(2021年整理)线性代数1-2章精选练习题

第二章一、选择题 1、计算13230102-⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值为（C ） A.-5 B.6 C.3003⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.2902-⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、设,A B 都是n 阶可逆矩阵，且AB BA =，则下列结论中不正确的是（D ） A. 11AB B A --= B. 11A B BA --= C. 1111A B B A ----= D.11B A A B --=3、初等矩阵（A ）A. 都是可逆阵B.所对应的行列式值等于1C. 相乘仍是初等阵D.相加仍是初等阵 4、已知,A B 均为n 阶矩阵，满足0AB =,若()2r A n =-，则（C ） A. ()2r B = B.()2r B < C. ()2r B ≤ D.()1r B ≥二、判断题1、若,,A B C 都是n 阶矩阵，则()k k k k ABC A B C =. （×）2、若,A B 是n 阶反对称方阵，则kA 与A B +仍是反对称方阵.（√）3、矩阵324113A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与矩阵2213B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可进行乘法运算. (√) 4、若n 阶方阵A 经若干次初等变换后变成B ，则A B =. (×)三、填空题1、已知[]456A =，123B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求AB 得_________。

(32)2、已知12n a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（0,1,2,,ia i n ≠= ），则1A -=3、设A 为n 阶方阵，2A =，求TA A的值为_________。

4、设A 为33⨯矩阵，3A =-，把A 按列分块为()123A A A A =,求出132,4,A A A 的值为__________。

四、计算题1、计算()101112300121024--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.解 原式()1292(38)4-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.2、求矩阵100120135A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦的逆矩阵. 解求出10A =-，11201035A ==，1210515A -=-=-，1311113A --==--， 2100035A =-=,2210515A -==--,2310313A -==-,12111n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1212n +3100020A ==,3210010A -=-=-,3310212A -==--故*11001102213110105A A A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.五、证明题设n 阶方阵A 满足3()0A I +=，求证A 可逆，且求1A -.证 由3()0A I +=得32330A A A I +++=,于是2(33)A A A I I ⎡⎤-++=⎣⎦. 令233B A A I =---,则AB =I ,故A 可逆，且1233A A A I -=---.。

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第1章 矩阵 习 题1. 写出下列从变量x ， y 到变量x 1， y 1的线性变换的系数矩阵： （1）⎩⎨⎧==011y x x ； (2) ⎩⎨⎧+=-=ϕϕϕϕcos sin sin cos 11y x y y x x2。

（通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2，b 3的交通联结情况如图所示,每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.3。

设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ,求3AB —2A 和A TB .4. 计算(1) 2210013112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1)1,,(212221211211y x c b b b a a b a a y x5. 已知两个线性变换 32133212311542322yy y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换。

6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ,A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1+…+ a m E . 当f （x )=x 2-5x +3，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3312A 时，求f (A )。

《线性代数》第二章练习题参考答案8、设矩阵A满足A2+A-4E=O，则(A-E)-1=(A+2E) 一、填空题1、设A=⎛ 12 ⎫⎛3-2⎫⎛⎝-13⎪⎪⎭，B= ⎝21⎪⎪⎭，则 3A+2B =⎛ 92⎫⎝111⎪⎭； AB =⎛ 70⎫⎝35⎪⎭；BT= 3⎝-2⎛19-3⎫2、设矩阵A=⎛ -15⎫⎪，8⎪⎝13⎭B=⎛ 31⎫则⎛-614⎫-1 -8⎝-20⎪，⎭3A-B= ⎝59⎪，⎭AB= 11⎪⎪。

⎝88⎪⎭3、设A为三阶矩阵，且A=2，则2A*-A-1=2724、设矩阵A为3阶方阵，且|A|=5，则|A*|=__25____，|2A|=____40_ ⎛⎛3、设A= 120⎫340⎪⎪，B=⎛ 23-1⎫T86⎫ 1810⎪⎝-121⎪⎭⎝-240⎪⎪⎭，则AB=⎪⎝310⎪⎭⎛11⎫4、设A=1 225⎪⎪，且r(A)=2，则t= 4 ⎝11t⎪⎭⎛ 1233⎫5、若A=3-12⎪06-24⎪⎪则r(A)=_2____ ⎝0000⎪⎭6、设矩阵A=⎛ 1-1 ⎫⎛⎝23⎪⎪⎭，B=A2-3A+2E，则B-1= 01⎫ 2⎪⎝-1-1⎪⎭7、设A是方阵，已知A2-2A-2E=O，则(A+E)-1=3E-A2⎫1⎪⎭ 2⎛102⎫9、设A是4⨯3矩阵且r(A)=2，B= 020⎪⎪，则r(AB)=⎝-103⎪⎭⎛10、设A= 100⎫ 220⎪⎪，则(A*)-1=1⎛100⎫A=1 220⎪⎪⎝345⎪⎭A10 ⎝345⎪⎭⎛⎛ 100⎫11、设A= 300⎫ 140⎪⎪，则(A-2E)-1=-11⎪⎝003⎪⎭220⎪⎪（用分块矩阵求逆矩阵) ⎝001⎪⎭⎛⎛ 520⎫1-20⎫0-2500⎪12、设A= 2100⎪⎪001-2⎪，则A-1=0012⎪⎪ 33⎪⎝0011⎪⎪⎭⎪⎝00-11⎪33⎪⎭13、已知A为四阶方阵，且A=12，则3281⎛⎫⎛2n⎫14、设A= 2⎫3⎪⎛22,A2= 32⎪⎪⎛2-1n⎪⎪，An= 3⎪,A-1= 3-1⎝4⎪⎭⎝42⎪⎭⎝4n⎪⎭⎝⎛ 100⎫⎪⎛00⎛15、若A= 230则A*= 18⎫ -1260⎪=1⎪，A-1 1800⎫⎪，-1260⎪⎝456⎪⎭⎝-2-53⎪⎭18⎝-2-53⎪⎪⎭二、单项选择题⎫⎪⎪4-1⎪⎭1、若A2=A，则下列一定正确的是 ( D ) (A) A=O (B) A=I (C) A=O或A=I (D)以上可能均不成立2、设A,B为n阶矩阵，下列命题正确的是（ C ）（A）(A+B)=A+2AB+B；（B）(A+B)(A-B)=A-B； 21（A）a；（B）；（C）an-1；（D）an。

