吉林大学《离散数学》期末考试学习资料(一)

离散数学期末考试题及详细答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，下列哪个概念用来描述元素与集合之间的关系？A. 并集B. 交集C. 子集D. 元素答案：D2. 布尔代数中，下列哪个运算符表示逻辑“与”？A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案：B3. 下列哪个命题的否定是正确的？A. 如果今天是周一，则明天是周二。

B. 如果今天是周一，则明天不是周二。

答案：B4. 在图论中，一个图的顶点数为n，边数为m，下列哪个条件可以保证该图是连通的？A. m > nB. m ≥ nC. m = nD. m > n-1答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 在集合论中，一个集合的幂集包含该集合的所有______。

答案：子集2. 如果一个函数f: A → B是单射的，那么对于任意的a1, a2 ∈ A，如果a1 ≠ a2，则f(a1) ≠ f(a2)。

这种性质称为函数的______。

答案：单射性3. 在图论中，一个图的直径是指图中任意两个顶点之间的最短路径的最大值。

如果一个图的直径为1，则该图被称为______。

答案：完全图4. 一个布尔表达式可以表示为一系列逻辑运算符和变量的组合。

布尔表达式(A ∧ B) ∨ (¬ A ∧ C)的真值表中，当A为真，B为假，C为真时，整个表达式的值为______。

答案：真三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的哈密顿回路，并给出一个例子。

答案：哈密顿回路是图中的一个回路，它恰好访问每个顶点一次。

例如，在一个完全图中，任意一个顶点出发，依次访问其他顶点，最后回到出发点的路径就是一个哈密顿回路。

2. 请解释什么是二元关系，并给出一个二元关系的例子。

答案：二元关系是定义在两个集合上的一个关系，它关联了第一个集合中的元素和第二个集合中的元素。

例如，小于关系是实数集合上的一个二元关系，它关联了每一对实数，如果第一个数小于第二个数。

离散数学习题参考答案第一章集合１．分别用穷举法，描述法写出以下集合（１）偶数集合〔２〕36的正因子集合〔３〕自然数中3的倍数〔４〕大于１的正奇数(1)E={，-6，-4，-2，0，2，4，6，}={2 i | i∈ I }(2) D= { 1, 2, 3, 4, 6, } = {x>o | x|36 }(3) N= { 3, 6, 9, ```} = { 3n | n∈N }3(4) A= {3, 5, 7, 9, ```} = { 2n+1 | n∈N }d２．确定以下结论正确与否〔１〕φ∈φ×〔２〕φ∈｛φ｝√〔３〕φ⊆φ√〔４〕φ⊆｛φ｝√〔５〕φ∈｛ａ｝×〔６〕φ⊆｛ａ｝√〔７〕｛ａ，ｂ｝∈｛ａ，ｂ，ｃ，｛ａ，ｂ，ｃ｝｝×〔８〕｛ａ，ｂ｝⊆｛ａ，ｂ，ｃ，｛ａ，ｂ，ｃ｝｝√〔９〕｛ａ，ｂ｝∈｛ａ，ｂ，｛｛ａ，ｂ｝｝｝×〔１０〕｛ａ，ｂ｝⊆｛ａ，ｂ，｛｛ａ，ｂ｝｝｝√３．写出以下集合的幂集〔１〕｛｛ａ｝｝{φ, {{ a }}}( 2 ) φ{φ}〔３〕｛φ，｛φ｝｝{φ, {φ}, {{φ}}, {φ,{φ}} }〔４〕｛φ，ａ，｛ａ，ｂ｝｝{φ, {a}, {{a,b }}, {φ}, {φ, a }, {φ, {a,b }}, {a, {a b }}, {φ,a,{ a, b }} }〔５〕Ｐ〔Ｐ〔φ〕〕{φ, {φ}, {{φ}}, {φ,{φ}} }４．对任意集合Ａ，Ｂ，Ｃ，确定以下结论的正确与否〔１〕假设Ａ∈Ｂ，且Ｂ⊆Ｃ，那么Ａ∈Ｃ√〔２〕假设Ａ∈Ｂ，且Ｂ⊆Ｃ，那么Ａ⊆Ｃ×〔３〕假设Ａ⊆Ｂ，且Ｂ∈Ｃ，那么Ａ∈Ｃ×〔４〕假设Ａ⊆Ｂ，且Ｂ∈Ｃ，那么Ａ⊆Ｃ×５．