一次函数知识点总结及典型试题

一次函数知识点总结与常见题型基本概念1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

例题：在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______。

在圆的周长公式C =2πr 中，变量是________，常量是_________.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。

*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应例题：下列函数（1）y =πx (2)y =2x －1 (3)y =1x (4)y =21－3x (5)y =x 2－1中，是一次函数的有（ ）（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 P116 1 P87 23、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

例题：下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ）A．y B ．yC ．yD ．y 函数y =x 的取值范围是___________.已知函数221+-=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是 （ ） A .2325≤<-y B .2523<<y C .2523<≤y D .2523≤<y5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．例题:P117 56、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

一次函数知识点复习与考点总结考点1：一次函数的概念.相关知识：一次函数是形如y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的函数，特别的当0=b 时函数为)0(≠=k kx y ，叫正比例函数.1、已知一次函数kx k y )1(-=+3,则k = . 2、函数n m xm y n +--=+12)2(，当m= ，n= 时为正比例函数；当m= ，n 时为一次函数．考点2：一次函数图象与系数相关知识：一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是一条直线，图象位置由k 、b 确定，0>k 直线要经过一、三象限，0<k 直线必经过二、四象限，0>b 直线与y 轴的交点在正半轴上，0<b 直线与y 轴的交点在负半轴上.1. 直线y=x －1的图像经过象限是( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限 2. 一次函数y=6x+1的图象不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 一次函数y = -3 x + 2的图象不经过第 象限.4. 一次函数2y x =+的图象大致是（ ）5. 关于x 的一次函数y=kx+k 2+1的图像可能是（ ）6.已知一次函数y =x +b 的图像经过一、二、三象限，则b 的值可以是（ ）. A.-2 B.-1 C.0 D.27.若一次函数m x m y 23)12(-+-=的图像经过 一、二、四象限，则m 的取值范围是 ．8. 已知一次函数y=mx +n -2的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ）A.m ＞0,n ＜2B. m ＞0,n ＞2C. m ＜0,n ＜2D. m ＜0,n ＞29．已知关于x 的一次函数y mx n =+的图象如图所示，则2||n m m --可化简为__ __.10. 如果一次函数y=4x +b 的图像经过第一、三、四象限，那么b 的取值范围是_ _。

六、正方形一、定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作折那个方形二、性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角正方形的对角线相等且互相平分正方形的中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心正方形是轴对称图形，两条对角线所在的直线以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴三、判定：有一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形一次函数知识点总结基本概念：1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

函数性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）。

2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。

3当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

4.在两个一次函数表达式中：当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。

图像性质1．作法与图形：（1）列表.（2）描点；一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。

一次函数及其性质● 知识点一 一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．（y=-3x+3是一次函数，其中这里k=-3,b=3）⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数．（y=3x 是一次函数也是正比例函数，其中k=3，b=0）⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．(y=4这不是一次函数，因为k=0,b=0) ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 练习：若23y x b =+-是正比例函数，则b 的值是（ ）A.0B.23 C.23- D.32- ● 知识点二 一次函数的图象及其画法⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线．⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点；②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0bk⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即直线与两坐标轴的交点．⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+． ● 知识点三 一次函数的性质⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大； ⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小． ● 知识点四 一次函数y kx b =+的图象、性质与k 、b 的符号⑴ 一次 函数()0k kx b k =+≠ k ，b符号 0k > 0k <0b > 0b < 0b = 0b > 0b <0b =图象Ox yyx OOx yyx OOx yyxO性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小⑵一次函数y kx b =+中，当0k >时，其图象一定经过一、三象限；当0k <时，其图象一定经过二、四象限．当0b >时，图象与y 轴交点在x 轴上方，所以其图象一定经过一、二象限； 当0b <时，图象与y 轴交点在x 轴下方，所以其图象一定经过三、四象限． 反之，由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号．知识点五 用待定系数法求一次函数的解析式⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法． ⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式； ②将x y ，的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组； ③解方程（组），得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．类型一：正比例函数与一次函数定义例1、当m 为何值时，函数y=-（m-2）x +（m-4）是一次函数？举一反三： 【变式1】如果函数是正比例函数，那么（ ）.A ．m=2或m=0B ．m=2C ．m=0D ．m=1【变式2】已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7. （1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y 的值； （3）当y=4时，求x 的值．类型二：待定系数法求函数解析式例2、求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．举一反三：【变式1】已知弹簧的长度y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm，挂4kg的重物时，弹簧的长度是7.2cm，求这个一次函数的表达式．【变式2】已知直线y=2x+1．（1）求已知直线与y轴交点M的坐标；（2）若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k，b的值．【变式3】判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．类型三：函数图象的应用例3、图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)汽车共行驶了___________ km；(2)汽车在行驶途中停留了___________ h；(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为___________ km/h；(4)汽车自出发后3h至4.5h之间行驶的方向是___________.举一反三：【变式1】图中，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s与时间t的函数关系，求它们行进的速度关系。

