；增长率问题．分析：把第一季度的销售额看作单位1，根据题意可得关于a的方程式，求解可得答案．解答：解：把第一季度的销售额看作单位1；则有56%×（1+23%）+（1﹣56%）•（1﹣a%）=1+12%，解可得：a=2；故选D．点评：这里注意要把第一季度的销售额看作整体1．根据两种不同的表示方法表示第二季度的销售额列方程求解．6．（5分）（2005•淮安）一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（）A．20分钟B．22分钟C．24分钟D．26分钟考点：函数的图象．专题：分段函数．分析：先求出他改乘出租车赶往考场的速度和到考场的时间，再求出步行到达考场的时间，进而即可求出答案．解答：解：他改乘出租车赶往考场的速度是÷2=，所以到考场的时间是10+÷=16分钟，∵10分钟走了总路程的，∴步行的速度=÷10=，∴步行到达考场的时间是1÷=40，则他到达考场所花的时间比一直步行提前了40﹣16=24分钟．故选C．点评：本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．7．（5分）在平面直角坐标系中有两点A（﹣1，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有（）A．3个B．4个C．5个D．6个考点：勾股定理；坐标与图形性质．专题：数形结合．分析：因为A，B的纵坐标相等，所以AB∥x轴．因为C是坐标轴上的一点，所以过点A向x轴引垂线，过点B 向x轴引垂线，分别可得一点，根据直径所对的圆周角为直角，以AB为直径做圆，根据A和B的坐标求出AB的长度，即为圆的直径，可得出半径的长，进而判断得出圆与x轴相切，可得出圆与坐标轴交于3点．所以满足条件的点共有5个．解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：分三种情况考虑：当A为直角顶点时，过A作AC⊥x轴，连接BC，此时满足题意的点为C1；当B为直角顶点时，过B作BC⊥x轴，连接AC，此时满足题意的点为C2；当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，由A（﹣1，2），B（3，2），得到AB=4，可得此圆与x轴相切，∴此圆与坐标轴有三个交点，分别为C3，C4，C5，如图所示，根据直径所对的圆周角为直角可得此3点满足题意，综上，所有满足题意的C有5个．故选C．点评：此题考查了圆周角定理，勾股定理，以及坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，学生做题时注意要全面，不要遗漏解的个数．8．（5分）如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞0＞k2）在第一象限内的图象是C1，第二、四象限内的图象是C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点M，交C2于点C，PA⊥y轴于点N，交C2于点A，AB∥PC，CB∥AP 相交于点B，则四边形ODBE的面积为（）A．|k 1﹣k2| B．C．|k1•k2| D．考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：数形结合．分析：此题用面积的分割法根据等式：四边形ODBE的面积=S﹣S矩形PNOM﹣S矩形MCDP﹣S矩形AEON作答即矩形APCB可．解答：解：∵AB∥PC，CB∥AP，∠APC=90°，∴四边形APCB是矩形．设P（x，），则A（，），C（x，），∴S矩形APCB=AP•PC=（x﹣）（﹣）=，∴四边形ODBE的面积=S矩形APCB﹣S矩形PNOM﹣S矩形MCDP﹣S矩形AEON=﹣k1﹣|k2|﹣|k2|=．故选D．点评：本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想．9．（5分）如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC=CD=2AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，则tan∠AEB 的值等于（）A．3B．2C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN=CE．根据全等三角形及直角三角形的性质求出∠BNM两直角边的比，即可解答．解答：解：过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN=CE．则四边形MDCB为正方形，易得△MNB≌△CEB，∴BE=BN．∴∠NBE=90°．∵∠ABE=45°，∴∠ABE=∠ABN，∴△NAB≌△EAB．设EC=MN=x，AD=a，则AM=a，DE=2a﹣x，AE=AN=a+x，∵AD2+DE2=AE2，∴a2+（2a﹣x）2=（a+x）2，∴x=a．∴tan∠AEB=tan∠BNM==3．故选A．点评：本题考查的是锐角三角函数的定义，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用数形结合解答．10．（5分）（2009•杭州）两个不相等的正数满足a+b=2，ab=t﹣1，设S=（a﹣b）2，则S关于t的函数图象是（）A．射线（不含端点）B．线段（不含端点）C．直线D．抛物线的一部分考点：函数的图象．分析：要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．解答：解：首先根据题意，消去字母a和b，得到S和t的关系式．S=（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=22﹣4（t﹣1）=8﹣4t．然后根据题意，因为ab=t﹣1，所以t=ab+1，又因为ab＞0，故t＞1；①又因为S=（a﹣b）2＞0，所以8﹣4t＞0，所以t＜2．②由①②得1＜t＜2，故S关于t的函数图象是一条不含端点的线段．故选B．点评：本题考查了有自变量取值范围的函数的图象．二、填空题（每题5分，共6小题，满分30分）11．（5分）已知Rt△ABC的一边长为10，另两边长恰好是关于x的方程x2﹣14x+4k﹣4=0的两个根，则整数k的值为13．考点：根与系数的关系；勾股定理．专题：分类讨论．分析：根据勾股定理，以及一元二次方程中根与系数的关系即可解答．不过要分10是斜边和直角边两种情况进行讨论．解答：解：Rt△ABC的一边长为10，另两边长恰好是关于x的方程x2﹣14x+4k﹣4=0的两个根，设为α、β．（1）边长为10的边是斜边，有α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=142﹣2（4k﹣4）=100．求得k=13．（2）已知边为直角边，有α2﹣β2=（α+β）（α﹣β）=14（α﹣β）=14=14=100解得k=50﹣为分数．故舍去．点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解对方程的两边进行讨论是解决本题的关键．12．（5分）小莉与小明一起用A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y，来确定点P（x，y），那么他们各掷一次所确定的点P（x，y）落在已知抛物线y=﹣x2+3x上的概率为．考点：二次函数图象上点的坐标特征；概率公式．分析：因为掷骰子的概率一样，每次都有六种可能性，因此小莉和小明掷骰子各六次，P的取值有36中．可将x、y值一一代入找出满足抛物线的x、y，用满足条件的个数除以总的个数即可得出概率．解答：解：依题意得：P点有36种可能，满足抛物线的点有（1，2），（2，2）两种，因此满足条件的概率为：=．故本题答案为：．点评：本题综合考查函数图象上点的坐标特征与概率的确定．13．（5分）若关于x的方程=3的解是非负数，则b的取值范围是b≤3且b≠2．考点：分式方程的解．专题：计算题．分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求b的取值范围．解答：解：去分母得，2x﹣b=3x﹣3∴x=3﹣b∵x≥0∴3﹣b≥0解得，b≤3又∵x﹣1≠0∴x≠1即3﹣b≠1，b≠2则b的取值范围是b≤3且b≠2．点评：由于我们的目的是求b的取值范围，根据方程的解列出关于b的不等式，另外，解答本题时，易漏掉分母不等于0这个隐含的条件，这应引起足够重视．14．（5分）若反比例函数的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（﹣2，m）、B（5，n），则3a+b的值等于0．