中考复习 一元二次方程--

知识回顾微专题专题11一元二次方程考点一：一元二次方程之相关概念1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式为：()002≠=++a c bx ax 。

其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 为常数项。

3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。

1．（2022•广东）若x ＝1是方程x 2﹣2x +a ＝0的根，则a ＝．2．（2022•连云港）若关于x 的一元二次方程mx 2+nx ﹣1＝0（m ≠0）的一个根是x ＝1，则m +n 的值是．3．（2022•资阳）若a 是一元二次方程x 2+2x ﹣3＝0的一个根，则2a 2+4a 的值是．4．（2022•遂宁）已知m 为方程x 2+3x ﹣2022＝0的根，那么m 3+2m 2﹣2025m +2022的值为（）A ．﹣2022B ．0C ．2022D ．40445．（2022•衢州）将一个容积为360cm 3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x （cm ）满足的一元二次方程：（不必化简）．知识回顾考点二：一元二次方程之解一元二次方程1.直接开方法解一元二次方程：适用形式：p x =2或()p a x =+2或()p b ax =+2（p 均大于等于0）①p x =2时，方程的解为：p x p x -==21，。

②()p a x =+2时，方程的解为：a p x a p x --=-=21，。

③()p b ax =+2时，方程的解为：ab p x a b p x --=-=21，。

2.配方法解一元二次方程：运用公式：()2222b a b ab a ±=+±。

具体步骤：①化简——将方程化为一般形式并把二次项系数化为1。

含有两个未知数且含未知数项的次数为1的方程称为二元一次方程，将两个二元一次方程合在一起称为二元一次方程组.二元一次方程组的解是满足两个二元一次方程的公共解.解二元一次方程组的方法很多，灵活选用合适的方法解不同的二元一次方程组，可以有效地提高解题的效率.一、换元法换元法是将复杂方程转化为简单方程的一种方法.灵活运用换元法可大大降低运算量.运用换元法解题的步骤为：首先分析方程组中的复杂结构，将方程组中某些相同的部分设为新的未知数（称为“元”），然后将新元代入原方程组得到新的方程组，解新的方程组，再将求得的值代回换元的式子中求出原未知数的值，即可解题.1.整体换元法整体换元法指的是当一个方程中含有（或者可配凑出）相同的因式时，可以将这个相同的因式看成一个整体并将这个整体设为一个新未知数（称为“元”），然后将原方程组转化为关于新“元”的方程组.通过整体换元，可以调整方程及方程组的结构，使方程组变成易于处理的简单形式，进而快速求解.例1解方程组：■■■■■■■1x +1x +y=3,3x -1x +y =1.解：设1x =a ，1x +y=b ，则方程组转化为■■■a +b =3,①3a -b =1,②①+②解得a =1，将a =1代入到方程①中解得b =2.代回得■■■■■1x =1,1x +y=2,解得■■■■■x =1,y =-12,所以原方程的解为■■■■■x =1,y =-12.评注：设1x =a ，1x +y =b 后可将原方程组转化为简单的二元一次方程组.先求解换元后的二元一次方程组，然后将值代回到换元的式子中求出原方程组的解.本题也可以将两方程直接相加求出1x的值，进而代回后求得1x +y 的值，然后求得最终结果.这种操作的本质也是整体换元思想.2.比值换元法当一个方程（或方程组）中出现形如x a =y b的方程时，可将x a 与y b 设为一个相同的新“元”，进而用新“元”表示x 和y ，将原方程组转化为关于新“元”的方程组.解这个关于新“元”的方程组，再将新“元”的值代回到换元的式子中，即可解题.例2解方程组：■■■■■x 5+y6=0,①3(x -y )-4(3y +x )=85.②解：由①得x 5=-y 6，设x 5=-y6=k ，则x =5k ，y =-6k .将x =5k ，y =-6k 代入方程②中得3(5k +6k )-4[3×(-6k )+5k ]=85，化简整理得85k =85，解得k =1，中考复习：一元二次方程组的解法归纳代回得x =5，y =-6，所以原方程组的解为{x =5,y =-6.评注：根据方程①的结构，设x 5=-y6=k ，将x 和y 用新“元”k 表示，然后代入方程②中，求出k 的值，最后将k 代回换元的式子中求得x 和y 的值.本题若直接去分母消元求解，则运算量较大.二、消元法消元法指的是由一些未知数间的已知等量关系，通过有限次的恒等变形，消去其中某些未知数，从而得到另一些相关未知数间的等量关系的方法.消元法是解方程组的基本方法，常见的有代入消元法和加减消元法，都是将方程组中未知数的个数由多化少，逐一求出未知数的解.1.代入消元法运用代入消元法解二元一次方程组，首先需从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，或者将两个方程相加（相减），得到两个未知数系数相同或者相反的新方程，将这个新方程中的一个未知数用另一个未知数表示，然后代入原方程组中的其中一个方程，求得其中一个未知数的值，再将这个值代入变形后的关系式，即可求得另一个未知数的值，从而得到原方程组的解．例3解方程组：■■■2015x +2016y =2017,①2016x +2017y =2018.②解：由①-②得x +y =1③，由③得x =1-y ，将x =1-y 代入①中得2015(1-y )+2016y =2017，即2015+y =2017，解得y =2，将y =2代入③中解得x =-1.所以原方程组的解为{x =-1,y =2.评注：本题采用常规的加减或者代入消元法求解，运算量都较大.观察到两个方程的相同未知数的系数之差相等，因此，直接将两个方程作差得到一个新方程，将这个新方程中的一个未知数用另一个未知数表示，再运用代入消元法即可解题.2.加减消元法当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．由于二元一次方程组的形式各异，因此往往需要利用等式的性质将二元一次方程组中的方程变形，使得两个方程中的其中一个未知数的系数有相同或相反的特点，然后运用加减消元法即可解题.例4已知■■■4x -3y =3,①x +2y =1,②求x -2y 的值.解:由②×4得4x +8y =4,③将①与③作差得-11y =-1，解得y =111，再将y =111代入其中一个方程中得x =911，则x -2y =911-211=711，所以x -2y 的值为711.评注：首先将方程组中的方程x +2y =1的两边同时乘以4得到一个新的方程，然后将方程组中的另一个方程与此方程作差求得y 的值，然后运用代入消元法求得x 的值，进而求得结果.当然，在求解x 的值时也可以再次运用加减消元法，这只需要将第一个方程两边同时乘以2，第二个方程两边同时乘以3，然后将得到的两个新方程作差即可求得x 的值.总之，解二元一次方程组问题时，应从整体与局部上观察方程的结构，把握其中的规律，灵活选择不同方法解题，准确地进行运算，这样才能缩短解题时间，做到事半功倍.。

专题一：一元二次方程知识要点扫描归纳一 基本概念二、一元二次方程的解法 1．直接开方法（1）用直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.如果一个一元二次方程，左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，就可以用直接开平方法求解. 2．配方法（1）用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解题方法.是中学数学中常用的数学方法.（2）配方的关键步骤是：在方程两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方.理论根据是：222)(2b a b ab a ±=+±（3）配方的结果是使方程的一边化为一个完全平方式，另一边为非负实数，再利用直接开平方法求解. 3．公式法（1）用求根公式解一元二次方程的方法叫求根公式法.（2）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 求根公式是：aac b b x 242-±-=（3）在解一元二次方程时，先把方程化为一般开式，确定c b a ,,的值，在042≥-ac b 的情况下：代入求根公式即可求解. 4.因式分解法1． 对于在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法来解这个方程。

2． 理论依据：两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零。

例如：如果0)5)(1(=+-x x ，那么x －1=0或x ＋5=0。

因式分解法简便易行，是解一元二次方程的最常用的方法。

3． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 （1）将方程的右边化为零；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积； （3）令每个因式分别为零，得两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