1.（2013•鄂州）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：（1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？（2）求线段CD对应的函数解析式．（3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇（结果精确到0.01）．一次函数的应用知识点一：一次函数与坐标轴交点和面积问题1：交点问题一次函数b kx y +=的图象是经过（0，b ）和（-kb，0）两点。

【典型例题】1．直线y=－x+2与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 2．直线y=－x －1与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 3．函数y=x+1与x 轴交点为（ ）A ．（0，-1）B ．（1，0）C ．（0，1）D ．（-1，0）4．直线y=-32x+3与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为（ ） A ．3 B ．6 C ．34 D ．325．直线y=-2x-4交x 轴、y 轴于点A 、B ，O 为坐标原点，则S △AOB = 。

6．若直线y=3x+b 与两坐标轴所围成的三角形的面积是6个单位，则b 的值是 。

7．如图所示，已知直线y=kx-2经过M 点，求此直线与x 轴交点坐标和直线与两坐标轴围成三角形的面积．2：面积问题面积：一次函数y=kx+b 与x 、y 轴所交的两点与原点组成的三角形的面积为2b k(1)：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解。

(2)：复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）。

(3)：往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高。

1. 直线经过（1,2）、（-3,4）两点，求直线与坐标轴围成的图形的面积。

一次函数知识点一次函数知识网络图考点一：变量、常量及函数定义1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为是x 的函数。

※判断A 是否为B 的函数，只要看B 取值确定的时候，A 是否有唯一确定的值与之对应典型例题：1、下列函数关系式中不是函数关系式的是（ ）A. B. C. D. 21y x =+21y x =+1y x x=+22y x =2、下列各图中表示y 是x 的函数图像的是 （ ）考点二、自变量取值范围：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围。

确定函数自变量取值范围的方法： （1）必须使关系式成立。

①当关系式为整式时，自变量取值范围为全体实数；②当关系式含有分式时，自变量取值范围要使分式的分母的值不等于零；ABDo③关系式含有二次根式时，自变量取值范围必须使被开方的式子不小于零；④当关系式中含有指数为零或负数的式子时，自变量取值范围要使底数不等于零； （2）当函数关系表示实际问题时，自变量的取值范围还要符合实际情况，使之有意义。

（3）当函数关系表示一个图形的变化关系时，自变量的取值范围必须使图形存在。

典型例题：1、函数的自变量x 的取值范围是 31-=x y 2、函数的自变量x 的取值范围是3-=x y 3、函数的自变量x 的取值范围是()220xy x -=++4、小强在劳动技术课中要制作一个周长为10cm 的等腰三角形．请你写出底边长y （cm ）与一腰长x （cm ）的函数关系式，并写出自变量的取值范围．考点三、函数的图像与解析式的关系1、函数的表示方法（1）列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