对任意集合Ａ，Ｂ，Ｃ，证明右分配差差左=--=--)C A ()B A ()C B (A M.D )C B (A )C B (A )C A ()B A ()C B (A )1(右差分配差左右差的结论差左=--=-------=-)C A ()B A ()C A ()B A ()C B (A M.D )C B (A )2)C A ()B A ()C A ()B A ()1()C B (A )1)C A ()B A ()C B (A )2(右交换结合幂等差左=--=-)C A ()B A (,)C B ()A A ()C B (A M.D )C B (A )C A ()B A ()C B (A )3())B )B (A ())B B ()B A ((,)B )B A (()B )B A ((B)B A (B A B )B A )(4( --⊕=⊕+结合分配对称差差左右零一互补==φ-φ-)B A ()B A ()A ()U )B A (()C B (A )C B (A M .D )C B (A C )B A ()C B (A C )B A )(5( --=--差结合差左右差结合交换结合差左=----=--B )C A (B)C A ()B C (A )C B (A C )B A (B )C A (C )B A )(6(左交换零一互补分配差右=------------=--C )B A ()5()C B (A )B C (A )U )B C ((A ))C C ()B C ((A ))C B (C (A ))C B (C (A )5()C B ()C A (C )B A )(7(６．问在什么条件下，集合Ａ，Ｂ，Ｃ满足以下等式时等式成立须左若要右右左A C ),C B (A C ,)C A ()B A (C )B A ()C B (A )1(⊆∴⊆⊆⊆==时等式成立是显然的右左φ=∴⊆=-⊆⊆=-B A ,B A ,B A B A A ,A B A )2(时等式成立代入原式得φ==∴φ=φ-φ=⊆==-B A ,A ,B ,B B ,B B A BB A )3(时等式成立只能B A ,A B ,A B ,B A ,B A ,A B B A A B B A )4(=∴⊆φ=-⊆φ=-φ==-=-矛盾当矛盾当若A B A b ,A b ;A B A b ,A b ,B b ,B ,B A B A )5(=⊕∈∉=⊕∉∈∈∃φ≠φ==⊕} 时等式成立是显然的左右B A B A AB ,B A B BA ,B A A ,B A B A ,B A B A )6(=∴=⎩⎨⎧⊆⊆⊆⊆⊆⊆=时等式成立左φ=∴=-=====--C B A A )C B (A )C B (A )C B (A )C A ()B A (A)C A ()B A )(7(时等式成立左C A ,B A ),C B (A )C B (A )C B (A )C B (A )C A ()B A ()C A ()B A )(8(⊆⊆∴⊆φ=-====φ=--时等式成立左)C B (A )C B (A )C B (A )C B (A )C A ()B A ()C A ()B A )(9(⊆∴φ=-====φ=--时等式成立知由C A B A ,C A B A ),C A ()B A (,)6()C A ()B A ()C A ()B A ())C A ()B A (())C A ()B A (()C A ()B A )(10(=∴-=--=---=--φ=-----φ=-⊕-时等式成立B A B )B A (U )B A ()A A ()B A ()A B (A B)A B (A )11(⊆∴=====-７．设Ａ＝｛ａ，ｂ，｛ａ，ｂ｝，｝，求以下各式〔１〕φ∩｛φ｝=φ 〔２〕｛φ｝∩｛φ｝={φ} 〔３〕｛φ，｛φ｝｝－φ={φ,{φ}} 〔４〕｛φ，｛φ｝｝－｛φ｝= {{φ}} 〔５〕｛φ，｛φ｝｝－｛｛φ｝｝={φ} 〔６〕Ａ－｛ａ，ｂ｝={{a,b}, φ} 〔７〕Ａ－φ = A〔８〕Ａ－｛φ｝={a,b,{a,b}} 〔９〕φ－Ａ=φ 〔１０〕｛φ｝－Ａ=φ８．在以下条件下，一定有Ｂ＝Ｃ吗？（１） C A B A =否，例：A={1，2，3}，B={4}，C={3,4},C B ,}4,3,2,1{C A B A ≠==而 。

