下载文档原格式
江苏省徐州市高中数学第一章导数及其应用1.3.1导数在研究函数中的应用单调性教案6苏教版选修220731168一、教学目标：1．理解导数与单调性的关系，初步掌握用导数法研究函数的单调性．2．体会导数方法在研究函数单调性中的有效性与一般性．3．感受数学自身发展的一般规律．二、教学重点、难点：重点：探索导数与单调性的关系及利用导数求函数的单调区间．难点：导数与函数单调性关系的探索过程．三、教学方法与手段：1．教学方法：本节课运用“问题解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方法．通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神．2．教学手段：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解．四、教学过程：（一）问题情境（播放名曲：渔舟唱晚）气温的变化与我们的生活息息相关，在数学中，我们可以利用函数这一重要的数学模型来研究客观世界的变化，例如，我们可以通过建立气温与时间的函数关系来研究气温的变化趋势．问题1：从函数图象可以看出，气温随时间的变化有着明显的上升与下降的变化趋势．那么，函数图象的这种上升与下降的变化趋势我们可以用最近所学的哪种知识来刻画呢？在高一我们又可以用函数的哪种性质来刻画这种变化趋势呢？【设计意图】气温变化案例是必修1函数单调性的引入情境，也是选修2-2导数及其应用章头引言案例，通过该情境，试图沟通必修1与选修2-2在研究函数单调性中的联系．问题2：导数作为函数的变化率刻画了函数变化的趋势，而函数的单调性也是对函数变化趋势的一种刻画，那么，既然它们都是刻画函数变化趋势的数学模型，它们之间存在怎样的联系？我们能否用导数这一工具来研究函数的单调性呢？这就是本节课的课题（揭示本节课的课题，板书“导数在研究函数中的应用-----单调性”）．【设计意图】这是一个总领整个课堂的问题，试图唤醒学生的原认知结构，打通原有知识之间的联系，引出本节内容．问题3：回到问题：导数与函数的单调性有什么联系？著名数学家波利亚曾说过：解决一个数学问题，应该先回到定义． 【设计意图】为研究导数与函数单调性的关系提供了一个研究方法．（二）数学探究请回顾单调增函数的定义．如果对于区间I 内的任意两个值21,x x ，当21x x <)(21x x >时，都有()()21x f x f <(()21)(x f x f >)，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数．问题4：请同学们观察12x x -与()()12x f x f -的符号之间的关系．通过观察，我们发现可以将单调增函数的定义可以改写成：任意I x x ∈21,，21x x ≠时，若()()01212>--x x x f x f 则函数)(x f 在区间I 上单调增． 问题5：联想表达式()()1212x x x f x f --的含义，你能否从几何角度来解释单调增函数的定义？ 【设计意图】定义是数学的根本，通过研究定义从另外一个角度阐述它的含义：说明对区间I 上任意两点的割线斜率大于零则函数单调递增．这为研究导数与函数单调性关系做好铺垫．问题6：通过几何角度，我们发现割线的斜率与函数的单调性有着紧密的联系．那么，我们如何联系起导数呢？导数的几何意义是什么？如何联系呢？(当0→∆x 时，割线逼近切线）回到导数的定义：当0→∆x 时，()()()000'x f xx f x x f x y →∆-∆+=∆∆问题7：请思考()()xx f x x f ∆-∆+00的几何意义． 问题8：你能从几何角度来解释该定义吗？【设计意图】定义是数学的根本，通过研究定义，说明当Q P ,两点无限逼近时，割线斜率逼近切线斜率．直观感受割线的斜率是沟通导数与单调性的桥梁．问题9：回到刚才的实验，你能发现什么现象吗？(随着点Q 沿曲线向点P 运动，割线PQ 在P 点附近越来越逼近曲线，当点Q 无限逼近P 点时，割线PQ 最终成为在P 点附近最逼近曲线的直线切线l )直观感受切线是P 点附近最逼近曲线的直线．（放大P 点附近的图象，我们可以发现切线与曲线是重合的，此时，我们可以用直线来代替曲线）导数的本质思想：“以直代曲”，通过这种思想，我们可以将曲线的问题转化到直线上去．例如，在p 点附近，我们可以用切线的斜率来刻画曲线经过点P 时的上升或下降的“变化趋势”．问题10: ()0'x f 时，曲线在P 点处有上升趋势？ ()0'x f 时，曲线在P 点处有下降趋势？