第2章 线性方程组 练习题1、已知1 = ( 1 , 1 , 0 , 1 )T，2 = ( 2 , 1 , 3 , 1 )T ，3 = ( 1 , 1 , 0 , 0 )T ，4 = ( 0 , 1 , 1 ,1 )T ， = ( 0 , 0 , 0 , 1 )T ，（1）求向量组 1，2 ，3，4 的秩，（2）判定 是否可以表为1，2 ，3 ，4 的线性组合，说明理由。

（ 4，可以 ）2、设向量组1 = ( 1 , 1 , 1 )T，2 = ( 1 , 2 , 3 )T ，3 = ( 1 , 3 , t )T ，求（1）当 t 为何值时，1 ，2 ，3 线性无关（2）当 t 为何值时，1，2，3 线性相关此时将 3表为 1 与2的线性组合。

（ t5 时，1，2 ，3 线性无关；t = 5时，1 ，2 ，3 线性相关，且 3 = 1+ 22 ）3、确定 为何值时，向量 = ( 0 , 1 , )T 可以表为向量组1 = (1 ,2 ,3 )T ，2 = ( 2 , 1 ,1 )T ，3 = ( 1 ,1 ,2 )T ，4 = ( 2 , 1 , 1 )T 的线性组合，并求出一个具体表达式。

（ =1； =1 +2 +3 +4）{4、设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111k α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112k α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k 113α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=223k β，讨论 k 为何值时，（1） 不能由1 ，2 ，3 线性表出；（2） 能由 1 ，2 ，3 线性表出，且表示法唯一；（3） 能由 1 ，2，3线性表出，且表示法不唯一，并求出一个具体表示。

（ （1） 2；（2）k1且 k2 ；（3）1 ，=21）5、已知向量组 1 = ( 1 , 0 , 2 , 3 )T ，2 = ( 1 , 1 , 3 , 5 )T，3 = ( 1 , 1 , a+2 , 1 )T ，4 = ( 1 ,2 , 4 , a+8 )T 及= ( 1 , 1 , b+3 , 5 )T ，求（1）a 、b 为何值时， 不能表示成1，2 ，3 ，4的线性组合；（2）a 、b 为何值时， 有 1，2 ，3 ，4 的唯一线性表示式，写出该表示式。

第一章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换一、 判断题（对的打√，错的打×）1.消元法求解线性方程组时只有系数参与运算，未知元并未进行运算。

（ × ）2.消元法求解线性方程组时也可以用初等列变换，因为初等列变换也不会改变方程组的解。

（ × ）3.一个矩阵的行阶梯形不唯一，但行最简形唯一。

（√ ）4.行最简形是矩阵经过初等变换能变到的最简单的形式。

（× ）5.矩阵与其行最简形和标准形等价。

（√ ）6.如果两个矩阵等价，它们一定是同型矩阵。

（ √ ）7.求解线性方程组时所用的变换只有三种。

（√ ）8.同一个矩阵的行阶梯形和行最简形的非零行的行数相同。

（ √ ）二、计算题1.将矩阵23137120243283023743--⎛⎫⎪-- ⎪⎪-⎪-⎝⎭化为行最简形矩阵和标准形。

1221314143213141232232231371202412024120242313701111328303283008891223743237430778111202401111000140014r r r r r r r r r r r r r r r r ↔-------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪----- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪---⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫ ⎪- ⎪→→ ⎪ ⎪⎝⎭132321202412004011110110300014000140000000000r r r r +---⎛⎫⎛⎫⎪⎪--- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭1222(1)10202011030001400000r r r +⨯--⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪⎪⎝⎭-------行最简形3132515122310202100001000001103011030100000014000140001400000000000000c c c c c c c c -++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭543441000010000010000100000010001000000000000c c c c -↔⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭------标准形 2.用矩阵的初等变换解下列线性方程组。

