二次函数与一次函数的比较在数学领域中，函数是一种非常重要的概念。
函数可以描述数学关系中的变化规律，并在各个学科中广泛应用。
而二次函数和一次函数是最基础、最常见的两种函数类型之一。
它们都具有一定的特点和应用场景，下面我们将对二次函数和一次函数进行比较。
一、定义与形式首先，我们来看二次函数的定义和形式。
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，可以向上开口也可以向下开口，具体取决于a的正负。
而一次函数是指形如y=kx+b的函数，其中k和b都是常数且k≠0。
一次函数的图像是一条直线，斜率k决定了直线的倾斜方向和程度，截距b决定了直线与y轴的交点。
二、图像特点二次函数和一次函数在图像特点上有明显的区别。
对于二次函数，它的图像是一个抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点是函数的极值点，也是图像的最高点或最低点。
通过顶点的坐标可以确定抛物线的对称轴。
此外，二次函数的图像可能与x轴有两个交点、一个交点或者没有交点。
而一次函数的图像是一条直线。
直线的斜率k决定了直线的倾斜程度，斜率越大，直线越陡峭；斜率为正表示直线向右上方倾斜，斜率为负表示直线向右下方倾斜。
直线的截距b决定了直线与y轴的交点，即直线在y轴上的高度。
三、变化规律二次函数和一次函数在变化规律上也有所不同。
对于二次函数，它的自变量x的平方项决定了函数的增减性。
当a>0时，二次函数是开口向上的，自变量越大，函数值也越大；当a<0时，二次函数是开口向下的，自变量越大，函数值越小。
此外，二次函数的增减性还与顶点的位置有关，顶点在抛物线的最高点或最低点，其左右两侧的函数值变化规律也不同。
而一次函数的变化规律比较简单。
一次函数的斜率k决定了函数的增减性，斜率为正表示函数递增，斜率为负表示函数递减。
当斜率为0时，函数是水平的，不增不减。
一次函数的变化是线性的，即自变量每增加一个单位，函数值也相应增加或减少一个单位。
5.函数的最值对于一次函数,)(b kx x f y +==当k>0时，y 随着x 的增大而增大，则在给定的b x a ≤≤上，有最大值f (b)，最小值f （a ）．当k<0时，y 随着x 的增大而减小，则在给定的b x a ≤≤上，有最大值f(a)，最小值f(b)．对于二次函数),0()(2=/++==a c bx ax x f y 取最值的情况如下．1．若自变量为任意实数，则有两种情况：(1)当abx a 2,0-=>时，有 ⋅-⋅=ab ac y 442最小值(2)当abx a 2,0-=<时，有⋅-=ab ac y 442最大值2．若自变量x 的取值范围为).(n m n x m =/≤≤时，则要结合二次函数的对称轴与给定范围的三种位置来分析：(1)对于a>0．①当abn m 2-≤<时，因对称轴的左侧y 是随x 的增大而减小的，即单调递减，所以最大值为f(m)，最小值为f(n)；②当n a b m <-<2时，因范围过了抛物线的对称轴，所以最小值为),2(abf -而最大值为)()(n f m f 、的较大者；③当n m ab<≤-2时，因对称轴的右侧y 是随x 的增大而增大的．即单调递增，所以最大值为f(n)，最小值为f （m ）． (2)对于a<0．①当a bn m 2-≤<时，对称轴的左侧是单调递增的，所以最大值为f(n)，最小值f (m)； ②当n a b m <-<2时，最大值为),2(a bf -最小值为f(m)、f(n)的较小者；③当n m ab<≤2-时，对称轴的右侧是单调递减的，所以最大值为f(m)，最小值为f(n)． 例1 设),0)(1(1)(>-+=a x aax x f 求f(x)在10≤≤x 时的最小值g （a ）．分析 函数f (x)是一次函数，而⋅-=a a k 1由于aa 1-不知是大于O ，还是小于0，故需对其进行分段讨论，解 原函数化为⋅+-=ax a a x f 1)1()( 当a>l 时，,01>-aa 则函数f(x)为单调递增，这时f(x)在≤≤x 01上的最小值应在0=x 处取到，即;1)0(af =当O<a<l 时，,01<-aa 则函数f(x)为单调递减，这时f(x)在≤01≤x 上的最小值应在x=l 处取到，即;)1(a f =当1=a 时，ax f 1)(=是常量函数， 所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅≥=).10(),1(1)(a aa aa g例2 已知函数4)2.