2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第8讲 指数与指数函数(含解析)

2.4指数与指数函数考情分析1．考查指数函数的图象与性质及其应用．2．以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用． 3．以指数或指数型函数为 基础知识 1．根式 (1)根式的概念如果一个数的n 次方等于a(n ＞1且，n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号na 表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号na 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正负两个n 次方根可以合写为±na(a ＞0)．③⎝⎛⎭⎫n a n＝a. ④当n 为奇数时，n a n＝a ； 当n 为偶数时，na n＝ |a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a－＜.⑤负数没有偶次方根． 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n＝a·a·…·a n 个 (n ∈N *)； ②零指数幂：a 0＝1(a≠0)；③负整数指数幂：a －p ＝1a(a≠0，p ∈N *)；④正分数指数幂：a m n ＝n a m (a ＞0，m 、n ∈ N *，且n ＞1)；⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a ＞0，m 、n ∈N *且n ＞1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．[: (2)有理数指数幂的性质①a r a s ＝ar ＋s(a ＞0，r 、s ∈Q)②(a r )s＝a rs(a ＞0，r 、s ∈Q) ③(ab)r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． 3．指数函数的图象与性质注意事项1.分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2.。

§2.4指数与指数函数考纲解读分析解读 1.会利用指数幂的运算法则进行幂的运算.2.结合指数函数的图象与性质比较大小,解指数方程或不等式,求复合函数的单调性、最值、参数范围等.3.高考命题多以指数函数为载体,考查指数函数的图象、性质及应用,分值约为5分,属中低档题.五年高考考点指数、指数函数的图象与性质1.(2017课标全国Ⅰ,11,5分)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z答案D2.(2016课标全国Ⅲ,6,5分)已知a=,b=,c=2,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案A3.(2014辽宁,3,5分)已知a=-,b=log2,c=lo,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a答案C4.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=.答案-三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点指数、指数函数的图象与性质1.(2018陕西西安中学期中,4)指数函数f(x)=a x(a>0,a≠1)在R上是减函数,则函数g(x)=(a-2)x3在R上的单调性为()A.单调递增B.在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增C.单调递减D.在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减答案C2.(2018广东深圳耀华实验学校期中,9)函数y=-的值域为()A. B.-C. D.(0,2]答案D3.(2017河北八所重点中学一模,6)设a>0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是()·A. B. C. D.答案C4.(2017山西大学附中第二次模拟测试,9)下列函数中,与函数f(x)=--的奇偶性、单调性相同的是()A.y=ln(x+)B.y=x2C.y=tan xD.y=e x答案A5.(2016河南许昌四校第三次联考,5)设a、b满足0<a<b<1,则下列不等式中正确的是()A.a a<a bB.b a<b bC.a a<b aD.b b<a b答案C6.(2017河南濮阳第二次检测,15)若“m>a”是“函数f(x)=+m-的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a能取的最大整数为.答案-1B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018山东济南外国语学校月考,8)若0<a<b<1,则a b,b a,log b a,b的大小关系为()A.a b>b a>log b a>bB.b a>a b>b>log b aC.log b a>a b>b a>bD.log b a>b a>a b>b答案D2.(2018福建闽侯第六中学月考,12)已知函数f(x)=-在区间[0,1]上单调递增,则a的取值范围为()A.[0,1]B.[-1,0]C.[-1,1]D.-答案C3.(2017湖南衡阳第二次联考,7)设0<a<1,e为自然对数的底数,则a,a e,e a-1的大小关系为()A.e a-1<a<a eB.a e<a<e a-1C.a e<e a-1<aD.a<e a-1<a e答案B4.(2017河南百校联考,9)已知f(x)=2x-2-x,a=-,b=,c=log2,则f(a),f(b),f(c)的大小顺序为()A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)<f(b)<f(a)C.f(c)<f(a)<f(b)D.f(b)<f(c)<f(a)答案B5.(2017江西九江地区七校联考,11)已知函数f(x)和f(x+1)都是定义在R上的偶函数,若x∈[0,1]时,f(x)=,则()A.f->fB.f-<fC.f-=fD.f-<f答案A二、填空题(共5分)6.(2016安徽江淮十校联考,13)已知max{a,b}表示a,b两数中的最大值.若f(x)=max{e|x|,e|x-2|},则f(x)的最小值为.答案e三、解答题(共10分)7.(2017湖北重点高中联合协作体期中,22)已知定义域为R的函数f(x)=-的图象关于原点对称.(1)求b的值;(2)判断f(x)的单调性,并证明;(3)当a∈[-1,1],t∈[-1,1]时,不等式f(at2-2t)+f(-2t2-k+a)<0恒成立,求k的取值范围.解析(1)∵f(x)的图象关于原点对称,∴f(-1)=-f(1),即-=--,解得b=1,经检验符合题意.(2)f(x)=-=-.任取x1,x2∈R且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=---=-,∵x1<x2,∴0<<,∴->0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)为R上的减函数.(3)f(at2-2t)+f(-2t2-k+a)<0等价于f(at2-2t)<-f(-2t2-k+a)=f(2t2+k-a),∵f(x)为R上的减函数,∴at2-2t>2t2+k-a,∴(t2+1)a-2t2-2t>k,a∈[-1,1]时恒成立,∴-(t2+1)-2t2-2t=-3t2-2t-1>k,t∈[-1,1]时恒成立,∵y=-3t2-2t-1=-3-,∴t=1时,y有最小值-6,∴k<-6.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1指数式的求值、估值和大小比较1.(2017安徽江淮十校第三次联考,10)函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(b x)与f(c x)的大小关系是()A.f(b x)≤f(c x)B.f(b x)≥f(c x)C.f(b x)>f(c x)D.与x有关,不确定答案A2.(2017安徽“江淮十校”第一次联考,5)已知m=0.95.1,n=5.10.9,p=log0.95.1,则这三个数的大小关系是()A.m<n<pB.m<p<nC.p<m<nD.p<n<m答案C方法2指数(型)函数的图象与性质3.(2017广东茂名二模,9)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=a x+b的图象是()答案C4.(2017福建泉州晋江平山中学期中,11)若函数f(x)=3-|x-1|+m的图象与x轴没有交点,则实数m的取值范围是()A.m≥0或m<-1B.m>0或m<-1C.m>1或m≤0D.m>1或m<0答案A。

