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研究生统计学讲义第11讲相关与回归共75页文档

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相关与回归PPT课件PPT课件

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（2）求Spearman等级相关系数。
rs
l X ’Y ’
l l X ’X ‘Y ’Y ‘
59.5 0.7539 82.5 75.5
第19页/共40页
2. Spearman等级相关系数的假设检验：
H0:ρS=0
H1: ρS ≠0
=0.05
本例n=10， rs=-0.7539，查rs界值表得：
Y
Y
2
lYY
l XY
2 / l XX lYY bl XY
sy为x 各观察值y 距回归线（ ）ˆy 的标准差，反映x
的影响被扣除后y 的变异，故称为剩余标准差。
第32页/共40页
Y
Y
2
36.7324 (74.308)2
/ 228.2 12.541
12.541
SY .X
1.1199 12 2
1.1199
sb
0.0741 228.25
0.3256
tb
4.392
0.0741
3．确定P值，判断结果： 按 12 2 10 ，
查t 值表，t0.01(10)=3.169，tb> t0.01(13) ，P<0.01， 按α=0.05水准，拒绝H0 ，接受H1，认为糖尿病患 者血糖和胰岛素之间存在负的直线回归关系。
rs(10,0.02)=0.745，rs> rs(10,0.02) ，则P<0.02，按
α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，认为rs有统计
学意义，说明患者血小板数与出血程度呈负
的等级相关关系。
第20页/共40页
第三节 直线回归
随着所探索问题的深入，研究者通常更感兴趣于 其中的一个变量如何定量地影响另一变量的取值， 如医学研究中常需要从某项指标估算另一项指标， 如果这指标分别是测量变量X 和Y，我们希望由X 推算Y的值。

统计学相关分析和回归分析ppt课件

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23
计算积距相关系数， 连续性变量才可采用
图8－1 Bivariate Correlations 对话框
。
计算Kendall秩相关
系数，适合于定序变
量或不满足正态分布
假设的等间隔数据。 计算Spearman秩相
关系数，适合于定序
见图 8－2
变量或不满足正态分
关布。不还假清是设楚负的变相等量关间之时隔间选数是择据正此相项 。
没有关系
9
8.2.2 相关系数 利用相关系数进行变量间线性关系的分析通常需
要完成以下两个步骤：
第一，计算样本相关系数r；
相关系数r的取值在-1～+1之间 r>0表示两变量存在正的线性相关关系；r<0表示两变
量存在负的线性相关关系 r＝1表示两变量存在完全正相关；r＝-1表示两变量存
在完全负相关；r＝0表示两变量不相关 |r|>0.8表示两变量有较强的线性关系； |r|<0.3表示
。 （4）在Test of Significance框中选择输出相关系数检验的双
边（Two-Tailed）概率p值或单边（One-Tailed）概率 p值。 （5）选中Flag significance correlation选项表示分析结果 中除显示统计检验的概率p值外，还输出星号标记，以标明 变量间的相关性是否显著；不选中则不输出星号标记。 （6）在Option按钮中的Statistics选项中，选中Crossproduct deviations and covariances表示输出两变量的 离差平方和协方差。
例如，在研究商品的需求量和价格、消费者收入之间 的线性关系时，需求量和价格之间的相关关系实际还包含 了消费者收入对价格和商品需求量的影响。在这种情况下 ，单纯利用相关系数来评价变量间的相关性显然是不准确 的，而需要在剔除其他相关因素影响的条件下计算变量间 的相关。偏相关的意义就在于此。