19. (5分) 已知公理 A: (pq) ((qp) (pq)) B: pp∨q
C: pp D: (pr) ((qr) ((p∨q) r)) E: p∧qp 证明定理: p(p∨p)
证明:
(1) pp∨q
公理B
(2) pp∨p
代入
(3) (pr) ((qr) ((p∨q) r))
公理D
(4) (pp) ((pp) ((p∨p) p)) 代入
∑d(v) ≥1+2(|V|-1)=2|E|+1, 这与结论 ∑ d(v) =2|E| 矛盾! 矛盾说明 T 不止
一片树叶。
12. (8分) (G, ·)是一个群，取定u ∊ G. ∀g1,g2∊G，定义： g1*g2= g1·u-1·g2. 证明: (G,*)是群。
证明: (1) 封闭性 (2) 可以结合性 (3) 幺元 e*=u. 事实上, g*e*=g*u=g·u-1·u=g·e=g e**g=u*g=u·u-1·g=e·g=g (4) 逆元 对于∀g∊G, 在代数运算*下的逆元记为g*-1 于是, g*-1=u·g-1·u
所以，根据连通的定义知：G的补图一定连通 。
9. (4分) 一个有奇数条边、偶数个顶点的欧拉图，但不是哈 密尔顿图。
10 (6分) 画出K4,4，判断K4,4是否平面图. 否!
11. (5分) 证明: 多于一个顶点的树，至少有两片树叶。
证明：设 T=(V,E)是一棵树，若T中最多只有一片树叶， 则有
g*a*g-1H,
g*a*g-1K, 从而有g*a*g-1HK， 故HK是G的正规子群。
14. (4分) 已知(G, *)，(A, △)是两个群，f: G→A是群同态的。
证明: (1) f(eG)=eA (eG G是幺元, eA A是幺元). (2) ∀g∊G, f(g-1)=(f(g))-1.

吉林大学网络教育学院2019-2020学年第一学期期末考试《离散数学》大作业学生姓名专业层次年级学号学习中心成绩年月日作业完成要求：大作业要求学生手写，提供手写文档的清晰扫描图片，并将图片添加到word 文档内，最终wod文档上传平台，不允许学生提交其他格式文件（如JPG，RAR等非word 文档格式），如有雷同、抄袭成绩按不及格处理。

一、简答题（每小题7分，共56分）1、什么是命题公式的演绎？答：首先定义了消解复杂性的两种范式:最简范式和文字范式,在此基础上采用演绎方法证明了L中的可判定性定理,并设计了命题公式的演绎判定算法P(F).P(F)的时间复杂度为O(n3),远远小于基于真值表法的O(2n)和基于策略方案HAL的O(n5)。

2、什么是子句？请给出一例。

答：子句是一组包含一个主词和一个动词的关连字。

子句与片语有明显的不同，后者为一组不含主词与动词关系的关连字，如"in the morning" 或"running down the street" 或"having grown used to this harassment."3、什么是短语？请给出一例。

答：短语是由句法、语义和语用三个层面上能够搭配的语言单位组合起来的没有句调的语言单位，又叫词组。

它是大于词而又不成句的语法单位。

简单的短语可以充当复杂短语的句法成分，短语加上句调可以成为句子。

由语法上能够搭配的词组合起来的没有句调的语言单位例如：粮食//丰收（名//动）（什么//怎么样）4、什么是命题逻辑中的文字？答：检测和消除命题逻辑公式中的冗余文字,是人工智能领域广泛研究的基本问题。

针对命题逻辑的子句集中子句的划分,结合冗余子句和冗余文字的概念,将命题逻辑的子句集中的文字分为必需文字、有用文字和无用文字3类。

5、什么是析取范式？请给出一例。

答：在离散数学中，仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式，而由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。

A. B. C. D.
参考答案： B
6、 设 A. 代数系统 B. 半群 C. 群
,*为普通乘法,则<S,*>是( )
D. 都不是
参考答案： A
7、 设S={0,1},*为普通乘法,则< S , * >是( ) A. 半群,但不是独异点 B. 只是独异点,但不是群 C. 群 D. 环,但不是群
参考答案： B
A. B. C. D.
参考答案： B
3、 命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为( ) 设D:全总个体域,F(x):x是花,M(x) :x是人,H(x,y):x喜欢y
A. B. C. D.
参考答案： D
4、 下列等价式成立的有( )
A. B. C. D.
参考答案： D
5、 下列公式是重言式的有( )
5、 ( )设S={1,2},则S在普通加法和乘法运算下都不封闭。 参考答案： 正确
8、 谓词公式
中的x是( )
A. 自由变元
B. 约束变元
C. 既是自由变元又是约束变元
D. 既不是自由变元又不是约束变元
参考答案： C
9、 设
是一个有界格,如果它也是有补格,只要满足( )
A. 每个元素都至少有一个补元
B. 每个元素都有多个补元
C. 每个元素都无补元
D. 每个元素都有一个补元
参考答案： A
10、 一棵无向树T有4度、3度、2度的分枝点各1个,其余顶点均为树叶,则T中有( )片树叶
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
参考答案： C
11、 设
A. {{1,2}} B. {1,2 } C. {1} D. {2}
参考答案： A
,则有( )

