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平行线的性质和判定精品资料教学过程：一、基础知识点：性质1：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠PMA=∠MNC性质2：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠BMN=∠CNM性质3：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵ AB//CD∴ ∠AMN+∠CNM=180°几何符号语言： （1）∵∠3＝∠2∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）（2）∵∠1＝∠2∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行） （3）∵∠4＋∠2＝180°∴AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ，则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离。
注意：直线AB ∥CD ，在直线AB 上任取一点G ，过点G 作CD 的垂线段GH ，则垂线段GH 的长度也就是直线AB 与CD 间的距离。
⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
A BC DEF 1 2 3 4 A EG BC FH D⑵命题的组成每个命题都是题设、结论两部分组成。
题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。
命题常写成“如果……，那么……”的形式。
具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。
有些命题，没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显。
对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式。
注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．角是平面几何图形中最活跃的元素，前面我们已学习过特殊角、数量关系角等角的知识．当两条直线相交或分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，进一步丰富了角的知识，它们在角的计算与证明中有广泛的应用．与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用，主要体现在如下两个方面：1． 由角定角已知角的关系→（判定）两直线平行→（性质）确定其他角的关系．2．由线定线已知两直线平行→（性质）角的关系行→（判定）确定其他两直线平行．.平行线判定方法：（1） 同位角 相等，两直线平行。
.（2） 内错角相等，两直线平行。
（3） 同旁内角互补，两直线平行。
（4） 垂直于同一直线的两直线平行（5） 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。
平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。
（2） 两直线平行，内错角相等。
（3） 两直线平行， 同旁内角互补。
【基础训练】1.下列命题正确的有 (填序号 )（1）两条直线被第三条直线所截，一定有同位角，所以这两条直线一定平行.（2）两直线不平行，同旁内角不互补.（3）如图，若1l ∥2l ，则∠1+∠2=180°.（4）如图，AD ∥BC ，则∠B +∠C =180°.（5）平行线的同位角的平分线互相平行.2.下列说法正确的是( )A .经过一点有一条直线与已知直线平行B .经过一点有无数条直线与已知直线平行C .经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D .经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3.下列说法正确的有( )①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种; ③若线段AB 与CD 没有交点,则AB ∥CD ;④若a ∥b ,b ∥c ,则a 与c 不相交.⑤两条射线或线段互相垂直是指它们所在的直线互相垂直.A .1个B .2个C .3个D .4个N FE D C B A N M A CD B EB DC A 4.已知：如图，∠BAE +∠AED =180°，∠1=∠2.求证：∠M =∠N .证明：∵∠BAE +∠AED =180°( )，∴ ∥ ( ).∴∠BAE = .又∵∠1=∠2(已知 )，∴∠BAE -∠1= - ( ).即∠MAE = .∴ ∥ ( ).∴∠M =∠N ( ).5如图，一张长方形纸条ABCD 沿MN 折叠后形成的图形，∠DMN =80°，求∠BNC 的度数.6.已知:如图AB //CD ,BCD DAB ∠=∠,AE 、BE 分别平分DAB ∠、ABC ∠.请求出E ∠的度数.7.如下图，已知AD ⊥BC ，NE ⊥BC ，∠E ＝∠EFA ，求证：AD 平分∠BAC .8.如图，已知︒=∠+∠18021， B ∠=∠3.试判断AED ∠与C ∠的关系,并予以说明.G EB D 321FCA9.如图，︒=∠25B ,︒=∠45BCD ,︒=∠30CDE ,︒=∠10E .求证： AB ∥EF .【例1】如图，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB互余的角有个． (安徽省中考题)思路点拨 充分运用对顶角、平行线性质等与角相关的知识，借助互余的概念判断． 