统计课件11 相关与回归分析_PPT幻灯片

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y
x
两变量相关关系在图 形上表现为各观测点 分布在线的周围
相关关系举例
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 ▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 ▪ 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温
度(x3)之间的关系 ▪ 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 ▪ 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
完全相关、不完全相关和不相关
如果一个变量的变化完全由另一个变量的变化 所确定，则称两变量的关系为完全相关，即为 函数关系；如果两个变量间的关系很弱或看不 出任何关系，则称之为不相关（或零相关）。 两变量的关系介于完全相关和不相关之间称为 不完全相关。
二、相关关系的描述与测度
判断现象之间有无相关关系，应先进行定性 分析，即依据理论知识、实践经验对现象之 间是否存在相关关系及相关关系的类型作出 判断。然后在此基础上进行定量分析，即运 用相关图、相关表和相关系数等方法对现象 之间的相关关系进行描述与测度。
根据以上资料绘制坐标图便得到相关图
•单变量分组表
例：30家企业按产品产量分组的平均单位产品成本
产量 （千件）x
20 30 40 50 80 合计
企业数
9 5 5 6 5 30
平均单位成本 (元/件) y
16.8 15.6 15.0 14.8 14.2
•双变量分组表
例：30家企业按产品产量和单位产品成本分组
4. 若相关系数是根据样本数据计算的，则称为样本相 关系数，记为 r
第九章 相关与回归分析
第一节 变量间关系的度量 第二节 一元线性回归分析 第三节 利用回归方程进行估计和预测
第一节 变量间关系的度量
一、变量间的函数关系与相关关系 二、相关关系的描述与测度 三、相关系数的显著性检验

统计学相关与回归分析法PPT课件

统计学相关与回归分析法PPT课件
关系，以及何种关系作出判断。
定量分析
在定性分析的基础上，通过编制相 关表、绘制相关图、计算相关系数
等方法，来判断现象之间相关的方 向、形态及密切程度。
第15页/共50页
相关表和相关图
将现象之间的相互关系，用
相关表
表格的形式来反映。
简单 相关表
适用于所观察的样本单位数 较少，不需要分组的情况
分组 相关表
第19页/共50页
相关系数 （只研究简单相关系数）
在直线相关的条件下，用以反映两变量间
线性相关密切程度的统计指标，用r表示
r 2xy
x xy y n
x y
2
2
xx n yy n
x xy y (积差法)
x
2
x
y y2
第20页/共50页
令
(
x
x
)(
y
y
)
xy
1 n
x
y
相关系数r的取值范围：-1≤r≤1
r>0 为正相关，r < 0 为负相关； |r|=0 表示不存在线性关系； |r|＝1 表示完全线性相关；
0<|r|<1表示存在不同程度线性相关：
|r| < 0.3 为微弱相关(基本无关)；
0.3≤ |r| ＜0.5为低度相关； 0.5≤ |r| ＜0.8为显著相关(中度相关) ； 0.8≤ |r| ＜1.0第为22页高/共5度0页 相关(强相关) 。
0.7961
a y bx 625 0.7961 916 6.5142
16
16
即线性回归方程为：
yˆ 6.5142 0.7961x
计算结果表明，在其他条件不变时，能源消耗 量每增加一个单位（十万吨），工业总产值将 增加0.7961个单位（亿元）。

统计学相关与回归分析法PPT精选文档

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15
第二节 简单线性相关分析
相关关系的测定
是依据研究者的理论知识和实践经 定性分析 验，对客观现象之间是否存在相关
关系，以及何种关系作出判断。
定量分析
在定性分析的基础上，通过编制相 关表、绘制相关图、计算相关系数
等方法，来判断现象之间相关的方 向、形态及密切程度。
16
相关表和相关图
相关表
将现象之间的相互关系，用 表格的形式来反映。
方法上：相关分析通过编制相关表、绘制 相关图、计算相关系数；回归分析通过建立 回归模型。
14
局限性：
无法准确地判断客观现象内在联系的有无，及 确定何种现象为因，何种现象为果。
因此在应用相关和回归分析对客观现象 进行研究时，一定要注意把定性分析和 定量分析结合起来，在定性分析基础上 开展相关和回归的定量分析。
18
分组相关表
20个同类工业企业固定资产原值与平均每昼夜产量
平均每昼
固定资产原值（百万元）
夜产量
（吨）
35～40 40～45 45～50 50～55 55～60 60～65 65～70
fY
600～650
11
550～600
12
3
500～550
21
3
450～500
151
7
400～450
22
4
350～400
10
二、回归与回归分析
回归分析的概念和内容
用合适的数学模型来近似表达具有相 回归分析 关关系的变量间关系的具体形式。
内容：
对具有相关关系的变量，建立一个合适的 数学模型来近似表达变量之间关系的具体形 式。 评价所建立模型对实际现象的拟合程度。
11