4．形如()002≠=+a bx ax 的方程，可用提公因式法求方程的根：()0021≠-==a abx x ，。

5．形如()()022=+-+n bx m ax )(22b a ≠的方程，可用平方差公式把左边分解。

专题08一元二次方程（4大考点）（原卷版）三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（全国通用）【考点归纳】一、考点01解一元二次方程---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1二、考点02一元二次方程根的判别式--------------------------------------------------------------------------------------------------------2三、考点03根与系数的关系---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4四、考点04一元二次方程的实际应用--------------------------------------------------------------------------------------------------------5考点01解一元二次方程一、考点01解一元二次方程1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程220x x -=的解是（）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =-D ．12x =-，21x =-2．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x 的一元二次方程()22240a x x a +++-=的一个根是0x =，则a 的值为（）A ．2B ．2-C ．2或2-D ．123．（2022·青海·中考真题）已知方程230x mx +=+的一个根是1，则m 的值为（）A ．4B ．4-C ．3D ．3-4．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则=a （）A ．1B 1C 1D ．115．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（）A ．17或13B ．13或21C ．17D ．136．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A ．()221x -=-B ．()220x -=C ．()221x -=D ．()222x -=7．（2024·四川南充·中考真题）当25x ≤≤时，一次函数2(1)1y m x m =+++有最大值6，则实数m 的值为（）A ．3-或0B ．0或1C ．5-或3-D ．5-或18．（2024·四川凉山·中考真题）已知2220330y x x y x -=-+-=，，则x 的值为．9．（2023·广东广州·中考真题）解方程：2650x x -+=．10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：2430x x -+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．考点02一元二次方程根的判别式二、考点02一元二次方程根的判别式11．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有两个实数根，则m的取值范围是（）A ．4m ≤B ．4m ≥C ．4m ≥-且2m ≠D ．4m ≤且2m ≠12．（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x 的一元二次方程2230kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．13k <B ．13k ≤C ．13k <且0k ≠D ．13k ≤且0k ≠13．（2023·山东聊城·中考真题）若一元二次方程2210mx x ++=有实数解，则m 的取值范围是（）A ．1m ≥-B ．1m £C ．1m ≥-且0m ≠D ．1m £且0m ≠14．（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．0a ≠B ．1a >-且0a ≠C ．1a ≥-且0a ≠D ．1a >-15．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（）A ．9-B ．4C ．1-D ．116．（2024·四川广安·中考真题）若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ．0m <且1m ≠-B ．0m ≥C ．0m ≤且1m ≠-D ．0m <17．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=无实数根，则函数y kx =与函数2y x=的图象交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．318．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）A ．260x x -=B ．290x -=C ．2660x x -+=D ．2690x x -+=19．（2024·北京·中考真题）若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（）A ．16-B ．4-C ．4D ．1620．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线2y x x c =-+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是．21．（2024·河南·中考真题）若关于x 的方程2102x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为．22．（2024·湖南·中考真题）若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为．23．（2024·山东·中考真题）若关于x 的方程2420x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为．24．（2019·上海·中考真题）若关于x 的方程20x x k -+=没有实数根，则k 的取值范围是．25．（2024·广东·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c =．26．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．27．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m -++-=．(1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +-=，求m 的值．28．（2024·广东广州·中考真题）关于x 的方程2240x x m -+-=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)化简：2113|3|21m m m m m ---÷⋅-+．29．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x 的一元二次方程2230x x k ++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两个根为α，β，且23k k αβ=+，求k 的值．30．（2023·湖北·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a ，b ，若()()2220a b a b ++=，求m 的值．31．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22460kx k x k -++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)当1k =时，用配方法．．．解方程．32．（2023·四川南充·中考真题）已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m m ---+=(1)求证：无论m 为何值，方程总有实数根；(2)若1x ，2x 是方程的两个实数根，且212152x x x x +=-，求m 的值．考点03根与系数的关系三、考点03根与系数的关系33．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知1x ，2x 是方程220220x x --=的两个实数根，则代数式321122022-+x x x 的值是（）A ．4045B ．4044C ．2022D ．134．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（）A ．23-B ．23C ．6-D ．635．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2520x x -+=的两个实数根，则()22m n +-的值为．36．（2024·四川泸州·中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2350x x --=的两个实数根，则()212123x x x x -+的值是．37．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x 的一元二次方程210x px -+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ．(1)填空：12x x +=________，12x x =________；(2)求1211+x x ，111x x +；(3)已知221221x x p +=+，求p 的值．38．（2024·四川南充·中考真题）已知1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k -+-+=的两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)若5k <，且k ，1x ，2x 都是整数，求k 的值．39．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料：材料1：关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根12x x ，和系数a ，b ，c 有如下关系：12b x x a+=-，12cx x a =．材料2：已知一元二次方程210x x --=的两个实数根分别为m ，n ，求22m n mn +的值．解：∵m ，n 是一元二次方程210x x --=的两个实数根，∴1,1m n mn +==-．则()22111m n mn mn m n +=+=-⨯=-．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)应用：一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为12x x ，，则12x x +=___________，12x x =___________；(2)类比：已知一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为m ，n ，求22m n +的值；(3)提升：已知实数s ，t 满足2223102310s s t t +-=+-=，且s t ≠，求11s t-的值．考点04一元二次方程的实际应用四、考点04一元二次方程的实际应用40．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意，下列方程正确的是（）A ．()280160x -=B ．()280160x -=C ．()80160x -=D ．()801260x -=41．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，则符合题意得方程是（）A ．()0.6410.69x +=B ．()20.6410.69x +=C ．()0.64120.69x +=D ．()20.64120.69x +=42．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．()67012780x ⨯+=B ．()26701780x ⨯+=C ．()26701780x ⨯+=D ．()6701780x ⨯+=43．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A ．20%B ．22%C ．25%D ．28%44．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段10m 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m ）的矩形鸭舍，其面积为215m ，在鸭舍侧面中间位置留一个1m 宽的门（由其它材料制成），则BC 长为（）A ．5m 或6mB ．2.5m 或3mC ．5mD ．3m45．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x 人，则可得到方程（）A ．()136x x ++=B ．()2136x +=C ．()1136x x x +++=D ．2136x x ++=46．（2023·湖北襄阳·中考真题）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x 步，根据题意列方程正确的是（）A ．22(12)864x x ++=B ．22(12)864x x ++=C ．(12)864x x -=D ．(12)864x x +=47．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了改善居民生活环境，云中小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x 米，根据题意，所列方程正确的是（）A ．()6720x x -=B ．()6720x x +=C ．()6360x x -=D ．()6360x x +=48．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在长为100m ，宽为50m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是23600m ，则小路的宽是（）A ．5mB ．70mC ．5m 或70mD ．10m49．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A ．8B ．10C ．7D ．950．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是．51．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是．52．（2022·上海·中考真题）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为．53．（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程2640x x -+=的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．54．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m ，篱笆长80m ．设垂直于墙的边AB 长为x 米，平行于墙的边BC 为y 米，围成的矩形面积为2cm S ．(1)求y 与,x s 与x 的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为2750cm ，若能，求出x 的值．(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x 的值．55．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x 元，每天的销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？56．（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD （如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m 的篱笆围成．生态园的面积能否为240m 如果能，请求出AB 的长；如果不能，请说明理由．57．（2023·江苏·中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为cm cm cm cm a b c d 、、、．若纸张大小为16cm 10cm ⨯，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%，则需如何设置页边距？58．（2023·湖北黄冈·中考真题）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中21000m 的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y （单位；元/2m ）与其种植面积x （单位：2m ）的函数关系如图所示，其中200700x ≤≤；乙种蔬菜的种植成本为50元/2m ．(1)当x =___________2m 时，35y =元/2m ；(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W 元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W 最小？(3)学校计划今后每年在这21000m 土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降%a ，当a 为何值时，2025年的总种植成本为28920元？59．（2022·山东德州·中考真题）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m ，15m ．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．(1)若扩充后的矩形绿地面积为2800m，求新的矩形绿地的长与宽；(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5:3．求新的矩形绿地面积．60．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．。

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（） 【答案】124x x 23==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得2212x x 3-=-（）（）开平方，得12x x 3-=-，或12x x 3-=--（）解得124x x 23==-， 2．已知关于x 的一元二次方程()2204m mx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）134x +=，234x =. 【解析】 【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可.【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404m m m +->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1x =，2x =. 【点睛】 本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.3．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．4．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x 元（40≤x ≤60），每星期的销售量为y 箱．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y =-10x +780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x 元,则多销售的数量为60-x, （2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x 元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x ）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w ，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10 0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.5．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解．【答案】(1)k ＞﹣12；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1． 【解析】【分析】 (1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论．【详解】 (1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0， ∴k ＞﹣12； (2)∵k 取最小整数，∴k ＝0，∴原方程可化为x 2+x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．6．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元.根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x2×20）=2240，化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90% 60.答：该店应按原售价的九折出售.7．如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h的速度由东向西移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离AB=300km．（1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）经过1515就会进入台风影响区；（3）15【解析】【分析】（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区．（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时间长.【详解】解：（1）如图易知AB′=300﹣10t ，AC′=400﹣30t ，当B′C′=200时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：(300﹣10t )2+(400﹣30t )2=2002，整理得到：t 2﹣30t +210=0，解得t 15由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）由（1）可知经过(1515h 就会进入台风影响区；（3）由（1）可知受到台风影响的时间为15151515h ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x 的等式是解题关键．8．已知关于x 的方程()()212310k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x ，2x ． ()1求k 的取值范围．()2是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？【答案】(1)1312k <且1k ≠；(2) k 不存在,理由见解析 【解析】【分析】（1）因为方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．得出其判别式△＞0，可解得k 的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k 的值．【详解】（1）方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，可得：k ﹣1≠0且△=﹣12k +13＞0，解得：k ＜1312且k ≠1； （2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x 1，x 2．∵x 1+x 2=0，∴﹣231k k --=0，∴k =32． 又∵k ＜1312且k ≠1，∴k 不存在． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是方程x 2+px +q =0的两根时，x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．9．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式。

第1页共30页模块一、一元二次方程根的判别中考数学复习：一元二次方程题型式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即acb 42-=∆一元二次方程根的判别式（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况.一元二次方程根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则ac b 42-≥0.模块二、一元二次方程的根与系数的关系的应用第2页共30页为根的一元二次方程是模块三、有理数根问题第3页共30页第4页共30页模块四、整数根问题整数解问题先保证跟为有理数根，∆一定为平方数处理思想从判别式手,运用判别式求出参数或解的取值范围,或引入参数(设△=k 2),通过穷举,逼近求解从韦达定理入手,从根与系数的关系式中消去参数,得到关于两根的不定方程,借助因数分解、因式分解求解从变更主元入人,当方程中参数次数较低时,可考虑以参数为主元求解处理方法从判别式入手，∆为平方数，设根的判别式为2t （t 为整数），然后利用整数×整数=整数，列举出所有的可能的因数积，从而巧妙求出k 的值，然后再利用整数根进一步验证筛选整数×整数=整数利用的知识有：①若a 、b 为整数，a b ⋅为整数k ，如果1122k m n m n === ，那么11a m b n =⎧⎨=⎩或11a n b m =⎧⎨=⎩或22a m b n =⎧⎨=⎩或22a n b m =⎧⎨=⎩ （1m 、2m 、1n 、2n 为整数）②两个整数的和、差、积仍为整数，也就是说，若a 、b 为整数，则a b +、a b -、ab 都为整数．③两个整数的和与这两个整数的差奇偶性相同，也就是说，若a 、b 为整数，则a b +与a b -同奇同偶．要点一元二次方程的整数根问题,既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识,又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关。

一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。

注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。

考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

x+a= ± b ∴ x1 =-a+ b x2=-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为 1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b 的形式；⑤如果b≥0 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是x = - b±b 2 - 4ac (b2－4ac≥0)。

步骤：①把方程转化为一般形2a式；②确定 a，b，c 的值；③求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0 时代入求根公式。

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则 a=0 或b=0。

步骤是：①将方程右边化为 0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。

5．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解．⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) 2 =3（x＋4）中，不能随便约去 x＋4。