一．R，S是集合A上的两个关系。

试证明下列等式：（1）(R•S)-1= S-1•R-1（2）(R-1)-1= R答：（1）对∀∈(R。

S)^(-1)∈R。

S∈R ∧∈S∈S^(-1)∧∈R^(-1)∈S^(-1)。

R^(-1)（2）对∀∈(R^(-1))^(-1)∈R^(-1)∈R二、R，S是集合A上的两个关系。

试证明下列等式：（1）(R∪S)-1= R-1∪S-1（2）(R∩S)-1= R-1∩S-1（1）证相互包含:任意<x,y>∈（R∪S）^(-1),<y,x>∈（R∪S）,<y,x>∈R或者),<y,x>∈S<x,y>∈R^(-1),或者<x,y>∈S^(-1),<x,y>∈R^(-1)∪S^(-1),（R∪S）^(-1)包含于R^(-1)∪S^(-1),任意<x,y>∈R^(-1)∪S^(-1),<x,y>∈R^(-1),或者<x,y>∈S^(-1),<y,x>∈R或者,<y,x>∈S<y,x>∈（R∪S）,<x,y>∈（R∪S）^(-1),R^(-1)∪S^(-1)包含于（R∪S）^(-1),所以（R∪S）^(-1)=R^(-1)∪S^(-1),（2）任意<x,y>∈（R∩S）^(-1),<y,x>∈（R∩S）,<y,x>∈R并且,<y,x>∈S<x,y>∈R^(-1),并且<x,y>∈S^(-1),<x,y>∈（R^(-1)∩S^(-1),（R∩S）^(-1)包含于R^(-1)∩S^(-1),任意<x,y>∈R^(-1)∩S^(-1),<x,y>∈R^(-1),并且<x,y>∈S^(-1),<y,x>∈R并且,<y,x>∈S<y,x>∈（R∩S）,<x,y>∈（R∩S）^(-1),R^(-1)∩S^(-1)包含于（R∩S）^(-1),所以（R∩S）^(-1)=R^(-1)∩S^(-1),三、设R是非空集合A上的关系，如果1）对任意a∈A，都有a R a ；2）若aRb，aRc，则bRc ；对称性：已知aRa,对任意b,如果aRb,那么根据条件2有bRa.传递性：对任意a,b,c,如果aRb且bRc,那么根据对称性有bRa,再根据条件2就有aRc.四、若集合A上的关系R，S具有对称性，证明：R•S具有对称性的充要条件为R•S= S•R。

离散期末考试题及答案离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个符号表示属于关系？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A2. 有限集合A和B的并集，其元素个数最多是A和B元素个数之和，这个性质称为：A. 德摩根定律B. 幂集C. 并集原理D. 子集原理答案：C3. 命题逻辑中，以下哪个命题是真命题？A. (p ∧ ¬p) ∨ qB. (p ∨ ¬p) ∧ qC. (p ∨ q) ∧ ¬pD. (p ∧ q) ∨ ¬p答案：B4. 在图论中，一个无向图的边数至少是顶点数的多少倍才能保证图中至少存在一个环？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B5. 以下哪个算法用于生成一个集合的所有子集？A. 欧拉回路B. 哈密顿回路C. 深度优先搜索D. 子集生成算法答案：D6. 在关系数据库中，以下哪个操作用于删除表中的行？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：D7. 以下哪个是有限自动机的状态？A. 初始状态B. 终止状态C. 转移状态D. 所有选项答案：D8. 以下哪个是图论中的一个基本定理？A. 欧拉定理B. 哈密顿定理C. 狄拉克定理D. 所有选项答案：D9. 在命题逻辑中，以下哪个是德摩根定律的逆命题？A. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬qB. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬qC. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∨ ¬qD. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∧ ¬q答案：B10. 在集合论中，以下哪个操作表示集合的差集？A. ∩B. ∪C. -D. ×答案：C二、填空题（每空3分，共30分）11. 集合{1, 2, 3}的幂集包含________个元素。