2019-2020年高三数学一轮复习讲义指数与指数函数教案新人教A版高考要求：（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。

重点难点：对分数指数幂含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化掌握有理指数幂的运算性质；指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题．知识梳理1．根式的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a ( n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n＝a，则x叫做__a的n次方根___，其中n>1且n∈N*.式子na叫做__根式__，这里n叫做_根指数__，a叫做__被开方数______．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a 的n次方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写成________(a>0)．负数没有偶次方根______(_____(0)||(_____(0)naa na⎧⎪=≥⎧⎨=⎨⎪<⎩⎩为奇数）为偶数）;__________（须使有意义）.④零的任何次方根都是零．2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：N*).n个②零指数幂：③负整数指数幂： Q a≠0，).④正分数指数幂：a=（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.⑤负分数指数幂：=（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂___无意义_____.(2)有理指数幂的运算性质①a r a s＝________(a>0，r，s∈Q)．②(a r)s＝________(a>0，r，s∈Q)．③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)．（注）上述性质对r、R均适用。

【课时训练】指数与指数函数一、选择题1．(2019某某某某调研)函数f (x )＝2|x －1|的大致图象是( )A B C D 【答案】B【解析】由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，可知f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减．故选B.2．(2018某某某某一中月考)已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定【答案】A【解析】由题意可知a >1, f (－4)＝a 3,f (1)＝a 2，由y ＝a t(a >1)的单调性知a 3>a 2，所以 f (－4)>f (1)．3．(2018某某某某调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]【答案】B【解析】由f (1)＝19得a 2＝19，又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．4．(2018某某某某一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x >0，g x ，x <0.如果f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x B ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－xD ．－2x【答案】D【解析】由题图可知f (1)＝12，∴a ＝12，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .由题意得g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x.故选D.5．(2018某某省实验中学分校月考)函数y ＝16－2x的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)【答案】C【解析】函数y ＝16－2x中，因为16－2x≥0，所以2x≤16.因此2x∈(0,16]，所以16－2x∈[0,16)．故y ＝∈[0,4)．故选C.6．(2018某某某某第一中学月考)已知集合A ＝{x |(2－x )·(2＋x )>0}，则函数f (x )＝4x－2x ＋1－3(x ∈A )的最小值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4【答案】D【解析】由题知集合A ＝{x |－2<x <2}．又f (x )＝(2x )2－2×2x －3，设2x＝t ，则14<t <4，所以f (x )＝g (t )＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，且函数g (t )的对称轴为直线t ＝1，所以最小值为g (1)＝－4.故选D.7．(2018某某某某联考)已知函数f (x )＝e x，如果x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，则下列关于f (x )的性质：①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0；②y ＝f (x )不存在反函数；③f (x 1)＋f (x 2)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22；④方程f (x )＝x 2在(0，＋∞)上没有实数根．其中正确的是( )A ．①②B ．①④C ．①③D ．③④【答案】B8．(2018某某某某联考)若函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域与值域相同，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．±1【答案】B【解析】∵函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a ，∴函数f (x )的定义域为[a ，＋∞)． ∵函数f (x )的定义域与值域相同， ∴函数f (x )的值域为[a ，＋∞)．又∵函数f (x )在[a ，＋∞)上是单调递增函数，∴当x ＝a 时，f (a )＝2a －a ＋1－a ＝a ，解得a ＝1.故选B.二、填空题9．(2018某某某某一模)已知函数f (x )＝e x －e －xe x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________. 【答案】12【解析】∵f (x )＝e x－e －xe x ＋e －x ，f (a )＝－12，∴e a －e －a e a ＋e －a ＝－12.∴f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －ae a ＋e －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12. 10．(2018某某一中月考)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.【答案】 3【解析】当a >1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数，则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又a >1，∴a ＝ 3.当0<a <1时，f (x )＝a x－1在[0,2]上为减函数，又f (0)＝0≠2，∴0<a <1不成立．综上可知，a ＝ 3.11．(2018某某十校联考)已知max (a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max {e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________．【答案】e【解析】由于f (x )＝max {e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x，x <1.当x ≥1时，f (x )≥e，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x <1时，f (x )>e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.12．(2018某某某某海阳一中期中)已知函数f (x )＝2|x －2|－1在区间[0，m ]上的值域为[0,3]，则实数m 的取值X 围为________．【答案】[2,4] 【解析】函数f (x )＝2|x －2|－1的对称轴为直线x ＝2，且在(－∞，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．由于函数f (x )＝2|x －2|－1在区间[0，m ]上的值域为[0,3]且函数关于直线x ＝2对称，f (0)＝f (4)＝3，f (2)＝0，所以结合图象可知m ∈[2,4]．三、解答题13．(2018某某余姚中学月考)已知定义在R 上的函数 f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，某某数m 的取值X 围． 【解】(1)当x ＜0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x＝－12，∵2x＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0， ∴m ≥－(22t＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故实数m 的取值X 围是[－5，＋∞)．。

