圆锥曲线定义(适合公开课)

学术正刊 圆锥曲线 基本定义高中 1 LeO 著 第一定义定义1.0（椭圆第一定义）：平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a (2a >|F 1F 2|)的动点P 的轨迹称之为椭圆。

即：|PF 1|+|PF 2|=2a 。

定义1.1（椭圆焦点）：两定点F 1、F 2称作椭圆的左右焦点。

定义1.2（椭圆焦距）：两焦点距离|F 1F 2|=2c 称作椭圆的焦距。

解：如图1，建立直角坐标系，设两焦点坐标F 1(−c,0)、F 2(c,0)，动点坐标P (x,y )，依题意有：√(x +c )2+y 2+√(x −c )2+y 2=2a ⋯〈1〉〈1〉式移项后再平方：(x +c )2+y 2=4a 2−4a√(x −c )2+y 2+(x −c )2+y 2继续化简：(a 2−c 2)x 2+a 2y 2=a 2(a 2−c 2) ⋯〈2〉〈2〉式中令b 2=a 2−c 2，化简得：x 2a 2+y 2b 2=1 证毕。

图1 图2定义2.0（双曲线第一定义）：平面内到两定点F 1、F 2的距离的差等于常数2a (2a <|F 1F 2|)的动点P 的轨迹称之为双曲线。

即：||PF 1|−|PF 2||=2a 。

定义2.1（双曲线焦点）：两定点F 2、F 1称作双曲线的左右焦点。

定义2.2（双曲线焦距）：两焦点距离|F 1F 2|=2c 称作双曲线的焦距。

解：如图2，建立直角坐标系，设两焦点坐标F 2(−c,0)、F 1(c,0)，动点坐标P (x,y )，依题意有：√(x +c )2+y 2−√(x −c )2+y 2=±2a ⋯〈1〉〈1〉式移项后再平方：(x +c )2+y 2=4a 2±4a√(x −c )2+y 2+(x −c )2+y 2继续化简：(c 2−a 2)x 2−a 2y 2=a 2(c 2−a 2) ⋯〈2〉〈2〉式中令b 2=c 2−a 2，化简得：x 2a 2−y 2b 2=1 证毕。

高等数学教材圆锥曲线圆锥曲线是高等数学中重要的概念之一，它在数学和物理学等领域中发挥着重要的作用。

本文将对圆锥曲线的定义、性质以及常见类型进行探讨。

一、定义圆锥曲线是二维平面上由一个定点和一个到该定点不同的定直线上的所有点构成的曲线。

这个定点称为焦点，定直线称为准线。

焦点和准线之间的距离称为焦距。

根据焦距与准线的相对位置，圆锥曲线可以分为三种类型：椭圆、双曲线和抛物线。

二、椭圆椭圆是指焦距小于准线长度的圆锥曲线。

它的定义可以通过以下几何性质描述：1. 椭圆上的任意一点到焦点和准线的距离之和等于常数，这个常数称为椭圆的长轴；2. 椭圆的准线是它的对称轴，椭圆的焦点在对称轴上；3. 椭圆是一个闭合曲线，且是有界的。

三、双曲线双曲线是指焦距大于准线长度的圆锥曲线。

它的定义可以通过以下几何性质描述：1. 双曲线上的任意一点到焦点和准线的距离之差等于常数，这个常数称为双曲线的离心率；2. 双曲线的准线是它的对称轴，双曲线的焦点在对称轴上；3. 双曲线是一个开放曲线，无界。

四、抛物线抛物线是指焦距等于准线长度的圆锥曲线。

它的定义可以通过以下几何性质描述：1. 抛物线上的任意一点到焦点和准线的距离相等；2. 抛物线的焦点位于曲线上方，并且与曲线的对称轴的距离等于离心率。

五、其他类型的圆锥曲线除了椭圆、双曲线和抛物线外，还存在一些特殊的圆锥曲线，如直线、圆以及各种退化的情况，如焦点和准线重合的情况等。

六、应用领域圆锥曲线在众多学科中都有广泛的应用。

在几何学中，圆锥曲线可以用于描述光学器件的曲面形状；在物理学中，圆锥曲线可以用于描述天体运动的轨迹；在工程学中，圆锥曲线可以用于建模和设计弧线造型等。

总结：圆锥曲线是高等数学中重要的内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线等多个类型。

通过对圆锥曲线的定义和性质的研究，我们能够更深入地了解其形状特征和应用场景。

在实际问题中，合理运用圆锥曲线的知识，可以帮助我们解决各种复杂的数学和物理问题。

第四讲 圆锥曲线定义一、复习目标：1．熟练掌握圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质及椭圆的参数方程 2．掌握方程的思想，数形结合的思想；待定系数法，参数思想等 二．基础知识： 1．椭圆1)椭圆的两种定义：①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长(定长大于两定点间的距离)的点的轨迹。