问题11：若()0'0>x f 刻画的是曲线)(x f 在点0P 处的上升趋势，那么我们如何用导数来刻画函数在一个区间上的单调性呢？问题12：任意()b a x ,∈有 ，则函数)(x f 在()b a ,上单调递增．问题13：我们如何用导数来刻画函数在某区间上单调递减呢？【设计意图】教材是施教的根本，本段通过课本上的“以直代曲”来解释导数是函数的“瞬时变化率”这个抽象的概念；通过由一点的变化趋势到一个区间的变化趋势，完成对()0'0>x f 到0)('>x f 的解释．总结导数与函数单调性的关系如下：一般地，我们有下面结论：对于函数)(x f y =如果在某区间上0)('>x f ，那么)(x f 为该区间上的增函数；如果在某区间上0)('<x f ，那么)(x f 为该区间上的减函数；问题14：为什么我们要引进导数这一工具来研究函数的单调性呢？【设计意图】意图说明导数法在研究函数单调性时的有效性和一般性．下面我们通过实例来体会导数法在研究函数单调性的有效性和一般性．（三）数学应用例1确定函数34)(2+-=x x x f 的单调区间．（教师板书） 例2 确定函数()x x x f 33-=的单调减区间．（进行分组竞赛） 【设计意图】通过教师板演例1，示范用导数求解单调区间的过程；通过例2的学生分组竞赛，说明导数法研究函数单调性的有效性．例3 确定下列函数的单调区间．（1）()76223+-=x x x f （2）()x x x f ln =【设计意图】通过学生板演，进一步完善用导数求函数单调性的步骤；并通过实例说明两个注意点：单调区间中不能用“⋃”、单调区间为定义域的子区间．通过例3（2）说明导数法在研究函数单调性中的一般性． 导数求函数单调区间的步骤：（1） 求函数)(x f y =的定义域；（2） 求导数()x f '；（3） 解不等式()0'>x f （()0'<x f ）．（4） 以上解集在定义域内的部分为单调增（减）区间．例4.请用导数证明x x x f -=sin )(在区间()π,0上是减函数．【设计意图】通过实例，说明导数能简单明了的证明函数的单调性，同时也应对了导数法研究单调性的一般性．问题15：请思考该函数在区间()0,π-、()ππ,-上的单调性？问题16：请思考该函数在区间()ππ,-上导函数的符号？问题17：结合以上问题判断，函数单调减时，()0'<x f 一定成立吗？问题18：结合书本思考题判断，函数单调增时，()0'>x f 一定成立吗？结合生活实例＂骑自行车＂的位移函数的单调性与速度函数的正负关系来解释函数单调性与导数符号的关系．【设计意图】通过实例，说明)(x f 单调减（增）时0)('<x f ()0)('>x f 不一定成立．（四）课堂小结总结本堂课解决的两个问题：1.如何用导数来研究函数的单调性（由直观的“形”到抽象的“数”）；2.为什么要用导数来研究函数的单调性（由特殊的“实例”到一般“结论”）．感受：从直观到抽象，从特殊到一般的数学知识的发展规律．（五）思考升华问题19：你现在能画出例3（1）函数的图象了吗？问题20：观察该函数图象，思考点()0'f 与)2('f 的值，并思考这两个点的特殊之处．【设计意图】通过实例，引出下一节的主要研究方向：极值．（六）课后巩固布置作业：课本习题1,2,3,4（七）板书设计导数在研究函数中的应用---单调性一、以直代曲：曲线 直线二、导函数与单调性： 例1 例2在某区间上：若0)('>x f 则()x f 单调递增若0)('<x f 则)(x f 单调递减 例３。
1．3．1导数在研究函数中的应用---- 单一性一、教材剖析地位与作用“导数在研究函数中的应用---单一性〞是苏教版?一般高中课程标准实验教科书?数学选修2-2第一章?导数及其应用?的内容．本节的教课内容属于导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的根基上学习的内容，学好它既可加深对导数这一观点的理解，又可为深入理解导数的工具性打下根基．因为学生在高一已经掌握了单一性的定义，并能用定义和图象法判断在给定区间上函数的单一性．因此，本节课经过初等方法与导数方法在研究函数单一性中的比较，使学生领会到导数法的有效性与一般性，领会高中教材引入导数工具研究函数的必需性．教课目的1．理解导数与单一性的关系，初步掌握用导数法研究函数的单一性．2．领会导数方法在研究函数单一性中的一般性与有效性．3．感觉数学自己展开的一般规律．要点难点要点：研究导数与单一性的关系及利用导数求函数的单一区间．难点：导数与函数单一性关系的研究过程．二、教法剖析1．教课方法的选择：本节课运用“问题解决〞讲堂教课模式，采纳发现式、启迪式的教课方法．