吉大离散数学试题及答案一、选择题1. 以下哪个选项不是离散数学中的基本概念？A. 集合B. 函数C. 微积分D. 关系答案：C2. 在集合论中，以下哪个操作不是基本的集合运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 微分答案：D3. 逻辑运算中的“与”操作，其结果为真当且仅当两个操作数都为真。

这个操作的符号是：A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：A二、填空题1. 一个集合的幂集包含该集合的所有_________。

答案：子集2. 如果函数f: A → B 是单射的，那么对于 A 中的任意两个不同的元素 a1 和 a2，f(a1) 和 f(a2) 在 B 中是_________的。

答案：不同的三、简答题1. 简述什么是图论中的“图”？答案：图是由顶点（或称为节点）和连接这些顶点的边组成的数学结构。

图可以是有向的或无向的，边可以是有权重的或无权重的。

2. 什么是逻辑中的“真值表”？答案：真值表是一种列出逻辑表达式中所有可能的真值组合及其结果的表格。

它用于展示逻辑表达式在不同输入值下的结果。

四、计算题1. 给定集合 A = {1, 2, 3} 和 B = {2, 3, 4}，请找出 A 和 B 的交集。

答案：A ∩ B = {2, 3}2. 假设有一个函数 f(x) = x^2，计算 f(-3) 和 f(3) 的值。

答案：f(-3) = 9，f(3) = 9五、论述题1. 论述离散数学在计算机科学中的应用。

答案：离散数学是计算机科学的基础，它提供了处理计算机科学问题所需的数学工具和理论。

例如，集合论是数据库理论的基础；图论在网络和算法设计中有着广泛应用；逻辑和布尔代数是计算机硬件设计和编程语言的基础。

2. 讨论命题逻辑和谓词逻辑的区别。

答案：命题逻辑关注简单命题及其逻辑关系，而谓词逻辑则引入了量词和变量，允许表达更复杂的逻辑关系。

命题逻辑使用逻辑连接词（如与、或、非等）来构建表达式，而谓词逻辑则使用量词（如全称量词∀和存在量词∃）来描述涉及个体的命题。

离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项是图的边数与顶点数的关系？A. 边数小于顶点数B. 边数等于顶点数C. 边数大于顶点数D. 边数与顶点数无固定关系答案：D2. 有限自动机的英文缩写是什么？A. FAB. PDAC. TMAD. NFA答案：A3. 布尔代数中，德摩根定律是指什么？A. ¬(A ∧ B) 等于¬ A ∨ ¬ BB. ¬(A ∨ B) 等于¬ A ∧ ¬ BC. A ∧ B 等于¬(A ∨ B)D. A ∨ B 等于¬(¬ A ∧ ¬B)答案：B4. 在命题逻辑中，以下哪个符号表示蕴含？A. ∧B. ∨C. →D. ↔答案：C5. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A ∪ B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3, 4}D. {1, 3, 4}答案：A6. 以下哪个选项是正确的递归定义？A. 一个数是偶数当且仅当它是2的倍数B. 一个数是偶数当且仅当它不是2的倍数C. 一个数是偶数当且仅当它是另一个偶数加1D. 以上都是正确的递归定义答案：A7. 有向图和无向图的主要区别是什么？A. 有向图的边有方向，无向图的边没有方向B. 有向图的顶点有方向，无向图的顶点没有方向C. 有向图的边可以相交，无向图的边不可以相交D. 有向图可以有环，无向图不可以有环答案：A8. 在命题逻辑中，以下哪个公式是矛盾的？A. A ∧ ¬ AB. A ∨ ¬ AC. A → BD. A ∧ B ∧ ¬ A答案：A9. 以下哪个是图的同义术语？A. 网络B. 矩阵C. 树D. 以上全部答案：A10. 以下哪个命题逻辑公式是有效的？A. (A → B) ∧ (B → A)B. (A ∧ B) → AC. (A ∨ B) → AD. (A ∧ B) → B答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 在命题逻辑中，_________ 表示一个命题是真的，而 _________ 表示一个命题是假的。