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题；方程思想．分析：本题直接把点的坐标代入解析式求得m，n，a，b之间的关系式，通过等量代换可得到3a+b的值．解答：解：分别把A（﹣2，m）、B（5，n），代入反比例函数的图象与一次函数y=ax+b得﹣2m=5n，﹣2a+b=m，5a+b=n，综合可知5（5a+b）=﹣2（﹣2a+b），25a+5b=4a﹣2b，21a+7b=0，即3a+b=0．故答案为：0．点评：主要考查了用待定系数法求函数的解析式．是一道基础题型，比较简单．15．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，点A，C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为+1．考点：勾股定理；坐标与图形性质；直角三角形斜边上的中线．专题：动点型．分析：点A，C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点O在到AD的中点的距离不变．本题可通过设出AC的中点坐标，根据B、D、O在一条直线上时，点B到原点O 的最大可得出答案．解答：解：设AC的中点是D，则OD=AC=1，根据勾股定理得BD=，当B、D、O在一条直线上时，点B到原点O的最大，最大距离是+1．点评：本题的难度较大，理解D到O的距离不变是解决本题的关键．16．（5分）当n=1，2，…，2008时，所有二次函数y=n（n+1）x2﹣（2n+1）x+1图象在x轴上所截得线段的长度之和为．考点：抛物线与x轴的交点．专题：规律型．分析：将二次函数因式分解，得到x轴横坐标，在求在x轴上所截得线段的长度表达式，把n值代入就可以求其和．解答：解：由y=n（n+1）x2﹣（2n+1）x+1=（nx﹣1）[（n+1）x﹣1]得到横坐标为：x1=，当n=1时则在x轴上所截得线段的长度s1=，⇒，当n=1，2，…，2008时有：s1+s2+s3+…+s2008==1﹣．点评：此题主要考查因式分解，求和的表达式．三、解答题（17～18每题7分，19～20每题8分，21题10分，满分40分）17．（7分）现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′．求线段B′C的长．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．专题：计算题．分析：连接BB′，通过折叠，可知∠EBB′=∠EB′B，由E是BC的中点，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，从而可证△BB′C为直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可将OB，BB′的长求出，在Rt△BB′C中，根据勾股定理可将B′C的值求出．解答：解：连接BB'交AE于点O，由折线法及点E是BC的中点，∴EB=EB′=EC，∴∠EBB′=∠EB′B，∠ECB′=∠EB′C；又∵△BB'C三内角之和为180°，∴∠BB'C=90°；∵点B′是点B关于直线AE的对称点，∴AE垂直平分BB′；在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO2=AB2﹣AO2=BE2﹣（AE﹣AO）2将AB=4，BE=3，AE==5代入，得AO=cm；∴BO===cm，∴BB′=2BO=cm，∴在Rt△BB'C中，B′C===cm．点评：本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的综合运用．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．18．（7分）如图是某单位职工的年龄（取整数）的频数分布直方图，已知图中从左到右五个小组的频数之比为8：14：9：x：5，且第三小组的频数为45，频率为0.225．回答下列问题：（1）该单位职工总人数是多少？（2）年龄在43.5～49.5段的职工人数占职工总人数的百分比是多少？（3）该单位职工年龄的中位数落在五个小组中的哪个小组内？请说明理由．考点：频数（率）分布直方图；中位数．专题：图表型．分析：（1）根据第三组的频率和频数可计算出总人数；（2）由总数、第三组的频数和各组的频数比即可求出各组的频数，这样就可计算出第四组所占得百分比；（3）根据中位数的概念计算中位数．解答：解：（1）该单位职工的总人数为=200人；（2）设图中从左到右五个小组的频数分别为8k，14k，9k，xk，5k，由9k=45得k=5，因此第一、二、五小组的频数分别为40，70，25，第四小组的频数为200﹣40﹣70﹣45﹣25=20，从而年龄在43.5～49.5段的职工人数的百分比为=22.5%；（3）由于单位职工数为200，所以中位数应是从小到大排列后，第100、101两个年龄的平均数，而第一、二组的频数和为110，因此中位数落在37.5～40.5这一小组内．点评：本题考查了利用代数和方程的方法解决统计的计算问题的能力．同时考查了频率、频数和中位数的概念．19．（8分）团体购买某“素质拓展训练营”的门票，票价如表（a为正整数）：团体购票人数1～50 51～100 100以上每人门票价a元（a﹣3）元（a﹣6）元（1）某中学高一（1）、高一（2）班同学准备参加“素质拓展训练营”活动，其中高一（1）班人数不超过50，高一（2）的人数超过50但不超过80．当a=48时，若两班分别购票，两班总计应付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元．问这两个班级各有多少人？（2）某校学生会现有资金4429元用于购票，打算组织本校初三年级团员参加该项活动．为了让更多的人能参加活动，学生会统一组织购票，购票资金恰好全部用完，且参加人数超过了100人，问共有多少人参加了这一活动并求出此时a的值．考点：二元一次方程组的应用．分析：（1）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即根据这两个等量关系可列出方程组，注意分情况进行讨论．（2）解法和（1）基本雷同，关键是找准等量关系．解答：解：（1）设高一（1）班x人，高一（2）班y人，48x+45y=4914①，1、假设x+y≤100，则有，45（x+y）=4452②，①②联立解得x=154，与题设不符，故不成立；2、假设x+y＞100，则有，42（x+y）=4452，解得x=48，y=58，符合题设故高一（1）班48人，高一（2）班58人；（2）设初三年级参加活动的团员有b人（b＞100），为了让更多的人能参加活动，应选择购买100人以上的团体票．则有b（a﹣6）=4429，因为a、b为正整数，则上式可变形为b（a﹣6）=4429=43×103，又因为b＞100，则，解得，答：参加活动的人数为103，a的值为49．点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：“两个班级的人数总和”和“两班分别购票，两班总计应付门票费4914元”，列出方程组，再求解．20．（8分）如图，BC是半圆⊙O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E．（1）求证：AC•BC=2BD•CD，（2）若AE=3，CD=2，求弦AB和直径BC的长．考点：圆周角定理；勾股定理；垂径定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）证明：连接OD交AC于点F．由于D是弧AC的中点，根据圆周角定理得到∠ACD=∠ABD=∠CBD，由垂径定理知，AF=CF=0.5AC．由直径对的圆周角是直角知∠BDC=∠CFD=90°，有△CDF∽△BCD．得到．故可证．（2）易得Rt△CDE∽Rt△CAG，有，即解得CE=5，在Rt△ACG中，由勾股定理得AG=4，由割线定理知，GA•GB=GD•GC，即4（AB+4）=2×4解得AB=6，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的值．解答：（1）证明：连接OD交AC于点F，∵D是弧AC的中点，∴∠ACD=∠ABD=∠CBD，且AF=CF=0.5AC．又∵BC为直径，∴∠BDC=90，又∠CFD=90．∴△CDF∽△BCD．∴，故CF•BC=BD•CD．∴AC•BC=2BD•CD；（2）解：由（1）得∠ABD=∠CBD，∠BDC=90°，∴△BCG为等腰三角形，∴BD平分CG，∴CG=2CD=4，在Rt△CDE和Rt△CAG中，由于∠ACD是公共角，所以Rt△CDE∽Rt△CAG，则，即，解得CE=5或CE=﹣8（舍去）．