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走进数学思维——听郑毓信教授的学术报告2009年10月31日，我们带着一种敬仰到西南大学聆听了南京大学哲学系教授、博士生导师郑毓信教授的报告——《走进数学思维》。
郑老风趣幽默又不失严谨,他以极富魅力智慧的讲座传递着最前沿的学科知识，数学文化和人文素养。
郑老的报告用精辟深邃的理论和浅显易懂的语言，深入浅出的引发了我们对“走进数学思维”这一主题的认识和思考，使我从中收益非浅。
数学思维是一个持续的热点，现实中的思想障碍与问题是：第一，由于小学数学的内容较为简单，因此就不可能很好地体现数学思维；第二，在现实中我们可经常看到“简单组合”、“随意拔高”等作法。
所以当务之急是如何针对小学数学的实际情况、包括具体的教学内容与学生的认知水平更为深入去开展工作。
特别是，概念的清楚界定；如何很好处理具体数学知识内容（包括知识与技能）的教学与数学思维的教学之间的关系。
报告中郑教授分五个部分进行阐述：一、从数学抽象谈起郑老先给我们呈现了几个发人深省的案例，我在这里摘录其一。
（父：“如果你有一个橘子，我再给你两个，你数数看一共有几个橘子？”子：“不知道！在学校里，我们都是用苹果数数的，从来不用橘子。
）“数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种‘解读’。
”数学最基本的特性是抽象性。
抽象性在简单的计算中就已经表现出来。
我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。
我们在学校学的是抽象的乘法表——总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或是苹果的数目乘上苹果的价钱等等。
学会数学思维的首要涵义是学会数学抽象（模式化）。
数学是模式的科学。
这就是指，数学所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。
帮助学生学会数学抽象的关键是应超越问题的现实情境过渡到抽象的数学模式。
（“去情境化”）数学教学必定包括“去情景化、去个人化和去时间化”。
模式化的一个重要手段是引入适当的图形或符号，从而实现与具体情境在一定程度上的分离。
读《数学概念与数学思维的教学》有感
再次读到郑毓信老师的书，依然能够感觉到郑毓信老师对学习、对研究的认真与重视，郑老师将眼光放到了一个更高的层次来审视小学数学的教学：小学数学的教学不仅仅是为了让学生掌握那些知识，会做难题，更重要的是要学会数学思维方法。
为什么小学生要学习数学？是为以后的学习打基础？并不是这样的，小学数学知识，即使是差生等到一定年龄总会无师自通的，那么小学数学究竟要学什么？郑毓信老师给出了答案，小学数学的主要任务是培养学生的数学思维能力，并能够用数学思维去思考解决问题。
我经过一年的教学实践，课堂上也在有意识的渗透数学思维，也在引导孩子们去在生活中运用，但收效甚微，我一直在思考哪里出了问题，读了郑老师的书后，我想我找到了答案，即我没有处理好“学校数学”与“日常数学”的关系。
数学具有抽象性，数学思维是数学知识的精髓和灵魂，是对数学的本质认识，更是一个人数学素养的重要内涵之一。
对于数学教学而言，要将数学思维渗透到数学教学中，就必须潜移默化的以数学知识为载体，找准时机有选择、有目的、有计划的渗透。
如果说想要学生用数学思维去学习数学，去思考问题的话，那么首先老师要先学会用数学思维去教学。
数学教学方法改革之实践与理论思考郑毓信数学教学方法改革之实践与理论思考南京大学哲学系郑毓信教学方法的变革可以被看成新一轮数学课程改革顺利开展的关键所在。
就现实而言，一些新的教学方法得到了积极倡导，如情境设置、自主探索、动手实践、合作学习等；但是，与盲目的追随相比，在此更需要深入的理论学习与分析，从而在理论指导下更为自觉地去进行实践，包括切实避免各种可能的片面认识与做法上的简单化。
这事实上应被看成数学教学方法改革深入发展的必然要求，即应当努力超越纯粹的“形式追求”转而更为重视相关的实质问题，并能通过积极的教学实践与深入的理论研究不断取得新的进步。
以下从这样的角度对所提及的各种方法作出具体分析；另外，笔者还将从一般角度对数学教学方法改革的问题作出进一步的论述。
一、情境设置与“贴近生活”新课程特别倡导用具体的、有趣味的、富有挑战性的素材引导学生投入数学活动。
