2016-2017学年山东省临沂市高二下学期期末考试 数学(文)

2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。

2016-2017学年山东省临沂市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°2．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（）A．100 B．210 C．380 D．4003．（5分）已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2 C．0 D．或﹣24．（5分）已知两点F1（﹣2，0），F2（2，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=15．（5分）关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（1，3） C．（﹣1，3）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）6．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．若sin B•sin C=sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形7．（5分）已知不等式组表示的平面区域为D，若∀（x，y）∈D，|x|+2y≤a为真命题，则实数a的取值范围是（）A．[10，+∞）B．[11，+∞）C．[13，+∞）D．[14，+∞）8．（5分）已知正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，若存在两项a m，a n，使得，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在9．（5分）“双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）”是“双曲线C的渐近线方程为y=”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件10．（5分）若正数a，b满足，的最小值为（）A．1 B．6 C．9 D．1611．（5分）如图，多面体ABCDPE的底面ABCD是平行四边形，AD=AB=2，•=0，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2，则二面角A﹣PB﹣E的大小为（）A． B．C．D．12．（5分）双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px（p＞0）于点P，其中C1与C3有一个共同的焦点，若M为F1P的中点，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosA=，b=2，△ABC的面积S=3，则边a的值为．14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0，S5=﹣5，数列{}的前2016项的和为．15．（5分）已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：∃x0∈R，使得+（a﹣1）x0+1＜0．若“p或q”为真，“p且q”为假，则实数a的取值范围．16．（5分）已知m，n，s，t∈R+，m+n=2，+=9，其中m，n是常数，当s+t取最小值时，m，n对应的点（m，n）是椭圆+=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知命题p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（10分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（1）求；（2）若c2=a2+b2，求角C．19．（12分）已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，M，N分别是BC，AE，D1C的中点，AD=AA1，AB=2AD．（Ⅰ）证明：MN∥平面ADD1A1；（Ⅱ）求直线AD与平面DMN所成角θ的正弦值．20．（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入万作为技改费用，投入（50+2x）万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．21．（13分）在数列{a n}，{b n}中，已知a1=2，b1=4，且﹣a n，b n，a n+1成等差数列，﹣b n，a n，b n+1也成等差数列．（Ⅰ）求证：数列{a n+b n}和{a n﹣b n}都是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=（a n﹣3n）log3[a n﹣（﹣1）n]，求数列{c n}的前n项和T n．22．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左，右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）线段PQ是椭圆C过点F2的弦，且=λ．（i）求△PF1Q的周长；（ii）求△PF1Q内切圆面积的最大值，并求取得最大值时实数λ的值．2016-2017学年山东省临沂市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）（2016秋•临沂期末）在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B．【解答】解：由正弦定理可知=，∴sinB==∵B∈（0，180°）∴∠B=60°或120°°故选B．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用来运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系．属于基础题．2．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知等差数列{a n}中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（）A．100 B．210 C．380 D．