绳球模型与杆球模型

（1）绳球模型（外轨道模型）：如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即rmvmg2临界=⇒rg=临界υ（临界υ是小球通过最高点的最小速度，即临界速度）。

②能过最高点的条件：临界υυ≥。

此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力mgrvmN-=2③不能过最高点的条件：临界υυ<（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）。

（2）杆球模型（双层轨道模型）：如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度0=临界υ。

②图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是：当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；当0<v<rg时，杆对小球有竖直向上的支持力rvmmgN2-=，大小随速度的增大而减小；其取值范围是mg>N>0。

当rg=υ时，N=0；当v>rg时，杆对小球有指向圆心的拉力mgrvmN-=2，其大小随速度的增大而增大。

③图（b）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是：当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg。

GF当0<v<rg 时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力rv m mg N 2-=，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg>N>0。

当v=gr 时，N=0。

当v>gr 时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力mg rv m N -=2，其大小随速度的增大而增大。

④图(c)的球沿球面运动，轨道对小球只能支撑，而不能产生拉力。

在最高点的v 临界=gr 。

当v=gr 时，小球将脱离轨道做平抛运动。

一.竖直面内的圆周运动——“绳”模型和“杆”模型1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的物体等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”。

2．绳、杆模型涉及的临界问题绳模型杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球受力特征除重力外，物体受到的弹力向下或等于零除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上受力示意图过最高点的临界条件由mg＝mv2r得v临＝gr由小球恰能做圆周运动得v临＝0讨论分析(1)过最高点时，v≥gr，F N＋mg＝mv2r，绳、圆轨道对球产生弹力F N(2)不能过最高点时，v<gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v＝0时，F N＝mg，F N为支持力，沿半径背离圆心(2)当0<v<gr时，mg－F N＝mv2r，F N背离圆心，随v的增大而减小(3)当v＝gr时，F N＝0(4)当v>gr时，F N＋mg＝mv2r，F N指向圆心，并随v的增大而增大3.竖直面内圆周运动问题的解题思路二. 杆—球模型经典例题讲解与对点演练（一）例题例1：一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，重力加速度为g ，则下列说法正确的是( ) A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B ．小球过最高点的最小速度是gRC ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 答案 A解析 当小球在最高点所受的弹力为零时，有mg ＝m v 2R ，解得v ＝gR ，即当速度v ＝gR时，轻杆所受的弹力为零，所以A 正确．小球通过最高点的最小速度为零，所以B 错误．小球在最高点，若v <gR ，则有：mg －F ＝m v 2R ，轻杆的作用力随着速度的增大先减小后反向增大，若v >gR ，则有：mg ＋F ＝m v 2R ，轻杆的作用力随着速度增大而增大，所以C 、D 错误．（二）杆—球模型对点演练：1.如图所示，轻杆长3L ，在杆两端分别固定质量均为m 的球A 和B ，光滑水平转轴穿过杆上距球A 为L 处的O 点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为g ，则球B 在最高点时( ) A ．球B 的速度为零 B ．球A 的速度大小为2gL C ．水平转轴对杆的作用力为1.5mg D ．水平转轴对杆的作用力为2.5mg 答案 C解析 球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，则有mg ＝m v B 22L ，解得v B ＝2gL ，故A 错误；由于A 、B 两球的角速度相等，则球A 的速度大小v A ＝122gL ，故B 错误；B 球在最高点时，对杆无弹力，此时A 球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F －mg ＝m v A 2L ，解得：F ＝1.5mg ，根据牛顿第三定律可知，C 正确，D 错误．2.(2020·全国卷Ⅰ)如图，一同学表演荡秋千。

圆周运动模型之——绳球模型+杆球模型导学案【学习目标】1.从生活实例出发，掌握竖直平面内两种圆周运动模型，绳球模型和杆球模型2.自主探究，小组协作，能够分析两种模型最高点和最低点受力及最高点速度临界问题。

3.学以致用，能用自己探究得到的模型知识解决绳球及杆球相关习题【课前自学】绳球模型一、填空题1.绳子和杆相比，绳子（是硬的，是软的），可以（拉伸，支持）物体，可以产生（支持，拉）力2.杆和绳子对比，杆（是硬的，是软的），可以（拉伸，支持）物体，可以产生（支持，拉）力二、讨论题在那某年某月的某一天，天气晴朗，微风拂面，风和日丽，时光美好。

于是，心情爽朗的你去感受过山车的速度与激情。

但是，在搭乘过山车到最高点时你的安全带脱落了！！问，在过山车运行到此最高点时，你会不会出事？此过山车是正圆环形状。

参考答案：一定会出事；不一定会出事。

【课中互学】三、绳球模型速度分析（一）在最高点1.用绳子连一物体做圆周运动，问，当物体在最高点速度等于0时，能不能使物体继续做圆周运动？（能，不能）2.用绳子连一物体做圆周运动，问，在最高点绳子能产生支持力么？（能，不能）3. 用绳子连一物体做圆周运动，问，在最高点绳子能产生拉力么？（能，不能）4. 用绳子连一物体做圆周运动，问，在最高点若重力刚好提供向心力，此时绳子对物体有拉力么？（有，没有）5. 用绳子连一物体做圆周运动，若在最高点物体仅受重力，由，求出此时物体的速度？（）6.用绳子连一物体做圆周运动，若在最高点物体不只受重力还受到绳子拉力作用，问，此时物体的速度情况如何？（等于，小于，大于）（二）在最低点根据物体在最低点的受力情况，选出求解向心力的表达式。

（，），此时物体处于（超重，失重）状态，绳子（容易，不容易）断四、方法总结1. 绳球模型中，在最高点，当速度小于时，物体（能，不能）继续做圆周运动2.绳球模型中，在最高点，当速度等于时，物体（能，不能）继续做圆周运动,物体此时仅受（重力，拉力）作用3.绳球模型中，在最高点，当速度等于0时，物体（能，不能）继续做圆周运动4.绳球模型中，在最高点，当速度大于时，物体（能，不能）继续做圆周运动,物体此时受（重力，拉力）作用,此时向心力公式为（，）5.绳球模型中，物体恰能上到最高点的临界速度是，物体此时仅受（重力，拉力）作用6.绳球模型中，在最低点，物体向心力的求解公式为【模型延伸】拓展：单轨模型有一竖直放置、内壁光滑的圆环，其半径为r，质量为m 的小球沿着它的内表面做圆周运动。