2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第8讲 指数与指数函数(含解析)

2.4指数与指数函数考情分析1．考查指数函数的图象与性质及其应用．2．以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用． 3．以指数或指数型函数为 基础知识 1．根式 (1)根式的概念如果一个数的n 次方等于a(n ＞1且，n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号na 表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号na 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正负两个n 次方根可以合写为±na(a ＞0)．③⎝⎛⎭⎫n a n＝a. ④当n 为奇数时，n a n＝a ； 当n 为偶数时，na n＝ |a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a－＜.⑤负数没有偶次方根． 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n＝a·a·…·a n 个 (n ∈N *)； ②零指数幂：a 0＝1(a≠0)；③负整数指数幂：a －p ＝1a(a≠0，p ∈N *)；④正分数指数幂：a m n ＝n a m (a ＞0，m 、n ∈ N *，且n ＞1)；⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a ＞0，m 、n ∈N *且n ＞1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．[: (2)有理数指数幂的性质①a r a s ＝ar ＋s(a ＞0，r 、s ∈Q)②(a r )s＝a rs(a ＞0，r 、s ∈Q) ③(ab)r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． 3．指数函数的图象与性质注意事项1.分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2.。

§2.4指数与指数函数考纲解读分析解读 1.会利用指数幂的运算法则进行幂的运算.2.结合指数函数的图象与性质比较大小,解指数方程或不等式,求复合函数的单调性、最值、参数范围等.3.高考命题多以指数函数为载体,考查指数函数的图象、性质及应用,分值约为5分,属中低档题.五年高考考点指数、指数函数的图象与性质1.(2017课标全国Ⅰ,11,5分)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z答案D2.(2016课标全国Ⅲ,6,5分)已知a=,b=,c=2,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案A3.(2014辽宁,3,5分)已知a=-,b=log2,c=lo,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a答案C4.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=.答案-三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点指数、指数函数的图象与性质1.(2018陕西西安中学期中,4)指数函数f(x)=a x(a>0,a≠1)在R上是减函数,则函数g(x)=(a-2)x3在R上的单调性为()A.单调递增B.在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增C.单调递减D.在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减答案C2.(2018广东深圳耀华实验学校期中,9)函数y=-的值域为()A. B.-C. D.(0,2]答案D3.(2017河北八所重点中学一模,6)设a>0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是()·A. B. C. D.答案C4.(2017山西大学附中第二次模拟测试,9)下列函数中,与函数f(x)=--的奇偶性、单调性相同的是()A.y=ln(x+)B.y=x2C.y=tan xD.y=e x答案A5.(2016河南许昌四校第三次联考,5)设a、b满足0<a<b<1,则下列不等式中正确的是()A.a a<a bB.b a<b bC.a a<b aD.b b<a b答案C6.(2017河南濮阳第二次检测,15)若“m>a”是“函数f(x)=+m-的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a能取的最大整数为.答案-1B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018山东济南外国语学校月考,8)若0<a<b<1,则a b,b a,log b a,b的大小关系为()A.a b>b a>log b a>bB.b a>a b>b>log b aC.log b a>a b>b a>bD.log b a>b a>a b>b答案D2.(2018福建闽侯第六中学月考,12)已知函数f(x)=-在区间[0,1]上单调递增,则a的取值范围为()A.[0,1]B.[-1,0]C.[-1,1]D.-答案C3.(2017湖南衡阳第二次联考,7)设0<a<1,e为自然对数的底数,则a,a e,e a-1的大小关系为()A.e a-1<a<a eB.a e<a<e a-1C.a e<e a-1<aD.a<e a-1<a e答案B4.(2017河南百校联考,9)已知f(x)=2x-2-x,a=-,b=,c=log2,则f(a),f(b),f(c)的大小顺序为()A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)<f(b)<f(a)C.f(c)<f(a)<f(b)D.f(b)<f(c)<f(a)答案B5.(2017江西九江地区七校联考,11)已知函数f(x)和f(x+1)都是定义在R上的偶函数,若x∈[0,1]时,f(x)=,则()A.f->fB.f-<fC.f-=fD.f-<f答案A二、填空题(共5分)6.(2016安徽江淮十校联考,13)已知max{a,b}表示a,b两数中的最大值.若f(x)=max{e|x|,e|x-2|},则f(x)的最小值为.答案e三、解答题(共10分)7.(2017湖北重点高中联合协作体期中,22)已知定义域为R的函数f(x)=-的图象关于原点对称.(1)求b的值;(2)判断f(x)的单调性,并证明;(3)当a∈[-1,1],t∈[-1,1]时,不等式f(at2-2t)+f(-2t2-k+a)<0恒成立,求k的取值范围.解析(1)∵f(x)的图象关于原点对称,∴f(-1)=-f(1),即-=--,解得b=1,经检验符合题意.(2)f(x)=-=-.任取x1,x2∈R且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=---=-,∵x1<x2,∴0<<,∴->0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)为R上的减函数.(3)f(at2-2t)+f(-2t2-k+a)<0等价于f(at2-2t)<-f(-2t2-k+a)=f(2t2+k-a),∵f(x)为R上的减函数,∴at2-2t>2t2+k-a,∴(t2+1)a-2t2-2t>k,a∈[-1,1]时恒成立,∴-(t2+1)-2t2-2t=-3t2-2t-1>k,t∈[-1,1]时恒成立,∵y=-3t2-2t-1=-3-,∴t=1时,y有最小值-6,∴k<-6.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1指数式的求值、估值和大小比较1.(2017安徽江淮十校第三次联考,10)函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(b x)与f(c x)的大小关系是()A.f(b x)≤f(c x)B.f(b x)≥f(c x)C.f(b x)>f(c x)D.与x有关,不确定答案A2.(2017安徽“江淮十校”第一次联考,5)已知m=0.95.1,n=5.10.9,p=log0.95.1,则这三个数的大小关系是()A.m<n<pB.m<p<nC.p<m<nD.p<n<m答案C方法2指数(型)函数的图象与性质3.(2017广东茂名二模,9)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=a x+b的图象是()答案C4.(2017福建泉州晋江平山中学期中,11)若函数f(x)=3-|x-1|+m的图象与x轴没有交点,则实数m的取值范围是()A.m≥0或m<-1B.m>0或m<-1C.m>1或m≤0D.m>1或m<0答案A。

2019-2020年高三数学一轮复习讲义指数与指数函数教案新人教A版高考要求：（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。

重点难点：对分数指数幂含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化掌握有理指数幂的运算性质；指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题．知识梳理1．根式的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a ( n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n＝a，则x叫做__a的n次方根___，其中n>1且n∈N*.式子na叫做__根式__，这里n叫做_根指数__，a叫做__被开方数______．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a 的n次方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写成________(a>0)．负数没有偶次方根______(_____(0)||(_____(0)naa na⎧⎪=≥⎧⎨=⎨⎪<⎩⎩为奇数）为偶数）;__________（须使有意义）.④零的任何次方根都是零．2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：N*).n个②零指数幂：③负整数指数幂： Q a≠0，).④正分数指数幂：a=（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.⑤负分数指数幂：=（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂___无意义_____.(2)有理指数幂的运算性质①a r a s＝________(a>0，r，s∈Q)．②(a r)s＝________(a>0，r，s∈Q)．③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)．（注）上述性质对r、R均适用。