400【分析】由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前n项和公式，代入n=10得出结果．【解答】解：d=，a1=3，∴S10==210，故选B【点评】若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．3．（5分）（2016•黄冈校级模拟）已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2 C．0 D．或﹣2【分析】根据两向量平行的充要条件建立等式关系，然后解二元一次方程组即可求出m的值．【解答】解：∵空间平面向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，∴（2m+1，3，m﹣1）=λ （2，m，﹣m）=（2λ，λm，﹣λm），∴，解得m=﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了平空间向量共线（平行）的坐标表示，以及解二元一次方程组，属于基础题．4．（5分）（2016秋•临沂期末）已知两点F1（﹣2，0），F2（2，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=1【分析】根据题意，分析可得|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8，结合椭圆的定义分析可得动点P的轨迹为椭圆，焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），a=4，由椭圆的性质可得b的值，代入椭圆的方程即可得答案．【解答】解：根据题意，两点F1（﹣2，0），F2（2，0），则|F1F2|=4，|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，即|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8，则动点P的轨迹为椭圆，焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），且a=4，则有c=2，又由a=4，有b2=a2﹣c2=12；故椭圆的方程为+=1；故选：B．【点评】本题考查椭圆的定义，关键是利用椭圆的定义分析得到动点P的轨迹是椭圆．5．（5分）（2016秋•临沂期末）关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（1，3） C．（﹣1，3）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）【分析】根据不等式ax﹣b＜0的解集得出a=b＜0，再化简不等式（ax+b）（x﹣3）＞0，求出它的解集即可．【解答】解：关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），即不等式ax＜b的解集是（1，+∞），∴a=b＜0；∴不等式（ax+b）（x﹣3）＞0可化为（x+1）（x﹣3）＜0，解得﹣1＜x＜3，∴该不等式的解集是（﹣1，3）．故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式与一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．6．（5分）（2016秋•临沂期末）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．若sin B•sin C=sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得cosA=，可得．由sin B•sin C=sin2A，利正弦定理可得：bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，可得b=c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，∴cosA===，∵A∈（0，π），∴．∵sin B•sin C=sin2A，∴bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，∴（b﹣c）2=0，解得b=c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2016秋•临沂期末）已知不等式组表示的平面区域为D，若∀（x，y）∈D，|x|+2y≤a为真命题，则实数a的取值范围是（）A．[10，+∞）B．[11，+∞）C．[13，+∞）D．[14，+∞）【分析】画出约束条件的可行域，求出|x|+2y的最大值，即可得到∀（x，y）∈D，|x|+2y ≤a为真命题，实数a的取值范围．【解答】解：不等式组表示的平面区域为D，如图：当x≥0时，z=|x|+2y=x+2y，z=x+2y经过B时取得最大值，由可得B（1，5），此时z的最大值为：11．当x＜0时，z=|x|+2y=﹣x+2y，z=﹣x+2y经过A时取得最大值，由，可得A（﹣4，5），此时z的最大值为：14．若∀（x，y）∈D，|x|+2y≤a为真命题，则实数a的取值范围：[14，+∞）．故选：D．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．8．（5分）（2016•河南模拟）已知正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，若存在两项a m，a n，使得，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在【分析】由正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，知q=2，由存在两项a m，a n，使得，知m+n=6，由此能求出的最小值．【解答】解：∵正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，∴，即：q2=q+2，解得q=﹣1（舍），或q=2，∵存在两项a m，a n，使得，∴，∴，∴，所以，m+n=6，∴=（）[（m+n）]=（5++）≥（5+2）=，所以，的最小值是．【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答．注意不等式也是高考的热点，尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查，两者都兼顾到了．9．