中考数学最值问题
【例题1】（经典题）二次函数y=2（x ﹣3）2
﹣4的最小值为 ．
【例题2】（2018江西）如图，AB 是⊙O 的弦，AB=5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则MN 长的最大值是 ．
【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）过点A (1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，OC ＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；
（3）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当△PBC 面积最大时，求P 点坐标及最大面积的值； （4）若点Q 为线段OC 上的一动点，问AQ ＋2
1
QC 是否存在最小值若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．
练 习
1.（2018河南）要使代数式x 32-有意义，则x 的（ ） A.最大值为
32 B.最小值为32
C.最大值为23
D.最大值为2
3 2.（2018四川绵阳）不等边三角形∆ABC 的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。
-2
-1
-1321
3
21
y x
O
M
D
C
B
A
3.（2018齐齐哈尔）设a 、b 为实数，那么a ab b a b 22
2++--的最小值为_______。
4.（2018云南）如图，MN 是⊙O 的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则PA+PB 的最小值为 ．
5.（2018海南）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x 天(x 为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为元/斤，设销售该水果第x (天)的利润为y (元)，求y 与x (1≤x ＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大
时间(天)
1≤x ＜9
9≤x ＜15
x
≥15
售价(元/斤) 第1次降价后的
价格
第2次降价后的
价格
销量(斤) 80－3x 120－x 储存和损耗费用
(元)
40＋3x
3x 2
－64x ＋400
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少元，则第 15天在第14天的价格基础上最多可降多少元
6.（2018湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R 、P 与x 的关系式分别为
R x =+50030，P x =-1702。
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润最大利润是多少
7.（2018吉林）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少
8.（经典题）求x x x x 221
1
-+++的最大值与最小值。
9.（经典题）求代数式x x 12
-的最大值和最小值。 10.（经典题）求函数y x x =--+-||||145的最大值。
11. （2018山东济南）已知x 、y 为实数，且满足x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。
12.（2019年黑龙江省大庆市）如图，在Rt△ABC 中，∠A ＝90°．AB ＝8cm ，AC ＝6cm ，若动点D 从B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止（不考虑D 与B ，A 重合的情况），运动速度为2cm /s ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连接BE ，设动点D 运动的时间为x （s ），AE 的长为y （cm ）．
（1）求y 关于x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当x 为何值时，△BDE 的面积S 有最大值最大值为多少
13.（2019年宁夏）如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点M ，Q 分别是边AB ，BC 上的动点（点M 不与A ，B 重合），且MQ ⊥BC ，过点M 作BC 的平行线MN ，交AC 于点N ，连接NQ ，设BQ 为x ．
（1）试说明不论x 为何值时，总有△QBM ∽△ABC ；
（2）是否存在一点Q ，使得四边形BMNQ 为平行四边形，试说明理由； （3）当x 为何值时，四边形BMNQ 的面积最大，并求出最大值．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键．
14. （2019广东深圳）如图所示，抛物线c bx ax y ++=2
过点A （－1，0），点C （0，3），且OB=OC ． （1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D ，E 在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值， （3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分，求点P 的坐标．
15.（2019广西省贵港）已知：ABC ∆是等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转得到△A B C ''，记旋转角为α，当90180α︒<<︒时，作A D AC '⊥，垂足为D ，A D '与B C '交于点E ．
（1）如图1，当15CA D ∠'=︒时，作A EC ∠'的平分线EF 交BC 于点F ． ①写出旋转角α的度数； ②求证：EA EC EF '+=；
（2）如图2，在（1）的条件下，设P 是直线A D '上的一个动点，连接PA ，PF ，若2AB 段PA PF +的最小值．（结果保留根号）.
16.（2019贵州省安顺市）如图，抛物线y ＝
21x 2+bx +c 与直线y ＝2
1
x +3分别相交于A ，B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知A （0，3），C （﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MB ﹣MC |的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