线性代数部分练习题线性代数部分练习题⼀、⾏列式、矩阵的运算 (第⼀、⼆章)1.设a ,b 为实数，且000101ab ba-=--，则（）A.a =0,b =0;B.a =1,b =0;C.a =0,b =1;D.a =1,b =1 2．排列53142的逆序数(53142)τ=（） A ．7 ; B ．6; C ．5 ; D ．43. 计算⾏列式=----32320200051020203（） A.-180; B.-120; C.120; D.1804. 设⾏列式D 1=22221111a c b a a c b a ac b a +++，D 2=222111c b a c b a c b a ，则D 1= ）A ．0;B ．D 2;C ．2D 2;D ．3D 25. 已知⾏列式a52231521-=0，则数a =( )A.-3;B.-2;C.2;D.36. 设⾏列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------=（） A ．-12; B ．-6; C ．6; D ．12 7. 设⾏列式==1111034222,1111304z y x zy x 则⾏列式( )A.32; B.1; C.2; D.38 8. 设⾏列式01110212=-k k ，则k 的取值为（）A.2;B.-2或3;C.0 ;D.-3或29. 设矩阵A =（1，2），B =?4321，C ???? ??=654321则下列矩阵运算中有意义的是（） A ．ACB; B ．ABC; C ．BAC; D ．CBA 10．设A 为三阶⽅阵，且|A |=2，则|-2A |=（） A ．-16; B ．-4; C ．4; D ．1611．设矩阵123456709??=A ，则*A 中位于第2⾏第3列的元素是（）A ．-14;B ．-6;C ．6;D ．1412．设A 是n 阶矩阵，O 是n 阶零矩阵，且2-=A E O ，则必有（）A ．1-=A A ; B ．=-A E ; C ．=A E ; D ．1=A13．下列等式中正确的是（） A ．()222B BA AB A B A +++=+B ．()T T TB A AB =C ．()()22B A B A B A -=+- D ．()A A A A 233-=-14. 设A =?4321，则|2A *|=（） A.-8; B.-4; C.4; D.815. 设A ，B ，C 均为n 阶⽅阵，AB =BA ，AC =CA ，则ABC =（） A ．ACB; B ．CAB; C ．CBA ; D ．BCA16. 设A 为3阶⽅阵，B 为4阶⽅阵，且⾏列式|A |=1，|B |=-2，则⾏列式||B |A |的值为（） A ．-8; B ．-2; C ．2; D ．817. 设矩阵A =-11，B =（1，1）则AB =（）A ．0;B ．（1，-1）;C ．???? ??-11 ;D ．--111118. 设n 阶矩阵A 、B 、C 满⾜ABC =E ，则C -1=( ) A. AB; B. BA; C. A -1B -1; D. B -1A -119.已知2阶⾏列式第1⾏元素为2和1，对应的余⼦式为-2和3，则该⾏列式的值为__________.20.阶⾏列式011101110---=ij a 中元素a 21的代数余⼦式A 21=____________.21. 在四阶⾏列式中，项a 31a 22a 43a 14的符号是____________.22. 在五阶⾏列式中，项a 21 a 32 a 45 a 14 a 53的符号为_____________.23. 已知四阶⾏列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的代数余⼦式依次分别为5，-3，-7，-4，则D=_______24. 设⾏列式304222532D =-，其第3⾏各元素的代数余⼦式之和为____________.25. 已知⾏列式333222111c b a c b a c b a =1,则333333222222111111c b a b a a c b a b a a c b a b a a +--+--+--=______________. 26. ⾏列式11124641636=________.27. 已知3阶⾏列式|A|中第3列元素依次为-1，2，0，它们的余⼦式依次为5，3，-7，则|A|=__________.28. 3阶⾏列式767367949249323123=________.29.设矩阵011001000?? ?= ?A ，则A 2=______．30.111,,2(2),16A B A B A A --==-是两个四阶⽅阵，且则|B |=__________. 31.设A ，B 都是3阶矩阵，且|A |=2，B = -2E ，则|A -1B |=_________. 32.设A 、B 均为三阶⽅阵，|A |=4，|B |=5，则|2AB |=__________. 33.排列12453的逆序数为____________.34.已知A 2-2A -8E =0，则(A +E )-1=____________. 35. 设矩阵A =?-2112，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满⾜BA=B +E ，则|B |=___________. 36. 设A =411023, B =,010201则AB =___________. 37. 已知矩阵A =（1，2，-1），B =（2，-1，1），且C =A T B ，则C 2=__________.38. 设矩阵A =100012021，B =????? ??310120001，则A+2B =_____________.40．计算四阶⾏列式1234123412341234------41. 已知3阶⾏列式1120212x x-中元素12a 的代数余⼦式A 12=2，求元素21a 的代数余⼦式A 21的值.43. 求D =012010122101021046. 计算3112513420111533------47. 计算1 1 -1 2-1 -1 -4 12 4 -6 11 2 4 250. 计算422223222222222153. n 阶⾏列式n a b b b b a bb D bb ab b b ba=.56.计算123110311211230123(1)n n n n n nD nn ------=--------. 57. n 阶⾏列式11111 1111111n n n D nn=. 58. 设A ＝210011001??-??，B ＝102101?? ? ? ???，⼜AX ＝B ，求矩阵X.60. 已知矩阵A =111210101??- ? ?，B =100210021?? ? ? ???，求：（1）A T B ；（2）| A T B |.63.2A A A E O --2=设⽅阵满⾜⽅程：，+2A A E 证明：与都可逆，并求它们的逆矩阵。