大学离散数学期末考试题库和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个符号表示“属于”？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A2. 如果A和B是两个集合，那么A∪B表示什么？A. A和B的交集B. A和B的并集C. A和B的差集D. A和B的补集答案：B3. 以下哪个命题是真命题？A. ∀x∈N, x^2 > xB. ∃x∈N, x^2 = x + 1C. ∀x∈N, x^2 ≥ xD. ∃x∈N, x^2 < x答案：C4. 在图论中，一个无向图的边数为E，顶点数为V，那么这个图的生成树的边数是多少？A. EB. V-1C. VD. E-1答案：B5. 以下哪个算法是用于解决旅行商问题（TSP）的？A. 动态规划B. 贪心算法C. 分支限界法D. 回溯法答案：D6. 在逻辑中，以下哪个符号表示“蕴含”？A. ∧B. ∨C. →D. ↔答案：C7. 以下哪个是二进制数？A. 1010B. 2A3C. 12BD. ZYX答案：A8. 在关系数据库中，以下哪个操作用于删除表中的行？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：D9. 以下哪个是布尔代数的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 所有以上答案：D10. 在离散数学中，以下哪个概念用于描述两个集合之间的关系？A. 函数B. 映射C. 序列D. 所有以上答案：D二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 以下哪些是集合的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 补集答案：ABCD12. 在图论中，以下哪些是图的基本类型？A. 无向图B. 有向图C. 完全图D. 二分图答案：ABCD13. 在逻辑中，以下哪些是命题逻辑的基本连接词？A. 与（∧）B. 或（∨）C. 非（¬）D. 蕴含（→）答案：ABCD14. 在关系数据库中，以下哪些是SQL的基本操作？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：ABCD15. 在离散数学中，以下哪些是组合数学的基本概念？A. 排列B. 组合C. 二项式系数D. 图论答案：ABC三、填空题（每题3分，共30分）16. 如果集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，那么A∩B=______。

离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个选项不是集合的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 乘法答案：D2. 命题逻辑中，以下哪个命题不是基本的逻辑连接词？A. 与（∧）B. 或（∨）C. 非（¬）D. 等于（=）答案：D3. 在图论中，一个图的度数之和等于边数的几倍？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 以下哪个是布尔代数的基本定理？A. 德摩根定律B. 布尔代数的分配律C. 布尔代数的结合律D. 所有选项都是答案：D5. 以下哪个不是组合数学中的计数原理？A. 加法原理B. 乘法原理C. 排列D. 组合答案：C6. 在关系数据库中，以下哪个操作不是基本的数据库操作？A. 选择B. 投影C. 连接D. 排序答案：D7. 以下哪个是有限自动机的组成部分？A. 状态B. 转移C. 输入符号D. 所有选项都是答案：D8. 以下哪个命题逻辑表达式是真命题？A. (p ∧ ¬p) ∨ qB. (p ∨ ¬p) ∧ qC. (p → q) ∧ (q → p)D. (p → q) ∧ (¬p → ¬q)答案：D9. 以下哪个是归纳法证明的基本步骤？A. 基础步骤B. 归纳步骤C. 反证法D. 所有选项都是答案：B10. 以下哪个是图的遍历算法？A. 深度优先搜索（DFS）B. 广度优先搜索（BFS）C. Dijkstra算法D. 所有选项都是答案：A二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述命题逻辑中的德摩根定律。

答案：德摩根定律是命题逻辑中描述否定命题的两个重要定律。

它们分别是：- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q- ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q2. 解释什么是图的连通分量，并给出一个例子。

答案：图的连通分量是指图中最大的连通子图。

大学《离散数学》期末考试试卷及答案(1)一、选择题1. 离散数学的主要研究对象是（）。

A. 连续的数学结构B. 有限的数学结构C. 数学的综合应用D. 数学的哲学思考2. 命题逻辑是离散数学的一个重要组成部分，它主要研究（）。

A. 命题之间的真假关系B. 变量之间的关系C. 函数之间的关系D. 集合之间的关系3. 集合的基本运算包括（）。

A. 并、交、差、补B. 加、减、乘、除C. 包含、相等、不等、自反D. 大于、小于、等于、不等于二、填空题1. 若集合A={m|2m-1>3}，则A中的元素为______。

2. 有一个集合A={1，2，3}，则集合A的幂集为______。

3. 若命题p为真，命题q为假，则复合命题“p∧q”的真值为______。

三、解答题1. 请写出离散数学中常用的数学符号及其含义。

2. 请解释命题逻辑中的充分必要条件及其符号表示，并给出一个例子。

3. 请定义集合的笛卡尔积，并给出两个集合进行笛卡尔积运算的例子。

四、问答题1. 离散数学在计算机科学中有着重要的应用，请列举三个与计算机科学相关的离散数学应用领域并简要介绍。

2. 请简要解释归纳法在离散数学中的作用，并给出一个使用归纳法证明的例子。

3. 什么是有向图？请给出一个有向图的例子，并解释该图中的关系。

参考答案：一、选择题1. B2. A3. A二、填空题1. A={m|2m-1>3}2. {{}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}3. 假三、解答题1. 常用数学符号及含义：- ∪：并，表示集合的合并操作。

