习题 第三章数据分析初步小结复习【慕联】初中完全同步系列浙教版数学八年级下册

浙教版2022-2023学年数学八年级下册第3章 数据分析初步（解析版）3.3方差和标准差【知识重点】在评价数据的稳定性时，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标. 一、方差：一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数[]222212)()()(1x x x x x x nS n -+⋅⋅⋅+-+-=叫做这组数据的方差.方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定. 二、标准差:一组数据的方差的算术平方根[]22221)()()(1x x x x x x nS n -+⋅⋅⋅+-+-=称为这组数据的标准差. 即2S S =【经典例题】【例1】数据-1，0，2，3，1的方差是 ，标准差是 . 【答案】2；√2【解析】 -1，0，2，3，1的 平均数为：（ -1+0+2+3+1）÷5=1， 其方差为：[(-1-1)2+(0-1)2+(2-1)2+(3-1)2+(1-1)2]÷5=2； 其标准差为：√2. 故答案为：2，√2。

【分析】根据平均数的计算方法算出这组数的平均数，再算出这组数据的每一个数据与其平均数的差的平方和的平均数，就是这组数据的方差，最后算出方差的算术平方根即可得出其标准差。

【例2】我市射击队为了从甲、 乙 两名运动员中选出一名运动员参加省运动会比赛，组织了选拔测【答案】解：甲的平均成绩是： 15（10＋9＋8＋9＋9）＝9.乙的平均成绩是： 15（10＋8＋9＋8＋10）＝9.甲成绩的方差是：s 2甲 ＝[（10－9）2＋（9－9）2＋（8－9）2＋（9－9）2＋（9－9）2]÷5＝0.4. 乙成绩的方差是：s 2乙 ＝[（10－9）2＋（8－9）2＋（9－9）2＋（8－9）2＋（10－9）2]÷5＝0.8.∵s 2甲<s 2乙 ，∴ 甲的成绩较稳定，∴ 应选择甲运动员参加省运动会比赛.【分析】先分别计算出甲和乙成绩的平均数，再利用方差公式求出甲和乙成绩的方差，最后根据方差的大小进行判断即可.【例3】已知一组数据 x 1 ， x 2 ， x 3 的平均数和方差分别是2， 23，那么另一组数据 2x 1−1 ，2 x 2−1 ， 2x 3−1 的平均数和方差分别是 ， ．【答案】3；83【解析】①∵数据x 1，x 2，x 3的平均数为2，方差为23， ∴13(x 1+x 2+x 3)=2，13[(x 1−2)2+(x 2−2)2+(x 3−2)2]=23， ∴13(2x 1−1+2x 2−1+2x 3−1)=23(x 1+x 2+x 3)−1=3， ∴数据2x 1-1，2x 2-1，2x 3-1的平均数为3；②∵13[(2x 1−1−3)2+(2x 2−1−3)2+(2x 3−1−3)2]，=43[(x 1−2)2+(x 2−2)2+(x 3−2)2]=83， ∴数据2x 1-1，2x 2-1，2x 3-1的方差为83，故答案为：3、83. 【分析】根据平均数和方差的计算公式得出13(x 1+x 2+x 3)=2，13[(x 1−2)2+(x 2−2)2+(x 3−2)2]=23，从而得出13(2x 1−1+2x 2−1+2x 3−1)=23(x 1+x 2+x 3)−1=2，13[(2x 1−1−3)2+(2x 2−1−3)2+(2x 3−1−3)2]，=43[(x 1−2)2+(x 2−2)2+(x 3−2)2]=83，即可得出答案. 【结论】一组数据的每个数据加上或减去同一常数，则平均数也加上或减去这个常数，而方差不变；一组数据的每个数据扩大到原来的n 倍或缩小为原来的1n ，则平均数也扩大到原来的n 倍或缩小为原来的1n ，而方差扩大到原来的n 2倍或缩小为原来的1n 2.【基础训练】1．甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均数都是8环，方差分别是S 甲2=0.4，S 乙2=1.5，则两人射击成绩波动情况是（ ） A ．甲波动大 B ．乙波动大 C ．甲、乙波动一样大 D ．无法比较 【答案】B【解析】∵S 甲2=0.4，S 乙2=1.5， ∴S 甲2＜S 乙2，∴甲的成绩较稳定，波动较小，乙的成绩波动较大， 故答案为：B2两组数据的方差分别是甲、乙，则甲与s 乙2的大小关系为（ ）A ．s 甲2<s 乙2B ．s 甲2>s 乙2C ．s 甲2≤s 乙2D ．s 甲2≥s 乙2 【答案】B【解析】x ̅甲=15×（11+12+13+14+15）=13，S 甲2=15×[（11-13）2+（12-13）2+（13-13）2+（14-13）2+（15-13）2]=2， x ̅乙=15×（12+12+13+14+14）=13， S 乙2=15×[（12-13）2+（12-13）2+（13-13）2+（14-13）2+（14-13）2]=0.8， ∵2＞0.8，∴s 甲2>s 乙2．故答案为：B ．3．