注：平面几何的研究除了运用计算方法外，更多的要依靠时图形的观察(直觉能力)，运用演绎推理的方法去完成，往往需要通过观察、实验操作进而猜想蛄论(性质)，或由预设结论去猜想条件，再运用演绎推理方法加以证明．在学习完相交线、平行线内容后，平面几何的学习就由实验几何阶段进入论证几何阶段，顺利跨越推理论证阶段，需注意以下几点：(1)过好语言关；(2)学会识图；(3)善于分析．【例2】 如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交，图中的同旁内角共有( ) ．A ．4对B ．8对C ．12对D ．16对( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解人手．【例3】如图，已知∠B ＝25°，∠BCD ＝45°，∠CDE=30°，∠E ＝10°求征：AB ∥EF ．思路点拨 解本例的困难在于图形中没有“三线八角”，考虑创造条件，在图中添置“三线八角”或作出与AB 或CD 平行的直线．【例4】 如图，在ΔABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC ∥ED ，CE 是∠ACB 的平分线．求证：∠EDF ＝∠BDF ．(天津市竞赛题)EC DF A MN思路点拨综合运用角平分线、垂直的定义、平行线的判定与性质等知识，因图形复杂，故需恰当分解图形．【例5】探究：(1)如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明为什么吗?(2)反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系?请证明；(3)若将点E移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明；(4)若将E点移至图c所示位置，情况又如何?(5)在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论?思路点拨已知AB∥CD，连结AB、CD的折线内折或外折，或改变E点位置、或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间，解题的关键是过E点作AB(或CD)的平行线，把复杂的图形化归为基本图形．注：分析主要从以下两个方面进行：(1)由因导果(综合法)，即从已知条件出发推出相应结论．(2)执果溯因(分析法)，即要得到结论需具备什么条件．解题时，我们既要抓住条件，又要盯住目标，努力促使已知与来知的转化与沟通．探索性问题一般具有以下特点：(1)给出了条件，但没有明确的结论；(2)给出了结论，但没有给出或没有全部给出应具备的条件，(3)先提出特殊情况进行研究，再要求归纳、猜测和确定一般结论；(4)先对某一给定条件和结论的问题进行研究，再探讨改变条件时其结论相应发生的变化，或改变结论时其条件相应发生的变化；(5)解题方法需要独立创新．“解题千万道，解后抛九霄”是难以达到提高解题能力，发展思维的目的的．善于作解题后小结，回顾解题过程，总结解题经验和体会，再进而作一题多解，一题多问，一题多变的思考，挖掘题目的深度和广度，扩大题目的辐射面，这对解题能力的提高是十分有益的．学力训练1．如图，已知AE∥CD，EF交AB于M，MN⊥EF于M，NN交CD于N，若∠BME=110°，则∠MND= ．(湖北成宁市中者题)2．如图，若直线a，b分别与直线c，d相交，且∠1+∠3=90°，∠2一∠3=90°，∠4=115°，那么∠3= ．3．如图，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α= ．(内蒙古中考题)4．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，那么另一角是度．5．如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是( )．A．∠l=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°(南通市中考题)6．．已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm，符合条件l 的条数为( )．A．1 B．2 C．3 D．4(安徽省中考题)7．如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：(1)∠l=∠2；(2)∠3＝∠6；(3)∠4+∠7＝180°；(4)∠5+∠8＝180°，其中能判断a∥b的是( )．A．(1)、(3) B．(2)、(4) C．(1)、(3)、(4) D．(1)、(2)、(3)、(4)(江苏盐城市中考题)8．如图，AB∥EF∥DC，EG∥DB，则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( )．A．6个D．5个C．4个D．3个(湖北省荆门市中考题)9．如图，已知∠l+∠2＝180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并对结论进行证明．10．如图，已知∠1十∠2=180°，∠A＝∠C，AD平分∠BDF．求证：BC平分∠DBE．15．如图，D、G是ΔABC中AB边上的任意两点，DE∥BC，GH∥DC，则图中相等的角共有( )．A，4对B．5对 C ．6对D．7对16．如图，若AB∥CD，则( )．A．∠1＝∠2+∠3 B．∠1＝∠3一∠2C．∠1+∠2+∠3＝180°∠l一∠2十∠3＝180°17．如图，AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于( )．A．180°B．270°C．360°D．450°18．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是( )．