(2)3()(2--+-=x a x a x f 的最大值小于,21a 的取值范围， 解 4)2(2)3()(2--+-=x a x a x f⋅-+-+----=3168)32)(3(22a a a a a x a因为f(x)有最大值，且最大值小于,21故有 ⎪⎩⎪⎨⎧<-+-<-,23168,032i a a a a解得.527<<a 例3 设m 是不小于-1的实数，使得关于X 的方程+-+x m x )2(220332=+-m m 有两个不相等的实数根⋅21x x 、(1)若,62221=+x x 求m 的值；(2)求22212111x mx x mx -+-的最大值． （全国初中数学竞赛）解 因为方程有两个不相等的实数根，所以)33(4)2(422+---=∆m m m44+-=m,0>则 ,1<m 结合题设知 .11<≤-m(1) 因为 2221x x +212212)(x x x x -+=)33(2)2(422+---=m m m ,101022+-=m m所以 ,6101022=+-m m 即 ,041022=+-m m解得 ⋅±=2175m 由于 ,11<≤-m 所以 ⋅-=2175m (2)因为 22212111x mx x mx -+- )1)(1()]1()1([21122221x x x x x x m ---+-=212121212221)(1)]([x x x x x x x x x x m ++-+-+=)33()42(1)]42)(33()10102[(222+-+-+-+-++-=m m m m m m m m m m m m m m m --+-=223)2882( ,)1()13)(1(22-+--=m m m m m m可设 )13(22+-=m m y,25)23(22--=m由y 在-1≤m<l 上是递减的，所以当1-=m 时，原式有最大值为10.例4 设p 是实数，二次函数P Px x y --=22的图象与x 轴有两个不同的交点).0,()0,(21x B x A 、(1)求证：;032221>++P x Px(2)若A 、B 两点之间的距离不超过｜2p-3 ｜，求p 的最大值．（全国初中数学联赛）解 (1)因为二次函数与x 轴有两个不同的交点，则,044)(4)2(22>+=---=∆P P P P所以 P x Px 32221++P P Px Px 32221+++= P x x P 4)(221++=P P P 4)2(2+= .0442>+=P P(2)因为 ||||21x x AB -=212214)(x x x x -+=,442P P +=由题意得 |,32|44-≤+P P P 两边平方得 ,91244422+-≤+P P P P所以 ,169≤P 即p 的最大值为⋅169 例5 a 、b 是正数，并且抛物线b ax x y 221++=和++=bx x y 222a 都与x 轴有公共点，求22b a+ 的最小值， 解 由题意得⎪⎩⎪⎨⎧≥-=∆≥-=∆,044,082221a b b a 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥.,822a b b a又因为a 、b 都为正数，所以有,646424a b a ≥≥ 即 .4≥a同理有 ,42≥≥a b即 .2≥b因此 ,2,4min min ==b a故 .20416)(22=+=+n m r b a例6 已知a 、b 为实数，求b a b ab a 2.22--++的最小值．解 设,222b a b ab a y --++=整理成关于a 的一元二次方程为.02)1(22=--+-+y b b a b a因为a 为实数，即方程有实根，则,0)2(4)1(22≥----=∆y b b b整理得 .014632≤---y b b上式表示函数 14632---=y b b u 有非正值，于是函数的判别式应大于或等于O ，即,0)14(3436≥+⨯+y解得 .1-≥y当1-=y 时，得,1=b 从而求得.0=a所以当1,0==b a 时,有最小值-1．说明 注意列式子中含有ab 项，所以通常可考虑换元．令,v u a +=,v u b -=则可消去ab 项，转化为u 、v 的式子，即)(2)()())(()(22zJ u v u v u zJ u v u v u y --+--+-+++=v u v u +-+=33221)21()21(322-++-=v u,1-≥当且仅当21=u 且21-=v 时，有最小值-1． 例7 求函数x x y 21-+=的最大值，解 令,21x t -=则,0,212≥-=t t x 于是有t t y +-=212),0(21212≥++-=t t t对称轴为t=l ，由函数的图象知，当t=l 时，即x=0时，y 有最大值1．评注 形如e dx c b ax y +++=的函数，通常设,0≥+=e dx t 化原函数为关于t 的一元二次函数形式，再配方求最值．例8 求函数|]211[1|)(+-=x x x f 的最大值，并求此时的x 值，其中[a]表示不超过a 的最大整数． 解 设211,]211[+=+ x n x 的小数部分为a(O≤a<1)，则有 ,211α+=+n x由题意得⋅-=-⋅=+-=|21||1||]211[1|)(αn x x x x f 又因为 ,212121<-≤-α所以 ⋅≤21)(x f故当a=0，即122-=k e x (k∈Z)时，f(x)的最大值为⋅21例9 已知1)(2-+=ax x x f 在区间[0，3]上有最小值-2，求a 的值，分析 因函数的对称轴为,2ax -=区间[0，3]和对称轴的位置关系不知，故应根据图象，分三种情况加以讨论．解 由题意，对称轴为⋅-=2a x (1)当02⋅≤-a时，即a≥0时，区间[0，3]在对称轴的右侧，则f(x)的最小值为 ,1)0(-=f不合题意，舍去．(2)当320<-<a时，即06<<-a 时，则f(x)的最小值为 ,21)2()()2(2-=--+-=-aa a f解得 .2±=a因为,06<<-a 所以取.2-=a(3)当32≥-a时，即6-≤a 时，区间在对称轴的左侧，则f(x)的最小值为 ,2139)3(-=-+=a f解得 ,310-=a 又因为,6-≤a 故舍去．