为了从四名同学中选出一人参加计算机编程比赛，对他们进行了多次测试，并对每个人的测试成【答案】C【解析】根据题意得：学生二与学生三成绩的平均数高于学生一与学生四的，且学生三成绩的方差低于学生二的，∴应选的同学是学生三． 故答案为：C4．在方差的计算公式S 2=110[(x 1−20)2+(x 2−20)2+...+(x 10−20)2]中，数字10和20表示的意义分别是（ ）A ．数据得个数和平均数B ．数据的方差和平均数C ．数个数和方差D ．以上都不对 【答案】A【解析】根据方差计算公式可得：10表示的意义是数据的个数，20表示的意义是平均数， 故答案为：A ．5．若x 1，x 2，x 3，⋯，xn 的平均数为8，方差为2，则关于x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，……，xn ＋2，下列结论正确的是（ ） A ．平均数为8，方差为2 B ．平均数为8，方差为4 C ．平均数为10，方差为2 D ．平均数为10，方差为4 【答案】C【解析】样本x 1+2，x 2+2，x 3+2，…xn+2，对于样本x 1，x 2，x 3，…xn 来说， 每个数据均在原来的基础上增加了2，根据平均数、方差的变化规律得： 平均数较前增加2，而方差不变，即：平均数为8+2=10，方差为2， 故答案为：C ．6．将数据a 、b 、e 、d 、e 、f 的每一个数据都增加5，则下列说法中错误的是（ ） A ．平均数增加5 B ．中位数增加5 C ．众数增加5 D ．方差增加5 【答案】D【解析】∵数据a 、b 、e 、d 、e 、f 的每一个数据都增加5， ∴中位数增加5，众数增加5，故B 、C 正确，不符合题意； 根据题意得：新数据为：a+5，b+5，c+5，d+5，e+5，f+5，原数据的平均数为x ̅=16(a +b +c +d +e +f)，∴a +b +c +d +e +f =6x̅，∴新数据的平均数为16(a +5+b +5+c +5+d +5+e +5+f +5)=16(a +b +c +d +e +f +30) =16(6x̅+30)=x̅+5，即平均数增加5，故A 正确，不符合题意；原数据的方差为S 2=16[(a −x ̅)2+(b −x ̅)2+(c −x ̅)2+(d −x ̅)2+(e −x ̅)2+(f −x ̅)2]，新数据的方差为16[(a +5−x ̅−5)2+(b +5−x ̅−5)2+(c +5−x ̅−5)2+(d +5−x ̅−5)2+(e +5−x ̅−5)2+(f +5−x ̅−5)2]=16[(a −x ̅)2+(b −x ̅)2+(c −x ̅)2+(d −x ̅)2+(e −x ̅)2+(f −x̅)2]=S 2 ， ∴方差不变，故D 错误，符合题意； 故答案为：D.7．小明利用公式S 2=1n[（5-x ）2+（8-x ）2+（4-x ）2+（7-x ）2+（6-x ）2]计算5个数据的方差，则这5个数据的标准差S 的值是 。

浙教版八下数学第3章《数据分析初步》期末复习试题参考答案一、单选题1.【答案】 B2.【答案】 B3.【答案】 A4.【答案】 C5.【答案】 C6.【答案】 C7.【答案】 C 8.【答案】 D 9.【答案】 B 10.【答案】 C 11.【答案】 C 12.【答案】C二、填空题13.【答案】 5.514.【答案】 4.8或5或5.215.【答案】众数16.【答案】 5017.【答案】1618.【答案】1.6三、解答题19.【答案】解：（Ⅰ）= （6+8+9+9+8）=8，= （10+7+7+7+9）=8；（Ⅱ）S2甲= [（6﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2]=1.2，S2乙= [（，10﹣8）2+（7﹣8）2+（7﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2]=1.6，∵S2甲＜S2乙，∴甲种小麦的长势比较整齐．20.【答案】（1）解：由条形统计图可得，女生进球数的平均数为：（1×1+2×4+1×3+4×2）÷8=2.5（个）；∵第4，5个数据都是2，则其平均数为：2；∴女生进球数的中位数为：2（2）解：样本中优秀率为：，故全校有女生1200人，“优秀”等级的女生为：1200×=450（人），答：“优秀”等级的女生约为450人21.【答案】（1）12件；12.5件；13.25件（2）解： 75%×16=12（人），月销售件12件以下恰好4人，所以应该以众数12作为月销售件数的定额.22.【答案】（1）由图可知：6天用水量为：1.2，1，0.6，0.8，0.8，0.4，将这组数据从大到小排列为：1.2，1，0.8，0.8，0.6，0.4，∴这组数据的中位数是0.8，众数是0.8.（2）依题可得： 4月份的用水量为24吨，则5月份用水量超过20吨而少于30吨，6月份用水量超过30吨，设5月份用水量为x吨，6月份用水量为y吨，依题可得：，解得：.答: 该用户在5月份用水量为26吨，6月份用水量为34吨.23.【答案】（1）20（2）解：设需加入甲种糖果x千克，则加入乙种糖果（100﹣x）千克，根据题意得：≤20﹣2，解得：x≥80．答：最少需要加入甲种糖果80千克．24.【答案】（1）解：根据题意得：得4分的学生有50×50%=25（人），答：得4分的学生有25人（2）解：根据题意得：平均分= =3.7（分）（3）解：设第二次测试中得4分的学生有x人，得5分的学生有y人，根据题意得：，解得：，答：第二次测试中得4分的学生有15人，得5分的学生有30人25.【答案】（1）8；20；2.0≤x＜2.4（2）解：由（1）知，b=20，补全的频数分布直方图如图所示；（3）解：1000×=200（人），答：该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有200人。