第二章 矩 阵一、选择题 1．设矩阵4203a b a b d c +-æöæö=ç÷ç÷èøèø，则（ C ）（A）3,1,1,3a b c d ==-== （B）1,3,1,3a b c d =-=== （C）3,1,0,3a b c d ==-== （D）1,3,0,3a b c d =-=== 2．设矩阵()1,2A =，1234B æö=ç÷èø，123456C æö=ç÷èø，则下列矩阵运算中有意义的是（B）（A）ACB （B）ABC （C）BAC （D）CBA 3．设A 、B 均为n 阶矩阵，下列命题正确的是 C （A）0B 0A 0AB ==Þ=或 （B）0B 0A 0AB ¹¹Û¹且 （C）00==Þ=B A 0AB 或 （D）00¹¹Û¹B A 0AB 且 4．设A 、B 均为n 阶矩阵，满足22A B =，则必有（ D ） （A）A B = （B）A B =- （C）A B = （D）22A B=5．设A 为n 阶矩阵,且有A A 2=,则结论正确的是________D________ (A) 0A = （B）E A =(C) 若A 不可逆,则0A = (D) 若A 可逆,则E A 2= 6．设B A ,都是n 阶对称矩阵，下列结论不正确的结论是（ A ） （A）AB 为对称矩阵 （B）设B A ,可逆，则11--+B A 为对称矩阵（C）B A +为对称矩阵 （D）kA 为对称矩阵7．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） （A）T A A + （B）T A A - （C）T AA（D）T A A8．设A 为3阶方阵，且2A =，则12A -=（ D ） （A）-4 （B）-1 （C）1 （D）49．设A 为n 阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，则=*A k C （A） A n k （B） nk A（C）1-n nkA（D）nn kA1-10．设B A ,都是n 阶可逆矩阵，则÷÷øöççèæ--1002B A T等于（ A ） （A）12)2(--B A n（B）1)2(--B A n （C）B A T2- （D）12--B A11．设n 阶方阵C B A ,,满足关系式E ABC =，其中E 为n 阶单位阵，则必有（ D ）。

第1章 行列式及其应用一、填空题1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 .2．排列36715284的逆序数是 。

3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = ， s = ，t = . 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 . 5．若54435231a a a a a j i 为五阶行列式带正号的一项，则 i = , j = .6.设行列式275620513--=D ，则第三行各余子式之和的值为 . 7.行列式=30092280923621534215 .8．行列式=1110110********* .9.多项式0211111)(321321321321=+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有根是 .10．若方程225143214343314321x x -- = 0 ，则 .11．行列式 ==2100121001210012D12. 行列式122305403-- 中元素3的代数余子式是 . 13. 设行列式4321630*********=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式，则44434241A A A A +++ = ，44434241M M M M +++= . 14.已知四阶行列D 中第三列元素依次为1-，2，0，1，它们的余子式依次分布为5，3，,7-4，则D = .15. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解，则k .二．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x （ ）.（A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3-2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = （ ）.（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x 根的个数是（ ）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 （ ）. （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为（ ）.（A ）3,2==l k ，符号为正 （B ）3,2==l k ，符号为负 （C ）2,3==l k ，符号为正 （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是（ ）.(A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于等于n 个7．如果133********21131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D （ ）. （A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）24 8．如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，2323331322223212212131111352352352a a a a a a a a a a a a D ---=，则=1D （ ）. （A ）18 （B ）18- （C ）9- （D ）27-9． 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a =（ ）. （A ）8 （B ）2 （C ）0 （D ）6- 10．若111111111111101-------=x A ，则A 中x 的一次项系数是 （ ）.（A ）1 （B ）1- （C ）4 （D ）4-11．4阶行列式443322110000000a b a b b a b a 的值等于 （ ）.（A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a b b a a --（C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 12．如果122211211=a a a a ，则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解是（ ）.（A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x = （B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x = （C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----= （D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=13. 方程0881441221111132=--x x x的根为 （ ）. （A ）3,2,1 （B ）2,2,1- （C ）2,1,0 （D ）2,1,1-14. 已知a a a a a a a a a a =333231232221131211,那么=+++323133312221232112111311222a a a a a a a a a a a a （ ）. （A ）a （B ）a - (C)a 2 （D ）a 2-15. 已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0030z y z y x z y x λλλ仅有零解，则 （ ）.（A ）0≠λ且1≠λ （B ）0=λ或1=λ （C ）0=λ （D ）1=λ三、判断题。