[课件]第11章 回归.PPT

[课件]第11章 回归.PPT

(1) (2)
直线通过均点 ( X ,Y ) 直线上方各点到直线的纵向距离之和
= 直线下方各点到直线的纵向距离之和 ˆ) ( Y Y 0 即:

(3)
各点到该回归线纵向距离平方和较到
其它任何直线者为小。


2 2 ˆ ˆ Y Y Y a bX

( X X )( Y Y ) l b l ( X X )
2
XY
XXΒιβλιοθήκη aYbX幻灯片 9go
go
ˆ Y Y ˆ Y Y
6.5
的意义
为残差：点到直线的纵向距离。
6.0
5.5
5.0 11 12 13 14 15 16
2 ˆ ( Y Y )
的意义

残差平方和 (residual sum of squares). 综合表示点距直线的距离。 在所有的直线中，回归直线的残差平方和是最小的。 (最小二乘)
第11章 回 归.ppt
11.7 直线回归的区间估计
11.8 两个斜率的比较
11.9 两条回归直线的合并 11.10过定点的直线回归
11.11 直线回归与直线相关的区别及联系
11.12多重线性回归简介 11.13回归分析的正确应用
英寸 英寸 ， y69 例子： x68 英寸 英寸 x 72 ,y 71 1 1 英寸 英寸 x 64 ,y 67 2 2
ˆ) (Y Y
残差
2 ˆ 残差平方和 Y Y


( Y Y ) 0
l ˆ Y Y l YY lXX
2


2 XY
残差平方和最小且惟一，故名为最小二乘法

统计学原理(相关与回归分析)

统计学原理(相关与回归分析)

x(万元) y(万元) x2
500
120 250000
540
140 291600
620
150 384400
730
200 532900
900
280 810000
970
350 940900
1050
450 1102500
1170
510 1368900
6480 2200 5681200
y2 14400 19600 22500 40000 78400 122500 202500 260100 760000
确定现象之间相关关系的数量模型
直线相关与曲线相关；一元回归与多元回归
测定变量估计值的可靠程度
因变量估计值的准确程度，估计标准误差
预测因变量
对相关性进行显著检验，之后利用回归模型，预测因变量
三、相关分析的主要内容
相关分析的主要内容，概括起来是五个方面：
（一）确定现象之间有无关系，以及相关关系的 表现形式；
例2
（分组相关表）（单变量分组相关表） （双变量分组相关表）
企业按销售额分组 (万元) 4以下 4～ 8 8 ～ 12 12 ～ 16 16 ～ 20 20 ～ 24 24 ～ 28 28 ～ 32 32 ～ 36
流通费用率 (%) 9.65 7.68 7.25 7.00 6.86 6.73 6.64 6.60 6.58
在具有相互依存关系的两个变量中，作为
根据的变量称自变量，一般用X表示；发生对 应变化的变量称因变量，一般用y表示。
函数关系与相关关系的联系与区别
区别 是否存在确定的数量关系 联系 函数关系与相关关系的相互转化
观察或测量误差
函数关系
研究形式

研究生统计学讲义第11讲相关与回归-PPT文档资料

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2. 积矩相关系数:Pearson积差相关系数, 简称相关系数。 表示两个变量间直线关系密切程度和方向的统计指标。 用 r 表示，总体相关系数用ρ表示，r 是ρ的点估计。 考虑 X 和 Y 的标准正态离差:
Xi X sX
和
把相应的离差同时相乘并求和时, 得到一个联合 指标:
Yi Y sY

(X X )(Y Y ) X X Y Y i i i i s s s s X Y X Y
第六章 一元线性相关与回归
变量间的关系有确定性关系(函数关系)和随机性关 系。函数关系是指对于一个变量的每个可能取值，另 外的变量都有完全确定的值与之对应。随机性关系是 指变量间的关系以非确定性形式出现的情况。 例如儿童身高与体重的关系；随着身高的增长 ，体重也增加，一般说，身高高的儿童，体重也重一 些，两者之间确实存在着某种关系，但显然不是函数 关系，因为身高相同的人体重也有的重，有的轻，身 高和体重之间的客观联系存在于随机背景中，不能说 某一身高的儿童，其体重一定是多少。