（2）解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

一次函数知识点总复习含答案解析一、选择题1．如图，矩形ABOC 的顶点坐标为()4,5-，D 是OB 的中点，E 为OC 上的一点，当ADE ∆的周长最小时，点E 的坐标是（ ）A ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．100,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】 作点A 关于y 轴的对称点A'，连接A'D ，此时△ADE 的周长最小值为AD+DA'的长；E 点坐标即为直线A'D 与y 轴的交点．【详解】解：作点A 关于y 轴的对称点A'，连接A'D ，此时△ADE 的周长最小值为AD+DA'的长；∵A 的坐标为（-4，5），D 是OB 的中点，∴D （-2，0），由对称可知A'（4，5），设A'D 的直线解析式为y=kx+b ，5402k b k b =+⎧∴⎨=-+⎩5653k b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩5563y x ∴=+ 当x=0时，y=53 50,3E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查矩形的性质，线段的最短距离；能够利用轴对称求线段的最短距离，将AE+DE 的最短距离转化为线段A'D 的长是解题的关键．2．已知过点()2?3，-的直线()0y ax b a =+≠不经过第一象限.设s a 2b =+，则s 的取值范围是（ ）A ．352s -≤≤-B ．362s -<≤-C ．362s -≤≤-D ．372s -<≤- 【答案】B【解析】 试题分析：∵过点()2?3，-的直线()0y ax b a =+≠不经过第一象限， ∴0{023a b a b <≤+=-.∴23b a =--. ∵s a 2b =+，∴4636s a a a =--=--.由230b a =--≤得399333662222a a a ≥-⇒-≤⇒--≤-=-，即32s ≤-. 由0a <得3036066a a ->⇒-->-=-，即6s >-. ∴s 的取值范围是362s -<≤-. 故选B.考点：1.一次函数图象与系数的关系；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.不等式的性质.3．正比例函数y ＝kx 与一次函数y ＝x ﹣k 在同一坐标系中的图象大致应为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】【分析】根据图象分别确定k 的取值范围，若有公共部分，则有可能；否则不可能．【详解】根据图象知：A 、k ＜0，﹣k ＜0．解集没有公共部分，所以不可能；B 、k ＜0，﹣k ＞0．解集有公共部分，所以有可能；C 、k ＞0，﹣k ＞0．解集没有公共部分，所以不可能；D 、正比例函数的图象不对，所以不可能．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数y=kx+b 的图象的四种情况是解题的关键．4．已知点M （1，a ）和点N （3，b ）是一次函数y ＝﹣2x+1图象上的两点，则a 与b 的大小关系是（ ）A ．a ＞bB ．a ＝bC ．a ＜bD ．无法确定【答案】A【解析】【分析】根据一次函数的图像和性质，k ＜0，y 随x 的增大而减小解答．【详解】解：∵k ＝﹣2＜0，∴y 随x 的增大而减小，∵1＜3，∴a ＞b ．故选A ．【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数的增减性求解更简便．5．下列函数中，y 随x 的增大而增大的函数是（ ）A ．2y x =-B ．21y x =-+C ．2y x =-D ．2y x =--【答案】C【解析】【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．【详解】∵y=-2x 中k=-2＜0，∴y 随x 的增大而减小，故A 选项错误；∵y=-2x+1中k=-2＜0，∴y 随x 的增大而减小，故B 选项错误；∵y=x-2中k=1＞0，∴y 随x 的增大而增大，故C 选项正确；∵y=-x-2中k=-1＜0，∴y 随x 的增大而减小，故D 选项错误．故选C ．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数y=kx+b （k≠0）中，当k ＞0时y 随x 的增大而增大；k<0时y 随x 的增大而减小；熟练掌握一次函数的性质是解答此题的关键．6．下列关于一次函数()0,0y kx b k b =+<>的说法，错误的是( )A ．图象经过第一、二、四象限B ．y 随x 的增大而减小C ．图象与y 轴交于点()0,bD ．当b x k >-时，0y > 【答案】D【解析】【分析】由k 0<，0b >可知图象经过第一、二、四象限；由k 0<，可得y 随x 的增大而减小；图象与y 轴的交点为()0,b ；当b x k >-时，0y <； 【详解】∵()0,0y kx b k b =+<>，∴图象经过第一、二、四象限，A 正确；∵k 0<，∴y 随x 的增大而减小，B 正确；令0x =时，y b =，∴图象与y 轴的交点为()0,b ，∴C 正确；令0y =时，b x k =-， 当b x k>-时，0y <； D 不正确；故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式y kx b =+中，k 与b 对函数图象的影响是解题的关键．7．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，动点P 沿折线BCD 从点B 开始运动到点D ．设运动的路程为x ，ADP ∆的面积为y ，那么y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】由题意当03x ≤≤时，3y =，当35x <<时，()131535222y x x =⨯⨯-=-+，由此即可判断．