第一讲 行列式例1、下三角行列式nnnn n nnnn n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a22112211)12(121111211222111)1(000000000=-=-----τ对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积例2、 求xx b x a x 1221102085413+----的4x 和3x 的系数.解析：4x 的系数是1；3x 的系数是-10例3、 求3阶行列式 754102643--=(-3)A 11+4A 12+6A 13=(-3)M 11-4M 12+6m 3=(-3)⨯(-5)-4⨯(-18)+6⨯(-10)=27.例4、1010001001tt tt解析： 原式=1 A 11+t A 1n =1+11)1(-+-⋅n ntt=1+ nnt +-1)1(例5、 求行列式 2235007022220403--的第四行各元素的余子式的和. 解析： 所求为4443424144434241A A A A M M M M +-+-=+++原式=444342412235A A A A +-+将原行列式换为1111007022220403---即他的值就是原题的余子式之和答案为-28（对第三行展开 323277M A =-)例6、27718497518100549754102643=--==--08题aaa aa aa a a A 2012001200012000122222=. 证明|A |=(n+1)a n .分析： 证明：初等变换nan nan a a a n an a a a aaa aa a a a aa aa a a a )1()1(34232)1(010000340000023000012201200034000002300001220012001200002300001222222+=+⋅⋅=+→→→例7、 ?=cA 答A c n； 例 8、设4阶矩阵BA B A B A +====求,3,2),,,,(),,,,(321321γγγβγγγα解：40,,,8,,,8,,,82,2,2,),2,2,2,(321321321321321=+=+=+=++=+γγγβγγγαγγγβαγγγβαγγγβαB A B A例9、 已知行列式3123111++++-+--z x y y x z z y xd c b a 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z.解析：思路：利用性质8⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+++--→z y x z y x 0)1(339（二）、典型例题 例1①22222aaaaa a a a a a a a a a a aa a a a ②xx x x ++++1111111111111111③aa a a ++++4444333322221111④ 对角线上的元素都为0，其它元素都为1的n 阶行列式. ②分析：解：4)x 00000001114111411141114111411111111111111113+=+→+++++++→++++（所以值x xx x x xxx x x x x xx x x①分析：与②同理 ④分析：类型一致③分析：把下面三行分别加到第一行例24321532154215431543254321解：100510501500115111111411411411115111411411411411115111401141014110411105432154321153215152154151543155432154321532154215431543254321-------→-------→----→----→→所以值=15×125=1875例343211111111111111111x x x x ++++解：+=+++++==+++++++=++++4321431432432143214324321401010********01001001000100000000011101110111011111111111111111111111111111111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x例4 证明时）当b a ba bab aba ab b a b b a a b b a n n ni iin ≠--==++++++=-∑(00000000011分析：证明：归纳法：展开递推21n )(---+=→n n abD D b a D 递推公式 再用归纳法证明之 也可以：nn n n abD ab a b ab a bD ba ab b a b ab a bD ba ab b a b b a b b b a a b b a b b a a b a +=+==+++=+++++++---111000000000000000000000000000000000000000000时）当另b a ba baD baD b a b a D D D D n n n n n n nn nn ≠--=→-=-→⨯〉〈-⨯〉〈〉〈+=〉〈+=++++--()(212b a 1a b 111111-n 11-n na n aaa a a a a a ab a )1(2020000020002+=其值为时另当第二讲 矩阵例、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101111010A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=301521B .求 B AX =的解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=313315210010101301521101111010)(B A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→211213100010001413415200010101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=211213X2007年的一个题中,求3阶矩阵 B , 满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-222111B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011011B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110110B .解:建立矩阵方程⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-102112012101111011B⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21311001112011001111011222110011111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→011101110100010001033110011300110011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110TB⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=011101110B2008年考题: 03=A ,时 证明： A E -可逆.证 E A E A A E A E =-=++-32))((.所以A E -可逆例1、设C B A ,,都是n 阶矩阵,满足CA A C AB E B +=+=,,则C B -为(A)E .(B) E -. (C)A . (D)A -. )(A (2005年数学四)AB E B +=化为E B A E =-)( 即 B 与 )(A E - 互为逆矩阵CA A C += 化为 A A E C =-)(, 用 B 右乘得 AB C = 例2、 设A 是3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得 *C .记⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100011001PAP P C A 1)(-= 1)(-=PAP C B AP P C C T =)( TPAPD =)(A B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010011B C110010011100010011-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=PAP A C例3、 设A 是3阶可逆矩阵,交换A 的1,2行得B ,则(A) 交换*A 的1,2行得到*B . (B) 交换*A 的1,2列得到*B . (C) 交换*A 的1,2行得到*-B . (D) 交换*A 的1,2列得到*-B . 2009题设A 和B 都是2阶矩阵,2=A , 3=B .则 ()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛*O BA O⎪⎪⎭⎫⎝⎛**O A B O A 23)(⎪⎪⎭⎫⎝⎛**O A B OB 32)( ⎪⎪⎭⎫⎝⎛**O B A O C 23)(⎪⎪⎭⎫⎝⎛**O B A O D 32)(( 2009年的考题)解:1-*=CC C先求1-C()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00100011000010010010*********A O O B O B A OE C⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→--O ABO E O O E11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----*O ABOO A BO O BA O C 1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=**----O A B B A O OA AB B B A O O ABOB A 1111例4、 设A 是n 阶非零实矩阵,满足 TA A =*. 证明:)1(>A)2(如果2>n 则1=A解：条件TA A =*,即,)()(Tij T ij a A =即ji ij ij a A ,,∀=（1）inin i i i i A a A a A a A ++=2211022221≥+++=ini i a a a又因为 0≠A , 即A 有非零元素， 则2221>+++=in ke k a a a A(2)EA AAAAT==*nAA=2得12=-n A因为>A2-n 是正整数，得1=A例5、 3阶矩阵B A ,满足E BA ABA +=**2,其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100021012A ,求B .(04一) 解：E BA ABA+=**2E BA E A =-*)2(AB E A A =-)2(AB E A A =-23913112122=⨯=-=AE A B例6 设3阶矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=201011153A A XA XA A 21+=-,求X .解： 11112)(----+=AAXAAAXA AE X X A 21+=-A AX X 2+=A X A E 2)(=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-4020222106101021152)2(A A E ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→010424202210001002142262022120110021⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→01042424106100010001得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=01042424106X例7 设3阶矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A X A X A 21+=-*,求X .解： X A X A 21+=-*AXE X A 2+=E X A E =-)24(1)24(--=A E X411110112111111111=--=---=A例8 4阶矩阵B A ,满足E BAABA311+=--,已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=*8000010030100101A 求B . (00一) 解： E BAABA311+=--A B AB 3+=EA B A B A 3+=*83==*AA得2=AE B A E 6)2(=-*1)2(6-*-=A E B例9 设B A ,是3阶矩阵,A 可逆,它们满足E B B A 421-=-.(1) 证明E A 2-可逆.(2) 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ,求A .(2002)A 可逆解：EB B A 421-=-即A AB B 42-= B A AB 24+= A B E A 4)2(=-由A 可逆得E A 2-可逆例10 设n 阶矩阵B A ,满足bB aA AB +=.其中0≠ab ,证明 (1)bE A -和aE B -都可逆. (2) A 可逆B ⇔可逆. (3)BA AB =解：(1)令aE B D bE A C -=-=,aE D B bE C A +=+=,abE bD abE aC aE D bE C +++=++))(( abE bD aC abE bD aC CD 2++=+++D C abE CD ,⇒=都可逆或者直接把bE A -和aE B -相乘abE bB aA AB +--(2)aA B bE A =-)( (3)abE aE B bE A =--))((E aE B ab bE A =--)()( EabbE A aE B =--)()( abE bE A aE B =--))((O bB aA BA =--AB bB aA BA =+=例11 设B A ,都是n 阶对称矩阵,AB E +可逆,证明A AB E 1)(-+也是对称矩阵. 证：验证A AB E A AB E T11)(])[(--+=+ TTTAB E A A AB E ])[(])[(11--+=+ 111)()(])[(---+=+=+=BA E A A B E A AB E A T T T即要证明)()()()(111BA E A AB E A A AB E BA E A ++=⇔+=+---)()(BA E A A AB E +=+⇔。