第五节 指与指函指与指函(1)了解指函模型的实际背景．(2)解有指幂的含义，了解实指幂的意义，掌握幂的运算．(3)解指函的概念，解指函的单调性，掌握指函图象通过的特殊点．(4)知道指函是一类重要的函模型．知识点一 根式与幂的运算 1．根式的性质 (1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇时，n a n ＝a . (3)当n 为偶时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧aa －aa <0.(4)负的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有指幂 (1)分指幂：①正分指幂：a m n＝n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分指幂：a －m n＝1am n＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分指幂等于0,0的负分指幂没有意义． (2)有指幂的运算性质①a r ·a s ＝a r ＋s (a >0，r 、s ∈Q )． ②(a r )s ＝a rs (a >0，r 、s ∈Q )． ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．易误提醒 在进行指幂的运算时，一般用分指幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分指幂，也不能既有分母又含有负指．易忽视字母的符号．[自测练习]1．简a 23·b －1－12·a －12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD.1a解析：原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a .答案：D知识点二 指函的图象与性质易误提醒 指函y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.必备方法1．指函图象的三个关键点画指函图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a .2．底a 与1的大小关系决定了指函图象的“升降”：当a >1时，指函的图象“上升”；当0<a <1时，指函的图象“下降”．3．底的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底越大，函图象越高．4．指函的图象向左(或向右)平移不会与x 轴有交点，向上(或向下)平移a 个单位后，图象都在直线y ＝a (或y ＝－a )的上方．[自测练习]2．函y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解：当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0，所以函y ＝a x －a 的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.答案：C3．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a解析：构造指函y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R )，由该函在定义域内单调递减可得b <c ；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x(x ∈R )之间有如下结论：当x >0时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x >⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即a >c ，故a >c >b . 答案：A4．指函y ＝(2－a )x 在定义域内是减函，则a 的取值范围是________．解析：由题意知0<2－a <1，解得1<a <2. 答案：(1,2)考点一 指幂的简与求值|求值与简：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫21412-－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·(－3a 12-b －1)÷(4a 23·b －3)12； (3)a 3b 23ab 2a 14b124a 13-b13(a >0，b >0)．解：(1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝－52a 16-b －3÷(4a 23·b －3) 12＝－54a 16-b －3÷(a 13b 32-)＝－54a 12-·b 32-＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2. (3)原式＝a 3b 2a 13b2312ab 2a 13-b13＝a3111263+-+b111233+--＝ab －1.指幂运算的四个原则1．有括号的先算括号里的，无括号的先做指运算． 2．先乘除后加减，负指幂成正指幂的倒．3．底是负，先确定符号，底是小，先成分，底是带分的，先成假分．4．若是根式，应为分指幂，尽可能用幂的形式表示，运用指幂的运算性质解答．考点二 指函图象及应用|(1)函f (x )＝2|x －1|的图象是( )[解析]f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <1，故选B.[答案] B(2)(2015·衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．[解析] 曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．[答案] [－1,1]与指函图象有关的应用问题的两种求解策略1．与指函有关的函的图象的研究，往往利用相应指函的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2．一些指方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指型函图象形结合求解．偶函f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在x ∈[0,4]上解的个是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由f (x －1)＝f (x ＋1)可知T ＝2.∵x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，又∵f (x )是偶函，∴可得图象如图．∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在x ∈[0,4]上解的个是4个．故选D.答案：D考点三 指函的性质及应用|高考常以选择题或填空题的形式考查指函的性质及应用，难度偏小，属于低档题．归纳起常见的命题探究角度有： 1．比较指式的大小．2．与指函有关的奇偶性及应用． 3．探究指型函的性质． 探究一 比较指式的大小1．(2015·高考山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：由指函y ＝0.6x 在(0，＋∞)上单调递减，可知0.61.5<0.60.6，由幂函y ＝x 0.6在(0，＋∞)上单调递增，可知0.60.6<1.50.6，所以b <a <c ，故选C.答案：C探究二 与指函有关的奇偶性及应用2．(2015·高考山东卷)若函f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：f (－x )＝2－x ＋12－x －a ＝2x ＋11－a ·2x ，由f (－x )＝－f (x )得2x ＋11－a ·2x＝－2x ＋12x －a ，即1－a ·2x ＝－2x ＋a ，简得a ·(1＋2x )＝1＋2x ，所以a＝1，f (x )＝2x ＋12x －1.由f (x )>3得0<x <1.故选C.答案：C探究三 指型函的性质应用3．已知函f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指函的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函，其值域不可能为R )．故a 的值为0.指函的性质及应用问题三种解题策略(1)比较大小问题．常利用指函的单调性及中间值(0或1)法． (2)简单的指方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指函的单调性，要特别注意底a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指函的综合问题时，要把指函的概念和性质同函的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底不确定时，对底的分类讨论．4.换元法解决与指函有关的值域问题【典例】 函y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．