考向12 一元二次方程【考点梳理】1、一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2、 一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 是常数，且a ≠0）3、运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．4、配方法解一元二次方程就是将方程变形为q p x =+2)（的形式，如果q ≥0，方程的根是q p x ±-=；如果q ＜0,方程无实根．5、一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．6、一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-，则有下列性质：①0∆>⇔方程有两个不相等的实数根：1,2x =．②0∆=⇔方程有两个相等的实数根：122bx x a==-． ③0∆<⇔方程没有实数根．7、一元二次方程根与系数的关系（又叫韦达定理）：如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有a b x x -=+21，ac x x =•21（注意：运用根与系数的关系的前提是b 2-4ac ≥0） 【题型探究】题型一：一元二次方程的基础概念1．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A ．x 2﹣1=0B ．x 2 +1x+3=0C ．x 2 + 2x +1=0D ．3x 2 x +1=02．（2022·河南洛阳·统考二模）若m ，n 分别是一元二次方程2410x x -+=的两个根，则23m m n -+的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．63．（2022·四川宜宾·统考中考真题）已知m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，则22m mn m ++的值为（ ） A ．0B ．－10C ．3D ．10题型二：一元二次方程的解（开平方和配方法）4．（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）方程（9x ﹣1）2＝1的解是（ ）A ．1213x x ==B ．1229x x ==C ．1220,9x x ==D ．1220,9x x ==-5．（2022·山东聊城·统考中考真题）用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ） A ．103 B ．73C ．2D ．436．（2022·四川雅安·统考中考真题）若关于x 的一元二次方程x 2+6x +c ＝0配方后得到方程（x +3）2＝2c ，则c 的值为（ ） A ．﹣3B ．0C ．3D ．9题型三：一元二次方程的解（公式法）7．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知关于x 的一元二次方程2(2)20x m x m +++=有两个不相等的实数根1x ，2x ，且有212x x <<，那么实数m 的取值范围是( ) A ．2m <B ．m>2C ．2m <-D ．2m >-8．（2021·上海·九年级专题练习）如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于x 的方程210,(ax bx a b ++=是常数，0)a >是“邻根方程”，令28t a b =-，则t 的最大值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．2-9．（2022秋·北京·九年级北京师大附中校考期末）定义新运算：对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}max ,a b 表示a ，b 中的较大值，如：{}max 2,44=．因此，{}max 2,42--=-；按照这个规定，若{}232max ,2x x x x ---=，则x 的值是（ ）A ．－1B ．－1CD ．1 题型四：一元二次方程的解（因式分解）10．（2022·内蒙古包头·中考真题）若12,x x 是方程2230x x --=的两个实数根，则212x x ⋅的值为（ ） A ．3或9- B ．3-或9 C ．3或6- D ．3-或611．（2023·全国·九年级专题练习）已知方程3a 1a a 44a--=--，且关于x 的不等式a x b <≤只有4个整数解，那么b 的取值范围是（ ） A ．23b <≤B ．34b <≤C ．23b ≤<D ．34b ≤<12．（2022秋·九年级课时练习）已知实数a ，b 同时满足2222190,2470a b a b +-=--=，则b 的值是（ ）A ．2或6-B ．2C ．2-或6D ．6-题型五：一元二次方程的判别式问题13．（2022·山东威海·模拟预测）若关于x 的方程230x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的值不能是（ ）A ．2B ．0C ．94D 14．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）关于x 的一元二次方程2(1)320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．18a >-B ．18a ≥-C ．1,18a a >-≠D ．118,a a ≥-≠15．（2022·湖南长沙·长沙市南雅中学校联考一模）若关于x 的一元二次方程()21210a x x --+=有实数根，则a 的取值范围为（ ） A ．2a ≤B ．2a ≥C ．2a ≤且1a ≠D ．2a <且1a ≠题型六：一元二次方程根与系数的问题16．（2022·山东济宁·三模）若m n ，是方程22470x x --=的两个根，则223m m n -+的值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．517．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程220x x a --=的两根分别记为1x ，2x ，若11x =-，则2212a x x --的值为（ ）A ．7B ．7-C ．6D ．6-18．（2022秋·广东广州·九年级铁一中学校考阶段练习）若α和β是关于x 的方程210x bx +-=的两根，且2211αβαβ--=-，则b 的值是（ ）A ．－3B ．3C ．－5D ．5题型七：一元二次方程的实际问题19．（2022·辽宁盘锦·校考一模）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y （件）与每件的售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如表：(1)求出y 与x 之间的函数表达式；（不需要求自变量x 的取值范围）(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利6000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w （元），求w 与x 之间的函数关系式，x 为多少时，w 有最大值，最大利润是多少？20．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）草莓是大家非常喜欢的水果，3月份是草莓上市的旺季．某水果超市销售草莓，第一周每千克草莓的销售单价比第二周销售单价高10元，该水果超市这两周共销售草莓180千克，且第一周草莓的销量与第二周的销量之比为4:5，该水果超市这两周草莓销售总额为11600元． (1)第二周草莓销售单价是每千克多少元？(2)随着草莓的大量上市，3月份第三周，草莓定价与第二周保持一致，且该水果超市推出会员优惠活动，所有的会员均可享受每千克直降a 元的优惠，而非会员需要按照原价购买，第三周草莓的销量比第二周增加了20%，其中通过会员优惠活动购买的销量占第三周草莓总销量的6a，而第三周草莓的销售总额为(6200100)a +元，求a 的值．21．（2022秋·九年级单元测试）某新建公园需要绿化的面积为224000m ，施工队在绿化了212000m 后将每天的工作量增加为原来的1.2倍，结果提前5天完成了该项目的绿化工程(1)求该公园绿化工程原计划每天完成多少平方米？(2)如图所示，该公园内有一块长30米，宽20米的矩形空地，准备将其修建成一个矩形花坛，要求在花坛中修建三条等宽的矩形小道（图中阴影部分），剩余地方种植花草，要使得种植花草的面积为2468m ，那么小道的宽应为多少米？题型八：一元二次方程的综合问题22．（2022·湖北十堰·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程22230x x m --=． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且25αβ+=，求m 的值．23．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2320x x k ++-=有实数根． (1)求实数k 的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为12,x x ，若()()12111x x ++=-，求k 的值． 24．（2022·四川凉山·统考中考真题）阅读材料：材料1：若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝ba -，x 1x 2＝c a材料2：已知一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，求m 2n ＋mn 2的值． 解：∵一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ， ∴m ＋n ＝1，mn ＝－1，则m 2n ＋mn 2＝mn （m ＋n ）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝ ；x 1x 2＝ ． (2)类比应用：已知一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两根分别为m 、n ，求n mm n+的值． (3)思维拓展：已知实数s 、t 满足2s 2－3s －1＝0，2t 2－3t －1＝0，且s ≠t ，求11s t-的值．【必刷基础】一、单选题25．（2022·甘肃武威·统考中考真题）用配方法解方程x 2-2x =2时，配方后正确的是（ ） A ．()213x +=B ．()216x +=C ．()213x -=D ．()216x -=26．（2022·湖北武汉·统考中考真题）若关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根1x ，2x ，且()()121222217x x x x ++-=，则m =（ ）A ．2或6B ．2或8C ．2D ．627．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知1x ，2x 是方程220220x x --=的两个实数根，则代数式321122022-+x x x 的值是（ ）A ．4045B ．4044C ．2022D ．128．（2021·山东泰安·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程标()22120kx k x k --+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．14k >-B ．14k <C ．14k >-且0k ≠D ．14k <且0k ≠29．（2022·山东泰安·统考中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ） A ．()316210x x -= B ．()316210x -= C ．()316210x x -=D ．36210x =30．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）已知关于x 的一元二次方程()2430x k x k -+++=．(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)若此方程恰有一个根小于0，求k 的取值范围．31．（2022·江苏泰州·模拟预测）用总长为60m 的篱笆围成矩形场地． (1)根据题意，填写下表：(2)设矩形一边长为m x ，矩形面积为2m S ，当x 是多少时，矩形场地的面积S 最大？并求出矩形场地的最大面积； (3)当矩形的长为______m ，宽为______m 时，矩形场地的面积为2216m ．【必刷培优】一、单选题32．（2022秋·湖北武汉·九年级华中科技大学附属中学校联考阶段练习）若a≠b ，且22410,410a a b b -+=-+=则221111a b +++的值为（ ）A ．14B ．1C ．.4D ．333．（2021·广西河池·统考中考真题）关于x 的一元二次方程220x mx m +--=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．实数根的个数由m 的值确定34．（2018·河北秦皇岛·统考中考模拟）某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ） A ．50（1+x ）²=182 B ．50+50（1+x ）+50（1+x ）²=182 C ．50（1+2x ）=182D ．50+50（1+x ）+50（1+2x ）²=18235．（2022·四川达州·模拟预测）如图的六边形是有甲、乙两个等腰直角三角形和丙、丁两个矩形组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和，若甲的直角边长为4，且甲的面积大于乙的面积，则乙的直角边长为（ ）A ．1B ．65C ．423-D ．843-36．（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中学校考模拟预测）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，下列说法： ①方程2280x x --=是倍根方程；②若()()20x mx n -+=是倍根方程，则m n =-或14m n =-；③若方程20ax bx c ++=是倍根方程，且相异两点()2,M t s +，()4,N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上，则方程20ax bx c ++=的一个根为2．其中，正确说法的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．337．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，ACB ∠的角平分线分别交AB 、BD 于M 、N 两点．若22BM =，则线段AC 的长为( )A ．424+B ．422+C ．426+D ．4238．（2022·四川绵阳·校考二模）已知实数,m n 满足22220,220m am n an -+=-+=．若m n ≠，且4m n +≥，则()()2211m n -+-的最小值是（ ）A ．6B ．3-C ．3D ．0二、填空题39．（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）若关于x 的二次方程()21320m x x +-+=有两个相等的实数根，则m =___________．40．（2023秋·天津南开·九年级南开中学校考期末）已知一元二次方程220x mx m -+-=的两个实数根为1x 、2x ，且1212()3x x x x +=，则m 的值是______．41．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根1x ，2x ，若121212(2)(2)23x x x x x x -+--+=-，则k =_____．42．（2022·四川眉山·模拟预测）若实数m ，n 满足2231,31,m nm m n n n m=+=++的值为______．43．（2022·吉林长春·校考模拟预测）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，平均每天可售出500千克，经市场调查发现，若每千克每涨价一元，平均日销量将减少20千克，要使商场每天获利最多，那么每千克应涨价______ 元．44．（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）如图，将边长为12的正方形纸片，沿两边各剪去一个一边长为x 的长方形，剩余的部分面积为64，则根据题意可列出形式为一般式的方程为______，x 的值是______．45．（2022·四川成都·统考二模）关于x 的一元二次方程240x kx -+=的两个实数根分别是1x 、2x ，且满足2212122270x x x x +---=，则k 的值为______．46．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）从3,1,0,1,2--这五个数中任意取出一个数记作b ，则既能使函数()24y b x =-的图象经过第二、第四象限，又能使关于x 的一元二次方程210x bx b -++=的根的判别式小于零的概率为 _____．三、解答题47．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．(1)该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？(2)该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？48．（2022·四川南充·南充市实验中学校考模拟预测）关于x 的一元二次方程()2220x k x k -++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程两根12x x 、与且221220x x +=，求k 的值．49．（2022·江苏盐城·校考三模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，用480元购买冰墩墩和用320元购买雪容融的数量相同．(1)今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？(2)今年2月第一周，供应商将雪容融按每个100元的价格售出140个，将冰墩墩按每个150元的价格售出120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m 元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m 个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m 个，最终商家获利5160元，求m ．50．（2022·山东济南·模拟预测）已知M 、N 为双曲线()40y x x=>上两点，且其横坐标分别为a ，2a +，分别过M 、N 作y 轴、x 轴的垂线，垂足分别为C 、A ，交点为B ．(1)若矩形OABC 的面积为12，求a 的值；(2)随着a 的取值的不同，M N 、两点不断运动，判断M 能否为BC 边的中点，同时N 为AB 中点？请说明理由； (3)矩形OABC 能否成为正方形？若能，求出此时a 的值及正方形的边长，若不能，说明理由．51．（2022·宁夏银川·校考三模）已知：如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC cm =，4BC cm =，点P 从点B 出发，沿BC 向点C 匀速运动，速度为1cm/s ，过点P 作PD AB ∥，交AC 于点D ．同时，点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为2cm/s ．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ ．设运动时间为t （s ）（0 2.5t <<），解答下列问题：(1)当t 为何值时，四边形ADPQ 为平行四边形？(2)设四边形ADPQ 的面积为y （2cm ），试确定y 与t 的函数关系式．(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使:13:2PQB ADPQ S S =四边形△？若不存在，请说明理由；若存在，求出t 值，并求出此时PQ 的距离．参考答案：1．B【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A 、C 、D 选项含有一个未知数，未知数的次数是2，是一元二次方程，故选项A 、C 、D 不符合题意； B 选项分母中含有未知数，是分式方程，故本选项符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是掌握：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，运用定义判断．2．A【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到2410m m -+=，m ＋n ＝4，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m ，n 分别是一元二次方程2410x x -+=的两个根，∴2410m m -+=，m ＋n ＝4，∴241m m -=-，∴2234143m m n m m m n -+=-++=-+=，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，若1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的两根时，12b x x a+=-，12c x x a ⋅=，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 3．A【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn =－5，把x =m 代入方程得m 2+2m -5=0，即m 2+2m =5，代入即可求解．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，∴mn =－5，m 2+2m -5=0，∴m 2+2m =5，∴22m mn m ++=5－5=0，故选：A ．【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn =-5，m 2+2m =5是解题的关键．4．C【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：2(91)1x -=，911x ∴-=或911x -=-，解得10x =，229x =，故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5．B【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．【详解】解：∵23610x x +-=，∴2361x x +=，2123x x +=， 则212113x x ++=+，即()2413x +=， ∴1a =，43b =， ∴73a b +=． 故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．6．C【分析】先移项把方程化为26,x x c 再配方可得239,x c 结合已知条件构建关于c 的一元一次方程，从而可得答案．【详解】解：x 2+6x +c ＝0，移项得：26,x x c 配方得：239,x c 而（x +3）2＝2c ，92,c c 解得：3,c =故选C【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．7．C 【分析】根据求根公式求得(2)(2)2m x m -+±-=，结合条件212x x <<，可知22x =-，1x m ，进而可得m 的范围，即可求解．【详解】解：2(2)20x m x m +++=，(2)(2)2m m x -+±-∴， 212x x <<，22x ∴=-，1x m ，2m ∴->， 2m ∴<-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．8．C【分析】根据“邻根方程”的定义求出224b a a -=，代入28t a b =-进行配方求出最大值即可．【详解】解：设1x 、2x 是方程210,(ax bx a b ++=是常数，0)a >的两根，解得，1x =2x = ∵原方程是“邻根方程”1=1= 224b a a ∴-=224b a a ∴=+()22228844(2)4t a b a a a a a a ∴=-=-+=-+=--+ ∴当a=2时，t 有最大值，最大值为4．故选C.【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．9．B【分析】分x>0和0x<0两种情况分析，利用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：当x>0时，有2322x x x --=，解得1x =2x =(舍去)， x<0时，有2322x x x --=-，解得，x 1=−1，x 2=2(舍去)． 故选B.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握新定义以及掌握因式分解法以及公式法解方程的方法步骤，掌握降次的方法，把二次化为一次，再解一元一次方程．10．A【分析】结合根与系数的关系以及解出方程2230x x --=进行分类讨论即可得出答案．【详解】解：∵2230x x --=， ∴12331x x -⋅==-， ()()130x x +-=,则两根为：3或-1，当23x =时，212212239x x x x x x ==--⋅=，当21x =-时，2121222··33x x x x x x ⋅==-=， 故选：A ．【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．11．D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a 的值，代入不等式组确定出b 的范围即可．【详解】解：分式方程去分母得：3-a -a 2+4a =-1，即a 2-3a -4=0，分解因式得：（a -4）（a +1）=0，解得：a =-1或a =4，经检验a =4是增根，分式方程的解为a =-1，当a =-1时，由a ＜x ≤b 只有4个整数解，得到3≤b ＜4．故选：D ．【点睛】此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．B【分析】由实数a ，b 同时满足2222190,2470a b a b +-=--=，先消去a ，求解b ，再检验即可． 【详解】解： 实数a ，b 同时满足2222190,2470a b a b +-=--=，24120,b b620,b b解得：122,6,b b当6b =-时，22219193617a b 不合题意，故舍去，所以 2.b =故选：B 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，非负数的性质，掌握加减消元法是解决本题的关键．13．C【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到2340k ，求出解集判断即可． 【详解】解：∵方程230x x k -+=有两个不相等的实数根，∴2340k ， 解得94k <， 故选：C ．【点睛】此题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程的根的三种情况是解题的关键．14．D【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到1a ≠且()()2Δ=3-41?20a --≥，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】根据题意得1a ≠且()2=3-41(2)0a ∆--≥， 解得18a ≥-且1a ≠． 故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24=b ac ∆-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当=0∆时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．15．C【分析】根据一元二次方程的定义和结合根的判别式即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()21210a x x --+=有实数根，则△≥0．∴()210=(2)410a a -≠---≥⎧⎨⎩， 解得：a ≤2且a ≠1．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a 的一元一次不等式组是解题的关键．16．A【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，求解即可．【详解】解：m n ，是方程22470x x --=的两个根，则22704m m --=，2m n +=，∴2247m m =+，22373794m m n m m n m n +=+-=++-+=，故选：A【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．17．B【分析】根据根与系数关系求出2x =3，a =3，再求代数式的值即．【详解】解：∵一元二次方程220x x a --=的两根分别记为1x ，2x ，∴1x +2x =2，∵11x =-，∴2x =3，∴1x ·2x =-a =-3， ∴a =3，∴22123917a x x --=--=-． 故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．18．C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出+=,1b αβαβ-=-，代入2211αβαβ--=-得到关于b 的方程，求出b 的值即可．【详解】解：∵α和β是关于x 的方程210x bx +-=的两根，∴+=,1b αβαβ-=-，∴222()1211b αβαβαβαβ--=-+=-+=-∴=5b -故选：C【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-b a ，两根之积为c a是解题的关键． 19．(1)201800y x =-+(2)这种衬衫定价为60元．(3)售价定为70元时，可获得最大利润，最大利润是8000元．【分析】（1）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，待定系数法求解析式即可；（2）由题意知，()()502018006000x x --+=，计算求出满足要求的解即可；（3）由题意可得，2(50)(20180020(70)8000)x x x w =--+=--+，由()50505050x x ≥⎧⎨-÷≤⎩％，求出x 的取值范围，然后根据二次函数的图象与性质求w 的最值即可．【详解】（1）解：设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，则5570060600k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得201800k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数表达式是201800y x =-+．（2）解：由题意知，()()502018006000x x --+=，解得126800x x ==，，∵尽量给客户优惠，∴这种衬衫定价为60元．（3）解：由题意可得，(50)(201800)w x x =--+220(70)8000x =--+，∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，每件售价不低于进货价，∴()50505050x x ≥⎧⎨-÷≤⎩％， 解得5075x ≤≤，∵200a =-<，抛物线开口向下，∴当70x =时，w 取得最大值，此时8000w =元，∴售价定为70元时，可获得最大利润，最大利润是8000元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，解不等式组等知识．解题的关键在于根据题意正确的列等式与不等式．20．(1)60；(2)5．【分析】（1）设第一周草莓销售单价是每千克x 元，第二周草莓销售单价是每千克y 元，然后根据题意，列出关于,x y 的二元一次方程组，求解即可；（2）根据第三周草莓的销售总额为(6200100)a +元，列出关于a 的一元二次方程，然后求解即可．【详解】（1）解：设第一周草莓销售单价是每千克x 元，第二周草莓销售单价是每千克y 元， 根据题意，得10451801801160099x y x y -=⎧⎪⎨⨯⨯+⨯⨯=⎪⎩， 解得7060x y =⎧⎨=⎩， 答：第二周草莓销售单价是每千克60元；（2）解：根据题意，3月份第三周的销售单价是60元/千克，3月份第三周的销售量为5180(120%)1209⨯⨯+=千克， 其中会员购买的销量为：120206a a ⨯=千克，非会员购买的销量为：(12020)a -千克； 第三周草莓的销售总额为(6200100)a +元，∴20(60)(12020)606200100a a a a ⨯-+-⨯=+，整理，得25500a a +-=，5a ∴=或10a =-（不符合题意，舍去）， ∴a 的值为5．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用，解答此题的关键是根据题意准确列出二元一次方程组和一元二次方程．21．(1)2400m(2)2米【分析】（1）设原计划每天完成2m x ，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；（2）设小路宽为m a ，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】（1）设原计划每天完成2m x ， 由题意得：240001200024000120005 1.2x x x--=+， 解得：400x =，经检验：400x =是原方程的根，且符合题意，答：原计划每天完成2400m ；（2）设小路宽为m a ，有题意得：()()30220468a a --=，解得：133a =（超出矩形的长，不合题意，舍去），22a =，即2m a =，答：小路宽2米．【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，明确题意，列出相应的方程是解答本题的关键．22．(1)见解析(2)1m =±【分析】（1）根据根的判别式24b ac ∆=-，即可判断；（2）利用根与系数关系求出2αβ+=，由25αβ+=即可解出α，β，再根据23m αβ⋅=-，即可得到m 的值．【详解】（1）()22224241(3)412b ac m m ∆=-=--⨯⋅-=+，∵2120m ≥，∴241240m +≥>，∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）方程的两个实数根α，β，由根与系数关系可知，2αβ+=，23m αβ⋅=-，∵25αβ+=，∴52αβ=-，∴522ββ-+=，解得：3β=，1α=-，∴23133m -=-⨯=-，即1m =±．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 23．(1)k 174≤； (2)k =3【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k -2）≥0，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到12123,2x x x x k -+==-，将等式左侧展开代入计算即可得到k 值．【详解】（1）解：∵一元二次方程2320x x k ++-=有实数根．∴∆≥0，即32-4（k -2）≥0，解得k 174≤ （2）∵方程的两个实数根分别为12,x x ，∴12123,2x x x x k -+==-，∵()()12111x x ++=-，∴121211x x x x +++=-，∴2311k --+=-，解得k =3．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．24．(1)32；12- (2)132-【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出32m n +=，12mn =-，然后将n m m n +进行变形求解即可； （3）根据根与系数的关系先求出32s t +=，12st =-，然后求出s -t 的值，然后将11s t -进行变形求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程2x 2-3x -1＝0的两个根为x 1，x 2， ∴123322b x x a -+=-=-=，1212c x x a ⋅==-． 故答案为：32；12-． （2）∵一元二次方程2x 2-3x -1＝0的两根分别为m 、n ， ∴3322b m n a -+=-=-=，12c mn a ==-， ∴22n m m n m n mn++= ()22m n mn mn +-= 23122212⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=- 132=- （3）∵实数s 、t 满足2s 2-3s -1＝0，2t 2-3t -1＝0，∴s 、t 可以看作方程2x 2-3x -1＝0的两个根， ∴3322b s t a -+=-=-=，12c st a ==-， ∵()()224t s t s st -=+-231422⎛⎫⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 924=+ 174=∴t s -=t s -=，当t s -=11212t s s t st --===-当t s -=11212t s s t st --===-综上分析可知，11s t-或【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出t s -或t s -= 25．C【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x 2-2x =2， x 2-2x +1=2+1，即（x -1）2=3． 故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 26．A【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m 的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出212122,41x x m x x m m +==--，把()()121222217x x x x ++-=变形为12122()130x x x x +--=，再代入得方程28120m m -+=，求出m 的值即可．【详解】解:∵关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根, ∴22=(2)4(41)0m m m ∆----≥, ∴14m ,≥-∵12x x ，是方程222410x mx m m -+--=的两个实数根, ∵212122,41x x m x x m m +==--， 又()()121222217x x x x ++-= ∴12122()130x x x x +--=把212122,41x x m x x m m +==--代入整理得,28120m m -+=解得,122,6m m == 故选A【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合12122()130x x x x +--=，找出关于m 的一元二次方程． 27．A【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．。