因为，这既可以帮助学生更好地认识数学的意义，对于调动学生学习数学的积极性显然也十分有利。
但是，从教学实践的角度看，在此显然又应提出这样的问题：“情境设置”是否应当被看成数学教学中引入课程内容的唯一合理方法，以致在任何情况下都不应采取其他的方法，即“单刀直入”地直接引出主题？为了回答这一问题，可以先来看下面的教例。
为了引出“平均数”的概念，教师首先设计了这样一个情境。
将学生分成人数相等的两队，通过和学生自由谈话引出：“老师想了解一下咱们班这两队同学的拍球水平，你们说该怎么办？”……在学生谈出自己的不同想法以后，教师结合生活实际肯定了“每队选几个代表拍球”的做法，并在教室中实际组织了如下的活动：学生限时地拍球，教师记录两队中每位同学的拍球个数；然后，教师又提出了如下问题：“现在我们已经知道了两队中每位同学的拍球个数，哪队同学拍球水平高？你有自己的想法吗？”……在独立思考和全班交流后，教师又以游戏者的角色加入其中拍球水平低的一队，从而引出了“在人数不相等的情况下，比什么才能公平”这样一个问题，并“通过辩论”得出了如下的结论：“比较平均每人拍球的个数才公平”。
善于优化“数学教师的基本功”之一郑毓信（人民教育2008 20）摘录《人民教育》第二十期数学思维不可能自发地得以形成，而主要是一个文化继承的过程。
从而，从总体上说，数学学习也必然地有一个“优化”的过程，或者说，数学教师的又一重要职责，是帮助学生很好地实现思维的优化。
显然，从这样的角度去分析，我们也就立即可以看出以下一些做法的错误性，因为，教师在此事实上成了某些调皮学生的“尾巴”，以致未能发挥应有的指导作用。
在一篇题为《新课程中教师怎样关注学生》①的文章中，作者提出了这样的观点：教学工作应当以学生为本，以学生的发展为本，从而，教师在自己的教学工作中也就应当“关注学生的表现，欣赏学生的想法，重视学生的问题，接纳学生的意见，宽容学生的错误，满足学生的需要”。
上述立场无疑是正确的。
但是，我们在此又应防止另外一种倾向，即由忽视学生的发展转而完全放弃了教学所应具有的指导作用。
例如，当教师要求学生从不同角度说出8的各种性质，而学生说出“8是16的儿子”时，教师是否应当仅仅停留于“欣赏”而完全放弃了应有的引导？因为，学生的这一说法明显地具有不确定性和含糊性，而学习数学的主要目的之一就是掌握数学这样一种“自然科学的语言”。
与自然语言相比；自然科学语言的主要优点之一就是具有确定性和精确性。
再例如，当学生提出“被减数与减数完全相同的时候，可以交换它们的位置”日甘，尽管教师可以而且应当“为学生敢于向老师挑战而感到欣慰”（因为教师在当时所强调的是：“在减法中，被减数与减数绝对不可以交换位置。
”）。
但是，学生的这一提法是否真的可以被看成“缜密的思维”，进而，在被减数与减数能否交换”这样一些十分重要而学生又特别容易弄错的地方，教师又是否应当“不加思考地”认错？为了更为深刻地揭示“思维优化”的内涵，以下再联系数学思维的特征对此做出进一步的分析。
如前所述（见《善于举例》与《善于提问》两文，分别载《人民教育》2008年第18、19期），特殊的研究视角或抽象内容正是数学思维的一个主要特征：数学所关注的只是事物和现象的量性特征，但却完全舍弃了对象的质的内容。
在郑毓信教授的《数学教学的关键》一书中，作者深入探讨了数学教学的核心问题，提出了许多令人深思的观点和理念。
通过阅读和思考，我对这个主题有了一些个人的理解和心得体会。
郑毓信教授在书中指出了数学教学的核心问题，即如何激发学生的数学兴趣和提高他们的数学素养。
在这一点上，我深有同感。
数学是一门需要逻辑思维和创造性思维的学科，而这种思维方式并不是天生就具备的，需要通过教学来培养和加强。
激发学生的兴趣和提高他们的数学素养是数学教学中最基本、最重要的任务。
郑毓信教授提出了许多有效的数学教学方法和策略，例如启发式教学、问题解决式教学等。
这些方法在实践中都被证明是非常有效的，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
这也启发了我对数学教学方式的反思和探索，让我意识到数学教学可以是如此丰富多彩，而不仅仅局限于传统的板书讲解。
另外，在书中，郑毓信教授还强调了数学教学中的跨学科性，即数学与其他学科的交叉应用和融合，这一点也给我留下了深刻的印象。
数学是一门智力活动，它和其他学科并不是孤立的，而是相互联系、相互渗透的。
数学教学应该注重培养学生的跨学科思维能力，让他们能够将数学知识应用到实际问题中，更好地理解和把握数学的本质。
郑毓信教授的《数学教学的关键》让我对数学教学有了更深入的思考和理解。