（5分）（2010•绍兴县校级模拟）“双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）”是“双曲线C的渐近线方程为y=”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】判断充分与必要的条件关系，关键是看题设与条件能否互推，此题双曲线C的渐近线方程为的双曲线是不唯一的，从而进行求解．【解答】解：∵双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）”根据双曲线C的渐近线的定义可得：y=；∴双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）⇒“双曲线C的渐近线方程为y=”；若双曲线C的渐近线方程为y==±x；∴双曲线C的方程还可以为：，∴“双曲线C的渐近线方程为y=”推不出双曲线C的方程为；∴双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）”是“双曲线C的渐近线方程为y=”的充分不必要条件；故选A．【点评】此题是一道基础题，主要考查充分条件和必要条件的定义，不过这类基础题也是高考中经常考的．10．（5分）（2016•衡水模拟）若正数a，b满足，的最小值为（）A．1 B．6 C．9 D．16【分析】正数a，b满足，可得a＞1，且b＞1；即a﹣1＞0，且b﹣1＞0；由变形为a﹣1=；化为+9（a﹣1）应用基本不等式可求最小值．【解答】解：∵正数a，b满足，∴a＞1，且b＞1；变形为=1，∴ab=a+b，∴ab﹣a﹣b=0，∴（a﹣1）（b﹣1）=1，∴a﹣1=；∴a﹣1＞0，∴=+9（a﹣1）≥2=6，当且仅当=9（a﹣1），即a=1±时取“=”（由于a＞1，故取a=），∴的最小值为6；故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的灵活应用问题，应用基本不等式a+b≥2时，要注意条件a＞0，且b＞0，在a=b时取“=”．11．（5分）（2016秋•临沂期末）如图，多面体ABCDPE的底面ABCD是平行四边形，AD=AB=2，•=0，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2，则二面角A﹣PB﹣E的大小为（）A． B．C．D．【分析】由题意可知PD⊥DA，PD⊥DC，AD⊥DC，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，然后分别求出平面PAB与平面PEB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角A﹣PB﹣E的大小．【解答】解：由•=0，PD⊥平面ABCD，可得：PD⊥DA，PD⊥DC，AD⊥DC，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，∵AD=AB=2，PD=2EC=2，∴A（2，0，0），B（2，2，0），P（0，0，2），E（0，2，1），，，．设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），由，取z=1，得；设平面PEB的一个法向量为=（a，b，c），由，取c=2，得．∴cos＜＞==．∴二面角A﹣PB﹣E的大小为．故选：D．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，训练了利用空间向量求二面角的大小，是中档题．12．（5分）（2016秋•临沂期末）双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px（p＞0）于点P，其中C1与C3有一个共同的焦点，若M为F1P的中点，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．【分析】作出简图，由图中可得线段的长，从而得到b=2a，进而求双曲线的离心率．【解答】解：如图|OF1|=c，|OM|=a，|F1G|=2c；∴|F1M|=b，又∵M为PF1的中点，|PG|=2|OM|=2a，|PF1|=2b，∴|PF1|﹣|PG|=2b﹣2a=2a；∴b=2a，∴c=a，∴e==．故选B．【点评】本题考查了学生的作图能力及分析转化的能力，考查了学生数形结合的思想应用，同时考查了双曲线的定义，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2016秋•临沂期末）在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosA=，b=2，△ABC的面积S=3，则边a的值为．【分析】由内角的范围和平方关系求出sinA，由题意和三角形的面积公式求出c，由余弦定理求出a的值．【解答】解：由cosA=和0＜A＜π得，sinA=，∵b=2，△ABC的面积S=3，∴，则c=5，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=4+25﹣=13，∴a=，故答案为：．【点评】本题考查余弦定理，三角形的面积公式，以及平方关系的应用，注意内角的范围，属于中档题．14．（5分）（2016•安徽模拟）已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0，S5=﹣5，数列{}的前2016项的和为﹣．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S3=0，S5=﹣5，可得，解得：a1，d，可得a n．再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=0，S5=﹣5，∴，解得：a1=1，d=﹣1．∴a n=1﹣（n﹣1）=2﹣n．∴==，数列{}的前2016项的和=+…+==﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2016秋•临沂期末）已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：∃x0∈R，使得+（a﹣1）x0+1＜0．若“p或q”为真，“p且q”为假，则实数a的取值范围﹣1≤a≤1或a＞3．【分析】先求出命题p，q为真命题时，a的范围，据复合函数的真值表得到p，q中必有一个为真，另一个为假，分两类求出a的范围．【解答】解：p真，则a≤1．q真，则△=（a﹣1）2﹣4＞0即a＞3或a＜﹣1由复合命题真值表，“p或q”为真，“p且q”为假时，命题p，q一个为真，另一个为假，当p真q假时，有⇒得﹣1≤a≤1，当p假q真时，有⇒a＞3．