在Rt△ACG中，由勾股定理得，因为GA•GB=GD•GC，即4（AB+4）=2×4，解得AB=6．在Rt△ABC中，由勾股定理得．点评：本题利用了直径对的圆周角是直角，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，割线定理求解．21．（10分）（2008•宁德）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，点D在AC上，CD=3厘米．点P、Q 分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q 沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），△DCQ的面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米．（1）求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象；（2）如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长；（3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点0＜OG＜6，过G作EF垂直于x轴，分别交y1、y2的图象于点E、F．①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；②当0＜x＜6时，求线段EF长的最大值．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）已知了CD=3，根据Q点的速度可以用时间x表示出CQ的长，可根据三角形的面积计算公式得出y1，x的函数关系式；（2）可先求出y2的函数式，然后根据其顶点坐标来确定k的取值．已知了P点走完AC用时8s，因此AC=8k，而AP=kx，CQ=x，那么可根据三角形的面积公式列出关于y2，x的函数关系式，进而可根据顶点坐标求出k的值；（3）EF其实就是y2﹣y1，也就是三角形PCQ和CDQ的面积差即三角形PDQ的面积．得出EF的函数关系式后，根据自变量的取值以及函数的性质即可求出EF的最大值．解答：解：（1）∵S△DCQ=•CQ•CD，CD=3，CQ=x，∴y1=x（0＜x＜8）．图象如图所示；（2）S△PCQ=•CQ•CP，CP=8k﹣xk，CQ=x，∴y2=×（8k﹣kx）•x=﹣kx2+4kx．∵抛物线顶点坐标是（4，12），∴﹣k•42+4k•4=12．解得k=．则点P的速度每秒厘米，AC=12厘米；（3）①观察图象，知线段的长EF=y2﹣y1，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ面积）．②由（2）得y2=﹣x2+6x．∴EF=﹣x2+6x﹣x=﹣x2+x=﹣（x2﹣6x+9）+=﹣（x﹣3）2+，∵二次项系数小于0，∴在0＜x＜6范围，当x=3时，EF=最大．点评：本题是一道涉及二次函数、一次函数、三角形的有关知识且包含动点问题的综合题．参与本试卷答题和审题的老师有：wdxwwzy；MMCH；feng；刘超；王岑；zhehe；算术；lanyan；zhxl；蓝月梦；zhjh；智波；kuaile；fuaisu；ljj；zzz；心若在；sks；自由人；hbxglhl；hnaylzhyk；leikun；cook2360；开心；CJX （排名不分先后）菁优网2013年3月1日。

高考数学全真模拟试题单选题(共8个，分值共：)1、已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为，，，，则此球的表面积等于（ ） A ．B ．D ．2、函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ． 3、已知函数其中.若对任意的都有，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4、“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、已知，则下列关系中正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．6、在四边形中（如图1所示），，，，将四边形沿对角线折成四面体（如图2所示），使得，E ，F ，G 分别为棱，，的中点，连接，，则下列结论错误的是（ ）．A ．B ．直线与所成角的余弦值为C ．C ，E ，F ，G 四点不共面D ．四面体外接球的表面积为7、已知幂函数在上为增函数，则（ ）A ．2B ．4C ．6D ．88、若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 多选题(共4个，分值共：)9、下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．f (t )=t 2与g (x )=x 2B ．f (x )=x +2与g (x )=C ．f (x )=|x |与g(x )=D ．f (x )=x 与g (x )=2P ABC -PA ⊥ABC 2AB =1AC =60BAC ∠=︒5π8π16π20πy =[]22-,(]1,2-()(]1,00,2-()(]1,11,2-2,(),0.x x a f x x x a ≥⎧=⎨<<⎩，(0)a >120x x <<2121()()0f x f x x x ->-a (0,)+∞(0,1](1,)+∞[1,)+∞1m ≥-2m ≥-21331.511,2,22a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c a b <<a b c <<b a c <<b c a <<ABCD AB AD =45ABD ∠=2BC BD CD ===ABCD BD A BCD '90A BC ∠='BC A D 'A B 'EF CG A C BD '⊥EF CG A BCD '8π()()282mf x m m x =-()0,∞+()4f =R ()f x (),0-∞()20f =()0xf x ≥x []22-,[)(]2,00,2-(][]202-∞-,,[][)202-+∞,,242x x --00x x x x ≥⎧⎨-<⎩，，10、已知函数，且对任意都有，则（ ） A ．的最小正周期为B ．在上单调递增C ．是的一个零点D ．11、已知关于的不等式解集为，则（ ）A ．B ．不等式的解集为C ．D ．不等式的解集为 12、已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）A ．B ．复数的虚部为C ．若，则复平面内对应的点位于第二象限D ．已知复数z 满足，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 双空题(共4个，分值共：)13、若集合，，其中为实数．（1）若是的充要条件，则________；（2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：__________；（答案不唯一，写出一个即可）14、已知函数是偶函数． （1）______.（2）若在区间上单调递减，则的取值范围是______.15、已知，则______；若，则______． 解答题(共6个，分值共：)16、如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.(1)求证：；(2)设，，，，求的值； ()()sin cos 0f x a x b x ab =+≠x ∈R 33f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 2π()f x 2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦56x π=()f x ab=x 20ax bx c ++>{}23x x -<<0a >0ax c +>{}6x x <0a b c ++>20cx bx a -+<1132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭2340i i i i +++=3z i =-i -2(12)z i =+z 11z z -=+{}2A x x =>{}1B x bx =>b A B b =A B b 224,0(),0x x x f x x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩m =()f x [,1]a a +a (),201,0x x f x x x ⎧≥=⎨-+<⎩()2f =()2f α=α=AD ABC O 2AO OD =O AB AC M N 1133AO AB AC=+AM mAB =AN nAC =0m >0n >11m n +(3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围.17、如图，已知正方体（1）求异面直线与所成的角；（2）证明：平面ABCD ；18、已知函数. （1）若，求实数的取值范围；（2）若关于的不等式的解集为（-1，4），求实数，的值.19、已知(1)求的值；(2)若，求的值．