七宝中学2014年5月高三数学理科模拟试题

七宝中学高三年级月考(理科)数学考试试卷（11、10、7）一、填空题（本大题总分值56分，本大题共有14题，只要求直接填写结果，每一个空格填对得4分，不然一概得零分）1．函数3)4lg(--=x x y 的概念域是 2.设集合21{|2},{1}2A x x B x x =-<<=≤，那么A B =_______________ 3.设集合{|12}A x x =<≤，{|}B x x a =<，假设A B ⊆，那么实数a 的取值范围是 _____4．幂函数()y f x =的图像过点(42)A ，，那么函数()y f x =的反函数1()f x -= （要求写明概念域）5.不等式0)1)(2|(|≥--x x 的解集为6．已知随机事件A 、B 是互斥事件，假设()0.25()0.78P A P A B =⋃=，，那么()P B = ____7．设函数)(x f 是奇函数且周期为3，,1)2(-=-f 则=)2009(f8.函数321)(+--=x xx x f 图像的极点是),(c b ，且d c b a ,,,成等比数列，那么_______=ad 9. 有一种游戏规那么如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，假设颜色相同那么得100分，假设4个球颜色相同，另一个不同，那么得50分，其他情形不得分．小张摸一次得分的期望是 分.10．不等式)1(||+≥x a x 对任意的实数x 都成立，那么实数a 的取值范围是____________11．已知二次函数()y f x =的图像为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都有(1)(1)f x f x -=+．假设向量(,1)a m =-，(,2)b m =-，那么知足不等式()(1)f a b f ⋅>-的m 的取值范围为12．依照统计资料，在A 小镇当某件讯息发布后，t 小时之内听到该讯息的人口是全镇人口的)21(100kt --﹪，其中k 是某个大于0的常数，今有某讯息，假设在发布后3小时之内已经有70﹪的人口听到该讯息。

一、单选题二、多选题1. 若函数为偶函数，则a =A．B．C．D．2. 已知函数恰有两个零点，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．3. 在中，为边的中点，若，则A．B．C．D．4. 已知复数（i 是虚数单位），则复数在复平面中所对应的点的坐标为（ ）A．B．C．D．5. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6.已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97.已知函数，若存在，使得方程有三个不等的实根，，且，则（ ）A．B．C ．D．8. 若曲线在原点处的切线与直线垂直，则实数a 的值是（ ）A ．3B．C ．1D ．09. 为了庆祝中国共产党成立100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，将本单位全体党员党史知识竞赛的成绩（均位于之内）整理，得到如图所示的频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论正确的是（）A ．本次成绩不低于80分的人数的占比为75％B ．本次成绩低于70分的人数的占比为5％上海市七宝中学2023届高三5月第二次模拟数学试题(2)上海市七宝中学2023届高三5月第二次模拟数学试题(2)三、填空题四、解答题C ．估计本次成绩的平均分不高于85分D．本次成绩位于的人数是其他人数的3倍10. 已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，则（ ）A ．在上单调递增B ．是的一个对称中心C．是奇函数D ．在区间上的值域为11. 设函数，则（ ）A ．当时，直线不是曲线的切线B ．当时，函数有三个零点C．若有三个不同的零点，，，则D ．若曲线上有且仅有四点能构成一个正方形，则12.在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）A ．若，，，则边上的中线长为B．若，，，则有两个解C ．若不是直角三角形，则一定有D ．若是锐角三角形，则一定有13. 函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是_________．14. 已知，则_________.15. 如图，在四边形ABCD 中，，，，且，则实数的值为__________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且，则的最小值为_______．16.如图四边形中，分别为的内角的对边，且满足．(1)证明：；(2)若，设,求四边形面积的最大值.17. 暑假期间小辉计划在8月11日至8月20日期间调研某商业中心周边停车场停车状况，根据停车场统计数据，该停车场在此期间“停车难易度”（即停车数量与核定的最大瞬时容量之比，40%以下为较易，40%~60%为一般，60%以上为较难），情况如图所示，小辉随机选择8月11日至8月19日中的某一天达到该商业中心，并连续调研2天.(1)求小辉连续两天都遇上停车场较难的概率；(2)设是小辉调研期间遇上停车较易的天数，求的分布列和数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天停车难易度的方差最大？（结论不要求证明）18. 已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若方程有两个不相等的实数根，，证明：.19. 如图，平面，，，，，．(1)求证：平面ADE；(2)求直线与平面所成角的正弦值；20. 某地西红柿从月日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本（单位：元/）与上市时间（单位：天）的数据如下表：时间种植成本（单位：元/）(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系，并求解析式．①；②；③；④．(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．21. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，、分别为、的中点．（1）求证：直线平面；（2）求证：直线平面．。

2014年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学模拟试卷（理工农医类）
考生注意：
1. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.