A．β=α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β－γ＝180°D．β+γ－α＝180°19．如图，已知AB∥CD，P为HD上任意一点，过P点的直线交HF于O点，试问：∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎样的关系?用式子表示并证明．20．如图，已知AB∥CD，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D，证明：β=2α．22．如图，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．(1)求∠EOB的度数．(2)若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化?若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA?若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．。
平行线的判定与性质讲义一．知识回顾： （一）、与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合应用，主要体现在以下两个方面：1. 由角定角已知角的关系两直线平行 确定其它角的关系2. 由线定线已知两直线平行 角的关系 确定其它两直线平行（二）、探索几何问题的解决方法，主要从以下两个方面去分析：1. 由因导果（综合法）：即——从已知条件出发，推出相应的结论。
2. 执果溯因（分析法）：即——要得到结论需要具备什么条件。
所以：解题时，我们即要抓住条件，又要盯住目标，努力促使已知与未知的转化与沟通。
二．例题评析1.如图, 已知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6.求证: AD ∥BC.2如图，AD ⊥BC 于点D ，EF ⊥BC 于点F ，EF 交AB 于点G ，交CA 的延长线于点E ，且∠1=∠2．AD 平分∠BAC 吗？说说你的理由．A BCD E F2 3 145 6 12 AB CD F GE3. 如图，已知一个面积为50cm 2的正方形与另一个小正方形并排放在一起，求：⊿ABC 的面积。
（重庆市竞赛题）4.如图，如果AB ∥CD ，请猜想α、β、γ之间的关系，并加以说明。
三．专题精练（一）平行线之间的基本图形 如图，AB//CD ，那么A E C A ∠∠∠与、有什么关系？DDECγβαDCB A（二） 两组平行线的证明题【找出连接两组平行线的角】已知：如图，CD 平分∠ACB ，AC ∥DE ，∠DCE=∠FEB ，求证：EF 平分∠DEB ．（三）、两组平行线构造平行四边形已知：如图，AB 是一条直线，∠C = ∠1，∠2和∠D 互余，BE ⊥FD 于G ．求证：AB ∥CD ．（四）、证特殊角已知：如图，AB ∥DE ，CM 平分∠BCE ，CN ⊥CM ．求证：∠B ＝2∠DCN ．（五）、寻找角之间的关系已知，如图，BCE 、AFE 是直线，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4。
一、授课目的与分析：一、授课目的与分析：教学目标：1. 了解平行线的概念和两条直线的位置关系了解平行线的概念和两条直线的位置关系2. 掌握平行公理及其推论，掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质掌握平行公理及其推论，掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质重 点：平行公理及其推论、两直线平行的判定方法和平行线的性质的应用平行公理及其推论、两直线平行的判定方法和平行线的性质的应用 难 点：平行的性质和判定的综合应用二、授课内容：二、授课内容： 平行线的性质与判定教学过程：【知识点】【知识点】1、平行线的概念：、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b 2、两条直线的位置关系、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。
3、平行公理――平行线的存在性与惟一性、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行5、 平行线的判定与性质平行线的判定与性质 平行线的判定平行线的判定 平行线的性质平行线的性质 1、 同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行 2、 内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行 3、 同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行 4、 平行于同一条直线的两直线平行平行于同一条直线的两直线平行 5、 垂直于同一条直线的两直线平行垂直于同一条直线的两直线平行 1、两直线平行，同位角相等、两直线平行，同位角相等 2、两直线平行，内错角相等、两直线平行，内错角相等 3、两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，同旁内角互补 4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行知直线平行 6两条平行线的距离两条平行线的距离如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ，则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离。