综上：实数a的取值范围为﹣1≤a≤1或a＞3故答案为：﹣1≤a≤1或a＞3．【点评】本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系，解决此类问题应该先求出简单命题为真时参数的范围．16．（5分）（2016秋•临沂期末）已知m，n，s，t∈R+，m+n=2，+=9，其中m，n是常数，当s+t取最小值时，m，n对应的点（m，n）是椭圆+=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为x+2y﹣3=0．【分析】：由题设知（+）（s+t）=n+m++≥m+n+2=m+n+2 ，满足=时取最小值，由此得到m=n=1．设以（1，1）为中点的弦交椭圆+=1于A（x1，y1），B （x2，y2），由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入x2+2y2=4，得2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，k==﹣，由此能求出此弦所在的直线方程．【解答】解：∵sm、n、s、t为正数，m+n=2，+=9，s+t最小值是，∴（+）（s+t）的最小值为4．∴（+）（s+t）=n+m++≥m+n+2=m+n+2 ，满足时取最小值，此时最小值为m+n+2=2+2=4，得：mn=1，又：m+n=2，所以，m=n=1．设以（1，1）为中点的弦交椭圆+=1于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入x2+2y2=4，得，①﹣②，得2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，∴k==﹣，∴此弦所在的直线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+2y﹣3=0．故答案为：x+2y﹣3=0．【点评】本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意均值不等式和点差法的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）（2016秋•临沂期末）已知命题p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（I）命题p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0，解集A=（a，4a）．命题q：实数x满足，解集B=（2，4]．a=1，且p∧q为真，求A∩B即可得出．（Ⅱ）￢p：（﹣∞，a]∪[4a，+∞）．￢q：（﹣∞，2]∪（4，+∞）．利用￢p是￢q的充分不必要条件，即可得出．【解答】解：（I）命题p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，a＜x＜4a，解集A=（a，4a）．命题q：实数x满足，解得2＜x≤4．解集B=（2，4]．a=1，且p∧q为真，则A∩B=（1，4）∩（2，4]=（2，4）．∴实数x的取值范围是（2，4）．（Ⅱ）￢p：（﹣∞，a]∪[4a，+∞）．￢q：（﹣∞，2]∪（4，+∞）．若￢p是￢q的充分不必要条件，则，解得1≤a≤2．∴实数a的取值范围是[1，2]．【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（10分）（2016秋•临沂期末）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（1）求；（2）若c2=a2+b2，求角C．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用同角三角函数间的基本关系化简，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化简，即可得到所求式子的值；（2）由余弦定理可求cosC的值，结合C的范围即可得解．【解答】解：（1）△ABC中，asinAsinB+bcos2A=a，由正弦定理化简得：sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=sinA，∴sinB=sinA，再由正弦定理得：b=a，则=；（2）由（1）可得b=a，c2=a2+b2=a2+×a2=a2，由余弦定理可得：cosC===，由C为三角形内角，可得∠C=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及余弦函数的单调性，熟练掌握定理是解本题的关键，是综合性题目．19．（12分）（2016秋•临沂期末）已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，M，N分别是BC，AE，D1C的中点，AD=AA1，AB=2AD．（Ⅰ）证明：MN∥平面ADD1A1；（Ⅱ）求直线AD与平面DMN所成角θ的正弦值．【分析】（I）建立空间直角坐标系，设AD=1，求出和平面ADD1A1的法向量的坐标，直线利用数量积证明AB⊥MN即可；（II）求出平面DMN的法向量和的坐标，则sinθ=|cos＜＞|．【解答】解：（I）以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=1，则A（1，0，0），B（1，2，0），E（，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），∵M，N分别是AE，CD1的中点，∴M（，1，0），N（0，1，），∴=（﹣，0，），=（0，2，0）．∵AB⊥平面ADD1A1，∴是平面ADD1A1的一个法向量，∵=0，MN⊄平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1．（II）=（，1，0），=（1，0，0），设平面DMN的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1得=（，﹣，1），∴=，∴cos＜＞==．∴sinθ=．【点评】本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．20．（12分）（2016秋•临沂期末）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入万作为技改费用，投入（50+2x）万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．