考点05 一元二次方程一、一元二次方程的概念1．一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），其中2,,ax bx c 分别叫做二次项、一次项和常数项，,a b 分别称为二次项系数和一次项系数．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意0a ≠，因为当0a =时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．二、一元二次方程的解法1．直接开平方法适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程．2．配方法（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式；（5）运用直接开平方法解方程．3．公式法（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=；（2）确定,,a b c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入x =即可． 4．因式分解法基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=．三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系1．根的判别式一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；（3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．3．根与系数关系对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=． 四、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．1．增长率等量关系（1）增长率＝增长量÷基础量．（2）设a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则()1n a m b +=；当m 为平均下降率时，则有()1n a m b -=．2．利润等量关系（1）利润＝售价－成本．（2）利润率＝利润成本×100％． 3．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，则阴影部分的面积为()(22)a x b x --．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的面积为()()a x b x --．（3）类型3：如图3所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则4块空白部分的面积之和可转化为()()a x b x --．图1图2 图3考向一 一元二次方程的概念一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．典例1 下列方程中是关于x 的一元二次方程的是A ．2210x x += B ．ax 2+bx +c =0 C ．x 2+x +1=0D ．x (x +1)=x 2+7 【答案】C【名师点睛】本题主要考查一元二次方程的定义.根据一元二次方程的定义对每个选项进行判断即可.注意D 选项需要化简后进行观察.1．若方程()2110m x mx +--=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 A ．m ≠−1 B ．m =−1C ．m ≥−1D ．m ≠0考向二 解一元二次方程一元二次方程的常见解法及适用情形：典例2 若2x =-是关于x a 的值为_______________． 【答案】1或4-【解析】因为2x =-是关于x2340a a +-=，整理得1)40()(a a +-=， 解得14a =-，21a =．故a 的值是1或4-．典例3 用配方法解方程2210x x +-=时，配方结果正确的是A ．2(2)2x +=B ．2(1)2x +=C ．2(2)3x +=D ．2(1)3x +=【答案】B【解析】因为2210x x +-=，所以2212x x ++=，即2(1)2x +=．故选B ．2．一元二次方程23830x x +-=的解是_______________．3．方程()32)11(x x x -=-的根是_______________．考向三 一元二次方程根的判别式对于方程2(0)0ax bx c a ++=≠，24b ac ∆=-，①若∆>0，方程有两个不相等的实数根；②若∆=0，方程有两个相等的实数根；③若∆<0，方程没有实数根．典例4 已知关于x 的一元二次方程2210ax x +-=无实数根，则a 的取值范围是_______________．【答案】1a <-【解析】因为关于x 的一元二次方程2210ax x +-=无实数根，所以0a ≠，且44(1)0a ∆-⨯⨯-<=，解得1a <-．故a 的取值范围是1a <-．学-科网典例5 有两个一元二次方程：①20ax bx c ++=，②20cx bx a ++=，其中0a c +=，以下四个结论中，错误的是A ．如果方程①有两个相等的实数根，那么方程②也有两个相等的实数根B ．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必定是1x =C ．如果4是方程①的一个根，那么14是方程②的一个根 D ．方程①的两个根的符号相异，方程②的两个根的符号也相异【答案】B【解析】选项A ，214b ac ∆=-，224b ac ∆=-，12∆∆=，所以A 正确；选项B ，因为将1±分别代入方程，值相等，结合0a c +=，可知B 不正确；选项C ，因为1640a b c ++=，110164c b a ++=，即1640a b c ++=，故C 正确； 选项D ，由根与系数关系可知D 正确．故选B ．4．一元二次方程22520x x --=的根的情况是A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根5．关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为A ．1B ．1-C ．2D ．2-考向四 根与系数关系设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根分别为1x ，2x ，则12bx x a +=-，12cx x a =．典例6 若1-是方程220x x c -+=的一个根，则c 的值为A ．2-B ．2-C ．3D ．1【答案】A【解析】由根与系数的关系可得另一个根为2(11-=+，所以(12c ==-. 故选A ．典例7 如果1x ，2x 是一元二次方程2650x x --=的两个实根，那么2212x x +=_______________．【答案】46【解析】由根与系数关系，可得126x x +=，125x x =-，则222121212()2365246x x x x x x +=+-=+⨯=．6．若方程2410x x -+=的两根是1x ，2x ，则122(1)x x x ++的值为_______________．7．关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是2-和1，则m n 的值为A ．8- B ．8C ．16D ．16-考向五 一元二次方程在实际问题中的应用列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系，利用等量关系列出方程．其中分析实际问题是解决问题的前提和基础，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合实际问题．典例8 某药品原价每盒64元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒36元，则该药品平均每次降价的百分率是_______________．【答案】25％【解析】设药品平均每次降价的百分率是a ，则由题意可得243(616)a -=，25％． 典例9 经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程是_______________．【答案】203(512)x -=【解析】由题意可得203(512)x -=．8．某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是A ．20%B ．25%C ．50%D ．62.5%9．如图，在一块长为22米、宽为17米的长方形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与长方形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x 米，则根据题意可列出方程为A ．()()2217300x x +-=B ．()()22172300x x --=C ．()()2217300x x ++=D ．()()2217300x x --=1．下列方程为一元二次方程的是A ．2220x xy y -+=B ．223x x -=C ．()231x x x +=-D ．10x x+= 2．设1x ，2x 是方程2530x x +-=的两个根，则12x x +=A ．5B ．5-C ．3D ．3-3．如果2是方程230x x k -+=的一个根，则常数k 的值为A ．1 B ．2C ．1-D ．2-4．用公式法解﹣x 2+3x =1时，先求出a 、b 、c 的值，则a 、b 、c 依次为A ．﹣1，3，﹣1B ．1，﹣3，﹣1C ．﹣1，﹣3，﹣1D ．﹣1，3，15．方程230x x -=的解是A ．3x =B ．10x =，23x =C ．10x =，23x =-D ．11x =，23x = 6．方程()11x x x +=+的解是A ．1x =B ．1x =-C ．10x =，21x =-D ．11x =，21x =-7．若关于x 的一元二次方程22(2)520m x x m m -++-=的常数项为0，则m 的值为A ．1B ．2C ．0或2D ．0 8．一元二次方程2210x x --=的根的情况为A ．只有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根 9．已知关于x 的一元二次方程22(2)0x x m +--=有实数根，则m 的取值范围是A ．1m >B ．1m <C ．1m ≥D ．1m ≤10．关于x 的一元二次方程280x x q ++=有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是A ．16q <B ．16q >C ．4q ≤D ．4q ≥11．已知c b a ,,为常数，点),(c a P 在第二象限，则关于x 的方程02=++c bx ax 根的情况是A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断12．关于x 的一元二次方程22(2)10x a a x a +-+-=的两个实数根互为相反数，则a 的值为A ．2B ．0C ．1D ．2或013．如果2是方程230x x k -+=的一个根，则此方程的另一根为A ．2B ．1C ．1-D ．2- 14．设α，β是方程2210x x --=的两根，则代数式αβαβ++的值是A ．1B ．1-C ．3D ．3- 15．若关于x 的一元二次方程20x bx c -+=的两个实数根分别为2和4-，则b c +=A ．10-B ．10C ．6-D ．1- 16．已知一元二次方程2210x x --=的两根分别为1x ，2x ，则1211x x +的值为 A ．2B ．1-C ．12- D ．2- 17．2018年某市人民政府投入1000万元用于改造乡村小学班班通工程建设，计划到2020年再追加投资210万元，如果每年的平均增长率相同，那么该市这两年该项投入的平均增长率为A ．10%B ．8%C ．1.21%D ．12.1%18．已知一次函数y =kx +b 的大致图象如图所示，则关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +kb +1=0的根的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．有一个根是019．用配方法解方程x 2+6x ﹣5=0时，应该变形为_______________．20．若方程220x x k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______________． 21．已知关于x 的一元二次方程220x x m +-=有两个相等的实数根，则m 的值是_______________． 22．在一次聚会中，参加聚会的人每两位都相互握一次手，一共握手28次，设参加聚会有x 人，则可列方程_______________．23．若12,x x 是一元二次方程2350x x +-=的两个根，则221212x x x x +的值是_______________． 24．已知直角三角形两边的长是方程218650x x -+=的两个根，则第三边的长为_______________． 25．设α，β是方程(1)(4)5x x +-=-的两实数根，则33βααβ+=_______________． 26．解下列方程：（1）2235()x -=；（2）22330x x --=； （3）2()330x x --+=．27．关于x 的一元二次方程2(3)220x k x k -+++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求k 的取值范围．28．已知关于x 的方程28120x x a ++-=有两个不相等的实数根．（1）求a 的取值范围；（2）当a 取满足条件的最小整数时，求出方程的解． 29．根据要求，解答下列问题．（1）根据要求，解答下列问题．①方程2210x x -+=的解为________________________； ②方程2320x x -+=的解为________________________； ③方程2430x x -+=的解为________________________；……（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程2980x x -+=的解为________________________；②关于x 的方程________________________的解为11x =，2x n =． （3）请用配方法解方程2980x x -+=，以验证猜想结论的正确性．30．如图，要在长、宽分别为50米、40米的矩形草坪内建一个正方形的观赏亭．为方便行人，分别从东、南、西、北四个方向修四条宽度相同的矩形小路与亭子相连，若小路的宽是正方形观赏亭边长的15，小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的325，求小路的宽．31．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6 cm2？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由．32．某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨（或跌）1元，月销售量就减少（或增加）10kg，解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克35元时，计算月销售量和月销售利润；（2）商店想在月销售成本不超过6000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？（3）商店要使得月销售利润达到最大，销售单价应为多少？此时利润为多少？1．（2018贵州省铜仁）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣32．（2018湖南省湘西州）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为A．1 B．﹣3C．3 D．43．（2018甘肃省陇南）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是A．k≤﹣4 B．k＜﹣4C．k≤4D．k＜44．（2018辽宁省锦州）一元二次方程2x2−x+1=0的根的情况是A．两个不相等的实数根B．两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断5．（2018四川省泸州）若关于x 的一元二次方程()222110x k x k +-+-=有实数根，则k 的取值范围是A ．k ≥1B ．k ＞1C ．k ＜1D ．k ≤16．（2018福建）已知关于x 的一元二次方程（a +1）x 2+2bx +（a +1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是A ．1一定不是关于x 的方程x 2+bx +a =0的根B ．0一定不是关于x 的方程x 2+bx +a =0的根C ．1和﹣1都是关于x 的方程x 2+bx +a =0的根D ．1和﹣1不都是关于x 的方程x 2+bx +a =0的根7．（2018河南）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是 A ．x 2+6x +9=0 B ．x 2=xC ．x 2+3=2xD ．（x ﹣1）2+1=08．（2018湖北省咸宁）已知一元二次方程2x 2+2x ﹣1=0的两个根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，下列结论正确的是 A ．x 1+x 2=1 B ．x 1•x 2=﹣1 C ．|x 1|＜|x 2|D ．x 12+x 1=129．（2018广西壮族自治区贵港）已知α，β是一元二次方程x 2+x ﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是 A ．3 B ．1 C ．﹣1D ．﹣310．（2018山东省潍坊）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m +2）x +4m=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．若11x +21x =4m ，则m 的值是 A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．不存在11．（2018黑龙江省龙东地区）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？ A ．4B ．5C ．6D ．712．（2018浙江省舟山）欧几里得的《原本》记载，形如22x ax b +=的方程的图解法是：画Rt ABC △，使90ACB ∠= ，2a BC =，AC b =，再在斜边AB 上截取2aBD =.则该方程的一个正根是A ．AC 的长B ．AD 的长C ．BC 的长D ．CD 的长13．（2018四川省资阳）已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x +m 2﹣2m =0有一个根为0，则m =_____． 14．（2018云南省曲靖）关于x 的方程ax 2+4x ﹣2=0（a≠0）有实数根，那么负整数a =_____（一个即可）． 15．（2018贵州省毕节）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x ﹣m =0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_____．16．（2018湖南省益阳）规定：()a b a b b ⊗=+，如：()2323315⊗=+⨯=，若23x ⊗=，则x ＝_____．17．