子空间-精选文档

第3章 子空间、积空间、商空间§3.1 子空间3.1.A 度量子空间设(,)X ρ是度量空间；Y 是X 的子集。

易证 :Y Y Y Y ρ⨯⨯→ 满足度量三公理；称为由X 的度量ρ诱导出来的度量，仍记为ρ。

称(,)Y ρ为(,)X ρ的度量子空间。

例如：1221111{(,,): 1}n n n n S x x x x x +++==∈++= ； 2211{(,,): 1}n n n n D x x x x x ==∈++< ；2211{(,,): 1}n n n n E x x x x x ==∈++≤ ；(0,1)(0,1)(0,1)n =⨯⨯ ；[0,1][0,1][0,1]n =⨯⨯ ；其中n S 是1n + 的度量子空间，后4个是n的度量子空间。

分别记点y 在X ,Y 中的球形邻域为(,)X B y ε,(,)Y B y ε。

则容易证明：(,)(,)Y X B y B y Y εε=⋂。

在此基础上不难得到：命题：设Y 是X 的度量子空间。

则U 是Y 的开集⇔U V Y =⋂，其中V 是X 的开集。

3.1.B 拓扑子空间设Y 是一个集合。

设A 是一个集族，它在Y 上的限制定义为：{: }Y A Y A =⋂∈AA 。

命题：设(,)X T 是拓扑空间；Y 是X 的子集。

则Y T是Y 的一个拓扑。

证明： (1) , , Y X Y X Y Y ∅∈⇒=⋂∅=∅⋂∈T T。

(2) 1111, , : , Y A B A B A A Y B B Y ∈⇒∃∈=⋂=⋂T T ；111111: ()()()Y A B A B A Y B Y A B Y ⇒⋂∈⋂=⋂⋂⋂=⋂⋂∈T T。

(3) , : Y A A A A Y γγγγγ∈∈Γ⇒∃∈=⋂ T T 。

因A γγ∈Γ∈ T ，故 ()()YA A Y A Y γγγγγγ∈Γ∈Γ∈Γ=⋂=⋂∈ T 。

定义：设(,)X T 是拓扑空间；Y 是X 的子集。

空间解析几何的子空间子空间的定义性质与计算空间解析几何的子空间空间解析几何是数学中的一门分支，研究空间中的点、线、面等几何元素之间的关系。

在空间解析几何中，子空间是一个重要的概念。

本文将介绍子空间的定义、性质以及如何进行计算。

一、子空间的定义子空间是指一个向量空间中的一个子集，且满足向量加法和数乘运算在该子集内封闭的性质。

通常用线性方程组的解空间来表示一个子空间。

对于n维向量空间V，若存在一组向量v1, v2, ..., vk，满足以下条件：1. 向量v1, v2, ..., vk属于向量空间V；2. 对于任意实数c1, c2, ..., ck，向量c1v1 + c2v2 + ... + ckvk也属于向量空间V。

则称这组向量v1, v2, ..., vk张成的子集为向量空间V的一个子空间。

二、子空间的性质1. 子空间中的零向量：子空间中必然包含零向量，即所有元素之和为零的向量。

2. 子空间的封闭性：子空间中的任意两个向量进行加法运算，其结果仍然在子空间内。

3. 子空间的伸缩性：子空间中的任意一个向量进行数乘运算，其结果仍然在子空间内。

4. 子空间的维度：子空间的维度小于等于父空间。

例如在三维空间中，一个平面是一个二维子空间，而直线是一个一维子空间。

三、子空间的计算在空间解析几何中，计算子空间常常涉及到线性方程组的解空间。

下面通过一个例子来说明如何计算子空间。

例：考虑以下线性方程组：2x + y - z = 0x - y + z = 0要求解该线性方程组的解空间，即求出满足该方程组的所有解向量。

首先将方程组写成增广矩阵的形式：[ 2 1 -1 | 0 ][ 1 -1 1 | 0 ]接着，对增广矩阵进行行变换，化简为阶梯形矩阵：[ 1 -1 1 | 0 ][ 0 3 -3 | 0 ]由于阶梯形矩阵的最后一行全为0，所以该线性方程组有一个自由变量，即z可以取任意实数。

令z = t（其中t为任意实数），则该线性方程组的解向量可以表示为：x = 2ty = tz = t因此，该线性方程组的解空间可以表示为向量：[ 2t ][ t ][ t ]其中t为任意实数，这就是该线性方程组的解空间。