【分析】（1）设每件定价为t元，则（8﹣（t﹣25）×0.2）•t≥25×8，由二次不等式的解法即可得到；（2）由题得当x＞25时：有解，由分离参数和基本不等式，可得最值，即可得到a的范围．【解答】解：（1）设每件定价为t元，则（8﹣（t﹣25）×0.2）•t≥25×8，整理得t2﹣65t+1000≤0⇔25≤t≤40，∴要满足条件，每件定价最多为40元；（2）由题得当x＞25时：有解，即：有解．又，当且仅当x=30＞25时取等号，∴a≥12．即改革后销售量至少达到12万件，才满足条件，此时定价为30元/件．【点评】本题考查二次不等式的解法和不等式有解的条件，主要考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．21．（13分）（2016秋•临沂期末）在数列{a n}，{b n}中，已知a1=2，b1=4，且﹣a n，b n，a n+1成等差数列，﹣b n，a n，b n+1也成等差数列．（Ⅰ）求证：数列{a n+b n}和{a n﹣b n}都是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=（a n﹣3n）log3[a n﹣（﹣1）n]，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（I）﹣a n，b n，a n+1成等差数列，﹣b n，a n，b n+1也成等差数列．可得b n=，a n=，a n+b n=[（a n+1+b n+1）﹣（a n+b n）]，即a n+1+b n+1=3（a n+b n），即可证明数列{a n+b n}是首项、公比均为3的等比数列．同理可得：数列{b n﹣a n}是首项为1、公比均为﹣1的等比数列．可得a n=．（II）c n=（2a n﹣3n）log3[2a n﹣（﹣1）n]=（﹣1）n•n，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】（I）证明：∵﹣a n，b n，a n+1成等差数列，﹣b n，a n，b n+1也成等差数列．∴b n=，a n=，∴a n+b n=[（a n+1+b n+1）﹣（a n+b n）]，即a n+1+b n+1=3（a n+b n），又∵a1+b1=1+2=3，∴数列{a n+b n}是首项、公比均为3的等比数列；同理可得：﹣a n+b n=[（a n+1﹣b n+1）+（﹣a n+b n）]，即a n+1﹣b n+1=﹣（a n﹣b n），又∵﹣a1+b1=﹣1+2=1，∴数列{b n﹣a n}是首项为1、公比均为﹣1的等比数列，∴b n﹣a n=（﹣1）n+1，又∵b n+a n=3n，∴a n==[3n﹣（﹣1）n+1]；（II）解：∵c n=（2a n﹣3n）log3[2a n﹣（﹣1）n]=[3n﹣（﹣1）n+1﹣3n]log3[3n﹣（﹣1）n+1﹣（﹣1）n]=（﹣1）n•n，∴T n=﹣1+2﹣3+4﹣…+（﹣1）n•n，﹣T n=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）n•（n﹣1）+（﹣1）n+1•n，两式相减得：2T n=﹣1+1﹣1+1﹣…﹣1﹣（﹣1）n+1•n，∴T n={+（﹣1）n•n}．【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（13分）（2016秋•临沂期末）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左，右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）线段PQ是椭圆C过点F2的弦，且=λ．（i）求△PF1Q的周长；（ii）求△PF1Q内切圆面积的最大值，并求取得最大值时实数λ的值．【分析】（Ⅰ）由题意可知，|PF1|+|PF2|=2a=4，可得a=2，又=，a2﹣c2=b2，解出即可得出．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知：a=2．线段PQ是椭圆C过点F2的弦，则△PF1Q的周长=4a．（ii）因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F1PQ的周长是定值8，所以只需求出△F1PQ面积的最大值．设直线l方程为x=my+1，与椭圆方程联立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），|y1﹣y2|=，于是F2|•|y1﹣y2|，进而得出．=|F【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，|PF1|+|PF2|=2a=3+1=4，可得a=2，又=，a2﹣c2=b2，可得c=1，b=，即有椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知：a=2．线段PQ是椭圆C过点F2的弦，则△PF1Q的周长=4a=8．（ii）因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F1PQ的周长是定值8，所以只需求出△F1PQ面积的最大值．设直线l方程为x=my+1，与椭圆方程联立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，|y1﹣y2|===12．F2|•|y1﹣y2|=12，设m2+1=t≥1．于是=|F∵==≤，≤3，∴S△F1PQ所以内切圆半径r=≤，此时m=0，λ=1．因此其面积最大值是π．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、三角形内切圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