（2018湖北省荆州）关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx +k 2﹣k =0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12+x 22=4，则x 12﹣x 1x 2+x 22的值是_____．18．（2018四川省达州）已知：m 2﹣2m ﹣1=0，n 2+2n ﹣1=0且mn ≠1，则1mn n n++的值为_____． 19．（2018甘肃省兰州）解方程：23220x x --=．20．（2018湖北省十堰）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k ﹣1）x+k 2+k ﹣1=0有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若此方程的两实数根x 1，x 2满足x 12+x 22=11，求k 的值．21．（2018湖北省孝感）已知关于x 的一元二次方程()()()321x x p p --=+. （1）试证明：无论p 取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根1x ，2x 满足222121231x x x x p +-=+，求p 的值. 22．（2018黑龙江省绥化）已知关于x 的一元二次方程2520x x m -+=有实数根． （1）求m 的取值范围； （2）当52m =时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．23．（2018重庆）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a %，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a %，5a %，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a %，8a %，求a 的值．1．【答案】A【解析】根据一元二次方程的定义可得：m +1≠0，解得：m ≠−1. 故选A ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程必须满足三个条件： （1）必须是整式方程；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0．根据一元二次方程的定义求解即可． 2．【答案】113x =，23x =-3．【答案】11x =，223x =【解析】()32)11(x x x -=-，即312()(0)1x x x ---=，即()(20)31x x --=，即320x -=或10x -=，解得11x =，223x =． 4．【答案】B【解析】由22520x x --=可得2(5)42(2)410∆=--⨯⨯-=>，所以方程22520x x --=有两个不相等的实数根. 故选B ． 5．【答案】A【解析】由题可得=4401k k ∆-=⇒=. 故选A ． 6．【答案】5【解析】根据题意得124x x +=，121x x =，所以12212124(1)15x x x x x x x ++=+=+=+． 7．【答案】C【解析】因为关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是2-和1，所以12m -=-，22n=-，所以2m =，4n =-，所以2(4)16m n =-=．故选C ．9．【答案】D【解析】设道路的宽应为x 米， 由题意得（22−x ）（17−x ）=300， 故选D ．【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．1．【答案】B【解析】A 、是二元二次方程，故不是一元二次方程，故此选项错误； B 、是一元二次方程，故此选项正确；C 、原方程化简整理后是一元一次方程，故此选项错误；D 、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项错误； 故选B ．【名师点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，这样的整式方程称为一元二次方程，判断即可． 2．【答案】B故选B ． 3．【答案】B【解析】因为2是方程230x x k -+=的一个根，所以22320k -⨯+=，解得2k =． 故选B ． 4．【答案】A【解析】方程﹣x 2+3x =1整理得：﹣x 2+3x ﹣1=0， 则a ，b ，c 依次为﹣1，3，﹣1． 故选A ．【名师点睛】将一元二次方程整理成一般形式后即可判断出a ，b ，c 的值. 5．【答案】B【解析】由230x x -=，可得3()0x x -=，则10x =，23x =. 故选B ． 6．【答案】D【解析】()11x x x +=+，即(1)(1)0x x x +-+=，即(1)(1)0x x +-=，即10x +=或10x -=， 所以11x =-，21x =， 故选D.【名师点睛】本题是个易错题，因为不知道1x +是否为0，所以不能直接利用等式的性质2两边除以(1)x +．7．【答案】D【解析】由题意可得22020m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得0m =.故选D ．【名师点睛】本题主要考查一元二次方程的概念，一元二次方程的解和解方程的应用，关键是得出220m m -=且20m -≠．8．【答案】B【解析】因为2241(1(0))8∆=--⨯⨯-=>，所以方程有2个不相等的实数根． 故选B ． 9．【答案】C【解析】由题意得240b ac ∆=-≥，即2[20)12]4(m -⨯⨯--≥，解得1m ≥. 故选C ． 10．【答案】A【解析】由题可得6440q ∆=->，解得16q <． 故选A ． 11．【答案】B【解析】因为点),(c a P 在第二象限，所以0a <，0c >，所以0ac <，所以240b ac ∆=->，所以方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根． 故选B ．13．【答案】B，有一个根是2，则另一个根是321-=．故选B ． 12cx x a=．故选B ． 14．【答案】A【解析】由根与系数关系，可得2αβ+=，1αβ=-，则211αβαβ++=-=． 故选A ． 15．【答案】A【解析】由根与系数关系可得2(4)b +-=，2(4)c ⨯-=，解得2b =-，8c =-．所以10b c +=- ．故选A ．16．【答案】D【解析】由根与系数的关系可得122x x +=，121x x =-，所以22121111221x x x x x x ++===--. 故选D ． 17．【答案】A【解析】设该市这两年该项投入的平均增长率为x ，依题意可得21000(1)2101000x ⨯+=+，解得10.110%x ==，2 2.1x =-(舍去)． 即该市这两年该项投入的平均增长率为10%． 故选A ． 18．【答案】A【解析】∵一次函数y =kx +b 的图象经过第一、三、四象限，∴k >0，b <0， ∴△=(−2)2−4（kb +1）=−4kb >0，∴方程x 2﹣2x +kb +1=0有两个不等的实数根. 故选A ．【名师点睛】判断根的情况，只要看根的判别式△=b 2−4ac 的值的符号就可以了． 19．【答案】（x +3）2=14【解析】方程移项得：x 2+6x =5，配方得：x 2+6x +9=14，即（x +3）2=14.【名师点睛】此题考查了解一元二次方程的方法：配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程中常数项移到右边，两边加上9，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断． 20．【答案】1k <【解析】因为方程220x x k ++=有两个不相等的实数根，所以∆>0，即22410k -⨯⨯>，解得1k <，故填1k <．学=科网21．【答案】1-【解析】因为关于x 的一元二次方程220x x m +-=有两个相等的实数根，所以2240m ∆=+=，解得1m =-． 22．【解析】参加聚会的有x 人，每个人都要握手(1)x -次，可列方程： 23．【答案】15【解析】因为12,x x 是一元二次方程2350x x +-=的两个根，所以123x x +=-，125x x =-，所以2212121212()15x x x x x x x x +=+=．25．【答案】47【解析】方程(1)(4)5x x +-=-可化为2310x x -+=，因为α，β是方程(1)(4)5x x +-=-的两实数根，所以3αβ+=，1αβ=，所以222(+)27αβαβαβ=-=+，4422222=()2αβαβαβ++-47=，所以334447βααβαβαβ+=+=．26．【答案】（1）3x =±；（2）x =；（3）13x =，24x =．【解析】（1）2235()x -=，开平方可得3x -=，即3x =±，所以方程2235()x -=的解为3x =±． （2）由22330x x --=，可得2,3,3a b c ==-=-，24330b ac ∆=-=>，所以x ==，所以方程22330x x --=的解为x =（3）2()330x x --+=，即2()(30)3x x ---=，即()[()1]330x x --=-， 即4)30()(x x --=，解得13x =，24x =， 所以方程2()330x x --+=的解为13x =，24x =．【名师点睛】一元二次方程的解法：（1）直接开平方法，没有一次项的方程适用；（2）配方法，所有方程适用；（3）公式法，所有方程适用；（4）因式分解法，可因式分解的方程适用． 27．【答案】（1）证明见解析；（2）0k <．【解析】（1）因为222[(3)]4(22)21(1)0k k k k k ∆=-+-+=-+=-≥， 所以方程总有两个实数根．（2）因为2(3)22(2)(01)x k x k x x k -+++=--=-，所以12x =，21x k =+，因为方程总有一根小于1，所以11k +<，即0k <．故k 的取值范围为0k <．【思路分析】（1）由方程根的判别式0∆≥即可求证；（2）由因式分解法可将方程化为1()2)(x x k ---的形式，解出两根即可．28．【答案】（1）4a >-；（2）13x =-，25x =-．【解析】（1）根据题意可得284(12)0a ∆=-->，解得4a >-．（2）因为4a >-，所以最小的整数为3-，所以2812(3)0x x ++--=，即28150x x ++=，解得13x =-，25x =-．【思路分析】（1）方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，由此可求参数的取值范围；（2）利用（1）的结论求出a 的值，代入原方程解方程即可．29．【答案】（1）①11x =，21x =，②11x =，22x =，③11x =，23x =；（2）①11x =，28x =，②2)0(1x n x n ++=-；（3）11x =，28x =，猜想结论正确．【解析】（1）①11x =，21x =；②11x =，22x =；③11x =，23x =．（2）①11x =，28x =；②2)0(1x n x n ++=-．（3）2980x x -+=，即298x x -=-，即281819844x x -+=-+，即249(924x =-， 所以7292x -=±， 所以11x =，28x =．故猜想结论正确．30．【答案】小路的宽为2米．【解析】设小路的宽为x 米，由题意得，（5x ）2+（40+50）x ﹣2×x ×5x =325×40×50， 解得x =2或x =﹣8（不合题意，舍去）答：小路的宽为2米．【名师点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键.根据“小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的325”，建立方程求解即可得出结论． 31．【答案】（1）2或3秒；（2）不能.【解析】（1）设经过x 秒以后△PBQ 的面积为6 cm 2， 则12×（5﹣x ）×2x =6， 整理得：x 2﹣5x +6=0，解得：x =2或x =3．答：2或3秒后△PBQ 的面积等于6 cm 2 ．（2）设经过x 秒以后△PBQ 面积为8 cm 2，则12×（5﹣x ）×2x =8， 整理得：x 2﹣5x +8=0，因为△=25﹣32=﹣7＜0，所以此方程无解，故△PQB 的面积不能等于8 cm 2．【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ 的面积等于6 cm 2”，得出等量关系是解决问题的关键．（1）设经过x 秒钟，△PBQ 的面积等于6 cm 2，根据点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动，表示出BP 和BQ 的长可列方程求解．（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8 cm 2．32．【答案】（1）月销售量为450千克，月销售利润为6750元；（2）销售单价应为60元；（3）销售单价应为50元，此时利润为9000元．【解析】（1）月销售量为500−10×（35−30）=450（千克），月销售利润为（35−20）×450= 6750（元）.（3）设应涨价x 元，∵月销售利润()()2302050010104005000y x x x x =+--=-++ 210(20)9000x =--+，∴当20x =时，9000y =最大值，答：商店要使得月销售利润达到最大，销售单价应为50元，此时利润为9000元．【名师点睛】本题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，找到合适的等量关系，然后设出未知数正确列出方程．注意熟记等量关系：销售利润=每件利润×数量.（1）销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．那么涨价5元，月销售量就减少50千克．根据月销售利润=每件利润×数量即可求出题目的结果；（2）等量关系为：销售利润=每件利润×数量，设单价应定为x 元，根据这个等式即可列出方程求解，再结合销售成本不超过6000元进行取舍即可；（3）根据（2）中的相等关系列出函数解析式，化为顶点式即可求出答案.1．【答案】C 【解析】x 2−4x +3=0，分解因式得：（x −1）（x −3）=0，解得：x 1=1，x 2=3.故选C ．【名师点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．2．【答案】C【解析】设方程的另一个解为x 1，根据题意得：﹣1+x 1=2，解得：x 1=3.故选C ．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣b a 、两根之积等于c a 是解题的关键．设方程的另一个解为x 1，根据两根之和等于﹣b a，即可得出关于x 1的一元一次方程，解之即可得出结论．3．【答案】C【解析】根据题意得∆=42﹣4k ≥0，解得k ≤4．故选C ．【名师点睛】本题考查了根的判别式，根据判别式的意义得∆=42﹣4k ≥0，然后解不等式即可．一元二次方程ax 2+bx +c =0（a≠0）的根与∆=b 2﹣4ac 有如下关系：当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，方程有两个相等的实数根；当∆＜0时，方程无实数根．4．【答案】C【解析】∵∆=b 2 −4ac =1−8=−7＜0，∴一元二次方程2x 2 −x +1=0没有实数根．故选C ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式∆=b 2−4ac ，先计算∆=b 2−4ac 的值，再根据计算结果判断方程根的情况即可．当∆>0，方程有两个不相等的实数根；当∆=0，方程有两个相等的实数根；当∆<0，方程没有实数根．5．【答案】D【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x +k 2﹣1=0有实数根，∴∆=b 2﹣4ac =4（k ﹣1）2﹣4（k 2﹣1）=﹣8k +8≥0，解得：k ≤1．故选D ．【名师点睛】直接利用根的判别式进而分析得出k 的取值范围．∆＞0时，一元二次方程有两个不等实根；∆=0时，一元二次方程有两个相等实根；∆＜0时，一元二次方程无实根.6．【答案】D【解析】∵关于x 的一元二次方程（a +1）x 2+2bx +（a +1）=0有两个相等的实数根，∴()()22102410a b a +≠⎧⎪⎨∆-+⎪⎩＝＝，∴b =a +1或b =−（a +1）． 当b =a +1时，有a −b +1=0，此时−1是方程x 2+bx +a =0的根；当b =−（a +1）时，有a +b +1=0，此时1是方程x 2+bx +a =0的根．∵a +1≠0，∴a +1≠−（a +1），∴1和−1不都是关于x 的方程x 2+bx +a =0的根．故选D ．【名师点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当∆=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．根据方程有两个相等的实数根可得出b =a +1或b =−（a +1），当b =a +1时，−1是方程x 2+bx +a =0的根；当b =−（a +1）时，1是方程x 2+bx +a =0的根．再结合a +1≠−（a +1），可得出1和−1不都是关于x 的方程x 2+bx +a =0的根．7．【答案】B【解析】A 、x 2+6x +9=0.∆=62−4×9=36−36=0，方程有两个相等实数根；B 、x 2=x ，即x 2−x =0.∆=（−1）2−4×1×0=1＞0，方程有两个不相等实数根；C 、x 2+3=2x ，即x 2−2x +3=0.∆=（−2）2−4×1×3=−8＜0，方程无实根；D 、（x −1）2+1=0，即（x −1）2=−1，则方程无实根.故选B ．【名师点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式判断即可． 一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与∆=b 2−4ac 有如下关系：①当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当∆=0时，方程有两个相等的实数根；③当∆＜0时，方程无实数根．8．【答案】D【解析】根据题意得x 1+x 2=﹣22=﹣1，x 1x 2=﹣12，故A 、B 选项错误； ∵x 1+x 2＜0，x 1x 2＜0，∴x 1、x 2异号，且负数的绝对值大，故C 选项错误； ∵x 1为一元二次方程2x 2+2x ﹣1=0的根，∴2x 12+2x 1﹣1=0，∴x 12+x 1=12，故D 选项正确， 故选D ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关内容是解题的关键.直接利用根与系数的关系对A 、B 进行判断；由于x 1+x 2＜0，x 1x 2＜0，则利用有理数的性质得到x 1、x 2异号，且负数的绝对值大，则可对C 进行判断；利用一元二次方程解的定义对D 进行判断．9．【答案】B【解析】∵α，β是方程x 2+x ﹣2=0的两个实数根，∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，∴α+β﹣αβ=﹣1−（−2）=−1+2=1，故选B ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣b a 、两根之积等于c a是解题的关键．根据根与系数的关系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．10．【答案】A【解析】∵关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m +2）x +4m =0有两个不相等的实数根x 1、x 2， ∴()202404m m m m ≠⎧⎪⎨∆=+-⋅>⎪⎩，解得：m ＞﹣1且m ≠0，。

