应力波复习资料(修改)

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v
X
复习内容: 概念:应力波;物质坐标,空间坐标,物质微商,空间微商,物质波速;特征线;强 间断,弱间断,冲击波,波的弥散效应;层裂;弹性卸载假设;卸载边界;应变间断 面;应力松弛;蠕变;粘性弥散;Hugoniot 弹性极限;固体高压状态方程;冲击绝热 线;
主要内容:
一、Lagrange 方法推导一维应力纵波的波动方程。


在Lagrange 坐标中建立图示一维应力波长度为 dX 的微元的受力图,截面X 上作用 有总力F(X,t),截面X+dX 上作用有总力
解之,有
v
0A 0 dX t
而F(X,t)
A 。

,故上式可以化为
(a)
对于一维应力纵波,()
则 d
°
C 2d
代入(a)式,可得
C 2
F(X+dx,t),有
F(X,t) F(X,t) dX
F(X dX)
根据牛顿第二定律,有
v o A o dX F(X
dX) F(X,t)
(b)
X X+dX
C
v
因为v u , t
程:
——,代入(b)式,则得到了一维应力波在Lagrange 坐标系中的波动方
X
2 2
u 2
U c 2 C 2 0
t 2
X 2
用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系
v
v
x x v 2
v ) c ——0 x x
解之,得C ,(为…’即特征线的微分方程为:
将其积分即可得到特征线方程。

由(a)式,整理有
dv
v — x v v -
x (1 )c 2
—dv
—dv
c
,①X 入+②,其中 解:
对一阶偏微分方程组进行线性组合 [v (1 )c 2] [
(1
x t 根据特征线求解方法,
特征线特征方程为
为待定系数,整理可得:
v v )v]
(a)
x
t
2
(dx) v (1 )c (dt )
(1 )
1
(1) t
(v
解:对一阶偏微分方程组进行线性组合, (v C 2)——
X 根据特征线求解方法,特征线特征方程

①X 入+②其中 为待定系数,整理可得:
v) v
v 0 (a)
dx
(即
v c 2
dx (v
c)dt
d dt
dt 值代入上式,可得特征线上的相容关系。