- ∩：交，表示集合的交集操作。

- ∖：差，表示减去一个集合中的元素。

- ⊆：包含，表示一个集合包含于另一个集合。

- =：相等，表示两个集合具有相同的元素。

2. 充分必要条件是指一个命题的成立与另一个命题的成立互为必要条件，若A是B的充分必要条件，那么当A成立时B一定成立，且当A不成立时B也一定不成立。

离散数学期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 集合{1, 2, 3}的子集个数是：A. 3B. 4C. 8D. 2^3答案：C2. 命题逻辑中，命题p∧(q∨¬p)的真值表中，真值个数为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B3. 函数f: A→B中，若A={1, 2}，B={a, b}，则f是单射的必要条件是：A. |A| ≤ |B|B. |A| < |B|C. |A| = |B|D. |A| > |B|答案：B4. 以下哪个图是无向图？A. 有向图B. 无向图C. 完全图D. 树答案：B5. 在图论中，一个图的生成树是：A. 包含图中所有顶点的最小连通子图B. 包含图中所有边的最小连通子图C. 包含图中所有顶点和边的连通子图D. 包含图中所有顶点和边的无环子图答案：A6. 以下哪个命题是真命题？A. 所有偶数都是整数B. 所有整数都是偶数C. 所有奇数都是整数D. 所有整数都是奇数答案：A7. 在布尔代数中，以下哪个运算符表示逻辑与？A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案：B8. 有限状态机中，状态的转移是由以下哪个决定的？A. 当前状态B. 输入符号C. 当前状态和输入符号D. 输出符号答案：C9. 以下哪个是图的遍历算法？A. 深度优先搜索B. 广度优先搜索C. 动态规划D. 分治算法答案：A10. 在集合论中，以下哪个符号表示集合的交集？A. ∪B. ∩C. ×D. ÷答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合{1, 2, 3}的幂集是{∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}，其中包含元素个数最多的子集是_。

答案：{1, 2, 3}2. 在命题逻辑中，如果p和q都为真，则p∨q的真值为_。

答案：真3. 函数f: A→B中，若A={1, 2}，B={a, b, c}，则f是满射的必要条件是_。

a , b, c , d , e, f , g，那么 所对应的 19. 设集合 A a , b , c , d , e , f , g ， A 上有一个划分
等价关系 R 应有（ ）个序偶。 ）。
20. 在有理数集合 Q 上定义二元运算*： a * b a b ab ，则 Q , * 的幺元是（
等价关系 R 应有（ ）个序偶。 ）。
25. 在有理数集合 Q 上定义二元运算*： a * b a b ab ，则 Q , * 的幺元是（
26. 一个（
）称为布尔代数。
27．P Q P Q 的主析取范式是
。(写出一般
5
表示形式即可) 28．设集合 A a , b , c , d ， R 是 A 上的二元关系，且 R a , b , b , a , b , c , c , d , a , c ， 则 R 的传递闭包 t R 。
C． x x是正整数, x 5


D． x x是有理数, x 5
。
6．下面有关集合之间的包含和属于关系的说法，正确的是 Ⅰ． Ⅲ．
Ⅱ． , ,
Ⅳ．
a, b a, b, a, b
B．Ⅰ和Ⅲ
a, b a, b, a, b, c
二、填空题 1．设 A 为非空集合，且 A n ，则 A 上不同的二元关系的个数为 为 。 时， P Q 的真值为 1。 ， A 上不同的映射的个数
2．设 P 、 Q 为两个命题，当且仅当
3. 在运算表中的空白处填入适当符号，使 a , b , c, * 成为群。 *
a a
a b c
4. 当 n 为 数时， K n n 3 必为欧拉图。