2. 本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤.。

上海市七宝中学高三数学5月（三模）试题 文 沪教版一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． １．i 为虚数单位，复数11i-的虚部是＿＿＿＿． 2．若抛物线2:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上，则C 的准线方程为_____．3．设函数2log , 0,()4, 0,x x x f x x >⎧=⎨⎩≤ 若函数()()g x f x k =-存在两个零点，则实数k 的取4.5．若θ67人有 够自理”，-1代表“生活不能自理”.则随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是_____（用分数作答）.8．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是_________.9．已知函数()2xf x =,点P(,a b )在函数1(0)y x x=>图象上，那么()()f a f b ⋅ 的最小值是____________.10．在平面上，12AB AB ⊥，12||1,||2MB MB ==,12AP AB AB =+.若||1MP <，则||MA 的取值范围是_____. 11．函数()(21)(2)xxf x a -=--的图象关于1x =对称，则()f x 的最大值为___.12．对于任意正整数，定义“n 的双阶乘n!!”如下：对于n 是偶数时，开始 结束输入n 输出n i =0n 是奇数n =3n +1i<3i =i +12n n =是否n!!=n·(n －2)·(n －4)……6×4×2；对于n 是奇数时，n!!=n·(n －2)·(n －4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2013!!)·(2014!!)=2014!；②2014!!=21007·1007!；③2014!!的个位数是0；④2015!!的个位数是5．正确的命题是________13．已知关于t 的一元二次方程),(0)(2)2(2R y x i y x xy t i t ∈=-++++.当方程有实根时，则点),(y x 的轨迹方程为______. 14. 已知向量序列：12,,,n a a a 满足如下条件：1||4||2a d ==，121a d ⋅=-且1n n a a d --=（2,3,4,n =）.若10k a a ⋅=，则k =___；12||,||,,||n a a a 中第___项最小.二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分． 15．下列函数中周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）（Ａ） （Ａ）2sin()23x y π=+ （Ｂ）2sin(2)6y x π=-（Ｃ）2sin(2)6y x π=+（Ｄ）2sin()23x y π=- 16．若,x y 满足约束条件,1,3 3.x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥则函数2z x y =-的最大值是 （ ）（A ）1- （B ）0 （C ）3 （D ）617．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 （ ）（A ）143 （B ）4 （C ）103（D ）318．若直线4ax by +=和圆224x y +=没有公共点，则过点(,)P a b 的直线l 与椭圆22194x y +=的公共点（ ） （A ）至少有一个 （B ）有两个 （C ）只有一个 （D ）不存在三、解答题解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定侧视图俯视图主视图区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 19．（本题12分）圆形广场的有南北两个大门在中轴线上，东、西各有一栋建筑物与北门的距离分别为30米和40米，且以北门为顶点（视大门和建筑物为点）的角为060，求广场的直径（保留两位小数）.20．（本题14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设底面直径和高都是4的圆柱的内切球为O . （1）求球O 的体积和表面积；（2）AB 是与底面距离为1的平面和球的截面圆M内的一条弦，其长为AB 两点间的球面距离.21．（本题14分）本题共有3小题，第1小题满分3 分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.设椭圆()222210y x a b a b+=>>两顶点(,0),(,0)A b B b -焦距为2，过点(4,0)P 的直线l 与椭圆交于,C D 两点． （1）求椭圆的方程；（2）求线段,C D 中点Q 的轨迹方程；（3）若直线AC 的斜率为1，在椭圆上求一点M ，使三角形22．（本题16分）本题共有3小题，第1小题满分3 分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，其中11a =，n S 是n a 的前n 和. （1）求23456,,,,a a a a a ； （2）求n a ； （3）求n S .23．（本题18分）本题共有3小题，第1小题满分4 分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()(1|1|)f x a x =--，a 为常数，且1a >.DCBA（1）求()f x 的最大值；（2）证明函数()f x 的图象关于直线1x =对称； （3）当2a =时，讨论方程(())f f x m =解的个数.文科答案 1、12；2、x=-2；3、(0,1]；4、5；5、12k πθπ=+或5()12k k Z πθπ=+∈； 6、4；7、287/300；8、直线；9、4；10、||MA ∈；11、1/4； 12、．①②③④；13、22(1)(1)2x y -+-=；14、9；3. BDBB 19．设南、北门分别为点A 、B ，东、西建筑物分别为点C 、D.在BCD 中，2220304023040cos601300CD =+-⋅⋅⋅=，CD =分由于AB 为BCD 的外接圆直径，所以sin 60CD AB ===41.63≈. 所以广场直径约为41.63米. 12分DCBA20． （1）3432233V π=⋅π⋅=球，…… 3分 24216S =π⋅=π表面积 …… 6分 （2）23AOB π∠=， …… 12分 所以AB 两点间的球面距离为43π. …… 14分21．（1）椭圆方程为22154y x +=. …… 3分 （2）设11(,)C x y ，22(,)D x y ，(,)Q x y ，则2211154y x +=①，2222154y x +=②①-②得 21212121()()5()()4y y y y x x x x -⋅+=--⋅+， …… 5分因21212121,4y y y y y y x x x x x x-+==--+， 所以544y y x x ⋅=--，即2252040x x y -+= （01x ≤≤）. ……8分 用代入法求解酌情给分。

2014 年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共14 题，满分 56 分）1．（4 分）（2014?上海）函数 y=1﹣ 2cos2（ 2x）的最小正周期是．【剖析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．【解答】解： y=1﹣2cos2（ 2x）=﹣[ 2cos2（2x）﹣ 1]=﹣cos4x，∴函数的最小正周期为T= =故答案为：．（分）（上海）若复数z=1+2i，此中 i 是虚数单位，则（z+）?=6．2 42014?【剖析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混淆运算化简求解即可．【解答】解：复数 z=1+2i，此中 i 是虚数单位，则（ z+ ）? ==（1+2i）（ 1﹣2i） +1=1﹣4i2+1=2+4=6．故答案为： 63．（4 分）（2014?上海）若抛物线y2=2px 的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程x=﹣ 2．【剖析】由题设中的条件 y2（＞）的焦点与椭圆的右焦点重=2px p0合，故能够先求出椭圆的右焦点坐标，依据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），又 y2（＞）的焦点与椭圆右焦点重合，=2px p0故 =2 得 p=4，∴抛物线的准线方程为x=﹣ =﹣2．故答案为： x=﹣2．（分）（上海）设f （），，，若 f （2）=4，则 a 的取4 42014?x=，，值范围为（﹣∞， 2]．【剖析】可对 a 进行议论，当 a＞2 时，当 a=2 时，当 a＜2 时，将 a 代入相对应的函数分析式，从而求出 a 的范围．【解答】解：当 a＞ 2 时， f （2）=2≠ 4，不合题意；当a=2 时，f（2）=22=4，切合题意；当a＜2 时，f （2）=22=4，切合题意；∴ a≤ 2，故答案为：（﹣∞， 2] ．5．（4 分）（2014?上海）若实数 x， y 知足 xy=1，则 x2+2y2的最小值为 2．【剖析】由已知可得 y= ，代入要求的式子，由基本不等式可得．【解答】解：∵ xy=1，∴y=∴ x2+2y2=x2+ ≥2=2 ，当且仅当 x2=，即x=±时取等，故答案为： 26．（4 分）（2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的3 倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．【剖析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，从而可得母线与轴所成角．