20、已知函数．(1)讨论的奇偶性；(2)当时，判断在上的单调性，并给出证明.21、在如图所示的几何体中，是的中点，，分别是和的中点.求证：平面.双空题(共4个，分值共：)22、已知某扇形的圆心角是，圆心角所对的弧长也是，则该扇形的半径为___；面积为_____.ABC ()0a a >22OM ON +1111.ABCD A B C D-1A B1CC 11//B D 2()3(6)5f x x m m x =+-+(1)0f >m x ()f x n <m n ()()πsin 4sin 222sin πcos 2παααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-+-tan απ0α-<<sin cos αα+()()2kg x x k x =+∈R ()g x2k =()g x [)1,+∞D AC EF DB ∥G H ，EC FB GHABC 22高考数学全真模拟试题参考答案1、答案：D 解析：由条件确定三棱锥的外接球的球心位置及球的半径，再利用球的表面积公式求外接球的表面积.由已知，，，可得三棱锥的底面是直角三角形，，由平面可得就是三棱锥外接球的直径，，，即，则．故选：D. 小提示：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 2、答案：C 解析：利用函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得原函数的定义域.由已知可得，即，因此，函数的定义域为.故选：C. 3、答案：B 解析：根据增函数的定义可得在上为增函数，再根据分段函数的单调性列式可解得结果.因为对任意的都有，所以，即，所以在上为增函数，所以，因为，所以.故选：B 小提示：关键点点睛：抓住分段函数分界点的函数值的大小关系是解题关键，属于基础题. 4、答案：A 解析：根据“”和“”的逻辑推理关系，即可判断答案.由可以推出，但反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故选:A 5、答案： C 解析：均化为以为底的形式，然后利用指数函数在上为减函数，而，从而可比较大小解：，，而函数在上为减函数， 又，所以，P ABC -2AB =1AC =60BAC ∠=︒90ACB ∠=︒PA ⊥ABC PB 121sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒=△1133V Sh PA ===4PA =PB 2420S R ππ==x ()24010ln 10x x x ⎧-≥⎪+>⎨⎪+≠⎩2210x x x -≤≤⎧⎪>-⎨⎪≠⎩y =()(]1,00,2-()f x (0,)+∞120x x <<2121()()f x f x x x ->-21()()0f x f x ->21()()f x f x >()f x (0,)+∞2a a ≤0a >01a <≤1m ≥-2m ≥-1m ≥-2m ≥-1m ≥-2m ≥-,,abc 1212xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭R 32123331.521.511222b -⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭213311,22a c ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭R 321233321233111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即. 故选：C. 6、答案：D 解析：以线面垂直去证；选基底以向量法去求直线与所成角的余弦值；观察法去判断C ，E ，F ，G 四点不共面；先求四面体外接球的半径再求其外接球的表面积.如图1，取的中点O ，连接，．对于选项A ，因为为等腰直角三角形，为等边三角形， 所以，．因为，所以平面，所以，故选项A 正确； 对于选项B ，设，，，则，，又，，则，，，，故选项B 正确；对于选项C ，如图1，连接，则，平面，平面 故平面.显然、是异面直线，所以C ，E ，F ，G 四点不共面，故选项C 正确；对于选项D ，如图2，过的重心H 作直线m 垂直于平而，过点O 作直线n 垂直平而，则直线m 与直线n 交于点Q ， 即Q 为四而体外接球的球心，连接，中，则， b a c <<A C BD '⊥EF CGA BCD 'BD OA'OC A BD 'BCD △A D A B ''==OA BD '⊥OC BD ⊥OA OC O '⋂=BD ⊥OA C 'A C BD '⊥BC a =BD b =BA c '=12CG c a=-()12EF b c a =+-0a c ⋅=2a b b c ⋅=⋅=213222CG c a ⎛⎫=-= ⎪⎭()211042EF b c a=+-=()11222EF CG b c a c a ⎛⎫⋅=+-⋅-= ⎪⎝⎭4cos ,15EF CG EF CG EF CG⋅==GF //GF BD GF ⊄BCD BD ⊂BCD //GF BCD GF CE BCD △BCD A BD 'A BCD 'QD 'AOC △''=1AO OC AC ==，'cos AOC ='sin AOC =故，在中，，所以， 从而，即四而体外接球的半径， 则该外接球的表而积，故选项D 错误． 故选：D 7、答案：A 解析：由于幂函数在在上为增函数，所以可得，求出的值，从而可求出幂函数的解析式，进而可求得答案由题意得，得， 则． 故选：A 8、答案：A 解析：首先根据函数的性质，确定和的解集，再转化不等式求解集. 为上的奇函数，且在单调递减， ，，且在上单调递减，所以或，或， 可得，或，即，或，即， 故选：A. 9、答案：AC 解析：逐项判断各选项中与的定义域、解析式是否完全相同即可判断两函数是否相等.A 选项，与定义域都为，定义域、解析式均相同，是同一函数；B 选项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；C 选项，，与定义域、解析式均相同，是同一函数； D 选项，的定义域为，，定义域为两函数定义域不同，不是同一函数. 故选：AC10、答案：ACD 解析：由已知可得，化简函数解析式为，利用正弦型函数的基本性质可判断各选项的正误.()sin sin 90cos A OC QOH QOH '∠=︒+∠=∠=Rt QOH △OH =cos OH OQ QOH ==∠QD ==A BCD 'R =24π6πS R ==()0,∞+282100m m m ⎧--=⎨>⎩m 282100m m m ⎧--=⎨>⎩12m =()12f x x =()42f =()0f x ≥()0f x ≤()0x f x ⋅≥()f x R (,0)-∞(2)0f =(2)0f ∴-=(0)0f =(0,)+∞()02>⇒≤-f x x 02x <≤()020<⇒-≤<f x x 2x ≥()0xf x ∴≥0()0x f x ≥⎧⎨≥⎩0()0x f x ≤⎧⎨≤⎩02x ≤≤20x -≤≤22x -≤≤()f x()g x ()f x()g x R ()f x R ()g x {}|2x x ≠()()()00x x f x x x x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩()f x ()g x ()f x x=R ()2g x ={}0x x ≥3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭3ab ()2sin 6f x b x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由题意可知函数的图象关于直线对称，则即，即，所以，，，所以，D 选项正确；，故函数的最小正周期为，故A 选项正确；当时，可得，若，则函数在上单调递减，故B 选项错误；，故是的一个零点，故C 选项正确. 