这个指标具有下面的性质:
1．如果大的X 值与大的Y 值相联系，小的X 值与小的 Y 值相联系，那么 (Xi X) 和 (Yi Y) 二者符号相 同，在公式中它们的乘积为正． X 和 Y 之间有正相关 ．
2．如果大的X 值与小的Y 值相联系，小的X 值与大的 Y 值相联系，那么 (Xi X) 和 (Yi Y) 二者符号相 反，在公式里符号为负. 于是我们就说这种情形里 X 和 Y 之间有负相关 如果我们用 n－1 除公式, 就得到一个新指标, 用 r 表示 , 首先它满足两个条件且范围从－1到+1（我们将 在随后验证）. 有
( X X )( Y Y ) r

统计学课件之线性相关与回归

统计学课件之线性相关与回归
➢ 线性关系是否存在、关系的密切程度 以及方向性
back
➢ 积差相关系数 ➢ 用ρ（总体）或r（样本）表示 ➢ 用来对线性关系的密切程度与方向
进行统计描述的指标
back
r lxy x xy y
lxxlyy
x x2 y y2
其中，lxy是x与y的离均差积和
lxx与lyy分别是x与y的离均差平方和
0.14
2
0.25
0.25
3
0.23
0.28
4
0.24
0.25
5
0.26
0.28
6
0.09
0.10
7
0.25
0.27
8
0.06
0.09
9
0.23
0.24
10
0.33
0.30
11
0.15
0.16
12
0.04
0.05
13
0.20
0.20
14
0.34
0.32
15
0.22
0.24 back
➢ 针对上例，请做线性回归分析。 ➢ a = 0.0319 b = 0.8973 ➢ F = MS回/ MS残 = 295.46 tb = 17.189 ➢ R2 = 0.9578 = ( 0.9787 )^2 = r^2
➢ 简单回归
➢ 研究两个连续性变量x与y之间的数量变化 依存关系
➢ 要求——y是服从正态分布的随机变量， 而对x无太严格要求
➢ 主要任务——找出合适的直线回归方程， 以确定一条最接近于各实测点的直线，描 述两个变量之间的线性回归关系。
back
➢ yˆ相当于y的计算值，与y的实测值不完全相同

统计学：相关分析与回归分析.docx

统计学：相关分析与回归分析.docx

统计学：相关分析与回归分析1.相关分析的主要内容相关分析的目的在于分析现象间相关关系的形式和亲密程度以及依存变动的规律性，在实际工作中，有特别广泛的应用。

主要内容如下。

（1）确定变量之间有无相关关系，以及相关关系的表现形式。

这是相关分析的动身点，有相关关系才能用相应的方法去分析，否则，只会得出错误的结论。

相关关系表现为何种形式就用什么样的方法分析，若把本属于直线相关的变量用曲线的方法来分析，就会产生熟悉上的偏差。

（2）确定相关关系的亲密程度。

对于这个问题，直线相关用相关系数表示，曲线相关用相关指数表示，相关系数的用途很广泛。

（3）选择合适的数学方程式。

确定了变量之间的确有相关关系及其亲密程度，就要选择合适的数学方程式来对变量之间的关系近似描述，并用自变量的数值去推想因变量的数值，称之为回归分析。

假如变量之间为直线相关，则采用直线方程，称之为线性回归；假如变量之间为曲线相关，则采用曲线方程，称之为非线性回归。

（4）测定变量估计值的精确程度。

在相关分析中，第三步建立了数学方程式，并用方程式对因变量进行估值。

因变量的估计值和实际值之间进行对比，因变量估计值的精确程度可以用估计标准误差来衡量。

（5）对回归方程进行显著性检验。

对前几步变量之间建立的回归方程，要进行显著性检验。

检验变量之间是否真的具备这样的关系，这种关系是不是因为数据的选取而偶然形成的。

2.回归分析的主要内容回归分析是在研究现象之间相关关系的基础上，对自变量和因变量的变动趋势拟合数学模型进行测量和推算的一种统计分析方法。

进行回归分析，要以现象之间存在相关关系为前提；然后对自变量和因变量的变动拟合回归方程，确定其定量关系式；再对拟合的回归方程进行显著性检验；最终利用所求得的关系式进行推算和预估。