通过阅读和思考，我认识到数学教学的核心是激发学生的兴趣和提高他们的数学素养，同时也意识到数学教学是一个丰富多彩的过程，需要不断地探索和实践。
希望在未来的数学教学中，我能够充分运用和落实书中所提出的理念和方法，为学生的数学学习和成长提供更好的帮助。
在数学教学的过程中，激发学生的兴趣是至关重要的。
学生对数学的兴趣往往决定了他们学习的动力和效果。
然而，激发学生的兴趣并不是一件容易的事情，尤其是对于那些对数学学习抱有抵触情绪的学生。
教师需要不断寻找新的方法和途径，以激发学生对数学的兴趣。
在郑毓信教授的书中，启发式教学被提出为一种有效的教学方法。
这种教学方法强调通过引发学生自主探索和发现的方式来引发他们的兴趣。
学会思维：让数学“核心素养”扎根作者：曹俊来源：《数学教学通讯·小学版》2020年第12期摘要：数学思维远比数学知识更为重要、更有意义。
发展学生思维，要给学生提供有效支点，要给学生渗透思想方法，要引导学生进行积极的反思。
教学中，不断发展学生思维能力、提升学生思维品质，通过让学生学会思维，让学生的数学“核心素养”扎根。
关键词：小学数学;学会思维;核心素养数学是学生思维的体操，“帮助学生学会数学地思维”被认为是数学教学的应有之义。
南京大学郑毓信教授深刻地指出，“数学教学的主旨应当从‘学会数学地思维’向‘通过数学学习学会思’进行转变，从而让学生的数学学习更清晰、更深入、更全面、更合理”。
思维是学生学习力的内核，帮助学生“学会思维”能让学生的数学核心素养扎根。
■一、学会思维，要给学生提供有效支点在小学数学教学中，“学会思维”主要是引导学生更加合乎逻辑、更有条理、更严密、更精准、更深入地进行思考。
有方法、善质疑、会表达是学会思维的基本特征。
引导学生学会思维，教师不仅要赋予学生思维时空，还要提供学生思维支点，也就是要提供学生思维的载体、平台，对学生的思维进行引导、启发。
通过给学生提供思维的载体，让学生积极地思维、能动地思维、有效地思维。
比如当学生的数学思维遭遇障碍、困惑时，教师可以引导学生画图，可以引导学生操作，可以引导学生举例，可以进行适度追问，可以让学生对问题进行记录表征等。
通过教师的助力，为学生数学思维提供帮助。
比如教学《三角形的分类》（苏教版四年级下册），笔者用“大问题”启迪学生思维：将三角形按照角、边进行分类，可以怎样分？可以用集合图来表示吗？应该说，“大问题”让学生的思维无拘无束、纵横驰骋。
学生根据“角的分类”将三角形分成了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形;根据“边的分类”将三角形分成了有两条边相等的等腰三角形、有三条边相等的等边三角形以及三条边都不相等的不等边三角形，并分别画出了示意图、集合图。
走进数学思维——听郑毓信教授的学术报告2009年10月31日，我们带着一种敬仰到西南大学聆听了南京大学哲学系教授、博士生导师郑毓信教授的报告——《走进数学思维》。
郑老风趣幽默又不失严谨,他以极富魅力智慧的讲座传递着最前沿的学科知识，数学文化和人文素养。
郑老的报告用精辟深邃的理论和浅显易懂的语言，深入浅出的引发了我们对“走进数学思维”这一主题的认识和思考，使我从中收益非浅。
数学思维是一个持续的热点，现实中的思想障碍与问题是：第一，由于小学数学的内容较为简单，因此就不可能很好地体现数学思维；第二，在现实中我们可经常看到“简单组合”、“随意拔高”等作法。
所以当务之急是如何针对小学数学的实际情况、包括具体的教学内容与学生的认知水平更为深入去开展工作。
特别是，概念的清楚界定；如何很好处理具体数学知识内容（包括知识与技能）的教学与数学思维的教学之间的关系。
报告中郑教授分五个部分进行阐述：一、从数学抽象谈起郑老先给我们呈现了几个发人深省的案例，我在这里摘录其一。
（父：“如果你有一个橘子，我再给你两个，你数数看一共有几个橘子？”子：“不知道！在学校里，我们都是用苹果数数的，从来不用橘子。
）“数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种‘解读’。
”数学最基本的特性是抽象性。
抽象性在简单的计算中就已经表现出来。
我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。
我们在学校学的是抽象的乘法表——总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或是苹果的数目乘上苹果的价钱等等。