故选：ACD. 小提示：思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：（1）将函数解析式变形为或的形式； （2）将看成一个整体；（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题. 11、答案：BCD 解析：根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且,对四个选项逐个求解或判断可得解.因为关于的不等式解集为，所以和是方程的两个实根，且，故错误；所以，，所以， 所以不等式可化为，因为，所以，故正确； 因为，又，所以，故正确； 不等式可化为，又，所以，即，即，解得,故正确. 故选：BCD. 小提示：利用一元二次不等式的解集求出参数的关系是解题关键.本题根据韦达定理可得所要求的关系，属于中档题.12、答案：AD 解析：根据复数的概念、运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.A 选项，，故A 选项正确.B 选项，的虚部为，故B 选项错误.C 选项，，对应坐标为在第三象限，故C 选项错误. D 选项，表示到和两点的距离相等，故的轨迹是线段的垂直平分线，故D 选项正确. 故选：AD()f x3x π=3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭12b =2230a b -+=()2a =3ab 0ab ≠ab =()sin cos 2sin 6f x x b x b x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()f x 2π2,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,622x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦0b <()f x 2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦52sin 06f b ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭56x π=()f x ()()sin +0y A x B ωϕω=+>()()cos +0y A x B ωϕω=+>x ωϕ+sin y x =cos y x =2-320ax bx c ++=0a <,6b a c a =-=-,6b a c a =-=-0a <x 20ax bx c ++>{}23x x -<<2-320ax bx c ++=0a <A 23b a -+=-23ca -⨯=,6b a c a =-=-0ax c +>60ax a ->0a <6x <B 66a b c a a a a ++=--=-0a <0a b c ++>C 20cx bx a -+<260ax ax a -++<0a <2610x x -++>2610x x --<(31)(21)0x x +-<1132x -<<D ,,a b c 234110i i i i i i +++=--+=z 1-214434,34z i i i z i =++=-+=--()3,4--()111z z z -=+=--z 1,0A ()1,0B -z AB13、答案： （答案不唯一） 解析：（1）分析可得，可知是方程的解，即可解得的值；（2）根据不等式对任意的恒成立，求出实数的取值范围，结合是的充分不必要条件可得出实数的取值范围.（1）由已知可得，则是方程的解，且有，解得； （2）若不等式对任意的恒成立，则对任意的恒成立， 当时，，则， 因为是的充分不必要条件，故的取值范围可以是（答案不唯一）. 故答案为：（1）；（2）（答案不唯一）. 小提示：结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则求解：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含14、答案：解析：（1）利用偶函数的性质即可求解；（2）求出的单调递减区间，在区间上单调递减，便可知是函数单调区间的子集，便可求解.（1）解：设，，则 是偶函数（2）如图所示：121,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭A B =2x =1bx =b 1bx >2x >b A B b A B =2x =1bx =0b >12b =1bx >2x >1b x >2x >2x >110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭12b ≥A B b 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭121,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭p q q p p q p q p q p q p q q p 4-(][]301-∞-，，()f x ()f x [,1]a a +[,1]a a +0x <0x ->2()x m f x x -=-()f x 22()()4f x f x x x x mx ∴-==-+=4m ∴=-的单调递减区间为：或若，则可得，解得；若，则可得，解得； 所以在区间上单调递减，则的取值范围是故答案为：（1）；（2）. 15、答案： 4 1或 解析：直接代入函数即可求得的值；根据分段函数每一段的自变量的范围，对进行分类讨论，分别求出相应的的值即可.∵，∴；∵，∴当时，，解得， 当时，，解得. 故答案为：4；1或. 16、答案：(1)见详解 (2)3 (3) 解析：（1）根据题意，结合向量加减法运算，即可证明；（2）根据题意，用和表示， 结合，，三点共线，即可求解；（3）根据题意，结合（1）（2）用和分别表示出和，进而可以表示出，再结合均值不等式与二次函数的最值，即可求解. (1)证明：因，所以，又因为的中点，所以，所以. (2)因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三点共线，所以，即.(3)设，，，，由（1）（2）可知，，即.因，，所以224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-≥⎩(],2-∞-[]0,2[](]1,2a a +⊆-∞-，12a +≤-(]3a ∈-∞-，[]1[02]a a +⊆，，012a a ≥⎧⎨+≤⎩[]01a ∈，()f x [1]a a +，a (][]301-∞-，，4-(][]301-∞-，，1-()2f αα(),201,0x x f x x x ⎧≥=⎨-+<⎩()2224f ==()2f α=0α≥()22f αα==1α=0α<()12f αα=-+=1α=-1-22,9a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭AM AN AO M O N AB AC OM ON 22OM ON +2AO OD =23AO AD =D BC ()12AD AB AC=+211333AO AD AB AC==+AM mAB =AN nAC =0m >0n >1AB AM m =1AC ANn =1133AO AB AC =+1133AO AM AN m n =+M O N 11313m n +=113m n +=AM mAB =AN nAC =0m >0n >1133AO AB AC =+113m n +=3m n mn +=31133m OM AM AO AB AC -=-=-31133n ON AN AO AC AB-=-=-22223113113333m n OM ON AB AC AC AB --⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因是边长为的等边三角形，所以， 令，因，即，当且仅当时，等号成立，所以. 因此， 又因，所以，所以. 17、答案：（1）；（2）证明见解析；解析：（1）连结可得为异面直线所成的角，即可得答案； （2）连结，可得，利用线面平行的判定定理，即可得答案；（1）连结，，为异面直线与所成的角，，异面直线与所成的角为；（2）连结， ，平面，平面，平面ABCD ；小提示：本题考查异面直线所成的角、线面平行判定定理的应用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，属于基础题.18、答案：（1）或；（2），. 