[思路点拨] 设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＝t 2，这样原函就可转为二次函．[解析] 因为x ∈[－3,2]，所以若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57[方法点评] 与指函有关的值域或最值问题，通常利用换元法，将其转为基本初等函的单调性或值域问题，注意换元过程中“元”的取值范围的变．[跟踪练习] 已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4， 又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.答案：52A 组 考点能力演练1．已知函f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a 、b 为常，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b <0D ．0<a <1，b >0解析：由图象呈下降趋势知，0<a <1，又a －b <1＝a 0，故－b >0，即b <0.答案：C2．函y ＝2x －2－x 是( )A ．奇函，在区间(0，＋∞)上单调递增B ．奇函，在区间(0，＋∞)上单调递减C ．偶函，在区间(－∞，0)上单调递增D ．偶函，在区间(－∞，0)上单调递减解析：根据奇偶性的定义判断函奇偶性，借助指函的图象及相关结论判断单调性．令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，所以函是奇函，排除C ，D.又函y ＝2x ，y ＝－2－x 都是R 上的增函，由增函加增函还是增函的结论可知f (x )＝2x －2－x 是R 上的增函，故选A.答案：A3．(2015·日照模拟)设函f (x )定义在实集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13解析：∵函f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )＝f (2－x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2－23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，又∵x ≥1时，f (x )＝3x－1为单调递增函，且43<32<53，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，故选B.答案：B4．已知实a ，b 满足等式2a ＝3b ，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b＝0.其中有可能成立的关系式有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：依题意，在同一坐标系下画出函y＝2x，y＝3x的图象与直线y＝t，平移直线y＝t，通过观察可知，直线y＝t分别与函y＝2x，y＝3x的图象的交点的横坐标a，b的大小关系可能是a<b<0；a＝b＝0；0<b<a，因此其中有可能成立的关系式共有3个，故选C.答案：C5．(2015·济宁三模)已知函f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2c D．2a＋2c<2解析：作出函f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.答案：D6．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.答案：27．已知函f (x )＝a x －1＋1(a ≠0)的图象恒过定点A ，则点A 的坐标是________．解析：由题意，因为a 为变量，所以只有当a x －1为定值时，函的图象才过定点，所以x ＝1，y ＝2，定点A (1,2)．答案：(1,2)8．函f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．解析：当a >1时，f (x )＝a x 为增函，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a .∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.答案：12或329．已知2x 2－x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1，求函y ＝2x －2－x 的值域．解：由2x 2－x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1＝2－2x ＋2，得x 2－x ≤－2x ＋2，即x 2＋x －2≤0解得－2≤x ≤1.令t ＝2x，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2，则y ＝t －1t ，易知y ＝t －1t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上是增函， 所以，函y ＝t －1t 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－154，32，即函y ＝2x －2－x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－154，32. 10．(2016·天津期末)已知函f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对的底)．(1)判断函f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明由．解：(1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )在R 上是增函．∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函．(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函和奇函，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立 ⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12≥0，∴⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12，∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R都成立．B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)下列函中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函是( )A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x解析：对于选项A ，f (x ＋y )＝(x ＋y )3≠f (x )f (y )＝x 3y 3，排除A ；对于选项B ，f (x ＋y )＝3x ＋y ＝3x ·3y ＝f (x )f (y )，且f (x )＝3x 在其定义域内是单调增函，B 正确；对于选项C ，f (x ＋y )＝x ＋y ≠f (x )f (y )＝x 12y 12＝xy ，排除C ；对于选项D ，f (x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝f (x )f (y )，但f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在其定义域内是减函，排除D.故选B.答案：B2．(2015·高考山东卷)已知函f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.解析：①当a >1时，f (x )在[－1,0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，f (x )在[－1,0]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－32.答案：－323．(2015·高考江苏卷)不等式2x 2－x <4的解集为________． 解析：不等式2x 2－x <4可转为2x 2－x <22，利用指函y ＝2x 的性质可得，x 2－x <2，解得－1<x <2，故所求解集为{x |－1<x <2}．答案：(－1,2)4．(2015·高考福建卷)若函f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实m 的最小值等于________．解析：因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函f (x )关于直线x ＝1对称，所以a ＝1，所以函f (x )＝2|x －1|的图象如图所示，因为函f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，所以m ≥1，所以实m 的最小值为1.答案：1。