【详解】由题意当03x ≤≤时，3y =，当35x <<时，()131535222y x x =⨯⨯-=-+， 故选D ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论是扇形思考问题．8．下列函数（1）y =x （2）y =2x ﹣1 （3）y =1x（4）y =2﹣3x （5）y =x 2﹣1中，是一次函数的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【答案】B【解析】【分析】分别利用一次函数、二次函数和反比例函数的定义分析得出即可．【详解】解：（1）y =x 是一次函数，符合题意；（2）y =2x ﹣1是一次函数，符合题意；（3）y =1x是反比例函数，不符合题意； （4）y =2﹣3x 是一次函数，符合题意；（5）y =x 2﹣1是二次函数，不符合题意；故是一次函数的有3个．故选：B ．【点睛】 此题考查一次函数、二次函数和反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．9．给出下列函数：①y ＝﹣3x +2：②y ＝3x ；③y ＝﹣5x：④y ＝3x ，上述函数中符合条件“当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大”的是（ ）A ．①③B ．③④C ．②④D ．②③【答案】B【解析】【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数的增减性分析得出答案．【详解】 解：①y ＝﹣3x +2，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项不符合题意； ②y ＝3x，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项不符合题意； ③y ＝﹣5x，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大，故此选项符合题意； ④y ＝3x ，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大，故此选项符合题意； 故选：B ．【点睛】此题考查一次函数、正比例函数、反比例函数，正确把握相关性质是解题关键． 10．已知直线4y x ＝－＋与2y x ＝＋的图象如图，则方程组y x 4y x 2=-+⎧⎨=+⎩的解为（ ）A ．31x y ==，B ．13x y ==，C ．04x y ==，D ．40x y ==，【答案】B【解析】【分析】 二元一次方程组的解就是组成二元一次方程组的两个方程的公共解，即两条直线的交点坐标．【详解】解：根据题意知，二元一次方程组y x 4y x 2=-+⎧⎨=+⎩的解就是直线y ＝−x ＋4与y ＝x ＋2的交点坐标，又∵交点坐标为（1，3），∴原方程组的解是：13x y ==，． 故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组．二元一次方程组的解就是组成该方程组的两条直线的图象的交点．11．如图，经过点B （﹣2，0）的直线y ＝kx +b 与直线y ＝4x +2相交于点A （﹣1，﹣2），4x +2＜kx +b ＜0的解集为（ ）A ．x ＜﹣2B ．﹣2＜x ＜﹣1C ．x ＜﹣1D ．x ＞﹣1【答案】B【解析】【分析】 由图象得到直线y=kx+b 与直线y=4x+2的交点A 的坐标（-1，-2）及直线y=kx+b 与x 轴的交点坐标，观察直线y=4x+2落在直线y=kx+b 的下方且直线y=kx+b 落在x 轴下方的部分对应的x的取值即为所求．【详解】∵经过点B（﹣2，0）的直线y＝kx+b与直线y＝4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），∴直线y＝kx+b与直线y＝4x+2的交点A的坐标为（﹣1，﹣2），直线y＝kx+b与x轴的交点坐标为B（﹣2，0），又∵当x＜﹣1时，4x+2＜kx+b，当x＞﹣2时，kx+b＜0，∴不等式4x+2＜kx+b＜0的解集为﹣2＜x＜﹣1．故选B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．12．某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行于x轴）．下列说法正确的是（）．①从开始观察时起，50天后该植物停止长高；②直线AC的函数表达式为165y x=+；③第40天，该植物的高度为14厘米；④该植物最高为15厘米．A．①②③B．②④C．②③D．①②③④【答案】A【解析】【分析】①根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高；②设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC线段的解析式，③把x=40代入②的结论进行计算即可得解；④把x=50代入②的结论进行计算即可得解．【详解】解：∵CD∥x轴，∴从第50天开始植物的高度不变，故①的说法正确；设直线AC 的解析式为y=kx+b （k≠0），∵经过点A （0，6），B （30，12），∴30126k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：156k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的解析式为165y x =+（0≤x≤50）， 故②的结论正确；当x=40时，1406145y =⨯+=， 即第40天，该植物的高度为14厘米；故③的说法正确；当x=50时，1506165y =⨯+=， 即第50天，该植物的高度为16厘米；故④的说法错误．综上所述，正确的是①②③．故选：A.【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．13．在一条笔直的公路上有A 、B 两地，甲乙两人同时出发，甲骑自行车从A 地到B 地，乙骑自行车从B 地到A 地，到达A 地后立即按原路返回B 地.如图是甲、乙两人离B 地的距离(km)y 与行驶时间(h)x 之间的函数图象，下列说法中①A 、B 两地相距30千米；②甲的速度为15千米/时；③点M 的坐标为(23，20)；④当甲、乙两人相距10千米时，他们的行驶时间是49小时或89小时. 