高二数学质量抽测考试理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ） AB ．2 C． D2.某工厂生产的零件外直径（单位：cm ）服从正态分布()10,0.04N ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75cm 和9.35cm ，则可认为（ ） A ．上午生产情况异常，下午生产情况正常 B ．上午生产情况正常，下午生产情况异常 C ．上、下午生产情况均正常 D ．上、下午生产情况均异常3.将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设X 为正面向上的次数，则()03P X <<等于（ ） A ．18 B ．38 C ．58 D ．784.为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（ ）A ．310 B ．25 C.35 D ．7105.设ABC ∆的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，内切圆半径为r ，则2Sr a b c=++.类比这个结论可知：四面体S ABC -的四个面的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，体积为V ，内切球半径为R ，则R =（ ） A ．1234V S S S S +++ B ．12342VS S S S +++C.12343V S S S S +++ D ．12344VS S S S +++6.由直线2y x =+与曲线2y x =围成的封闭图形的面积是（ ）A ．4B ．92 C.5 D ．1127.函数()2cos xf x e x x x =+++，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为（ ） A ．220x y -+= B ．220x y ++= C.220x y ++= D ．220x y -+=8.在二项式3nx ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数之和为A ，二项式系数之和为B ，若72A B +=，则n =（ ）A ．3B ．4 C.5 D ．69.一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球，其中黄球5个，篮球4个，绿球3个.现从盒子中随机取出两个球，记事件A 为“取出的两个球颜色不同”，事件B 为“取出一个黄球，一个绿球”，则()P B A =（ ） A ．1247 B ．211 C.2047 D ．154710.已知()f x 是定义在R 上的可导函数，()f x y e '=的图象如下图所示，则()y f x =的单调减区间是（ ）A ．(),1-∞-B ．(),2-∞ C.()0,1 D ．()1,211.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有（ ） A ．30 B ．36 C.48 D ．5412.已知定义在R 上的函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式()2xf x e >的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．()0,+∞ C.(),2-∞ D ．()2,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.随机变量110,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭，变量204Y X =+，则()E Y =． 14.二项式10展开式中含3x 项的系数是 ． 15.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2ln f x xf e x '=+，则()f e = ．16.设01P <<，若随机变量ξ的分布列是：则当变化时，的极大值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 满足12a =，()131n n na n a +=+，()nn a b n N n*=∈. （1）求1b ，2b ，3b ；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由.18. 已知函数()322f x ax bx x =+-，且当1x =时，函数()f x 取得极值为56-. （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()6f x x m =--在[]2,0-上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.19. 对某种书籍每册的成本费y （元）与印刷册数x （千册）的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.其中1i i x ω=，6116i i ωω==∑.为了预测印刷20千册时每册的成本费，建立了两个回归模型：y a bx =+，dy c x=+. （1）根据散点图，你认为选择哪个模型预测更可靠？（只选出模型即可）（2）根据所给数据和（1）中选择的模型，求y 关于x 的回归方程，并预测印刷20千册时每册的成本费.附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归方程ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i nii u v nuvunu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-. 20. 某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在某学院大一年级100名学生中进行了抽样调查，发现喜欢甜品的占70%.这100名学生中南方学生共80人。

高二数学质量抽测考试文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数131ii+-（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A ．12i -- B ．12i -+ C ．12i + D ．12i - 2.已知集合{}0,1,2M =，{}22,N x x x Z =-<<∈，则M N 为（ ）A ．()0,1B ．[]0,1C ．{}0,1D ．∅ 3.函数()()1ln 21f x x =+的定义域为（ ）A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦D ．[)0,+∞ 4.设命题:p n N ∀∈，22n n ≤，则p ⌝为（ ）A ．0n N ∃∈，0202nn ≥ B ．n N ∀∈，22n n ≥ C ．0n N ∃∈，0202n n > D ．n N ∀∈，22n n >5.若0a b >>，则（ ）A ．11a b >B ．