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114xx +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式． 【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--． 【解析】【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点．（3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为． 令y=0，解得∴A()，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．连结CB’，则∠BCD=45°∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°∴∠BCB’=90°即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--， 即AM 的解析式为112y x =--．2．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg ，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg 时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg ，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg ）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x 千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x ）]}=12，整理得：x 2﹣65x ﹣750=0，（x ﹣75）（x+10）=0，解得：x 1=75，x 2=﹣10（舍去），60%+1.6%（90﹣x ）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用3．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x 1=﹣13，x 2=23． 【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x ﹣2=0，解得：x 1=﹣13，x 2=23． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.4．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（） 【答案】124x x 23==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得2212x x 3-=-（）（）开平方，得12x x 3-=-，或12x x 3-=--（）解得124x x 23==-，5．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A ，B 两个社区，B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍． （1）求A 社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A ，B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A 社区有1.2万人知晓，B 社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A 社区的知晓人数平均月增长率为m %，B 社区的知晓人数第一个月增长了45m %，第二月在第一个月的基础上又增长了2m %，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m 的值．【答案】（1）A 社区居民人口至少有2.5万人；（2）m 的值为50．【解析】【分析】（1）设A 社区居民人口有x 万人，根据“B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A 社区的知晓人数+B 社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m 的方程并解答．【详解】解：（1）设A 社区居民人口有x 万人，则B 社区有（7.5-x ）万人，依题意得：7.5-x ≤2x ，解得x ≥2.5．即A 社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m %）2+1.5×（1+45m %）+1.5×（1+45m %）（1+2m %）=7.5×92%， 解得m =50答：m 的值为50．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．6．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当k≤14时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立 【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决.试题解析：（1）∆= ()()2221420k k k +-+≥，解得14k ≤ （2）由2212120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-+≥， 由根与系数的关系可得：2121221,2x x k x x k k +=+=+代入得：22364410k k k k +---≥，化简得：()210k-≤，得1k=.由于k的取值范围为14k≤，故不存在k使2212120x x x x--≥．7．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.【解析】试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得 x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20考点：一元二次方程的应用．8．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．9．如图，在四边形 ABCD 中， AD //BC ， C 90∠=︒ ， BC 16=， DC 12= ， AD 21= ，动点P 从点D 出发，沿线段 DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点 B 运动；点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点Q 随之停止运动，设运动的时间为t 秒）.（1）当 t 2=时，求 BPQ 的面积；（2）若四边形ABQP 为平行四边形，求运动时间 t . （3）当 t 为何值时，以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？【答案】（1）S 84=；（2）t 5= ；（3）7t 2=或163. 【解析】【分析】（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则PM=DC ，当t=2时，算出BQ ，求出面积即可；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =，即212t 16t -=-，解出即可；（3）以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①PQ BQ =，②BP BQ =，③PB PQ =分别求出t 即可.【详解】解 ：（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则四边形PDCM 为矩形.∴PM DC 12==，∵QB 16t =-，当t=2时，则BQ=14，则1S QB PM 2=⨯=12×14×12=84； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =, 即212t 16t -=-：解得：t 5=∴当t 5=时，四边形ABQP 是平行四边形.（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：①若PQ BQ =，在Rt PMQ 中，222PQ 12t =+，由22PQ BQ =得()2221216t t +=- 解得：7t 2= ； ②若BP BQ =，在Rt PMB 中，()222PB 16212t =-+，由22PB BQ ?=得()()222 1621216t t -+=- ，即2332t 1440t -+=，此时，()232431447040=--⨯⨯=-<△ ,所以此方程无解，所以BP BQ ≠ ；③若PB PQ =，由22PB PQ ?=得()2222 12162t 12t +=-+ ,得 1163t =，216t =（不合题意，舍去）； 综上所述，当7t 2=或163时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形. 【点睛】本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.10．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围．【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2=6，x 1x 2=2m+1，再利用2x 1x 2+x 1+x 2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m 的取值范围． 试题解析：（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m ＋1）≥0，解得m≤4；（2）根据题意得x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝2m ＋1，而2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，所以2（2m ＋1）＋6≥20， 解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．。