【课时训练】指数与指数函数一、选择题1．(2019某某某某调研)函数f (x )＝2|x －1|的大致图象是( )A B C D 【答案】B【解析】由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，可知f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减．故选B.2．(2018某某某某一中月考)已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定【答案】A【解析】由题意可知a >1, f (－4)＝a 3,f (1)＝a 2，由y ＝a t(a >1)的单调性知a 3>a 2，所以 f (－4)>f (1)．3．(2018某某某某调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]【答案】B【解析】由f (1)＝19得a 2＝19，又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．4．(2018某某某某一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x >0，g x ，x <0.如果f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x B ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－xD ．－2x【答案】D【解析】由题图可知f (1)＝12，∴a ＝12，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .由题意得g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x.故选D.5．(2018某某省实验中学分校月考)函数y ＝16－2x的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)【答案】C【解析】函数y ＝16－2x中，因为16－2x≥0，所以2x≤16.因此2x∈(0,16]，所以16－2x∈[0,16)．故y ＝∈[0,4)．故选C.6．(2018某某某某第一中学月考)已知集合A ＝{x |(2－x )·(2＋x )>0}，则函数f (x )＝4x－2x ＋1－3(x ∈A )的最小值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4【答案】D【解析】由题知集合A ＝{x |－2<x <2}．又f (x )＝(2x )2－2×2x －3，设2x＝t ，则14<t <4，所以f (x )＝g (t )＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，且函数g (t )的对称轴为直线t ＝1，所以最小值为g (1)＝－4.故选D.7．(2018某某某某联考)已知函数f (x )＝e x，如果x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，则下列关于f (x )的性质：①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0；②y ＝f (x )不存在反函数；③f (x 1)＋f (x 2)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22；④方程f (x )＝x 2在(0，＋∞)上没有实数根．其中正确的是( )A ．①②B ．①④C ．①③D ．③④【答案】B8．(2018某某某某联考)若函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域与值域相同，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．±1【答案】B【解析】∵函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a ，∴函数f (x )的定义域为[a ，＋∞)． ∵函数f (x )的定义域与值域相同， ∴函数f (x )的值域为[a ，＋∞)．又∵函数f (x )在[a ，＋∞)上是单调递增函数，∴当x ＝a 时，f (a )＝2a －a ＋1－a ＝a ，解得a ＝1.故选B.二、填空题9．(2018某某某某一模)已知函数f (x )＝e x －e －xe x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________. 【答案】12【解析】∵f (x )＝e x－e －xe x ＋e －x ，f (a )＝－12，∴e a －e －a e a ＋e －a ＝－12.∴f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －ae a ＋e －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12. 10．(2018某某一中月考)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.【答案】 3【解析】当a >1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数，则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又a >1，∴a ＝ 3.当0<a <1时，f (x )＝a x－1在[0,2]上为减函数，又f (0)＝0≠2，∴0<a <1不成立．综上可知，a ＝ 3.11．(2018某某十校联考)已知max (a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max {e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________．【答案】e【解析】由于f (x )＝max {e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x，x <1.当x ≥1时，f (x )≥e，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x <1时，f (x )>e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.12．(2018某某某某海阳一中期中)已知函数f (x )＝2|x －2|－1在区间[0，m ]上的值域为[0,3]，则实数m 的取值X 围为________．【答案】[2,4] 【解析】函数f (x )＝2|x －2|－1的对称轴为直线x ＝2，且在(－∞，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．由于函数f (x )＝2|x －2|－1在区间[0，m ]上的值域为[0,3]且函数关于直线x ＝2对称，f (0)＝f (4)＝3，f (2)＝0，所以结合图象可知m ∈[2,4]．三、解答题13．(2018某某余姚中学月考)已知定义在R 上的函数 f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，某某数m 的取值X 围． 【解】(1)当x ＜0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x＝－12，∵2x＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0， ∴m ≥－(22t＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故实数m 的取值X 围是[－5，＋∞)．。