综上所述，得.2-=a 例10 若函数21321)(2+-=x x f 在区间[a ，b]上的最小值为2a ，最大值为2b.求a 、b 的值， 解 函数的对称轴为x-0，下面分三种情况加以讨论：(1)若b a <≤0时，即函数f(x)在区间[a ，b]上单调递减，有⎩⎨⎧==,2)(,2)(a b f b a f即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-,221321,22132122a b b a解得 ⎩⎨⎧⋅==.3,1b a(2)若a<O<b 时，则由函数图象知，f(x)在[a ，0]上单调递增，在[O ，b]上单调递减，即区间过了对称轴，因此f(x)在0=x 处有最大值2b,即,2132=b 得 ⋅=413b而函数的最小值在a x =或b x =处取得，又由于a<O ，并且,03239213)413(21)(2>=+-=b f故函数的最小值在a x =处取得，即,2)(a a f =则有,2132122+-=a a解得 172--=a 或172+-=a （舍去）．从而 ⎪⎩⎪⎨⎧⋅=--=413,172b a (3)当a<b≤O 时，即f(x)在区间[a, b]上单调递增，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-.221321,22132122b b a a 由于a 、b 是方程x x 2213212=+-的两个根，又因为两根之积为负数，即两根异号，这与 0≤<b a 矛盾，故不存在，综合上述，得⎩⎨⎧==,3,1b a 或⎪⎩⎪⎨⎧⋅=--=413,172b a 例11 已知函数,1)1(2)2(22+--+=x a x a y 其中自变量x 为正整数，a 也是正整数，求x 为何值时，函数值最小．解 由题意，得,2)1(1)21)(2(2222+--++--+=a a a a x a y其对称轴为 ,212+-=a a x 即 ⋅++-=23)2(a a x 因为a 为正整数，故,1230≤+<a ,12122-≤+-<-a a a a因此，函数的最小值只可能在x 取21,1,22+---a a a a 时达到．(1)当1212-=+-a a a 时，即,1=a 此时1=x 时函数取得最小值． (2)当12122-<+-<-a a a a 时，即a>l ，由于x 为正整数，而212+-a a 为小数，故212+-=a a x 不能达到最小值．当2-=a x 时，则;1)2)(1(2)2)(2(22+----+=a a a a y i当1-=a x 时，则.1)1)(1(2)1)(2(222+----+=a a a a y故 .421a y y -=-(i)当,04>-a 即,.41<<a 且a 为正整数时，x 取,1-a y 有最小值;2y (ii)当,04=-a 即4=a 时，有,21y y =此时x 取2或3，y 有最小值； (iii)当,04<-a 即4>a 时，且a 为正整数时，x 取y a ,2-有最小值⋅1y 综上可得，当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅-=<<-==)4(2),4(32),41(1),1(1a a a a a a x 或（其中a 为正整数）时，函数值最小．习 题 51 如果,22||≤x 求函数12++-=x x y 的最小值， 2 设x 、y 、z 为三个非负实数，且满足.132,523=-+⋅=++z y x z y x 求x y x u 73-+=的最大值和最小值．3 二次函数x a x y )1(22++=的图象永远在二次函数b x x y -+=2的图象的上方，求点（a ，b ）所处的范围．4 求函数132)(+-+=x x x f 的值域．5 已知二次函数42)3(22++++=a x a x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为α、β，当实数α变动时，求22)1()1(-+-βα的最小值．6 已知,1222=+y x 求252y x +的最大值和最小值.7 求143322++++=x x x x y 的最大值，8 已知函数),0(12)(2=/+-=a ax ax x f 求f(x)在闭区间[-1，2]上的最值． 9 已知不等式b x x a ≤+-≤642的解为a≤x≤b，求a 与b 的值．10 已知函数)(x f y =表示 1-x 与|34|2+-x x 两者中较大的一个，求在50≤≤x 内函数x x f -)(的取值范围．11 把一张边长为a 的正方形纸ABCD 折起来，使B 点落在AD 上，问B 点落在AD 什么位置上时，使折起来的面积最小，并求出这最小面积的值．12 设x 、y 都是正整数，且使⋅=++-y x x 110116求y 的最大值．13 已知函数.42)4()(2+--+=k x k x x f(1)若对于任意0)(],1,1[>-∈x f k 恒成立，求x 的取值范围； (2)若对于任意0)(],1,1[>-∈x f x 恒成立，求k 的取值范围．参考答案。