经过问题激发学生求知欲，使学生主动参加教课实践活动，在教师的指导下发现、剖析和解决问题，总结规律，培育踊跃研究的科学精神．2．教课手段的利用：本节课采纳多媒体课件等协助手段以加大讲堂容量，经过数形联合，使抽象的知识直观化，形象化，以促使学生的理解．三、学法剖析为使学生踊跃参加讲堂学习，我主要指导了以下的学习方法：1．自主研究法：让学生自己发现问题，自己概括总结，自己评析解题对错，进而提升学生的参加意识和数学表达能力．2．比较法：对于同一个问题要求用不一样方法，使学生从中体验导数法的有效性与一般性．四、教课过程剖析本节课的教课过程分为三个阶段：一是情境导入；二是数学研究；三是数学应用．第一阶段：情境引入播放名曲“渔舟唱晚，研究气温对于时间的函数图象的变化趋向，引出函数图象的变化趋向的刻画？〔指引学生回复导数、单一性〕【设计企图】气温变化事例是必修1函数单一性的引入情境，也是选修2-2导数及其应用章头前言事例，经过该情境，试图交流必修1与选修2-2在研究函数单一性中的联系．第二阶段：数学研究本段分为两个局部，第一局部是经过回想定义，联合＂割线迫近切线＂的数学思想来找寻导数与单一性的关系；第二局部是研究怎样用导数来研究函数的单一性．回到单一性与导数的定义，从几何意义角度研究二者的含义．〔研究割线斜率与单一性的关系，再从割线迫近切线的角度交流导数与单一性的联系．〕经过提示，在割线迫近切线的过程中直观感觉切线是P点邻近最迫近曲线的直线．【设计企图】以割线的斜率为桥梁，经过几何意义的角度交流了导数与函数单一性之间的关系．这为用研究导数研究函数单一性做好铺垫．2.3.局部以直代曲，说明刹时变化率的详细含义？〔曲线的问题转变为直线的问题：用切线经过P点的上涨趋向来取代曲线经过P点时的上涨趋势〕设置问题：f'x0时，曲线在P点处有上涨趋向？f'x0时，曲线在P点处有降落趋向？经历从一点到一个区间的过程？〔达成从f'x00到f'x 0的过渡〕设置问题：〔1〕随意x a,b有那么函数f(x)在(a,b)上的单一递加？2〕怎样用导数来刻画函数f(x)在某区间上单一递减？3〕总结导函数符号与单一性的联系？【设计企图】教材是施教的根本，本段经过课本上的“以直代曲〞来解说导数是函数的“刹时变化率〞这个抽象的观点；经过由一点的变化趋向到一个区间的变化趋向，达成对f'x00到f'(x) 0的解说．第三阶段：数学应用教材引进导数这一工具的最后目的是研究函数的性质，最后原由是导数这个工具的在研究函数性质时的有效性与一般性．设计例1，例２的目的是示范用导数求单一区间的步骤，同时也能够对比初等方法解决单一性，让学生直观感觉到导数法的有效性．例３的目的是让学生经过实践进一步领会导数的有效性与一般性，并完美用导数求解单一区间的步骤，并增补说明各个注意点．教师松手让学生写，标准写法，同时领会导数法的一般性．例4的目的是让学生理解导数是证明函数单一性的工具之一，同时，经过这个特别函数的图像，说明f(x)单一减〔增〕时f'(x) 0 f'(x) 0不必定建立．这里用生活中的实例骑自行车来解说导数与单一性的关系，是本节课的又一大亮点．第四阶段：讲堂小结总结本节课解决的两个问题：怎样用导数研究函数的单一性？〔由直观的“形〞到抽象的“数〞〕为何要用导数研究函数的单一性？〔由特别的“实例〞到一般“结论〞〕感觉数学由直观到抽象、由特别到一般的自己展开的规律．第五阶段：思虑升华而后经过对例3〔1〕函数的性质的回想并画出它的草图，最后指出下一节研究对象：极值点．六、板书设计导数在研究函数中的应用---单一性一、以直代曲：曲线直线例1 例2二、导函数与单一性：在某区间上：假定f'(x) 0那么fx单一递加例3假定f'(x)0那么f(x)单一递减因为自己教课经验不足，教课水平有限，尚存在诸多缺少之处，恳请各位批评指正．感谢！。
导数在研究函数中的应用——单调性1.教学目标：（1）通过实例，借助几何直观探索并了解函数单调性与导数的关系；（2）会利用导数判断简单函数的单调区间。
2.教学重点、难点：探索并了解函数单调性与导数的关系3.教学方法与教学手段：启发与探究教学相结合4.教学过程：一、问题情境：同学们，为了研究函数的变化趋势，我们引进了导数。
那么，导数对于我们研究函数的变化趋势到底有没有作用？作用有多大呢？带着这个问题，让我们开启今天的知识之旅吧！二、知识建构：学生活动（一）——初步判断问题1：什么叫导数？问题2：1）函数的变化趋势怎么体现？2）单调性定义是怎样的？问题3：请对比一下导数和单调性定义，你有何猜想？学生讨论得：学生活动（二）——数学实验1.请你以一个熟悉的函数为例，画出函数草图，探究该函数在单调区间上的导数符号与其单调性的关系。
