数系的扩充及推理证明
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数系的扩充一、选择题1．已知，为虚数单位，复数z ＝1＋2i1－i，则复数z 的虚部是 ( )A.32 B ．－12 C.32i D ．－12i 2．复数2＋i 1－2i的共轭复数是 ( )A ．－35i B.35i C ．－i D ．i3．复数i －21＋2i＝ ( )A ．iB ．－IC ．－45－35iD ．－45＋35i4．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z ＝ ( )A ．－IB ．IC ．－1D ．15． i 是虚数单位，复数1－3i1－i＝ ( )A ．2－iB ．2＋IC ．－1－2iD ．－1＋2i 二、填空题6．已知复数z ＝1＋i ，则2z －z ＝________．7．若21－i＝a ＋b i(i 为虚数单位，a ，b ∈R)，则a ＋b ＝________． 8．已知方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根，则实数k 的取值是________． 9．若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝________． 三、解答题10．设复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a 、b 的值．11．已知z 是复数，z ＋2i 、z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．推理一、选择题1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *B.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1a n ＋1＝a n ＋（n ＋1），n ∈N *，n ≥2D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1a n ＝a n －1＋（n －1），n ∈N * 2．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”． 其中类比得到的结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．观察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )A ．3125B ．5625C ．0625D ．81254．设f (x )＝1＋x 1－x，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1，2，…，则f 2 009(x )等于( )A ．－1x B ．x C.x －1x ＋1 D.1＋x 1－x5．如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时， 其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12 B.5－12C.5－1D.5＋1 二、填空题 6．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第n 个等式为________． 7．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16， ……根据以上事实，归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________． 8．观察下列不等式1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， ……照此规律，第五个．．．不等式为______________________． 9．观察下列等式：①cos 2θ＝2cos 2θ－1；②cos 4θ＝8cos 4θ－8cos 2θ＋1；③cos 6θ＝32cos 6θ－48cos 4θ＋18cos 2θ－1；④cos 8θ＝128cos 8θ－256cos 6θ＋160cos 4θ－32cos 2θ＋1； ⑤cos 10θ＝m cos 10θ－1280cos 8θ＋1120cos 6θ＋n cos 4θ＋p cos 2θ－1. 可以推测，m －n ＋p ＝________． 证明一、选择题1．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小顺序是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b2．在平面直角坐标系xOy 上，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．对任意n ∈N *，连结原点O 与点P n (n ，n －4)，用g (n )表示线段OP n 上除端点外的整点个数，则g (2 008)＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 3．设0＜x ＜1，a ＞0，b ＞0，a ，b 为常数，a 2x ＋b 21－x的最小值是( )A ．4abB ．2(a 2＋b 2)C ．(a ＋b )2D ．(a －b )24．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形5．设x 、y 、z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a 、b 、c 三数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2 二、填空题6．已知函数f (x )满足：f (p ＋q )＝f (p )f (q )，f (1)＝3，则)1()2()1(2f f f ++)3()4()2(2f f f ++)5()6()3(2f f f ++)7()8()4(2f f f +=7．已知函数f (x )＝ax ＋2a ＋1，当x ∈[－1，1]时，f (x )有正值也有负值，则实数a 的取值范围为________．8．对于任意实数a ，b 定义运算a *b ＝(a ＋1)(b ＋1)－1，给出以下结论：①对于任意实数a ，b ，c ，有a *(b ＋c )＝(a *b )＋(a *c )；②对于任意实数a ，b ，c ，有a *(b *c )＝(a *b )*c ；③对于任意实数a ，有a *0＝a ，则以上结论正确的是________．统计案例分析一、选择题1．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：性回归方程为A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12xD ．y ＝1762．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ∧＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确．．．的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg3．已知x 、y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ＝( ) A ．1.30B ．1.45C ．1.65D ．1.804．下面是2×2列联表：则表中a ，b A ．94,72 B ．52,50 C ．52,74D ．74,525．一位母亲记录了儿子3～9岁时的身高，数据(略)，由此建立的身高与年龄的回 归模型为y ＝7.19x ＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( ) A ．身高一定是145.83 cm B ．身高在145.83 cm 以上 C ．身高在145.83 cm 左右 D ．身高在145.83 cm 以下 二、填空题6．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：小李这6号打6小时篮球的投篮命中率为________．7．在研究硝酸钠的可溶性程度时，对不同的温度观测它在水中的溶解度8．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.三、解答题10．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：。