第3章数据分析初步 3.2 中位数和众数1．七(1)班举行投篮比赛，每人投5球．如图是全班学生投进球数的扇形统计图，则投进球数的众数是( )球A. 3球B. 4球C. 5球D. 2球2. 某地区连续5天的最高气温（单位：℃）分别是30，33，24，29，24.这组数据的中位数是( )A.29B.28C.24D.93.某班七个兴趣小组的人数分别为3,3,4，x,5,5,6，已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数是( )．A. 2B. 4C. 4.5D. 54.100名学生进行20秒钟跳绳测试，测试成绩统计如下表：A.40＜m≤50B.50＜m≤60C.60＜m≤70D. x＞705. 某6人活动小组为了解本组成员的年龄情况，作了一次调查，统计的年龄如下(单位：岁)：12，13，14，15，15，15，则这组数据中的众数，平均数分别为( )A．12，14 B．12，15 C．15，14 D．15，136. 在一次中学生田径运动会上，参加跳高的15名运动员的成绩如下表：那么这些运动员跳高成绩的众数是( )A．4 B．1.75 C．1.70 D．1.657. 下列说法错误的是( )A．给定一组数据，那么这组数据的平均数一定只有一个B．给定一组数据，那么这组数据的中位数一定只有一个C．给定一组数据，那么这组数据的众数一定只有一个D．如果一组数据存在众数，那么该众数一定是这组数据中的某一个8．若一组数据3，x，4，5，6的众数是6，则这组数据的中位数是( ) A．3 B．4 C．5 D．69. 如表为八(1)班全部43名同学某次数学测验成绩的统计结果，则下列说法正确的是( )A.男生的平均成绩大于女生的平均成绩B．男生的平均成绩小于女生的平均成绩C．男生成绩的中位数大于女生成绩的中位数D．男生成绩的中位数小于女生成绩的中位数10. 甲、乙两组各有12名学生，组长绘制了本组5月份家庭用水量的统计图表，如图：甲组12户家庭用水量统计表比较5月份两组家庭用水量的中位数，下列说法正确的是( )A．甲组比乙组大 B．甲、乙两组相同C．乙组比甲组大 D．无法判断11. 若一组数据 1，1，2，3，x的平均数是3，则这组数据的众数是________．12. 数据2，2，3，4，5的中位数是________．13. 为了了解某班数学成绩情况，抽样调查了13份试卷成绩，结果如下：3个140分，4个135分，2个130分，2个120分，1个100分，1个80分．则这组数据的中位数为____________分．14. 已知一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是_________.15. 一个样本为1，3，2，2，a，b，c，已知这个样本的众数为3，平均数为2，则这组数据的中位数为_________.16. 有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取前10位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的_________数.17. 根据PM2.5空气质量标准：24小时PM2.5均值在0～35(微克/立方米)的空气质量等级为优．将环保部门对我市PM2.5一周的检测数据制作成如下统计表，这组PM2.5数据的中位数是_________微克/立方米18. 某市某超市五月份的第一周鸡蛋价格分别为7.2,7.2,6.8,7.2,7.0,7.0,6.6（单位：元/kg）则该超市这一周鸡蛋价格的众数为。

浙教版八下数学第3章《数据分析初步》期末复习试题及答案考试时间：120分钟满分：120分一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1.我市五月份连续五天的最高气温分别为20、20、21、23、26（单位：），这组数据的中位数和众数分别是（）A. 22,26B. 21,20C. 21,26D. 22,202.有20个数据，其中8个数的平均数为11，另12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是（）A. 11.5B. 11.6C. 23.2D. 2323.某次数学趣味竞赛共有10道题目，每道题答对得10分，答错或不答得0分．人数 2 5 13 10 7 3成绩（分） 50 60 70 80 90 100全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（）A. 75，70B. 70，70C. 80，80D. 75，804.下列说法正确的是（）A. 一组数据的中位数一定等于该组数据中的某个数据B. 一组数据的平均数和中位数一定不相等C. 一组数据的众数可以有几个D. 一组数据的方差一定大于这组数据的标准差5.为筹备班级的初中毕业联欢会, 班长对全班同学爱吃哪几种水果作民意调查, 从而最终决定买什么水果。