【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵ 的面是底面的 3 倍，∴= =3，即的母是底面半径的 3 倍，故的截面以下所示：cosθ=，∴θ=arccos，故答案： arccos7．（4 分）（2014?上海）已知曲 C 的极坐方程ρ（3cosθ 4sinθ）=1，C 与极的交点到极点的距离是．【剖析】由意，θ=0，可得 C 与极的交点到极点的距离．【解答】解：由意，θ=0，可得ρ（ 3cos0 4sin0）=1，∴ C 与极的交点到极点的距离是ρ=．故答案：．8．（ 4 分）（2014?上海）无等比数列 { a n} 的公比 q，若 a1=（a3+a4+⋯a n），q=．【剖析】由已知条件推出 a1，由此能求出q 的．=【解答】解：∵无等比数列 { a n} 的公比 q，a1=（a +a +⋯a）3 4n=（a1 a1q）=，∴q2+q﹣1=0，解得 q= 或故答案为：q=．（舍）．9．（4 分）（2014?上海）若 f （x） =﹣，则知足f（x）＜ 0的x 的取值范围是（0，1）．【剖析】直接利用已知条件转变不等式求解即可．【解答】解： f（x） =﹣，若知足f（x）＜0，即＜，∴＜∵ y=，是增函数，∴＜的解集为：（0，1）．故答案为：（ 0， 1）．10．（ 4 分）（ 2014?上海）为加强安全意识，某商场拟在将来的连续10 天中随机选择 3 天进行紧迫分散操练，则选择的 3 天恰巧为连续 3 天的概率是（结果用最简分数表示）．【剖析】要求在将来的连续10 天中随机选择 3 天进行紧迫分散操练，选择的3天恰巧为连续 3 天的概率，须先求在10 天中随机选择 3 天的状况，再求选择的 3 天恰巧为连续 3 天的状况，即可获得答案．【解答】解：在将来的连续10 天中随机选择 3 天共有种状况，此中选择的 3 天恰巧为连续 3 天的状况有 8 种，分别是（ 1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），∴选择的 3 天恰巧为连续 3 天的概率是，故答案为：．11．（ 4分）（2014?上海）已知互异的复数a， b知足ab≠0，会合 { a， b} ={ a2，b2} ，则a+b=﹣1．【剖析】依据会合相等的条件，获得元素关系，即可获得结论．【解答】解：依据会合相等的条件可知，若则①或②，{ a， b} ={ a2，b2} ，或由①得，或∵ab≠0，∴ a≠ 0 且 b≠0，即 a=1，b=1，此时会合 { 1，1} 不知足条件．若 b=a2， a=b2，则两式相减得 a2﹣b2=b﹣ a，∵互异的复数 a，b，∴ b﹣ a≠ 0，即 a+b=﹣1，故答案为：﹣ 1．12．（ 4 分）（2014?上海）设常数 a 使方程sinx+有三个解 x1，x2，x3，则 x1+x2+x3=．cosx=a在闭区间 [ 0，2π] 上恰【剖析】先利用两角和公式对函数分析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在与三角函数图象恰有三个交点，从而求得此时[ 0，2π] 上，当a= 时，直线x1，x2，x3最后相加即可．【解答】解： sinx+ cosx=2（ sinx+cosx）=2sin（x+ ）=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[ 0，2π] 上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令 sin（ x+ ）= ， x+ =2kπ+ ，即 x=2kπ，或 x+ =2kπ+ ，即 x=2kπ+ ，∴此时 x1=0，x2= ，x3=2π，∴ x1+x2+x3=0++2π= ．故答案为：13．（ 4 分）（ 2014?上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得 5 分的概率起码为0.2．【剖析】设小白得 5 分的概率起码为x，则由题意知小白得 4 分的概率为 1﹣x，由此能求出结果．【解答】解：设小白得 5 分的概率起码为 x，则由题意知小白得1，2，3，4 分的概率为 1﹣x，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，E（ξ）=4.2，∴4（ 1﹣ x）+5x=4.2，解得 x=0.2．故答案为： 0.2．．（分）（上海）已知曲线：﹣，直线 l：x=6，若对于点 A（m，14 42014? C x=0），存在 C上的点 P 和 l 上的 Q 使得 += ，则 m 的取值范围为[ 2，3] ．【剖析】经过曲线方程判断曲线特点，经过+ = ，说明 A 是 PQ 的中点，结合 x 的范围，求出 m 的范围即可．【解答】解：曲线 C：x=﹣，是以原点为圆心， 2为半径的圆，而且 x P∈[ ﹣2，0] ，对于点 A（ m，0），存在 C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得 += ，说明 A 是 PQ 的中点， Q 的横坐标 x=6，∴m=∈[ 2，3]．故答案： [ 2， 3] ．二、（共 4 ，分否一律得零分15．（ 5 分）（2014?上海）A．充足非必需条件20 分）每有且只有一个正确答案，得a， b∈ R，“a+b＞4”是“a＞2 且 b＞2”的（B．必需非充足条件5 分，）C．充要条件D．既非充足又非必需条件【剖析】依据不等式的性，利用充足条件和必需条件的定行判断．【解答】解：当 a=5，b=0 ，足 a+b＞4，但 a＞ 2 且 b＞2 不可立，即充足性不可立，若 a＞2 且 b＞2，必有 a+b＞4，即必需性成立，故“a+b＞4”是“a＞2 且 b＞2”的必需不充足条件，故：B．16．（ 5 分）（2014?上海）如，四个棱 1 的正方体排成一个正四棱柱， AB 是一条棱，P（i i=1，2，⋯8）是上底面上其他的八个点， ? （i=1，2，⋯，8）的不一样的个数（）A．1B．2C．3D．4【剖析】成立空适合的直角坐系，利用坐算可得答案．【解答】解：=，?=（）=| | 2+，∵，∴?=||2，=1∴?（i=1，2，⋯，8）的不一样的个数1，应选： A．17．（ 5 分）（2014?上海）已知 P1（a1，b1）与 P2（a2， b2）是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不一样的点，则对于x 和 y 的方程组的解的状况是（）A．不论 k，P1，P2怎样，老是无解B．不论 k，P1，P2怎样，总有独一解C．存在 k，P1，P2，使之恰有两解D．存在 k，P1，P2，使之有无量多解【剖析】判断直线的斜率存在，经过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2， b2的关系，而后求解方程组的解即可．【解答】解： P1（ a1，b1）与 P2（ a2，b2）是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，直线 y=kx+1 的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，而且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴ a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1，①× b2﹣②× b1得：（ a1b2﹣a2b1） x=b2﹣b1，即（ a1﹣a2） x=b2﹣b1．∴方程组有独一解．应选： B．18．（ 5 分）（2014?上海）设 f（ x）=，，若 f（ 0）是 f （x）的最，＞小值，则 a 的取值范围为（）A．[ ﹣1，2]B．[ ﹣1，0]C．[ 1，2]D．[ 0，2]【剖析】当 a＜0 时，明显 f（0）不是 f （x）的最小值，当a≥0 时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣ 1≤a≤ 2，问题解决．【解答】解；当 a＜ 0 时，明显 f（0）不是 f（ x）的最小值，当 a≥0 时， f （0）=a2，由题意得： a2≤x+ +a，解不等式： a2﹣a﹣2≤0，得﹣ 1≤ a≤ 2，∴0≤ a≤2，应选： D．三、解答题（共 5 题，满分 72 分）19．（ 12 分）（ 2014?上海）底面边长为2 的正三棱锥 P﹣ABC，其表面睁开图是三角形 P1P2P3，如图，求△ P1P2 P3的各边长及此三棱锥的体积 V．【剖析】利用侧面睁开图三点共线，判断△ P1P2P3是等边三角形，而后求出边长，利用正四周体的体积求出几何体的体积．【解答】解：依据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ ABP1=∠ BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，∴∠ ABP=∠BAP =∠CBP=60°，112∴∠ P1=60°，同理∠ P2=∠P3=60°，∴△ P1P2P3是等边三角形， P﹣ ABC是正四周体，∴△ P1P2P3的边长为 4，V P﹣ABC==20．（ 14 分）（ 2014?上海）设常数 a≥0，函数 f（ x）=．（1）若 a=4，求函数 y=f（ x）的反函数 y=f﹣1（x）；（2）依据 a 的不一样取值，议论函数 y=f（x）的奇偶性，并说明原因．【剖析】（1）依据反函数的定义，即可求出，（2）利用分类议论的思想，若为偶函数求出 a 的值，若为奇函数，求出 a 的值，问题得以解决．【解答】解：（1）∵ a=4，∴∴，∴，∴调动 x，y 的地点可得（ 2）若 f （x）为偶函数，则，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．f（ x） =f（﹣ x）对随意 x 均成立，∴=，整理可得a（2x﹣ 2﹣x） =0．∵ 2x﹣2﹣x不恒为 0，∴ a=0，此时 f（ x）=1，x∈R，知足条件；若 f（ x）为奇函数，则f（x）=﹣f （﹣ x）对随意 x 均成立，∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，∴a=±1，∵a≥ 0，∴ a=1，此时 f （x） =，，知足条件；当 a＞0 且 a≠1 时， f（ x）为非奇非偶函数综上所述， a=0 时， f（x）是偶函数， a=1 时， f（x）是奇函数．当 a＞0 且 a≠1 时， f（x）为非奇非偶函数21．