中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用--知识讲解一、一元二次方程的解法一元二次方程是指一个未知数的平方最高次数为2的方程。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知常数，且a≠0。

解一元二次方程的方法有以下几种：1.因式分解法：对方程进行因式分解，然后令每个因式等于0，求解得到方程的解。

2. 公式法：利用求根公式(-b±√(b^2-4ac))/2a，计算出方程的根。

3.完全平方式：对一元二次方程进行配方处理，将其化为完全平方的形式，然后求解。

4.图像法：将方程的解与图像相结合，通过观察图像的交点来确定方程的解。

二、一元二次方程的应用1.抛物线问题：一元二次方程常用来描述抛物线的形状与运动轨迹。

在物理学、工程学等领域中，抛物线的特性与运动轨迹有很多应用。

2.几何问题：一元二次方程可以用来解决与几何问题相关的计算和推理。

如求解一个平面图形的面积、找到一个图形的对称轴等。

3.速度问题：一元二次方程可以用来描述具有变速度的运动过程。

在物理学和运动学中，可以通过一元二次方程来计算运动物体的速度、加速度等相关参数。

4.财务问题：一元二次方程可以用来解决与财务相关的问题，如计算利润、成本和销售量之间的关系等。

5.人口增长问题：一元二次方程可以用来描述人口增长的模型。

通过一元二次方程的解，可以预测人口增长的趋势和规律。

总结：一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，掌握解一元二次方程的方法对于提高数学学习的能力和解决实际问题具有重要意义。

在解题过程中，要根据具体情况选择合适的方法，并灵活运用数学知识解决问题。

中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（基础）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2. 会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)． 2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x m =m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为242b b acx a-±-=．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆． △>0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根； △<0⇔方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释：△≥0⇔方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么ac x x a b x x 2121=⋅-=+，．考点二、分式方程 1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． 要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”. 要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．考点三、一元二次方程、分式方程的应用 1．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律． (2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键． (4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量＝原有量×增长率； 现有量＝原有量+增长量； 现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意． 【典型例题】类型一、一元二次方程1．用配方法解一元二次方程：2213x x += 【思路点拨】把二次项系数化为1，常数项右移，方程两边都加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法解出未知数的值. 【答案与解析】移项，得2231x x -=-二次项系数化为1，得23122x x -=- 配方22233132424x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 由此可得3144x -=± 11x =，212x =【总结升华】用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程 无实数解.举一反三：【变式】用配方法解方程x 2-7x-1=0． 【答案】将方程变形为x 2-7x=1，两边加一次项系数的一半的平方，得x 2-7x+=1+，所以有=1+．直接开平方，得x-=或x-=-．所以原方程的根为 x=7+532或x=7-532．2．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； （2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【思路点拨】判别式大于0，二次项系数不等于0.【答案与解析】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m =m 2﹣4m+4=（m ﹣2）2，∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0， ∴△≥0，∴方程总有实数根； （2）解：解方程得，x=，x 1=2m，x 2=1， ∵方程有两个不相等的正整数根， ∴m=1或2，∵m=2不合题意， ∴m=1．【总结升华】（1）注意隐含条件m ≠0；（2）注意整数根的限制条件的应用，求出m 的值，要验证m 的值是否符合题意.举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(2)210x m x m +++-=．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解． 【答案】（1）证明:因为△=)12(4)2(2--+m m =4)2(2+-m所以无论m 取何值时， △>0，所以方程有两个不相等的实数根． （2）解：因为方程的两根互为相反数，所以021=+x x ，根据方程的根与系数的关系得02=+m ，解得2-=m ，所以原方程可化为052=-x ，解得51=x ，52-=x .类型二、分式方程3．解分式方程：=﹣．【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验. 【答案与解析】解：方程两边同乘以（2x+1）（2x ﹣1），得 x+1=3(2x-1)-2(2x+1) x+1=2x-5， 解得x=6．检验：x=6是原方程的根． 故原方程的解为：x=6．【总结升华】首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根. 举一反三：【变式1】解分式方程：21233x x x -+=--． 【答案】方程两边同乘以3x -，得22(3)1x x -+-=． 2261x x -+-=． 5x =．经检验：5x =是原方程的解，所以原方程的解是5x =．【变式2】方程22123=-+--xx x 的解是x= ． 【答案】0x =.4．若解分式方程2111(1)x m x x x x x++-=++产生增根，则m 的值是（ ） A.B.C.D.【思路点拨】先把原方程化为整式方程，再把可能的增根分别代入整式方程即可求出m 的值. 【答案】D ；【解析】由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得2m =-或1，故选择D.【总结升华】分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值. 举一反三：【变式】若关于x 的方程2332+-=--x mx x 无解，则m 的值是 ． 【答案】1.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.【思路点拨】在航行问题中的等量关系是“顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度”，两次航行提供了两个等量关系. 【答案与解析】设船在静水中的速度为x 千米/小时，水流速度为y 千米/小时由题意，得解得：经检验：是原方程的根x y x y ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩173173 答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时. 【总结升华】流水问题公式：顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度； 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2；水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2.举一反三：【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 【答案】设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得：答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵.6．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？【思路点拨】设该产品的成本价平均每月降低率为x ，那么两个月后的销售价格为625（1-20%）（1+6%），两个月后的成本价为500（1-x ）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果． 【答案与解析】设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为x ． 625（1-20%）（1+6%）-500（1-x ）2=625-500 整理，得500（1-x ）2=405，（1-x ）2=0.81． 1-x=±0.9，x=1±0.9， x 1=1.9（舍去），x 2=0.1=10%．答：该产品的成本价平均每月应降低10%． 【总结升华】题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，•要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，•关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1. 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -= C ．()229x += D ．()229x -=2．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ） A ．1 B ．12C ．13D ．253．关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞﹣1 B ．k≥﹣1 C ．k≠0 D ．k ＜1且k≠04．若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．05．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）.A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-= C ．213014000x x --= D ．2653500x x --=6．甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A. B. C. D.二、填空题 7．方程﹣=0的解是 ．8．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是___ ___．9．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 __ ．10．当m 为 时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根；此时这两个实数根是 .11．如果分式方程1+x x =1+x m 无解, 则 m = . 12．已知关于x 的方程 x 1 － 1-x m= m 有实数根，则 m 的取值范围是 .三、解答题 13. （1）解方程：x x x x 4143412+-=---； （2）解方程：x x x x221103+++=.14．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.15．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2=0有实数根， （1）求m 的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m 的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m 使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．16．如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？ （2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？ 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理即可得到B 项是正确的.2.【答案】C ；【解析】∵22127x x += ∴221212)22(21)7x x x x m m +-=--=（， 解得m=5（此时不满足根的判别式舍去）或m=－1.原方程化为230x x +-=，212()x x -=21212()411213.x x x x +-=+=3.【答案】D ；【解析】依题意列方程组，解得k ＜1且k≠0．故选D ． 4.【答案】B ；【解析】有题意2320,10m m m -+=-且≠，解得2m =.5.【答案】B ；【解析】（80+2x ）（50+2x ）=5400，化简得2653500+-=x x . 6.【答案】B ；【解析】由已知，此人步行的路程为av 千米，所以乘车的路程为千米。