解析：（1）由得关于的不等式，解之可得．（2）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系，利用韦达定理列式可解得．（1）由已知，∴ 得或；（2）∵，∴()()()2222196296223329m m AB n n AC m n AB AC ⎡⎤=-++-+-+-⋅⎢⎥⎣⎦ABC ()0a a >2222223OM ON a m n m n ⎛⎫+=+--+ ⎪⎝⎭t mn=3mn m n =+≥49mn ≥m n =49t ≥()()222222222595953333m n m n m n mn mn mn t t +--+=+-+=-+=-+49t ≥2229539t t -+≥2222222239a OM ON a m n m n ⎛⎫+=+--+≥ ⎪⎝⎭4π1CD 11C CD ∠BD 11//BD B D 1CD 11//A B CD ∴11C CD ∠1A B 1CC 114C CD π∠=∴1A B 1CC 4πBD 11//BD B D BD ⊂ABCD 11B D ⊄ABCD ∴11//BD 2m <4m >3m =17n =(1)0f >m ,m n (1)3(6)50f m m =+-+>2680m m -+>2m <4m >()f x n <23(6)50x m m x n +-+-<由-1，4是方程的两根，得，∴，． 19、答案：(1) (2)解析： （1）根据诱导公式化简题干条件，得到，进而求出的值；（2）结合第一问求出的正切值和，利用同角三角函数的平方关系求出正弦和余弦值，进而求出结果.(1)∵∴，化简得：∴ (2)∵，∴为第四象限，故，由得， 故20、答案：(1)当时，函数为偶函数；当时，函数既不是奇函数，也不是偶函数(2)单调递增，证明见解析解析：（1）分，，利用奇偶性的定义判断；（2）利用函数单调性的定义证明(1)解：当时，.因为，所以函数为偶函数；当时，，，，所以，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数.(2)当时，在上单调递增. 证明如下：任取，且， 则，，23(6)50x m m x n +-+-=(6)143m m --+=-5143n --⨯=3m =17n =tan 2αsin 2cos αα=-tan απ0α-<<()()πsin 4sin 222sin πcos 2παααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-+-sin 4cos 22sin cos αααα-=+sin 2cos αα=-tan 2απ0α-<<tan 20α=-<αsin 0α<cos 0α>22sin 2cos sin cos 1αααα=-⎧⎨+=⎩sin α=cos αsin cos α+α==0k =()g x 0k ≠()g x 0k =0k ≠0k =()()20g x x x =≠()()()22g x x x g x -=-==()g x 0k ≠()()20k g x x x x =+≠()11g k -=-()11g k =+()()()()11,11g g g g -≠-≠-()g x 2k =()22g x x x =+[)1,+∞[)12,1,x x ∈+∞12x x <()()222212121212122222()()g x g x x x x x x x x x -=+--=-+-2112121212121222()()()()x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-=+-+=-+-⎢⎥⎣⎦（）.因为， 所以，，所以，即，所以在上单调递增. 21、答案：见解析解析：设FC 的中点为I ，连接GI ，HI ．证得GI ∥EF ．GI ∥DB ．得HI ∥BC ．从而得面GHI ∥平面ABC ．然后得GH ∥平面ABC ．如图所示，设FC 的中点为I ，连接GI ，HI ．在△CEF 中，∵G 分别是EC 的中点，∴GI ∥EF ．又EF ∥DB ，∴GI ∥DB ，DB ⊂平面ABC ，GI ⊄平面ABC ，∴GI ∥平面ABC ；在△CFB 中，∵H 分别是FB 的中点，∴HI ∥BC ，HI ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ∥平面ABC ，又HI∩GI ＝I ，∴平面GHI ∥平面ABC ．∵GH ⊂平面GHI ，∴GH ∥平面ABC ．小提示： 本题考查平面与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，属于中档题．22、答案：解析：利用扇形的弧长公式可求得扇形的半径，再利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.设扇形的半径为，则该扇形的弧长为，可得，该扇形的面积为.故答案为：；.12121212()2()x x x x x x x x ⎡⎤+⋅-=-⎢⎥⎣⎦211x x >≥120x x -<()12122x x x x +⋅>()()120g x g x -<()()12g x g x <()22g x x x =+[)1,+∞11R 22R =1R =12112S =⨯⨯=11。

6.方茴说："我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

"7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

1."噢，居然有土龙肉，给我一块！"2.老人们都笑了，自巨石上起身。

而那些身材健壮如虎的成年人则是一阵笑骂，数落着自己的孩子，拎着骨棒与阔剑也快步向自家中走去。

攀枝花市高2012级高三第一次统考 2011.11数学（理工类）试题卷本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上．并用2B 铅笔将答题卡考号对应数字标号涂黑．2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第一部分（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1、设全集U R =，集合{|14}A x x x =<->或，2{|0}3x B x x -=≤+，则()U A B =ð（ ）A ．{|12}x x -≤≤B ．{|31}x x -<<-C ．{|24}x x ≤≤D ．{|34}x x x ≤->或 2、已知等差数列{}n a 中，23412a a a ++=，则{}n a 的前5项的和5S 的值为（ ）A ．5B ．10C ．20D ．40 3、已知角α的终边经过点(4,3)P -，则tan()4πα+的值等于（ ）A ．17-B ．17C ．37D ．474、如图是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的图像，由于目前线路亏损，公司领导决定：支出不变，适当提高票价。

高中高考数学模拟试卷试卷一一、单项选择题（本大题10小题，每题3分，共计30分）1、集合A={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }，集合B={ 2 , 3 , 4 , 6 }则A B= ( )A. { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }B. { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }C. { 2 , 3 , 4 , 6 }D. { 2 , 3 , 4 }2、设全集U=R，集合A={ x | -1 < x≤5 }，则C A=（）A. {x | x≤- 1}B. {x | x > 5}C. {x | x < - 1或x > 5}D. {x | x≤ - 1或x > 5}3、当a > b > 0时，则下列比较关于a , b的式子大小正确的为（）A. a - 1 < b - 1B. 2 a + 1 < 2 b + 1C. - a > - bD. - a < b4、设2 x - 3 < 7，则x < ( )A. x < 5B. x < - 5C. x > 5D. x > - 55、已知集合A= [ - 3，4 ]，B= [ 1，6 ]，求A B = ( )A. [ - 3 ，4 ]B. [ 1 ，6 ]C. [ - 3 ，6 ]D. [ 1 ，4 ]6、设全集U=R，集合A= [ - 6，9），则C A=（）A. ( -，- 6) [ 9 ，+)B. ( -，- 6)C. [ 9 ，+)D. ( -，- 6 ] ( 9 ，+)7、不等式（1-x）（4+x）>0的解集为（）A.