第五节 指与指函指与指函(1)了解指函模型的实际背景．(2)解有指幂的含义，了解实指幂的意义，掌握幂的运算．(3)解指函的概念，解指函的单调性，掌握指函图象通过的特殊点．(4)知道指函是一类重要的函模型．知识点一 根式与幂的运算 1．根式的性质 (1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇时，n a n ＝a . (3)当n 为偶时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧aa －aa <0.(4)负的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有指幂 (1)分指幂：①正分指幂：a m n＝n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分指幂：a －m n＝1am n＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分指幂等于0,0的负分指幂没有意义． (2)有指幂的运算性质①a r ·a s ＝a r ＋s (a >0，r 、s ∈Q )． ②(a r )s ＝a rs (a >0，r 、s ∈Q )． ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．易误提醒 在进行指幂的运算时，一般用分指幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分指幂，也不能既有分母又含有负指．易忽视字母的符号．[自测练习]1．简a 23·b －1－12·a －12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD.1a解析：原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a .答案：D知识点二 指函的图象与性质易误提醒 指函y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.必备方法1．指函图象的三个关键点画指函图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a .2．底a 与1的大小关系决定了指函图象的“升降”：当a >1时，指函的图象“上升”；当0<a <1时，指函的图象“下降”．3．底的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底越大，函图象越高．4．指函的图象向左(或向右)平移不会与x 轴有交点，向上(或向下)平移a 个单位后，图象都在直线y ＝a (或y ＝－a )的上方．[自测练习]2．函y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解：当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0，所以函y ＝a x －a 的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.答案：C3．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a解析：构造指函y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R )，由该函在定义域内单调递减可得b <c ；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x(x ∈R )之间有如下结论：当x >0时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x >⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即a >c ，故a >c >b . 答案：A4．指函y ＝(2－a )x 在定义域内是减函，则a 的取值范围是________．解析：由题意知0<2－a <1，解得1<a <2. 答案：(1,2)考点一 指幂的简与求值|求值与简：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫21412-－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·(－3a 12-b －1)÷(4a 23·b －3)12； (3)a 3b 23ab 2a 14b124a 13-b13(a >0，b >0)．解：(1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝－52a 16-b －3÷(4a 23·b －3) 12＝－54a 16-b －3÷(a 13b 32-)＝－54a 12-·b 32-＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2. (3)原式＝a 3b 2a 13b2312ab 2a 13-b13＝a3111263+-+b111233+--＝ab －1.指幂运算的四个原则1．有括号的先算括号里的，无括号的先做指运算． 2．先乘除后加减，负指幂成正指幂的倒．3．底是负，先确定符号，底是小，先成分，底是带分的，先成假分．4．若是根式，应为分指幂，尽可能用幂的形式表示，运用指幂的运算性质解答．考点二 指函图象及应用|(1)函f (x )＝2|x －1|的图象是( )[解析]f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <1，故选B.[答案] B(2)(2015·衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．[解析] 曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．[答案] [－1,1]与指函图象有关的应用问题的两种求解策略1．与指函有关的函的图象的研究，往往利用相应指函的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2．一些指方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指型函图象形结合求解．偶函f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在x ∈[0,4]上解的个是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由f (x －1)＝f (x ＋1)可知T ＝2.∵x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，又∵f (x )是偶函，∴可得图象如图．∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在x ∈[0,4]上解的个是4个．故选D.答案：D考点三 指函的性质及应用|高考常以选择题或填空题的形式考查指函的性质及应用，难度偏小，属于低档题．归纳起常见的命题探究角度有： 1．比较指式的大小．2．与指函有关的奇偶性及应用． 3．探究指型函的性质． 探究一 比较指式的大小1．(2015·高考山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：由指函y ＝0.6x 在(0，＋∞)上单调递减，可知0.61.5<0.60.6，由幂函y ＝x 0.6在(0，＋∞)上单调递增，可知0.60.6<1.50.6，所以b <a <c ，故选C.答案：C探究二 与指函有关的奇偶性及应用2．(2015·高考山东卷)若函f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：f (－x )＝2－x ＋12－x －a ＝2x ＋11－a ·2x ，由f (－x )＝－f (x )得2x ＋11－a ·2x＝－2x ＋12x －a ，即1－a ·2x ＝－2x ＋a ，简得a ·(1＋2x )＝1＋2x ，所以a＝1，f (x )＝2x ＋12x －1.由f (x )>3得0<x <1.故选C.答案：C探究三 指型函的性质应用3．已知函f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指函的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函，其值域不可能为R )．故a 的值为0.指函的性质及应用问题三种解题策略(1)比较大小问题．常利用指函的单调性及中间值(0或1)法． (2)简单的指方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指函的单调性，要特别注意底a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指函的综合问题时，要把指函的概念和性质同函的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底不确定时，对底的分类讨论．4.换元法解决与指函有关的值域问题【典例】 函y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．[思路点拨] 设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＝t 2，这样原函就可转为二次函．[解析] 因为x ∈[－3,2]，所以若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57[方法点评] 与指函有关的值域或最值问题，通常利用换元法，将其转为基本初等函的单调性或值域问题，注意换元过程中“元”的取值范围的变．[跟踪练习] 已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4， 又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.答案：52A 组 考点能力演练1．已知函f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a 、b 为常，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b <0D ．0<a <1，b >0解析：由图象呈下降趋势知，0<a <1，又a －b <1＝a 0，故－b >0，即b <0.答案：C2．函y ＝2x －2－x 是( )A ．奇函，在区间(0，＋∞)上单调递增B ．奇函，在区间(0，＋∞)上单调递减C ．偶函，在区间(－∞，0)上单调递增D ．偶函，在区间(－∞，0)上单调递减解析：根据奇偶性的定义判断函奇偶性，借助指函的图象及相关结论判断单调性．令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，所以函是奇函，排除C ，D.又函y ＝2x ，y ＝－2－x 都是R 上的增函，由增函加增函还是增函的结论可知f (x )＝2x －2－x 是R 上的增函，故选A.答案：A3．(2015·日照模拟)设函f (x )定义在实集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13解析：∵函f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )＝f (2－x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2－23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，又∵x ≥1时，f (x )＝3x－1为单调递增函，且43<32<53，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，故选B.答案：B4．已知实a ，b 满足等式2a ＝3b ，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b＝0.其中有可能成立的关系式有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：依题意，在同一坐标系下画出函y＝2x，y＝3x的图象与直线y＝t，平移直线y＝t，通过观察可知，直线y＝t分别与函y＝2x，y＝3x的图象的交点的横坐标a，b的大小关系可能是a<b<0；a＝b＝0；0<b<a，因此其中有可能成立的关系式共有3个，故选C.答案：C5．(2015·济宁三模)已知函f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2c D．2a＋2c<2解析：作出函f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.答案：D6．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.答案：27．已知函f (x )＝a x －1＋1(a ≠0)的图象恒过定点A ，则点A 的坐标是________．解析：由题意，因为a 为变量，所以只有当a x －1为定值时，函的图象才过定点，所以x ＝1，y ＝2，定点A (1,2)．答案：(1,2)8．函f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．解析：当a >1时，f (x )＝a x 为增函，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a .∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.答案：12或329．已知2x 2－x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1，求函y ＝2x －2－x 的值域．解：由2x 2－x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1＝2－2x ＋2，得x 2－x ≤－2x ＋2，即x 2＋x －2≤0解得－2≤x ≤1.令t ＝2x，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2，则y ＝t －1t ，易知y ＝t －1t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上是增函， 所以，函y ＝t －1t 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－154，32，即函y ＝2x －2－x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－154，32. 10．(2016·天津期末)已知函f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对的底)．(1)判断函f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明由．解：(1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )在R 上是增函．∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函．(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函和奇函，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立 ⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12≥0，∴⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12，∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R都成立．B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)下列函中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函是( )A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x解析：对于选项A ，f (x ＋y )＝(x ＋y )3≠f (x )f (y )＝x 3y 3，排除A ；对于选项B ，f (x ＋y )＝3x ＋y ＝3x ·3y ＝f (x )f (y )，且f (x )＝3x 在其定义域内是单调增函，B 正确；对于选项C ，f (x ＋y )＝x ＋y ≠f (x )f (y )＝x 12y 12＝xy ，排除C ；对于选项D ，f (x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝f (x )f (y )，但f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在其定义域内是减函，排除D.故选B.答案：B2．(2015·高考山东卷)已知函f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.解析：①当a >1时，f (x )在[－1,0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，f (x )在[－1,0]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－32.答案：－323．(2015·高考江苏卷)不等式2x 2－x <4的解集为________． 解析：不等式2x 2－x <4可转为2x 2－x <22，利用指函y ＝2x 的性质可得，x 2－x <2，解得－1<x <2，故所求解集为{x |－1<x <2}．答案：(－1,2)4．(2015·高考福建卷)若函f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实m 的最小值等于________．解析：因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函f (x )关于直线x ＝1对称，所以a ＝1，所以函f (x )＝2|x －1|的图象如图所示，因为函f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，所以m ≥1，所以实m 的最小值为1.答案：1。

2019-2020学年高三数学第一轮复习《第8课时 指数与指数函数》学案【考点概述】①了解指数函数模型的实际背景；②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；③理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图像通过的特殊点； ④知道指数函数是一类重要的函数模型．【重点难点】：对分数指数幂含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化掌握有理指数幂的运算性质； 指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论 比较简单的函数的有关问题．【知识扫描】1. 根式（2）两个重要公式______(_____(0)||(_____(0)n a a n a ⎧⎪=≥⎧⎨=⎨⎪<⎩⎩为奇数）为偶数）;②n =__________（a . 2. 有理指数幂(1)分数指数幂的表示：①正数的正分数指数幂是*______(0,,,1)m n a a m n N n =>∈>；②正数的负分数指数幂是*______________(0,,,1)mn a a m n N n -==>∈>；③0的正分数指数幂是________，0的负分数指数幂无意义.（2）有理指数幂的运算性质：),,0(R t s a ∈>①=t s a a ；②=t s a )( = ；③=t ab )( 。

1．=-3127 ；=0π；()=43325 ； ()[]=-++-+-----214334303101.0162)87(064.0 。

2．函数33x y a -=+恒过定点 。

3．函数x y 2=的单调递减区间为 。

4．函数y =的定义域是 ；121-+=x y 的值域为 ；1221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y 的值域为 。

5．函数x a x f )1()(2-=是R 上的减函数，则a 的取值范围是 。

6．已知12a =，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 . 7．已知,32121=+-xx 则=-+-+--84221x x x x 。

第8讲指数与指数函数考纲要求考情分析命题趋势1．根式（1)根式的概念（2)两个重要公式①错误!＝错误!②（错误!）n＝__a__(注意：a必须使错误!有意义)．2．有理数的指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：a错误!＝！！！错误!##＃（a>0，m，n∈N＊，且n>1）；②负分数指数幂：a－错误!＝!！！错误!＃＃#＝！！！错误!#＃#(a〉0，m，n∈N*,且n>1)．③0的正分数指数幂等于__0__,0的负分数指数幂__无意义__.(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝__a r＋s__（a〉0,r，s∈Q）；②(a r）s＝__a rs__(a〉0,r，s∈Q）；③(ab）r＝__a r b r__(a>0，b>0,r∈Q）．3．指数函数的图象与性质1．思维辨析（在括号内打“√"或“×”)．(1)错误!与（错误!)n都等于a（n∈N*)．(×）（2）2a·2b＝2a b．(×）（3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(√)（4)若a m〈a n（a>0且a≠1），则m<n。