相关分析与回归分析在实际应用中有亲密关系。

然而在回归分析中，所关心的是一个随机变量y对另一个（或一组）随机变量x的依靠关系的函数形式。

而在相关分析中，所争论的变量的地位一样，分析侧重于随机变量之间的种种相关特征。

回归与相关分析PPT课件

回归与相关分析PPT课件

yi y 2
（dfT＝
i
• 离回归平方和SSE（剩余平方和，残差平 方和）：
SSE yi yˆi 2
i
n－2）
第23页/共93页
（dfE＝
•回归平方和SSR：
SS＝R 1） i yˆi y 2
（dfR
SSR的意义：根据等式SSy＝SSE＋SSR可知， 如果SSR的值较大，SSE的数值便比较小，说 明回归的效果好；反之，如果SSR的值较小， SSE的数值便比较大，说明回归的效果差。
yˆ 1散点图和回归直线图
y ( ug / kg )
21 20 19 18 17 16 15
3
y = 10.987+1.5508x R2 = 0.6516
x ( ug / L )
4
5
6
7
某农药的水中含量与
鱼体中含量的关系
第21页/共93页
三、线性回归的显著性检验
第17页/共93页
（四）一元线性回归方程建立的基本步 骤（4步）
• 根据资料计算8个一级数据
• Σx , Σx2, x , Σy , Σy2 , y , Σxy , n
• 计算3个二级数据：SSx , SSy , SP
• 计算参数的估计值a和b，并写出回归方程
a y bx b SP SSx
yˆ a bx
第31页/共93页
• 2、β的置信区间
• b 的标准误为：sb se SSx
•而
b
t
sb
t (n 2)
• 所以 β的置信区间为：
(b t sb , b t sb )
第32页/共93页
•（二）对α＋βx的区间估计 • 对α＋βx的区间估计，即是对总体 均值（期望值）的区间估计。 • 当x＝xi 时，估计标准误为：

统计学教程相关与回归

统计学教程相关与回归
第38页/共46页
第三节 应用时注意事项
一、注意事项 二、相关与回归的区别三、相关与回归的联系
第39页/共46页
应用直线相关与回归的注意事项
1.实际意义 进行相关回归分析要有实际意义，不可把毫无关系的两个事物或现象用来作相关回归分析。例如，有人说，孩子长，公园里的小树也在长。求孩子和小树之间的相关关系就毫无意义，用孩子的身高推测小树的高度则更加慌谬。 2.相关关系 相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，并不能证明事物间有内在联系，例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读技能有很强的相关关系。然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素‑‑ 年龄。当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大也穿不下原来的鞋。
第40页/共46页
3.利用散点图对于性质不明确的两组数据，可先做散点图，在图上看它们有无关系、关系的密切程度、是正相关还是负相关，然后再进行相关回归分析。4.变量范围相关分析和回归方程仅适用于样本的原始数据范围之内，出了这个范围，我们不能得出两变量的相关关系和原来的回归关系。
第41页/共46页
相关与回归的区别
第24页/共46页
实际上，由于其它因素的干扰，许多双变量之间的关系并不是严格的函数关系，不能用函数方程反映，为了区别于两变量间的函数方程，我们称这种关系式为直线回归方程，这种关系为直线回归。
第25页/共46页
直线回归就是用来描述一个变量如何依赖于另一个变量
其任务就是要找出一个变量随另一个变量变化的直线方程，我们把这个直线方程叫做直线回归方程。
y
第28页/共46页
回归系数
根据上例的数据，求待产妇尿中雌三醇含量与产儿体重之间的回归方程。从相关系数的计算中，已经求得：