数符号（投影呈现学生的实验数据）参考实验数据，对猜想的真假进行判断，并获得如下结论：2.从图形上直观理解上述结论。
（动画演示）三、数学应用例1、确定函数34)(2+-=x x x f 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.x abxa b xOO x例2、确定函数762)(23+-=x x x f 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.例3、确定函数)2,0(,sin )(π∈=x x x f 的单调减区间.四、课堂小结 1.学生分享课堂感悟2.老师小结：今天，我们研究并获得了一个重要结论。
首先，我们从导数定义出发，发现xy∆∆与导数的关系；另一方面，我们又从函数单调性定义中发现：研究单调性就是研究xy∆∆的符号！结合两方面，我们得到了一个猜想，接着通过大量的实验，从数形两方面对猜想进行了验证和感受，最终获得了一个判断函数单调性的有效工具——导数！这种，由观察、猜想到验证并得到结论的过程，也是我们研究数学问题的一般方法！ 介于此，与大家分享一句名言：最有价值的知识是关于方法的知识。
导数在研究函数中的应用-单调性教学目标1、了解函数的单调性与导数的关系；2、会利用导数确定函数的单调区间.教学过程一、问题情境：问题1：导数与函数的单调性之间的有什么联系？。
二、学生活动：问题2：如何探究函数的导数与单调性之间的联系？子问题1：数学研究的一般方法是什么?子问题2：如何用来研究导数与函数的单调性的联系？.三、数学构建:问题3：如何描述导数与函数的单调性之间的联系?一般地，我们有下面的结论：对于函数y=f（x)，如果在某区间上f′（x）〉0，那么f(x）为该区间上的增函数；如果在某区间上f′(x)〈0，那么f(x)为该区间上的增函数.四、数学应用:例1：确定函数f(x)= x2—4x+3在那些区间上是增函数?变式：讨论函数f(x）=x3的单调性.例2:确定函数f （x ）=2x 3-6x 2+7在那些区间上是增函数？例3：确定函数()()sin (0,2)f x x x π=∈的单调减区间。
五、课堂反馈:1.确定函数y =x -x 3的单调区间.2.证明函数f （x ）=e x —x 在区间(-∞，0)上是单调减函数。
3。
讨论函数()k f x x =的单调性。
4.证明函数sin y x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是单调增函数。
五、课堂小结:（1)了解了导数和单调性之间的联系；（2）学会了利用导数确定函数单调区间的方法；（3）理解了用导数求函数单调区间的一般性；（4）体验了从特殊到一般,归纳、猜想、检验的数学方法;(5）体会了数形结合、转化的数学思想.六、课后作业：P29：练习3、4；P34：习题1。
3 1、2。
尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。
1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性一. 教学目标1.通过实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，会利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间．2.通过初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律．3.在探索函数单调性与导数关系的过程中培养学生的观察、分析、概括的能力，渗透数形结合、化归、特殊到一般等数学思想方法．二. 教学重点与难点1. 教学重点：利用导数研究函数的单调性．2. 教学难点：发现和揭示导数的正、负与函数单调性的关系．三. 教学方法与教学手段1. 教学方法：“自主、合作、探究”教学法．2. 教学手段： 多媒体课件辅助．四．教学过程1．创设情境，引入新知.某市气象站对冬季某一天气温变化的数据统计显示，从2时至5时的气温f (x )与时间x 可近似地用函数()4ln 1f x x x =--拟合. 问：这段气温f (x )随时间x 的变化趋势如何？【问题1】如何研究函数()4ln 1([2,5])f x x x x =--∈的单调性？2．观察探究，形成新知.【问题2】函数的单调性是如何定义的？第一阶段：寻找函数的单调性与平均变化率间的联系．