（×）(5）函数y＝2－x在R上为单调减函数．（√)解析（1)错误．当n为偶数,a〈0时，错误!不成立．(2）错误。

2a·2b＝2a＋b≠2ab。

(3)正确．两个函数均不符合指数函数的定义．(4)错误．当a>1时，m<n；而当0〈a<1时，m>n.(5)正确．y＝2－x＝错误!x，根据指数函数的性质可知函数在R上为减函数．2．函数f（x）＝1－2x的定义域是（A）A．（－∞，0］B．[0，＋∞）C．(－∞，0）D．(－∞,＋∞）解析∵1－2x≥0,∴2x≤1，∴x≤0。

3．已知函数f（x）＝4＋a x－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(A)A．(1,5）B．(1，4)C．(0,4)D．(4，0）解析当x＝1时，f(x）＝5.4．不等式2x2－x<4的解集为__｛x|－1〈x〈2｝__。

2019年高三理科数学一轮复习：指数函数（解析版）1．根式(1)n 次方根：如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的 ，其中n ＞1，且n ∈N *.①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个 数，负数的n 次方根是一个 数，这时a 的n 次方根用符号 表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有 个，这两个数互为 ．这时，正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 次方根用符号 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成 ． ③负数没有偶次方根．④0的n (n ∈N *)次方根是 ，记作 ．(2)根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做 ，a 叫做 ． (3)根式的性质：n 为奇数时，na n ＝ ； n 为偶数时，na n ＝ . 2．幂的有关概念及运算(1)零指数幂：a 0＝ .这里a 0. (2)负整数指数幂：a －n ＝ (a ≠0，n ∈N *)．(3)正分数指数幂：a m n＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． (4)负分数指数幂：a -m＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． (5)0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ． (6)有理指数幂的运算性质 ⎩⎪⎨⎪⎧a r a s＝ （a ＞0，r ，s ∈Q ），（a r ）s＝ （a ＞0，r ，s ∈Q ），（ab ）r ＝ （a ＞0，b >0，r ∈Q ）.自查自纠1．(1)n 次方根 ①正 负 n a②两 相反数na －n a ±n a ④0 n0＝0(2)根指数 被开方数 (3)a |a | 2．(1)1 ≠ (2)1a n (3)na m (4)1n a m(5)0 没有意义 (6)a r ＋s a rs a r b r3．R (0，＋∞) (0，1) 增函数 减函数－(0.01)－0.5＋0.2－2＝( )A ．－15B ．10C ．15D ．25解：原式＝－(10－2)－12＋(5－1)－2＝－10＋52＝15.故选C .函数y ＝a x －3＋3(a ＞0且a ≠1)的图象过定点( )A ．(3，3)B ．(3，4)C ．(0，3)D ．(0，4)解：当x ＝3时，无论a 取何值y ＝4，故过定点(3，4)．故选B .(2016·北京)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0 C.⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0 D ．ln x ＋ln y >0解：y ＝⎝⎛⎭⎫12x 单调递减，所以⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0⇔x >y .故选C .设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 12，x ≥1， 则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解：当x <1时，ex －1≤2，即ex －1≤e ln2，得x ≤1＋ln2，所以x <1；当x ≥1时，x 12≤2＝412，得x ≤4，所以1≤x ≤4.综上，x ≤4.故填(－∞，4]．(2015·山东)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________.解：若0<a <1，则f (x )在区间[－1，0]上为减函数，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2.若a >1，则f (x )在区间[－1，0]上为增函数，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．所以a ＋b ＝12－2＝－32.故填－32.类型一 指数幂的运算(1)化简求值：⎝⎛⎭⎫－278－23＋(0.002) －12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)211113322---（）(3)已知a 12＋a -12＝3，则a ＋a 2＋1a ＋a －1＋1＝________. 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫－278－23＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1＝⎝⎛⎭⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.(2)原式＝111111111533223262361566·····ab a baba b-----+-=＝1a. (3)将a 12＋a －12＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，所以a ＋a －1＝7.将a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，所以a 2＋a －2＝47，所以a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1＝47＋17＋1＝6.故填6. 【点拨】指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(1)化简求值：⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5；(2)化简：4a 23b －13÷113323a b --⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a ＞b ＞0，则a －ba ＋b＝________. 解：(1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝21113333·a b+-+（-6）＝－6a .(3)由已知得，a ＋b ＝6，ab ＝4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－46＋4＝15. 因为a ＞b ＞0，所以a ＞b ，所以a －b a ＋b ＝55.故填55.类型二 指数函数的图象及应用(1)函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0解：由图象知f (x )是减函数，所以0＜a ＜1，又由图象在y 轴的截距小于1可知a －b ＜1，即－b ＞0，所以b ＜0.故选D .(2)(2015·湖南)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 解：令|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b ，令y ＝|2x －2|，y ＝b ，其函数图象有两个交点，结合函数图象可知，0<b <2，即b ∈(0，2)．故填(0，2)．【点拨】①对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．②有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解：f (x )＝1－e |x |是偶函数，图象关于y 轴对称，又e |x |≥1，所以f (x )的值域为(－∞，0]，因此排除B 、C 、D ，只有A 满足．故选A .(2)(2017·福建五校联考)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ， 则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )解：因为当x ≤0时，2x ≤1；当x >0时，2x >1.则f (x )＝1⊕2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，1，x ＞0， 图象A 满足．故选A .类型三 指数函数的综合问题已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．(1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1，6)，B (3，24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ②②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，所以a ＝2，b ＝3，所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立可化为m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在x ∈(－∞，1]时恒成立．令g (x )＝⎝⎛⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x ，则g (x )在(－∞，1]上单调递减，所以m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56. 【点拨】解决指数函数的综合问题，首先要熟练掌握指数函数的基本性质，如函数值恒正，在R 上单调，过定点等；对于底数a 与1的大小关系不明确的，要分类讨论；涉及零点问题往往要数形结合；不同底的往往要化同底，并注意换元思想的应用．(1)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－2，2]上的函数值总小于2，则实数a 的取值范围是________．(2)若不等式1＋2x ＋4x ·a >0在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：(1)要使函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－2，2]上的函数值总小于2， 只需f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－2，2]上的最大值小于2.当a >1时，f (x )max ＝a 2<2，解得1<a <2；当0<a <1时，f (x )max ＝a －2<2，解得22<a <1. 所以a ∈⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2)．故填⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2)． (2)从已知不等式中分离出实数a ，得a >－[⎝⎛⎭⎫14x＋⎝⎛⎭⎫12x]．因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x 和y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上都是减函数，所以当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫14x ≥14，⎝⎛⎭⎫12x ≥12，所以⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≥14＋12＝34，从而得－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x＋⎝⎛⎭⎫12x ≤－34.故a >－34.故填⎝⎛⎭⎫－34，＋∞.1．指数函数的图象、性质在应用时，如果底数a 的取值范围不确定，则要对其进行分类讨论．2．比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同．如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要利用中间量．3．作指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象应抓住三个点⎝⎛⎭⎫－1，1a ，(0，1)，(1，a )．1．计算1.5－13×⎝⎛⎭⎫－760＋80.25×42－⎝⎛⎭⎫2323＝( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2解：原式＝⎝⎛⎭⎫2313＋234×214－⎝⎛⎭⎫2313＝2.故选D .2．(2016·海南中学模拟)已知函数f (x )＝4＋2a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点P ，则点P 的坐标是( )A ．(1，6)B ．(1，5)C ．(0，5)D ．(5，0)解：当x ＝1时，f (1)＝6，与a 无关，所以函数f (x )＝4＋2a x －1的图象恒过点P (1，6)．故选A .3．(2017·德州一模)已知a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解：因为y ＝⎝⎛⎭⎫25x 在R 上为减函数，35>25，所以b <c .又因为y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35>25，所以a >c ，所以b <c <a .故选D .4．(2017·衡水中学模拟)若a ＝⎝⎛⎭⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <aC ．a <b <cD ．a <c <b解：当x >1时，0<a ＝⎝⎛⎭⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝log 23x <0，所以c <a <b .故选A .5．(2017·西安调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解：由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B .6．(2017·宜宾诊断检测)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0，4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )解：因为x ∈(0，4)，所以x ＋1>1，所以f (x )＝x ＋1＋9x ＋1－5≥6－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，取等号．所以a ＝2，b ＝1.因此g (x )＝2|x ＋1|，该函数图象由y ＝2|x |向左平移一个单位得到，结合图象知A 正确．故选A .7．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，g （x ），x ＜0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.解：依题意，f (1)＝12，所以a ＝12，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0.所以g (x )＝－f (－x )＝－⎝⎛⎭⎫12－x ＝－2x .故填－2x (x<0)．8．(2017·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．解：作y ＝|x |与y ＝|x －2|的图象知两图象交于点(1，1)，从而易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥1，e|x －2|，x ＜1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.故填e .9．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，求a 的值． 解：令t ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．①当0＜a ＜1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.解得a ＝13⎝⎛⎭⎫a ＝－15舍去. ②当a ＞1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.10．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立．解：(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝⎝⎛⎭⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫a x 1－a x ＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫－1－1a x －1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )． 所以f (x )是偶函数．(2)由(1)知f (x )为偶函数，所以只需讨论x >0时的情况．当x >0时，要使f (x )>0，即⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3>0，即1a x －1＋12>0，即a x＋12（a x－1）>0，则a x >1. 又因为x >0，所以a >1.因此a >1时，f (x )>0. 故a 的取值范围为(1，＋∞)．11．(2017·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解：(1)因为f (x )＝e x －⎝⎛⎭⎫1e x，所以f ′(x )＝e x ＋⎝⎛⎭⎫1e x ，所以f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立， 所以f (x )在R 上是增函数．又因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． (2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数， 则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立， ⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝⎛⎭⎫t ＋122≤0，又⎝⎛⎭⎫t ＋122≥0，所以⎝⎛⎭⎫t ＋122＝0，所以t ＝－12. 所以存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x ＜1，2x －12，x ≥1， 设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．解：画出函数图象如图所示，由图象可知要使a >b ≥0，f (a )＝f (b )同时成立，则12≤b <1，bf (a )＝b ·f (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ＝⎝⎛⎭⎫b ＋122－14，所以34≤b ·f (a )<2.故填⎣⎡⎭⎫34，2.。