下列调查数据中最值得关注的是（）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差6.甲，乙，内，丁四名同学在学校演讲选拔赛的成绩平均数方差s2如下表所示：甲乙丙丁平均数8.0 8.0 8.5 8.5方差s2 3.5 15.5 3.5 16.5( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7.七（1）班的6位同学在一节体育课上进行引体向上训练时，统计数据分别为7，12，10，6，9，6则这组数据的中位数是（）A. 6B. 7C. 8D. 98.某区“引进人才”招聘考试分笔试和面试．其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数作为总成绩．吴老师笔试成绩为90分．面试成绩为85分，那么吴老师的总成绩为（）分．A. 85B. 86C. 87D. 889.某校在“爱护地球，绿化祖国”的创建活动中，组织了100名学生开展植树造林活动，其植树情况整理如下表：则这100名学生所植树棵树的中位数为（）A. 4B. 5C. 5.5D. 610.甲、乙两名运动员进行射击练习，每人射击5次，成绩（单位：环）如下表所示：下列说法错误的是（）第1次第2次第3次第4次第5次平均成绩甲7 ▲8 10 8 8乙7 8 8 9 8 ▲A. 甲运动员的第2次射击成绩为7环B. 乙运动员的平均射击成绩为8环C. 甲运动员这5次射击成绩的方差为6D. 乙运动员的成绩更稳定11.如果两组数据x 1，x2．．．x n；y1，y2．．．y n的平均数分别为和，那么新的一组数据2x1+y1，2x2+y2．．2x n+y n的平均数是（）A. 2B.C. 2 +D.12.根据下表中的信息解决问题：数据37 38 39 40 41频数8 4 5 a 138，则符合条件的正整数a的取值共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.13.已知一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数为________.14.一组数据为1，3，5，12，a，其中整数a是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是________.15.为筹备班级里的新年晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查，最终买什么水果，该由调查数据的________ 决定（在横线上填写：平均数或中位数或众数）.16.重庆市上周每天的最高气温（单位：）分别为25,27,29,27，25,23,25，则这组数据的中位数和众数之和为________．17.已知：一组自然数1，2，3…k，去掉其中一个数后剩下的数的平均数为16，则去掉的数是________ ．18.已知数据，，，的方差是，则，，，的方差为________.三、解答题（本大题有7小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.19.（8分）为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取5株麦苗，测得苗高（单位：cm）如下：甲：6、8、9、9、8；乙：10、7、7、7、9．（Ⅰ）分别计算两种小麦的平均苗高；（Ⅱ）哪种小麦的长势比较整齐？为什么？20（8分）.体育课上，老师为了解女学生定点投篮的情况，随机抽取8名女生进行每人4次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示．（1）求女生进球数的平均数、中位数；（2）投球4次，进球3个以上（含3个）为优秀，全校有女生1200人，估计为“优秀”等级的女生约为多少人？21.（8分）某公司销售部有营业员16人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这16人某月的销售量如下：每人销售件数 10 11 12 13 14 15人数 1 3 4 3 3 2________，中位数是________,平均数是________.（2）若要使75%的营业员都能完成任务，应选什么统计量（平均数、中位数和众数）作为月销售件数的定额？请说明理由.22.（9分）为了提倡节约用水，某市自来水制定了二级收费标准，具体收费如下表：每月用水量a吨第一级用水量a≤20第二级用水量20＜a≤30第三级用水量a＞30水费（元/吨） 2.4 3.5 4.5(注：第二，三级水费均为超出部分的水费)．