（ 14 分）（ 2014?上海）如图，某企业要在A、 B 两地连线上的定点 C 处建筑广告牌 CD，此中 D 为顶端， AC 长 35 米， CB 长 80 米，设点 A、 B 在同一水平面上，从 A 和 B 看 D 的仰角分别为α和β．（1）设计中 CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问 CD的长至多为多少（结果精准到 0.01 米）？（2）施工达成后，CD 与铅垂方向有误差，此刻实测得α=38.12，°β=18.45，°求CD的长（结果精准到 0.01 米）．【剖析】（1）设 CD 的长为 x，利用三角函数的关系式成立不等式关系即可获得结论．（ 2）利用正弦定理，成立方程关系，即可获得结论．【解答】解：（1）设 CD的长为 x 米，则 tan α=， tan β=，＜＜∵ 0，∴tan α≥tan2 β＞ 0，∴ tan，即=，解得 0＜≈28.28，即 CD的长至多为 28.28 米．（ 2）设 DB=a，DA=b，CD=m，则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43，°由正弦定理得，即 a=，∴ m=≈26.93，答： CD的长为 26.93 米．22．（ 16 分）（2014?上海）在平面直角坐标系xOy 中，对于直线 l：ax+by+c=0 和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点 P1，P2被直线 l 分开，若曲线 C 与直线 l 没有公共点，且曲线 C 上存在点P1、P2被直线 l 分开，则称直线 l 为曲线 C 的一条分开线．（1）求证：点 A（1，2），B（﹣ 1，0）被直线 x+y﹣1=0 分开；（2）若直线 y=kx 是曲线 x2﹣4y2=1 的分开线，务实数 k 的取值范围；（3）动点 M 到点 Q（0，2）的距离与到 y 轴的距离之积为 1，设点 M 的轨迹为曲线 E，求证：经过原点的直线中，有且仅有一条直线是 E 的分开线．【剖析】（1）把 A、B 两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再依据η＜0，得出结论．（2）联立直线 y=kx 与曲线 x2﹣ 4y2=1 可得（ 1﹣ 4k2） x2 =1，依据此方程无解，可得 1﹣4k2≤0，从而求得 k 的范围．（3）点 M（x， y），与条件求得曲 E 的方程 [ x2+（ y 2）2] x2=1 ①．因为 y x=0，然与方程① 立无解．把 P1、P2的坐代入 x=0，由η=1×（1）= 1＜0，可得 x=0 是一条分开．【解答】（1）明：把点（ 1，2）、（ 1， 0）分代入x+y 1 可得（ 1+2 1）（ 1 1）= 4＜0，∴点（ 1，2）、（ 1， 0）被直x+y 1=0 分开．（2）解：立直 y=kx 与曲 x2 4y2=1 可得（1 4k2）x2=1，依据意，此方程无解，故有 1 4k2≤0，∴ k≤ ，或k≥ ．曲上有两个点（ 1，0）和（ 1， 0）被直 y=kx 分开．（ 3）明：点M （x，y），?| x| =1，故曲 E 的方程 [ x2+（y 2）2] x2=1 ①．y x=0，然与方程① 立无解．又 P1（1，2）、P2（ 1，2） E 上的两个点，且代入 x=0，有η=1×（ 1）= 1＜0，故 x=0 是一条分开．若原点的直不是y ， y=kx，代入 [ x2+（ y2）2] x2=1，可得 [ x2 +（ kx 2）2] x2=1，令 f（ x）=[ x2+（ kx 2）2] x2 1，∵ k≠ 2，f（0）f（1）=（ k 2）2＜ 0，∴ f（ x） =0 在（ 0，1）有数解，k=2， f（x）=[ x2+（2x 2）2] x2 1=0 没有数解，即 y=kx 与 E 有公共点，∴ y=kx不是 E 的分开．∴通原点的直中，有且有一条直是 E的分开．23．（ 16 分）（ 2014?上海）已知数列 { a n} 足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（ 1）若 a2=2，a3=x， a4=9，求 x 的取范；（ 2） { a } 是公比 q 的等比数列， S +a +⋯a，若S n ≤S +≤3S ，n∈N*，n n=a1 2n n 1n 求 q 的取范．（ 3）若 a1， a2，⋯a k成等差数列，且 a1+a2+⋯a k=1000，求正整数 k 的最大，以及 k 取最大相数列 a ，a ，⋯a的公差．12k【剖析】（1）依意：，又将已知代入求出x 的范；（ 2）先求出通：，由求出，q 分求出 S n分代入不等式S n≤S n+1≤3S n，获得对于 q 的不等式，解不等式求出 q 的范．（3）依意获得对于 k 的不等式，得出 k 的最大，并得出 k 取最大 a1，a2，⋯a k的公差．【解答】解：（1）依意：，∴；又∴3≤ x≤27，上可得： 3≤x≤ 6（ 2）由已知得，，，∴，当 q=1 ， S n，n≤S n+1≤3S n，即，成立．=n S当 1＜q≤3 ，，S n≤ S n+1≤3S n，即，∴不等式∵q＞ 1，故 3q n+1 q n 2=q n（3q 1） 2＞2q n 2＞0 于不等式 q n+1 3q n+2≤0，令 n=1，得 q2 3q+2≤0，解得 1≤q≤2，又当 1≤q≤2，q 3＜0，∴q n+1 3q n+2=q n（q 3）+2≤ q（ q 3） +2=（q 1）（ q 2）≤ 0 成立，∴1＜ q≤ 2，当＜，， S n≤ S n+1≤ 3S n，即，，∴此不等式即3q 1＞0，q 3＜0，3q n+1q n2=q n（3q 1） 2＜2q n2＜0，q n+13q n+2=q n（ q 3） +2≥q（q 3）+2=（ q 1）（q 2）＞ 0∴＜，不等式恒成立，上， q 的取范：．（ 3） a ， a ，⋯a的公差 d．由，且 a，12k1=1得，，，，即，，，当 n=1 ，≤d≤2；当 n=2，3，⋯，k 1 ，由＞，得 d≥，因此 d≥，因此 1000=k，即 k2 2000k+1000≤0，得 k≤1999因此 k 的最大 1999，k=1999 ， a1，a2，⋯a k的公差．。

上海市静安、杨浦、青浦、宝山 2013—2014学年联合高考模拟考试理科数学试卷（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.4一、填空题 (本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）2. 已知j i,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量j i +的模等于 .3．二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________.4.已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)5.已知集合{}sin ,A y y x x R ==∈，{}21,B x x n n Z ==+∈，则AB = .理6文7.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点，且弦AB 的中点为(1,2)P ，则直线AB 的方程为 .理7文8.已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________.理8文10. 已知首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈的各项和等于4，则这个数列{}n a 的公比是 ．9．（理）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααy x （α为参数），O 为坐标原点，M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．则2C 的参数方程为 .10. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .11．（理）从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数，则ξ的数学期望是 ．12．（理）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数.第10题图已知数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ，nn a b 41-=（*N n ∈），则数列{}n b 的变号数为 .13.（理）已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S l i m . （其中*N n ∈）14．（理）正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中，如图所示，设α=∠A ，若4411=S ，4402=S ，则=α2sin .二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15. （理）在实数集R 上定义运算*：(1)x y x y *=⋅-．若关于x 的不等式()0x x a *->的解集是集合{|11}x x -≤≤的子集，则实数a 的取值范围是…………………（ ）.)(A [0,2] )(B [2,1)(1,0]---)(C [0,1)(1,2] )(D [2,0]- 16．“1=ω”是“函数x x x f ωω22cos sin )(-=的最小正周期为π”的…………（ ）.)(A 充分必要条件 )(B 充分不必要条件 )(C 必要不充分条件 )(D 既不充分又必要条件17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =………………………………………………………………（ ）. )(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:118.