正确的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】根据题意，确定①-③正确，当两人相距10千米时，应有3种可能性．【详解】解：根据题意可以列出甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系得:y甲=-15x+30y乙=()() 3001306012x xx x⎧≤≤⎪⎨-+≤≤⎪⎩由此可知，①②正确．当15x+30=30x时，解得x=2 , 3则M坐标为（23，20），故③正确．当两人相遇前相距10km时，30x+15x=30-10x=49，当两人相遇后，相距10km时，30x+15x=30+10，解得x=8 915x-（30x-30）=10得x=4 3∴④错误．选C．【点睛】本题为一次函数应用问题，考查学生对于图象分析能力，解答时要注意根据两人运动状态分析图象得到相应的数据，从而解答问题．14．若正比例函数y ＝kx 的图象经过第二、四象限，且过点A (2m ，1)和B (2，m )，则k 的值为( ) A ．﹣12B ．﹣2C ．﹣1D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象经过第二、四象限，可得k ＜0，再根据待定系数法求出k 的值即可． 【详解】解：∵正比例函数y ＝kx 的图象经过第二、四象限， ∴k ＜0．∵正比例函数y ＝kx 的图象过点A (2m ，1)和B (2，m )， ∴2km 12k m =⎧⎨=⎩，解得：m 11k 2=-⎧⎪⎨=-⎪⎩或m 11k 2=⎧⎪⎨=⎪⎩(舍去)．故选：A ． 【点睛】本题考查了正比例函数的系数问题，掌握正比例函数的性质、待定系数法是解题的关键．15．超市有A ，B 两种型号的瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子用来分装15升油（瓶子都装满，且无剩油）；当日促销活动：购买A 型瓶3个或以上，一次性返还现金5元，设购买A 型瓶x （个），所需总费用为y （元），则下列说法不一定成立的是（ ）A ．购买B 型瓶的个数是253x ⎛⎫-⎪⎝⎭为正整数时的值 B ．购买A 型瓶最多为6个C ．y 与x 之间的函数关系式为30y x =+D ．小张买瓶子的最少费用是28元【答案】C【分析】设购买A型瓶x个,B(253x-)个,由题意列出算式解出个选项即可判断.【详解】设购买A型瓶x个，∵买瓶子用来分装15升油，瓶子都装满，且无剩油，∴购买B型瓶的个数是1522533xx -=-,∵瓶子的个数为自然数,∴x=0时,253x-=5; x=3时,253x-=3; x=6时,253x-=1;∴购买B型瓶的个数是(253x-)为正整数时的值，故A成立;由上可知，购买A型瓶的个数为0个或3个或6个，所以购买A型瓶的个数最多为6，故B成立;设购买A型瓶x个，所需总费用为y元，则购买B型瓶的个数是(253x-)个，④当0≤x<3时，y=5x+6×(253x-)=x+30，∴k=1>0，∴y随x的增大而增大，∴当x=0时，y有最小值，最小值为30元;②当x≥3时，y=5x+6×(253x-)-5=x+25，∵.k=1>0随x的增大而增大，∴当x=3时，y有最小值，最小值为28元;综合①②可得，购买盒子所需要最少费用为28元.故C不成立，D成立故选:C.【点睛】本题考查一次函数的应用,关键在于读懂题意找出关系式.16．一次函数 y = mx +1m-的图像过点（0,2），且 y 随 x 的增大而增大，则 m 的值为（）A．-1 B．3 C．1 D．- 1 或 3【答案】B【解析】【分析】先根据函数的增减性判断出m的符号，再把点（0，2）代入求出m的值即可．∵一次函数y=mx+|m-1|中y 随x 的增大而增大， ∴m ＞0．∵一次函数y=mx+|m-1|的图象过点（0，2）， ∴当x=0时，|m-1|=2，解得m 1=3，m 2=-1＜0（舍去）． 故选B ． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．17．如图，一次函数y kx b =+的图象经过点03()4)3(A B -，,，，则关于x 的不等式3 0kx b ++<的解集为（ ）A ．4x >B ．4x <C ．3x >D ．3x <【答案】A 【解析】 【分析】由30kx b ++<即y<-3，根据图象即可得到答案. 【详解】∵y kx b =+，30kx b ++<， ∴kx+b<-3即y<-3，∵一次函数y kx b =+的图象经过点B(4，-3), ∴当x=4时y=-3，由图象得y 随x 的增大而减小，当4x >时，y<-3， 故选：A. 【点睛】此题考查一次函数的性质，一次函数与不等式，正确理解函数的性质、会观察图象是解题的关键.18．如图，平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线12y x b =+与ABC ∆有交点时，b 的取值范围是( )A ．11b -≤≤B ．112b -≤≤ C ．1122b -≤≤D ．112b -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】将A （1，1），B （3，1），C （2，2）的坐标分别代入直线y ＝12x+b 中求得b 的值，再根据一次函数的增减性即可得到b 的取值范围． 【详解】 解：直线y=12x+b 经过点B 时，将B （3，1）代入直线y ＝12x+b 中，可得32+b=1，解得b=-12； 直线y=12x+b 经过点A 时：将A （1，1）代入直线y ＝12x+b 中，可得12+b=1，解得b=12； 直线y=12x+b 经过点C 时：将C （2，2）代入直线y ＝12x+b 中，可得1+b=2，解得b=1． 故b 的取值范围是-12≤b≤1．故选B ． 【点睛】考查了一次函数的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降．19．若实数a 、b 、c 满足a+b+c=0，且a ＜b ＜c ，则函数y=ax+c 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】∵a+b+c=0，且a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定也无需确定）．