该市某用户在4月1日到6日这6天的用水量如下图所示：（1）求该用户在这6天的用水量的众数和中位数．（2）该用户4月份平均每天用水量与这6天的平均每天用水量相同．由于天气变热，4，5，6月份的用水量逐月增加．若5，6两个月合计用水60吨，共缴水费170元，求该用户在5，6月分别用了多少吨水?23.（9分）有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和数量如下表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价．甲种糖果乙种糖果丙种糖果单价（元/千克）15 20 25千克（千克）30 40 30（2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中再加入甲、乙两种糖果共100千克，则最少需要加入甲种糖果多少千克？24.（12分）本学期开学初，学校体育组对九年级某班50名学生进行了跳绳项目的测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图．根据统计图解答下列问题：（1）本次测试的学生中，得4分的学生有多少人？（2）本次测试的平均分是多少分？（3）通过一段时间的训练，体育组对该班学生的跳绳项目进行第二次测试，测得成绩的最低分为3分，且得4分和5分的人数共有45人，平均分比第一次提高了0.8分，问第二次测试中得4分、5分的学生各有多少人？25.（12分）为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．学生立定跳远测试成绩的频数分布表分组频数1.2≤x＜1.6 a1.6≤x＜2.0 122.0≤x＜2.4 b2.4≤x＜2.8 10请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：（1）表中a=________，b=________，样本成绩的中位数落在________范围内；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）该校九年级共有1000名学生，估计该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有多少人？浙教版八下数学第3章《数据分析初步》期末复习试题参考答案一、单选题1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】C 8.【答案】D 9.【答案】B 10.【答案】C 11.【答案】C 12.【答案】C二、填空题13.【答案】5.514.【答案】4.8或5或5.215.【答案】众数16.【答案】5017.【答案】1618.【答案】1.6三、解答题19.【答案】解：（Ⅰ）= （6+8+9+9+8）=8，= （10+7+7+7+9）=8；（Ⅱ）S2甲= [（6﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2]=1.2，S2乙= [（，10﹣8）2+（7﹣8）2+（7﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2]=1.6，∵S2甲＜S2乙，∴甲种小麦的长势比较整齐．20.【答案】（1）解：由条形统计图可得，女生进球数的平均数为：（1×1+2×4+1×3+4×2）÷8=2.5（个）；∵第4，5个数据都是2，则其平均数为：2；∴女生进球数的中位数为：2（2）解：样本中优秀率为：，故全校有女生1200人，“优秀”等级的女生为：1200×=450（人），答：“优秀”等级的女生约为450人21.【答案】（1）12件；12.5件；13.25件（2）解：75%×16=12（人），月销售件12件以下恰好4人，所以应该以众数12作为月销售件数的定额.22.【答案】（1）由图可知：6天用水量为：1.2，1，0.6，0.8，0.8，0.4，将这组数据从大到小排列为：1.2，1，0.8，0.8，0.6，0.4，∴这组数据的中位数是0.8，众数是0.8.（2）依题可得：4月份的用水量为24吨，则5月份用水量超过20吨而少于30吨，6月份用水量超过30吨，设5月份用水量为x吨，6月份用水量为y吨，依题可得：，解得：.答: 该用户在5月份用水量为26吨，6月份用水量为34吨.23.【答案】（1）20（2）解：设需加入甲种糖果x千克，则加入乙种糖果（100﹣x）千克，根据题意得：≤20﹣2，解得：x≥80．答：最少需要加入甲种糖果80千克．24.【答案】（1）解：根据题意得：得4分的学生有50×50%=25（人），答：得4分的学生有25人（2）解：根据题意得：平均分= =3.7（分）（3）解：设第二次测试中得4分的学生有x人，得5分的学生有y人，根据题意得：，解得：，答：第二次测试中得4分的学生有15人，得5分的学生有30人25.【答案】（1）8；20；2.0≤x＜2.4（2）解：由（1）知，b=20，补全的频数分布直方图如图所示；（3）解：1000×=200（人），答：该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有200人。