2019-2020学年高三数学第一轮复习《第8课时 指数与指数函数》学案【考点概述】①了解指数函数模型的实际背景；②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；③理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图像通过的特殊点； ④知道指数函数是一类重要的函数模型．【重点难点】：对分数指数幂含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化掌握有理指数幂的运算性质； 指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论 比较简单的函数的有关问题．【知识扫描】1. 根式（2）两个重要公式______(_____(0)||(_____(0)n a a n a ⎧⎪=≥⎧⎨=⎨⎪<⎩⎩为奇数）为偶数）;②n =__________（a . 2. 有理指数幂(1)分数指数幂的表示：①正数的正分数指数幂是*______(0,,,1)m n a a m n N n =>∈>；②正数的负分数指数幂是*______________(0,,,1)mn a a m n N n -==>∈>；③0的正分数指数幂是________，0的负分数指数幂无意义.（2）有理指数幂的运算性质：),,0(R t s a ∈>①=t s a a ；②=t s a )( = ；③=t ab )( 。

1．=-3127 ；=0π；()=43325 ； ()[]=-++-+-----214334303101.0162)87(064.0 。

2．函数33x y a -=+恒过定点 。

3．函数x y 2=的单调递减区间为 。

4．函数y =的定义域是 ；121-+=x y 的值域为 ；1221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y 的值域为 。

5．函数x a x f )1()(2-=是R 上的减函数，则a 的取值范围是 。

6．已知12a =，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 . 7．已知,32121=+-xx 则=-+-+--84221x x x x 。