（1 ，+)B.（-，- 4）C.（- 4，1 ）D.（-，- 4）（1 ，+)8、解含绝对值的不等式| x - 8 | < 2解集正确的为（）A. (6，10)B.（-，6）（10 ，+)C.（-，6）D.（10 ，+)9、梯形面积公式正确的为（）A.×底×高B. 底×高C.× (上底+下底)×高D. (上底+下底)×高10、用描述法表示集合：由第一象限所有点组成的集合，正确的为（）A. {（x，y）| x > 0 , y > 0 }B. {（x，y）| x > 0 , y < 0 }C. {（x，y）| x < 0 , y > 0 }D. {（x，y）| x < 0 , y < 0 }11、用列举法表示集合：大于- 4且小于等于6的所有偶数组成的集合，正确的为（）A. { - 4 , - 2 , 0 , 2 , 4 , 6}B. { - 4 , - 2 , 0 , 2 , 4 }B. { - 2 , 0 , 2 , 4 , 6} D. { - 2 , 0 , 2 , 4 }12、五边形的内角和为（）度A. 360度B. 180度C. 540度D. 720度13、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作（）A. NB. ZC. QD.14、不含任何元素的集合叫做( )，记作A. 全集B. 补集C. 空集D. 交集15、当x是什么实数时，有意义？（）A. x ≠ 3B.x = 3C. x > 3D. x ≥ 3二、填空题（每个空3分，共计30分）1、设集合A={x | - 2 < x < 3},B={x | x > 1},则集合A B=2、方程3- x - 2的解集为（解集用区间表示）3、设全集为U=R，A={x | x ≤ 1}，则集合C A=4、设，则x<5、设x+5 < - 3，则x <6、设集合A={- 3 , - 2 , 0 , 1 , 3 , 4}，B={0 , 2 , 4 , - 3}，则A B=7、不等式（1 - x）（3x - 2）> 0的解集为8、设a > b，则a + 2 b + 2 ，2 a 2 b ， 5 - a 5 - b三、计算题（本大题5小题，共计40分）1、在开秋季运动会时，某班共有28名同学参加比赛，其中有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的同学有多少人？（6分）2、已知全集U={0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8，9 }，集合A={0 , 1 , 2 , 3}，集合B={2 ，3，4 , 6 , 8}，求：（1）A B , A B （2）C A ，C B （6分）3、设全集U={x | - 7 ≤ x ≤ 5}，集合A={x | -4 < x ≤ 2},B={x | - 2 < x < 4},求：（1）C A ，C B （2）（C A）（C B）（3）（C A）（C B）（4）C（A B）(12分)4、当x为何值时，代数式的值与代数式的值之差不小于3 ？（5分）5、设全集为R，集合A=(-，4],集合B=[-3，+) , 求：（1）C A ，C B （2）（C A）（C B）（3）（C A）（C B）（4）C（A B）(12分)6、解一元二次不等式 -- 6x+7 ≤ 0 （5分）7、解含绝对值的不等式 | 3x-5 | - 4 ≥ 3 （5分）8、当x是什么实数时，有意义？（5分）9、解含绝对值的不等式 | 2x-1 | - | x+3 | >2 （8分）试卷二一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

四川省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第3部分:函数与导数 一、选择题：5．(四川省成都市外国语学校2011年3月高三考试理科)若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数2()y x f x =-的图像过点(2,1)，则函数1()2y f x x -=-的图象一定过点（ D ）A ．(3,2)B ．(2,3)-C ．(4,3)-D ．(3,4)-2. (四川省成都石室中学2011届髙三二诊模拟考试理科)当a 、b R 时，下列总能成立的是（ B )(A) (B)(C) (D)5.(四川省成都石室中学2011届髙三二诊模拟考试理科)已知函数的反函数的图象的对称中心为(-1，5),则实数a 的是（ D ）(A) —3 (B) 1 (C) 5 (D) 710. (四川省成都石室中学2011届髙三二诊模拟考试理科)下图是的图象，则的值是（ D ）（A ） (B) (C) (D)[来源:学科网ZXXK]11. (四川省成都石室中学2011届髙三二诊模拟考试理科)一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ A ）2．(四川省成都市外国语学校2011年3月高三考试理科)命题p ：若0a b ⋅< ，则a 与b的夹角为钝角。

命题q ：定义域为R 的函数()f x 在(,0)-∞及(0,)+∞上都是增函数，则()f x 在(,)-∞+∞上是增函数。

下列说法正确的是（ B ）A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 且q ”是假命题C ．“p ⌝”为假命题D ．“q ⌝”为假命题12．(四川省成都市外国语学校2011年3月高三考试理科)下列命题中：①函数()2()sin (0,)sin f x x x xπ=+∈的最小值是22②在ABC ∆中，若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆是等腰或直角三角形；③如果正实数,,a b c 满足a b c +>，则111a b ca b c +>+++；④如果()y f x =是可导函数，则0()0f x '=是函数()y f x =在0x x =处取到极值的必要不充分条件。

2012届高三湖北高考模拟重组预测试卷数 学适用地区：新课标地区 考查范围：全部内容第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． 把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝( )A ．3－iB ．3＋iC ．1＋3iD ．3 2 已知集合U =R ，集合则},11|{xy x A -==U A ð等于（ ）A }10|{<≤x xB }10|{≥<x x x 或C }1|{≥x xD }0|{<x x3． 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 4. 设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件5．设变量,x y 满足约束条件31,23x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则目标函数23z x y =+的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．236．设a b c 、、表示三条直线，αβ、表示两个平面，则下列命题中不正确的是（ ）A ββαα⊥⇒⎭⎬⎫⊥c c // B a b b c b c a ⊥⊂⎫⎬⎪⎭⎪⇒⊥ββ是在内的射影C ////b c b c c ααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭D αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //7. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72.0万元 8．已知数列{n a }满足*331log 1log ()n n a a n ++=∈N ，且2469a a a ++=，则15793l o g ()a a a ++的值是（ ）A.15-B.5-C.5D. 159． 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递增 10．