2020-2021学年第一学期期末考试《离散数学》大作业
一综合题 (共1题，总分值10分 )
1. 设I是如下一个解释：
D={3，2}
试求出下列公式在I下的真值：
（1）(a，f(a))∧P(b，f(b))；
（2）x∃yP(y，x)；
（3）x∀y(P(x，y)→P(f(x)，f(y)))；（10 分）
解：
二证明题 (共1题，总分值10分 )
2. 设K和H都是群G的子群，试证明：若H·K是G的子群，则K·H = H·K。

（10 分）
证明:首先，证明*对于H∩K是封闭的。

设a，b∈H∩K，于是有a∈H，b∈H和a∈K，b∈K；由于(H，*)和(K，*)都是群，所以a*b∈H和a*b ∈K，即a*b∈H∩K，由此证得*对于H∩K是封闭的。

其次，运算*满足结合律是继承的．幺元e∈H∩K是易见的。

如果a∈H∩K，则a∈H，a∈K，并且a-1∈H，a-1∈K，由此可得a-1∈H∩K。

综上证明，(H∩K，*)是(G，*)的子群。

三问答题 (共8题，总分值80分 )
3. 什么是图？（10 分）
答:图(意指离散数学中的图这一概念)中的基本(初级)回路均是简单回路。

离散数学期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B=（）。

A. {1,2,3}B. {2,3}C. {2,4}D. {1,4}答案：B2. 命题“若x>0，则x>1”的逆否命题是（）。

A. 若x≤0，则x≤1B. 若x≤1，则x≤0C. 若x>1，则x>0D. 若x≤1，则x≤0答案：B3. 函数f: A→B的定义域是集合A，值域是集合B，则（）。

A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案：A4. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等？（）。

A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案：A5. 命题p:“x>0”，则￢p为（）。

A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案：A6. 命题“若x>0，则x>1”的逆命题是（）。

A. 若x>0，则x>1B. 若x≤1，则x≤0C. 若x>1，则x>0D. 若x≤0，则x≤1答案：C7. 函数f: A→B的定义域是集合A，值域是集合B，则（）。

A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案：A8. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等？（）。

A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案：A9. 命题p:“x>0”，则￢p为（）。

A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案：A10. 命题“若x>0，则x>1”的逆命题是（）。

A. 若x>0，则x>1B. 若x≤1，则x≤0C. 若x>1，则x>0D. 若x≤0，则x≤1答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B=______。

答案：{1,2,3,4}2. 命题“若x>0，则x>1”的逆否命题是：若x≤1，则x≤0。

安徽大学2006-2007学年第1学期《离散数学》期末考试试卷（A 卷）（时间120分钟）开课院（系、部） 姓名 学号 .一、选择题（每小题2分，共20分）1．下列语句中，哪个是真命题（ ）A 、42=+x ；B 、我们要努力学习；C 、如果ab 为奇数，那么a 是奇数，或b 是偶数；D 、如果时间流逝不止，你就可以长生不老。

2．下列命题公式中，永真式的是（ ）A 、P Q P →→)(；B 、P P Q ∧→⌝)(；C 、Q P P ↔⌝∧)(；D 、)(Q P P ∨→。

3．在谓词逻辑中，令)(x F 表示x 是火车；)(y G 表示y 是汽车；),(y x L 表示x 比y 快。

命题“并不是所有的火车比所有的汽车快”的符号表示中哪些是正确的？（ ） I.)),()()((y x L y G x F y x →∧∀⌝∀ II.)),()()((y x L y G x F y x ⌝∧∧∃∃III. )),()()((y x L y G x F y x ⌝→∧∃∃A 、仅I ；B 、仅III ；C 、I 和II ；D 、都不对。

4．下列结论正确的是：（ ）A 、若C AB A =，则C B =； B 、若B A B A ⊆，则B A =；C 、若C A B A =，则C B =；D 、若B A ⊂且D C ⊂，则D B C A ⊂。

5．设φ=1A ，}{2φ=A ，})({3φρ=A ，)(4φρ=A ，以下命题为假的是（ ） A 、42A A ∈； B 、31A A ⊆； C 、24A A ⊆； D 、34A A ∈。

6．设R 是集合},,,{d c b a A =上的二元关系，},,,,,,,,,,,{><><><><><><=b d d b a c c a a d d a R 。

下列哪些命题为真？（ ） I.R R ⋅是对称的 II. R R ⋅是自反的 III. R R ⋅不是传递的A 、仅I ；B 、仅II ；C 、I 和II ；D 、全真。