（理）函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是…………………………………………（ ）.ABCDEFS 1αABCPNF S 2αMQ)(A 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ )(B 10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ )(C 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ )(D 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）（理）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB =F 是BC的中点.(1) 求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度． （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分（理）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；ADC F PB(第20题图)（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DPMN的取值范围． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分（理）设函数xx g 3)(=，xx h 9)(=.（1） 解方程：)9)((log )8)(2(log 33+=-+x h x g x ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，3)(3)(+=x h x q ，求证：)20142013()20142012()20142()20141()20142013()20142012()20142()20141(q q q q p p p p ++++=++++ （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x恒成立，求实数k 的取值范围. 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（理）设各项都是正整数的无穷数列{}n a 满足：对任意*N n ∈，有1+<n n a a ．记n a n a b =． （1）若数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n 3=，证明：21=a ；（3）若数列{}n a 的首项11a =，1+=n a n a c ，{}n c 是公差为1的等差数列．记n nn a d ⋅-=2，n n n d d d d S ++++=-121 ，问：使5021>⋅++n n n S 成立的最小正整数n 是否存在？并说明理由．四区2013学年度高考模拟考试数学试卷文理科解答参考答案及评分标准 2014.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 理1．2； 2．2 3．35； 4．π125．{}1,1-；6． 30x y +-= 7. 22； 8．41 9． ⎩⎨⎧==,sin 4,cos 4ααy x （α为参数）；10. 13811．.895613561525630156100=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 12．3． 13.2314．1012sin =α 3．35； 4．π125．{}1,1-；6．}2,6,2,65{ππππ--7.30x y +-= ； 8．229．37； 10. 41 11. 2213y x -=； 12．1253381556C C C = 13．当1-=ac 时，0lim 622222=⎪⎭⎫⎝⎛++∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n c a c a c a c a ； 当1=ac 时，c a =舍去． 14.]41,0(二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．D ；16．B ；17．C ；18．理D ；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（理）1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A CB D F P --. (1) 证明方法一：Q 四边形是平行四边形，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC .方法二：证得DA uu u r是平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =u r， 又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =r，所以||cos ,5||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴所求二面角的余弦值为5. 20．(1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++， 令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．21．理（1）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-.由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-. 又因为221a b -=，解得2,a b ==.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+. 所以弦MN 的中点为22243(,)3434k kP k k -++.所以MN ===2212(1)43k k +=+.直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<<. 所以DP MN的取值范围是1(0,)4.22．理（1）99)832(3+=-⋅⋅xx x ，93=x ，2=x（2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ． 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ．（3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x x k 对任意的R x ∈都成立， 即x x k 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k . 23．理（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ；（2）根据反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈证明：假设12a ≠，又*N a n ∈，所以11a =或*113()a a N ≥∈①当11a =时，1111a b a a ===与13b =矛盾，所以11a ≠；②当*113()a a N ≥∈时，即1113a a b a ≥==，即11a a a ≥，又1+<n n a a ，所以11a ≤与*113()a a N ≥∈矛盾；由①②可知21=a ．（3）首先{}n a 是公差为1的等差数列， 证明如下：1n n a a +>*2,n n N ⇒≥∈时1n n a a ->，所以11n n a a -≥+()n m a a n m ⇒≥+-，*(,)m n m n N <∈、1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++⇒≥++-+即11n n n n c c a a ++-≥-由题设11n n a a +≥-又11n n a a +-≥11n n a a +⇒-=即{}n a 是等差数列．又{}n a 的首项11a =，所以n a n =，)223222(32nn n S ⋅++⋅+⋅+-= ，对此式两边乘以2，得14322232222+⋅--⋅-⋅--=n n n S两式相减得=⋅-++++=+13222222n n n n S 22211-⋅-++n n n 22211-=⋅+++n n n n S ，5021>⋅++n n n S 即5221≥+n ，当5≥n 时，526421>=+n ，即存在最小正整数5使得5021>⋅++n n n S 成立． 注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明n a n =．。

2014年高三第五次模拟考试数学试题（理/文）2014.3.22命题人：邬小军 审核：高三数学组第Ⅰ卷 选择题（共75分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分;）1．（理）已知集合{}2,0xA y y x -==<，集合{}12B x y x ==，则A B ⋂=( B )A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ （文）复数(34)i i +的虚部等于（ A ）A. 3B. 3iC. 4-D. 42．（理）下列函数中，即是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ B ） A. 32x y = B. 1+=x yC. 42+-=x yD. xy -=2（文）函数21()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为（ B ）A ．[2,0)(0,2]-B ．(1,0)(0,2]-C ．[2,2]-D ．(1,2]- 3．（理）已知2()sin ()4f x x π=+若a =f (lg5),1(lg )5b f =则 （ A ）A ．a+b=1B ．a-b=0C ．a+b=0D ．a-b=1 （文）下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是（ D ）A. sin()23xy π=+ B. sin()23x y π=-C. sin(2)3y x π=- D. sin(2)3y x π=+4．