统计-相关与回归分析

统计-相关与回归分析

整理ppt
10
第七章 试验数据的回归分析
7.1.2 回归分析
回归分析(Regression Analysis)
就是应用统计方法，对大量的观测数据进行整 理、分析和研究，从而得出反映事物内部规律 性的一些结论。
整理ppt
11
第七章 试验数据的回归分析
7.2 一元线性回归模型
• 7.2.1 统计关系的特征
7.1.1 因变量(Y)与自变量(X)X，Y来说，当X值确定后，Y值按照 一定的规律唯一确定，即形成一种精确的关系。
（1）欧姆定律：I = U/R； （2）气体体积、压强与绝对温度的关系：PV =RT； （3）速度与距离、时间的关系：v = s/t。
整理ppt
4
第七章 试验数据的回归分析
其中，(X i,Yi)表示(X,Y)的第i个观测值，β0 , β1为
参数，β0+β1Xi为反映统计关系直线的分量，ε i 为反映在统计关系直线周围散布的随机误差ε i～
N (0,σ2)。
整理ppt
14
第七章 试验数据的回归分析
对于误差项，在回归分析中有如下假设：
1）误差项是随机变量，它的期望值为0。
斜率
E(1)1 E() 0
E(y)01x
• 不难看出，简单线性回归方程的图形是一条直线。这条直 线被称为总体回归直线。
• 各实际观测点与总体回归线垂直方向的间隔，就是随机误 差项ε，即
yE(y)
整理ppt
16
第七章 试验数据的回归分析
7.2.5估计一元线性回归方程
•
在实践中，参数往往是未知的，需要用样本数据进行估计。
根据样本数据拟合的直线，称为样本回归直线。 截距
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Xi Xபைடு நூலகம்
和 Yi Y
sX
sY
把相应的离差同时相乘并求和时, 得到一个联合
指标:
X is X X Y is Y Y
(X iX )(i Y Y ) sX sY
这个指标具有下面的性质:
1．如果大的X 值与大的Y 值相联系，小的X 值与小的
Y 值相联系，那么 (Xi X) 和 (Yi Y) 二者符号相 同，在公式中它们的乘积为正． X 和 Y 之间有正相关
希腊字母ρ(“rho”) 表示变量 X 和 Y 之间真实的 总体关系．
相关系数无单位, 取值范围为－1≤r≤1，r 的符号表 示相关方向，r>0称为正相关，r<0称为负相关。r的绝 对值表示两个变量间直线关系的密切程度，r的绝对值 为1表示完全相关。生物界由于影响因素众多，很少完 全相关，r 值多界于-1与1之间.
r (X iX)Y (iY)
X Y X n Y
lXY
(n1)sXsY
X2 n X2
Y2 n Y2
lXX lYY
即 r 是 X 和 Y 的修正积差除 以 X 和 Y 的修正平方和乘积
r lXY . lXX lYY
的平方根．注意 r 是参数ρ的 估计值，参数ρ定义为 :
XY XY
1.散点图
图7.1 a) 图说明X 和Y 之间具有正相关．b) 图说明 X 和 Y 之间 具有负相关. c) 图和d)图说明 X 和 Y 之间没有相关关系
双变量相关分析步骤是先作原始数据的散点图，根 据散点图的提示再作恰当分析，如两变量有直线趋势， 则作直线相关分析。从散点图可初步看出变量分布非 正态时，应考虑作等级相关而不宜作积矩相关。
．
2．如果大的X 值与小的Y 值相联系，小的X 值与大的 Y 值相联系，那么 (Xi X) 和 (Yi Y) 二者符号相 反，在公式里符号为负. 于是我们就说这种情形里 X 和 Y 之间有负相关
如果我们用 n－1 除公式, 就得到一个新指标, 用 r 表示 , 首先它满足两个条件且范围从－1到+1（我们将 在随后验证）. 有
例6.1 测得某地10名三岁儿童的体重与体表面积如下， 试计算样本相关系数r，并检验其是否来自ρ＝0的总体
体重x(kg): 11.0 11.8 12.0 12.3 13.1 13.7 14.4 14.9 15.2 16.0