平行线的判定和性质（综合篇）一、重点和难点：重点：平行线的判定性质。
难点：①平行线的性质与平行线的判定的区分②掌握推理论证的格式。
二、例题：这部分内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、内错角或同旁内角。
解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念，关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征。
上述类型题目大致可分为两大类。
一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。
其方法是“由线定角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。
另一类题目主要是“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。
例1．如图，已知直线a,b,c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：∠1=∠7分析：运用综合法，证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系。
∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同位角。
须证a//c。
法（一）证明：∵d是直线（已知）∴∠1+∠4=180°（平角定义）∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）∴∠3=∠4（等角的补角相等）∴a//c（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）法（二）证明：∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）∴∠1+∠3=180°（等量代换）∵∠5=∠1，∠6=∠3（对顶角相等）∴∠5+∠6=180°（等量代换）∴a//c （同旁内角互补，两直线平行）∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）。
例2．已知如图，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF，求证：BC平分∠DBE。
分析：只要求得∠EBC=∠CBD，由∠1+∠2=180°推出∠1=∠BDC，从而推出AE//FC，从而推出∠C=∠EBC而∠C=∠A于是可得∠A=∠EBC。
因此又可得AD//BC，最后再运用平行线性质和已知条件便可推出∠EBC=∠DBC。
证明：∵∠2+∠BDC=180°（平角定义）又∵∠2+∠1=180°（已知）∴∠BDC=∠1（同角的补角相等）∴AE//FC（同位角相等两直线平行）∴∠EBC=∠C（两直线平行内错角相等）又∵∠A=∠C（已知）∴∠EBC=∠A（等量代换）∴AD//BC（同位角相等，两直线平行）∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）∠ADF=∠C（两直线平行，同位角相等）又∵DA平分∠BDF（已知）∴∠ADB=∠ADF（角平分线定义）∴∠EBC=∠DBC（等量代换）∴BC平分∠DBE（角平分线定义）说明：这道题反复应用平行线的判定和性质，这是以后在证题过程中经常使用的方法，见到“平行”应想到有关的角相等，见到有关的角相等，就应想到能否判断直线间的平行关系。
把平行线的判定与性质紧密地结合在一起也就是使直线平行和角相等联系在一起，这样解题能得心应手，灵活自如。
三、小结：证明角相等的基本方法1、第一章、第二章中已学过的关于两个角相等的命题：（1）同角（或等角）的余角相等；（2）同角（或等角）的补角相等；（3）对顶角相等；（4）两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补。
以上四个命题是我们目前论证两个角相等的武器，但是何时用这些武器，用什么武器，怎样使用，这是遇到的一个具体问题，需要认真进行分析。
首先必须分析，在题设中给出了哪些条件，与其相关的图形是什么！其次再分析一下要证明的两个角在图形的具体位置，与已知条件有什么关联，怎样运用一次推理或几个一次推理的组合而来完成题设到结论的过渡。
例3，如图∠1=∠2=∠C，求证∠B=∠C。
分析：题设中给出三个相等的角，其中∠2和∠C是直线DE和BC被AC所截构成的同位角，由∠2=∠C则DE//BC。
再看题中要证明的结论是∠B=∠C，由于∠C=∠1，所以只要证明∠1=∠B，而∠1与∠B是两条平行直线DE，BC被直线AB所截构成的同位角，∠1=∠B是很显然的，这样我们就理顺了从已知到求证的途径：证明：∵∠2=∠C（已知），∴DE//BC（同位角相等，两直线平行），∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），又∵∠1=∠C（已知），∴∠B=∠C（等量代换）。
例4、已知如图，AB//CD，AD//BC，求证：∠A=∠C，∠B=∠D。
分析：要证明∠A=∠C，∠B=∠D，从这四个角在图中的位置来看，每一组既不构成同位角，也不是内错角或同旁内角，由此不可能利用题设中的平行关系，经过一次推理得到结论，仍然如同例10一样通过等角进行转化，从题设条件出发，由AB//CD，且AB与CD被直线BC所截，构成了一对同旁内角，∠B、∠C，因此∠B+∠C=180o，同时∠B又是另一对平行线AD、BC被直线AB所截，构成的一对同旁内角∠B、∠A，∠B+∠A=180o，通过∠B的中介，就可以证明得∠A=∠C。
同理，也可得到∠B=∠D，整个思路为：证明：AD//BC（已知），∴∠A+∠B=180o（两直线平行，同旁内角互补），∵AB//CD（已知），∴∠B+∠C=180o（两直线平行，同旁内角互补），∴∠A=∠C（同角的补角相等），同理可证∠B=∠D。