高考数学（理科）一轮复习指数与指数函数学案有答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址www.5ykj.com 学案7 指数与指数函数导学目标：1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型．自主梳理．指数幂的概念根式如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫做________，其中n&gt;1且n∈N*.式子na叫做________，这里n叫做________，a 叫做____________．根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写成________．③n＝____.④当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a&lt;0.⑤当n为奇数时，nan＝____.⑥负数没有偶次方根．⑦零的任何次方根都是零．2．有理指数幂分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是＝________．②正数的负分数指数幂是＝____________＝______________．③0的正分数指数幂是______，0的负分数指数幂无意义．有理指数幂的运算性质①aras＝________．②s＝________．③r＝________．3．指数函数的图象与性质a&gt;10&lt;a&lt;1图象定义域________值域________性质过定点________当x&gt;0时，______；当x&lt;0时，______ 当x&gt;0时，________；当x&lt;0时，______ 在上是______在上是______自我检测．下列结论正确的个数是①当a&lt;0时，＝a3；②nan＝|a|；③函数y＝－0的定义域是；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.A．0B．1c．2D．32．函数y＝ax是指数函数，则有A．a＝1或a＝2B．a＝1c．a＝2D．a&gt;0且a≠13．如图所示的曲线c1，c2，c3，c4分别是函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象，则a，b，c，d的大小关系是A．a&lt;b&lt;1&lt;c&lt;dB．a&lt;b&lt;1&lt;d&lt;cc．b&lt;a&lt;1&lt;c&lt;dD．b&lt;a&lt;1&lt;d&lt;c4．若a&gt;1，b&gt;0，且ab＋a－b＝22，则ab－a－b 的值等于A.6B．2或－2c．－2D．25．函数f＝ax－b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是A．a&gt;1，b&lt;0B．a&gt;1，b&gt;0c．0&lt;a&lt;1，b&gt;0D．0&lt;a&lt;1，b&lt;0探究点一有理指数幂的化简与求值例1 已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的两根，且a&lt;b，求：a－1＋b－1&#61480;ab&#61481;－1；÷3a－8&#8226;3a15.变式迁移1 化简的结果是A.baB．abc.abD．a2b探究点二指数函数的图象及其应用例2 已知函数y＝|x＋1|.作出函数的图象；由图象指出其单调区间；由图象指出当x取什么值时有最值，并求出最值．变式迁移2 函数y＝ex＋e－xex－e－x的图象大致为探究点三指数函数的性质及应用例3 如果函数y＝a2x＋2ax－1在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．变式迁移3 已知函数f＝x3.求f的定义域；证明：f＝f；证明：f&gt;0.分类讨论思想的应用例已知f＝aa2－1．判断f的奇偶性；讨论f的单调性；当x∈[－1,1]时f≥b恒成立，求b的取值范围．【答题模板】解函数定义域为R，关于原点对称．又因为f＝aa2－1＝－f，所以f为奇函数．[3分]当a&gt;1时，a2－1&gt;0，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x 为增函数，所以f为增函数．[5分]当0&lt;a&lt;1时，a2－1&lt;0，y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x 为减函数，所以f为增函数．故当a&gt;0，且a≠1时，f在定义域内单调递增．[7分]由知f在R上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数，∴f≤f≤f，∴fmin＝f＝aa2－1＝aa2－1&#8226;1－a2a＝－1.[10分]∴要使f≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，故b的取值范围是问是难点，讨论f的单调性对参数a 如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一．【易错点剖析】在中，函数的单调性既与ax－a－x有关，还与aa2－1的符号有关，若没考虑aa2－1的符号就会出错，另外分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，如果没有一个总结性的表达也要扣分，在表达时如果不呈现a的题设条件中的范围也是错误的．．一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于用运算性质进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0&lt;c&lt;d&lt;1&lt;a&lt;b.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．一、选择题．函数y＝的值域是A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)c．D．[2，＋∞)2．函数y＝xax|x|的图象的大致形状是3．函数f＝4x＋12x的图象A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称c．关于x轴对称D．关于y轴对称4．定义运算a b＝a&#61480;a≤b&#61481;，b&#61480;a&gt;b&#61481;，则函数f＝12x的图象是5．若关于x的方程|ax－1|＝2a有两个不等实根，则a 的取值范围是A．∪B．c．D．题号2345答案二、填空题6．函数f＝－x＋3a，x&lt;0，ax，x≥0是R上的减函数，则a的取值范围是________．7．设函数f＝x，x∈R是偶函数，则实数a＝________.8．若函数f＝ax－1的定义域和值域都是[0,2]，则实数a的值为________．三、解答题9．已知定义域为R的函数f＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．求a，b的值；若对任意的t∈R，不等式f＋f&lt;0恒成立，求k的取值范围．0．已知函数f＝3x，f＝18，g＝λ&#8226;3ax－4x的定义域为[0,1]．求a的值．若函数g在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．1．函数y＝1＋2x＋4xa在x∈a的n次方根根式根指数被开方数①na②na －na ±na ③a ⑤a 2.①nam ②1nam③0①ar＋s②ars③arbr 3.R y&gt;1 0&lt;y&lt;1 0&lt;y&lt;1y&gt;1 增函数减函数自我检测．B [只有④正确．①中a&lt;0时，&gt;0，a3&lt;0，所以≠a3；②中，n为奇数时且a&lt;0时，nan＝a；③中定义域为[2，73)∪．]2．c [∵y＝ax是指数函数，∴a2－3a＋3＝1，解得a ＝2或a＝1．]3．D [y轴左、右的图象对应函数的底数按逆时针方向增大．所以c&gt;d&gt;1,1&gt;a&gt;b&gt;0.]4．D [2＝2－4＝4，∵a&gt;1，b&gt;0，∴ab&gt;1,0&lt;a－b&lt;1，∴ab －a－b＝2.]5．D [由f＝ax－b的图象可以观察出，函数f＝ax－b 在定义域上单调递减，所以0&lt;a&lt;1；函数f＝ax－b的图象是在f＝ax的基础上向左平移得到的，所以b&lt;0.]课堂活动区例1 解题导引 1.指数幂的化简原则化负数指数为正指数；化根式为分数指数幂；化小数为分数．2．指数幂的化简结果要求为有关有理指数幂的化简结果不要同时含有根号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指幂，即尽量化成与题目表示形式一致且统一的最简结果．解∵a，b是方程的两根，而由9x2－82x＋9＝0解得x1＝19，x2＝9，且a&lt;b，故a＝19，b＝9，化去负指数后求解．a－1＋b－1&#61480;ab&#61481;－1＝1a＋1b1ab＝a＋bab1ab＝a＋b.∵a＝19，b＝9，∴a＋b＝829，即原式＝829.原式＝&#8226;÷＝＝.∵a＝19，∴原式＝3.变式迁移1 c [原式＝＝＝ab－1＝ab.]例2 解题导引在作函数图象时，首先要研究函数与某一基本函数的关系，然后通过平移、对称或伸缩来完成．解方法一由函数解析式可得y＝|x＋1|＝&#61480;13&#61481;x＋1，x≥－1，3xx&lt;－1.其图象由两部分组成：一部分是：y＝x――→向左平移1个单位y＝x＋1；另一部分是：y＝3x――→向左平移1个单位y＝3x＋1．如图所示．方法二①由y＝|x|可知函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，故先作出y＝x的图象，保留x≥0的部分，当x&lt;0时，其图象是将y＝x图象关于y轴对折，从而得出y＝|x|的图象．