22log log a b < C.22a b < D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.“若0x >，0y >且2x y +>，求证12x y +<，12yx+<中至少有一个成立.”用反证法证明这个命题时，下列假设正确的是（ ） A ．假设12x y +>，12yx +> B ．假设12x y +≥，12y x+≥ C.假设1x y +和1y x +中至多有一个不小于2 D ．假设1x y +和1yx+中至少有一个不小于27.已知a ，b 为实数，则“0a b +=”是“1ab=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件8.设ABC ∆的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，内切圆半径为r ，则()12S r a b c=++.类比这个结论可知：四面体S ABC -的四个面的面积分别为1S ，2S ，3S ,4S ，体积为V ，内切球半径为R ，则V =（ ） A ．()1234R S S S S +++ B ．()123412R S S S S +++ C.()123413R S S S S +++ D ．()123414R S S S S +++ 9.已知x ，y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且 1.03y x a =+，则a =（ ） A ．1.53 B ．1.33 C.1.23 D ．1.13 10.函数()1ln 1f x x =-的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ． 11.已知函数()1f x +为偶函数，且()f x 在()1,+∞上单调递增，()10f -=，则()10f x ->的解集为（ ）A ．()(),04,-∞+∞B ．()(),13,-∞-+∞ C.()(),14,-∞-+∞ D ．()(),01,-∞+∞12.已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的周期为2πB ．函数()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．把函数()f x 的图象向右平移3π个单位，所得图象对应的函数为奇函数 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知()21,1xyi x y R i+=∈-，则x y += ． 14.曲线()xxf x e =在点()0,0处的切线方程为 ．15.已知角α的终边上一点)1A-，则()sin tan 2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭．16.已知(),0,ln ,0,xe xf x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若()f x x a =+有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数()()2cos sin f x x x x π=--.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值. 18. 在某次测试中，卷面满分为100分，考生得分为整数，规定60分及以上为及格.某调研课题小组为了调查午休对考生复习效果的影响，对午休和不午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表： 39404950596069707980899029343729231810（参考公式：()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19. 已知函数()322f x ax bx x =+-，且当1x =时，函数()f x 取得极值为56-. （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()6f x x m =--在[]2,0-上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.20. 对某种书籍每册的成本费y （元）与印刷册数x （千册）的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.其中1i ix ω=，6116i i ωω==∑.为了预测印刷20千册时每册的成本费，建立了两个回归模型：y a bx =+，dy c x=+. （1）根据散点图，你认为选择哪个模型预测更可靠？（只选出模型即可）（2）根据所给数据和（1）中的模型选择，求y 关于x 的回归方程，并预测印刷20千册时每册的成本费.附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归方程ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i nii u v nuvunu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-. 21. 已知函数()2ln 1f x x ax =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若0a =，()()1xf x k x >-在()1,+∞上恒成立，求整数k 的最大值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，l 是过点()1,0P -且倾斜角为4π的直线.以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于两点A ，B ，求PA PB +. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x a x =+--. （1）当1a =时，解不等式()2f x >；（2）当0a =时，不等式()27f x t t >--对任意x R ∈恒成立，求实数t 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5ACBCD 6-10BBCDD 11、12：AC 二、填空题13.2- 14.y x = 16.[)1,+∞ 三、解答题17.