学会数学思维的首要涵义是学会数学抽象（模式化）。
数学是模式的科学。
这就是指，数学所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。
帮助学生学会数学抽象的关键是应超越问题的现实情境过渡到抽象的数学模式。
读让孩子受益一生的数学思维训练有感最近读《数学思维与小学数学》（郑毓信着），感触颇深。
书中讲到：小学数学，特别是低年级数学教学的一个特殊之处：我们应以数学为素材，也即通过具体数学知识的教学帮助学生学会抽象、类比等一般的思维方法，同时又应当帮助学生超越一般思维走向数学思维，也即初步的领悟到数学思维的特殊性，从而就能在“学会数学的思维”这一方向上迈出坚实的第一步。
只有通过深入的揭示隐藏在数学知识内容背后的思维方法，我们才能真正的做到将数学课“讲活”、“讲懂”、“？讲深”。
这就是指，教师应通过自己的教学活动向学生展现“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识；教师并应帮助学生真正理解有关的教学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；教师在教学中又不仅使学生掌握具体的数学知识，而且也应帮助学生深入领会并逐渐掌握内在的思维方法。
小学生学习数学，是在基本知识的掌握过程中，不断形成数学能力、数学素养，获取多角度思考和看待问题的方法，从而“数学的”思考和解决问题。
基本知识的掌握是途径，多角度的思维方式的获取才是最终目的。
法国教育家第斯多惠说：“一个不好的教师奉送真理，一个好的教师则教人发现真理。
”学生学习数学是一种活动，一种经历，一个过程，活动和过程是不能告诉的，只能参与和体验。
因此，教师要改变以书本知识、教学为中心，以教师传递、学生接受的学习方式，把学习的主动权教给学生使学生在操作体验中获得对知识的真实感受，这是学生形成正确认识，并转化为能力的原动力。
正如华盛顿儿童博物馆墙上醒目的格言：“做过的，浃髓沦肌。
”平日的教学中，面对教师的提问，若是简单的问题，回应的学生比较多，一旦遇上思考性强、有深度的问题就只有个别同学试探性地举起自己的手，多数同学选择沉默，更有甚者，有时教室里鸦雀无声，真的，学生连大气都不敢出. 这是我教六年级上课提问时的情景，每到这时，我的心就开始颤动。
我们教师在课堂上应做两件事：一，要教给学生一定范围的知识，二要使学生变得越来越聪明。
46TeachersJToda,*育思维之能立素养之本——谈低年级学生思维能力的培养◎张晓莺学是思维的体操。
郑毓信教授认为，引导学生学会思考'让学生想得清晰、深入、全面、合理是数学学科所应关注的核心素养。
因此'教师需要在教学过程中引领学生从数学的角度看待问题、用数学的方式思考问题、用数学的方法解决问题'培育数学思维能力'提升数学核心素养。
一、化被动为自觉，诱发主动性思维《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出:学生应当有足够的时间和空间经历自主探究、观察、比较等活动过程，形成积极的学习态度，增强学习数学的信心。
因此，课堂教学应该提供给学生充分的时间和空间，引领学生主动思考并获取相关的知识、方法、经验，从而培养主动性思维。
例如，在教学人教版一下“认识人民币”时，笔者没有直接告诉学生元与角的关系，而是采用“帮老师换零钱"这样的游戏来激发学生的探究欲望，引发学生自觉地投入思考。
笔者出示一张1元的人民币,让学生回答可以兑换成什么样的零钱组合。
学生通过交流与思考想出了不同的兑换方法:有的说可以换2张5角的，有的说可以换10张1角的，有的说可以换5张2角的，也有的说可以换1张5角和5张1角……笔者根据学生的回答适时用加法的形式呈现出各种方法$ 5角'5角=1元,5角+1角+1角'1角+2角=1元……再引导学生观察比较这几个加法算式，学生从中自然地发现元与角的关系：1元=10角。
教师创设愉悦的课堂氛围，引领学生自主投入课堂研究，通过学生的分享交流与思维碰撞，得出多种兑换方法。
在这样的课堂学习氛围中，学生的思维得到了发展，能力得到了提高，既丰富了课堂活动的形式，也能起到促进学生主动学习的作用。
二、从直观到抽象，促发抽象性思维对低年级学生来说，直接感受的形象比抽象的概念更容易引发他们的共鸣。
因此，在数学教学中，教师应立足学生的个性需求，充分发挥直观性思维的优势，引导学生从具体的感知逐步过渡到抽象的概括,从而推动抽象思维的发展。