其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点的距离到一定直线的距离之比是小于1的正常数的点的轨迹。

注意：(1)椭圆的定义用点集语言叙述：①点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；②点集M={P|e dPF=，0＜e ＜1的常数｝。

(2)定义①中的定长大于| F 1F 2|避免了动点轨迹是线段或不存在的情况,定义②中的0＜e ＜1,区别于另两种曲线。

2)标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。

其中22b a c -=（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。

其中22b a c -=注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。

3)性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）有以下性质： ① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ；② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；④ 离心率：e=ac（焦距与长轴长之比）； ⑤ 准线方程：ca x 2±=；⑥焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。

圆锥曲线学生公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 知识与技能：理解圆锥曲线的概念和性质。

掌握圆锥曲线的标准方程及其求法。

学会运用圆锥曲线解决实际问题。

2. 过程与方法：培养学生的观察、分析和解决问题的能力。

培养学生的逻辑思维能力和数学美感。

培养学生的合作交流和表达能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对圆锥曲线的兴趣和好奇心。

培养学生对数学美的感知和欣赏能力。

培养学生勇于探索和创新的思维精神。

二、教学内容1. 圆锥曲线的概念与性质引导学生通过观察圆锥的切割和展开，理解圆锥曲线的形成过程。

引导学生探究圆锥曲线的几何性质，如曲率、渐近线等。

2. 圆锥曲线的标准方程引导学生利用圆锥曲线的性质推导出标准方程。

引导学生理解不同类型的圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线）的标准方程及其特点。

3. 圆锥曲线的应用引导学生运用圆锥曲线解决实际问题，如测量问题、轨迹问题等。

引导学生运用圆锥曲线方程进行优化问题求解。

三、教学过程1. 导入通过展示圆锥曲线在现实生活中的应用实例，引发学生对圆锥曲线的兴趣。

引导学生回顾之前的数学知识，为新课的学习做好铺垫。

2. 知识讲解利用多媒体课件，生动形象地展示圆锥曲线的形成过程。

引导学生通过合作交流，探究圆锥曲线的几何性质。

利用数学软件，动态展示圆锥曲线的变化，增强学生对圆锥曲线的理解。

3. 例题讲解与练习讲解典型例题，引导学生掌握解题方法。

安排适量练习题，巩固所学知识。

4. 课堂小结总结本节课的主要内容和知识点。

强调圆锥曲线在实际生活中的应用价值。

四、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 练习题评价：通过学生完成的练习题，评估学生对圆锥曲线知识点的掌握程度。

3. 小组讨论评价：评估学生在合作交流中的表现，如观点阐述、团队协作等。

五、教学资源1. 多媒体课件：展示圆锥曲线的形成过程、几何性质和应用实例。

2. 数学软件：动态展示圆锥曲线的变化，增强学生直观感受。

圆锥曲线的分类及基本方程圆锥曲线是解析几何中最为重要的一类曲线，不仅在数学领域有广泛应用，在物理、化学、工程等多个领域中也有着重要的作用。

本文将围绕圆锥曲线的分类及基本方程展开讨论。

一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是指由一个固定点F（焦点）和一个固定直线L（直角母线）所确定的点P（动点）的轨迹。

如果点P在直线L同侧与焦点F的距离大于点P到直线L的距离，则称此为椭圆；如果点P在直线L同侧与焦点F的距离等于点P到直线L的距离，则称此为双曲线；如果点P在直线L的另一侧，且距离相等，则称此为圆。

二、圆锥曲线的分类根据圆锥曲线的定义，可以将它们分为三类：椭圆、双曲线和圆。

下面分别进行讲解。

1. 椭圆椭圆是指在平面直角坐标系中，到空间内两个定点F1、F2距离之和为定值2a、固定数e小于1的点P所形成的轨迹。

其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴，c为椭圆的焦距，e为椭圆的离心率，有以下基本方程：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中，如果椭圆的中心在坐标系原点上，则方程为：x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 12. 双曲线双曲线是指在平面直角坐标系中，到空间内两个定点F1、F2距离之差为定值2a、固定数e大于1的点P所形成的轨迹。