函数单调性定义的再认识：设函数()y f x =的定义域为A ，如果对于定义域A 内的某个区间I 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，即12x x -与12()()f x f x -同号，从而有2121()()0f x f x x x ->-，即0y x∆>∆，则函数()y f x =在区间I 上是单调增函数；当2121()()0f x f x x x -<-，即0y x∆<∆，则函数()y f x =在区间I 上是单调减函数.2 【小结1】设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆，任意1212,,x x I x x ∈≠，都有2121()()0f x f x y x x x -∆=>∆-（2121()()0f x f x y x x x -∆=<∆-），则函数()y f x =在区间I 上是单调增（减）函数.【问题3】能不能利用瞬时变化率（导数）研究函数的单调性呢？ 第二阶段：探究瞬时变化率（导数）与函数的单调性间的联系．[师生活动]以函数2()f x x =为例，引导其从导数几何意义的角度，借助几何画板演示寻找单调性与导数的关系.再让学生自主举出一些常见的初等函数，寻找单调性与导数的关系.【小结2】一般地，对于函数()y f x =，如果在某区间上()0f x '>，那么()f x 为该区间上的增函数；如果在某区间上()0f x '<，那么()f x 为该区间上的减函数．【问题4】上面是由特殊函数归纳出的结论，对于一般函数是否有这样的结论成立呢？ 第三阶段：借助几何画板，引导学生从“形”的角度来验证，并说明此结论的严格证明要到大学才学习，有兴趣同学可上网查阅相关资料.3．自主训练，理解新知.活动一 确定函数2()43f x x x =-+的单调性.活动二 确定下列函数的单调区间.（1）32()267f x x x =-+；（2）()4ln 1f x x x =--.【小结3】利用导数求函数单调性的步骤：①求函数的定义域；②求导函数()f x '；③解不等式()0f x '>，得()f x 单调递增区间；解不等式()0f x '<，得()f x 单调递减区间.4. 回顾反思，提升能力.【问题5】通过这节课的学习，你有哪些收获？5. 分层作业，因材施教.（1）必做题：课本P29 练习1—4．（2）选做题：利用导数研究函数单调性这一知识还可以探究函数的哪些性质？。
导数在研究函数中的应用（单调性）教学目标：1.知识与技能(1)探索函数的导数与单调性之间的关系.(2)利用导数与函数单调性之间的关系求函数的单调区间、证明函数的单调性.2.过程与方法通过本节的学习,掌握用导数研究函数单调性的方法.3.情感、态度、价值观教学过程中让学生多动手、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的习惯.教学重点、难点：探索并应用导数与函数单调性之间的关系求函数的单调区间，证明函数的单调性.教学方法与教学手段：启发式,多媒体教学.教学过程：一、提出问题师：我们知道，导数作为函数的变化率，它刻画了函数的变化的趋势（上升或下降的陡峭程度），请大家回忆一下，在我们过去学习的知识中，还有什么也是刻画函数的变化趋势的？生:单调性.师：既然导数与单调性都能够刻画函数的变化趋势，那么它们之间有着怎样的联系呢？ 二、数学建构（1）提出猜想：学生研究，汇报成果，教师引导学生得到两个结论.1.)(x f 单调递增 0)(>'x f2.0)(>'x f)(x f 单调递增 （2）验证猜想： 根据下面的图说明猜想2：x引导学生通过举反例来否定猜想1.（3）确认结论：师：事实上，数学的很多结论都是实际生活和自然规律的反映.比如，当汽车行驶时，其速度的导数即为瞬时加速度，刚启动时，加速度为正，所以速度越来越快；而在刹车的过程中，加速度为负，所以速度越来越慢.三、数学应用：例1函数34)(2+-=x x x f 的单调区间为 .例2 确定函数762)(23+-=x x x f 的单调增区间.例3 用导数证明:函数)23,2(,sin )(ππ∈=x x x f 为减函数.四、回顾反思问题1：我们怎么想到研究导数与单调性之间的关系的？问题2：我们是怎样研究这个问题的？问题3：我们得到了哪些结论？问题4：运用上述结论，解决了哪些问题？五、课堂巩固1.函数x x x f ln )(=的减区间为 .2.用导数证明: (1)x e x f =)(在区间),(+∞-∞上是增函数. (2)x x f ln )(-=在定义域上是减函数.导数在函数中的应用（单调性）教学设计说明函数的导数与单调性是选修2-2第一章第三节的内容。