②将y＝|x|向左移动1个单位，即可得y＝|x＋1|的图象，如图所示．由图象知函数在上是减函数．由图象知当x＝－1时，有最大值1，无最小值．变式迁移2 A [y＝ex＋e－xex－e－x＝1＋2e2x－1，当x&gt;0时，e2x－1&gt;0，且随着x的增大而增大，故y ＝1＋2e2x－1&gt;1且随着x的增大而减小，即函数y在上恒大于1且单调递减．又函数y是奇函数，故只有A正确．] 例3 解题导引 1.指数函数y＝ax的图象与性质与a 的取值有关，要特别注意区分a&gt;1与0&lt;a&lt;1来研2．指数函数与二次函数复合而成的初等函数的性质可通过换元的方法转化为指数函数或二次函数的性质．解设t＝ax，则y＝f＝t2＋2t－1＝2－2.当a&gt;1时，t∈[a－1，a]，∴ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3，满足a&gt;1；当0&lt;a&lt;1时，t∈[a，a－1]，∴ymax＝2＋2a－1－1＝14，解得a＝13，满足0&lt;a&lt;1.故所求a的值为3或13.变式迁移3 解由2x－1≠0&#8658;x≠0，所以定义域为∪．证明f＝x3可化为f＝2x＋12&#61480;2x－1&#61481;&#8226;x3，则f＝2－x＋12&#61480;2－x－1&#61481;3＝2x＋12&#61480;2x－1&#61481;x3＝f，所以f＝f．证明当x&gt;0时，2x&gt;1，x3&gt;0，所以x3&gt;0.因为f＝f，所以当x&lt;0时，f＝f&gt;0.综上所述，f&gt;0.课后练习区．B [由y＝中x≥0，所以y＝≥20＝1，即函数的值域为[1，＋∞)．]2．D [函数的定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝xax|x|＝ax，x&gt;0－ax，x&lt;0.当x&gt;0时，函数是一个指数函数，其底数a满足0&lt;a&lt;1，所以函数递减；当x&lt;0时，函数图象与指数函数y＝ax的图象关于x轴对称，函数递增．]3．D [函数定义域为R，关于原点对称，∵f＝4－x＋12－x＝1＋4x2x＝f，∴f是偶函数，图象关于y轴对称．]4．A [当x&lt;0时，0&lt;2x&lt;1，此时f＝2x；当x≥0时，2x≥1，此时f＝1.所以f＝12x＝2x &#61480;x&lt;0&#61481;，1&#61480;x≥0&#61481;.]5．D [方程|ax－1|＝2a有两个不等实根可转化为函数y＝|ax－1|与函数y＝2a有两个不同交点，作出函数y＝|ax －1|的图象，从图象观察可知只有0&lt;2a&lt;1时，符合题意，即0&lt;a&lt;12.]6．[13，1)解析据单调性定义，f为减函数应满足：0&lt;a&lt;1，3a≥a0，即13≤a&lt;1.7．－1解析设g＝ex＋ae－x，则f＝xg是偶函数．∴g＝ex＋ae－x是奇函数．∴g＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1.8.3解析当a&gt;1时，f＝2，∴a2－1＝2，a＝3，经验证符合题意；当0&lt;a&lt;1时，f＝2，即1－1＝2，无解．∴a＝3.9．解∵f是定义域为R的奇函数，∴f＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，…………………………………………………从而有f＝－2x＋12x＋1＋a.又由f＝－f知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2.经检验a＝2适合题意，∴所求a、b的值分别为2、1.……………………………………………………………由知f＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1.由上式易知f在上为减函数．…………………………………………又因f是奇函数，从而不等式f&lt;－f＝f．……………………………………………………………………………因为f是减函数，由上式推得t2－2t&gt;－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k&gt;0.从而判别式Δ＝4＋12k&lt;0，解得k&lt;－13.………………………………………………0．解方法一由已知得3a＋2＝18&#8658;3a＝2&#8658;a＝log32.…………………………此时g＝λ&#8226;2x－4x，设0≤x1&lt;x2≤1，因为g在区间[0,1]上是单调递减函数，所以g－g＝&gt;0恒成立，……………………………即λ&lt;恒成立．由于＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.……………………………………………………………………………………………方法二由已知得3a＋2＝18&#8658;3a＝2&#8658;a＝log32.……………………………………………………………………………………………此时g＝λ&#8226;2x－4x，因为g在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g′＝λln2&#8226;2x－ln4&#8226;4x＝2xln2≤0成立，…………………………所以只需要λ≤2&#8226;2x恒成立．所以实数λ的取值范围是λ≤2.…………………………1．解由题意得1＋2x＋4xa&gt;0在x∈又因为－1＋2x4x＝－2x－x，设t＝x，∵x≤1，∴t≥12且函数f＝－t2－t＝－2＋14在t＝12时，取到最大值．∴x＝12即x＝1时，－1＋2x4x的最大值为－34，………………………………………∴a&gt;－34.…………………………………………………………………………………www.5ykj.co 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第4讲 指数与指数函数【2019年高考会这样考】1．考查指数函数的图象与性质及其应用．2．以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用． 3．以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算或比较大小． 【复习指导】1．熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重．2．本讲复习，还应结合具体实例了解指数函数的模型，利用图象掌握指数函数的性质．重点解决：(1)指数幂的运算；(2)指数函数的图象与性质.基础梳理1．根式 (1)根式的概念如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且，n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号na 表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－na 表示．正负两个n 次方根可以合写为±na (a ＞0)． ③⎝⎛⎭⎫n a n ＝a . ④当n 为奇数时，na n ＝a ；当n 为偶数时，na n＝ |a |＝⎩⎨⎧a (a ≥0)－a (a ＜0).⑤负数没有偶次方根．2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n＝a·a·…·an个(n∈N*)；②零指数幂：a0＝1(a≠0)；③负整数指数幂：a－p＝1a p(a≠0，p∈N*)；④正分数指数幂：a mn＝na m(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)；⑤负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1na m(a＞0，m、n∈N*且n＞1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝a r＋s(a＞0，r、s∈Q)②(a r)s＝a rs(a＞0，r、s∈Q)③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质R分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论． (2)换元时注意换元后“新元”的范围． 三个关键点画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a . 双基自测1．(2019·山东)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( )． A ．0 B.33 C ．1 D. 3解析 由题意有3a ＝9，则a ＝2，∴tan a π6＝tan π3＝ 3. 答案 D2．(2019·郴州五校联考)函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )．解析f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，故选B.答案 B 3．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )． A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值解析 设y ＝f (x )，t ＝2x ＋1，则y ＝1t ，t ＝2x ＋1，x ∈(－∞，＋∞)t ＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上递增，值域为(1，＋∞)． 因此y ＝1t 在(1，＋∞)上递减，值域为(0,1)． 答案 A4．(2019·天津)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( )．