函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 （ B ）A ．(-1,1]B ．(0,1]C ．[1,+∞)D ．(0,+∞)5．（理）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则数列{}n a 是（C ）A ．等差数列B ．等比数列C ．既非等差又非等比D ．既是等差又是等比（文）已知x ，y 满足,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ C ）A. 1B. 2C. 3D. 46．已知x 、y 的取值如右表所示从散点图分析，y 与x 线性相关，且a x y +=8.0ˆ，则a =( B )A. 0.8B. 1C. 1.2D. 1.57.已知平面向量,a b 满足||2,||3,(2)0a b a a b ==⋅-= 则||a b -=（ B ）A ．2 B. 3 C. 4 D. 68．（理）航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ D ） A ．12种B.16种C.24种D. 36种（文）已知一个三棱柱的所有棱长均相等，侧棱垂直于底面,其侧视图如图所示，那么此三棱柱正视图的面积为（ A ）A.23B. 4C. 3D. 439．(理)小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a<b ），其全程的平均时速为v ，则 （ A ） A.a<v<ab B.v=ab C.ab <v<2a b + D.v=2a b+ (文)已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是（ B ） A ． 相切B. 相交C. 相离D. 不确定10．如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以,OA OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( C )A ． 112π-B ．1πC ．21π-D ．2π第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：（本大题共5小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分）11．（理）如果(2x －1)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，那么a 1＋a 2＋…＋a 6的值等于 0 . （文）已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则n S = 24n n + .12．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝154;13．已知函数()()22log 1,02,0x x f x x x x ⎧+>=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是 （0，1） .侧视图214．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是16，则正整数0n = 8或9 .15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A . (不等式选做题) 设a , b ∈R , |a －b |>2, 则关于实数x 的不等式||||2x a x b -+->的解集是 R .B . (几何证明选做题)如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB ⋅= 5 .C . (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线22x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数)的焦点坐标是（1，0）。

上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014届高三模拟理科数学试卷（带解析）1．在实数集R 上定义运算*：(1)x y x y *=⋅-．若关于x 的不等式()0x x a *->的解集是集合{|11}x x -≤≤的子集，则实数a 的取值范围是（ ）. A.[0,2] B. [2,1)(1,0]--- C. [0,1)(1,2] D.[2,0]-【答案】D 【解析】试题分析：依题意()0x x a *->可得(1)0x x a -+>.由于解集为{|11}x x -≤≤，所以011a <+≤或110a -≤+<，即10a -<≤或21a -≤<-.当1a =-时，解集为空集，所以成立.故选D.考点：1.新定义问题.2.不等式的解法.3.集合间的关系.2．“1=ω”是“函数x x x f ωω22cos sin )(-=的最小正周期为π”的（ ）. A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：因为x x x f ωω22cos sin)(-=可化为()cos 2f x x ω=-.所以可得1=ω是函数()f x 最小正周期为π的充分条件.由于函数的最小正周期为π,则2,12T ππωω==∴=±.所以必要性不成立.故选B.考点：1.三角函数的恒等变形.2.充要条件的知识.3．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =（ ）.A.1:1B.2:1C.3:2D.4:1 【答案】C 【解析】试题分析：假设球的半径为r .则圆柱的底面半径为r .高为2r .所以圆柱的表面积为216S r π=.球的表面积为224S r π=.所以12:3:2S S =.故选C.考点：1.圆柱的表面积.2.球的表面积.3.方程的思想.4．函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）.O xyA.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.10,4⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】D 【解析】试题分析：因为对任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-，所以函数()f x 的周期为2. 由在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，即函数()f x mx m =+在[1,3]-上有四个不同的零点.即函数()y f x =与函数()h x mx m =+在[1,3]-有四个不同的交点.所以0(3)1h <≤.解得1(0,]4m ∈.故选D. 考点：1.分段函数的性质.2.函数的周期性.3.函数的等价变换.5．已知j i ,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量j i +的模等于 .【解析】试题分析：由2i j +=.考点：向量的模的含义. 6．二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）【答案】2【解析】 试题分析：由ii i ++-1101可得(1)(1)2i i -+=.考点：1.行列式的运算.2.复数的运算.7．二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________. 【答案】35 【解析】试题分析：717r rr T C x -+=.依题意可得73,4r r -=∴=.所以展开式中含3x 项的系数值为35.考点：1.二项式定理的展开式.2.项的系数的概念.8．已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π) 【答案】12π 【解析】试题分析：由圆锥的母线长为5,侧面积为π15.则根据12s lr =.即可求出圆锥的底面周长6π.从而解出底面半径3r =.再求出圆锥的高4h =.根据体积公式213V r h π= 12π=.考点：1.圆锥曲线的侧面积.2.圆锥曲线的体积公式.3.图形的展开前后的变化. 9．已知集合{}sin ,A y y x x R ==∈，{}21,B x x n n Z ==+∈，则A B = .【答案】{1,0,1}- 【解析】试题分析：依题意可得集合{11}A y y =-≤≤，集合{,1,0,1,}B =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅.所以A B ={1,0,1}-.考点：1.集合描述法表示.2.三角函数的值域.10．在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点，且弦AB 的中点为(1,2)P ，则直线AB 的方程为 . 【答案】30x y +-= 【解析】试题分析：假设1122(,),(,)A x y B x y .AB 的中点坐标为00(,)x y .所以可得22112222(1) 4(1) 4 x y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩①②.由①-②可得001AB x k y =-.即1AB k =-.所以:30AB l x y +-=. 考点：1.点差法的应用.2.直线与圆的位置关系.3.直线方程的表示. 11．已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________.【答案】【解析】试题分析：由1log log 22=+y x 可得2log ()1,2xy xy =∴=.又y x +≥=.当且仅当x y =时取等号. 考点：1.对数的知识.2.基本不等式.12．已知首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈的各项和等于4，则这个数列{}n a 的公比是 ． 