面积y(10-1m2): 5.283 5.299 5.358 5.602 5.292 6.014 5.830 6.102 6.075 6.411
相关与回归分析的种类很多，按变量个数划分， 有一个 x 一个 y 的简单相关与回归分析，多个 x 和 一个 y 的多元相关与回归分析，以及多个 x 多个 y的 典型相关。本章介绍最简单的两变量间的直线相关 与回归，称为一元线性相关与回归
第一节 直线相关
相关分析用于测量观察到的任何一对变量之间的联 合强度，我们主要关心两个变量是否互相依赖或共同变 化．这里我们没有把变量表示成为其它函数，像回归分 析一样并未暗示Y依赖于X ．X和Y二者测量有误差并 且我们希望估计这些变量共同变化的程度．见图
与y 的乘积之和Σxy=775.6606, x =13.440, y = 5.7272，x、
y 的样本标准差Sx=1.6635、Sy= 0.4136, 按公式计算相 关系数 r：
r
n i1
XiYi
n(X)(Y)
=（775.660610×13.440×5.7272）/ 1.6635×0.4136]
也可直接用 r 作检验统计量, 用自由度df＝n-2, 查附 表16, 相关系数 r 界值表, 得出 r 界值, 若│r│>rα，(df)， 则P<α, 可按α检验水准拒绝H0, 认为 x 与 y 之间有直线 相关关系, ρ≠0. 反之│r│越小, P值越大, 若│r│< rα，(df) ， 则P>α, 按α检验水准不能拒绝H0, 从而认为x、y之间无 直线相关关系。
并非任何有联系的两个变量都是直线联系。例如， 血压很高的人和很低的人死亡率均较高，而中等血压 的人死亡率较低，死亡率和血压之间有如图7-1(h)所示 曲线关系，不适合作直线相关分析。
2. 积矩相关系数:Pearson积差相关系数, 简称相关系数。 表示两个变量间直线关系密切程度和方向的统计指标。
用 r 表示，总体相关系数用ρ表示，r 是ρ的点估计。 考虑 X 和 Y 的标准正态离差:
H0：总体相关系数ρ＝0，体重与体表面积间无直线相 关关系；H1：ρ≠0。α＝0.05。
在直角坐标系上画出散点图, 有直线趋势, 故进行直
线相关分析. 使用程序型计算器时, 在线性回归(LR)工
作方式下, 成对地输入x 与y 后, 可直接输出r= 0.9568。
无程序型计算器和计算机时, 用一般计算器可求出n对x
[（10-1）
(n1)SX SY =5.92492/6.1922= 0.9568。
以r＝0.9572作统计 量, 用自由度df＝10-2 ＝8, 查附表16得界值 r0.01(8)＝0.765, 统计量r >r0.01, P<0.01, 按α＝ 0.05水准拒绝H0, 接受 H1, 可以认为某地三岁 儿童体重(kg)与体表面 积(10－1m2)呈正向直 线相关。
积差相关系数 r 只适用于双变量正态分布资料, 否则 应先作变量变换, 使之正态化, 然后用变换后的数值计 算积差相关系数。
二、积矩相关系数的假设检验
ρ=0表示总体中两变量 x 和 y 无直线相关关系。(注 意: 如果 x 和 y 独立, 即 x 和 y 无相关关系, 则ρ= 0但 ρ= 0时，并不能说明x 与 y 一定无相关关系). 因ρ是一 个客观存在的理论值，一般无法获得，在实际问题中 ，常通过用 r 来推断两变量 x 和 y 有无直线相关关系 。当由r≠0时，因为存在抽样误差，不能认为ρ≠0，所 以，判断x 和y 是否线性相关，需要检验r是否来自ρ ＝0的总体，称为相关系数的假设检验。
从服从双变量正态分布的X, Y 和ρ＝0的总体中每次随 机抽取样本含量相同的样本, r 随样本的不同而不同，是 一个随机变量, 其分布接近正态分布时, r 的标准差为Sr：
1 r2 Sr n 2
H0 ：ρ=0 Ha ：ρ≠0
r r
t
,
sr
1r2
n2
服从自由度df= n－2 的 t 分布, 所以, 可用来检 验样本相关系数 r 是否 来自ρ＝0 的总体.