A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b解析 c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3＝5－log 30.3＝5log 3103，log 23.4＞log 22＝1，log 43.6＜log 44＝1，log 3103＞log 33＝1，又log 23.4＞log 2103＞log 3 103，∴log 2 3.4＞log 3 103＞log 4 3.6 又∵y ＝5x 是增函数，∴a ＞c ＞b . 答案 C5．(2019·天津一中月考)已知a 12＋a －12＝3，则a ＋a －1＝______；a 2＋a －2＝________.解析 由已知条件(a 12＋a －12)2＝9.整理得：a ＋a －1＝7 又(a ＋a －1)2＝49，因此a 2＋a －2＝47. 答案 7 47考向一 指数幂的化简与求值【例1】►化简下列各式(其中各字母均为正数)． (1)(a 23·b －1)－12·a －12·b 136a ·b 5；(2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12.[审题视点] 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键． 解 (1)原式＝a －13b 12·a －12b13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a . (2)原式＝－52a －16b －3÷(4a 23·b －3)12 ＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32 ＝－54a －12·b －32 ＝－54·1ab3＝－5ab 4ab 2.化简结果要求(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂． 【训练1】 计算：(1)0.027－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912－()2－10；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·(4ab －1)30.1－2(a 3b －3)12.解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 000－13－(－1)－2⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45.(2)原式＝412·432100·a 32·a －32·b 32·b －32＝425a 0·b 0＝425.考向二 指数函数的性质【例2】►已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12·x 3(a ＞0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的奇偶性；(3)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立．[审题视点] 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决．解 (1)由于a x －1≠0，且a x ≠1，所以x ≠0. ∴函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}． (2)对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a x ＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(3)当a ＞1时，对x ＞0，由指数函数的性质知a x ＞1， ∴a x －1＞0，1a x －1＋12＞0. 又x ＞0时，x 3＞0，∴x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12＞0， 即当x ＞0时，f (x )＞0.又由(2)知f (x )为偶函数，即f (－x )＝f (x )， 则当x ＜0时，－x ＞0，有f (－x )＝f (x )＞0成立． 综上可知，当a ＞1时，f (x )＞0在定义域上恒成立． 当0＜a ＜1时，f (x )＝(a x ＋1)x 32(a x －1).当x ＞0时，1＞a x ＞0，a x ＋1＞0，a x －1＜0，x 3＞0，此时f (x )＜0，不满足题意； 当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝f (x )＜0，也不满足题意．综上可知，所求a 的取值范围是a ＞1.(1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f (－x )±f (x )，f (x )f (－x )来判断． (2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法． 【训练2】 设f (x )＝e －x a ＋ae －x 是定义在R 上的函数．(1)f (x )可能是奇函数吗？(2)若f (x )是偶函数，试研究其在(0，＋∞)的单调性． 解 (1)假设f (x )是奇函数，由于定义域为R ， ∴f (－x )＝－f (x )，即e x a ＋ae x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫e －x a ＋a e －x ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a (e x ＋e －x )＝0，即a ＋1a ＝0，即a 2＋1＝0显然无解． ∴f (x )不可能是奇函数．(2)因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 即e x a ＋a e x ＝e －x a ＋a e－x ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a (e x －e －x )＝0，又∵对任意x ∈R 都成立，∴有a －1a ＝0，得a ＝±1. 当a ＝1时，f (x )＝e －x ＋e x ，以下讨论其单调性， 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1＋e －x 1－ e x 2－e －x 2 ＝(e x 1－e x 2)(e x 1＋x 2－1)e x 1＋x 2，∵x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，∴e x 1＋x 2＞1，e x 1－e x 2＜0，∴e x 1＋x 2－1＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴函数f (x )＝e －x a ＋ae－x ，当a ＝1时在(0，＋∞)为增函数，同理，当a ＝－1时，f (x )在(0，＋∞)为减函数．考向三 指数函数图象的应用【例3】►(2009·山东)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为( )．[审题视点] 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性． 解析 y ＝e 2x ＋1e 2x －1＝1＋2e 2x －1，当x ＞0时，e 2x －1＞0且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2e 2x－1＞1且随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减，又函数y 是奇函数，故选A. 答案 A利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数y ＝a x －1a x ＋1，y ＝e x －e －x2，y ＝lg(10x －1)等．【训练3】 已知方程10x ＝10－x ，lg x ＋x ＝10的实数解分别为α和β，则α＋β的值是________．解析 作函数y ＝f (x )＝10x ，y ＝g (x )＝lg x ，y ＝h (x )＝10－x 的图象如图所示，由于y ＝f (x )与y ＝g (x )互为反函数，∴它们的图象是关于直线y ＝x 对称的．又直线y ＝h (x )与y ＝x 垂直，∴y ＝f (x )与y ＝h (x )的交点A 和y ＝g (x )与y ＝h (x )的交点B 是关于直线y ＝x 对称的．而y ＝x 与y ＝h (x )的交点为(5,5)．又方程10x ＝10－x 的解α为A 点横坐标，同理，β为B 点横坐标．∴α＋β2＝5，即α＋β＝10. 答案 10难点突破3——如何求解新情景下指数函数的问题高考中对指数函数的考查，往往突出新概念、新定义、新情景中的问题，题目除最基本问题外，注重考查一些小、巧、活的问题，突出考查思维能力和化归等数学思想．一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法【示例】► (2019·福建五市模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥K ，K ，f (x )＜K ，取函数f (x )＝2＋x ＋e －x ，若对任意的x ∈(－∞，＋∞)，恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最大值为________． 二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法 【示例】► 若f 1(x )＝3|x －1|，f 2(x )＝2·3|x －a |，x ∈R ，且f (x )＝⎩⎨⎧f 1(x )，f 1(x )≤f 2(x )，f 2(x )，f 1(x )＞f 2(x )，则f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立，则实数a 的取值范围是________．。