线代第一章测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项不是线性代数的研究对象？A. 向量空间B. 线性方程组C. 矩阵D. 微分方程答案：D2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行（或列）的最大数目D. 矩阵的元素个数答案：C3. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 奇异矩阵D. 任意矩阵答案：B4. 向量空间的基是指：A. 空间中的任意一组向量B. 空间中的一组线性无关的向量C. 空间中的一组线性相关的向量D. 空间中的一组正交向量答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的元素个数称为矩阵的______。

答案：阶数2. 如果一个矩阵的行向量组线性无关，则该矩阵是______矩阵。

答案：满秩3. 向量空间中，一组向量如果满足线性组合的系数全为零，则称这组向量是______的。

答案：线性无关4. 一个n阶方阵的行列式等于______。

答案：0三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是线性方程组的解。

答案：线性方程组的解是指满足方程组中所有方程的未知数的取值。

2. 请解释什么是矩阵的转置。

答案：矩阵的转置是指将矩阵的行向量变成列向量，列向量变成行向量，即交换矩阵的行和列。

四、计算题（每题15分，共40分）1. 计算矩阵A的行列式，其中A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]。

答案：\[ \text{det}(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \]2. 已知矩阵B = \[\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2\end{bmatrix}\]，求B的逆矩阵。

答案：\[ B^{-1} = \frac{1}{(2)(2) - (1)(4)} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -0.5 \\-2 & 1 \end{bmatrix} \]。