将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m 和n ，则函数3213y mx nx =-+在[)1,+∞上为增函数的概率是（ ）A ．12B ．23C ．34D ．56第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．将答案填在答题卷相应位置上）11．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1—50号，并分组，第一组1—5号，第二组6—10号，……，第十组46—50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为___ 的学生.12．某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是 .13.已知()⎪⎩⎪⎨⎧-≥=0,0,x x x x x f ，则不等式()2≤⋅+x f x x 的解集是_________.14.下列四种说法①命题“x x R x -∈∃2,＞0”的否定是“0,2≤-∈∀x x R x ”；②“命题q p ∨为真”是“命题q p ∧为真”的必要不充分条件； ③“若2am ＜2bm ，则a ＜b ”的逆命题为真； ④若实数[]1.0,∈y x ，则满足：22y x +＞1的概率为4π； 正确的有___________________.（填序号）15． 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1， F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________________ 16.已知向量a 、b 的夹角为60,|a |=2, |b |=3,则|2a －b |= ． 17. 函数(1) 若a=0,则方程f(x)=0的解为_______.(2) 若函数f(x)有两个零点，则a 的取值范围是_______.＜三、解答题（本大题共5小题，满分65分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 18. (12分）在△ABC 中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=. （1）求B ；（2）设(sin ,cos2),(4,1),(1),A A k k ==>且m n ⋅m n 的最大值是5，求k 的值.19.（12分） 等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．20．(13) 已知向量(,),(1,2)x y ==-a b ，从6张大小相同、分别标有号码1、2、3、4、5、6的卡片有放回地抽取两张，x 、y 分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码.（1）求满足1⋅=-a b 的概率；（2）求满足0⋅>a b 的概率．21.(14)已知圆C 的圆心为(,0),3<C m m ，半径为5，圆C 与椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 有一个公共点A (3,1)，21F F 、分别是椭圆的左、右焦点．（1）求圆C 的标准方程；（2）若点P 的坐标为(4,4)，试探究斜率为k 的直线1PF 与圆C 能否相切，若能，求出椭圆E 和直线1PF 的方程;若不能，请说明理由．22.(14)已知函数32()2f x x ax x =+++．(1)若1a =-,令函数()2()g x x f x =-,求函数()g x 在(1,2)-上的极大值、极小值； (2)若函数()f x 在1(,)3-+∞上恒为单调递增函数,求实数a 的取值范围.试卷类型：A2012届高三湖北高考模拟重组预测试卷参考答案数 学1. A2. A3. B 4．A 5.A 6. D 7. B 8.B 9.A 10. D 11. 3712. 2(π 13. (-∞, 1〕 14. ①② 15 .x 216＋y 28＝1.16. 13 17. (1)()21-5±(2)()4545-，18．解：（1）C b B c a cos cos )2(=-，C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-∴ ，即)sin(cos sin cos sin cos sin 2C B B C C B B A +=+=.π,2sin cos sin .A B C A B A ++=∴= 10π,sin 0,cos .2A A B <<∴≠∴= .π0π,.3B B <<∴=（2）22π4sin cos 22sin 4sin 1,(0,)3k A A A k A A ⋅=+=-++∈m n ， 设,sin t A =则(]1,0∈t .2222412()12t kt t k k ⋅=-++=--++m n ，(]1,0∈t ．1,k >∴Q 当1t =时，⋅m n 取最大值.依题意得，max 3()241,2k k ⋅=-++∴=m n .19．解：（1）设（x ,y ）表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有(1,1)、 (1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,1)、(2,2)、 …、(6,5)、(6,6)，共36个．用A 表示事件“1=-a b ”，即21x y -=-,则Ａ包含的基本事件有(1,1)、(3,2)、(5,3)共3个，31()3612P A ==．（2）020,x y ⋅>->即a b 在（1）中的36个基本事件中，满足20x y ->的事件有（3，1）、（4，1）、（5、1）、（6，1）、（5，2）、（6、2）共6个，所以P （B ）＝61366=．20. 解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19. 由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， 1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－21111112231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝－2n n ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2n n ＋1.21.解：（1）由已知可设圆C 的方程为)3(5)(22<=+-m y m x ． 将点A 的坐标代入圆C 的方程，得51)3(2=+-m ，即4)3(2=-m ，解得51==m m ，或． ∵3<m ，∴1=m ，∴圆C 的方程为5)1(22=+-y x ．（2）直线1PF 能与圆C 相切.依题意，设直线1PF 的方程为4)4(+-=x k y ，即044=+--k y kx . 若直线1PF 与圆C 相切，则514402=++--k k k ，∴0112442=+-k k ，解得21211==k k ，或.当211=k 时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为1136，不合题意，舍去； 当21=k 时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为4-， ∴)0,4()0,4(421F F c ，，-=， ∴由椭圆的定义得262251)43(1)43(2222221=+=+-+++=+=AF AF a ，∴23=a ，即182=a ， ∴2222=-=c a b ， 直线1PF 能与圆C 相切，直线1PF 的方程为042=+-y x ，椭圆E 的方程为121822=+y x ．22.解：(1)3232()2(2)2g x x x x x x x x =--++=-++-，所以2()321g x x x '=-++．由()0g x '=得13x =-或1x =．所以函数()g x 在13x =-处取得极小值5927-；在1x =处取得极大值1-． (２) 因为2()321f x x ax '=++的对称轴为3a x =-． ①若133a -≥-即1a ≤时，要使函数()f x 在1(,)3-+∞上恒为单调递增函数，则有24120a ∆=-≤，解得：a ≤1a ≤≤； ②若133a -<-即1a >时，要使函数()f x 在1(,)3-+∞上恒为单调递增函数，则有2111()3()2()10333f a '-=⋅-+⋅-+≥，解得：2a ≤，所以12a <≤．综上，实数a 的取值范围为2a ≤≤．。