其中，a为双曲线的半轴，b为双曲线的次轴，c为双曲线的焦距，e为双曲线的离心率，有以下基本方程：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中，如果双曲线的中心在坐标系原点上，则方程为：x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 13. 圆圆是指在平面直角坐标系中离空间内一个固定点O距离相等的点P所组成的轨迹，该固定点称为圆心，离圆心最远的点称为圆的周围。

圆的方程为：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2其中，（a，b）为圆心坐标，r为圆的半径。

三、圆锥曲线的性质1. 椭圆的离心率小于1，且对称轴平行于 y 轴，故对称于 x 轴的部分也是椭圆。

高中数学中，圆锥曲线是重要的内容之一。

以下是对圆锥曲线的知识点进行总结：1. 圆锥曲线的定义：圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个到该点的固定距离之比（离心率）确定的曲线。

2. 椭圆：-定义：椭圆是所有到两个焦点的距离之和等于常数的点的集合。

-基本方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表椭圆的半长轴和半短轴。

-离心率：$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$，离心率满足$0<e<1$。

3. 双曲线：-定义：双曲线是所有到两个焦点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。

-基本方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表双曲线的半长轴和半短轴。

-离心率：$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$，离心率满足$e>1$。

4. 抛物线：-定义：抛物线是所有到一个焦点的距离等于到直线（准线）的距离的点的集合。

-基本方程：$y^2=4ax$，其中$a$为抛物线的焦点到准线的距离的一半。

5. 圆：-定义：圆是到一个固定点的距离等于常数的点的集合。

-基本方程：$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，其中$(h,k)$为圆心的坐标，$r$为半径的长度。

6. 圆锥曲线的性质：-焦点和准线：椭圆和双曲线有两个焦点和一条准线，抛物线有一个焦点和一条准线，圆只有一个焦点和没有准线。

-对称性：椭圆和双曲线关于$x$轴、$y$轴对称，抛物线关于$y$轴对称。

-焦点与离心率的关系：椭圆和双曲线的离心率小于1，抛物线的离心率等于1，圆的离心率为0。

-焦点与直径的关系：椭圆和双曲线的焦点在直径上，抛物线的焦点在对称轴上。

7. 焦点和准线的性质：-椭圆和双曲线：对于椭圆和双曲线，焦点到准线的距离等于焦点到曲线上任意点的距离之差的一半。

同时，准线也是曲线的对称轴。

教学备课引入圆锥曲线的概念圆锥曲线是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学等领域都有着广泛的应用。

在教学备课中，引入圆锥曲线的概念是为了帮助学生理解和掌握这一重要内容。

本文将以教学备课的角度，介绍如何引入圆锥曲线的概念。

一、引入圆锥曲线的背景在引入圆锥曲线的概念之前，首先要给学生提供一些背景知识。

可以简单介绍平面几何中的直线和圆的特性，以及二次函数的概念。

这些知识将为后面的学习打下基础。

二、圆锥曲线的定义和分类接着，介绍圆锥曲线的定义和分类。

可以简单阐述圆锥曲线是由一个平面和一个圆锥所确定的曲线，根据圆锥相交的方式不同，可以将圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三种。

三、椭圆的特性和方程式接下来，详细介绍椭圆的特性和方程式。

可以从椭圆的定义开始，引导学生理解椭圆是由一个平面和一对焦点确定的曲线，焦点与椭圆上的任意点的距离之和是一个常数。

然后，给出椭圆的标准方程和参数方程，并解释它们的含义和特点。

四、双曲线的特性和方程式继续介绍双曲线的特性和方程式。

可以以双曲线的定义为切入点，说明双曲线是由一个平面和两个焦点确定的曲线，焦点与双曲线上的任意点的距离之差是一个常数。

然后，给出双曲线的标准方程和参数方程，并解释它们的含义和特点。

五、抛物线的特性和方程式接着，介绍抛物线的特性和方程式。

可以明确抛物线是由一个平面和一个焦点确定的曲线，焦点与抛物线上的任意点的距离等于该点到抛物线的直线准线的距离。

然后，给出抛物线的标准方程和参数方程，并解释它们的含义和特点。

六、圆锥曲线的应用最后，介绍圆锥曲线在实际问题中的应用。

可以选取一些具体的例子，如天体运动、电磁波的传播等，演示圆锥曲线的应用。

通过这些实际问题，学生可以更好地理解圆锥曲线的重要性和实际意义。

结语通过以上的引入工作，学生可以对圆锥曲线的概念有一个整体而清晰的认识。

教学备课中的引入工作是为了使学生对新知识有所预期和背景认知，从而更好地接受和理解后续的学习内容。