【答案】14【解析】试题分析：首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈，设公比为q ,由各项和等于 4.即341q=-.解得14q =.考点：无穷等比数列的求和公式.13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααy x （α为参数），O 为坐标原点，M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．则2C 的参数方程为 .【答案】4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）【解析】试题分析：设点(,)P x y .由2OP OM =，可得4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩.即2C 的参数方程为4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）. 考点：1.参数方程的知识.2.向量相等.14．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .【答案】138【解析】 试题分析：由程序框图可知，x=1,y=1,z=2;当x=2,y=3,z=5;当x=3,y=5,z=8;当x=5,y=8,z=13;当x=8,y=13,z=21.由21>20.所以退出循环.即可得138y x =. 考点：1.程序框图.2.数的交换运算. 15．从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数，则ξ的数学期望是 ． 【答案】98【解析】试题分析：由8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动共有3856C =种情况.所以3510(0)5656C P ξ===.215330(1)5656C C P ξ===.125315(2)5656C C P ξ===.03531(3)5656C C P ξ===.所以ξ的数学期望是30151639()23565656568E ξ=+⨯+⨯==. 考点：1.概率问题.2.数学期望.16．设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数.已知数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ，nn a b 41-=（*N n ∈），则数列{}n b 的变号数为 . 【答案】3【解析】试题分析：由数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ，所以11a =.当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-.所以42912525n n b n n -=-=--.当10i i bb +<（正整数i ）时，即292702523i i i i --⋅<--.所以3522i <<或7922i <<.所以i=2,4又因为1235150bb =-⨯=-<，所以i=1.所以数列{}n b 的变号数为3.考点：1.数列的求和公式.2.数列与不等式交汇.3.分类归纳的思想.4.递推的数学思想. 17．已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim . （其中*N n ∈）【答案】32【解析】试题分析：依题意可得函数2222 [0,2)1(68) [2,4)3()1(1024) [4,6)9x x x x x x f x x x x ⎧-+∈⎪⎪-+-∈⎪=⎨⎪-+-∈⎪⎪⋅⋅⋅⎩.所以11a =，213a =，319a =，…，113n n a -=.所以数列}{n a 是一个首项为1，公比为13的等比数列.所以31(1)23n n S =-.所以=∞→n n S lim 32.考点：1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题.18．正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中，如图所示，设α=∠A ，若4411=S ，4402=S ，则=α2sin .ABCDEFS 1 αABCPNF S 2αMQ【答案】110【解析】试题分析：依题意可得4411=S ，所以21FD =，4402=S ,所以MQ =.所以21cos sin AF αα=，所以即21cos 21sin AC αα=+.AM CM α==，所以AC α=.即可得21c o s2110c o s s i n ααα+=+.即21(sin cos )cos αααα+=.令sin cos tαα+=.则22sin cos 1t αα=-.所以可得2210t -=.解得t =或t =（由于1sin 2011α=-<，所以舍去.），所以21sin 2110t α=-=. 考点：1.解三角形的知识.2.三角形相似的判定与性质.3.三角的运算.19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB =，F 是BC 的中点.ADCFPB（1）求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=n 是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）参考解析；（2）5【解析】试题分析：（1）需证明DA ⊥平面PAC ，转化为证明AD ⊥AC,AD ⊥PA.因为PA 垂直平面ABCD ，由题意可得AD ⊥AC,AD ⊥PA 显然成立，即可得结论.（2）如图建立空间直角坐标系，因为)1,1,1(=是平面PCD 的法向量，所以求出平面PAF的法向量(1,2,0)m =u r，再根据两平面的法向量的夹角的余弦值，即可得到平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值，试题解析： 1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A C B D F P --. (1) 证明方法一：Q 四边形是平行四边形，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC .方法二：证得DA uu u r是平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =u r， 又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =r，所以||cos ,5||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴考点：1.线面垂直的证明2.二面角.3.空间向量的运算.4.运算的能力.20．某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度．（1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？【答案】（1）10210x x θ+=+；（2）参考解析 【解析】试题分析：（1）由于花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度.所以AD 的弧长为10θ，BC 的弧长为x θ.所以可得102(10)30x x θθ++-=.即可得结论.（2）由花坛两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．即可得所需费用的关系式. 花坛的面积由大扇形面积减去小的扇形面积即可，再利用基本不等式即可求得结论.试题解析：(1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<． 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++，令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．考点：1.扇形的面积.2.函数的最值.3.基本不等式的应用.21．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DP MN的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】试题分析：（1）由椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>的右焦点F (1,0)，即1c =.又短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-，即可求出a ，b 的值.从而得到椭圆的方程.（2）由（1）可得假设直线AB 的方程联立椭圆方程消去y 即可得到一个关于x 的二次方程，由韦达定理得到根与直线斜率k 的关系式.写出线段AB 的中点坐标以及线段AB 的垂直平分线的方程.即可得到点D 的坐标.即可求得线段PD 的长，根据弦长公式可得线段MN 的长度，再通过最的求法即可得结论.试题解析：（1）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-. 由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-. 又因为221a b -=，解得2,a b ==.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+.所以弦MN 的中点为22243(,)3434k k P k k -++.所以MN == 2212(1)43k k +=+.直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =.所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<. 所以DP MN 的取值范围是1(0,)4.考点：1.向量的数量积.2.椭圆的性质.3.等价转化的数学思想.4.运算能力. 22．设函数xx g 3)(=，xx h 9)(=.