线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第一节矩阵及其运算一．选择题1．有矩阵A3 2，B23， C 3 3，下列运算正确的是[B]（ A） AC（ B） ABC（ C） AB－ BC（ D） AC+BC2．设C (1, 0 ,0 ,1)，A E C T C ， B E 2C T C ，则AB[ B ] 22（ A）E C T C（ B）E（C）E（ D）03．设 A 为任意 n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是[ B]（ A）A A T（B）A A T（ C）AA T（ D）A T A二、填空题：1642011651．282342112412124321141387 2．设A 2 1 2 1， B 2 1 2 1，则 2A 3B2525 123401012165 4317353．1232657014913121400126784．13413120561402三、计算题：111设 A111，4111123B124，求 3AB2A 及 A T B0511111231113AB 2 A 3 111124 2 1111110511110582223 0562222902222132221720 ;4292111123058由 A对称，A T A，则 A TB AB11112405 6 .111051290线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第二节逆矩阵一．选择题1．设A是 n 阶矩阵A的伴随矩阵，则[B]（ A）AA A 1（ B）An 1（ C）( A)n A（ D）( A )0 A2．设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则[C]（ A） A+B 是 n 阶可逆矩阵（ B）A+B 是 n 阶不可逆矩阵（ C）AB 是 n 阶可逆矩阵（ D）| A+B| = | A|+| B|3．设 A 是 n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是（ A）A A（B）A A（C）A n A（D）A [ C] n A4．设 A， B， C 是 n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有[ B]（ A） CBA = E（B）BCA = E（C）BAC = E（D）ACB = E5．设 n 阶矩阵 A，B， C，满足 ABAC = E，则[ A]（ A ） A T B T A T C T E （B ） A 2 B 2 A 2 C 2E（C ） BA 2CE （ D ） CA 2 B E二、填空题：1121A ，其中 B21．已知 ABB，则 A2 11122．设2 54 6，则 X =2 13 1 X21 0433．设 A ， B 均是 n 阶矩阵， A2 ， B3 ，则 2 A B14n64．设矩阵 A 满足 A 2A4E0 ，则 ( A E) 11 ( A 2E)2三、计算与证明题：1． 设方阵 A 满足 A 2A 2E 0 ，证明 A 及 A2E 都可逆，并求 A 1和 ( A 2E ) 1A 2A 2 E 0A( A E ) 2 E A(A2 E ) EA 可逆，且 A 1AE ;2A 2 A 2E 0A( A 2E) 3A 2E 0A( A 2E) 3( A 2E) 4E 0( A 3E )( A 2E) 4E ( A3E)( A 2E)E4A可逆，且 (A 2E)1A 3E41 2 12． 设 A3 4 2 ，求 A 的逆矩阵 A 1541解：设 A(a ij )3 ，则A 114 2 4,A 12( 1)1232 13, A 13( 1)133432,4 15154A21( 1)1221 2, A 22 ( 1)2211 6, A 23 ( 1)2312 14,41 5154A 31( 1) 13210, A 32 ( 1) 3211 1, A 33( 1) 3312 2,4232344 2 0 从而 A *1361 .32 142又由1 212c 11 00 2 1A3 4c 23 212254 1 c 3c1514 614 6A * 21 0则 A 113 31A27216 10 3 33． 设 A1 1 0 且满足 ABA2B ，求 B12 3AB A2B( A 2E) B A2 3 3 0 3 3 11 0 B 1 1 012 11 232 3 3 0 3 311 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 r 1r 22 3 3 03 3 12 11 2 31 2 1 1 2 31 1 0 1 1 0 1 1 01 1 0 r 22r 10 1 3 2 5 3 r 3 r 2 0 13 25 3 r 3 r 11 13 32 2 211 0 11 0110 1 10 r 3 ( 1) 0 1 3 2 5 3 r 23r 3 0 1 01 2 32 0 0 1 1 1 00 011 11 0 0 0 3 3 r 1 r2 0 1 01 2 30 0 111 00 3 3 则 B ( A 2E) 1 A1 2 31 1线性代数练习题第二章矩 阵系专业 班姓名学号第三节（一）矩阵的初等变换一、把下列矩阵化为行最简形矩阵：1 1 3 4 3 r2 3r 1 1 134 3r 2 4 1 1 3 4 3 3 3 5 4 1 0 0 4 8 8 0 0 1 2 222 3 2 0 r 3 2r 1 00 366 r 33 0 0 1 2 233 4 2 1r43r 1 0 0 5 10 10r45 012 211 34 3 11 023 r 3 r 2 0 0 1 2 2 00 1 2 2 r 4r 2 00 0 0 0 r 1 3r20 0 0 0二、把下列矩阵化为标准形：2 3 1 3 7 1 2 0 2 4 r 2 2r 1 1 2 0 2 4 1 2 0 2 4 23 1 3 7 0 1 1 1 132 83 0 r 1 r232 83 0 r 33r18 8 9 12 13 74 313 74 3 r 4 r 1 05 767122 4 122 4 r3 8r 2 0 1 1 1 1 01 1 1 1 r 45r 2 00 0 1 4 r 3 r40 2 1 20 212 00 0 14r 3 r 4 1 20 0 4120 040 1 1 0 31r 3 01 0 0 2r 2 r 4 r 20 0 2 0 20 0 2 0 2 r 1 2r 420 00 140 141 0 0 0 0 r 21 0 0 0 0 1 0 0 0 0 01 0 0 20 1 0 0 2 0 1 0 0 0r 12r20 2 0 2 1r 3 0 0 1 0 1c52c 2c34c40 1 0 00 00 14 20 0 0 140 0 0 1 0三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵3 2 0 1 0 2 2 1A2 3 211 213 2 0 1 1 0 0 0 1 2 3 2 0 0 1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 0 2 2 1 0 1 0 01 2 3 2 0 0 1 r 1 r 32 0 1 1 0 0 0 03 012 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 11 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 02 2 1 0 1 0 0 01 2 1 0 0 0 1 r 33r14 95 1 0 3 0 r 2 r44 95 1 0 3 0 01210 00 12210 10 01 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 r 3 4r 2 0 12 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 1 r 42r 2 0 01 1 1 0 3 4 r 42r30 01 1 1 0 3 40 0210 10 2 0 00 12 1 6 10123 0 42 11 20120 0 1 1 2 2 r 12r4012 0 2 16 11 r 1 3r 3 0 1 00 01 0 1 r2 r 4 0 0 1 0 1 1 36 r 2 2r 3 0 0 1 0 1 1 36 r 3 r 40 00 1 2 1 6100 12 16101 0 0 0 1 1 24 r 1 2r 2 0 10 0 0 1 0 1 0 01 0 1 1 360 00 12 1 6101 12 4 A10 1 0 1 1 1 3 62 1 6 101 1 1 1 0 1 四、已知0 2 2 X 1 1 0 ，求 X110 1 41 1 1 1 0 11 1 1 10 11 1 1 1 0 1 0 22 1 1 0 r3 r 1 0 2 2 11 0 r 3r 2 0 2 2 1 1 0uuuuuruuuuur11 01 40 2 1 1 1 30 03 0 231 1 0 12 21 111 0 13r 22r3 0 20 1r 310 2 2 1 1 0 123r r30 012 1 uuuuuuur20 1 0 1331 1 01221 01 5 33 26r 210 1 0111 r 1 r2 0 1 0 111226uuuuur26uuuuur220 0 1 010 0 1 013 31 5 32 6故 X1 1 12 62 13线性代数练习题第二章矩 阵系专业班姓名学号第三节（二）矩 阵 的 秩一．选择题1．设 A ， B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB = 0，则 A 和 B 的秩[ D]（ A ）必有一个等于零 （ B ）都等于 n（C ）一个小于 n ，一个等于 n（ D ）都不等于 n2．设 mn 矩阵 A 的秩为 s ，则[ C]（ A ） A 的所有 s（ B ）A 的所有 s阶子式不为零－ 1 阶子式不为零（ C ）A 的所有 s +1 阶子式为零（D ）对 A 施行初等行变换变成E s0 0112133．欲使矩阵2s126的秩为2，则s，t满足[ C ] 455t12（ A）s = 3 或t = 4（B）s= 2 或t = 4（ C）s = 3 且t = 4（D）s = 2 且t = 44．设A是m n 矩阵，B是 n m 矩阵，则（ A）当m n 时，必有行列式| AB |0（ B）当（ C）当n m 时，必有行列式| AB |0（ D）当[ B ] m n 时，必有行列式| AB |0n m 时，必有行列式| AB |0a11a12a13a21a22a230105．设Aa21a22a23， Ba11a12a13， P1100，a31a32a33a31a11a32a12a33a13001100P2010，则必有 B[ C ] 101（ A）AP1P2（B）AP2P1（ C）P1P2A（ D）P2P1A二．填空题：31021．设A1 1 2 1 ，则 R( A)213441212．已知A 23a2应满足a=-1 或 3 1a的秩为 2，则 a22a21三、计算题：218371．设A230753258，求 R( A) 。