解：（1）()()2cos sin f x x x x π=--1cos 2cos 2xx x -=-112cos 2222x x =+- 1sin 262x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以，()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得72666x πππ≤+≤， ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 111sin 2622x π⎛⎫-≤+-≤ ⎪⎝⎭，∴()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是1-. 18.解：（1）根据表中数据可以得出列联表中的数据如下：（2）计算观测值()238080140601008.49 6.6351802001402240K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为成绩及格与午休有关.19. 解：（1）()2322f x ax bx '=+-，由题意得，()()10,51,6f f '=⎧⎪⎨=-⎪⎩即3220,52,6a b a b +-=⎧⎪⎨+-=-⎪⎩ 解得1,33,2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴()3213232f x x x x =-+-. （2）由()()620f x x m x =---≤≤有两个不同的实数解， 得32134032x x x m ---=在[]2,0-上有两个不同的实数解， 设()3213432g x x x x m =---， 则()234g x x x '=--，由()0g x '=，得4x =或1x =-，当()2,1x ∈--时，()0g x '>，则()g x 在[]2,1--上递增， 当()1,0x ∈-时，()0g x '<，则()g x 在[]1,0-上递减，由题意得()()()20,10,00,g g g -≤⎧⎪->⎨⎪≤⎩即2,313,60,m m m ⎧≥-⎪⎪⎪<⎨⎪≥⎪⎪⎩解得1306m ≤<，即，实数m 的取值范围是130,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 20. 解：（1）由散点图可以判断，模型dy c x=+更可靠.（2）令1xω=，则建立y 关于ω的线性回归方程y d c ω=+， 则6162216 4.8ˆ80.606i ii ii y ydωωωω==-===-∑∑. ∴ˆˆ 4.220.37758 1.2cy d ω=-=-⨯=， ∴y 关于ω的线性回归方程为ˆ 1.28yω=+. 因此，y 关于x 的回归方程为8ˆ 1.2yx=+. 当20x =时，该书每册的成本费8ˆ 1.2 1.620y=+=（元）. 21.解：（1）()()211220ax f x ax x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上为增函数， 当0a >时，由()0f x '>，得0x <<()f x在⎛ ⎝上为增函数； 由()0f x '<，得x >()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上为减函数. 综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上为增函数； 当0a >时，()f x在⎛ ⎝上为增函数，在⎫+∞⎪⎪⎭上为减函数. （2）由题意，()()ln 11x x k x +>-恒成立，即()()ln 111x x k x x +<>-，设()()()ln 111x x g x x x +=>-，则()()2ln 21x x g x x --'=-， 令()()ln 21h x x x x =-->.则()110h x x'=->， 所以，()h x 在()1,+∞上为增函数，由()2ln 20h =-<，()31ln 3ln 03eh =-=<，()242ln 4ln 04e h =-=>， 故()h x 在()1,+∞上有唯一实数根()3,4m ∈，使得ln 20m m --=，则当()1,x m ∈时，()0h x <；当(),x m ∈+∞时，()0h x >, 即()g x 在()1,m 上为减函数，(),m +∞上为增函数， 所以()g x 在x m =处取得极小值，为()()ln 11m m g m m m +==-，∴k m <，由34m <<，得整数k 的最大值为3.22.解：（1）直线l的参数方程为1,2,2x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. 把曲线C 的极坐标方程4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，把cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入得曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）把1,2,2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入圆C的方程得223=422⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得250t -+=，设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则12125,t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ∴10t >，20t >，则12PA PB t t +=+=23.解：（1）当1a =时，由()2f x >得：2112x x +-->，故有122112x x x ⎧<-⎪⎨⎪--+->⎩或1122112x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++->⎩或()12112x x x >⎧⎪⎨+-->⎪⎩， ∴4x <-或213x <≤或1x >， ∴4x <-或23x >， ∴()2f x >的解集为243x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.（2）当0a =时()1,02131,011,1,x x f x x x x x x x --<⎧⎪=--=-≤≤⎨⎪+>⎩∴()()min 01f x f ==-，由217t t ->--得：260t t --< ∴23t -<<，∴t 的取值范围为()2,3-.。