（1）解方程：)9)((log )8)(2(log 33+=-+x h x g x ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，3)(3)(+=x h x q ，求证：)20142013()20142012()20142()20141()20142013()20142012()20142()20141(q q q q p p p p ++++=++++（3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）2=x ；（2）参考解析；（3）2<k 【解析】试题分析：（1）由于函数x x g 3)(=，x x h 9)(=，所以解方程0)1()(8)(=--h x g x h .通过换元即可转化为解二次方程.即可求得结论.（2）由于3)()()(+=x g x g x p 即得到()x P x =.所以()(1)1p x p x +-=.所以两个一组的和为1，还剩中间一个21323)21()20141007(===p p .即可求得结论. （3）由bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，可求得1,3=-=b a .又由于0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立.该式的理解较困难，所以研究函数()f x 的单调性可得.函数()f x 在实数集上是递增.集合奇函数，由函数值大小即可得到变量的大小，再利用基本不等式，从而得到结论.试题解析：（1）99)832(3+=-⋅⋅xx x ，93=x ，2=x（2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ． 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ．（3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=xx f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x x k 对任意的R x ∈都成立， 即x xk 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k . 考点：1.解方程的思想.2.函数的单调性.3.归纳推理的思想.4.基本不等式.23．设各项都是正整数的无穷数列{}n a 满足：对任意*N n ∈，有1+<n n a a ．记n a n a b =． （1）若数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n 3=，证明：21=a ；（3）若数列{}n a 的首项11a =，1+=n a n a c ，{}n c 是公差为1的等差数列．记n n n a d ⋅-=2，n n n d d d d S ++++=-121 ，问：使5021>⋅++n n n S 成立的最小正整数n 是否存在？并说明理由．【答案】（1）142n n b -=；（2）参考解析；（3）存在5【解析】试题分析：（1）由于数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，所以通项公式为12 (*)n n a n N -=∈.由于数列{}n a 为递增数列，所以都符合1+<n n a a .即可得到数列{}n b 的通项公式.（2）由于各项都是正整数的无穷数列{}n a ，所以利用反正法的思想，反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈即可得到证明.（3）由{}n a 各项都是正整数，所以由1n n a a +>可得到11n n a a +≥+.所以可得到1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++≥++-+.从而可得到{}n a 是公差为1的等差数列.再根据求和公式以及解不等式的知识求出结论. 试题解析：（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ；（2）根据反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈证明：假设12a ≠，又*N a n ∈，所以11a =或*113()a a N ≥∈ ①当11a =时，1111a b a a ===与13b =矛盾，所以11a ≠；②当*113()a a N ≥∈时，即1113a a b a ≥==，即11a a a ≥，又1+<n n a a ，所以11a ≤与*113()a a N ≥∈矛盾；由①②可知21=a ．（3）首先{}n a 是公差为1的等差数列， 证明如下：1n n a a +>*2,n n N ⇒≥∈时1n n a a ->，所以11n n a a -≥+()n m a a n m ⇒≥+-，*(,)m n m n N <∈、1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++⇒≥++-+即11n n n n c c a a ++-≥-由题设11n n a a +≥-又11n n a a +-≥11n n a a +⇒-= 即{}n a 是等差数列．又{}n a 的首项11a =，所以n a n =，)223222(32n n n S ⋅++⋅+⋅+-= ，对此式两边乘以2，得 14322232222+⋅--⋅-⋅--=n n n S两式相减得=⋅-++++=+13222222n n n n S 22211-⋅-++n n n22211-=⋅+++n n n n S ，5021>⋅++n n n S 即5221≥+n ，当5≥n 时，526421>=+n ，即存在最小正整数5使得5021>⋅++n n n S 成立．注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明n a n =．考点：1.数列的性质.2.反证法的知识.3.放缩法证明相等的数学思想.4.数列求和.5.数列与不等式的知识交汇.。

1七宝中学2024学年第一学期高三年级数学开学考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．函数tan2y x =的最小正周期为________．2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅（i 为虚数单位）的值为________． 3．已知集合{}1A x x =≤，{}B x x a =≥，且A B R =，则实数a 的取值范围是________． 4．某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为________．5．已知(1,0)a =，(5,5)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影向量的坐标为________． 6．设圆锥的轴截面是一个边长为4的正三角形，则该圆锥的体积为________．7．在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∠=________．（结果用反三角函数值表示）8．若32)(2)32(,n n n x x ax bx n cx N n +=+++++∈≥，且:3:2a b =，则n =________． 9．对于正数a 、b ，称2a b+是a 、b是a 、b 的几何平均值．设1x >，1y >，若ln x 、ln y 的算术平均值是1，则x e 、y e 的几何平均值（e 是自然对数的底数）的最小值是________．10．已知()y f x =是以2为周期的偶函数，当[]0,1x ∈时，()f x 的解析式为y =，那么在区间(1,3)−内，关于x 的方程()()f x kx k k R =+∈有4个根，则k 的取值范围 是________．211．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线C的右支上，12MF MF ⊥，若1MF 与C 的一条渐近线l 垂直，垂足为N ，且12NF ON −=，其中O 为坐标原点，则双曲线C 的标准方程为________． 12．已知1a b ==，12a b ⋅=，(,1)c m m =−，(,1)(,)d n n m n R =−∈．存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T −+−≥恒成立，则实数T 的取值范围是________． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16每题5分）． 13．设a 、b 均为非零实数且a b >，则下列结论中正确的是（ ） A ．22a b −−> B ．11a b −−> C ．22a b > D ．33a b > 14．已知事件A 与事件B 是互斥事件，则（ ） A ．()1P AB =B ．()()()P AB P A P B =C ．()1()P A P B =−D ．()1P AB =15．设正四棱柱1111ABCD A B C D −的底面边长为1，高为2，平面α经过顶点A ，且与棱AB 、AD 、1AA 所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面α共有（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．416．已知{}n a 是等差数列，sin()n n b a =，存在正整数(8)t t ≤，使得n t n b b +=，n N ∈，1n ≥．若集合{},,1n S x x b n N n ==∈≥中只含有4个元素，则t 的可能取值有（ ）个 A ．2 B ．3 C ．4 D ．53三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题分8分 如图，四棱锥P ABCD −的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，2AC =，1BD =，2OP =． （1）求异面直线AP 与BM 所成角；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金1.5千万元后，剩余资金投入再生产。