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式的性质 (1)(na )n＝a .(2)当n 为奇数时na n＝a . 当n 为偶数时na n＝{ aa －a a.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 (n ∈N *)． ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．③负整数指数幂：a －p ＝1ap (a ≠0，p ∈N *)．④正分数指数幂：a m n＝na m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)． ⑤负分数指数幂：a －m n＝1a m n＝1na m(a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s＝ar ＋s(a >0，r 、s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a >0，r 、s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质y ＝a xa >10<a <1图象定义域 (1)R 值域(2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0,1)(4)当x >0时，y >1；x <0时，0<y <1(5)当x >0时，0<y <1；x <0时，y >1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数【必会结论】1．(na )n ＝a (n ∈N *且n >1)．2.na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数且n >1，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0，n 为偶数且n >1.3．底数a 的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a ＞1，还是0＜a ＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．高频考点一 指数幂的运算 例1、求值与化简：(1)8 23 ×100－12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫14－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34 ；(2)56a 13 ·b －2·(－3a －12 b －1)÷(4a 23 ·b －3) 12 ； (3)3a 92a －3÷3a －73a 13.解 (1)原式＝(23) 23 ×(102) －12 ×(2－2)－3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34 ＝22×10－1×26×⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝8625. (2)原式＝－52a －16 b －3÷(4a 23 ·b －3)12＝－54a －16 b －3÷(a 13 b －32 )＝－54a －12·b －32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.(3)原式＝(a 92 a －32 ) 13 ÷(a －73 a 133 ) 12 ＝(a 3) 13 ÷(a 2) 12 ＝a ÷a ＝1.【变式探究】化简：(1)a3b23ab2a 14b124a13-b13(a>0，b>0)；(2)()21103227()0.00210(52)(23).8--－－＋－－＋－解 (1)原式＝a3b2a 13b2312ab2a13-b13＝a3111263+-+b111233+--＝ab －1.(2)原式＝122327110()850052--⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋－＋1－＝122381()527500⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋－10(+2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 【方法规律】指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．【变式探究】 (1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝_______________________________.(2)(14)12 ·4ab －1－－12＝________.答案 (1)0 (2)85高频考点二 指数函数的图象及应用例2、已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b ≥0，c >0 C ．2－a<2c D ．2a ＋2c<2 答案 D解析 作出函数f (x )＝|2x－1|的图象(如图中实线所示)，又a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知f (a )<1，a <0，c >0，∴0<2a <1,2c >1，∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a ，f (c )＝|2c －1|＝2c －1.又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，∴2a ＋2c<2.【变式探究】(1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2)若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 解析 (1)f (x )＝1－e |x |是偶函数，图象关于y 轴对称， 又e |x |≥1，∴f (x )的值域为(－∞，0]， 因此排除B 、C 、D ，只有A 满足．(2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]．答案 (1)A (2)[－1，1]【方法规律】(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．【变式探究】 (1)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x的图象是( )(2)方程2x＝2－x 的解的个数是________． 解析 (1)因为当x ≤0时，2x≤1；当x >0时，2x>1.则f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，1，x >0，图象A 满足．(2)方程的解可看作函数y ＝2x和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解． 答案 (1)A (2)1高频考点三 指数函数的图象和性质 命题角度1 比较指数幂的大小例1、已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 23 ，b ＝2－43 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则下列关系式中正确的是( )A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c 答案 B解析 把b 化简为b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 43 ，而函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，43>23>13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12 43 <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 23 <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 13 ，即b <a <c .命题角度2 解简单的指数不等式例2、设函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝3x－9，则f (x －3)>0的解集是( ) A ．{x |x <－2或x >2} B ．{x |x <－2或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <1或x >5} 答案 D解析 当x ≥0时，由f (x )＝3x－9>0得x >2，所以f (x )>0的解集为{x |x >2或x <－2}．将函数f (x )的图象向右平移3个单位，得到函数f (x －3)的图象，所以不等式f (x －3)>0的解集为{x |x <1或x >5}．选D.命题角度3 与指数函数有关的复合函数问题 例/3、 (1)已知函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)内单调递增，则a 的取值范围为________．答案 [6，＋∞) 解析 函数y ＝2－x 2＋ax ＋1是由函数y ＝2t 和t ＝－x 2＋ax ＋1复合而成．因为函数t ＝－x 2＋ax ＋1在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，a 2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递减，且函数y ＝2t 在R 上单调递增，所以函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，a2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫a2，＋∞上单调递减．又因为函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)内单调递增，所以3≤a2，即a ≥6.(2)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在x ∈[－3,2]上的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57【变式探究】有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．高频考点四、和指数函数有关的复合函数的性质例4、设函数f(x)＝kax －a －x(a>0且a≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x －4)>0的解集；(2)若f(1)＝32，且g(x)＝a2x ＋a －2x －4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．解 因为f(x)是定义域为R 的奇函数，所以f(0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1，f(x)＝ax －a －x. (1)因为f(1)>0，所以a －1a >0，又a>0且a≠1，所以a>1.因为f′(x)＝axlna ＋a －xlna ＝(ax ＋a －x)lna>0，所以f(x)在R 上为增函数，原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)， 所以x2＋2x>4－x ，即x2＋3x －4>0， 所以x>1或x<－4.所以不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．【感悟提升】指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．【变式探究】(1)已知函数f(x)＝2|2x －m|(m 为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．(2)如果函数y ＝a2x ＋2ax －1(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为( ) A.13 B ．1 C ．3D.13或3 答案 (1)(－∞，4] (2)D解析 (1)令t ＝|2x －m|，则t ＝|2x －m|在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减．而y ＝2t为R 上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x －m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．(2)令ax ＝t ，则y ＝a2x ＋2ax －1＝t2＋2t －1 ＝(t ＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[1a，a]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增， 所以ymax ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)． 当0<a<1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[a，1a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a ]上单调递增，则ymax ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13(负值舍去)．综上知a ＝3或a ＝13.高频考点五、换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用例5、(1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12221－＋＋x x 的单调减区间为________________________________． 解析 (1)因为x∈[－3,2]，所以若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8， 故y ＝t2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，ymin ＝34；当t ＝8时，ymax ＝57.故所求函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.【特别提醒】(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．【方法与技巧】1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值，再进行比较． 2．指数函数y ＝ax (a>0，a≠1)的性质和a 的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1. 3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．1.【2016高考新课标3理数】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 【2015高考天津，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<，故选C.【2015高考山东，理10】设函数()31,1,2,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()()()2f a f f a =的a 取值范围是（ ）（A ）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]0,1 （C ）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（D ）[)1,+∞ 【答案】C（2014·福建卷）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1­1所示，则下列函数图像正确的是( )图1­1A BC D 【答案】B【解析】由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3。