§6-5 线性子空间一、定义设V 是数域P 上的线性空间，W 是V 的非空子集，如果W 对于V 的两种运算也构成数域P 上的线性空间，则称W 是V 的一个线性子空间，简称子空间。

例如：三维几何空间中，考虑一个过原点的平面，其上所有向量对于向量的加法和数乘构成一个二维子空间。

从定义上看判断一个非空子集是否子空间，需要逐一验证线性空间的8条运算法则，工作量太大，下面给出判断非空子集是否子空间的判断定理。

二、判断定理定理2：如果线性空间V 的非空子集W 对于V 的两种运算是封闭的，则W 是V 的一个线性子空间。

分析：所谓封闭是指，当P k W ∈∈,,βα时，一定有W ∈+βα，及W k ∈α 证明：对于线性空间的8条运算法则逐一验证。

①②因为V 是线性空间，一定满足αββα+=+，且()()γβαγβα++=++，而W 是V 的子集，其中元一定是V 的元，于是也满足③因为对数乘封闭，所以当0=k 时，W k ∈=0α④因为对数乘封闭，所以当1-=k 时，W ∈-=-αα1⑤--⑧同①②的证法。

对于子空间同样可引人维数、基及坐标的概念，由于V W ⊂，所以W 中不可能有比V 中更多的线性无关的向量，故：W 的维数≤V 的维数。

三、几种特殊的子空间1、 零子空间：因为V ∈θ ，可证明单独一个零元组成一个子空间，叫做零子空间。

2、 平凡子空间：由于V 本身也是V 的子空间，所以称零子空间和V 本身叫做V 的平凡子空间（或假子空间）。

其它的子空间都叫做非平凡子空间（或真子空间）。

例1：普通三维几何空间中，过原点而在一个平面上的所有向量构成一个二维子空间，过原点而在一条直线上的所有向量构成一个一维子空间。

例2：nP 中，使第一个分量01=a 的向量()n a a ,,,02 构成一个子空间，是1-n 维的。

例3：[]n x P 是n P 的一个子空间。

例4：在n P 中，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00111111n mn m n n x a x a x a x a （*）的全部解向量构成一个子空间，称为（*）的解空间。

线性空间子空间子空间就是线性空间的非空集合对于其中的运算也构成一个空间，而span{ v1,v2...,vn }表示由v1,v2...,vn 张成的子空间，即v1,v2...,vn 所有可能的线性组合构成的子空间。

子空间是空间，从而子空间存在着基底，子空间的任何一个基底张成的空间就是这个子空间本身。

综上：子空间可以看成一些向量张成的空间，而由一些向量v1,v2...,vn 张成的空间span{ v1,v2...,vn }一定是一个子空间。

2、R3中的一条通过原点的直线是R3的子空间。

按照子空间的判断方法，只需要验证对其加法和数乘运算封闭即可。

这里的加法是向量加法，数乘是数和向量的数乘。

易知，对于过原点的直线来说，其上任意两点对应的两个向量（原点为起点，直线上的点为终点对应的向量）必共线，从而可知相加之后，起点仍选为原点，终点必落在原来的直线上，因此，对加法封闭。

其次，对于数乘，很容易验证也封闭。

故，R3中的一条通过原点的直线是R3的子空间。

对于不过原点的直线，构不成子空间。

3、请用Rn空间为例子解释下子空间的定义或者是说概念。

这里关键是理解子空间的概念以及其判定方法：只需要所给线性空间的非空子集合对于线性空间本身的两个运算：加法和数乘封闭即可！比如：向量（0，0，。

，0）本身构成Rn的一个零维子空间，因为这个集合只有一个元素0,0+0=0，k0=0，所以对加法和数乘封闭。

向量（1,0，。

，0）的倍数的全体就构成Rn的一个一维子空间，因为这个集合的元素都是（1,0，。

，0），易知（1,0，。

，0）的倍数相加仍是它的倍数，且任何一个数k乘以它的倍数仍是它的倍数，即k*d（1,0，...，0）=kd*（1,0， 0所以对加法数乘封闭。

向量（1,0,...，0）和（0,1,0，...，0）的所有线性组合构成Rn的一个2维子空间等。

同样道理，可知对加法数乘都封闭。