a＜0，则函数y=ax+c图象经过第二四象限，c＞0，则函数y=ax+c的图象与y轴正半轴相交，观察各选项，只有A选项符合.故选A.【详解】请在此输入详解！20．某班同学从学校出发去太阳岛春游，大部分同学乘坐大客车先出发，余下的同学乘坐小轿车20分钟后出发，沿同一路线行驶．大客车中途停车等候5分钟，小轿车赶上来之后，大客车以原速度的107继续行驶，小轿车保持速度不变．两车距学校的路程S（单位：km）和大客车行驶的时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示．下列说法中正确的个数是（）①学校到景点的路程为40km；②小轿车的速度是1km/min；③a＝15；④当小轿车驶到景点入口时，大客车还需要10分钟才能到达景点入口．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．【详解】解：由图象可知，学校到景点的路程为40km，故①正确，小轿车的速度是：40÷（60﹣20）＝1km/min，故②正确，a＝1×（35﹣20）＝15，故③正确，大客车的速度为：15÷30＝0.5km/min，当小轿车驶到景点入口时，大客车还需要：（40﹣15）÷10(0.5)7﹣（40﹣15）÷1＝10分钟才能达到景点入口，故④正确，故选D．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．。

一次函数知识点总结及经典试题（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。

*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应3、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式4、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 5、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

6.函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

（二）一次函数 1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。

当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。

⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数．⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 3、一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） （1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-kb，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴. （6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.一次 函数()0k kx b k =+≠k ，b符号0k >0k <0b >0b <0b =0b >0b <0b = 图象Ox yyx OOx yyx OOx yyxO性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.b>0 b<0 b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数一次函数概念一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量范围X为全体实数图象一条直线必过点（0，0）、（1，k）（0，b）和（-kb，0）走向k>0时，直线经过一、三象限；k<0时，直线经过二、四象限k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限增减性k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）k<0，y随x的增大而减小。

八年级下册数学 第十九章 一次函数 知识点总结一、基本概念：1. 变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。

常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。

2.函数定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。

如果当x=a 时y=b ，那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值。

3、4、确定自变量取值范围的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

（或：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间关系的式子叫做函数的解析式。

） 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

6、函数图像的性质：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。

7、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法： 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

（2）列表法：把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

8、由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

9、正比例函数和一次函数：所有一次函数或者正比例函数的图像都是一条直线。

（1）正比例函数定义：一般地，形如 y=kx （k 为常数，k ≠0）y 叫x 的正比例函数）。