例5、已知如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠3，求证：∠1=∠2。
分析：要证明∠1=∠2，而从图中所示的∠1和∠2的位置来看，根据题设或学过的定义、公理、定理无法直接证明这两个角相等，因我们可将视野再拓广一下，寻找一下∠1、∠2与周边各角的关系，我们看到直线AD与GE被直线AE所截，形成同位角∠1、∠E；被AB所截，形成内错角∠2、∠3；而题设明确告诉我们∠3=∠E，于是目标集中到证明AD//GE，根据题设中AD⊥BC，EG⊥BC，我们很容易办到这一点，总结一下思路，就可以得到以下推理程序：证明：∵AD⊥BC于D（已知），∴∠ADC=90o（垂直定义），∵EG⊥BC于G（已知），∴∠EGD=90o（垂直定义），∴∠ADC=∠EGD（等量代换），∴EG//AD（同位角相等，两直线平行），∴∠1=∠E（两直线平行同位角相等），∠2=∠3（两直线平行内错角相等），又∵∠E=∠3（已知），∴∠1=∠2（等量代换）。
四、两条直线位置关系的论证。
两条直线位置关系的论证包括：证明两条直线平行，证明两条直线垂直，证明三点在同一直线上。
1、学过证明两条直线平行的方法有两大类（一）利用角；（1）同位角相等，两条直线平行；（2）内错角相等，两条直线平行；（3）同旁内角互补，两条直线平行。
（二）利用直线间位置关系：（1）平行于同一条直线的两条直线平行；*（2）垂直于同一条直线的两条直线平行。
例6、如图，已知BE//CF，∠1=∠2，求证：AB//CD。
分析：要证明AB//CD，由图中角的位置可看出AB与CD被BC所截得一对内错角∠ABC 和∠DCB，只要证明这对内错角相等，而图中的直线位置关系显示，∠ABC=∠1+∠EBC，∠BCD=∠2+∠FCB，条件中又已知∠1=∠2，于是只要证明∠EBC=∠BCF。
证明：∵BE//CF（已知），∴∠EBC=∠FCB（两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2（已知），∴∠1+∠EBC=∠2+FCB（等量加等量其和相等），即∠ABC=∠BCD（等式性质），∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）。
例7、如图CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：DG//BC。
分析：要证明DG//BC，只需证明∠1=∠DCB，由于∠1=∠2，只需证明∠2=∠DCB，∠2与∠DCB又是同位角，只需证明CD//EF。
根据题设CD⊥AB，EF⊥AB，CD//EF，很容易证得，这样整个推理过程分成三个层次。
（1）（平行线的判定）（2）CD//EF∠2=∠DCB（平行线的性质）（3）∠1=∠DCB DG//BC（平行线判定）在这三个推理的环节中，平行线的判定和性质交替使用，层次分明。
证明：∵CD⊥AB于D（已知），∴∠CDB=90o（垂直定义），∵EF⊥AB于F（已知），∴∠EFB=90o（垂直定义），∴∠CDB=∠EFB（等量代换），∴CD//EF（同位角相等，两直线平行），∴∠2=∠DCB（两直线平行，同位角相等）又∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠DCB（等量代换），∴DG//BC（内错角相等，两直线平行）。
说明：从以上几例我们可以发现，证明两条直线平行，必须紧扣两直线平行的条件，往往归结于求证有关两个角相等，根据图形找出两直线的同位角、内错角或同旁内角，设法证明这一组同位角或内错角相等，或同旁内角互补。
而证明两角相等，又经常归于证明两直线平行。
因此，交替使用平行线的判定方法和平行线的性质就成为证明两直线平行的常用思路。
2、已经学过的证明两直线垂直的方法有如下二个：（1）两直线垂直的定义（2）一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。
（即证明两条直线的夹角等于90o而得到。
）例8、如图，已知EF⊥AB，∠3=∠B，∠1=∠2，求证：CD⊥AB。
分析：这是一个与例14同样结构的图形，但证明的目标却是两条直线垂直。
证明CD⊥AB，根据“一条直线垂直于两条平行线中的一条，必垂直于另一条。
”又由于已知条件EF⊥AB，只要证明EF//CD，要证EF//CD，结合图形，只要证明∠2=∠DCB，因为∠1=∠2，只需证明∠DCB=∠1，而∠DCB与∠1是一对内错角，因而根据平行线的性质，就需证明DG//BC，要证明DG//BC 根据平行线的判定方法只需证明∠3=∠B，而这正是题设给出的条件，整个推理过程经过以下几个层次：∠3=∠B DG//BC∠DCB=∠2（1）平行线判定（2）平行线性质CD⊥AB（3）平行线判定性质（4）垂直定义证明：∵∠3=∠B（已知），∴DG//BC（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠DCB（两直线平行，内错角相等），∵∠1=∠2（已知），∴∠DCB=∠2（等量代换），∴DC//EF（同位角相等，两直线平行），有括号部分的五步也可以用以下证法：接DC//EF（同位角相等，两直线平行），又∵EF⊥AB（已知），∴CD⊥AB（一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。
）3、已经学过的证明三点共线的方法在前面的几讲中已分析过，若证明E、O、F三点共线，通常采用∠EOF=180o，利用平角的定义完成三点共线证明。
此方法不再举例。
五、一题多解。
例9、已知如图，∠BED=∠B+∠D。
求证：AB//CD。
法（一）分析：要证明AB//CD，从题设中条件和图形出发考虑，图形中既不存在“三线八角”，又不存在与AB、CD同时平行的第三条直线或与AB、CD同时垂直的直线，这样就无法利用平行线公理的推理或平行线的判定方法来证明两条直线平行。