线性代数练习题（行列式·矩阵部分）一、填空题1．n 阶行列式1000010000100001=n D （主对角线元素为1，其余元素均为零）的值为 1 。

2．设行列式D =1211225141201---x，元素x 的代数余子式的值是 －14 。

3．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1312A ，132)(2+-=x x x f ，则=)(A f 91312-⎛⎫ ⎪-⎝⎭４．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100110002A ，则逆矩阵=-1A 1002011001⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭5．5阶行列式D=a aa aa a a a a ---------1101100011000110001=54321a a a a a -+-+-+6．设A 为n 阶可逆阵，且E A A ||2=，则*A = A 7. N (n12…(n-1))= n-1 。

8. 设D 为一个三阶行列式 ，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6，24，则D= －12 。

9. 关于n 元线性方程组的克莱姆法则成立的条件是 1）线性方程组中未知数的个数和方程的个数相同，2）系数行列式D 不等于零 ，结论是(1,2,)j j D x j n D== 。

10. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠，设A *为A 的伴随矩阵，则A -1=*1A A。

11. 若n 阶矩阵满足A 2-2A-4E=0,则A -1=1(2)4A E - 。

12.()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43214321=()30， ()43214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1234246836912481216⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭13. 设A 为三阶矩阵，若A=3，则1-A =13,*A = 9 。

14．=++++xx x x 22222222222222223(8)x x +15．设A 是m 阶方阵，B 是n 阶方阵，且|A |=a ，|B |=b ，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0B A 0C ，则|C |=ab mn(-1)二、选择题1. 设n 阶行列式D =n ija ，ji A 是D 中元素ji a 的代数余子式，则下列各式中正确的是（ C ）。

第一章行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是（）(A)D 的所有元素非零(B)D 至少有n 个元素非零(C)D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解2．二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是（）A．k≠-1B．k≠3C．k≠-1且k≠3D．k≠-1或≠33．已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（）A.m -nB.n -mC.m +nD.–(m +n )4.设行列式==1111034222,1111304zy x zyx则行列式（）A.32B.1C.2D.385．下列行列式等于零的是（）A .100123123- B.031010300-C．100310-D．261422613-6．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（）A．-2B．-1C．1D．27．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则k=（）A.-2B.-1C.1D.28．（考研题）行列式0000000ab a bc dc d=（）A.()2ad bc - B.()2ad bc -- C.2222a db c- D.2222b c a d-二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为。

2.行列式1112344916中位于（3，2）元素的代数余子式A 32=。

3.设1578111120963437D --=--，则1424445A A A ++=。

4．已知行列式212300111a=-，则数a =。

5．若a ,b 是实数，则当a =且b =时，有000101ab ba-=--。

6.设13124321322)(+--+-+=x x x x f ，则2x 的系数为。

7.五阶行列式000130003201830207530026=。

线性代数练习题及答案线性代数作为一门重要的数学学科，对于理工科学生来说是必修课程之一。

在学习线性代数的过程中，练习题是非常重要的一环，通过练习题的完成，可以巩固理论知识，提高解题能力。

本文将介绍一些常见的线性代数练习题及其答案，希望对读者有所帮助。

一、向量与矩阵1. 给定向量a=(2,3,1)和b=(1,-1,2)，求向量a与向量b的内积及外积。

答案：向量a与向量b的内积为a·b=2*1+3*(-1)+1*2=1，向量a与向量b的外积为a×b=(7,3,-5)。

2. 给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵和逆矩阵。

答案：矩阵A的转置矩阵为A^T = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]，矩阵A的逆矩阵不存在，因为A的行列式为0。

二、线性方程组1. 解方程组：2x + 3y - z = 13x - 2y + 4z = 5x + y + 2z = 0答案：通过高斯消元法，可以得到方程组的解为x = -1，y = 2，z = -1。

2. 解方程组：x + 2y + z = 32x + 4y + 2z = 63x + 6y + 3z = 9答案：该方程组为一个超定方程组，通过最小二乘法可以得到方程组的近似解为x = 1，y = 1，z = 1。

三、特征值与特征向量1. 给定矩阵A = [2 1; 1 2]，求矩阵A的特征值和特征向量。

答案：首先求解A的特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ=1，λ=3。

然后，将特征值代入(A-λI)x=0，得到特征向量x=(1,1)和x=(-1,1)。

2. 给定矩阵A = [3 -1; 1 3]，求矩阵A的特征值和特征向量。

答案：同样地，求解特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ=2，λ=4。

将特征值代入(A-λI)x=0，得到特征向量x=(1,1)和x=(-1,1)。

四、线性变换1. 给定线性变换T：R^2 -> R^2，将向量(1,0)和(0,1)分别变换为(2,3)和(-1,4)，求线性变换T的矩阵表示。