2019届高考理科数学一轮复习精品学案:第8讲 指数与指数函数(含解析)
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2.4指数与指数函数考情分析1.考查指数函数的图象与性质及其应用.2.以指数与指数函数为知识载体,考查指数的运算和函数图象的应用. 3.以指数或指数型函数为 基础知识 1.根式 (1)根式的概念如果一个数的n 次方等于a(n >1且,n ∈N *),那么这个数叫做a 的n 次方根.也就是,若x n=a ,则x 叫做a 的n 次方根,其中n >1且n ∈N *.式子n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数. (2)根式的性质①当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时,a 的n 次方根用符号na 表示.②当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的n 次方根用符号na 表示,负的n 次方根用符号-n a 表示.正负两个n 次方根可以合写为±na(a >0).③⎝⎛⎭⎫n a n=a. ④当n 为奇数时,n a n=a ; 当n 为偶数时,na n= |a|=⎩⎪⎨⎪⎧a-<.⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂:a n=a·a·…·a n 个 (n ∈N *); ②零指数幂:a 0=1(a≠0);③负整数指数幂:a -p =1a(a≠0,p ∈N *);④正分数指数幂:a m n =n a m (a >0,m 、n ∈ N *,且n >1);⑤负分数指数幂:a -m n =1a m n =1na m (a >0,m 、n ∈N *且n >1).⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.[: (2)有理数指数幂的性质①a r a s =ar +s(a >0,r 、s ∈Q)②(a r )s=a rs(a >0,r 、s ∈Q) ③(ab)r=a r b r(a >0,b >0,r ∈Q). 3.指数函数的图象与性质注意事项1.分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以相互转化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.。
§2.4指数与指数函数考纲解读分析解读 1.会利用指数幂的运算法则进行幂的运算.2.结合指数函数的图象与性质比较大小,解指数方程或不等式,求复合函数的单调性、最值、参数范围等.3.高考命题多以指数函数为载体,考查指数函数的图象、性质及应用,分值约为5分,属中低档题.五年高考考点指数、指数函数的图象与性质1.(2017课标全国Ⅰ,11,5分)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z答案D2.(2016课标全国Ⅲ,6,5分)已知a=,b=,c=2,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案A3.(2014辽宁,3,5分)已知a=-,b=log2,c=lo,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a答案C4.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=.答案-三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点指数、指数函数的图象与性质1.(2018陕西西安中学期中,4)指数函数f(x)=a x(a>0,a≠1)在R上是减函数,则函数g(x)=(a-2)x3在R上的单调性为()A.单调递增B.在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增C.单调递减D.在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减答案C2.(2018广东深圳耀华实验学校期中,9)函数y=-的值域为()A. B.-C. D.(0,2]答案D3.(2017河北八所重点中学一模,6)设a>0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是()·A. B. C. D.答案C4.(2017山西大学附中第二次模拟测试,9)下列函数中,与函数f(x)=--的奇偶性、单调性相同的是()A.y=ln(x+)B.y=x2C.y=tan xD.y=e x答案A5.(2016河南许昌四校第三次联考,5)设a、b满足0<a<b<1,则下列不等式中正确的是()A.a a<a bB.b a<b bC.a a<b aD.b b<a b答案C6.(2017河南濮阳第二次检测,15)若“m>a”是“函数f(x)=+m-的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a能取的最大整数为.答案-1B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018山东济南外国语学校月考,8)若0<a<b<1,则a b,b a,log b a,b的大小关系为()A.a b>b a>log b a>bB.b a>a b>b>log b aC.log b a>a b>b a>bD.log b a>b a>a b>b答案D2.(2018福建闽侯第六中学月考,12)已知函数f(x)=-在区间[0,1]上单调递增,则a的取值范围为()A.[0,1]B.[-1,0]C.[-1,1]D.-答案C3.(2017湖南衡阳第二次联考,7)设0<a<1,e为自然对数的底数,则a,a e,e a-1的大小关系为()A.e a-1<a<a eB.a e<a<e a-1C.a e<e a-1<aD.a<e a-1<a e答案B4.(2017河南百校联考,9)已知f(x)=2x-2-x,a=-,b=,c=log2,则f(a),f(b),f(c)的大小顺序为()A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)<f(b)<f(a)C.f(c)<f(a)<f(b)D.f(b)<f(c)<f(a)答案B5.(2017江西九江地区七校联考,11)已知函数f(x)和f(x+1)都是定义在R上的偶函数,若x∈[0,1]时,f(x)=,则()A.f->fB.f-<fC.f-=fD.f-<f答案A二、填空题(共5分)6.(2016安徽江淮十校联考,13)已知max{a,b}表示a,b两数中的最大值.若f(x)=max{e|x|,e|x-2|},则f(x)的最小值为.答案e三、解答题(共10分)7.(2017湖北重点高中联合协作体期中,22)已知定义域为R的函数f(x)=-的图象关于原点对称.(1)求b的值;(2)判断f(x)的单调性,并证明;(3)当a∈[-1,1],t∈[-1,1]时,不等式f(at2-2t)+f(-2t2-k+a)<0恒成立,求k的取值范围.解析(1)∵f(x)的图象关于原点对称,∴f(-1)=-f(1),即-=--,解得b=1,经检验符合题意.(2)f(x)=-=-.任取x1,x2∈R且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=---=-,∵x1<x2,∴0<<,∴->0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)为R上的减函数.(3)f(at2-2t)+f(-2t2-k+a)<0等价于f(at2-2t)<-f(-2t2-k+a)=f(2t2+k-a),∵f(x)为R上的减函数,∴at2-2t>2t2+k-a,∴(t2+1)a-2t2-2t>k,a∈[-1,1]时恒成立,∴-(t2+1)-2t2-2t=-3t2-2t-1>k,t∈[-1,1]时恒成立,∵y=-3t2-2t-1=-3-,∴t=1时,y有最小值-6,∴k<-6.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1指数式的求值、估值和大小比较1.(2017安徽江淮十校第三次联考,10)函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(b x)与f(c x)的大小关系是()A.f(b x)≤f(c x)B.f(b x)≥f(c x)C.f(b x)>f(c x)D.与x有关,不确定答案A2.(2017安徽“江淮十校”第一次联考,5)已知m=0.95.1,n=5.10.9,p=log0.95.1,则这三个数的大小关系是()A.m<n<pB.m<p<nC.p<m<nD.p<n<m答案C方法2指数(型)函数的图象与性质3.(2017广东茂名二模,9)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=a x+b的图象是()答案C4.(2017福建泉州晋江平山中学期中,11)若函数f(x)=3-|x-1|+m的图象与x轴没有交点,则实数m的取值范围是()A.m≥0或m<-1B.m>0或m<-1C.m>1或m≤0D.m>1或m<0答案A。
2019-2020年高三数学一轮复习讲义指数与指数函数教案新人教A版高考要求:(1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的14C的衰减,药物在人体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景;(2)理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。
(3)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点;(4)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型。
重点难点:对分数指数幂含义的理解,学会根式与分数指数幂的互化掌握有理指数幂的运算性质;指数函数的性质的理解与应用,能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题.知识梳理1.根式的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a ( n>1且n∈N*),那么这个数叫做a的n次方根.也就是,若x n=a,则x叫做__a的n次方根___,其中n>1且n∈N*.式子na叫做__根式__,这里n叫做_根指数__,a叫做__被开方数______.(2)根式的性质①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时,a 的n次方根用符号________表示.②当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的n次方根用符号________表示,负的n次方根用符号________表示.正负两个n次方根可以合写成________(a>0).负数没有偶次方根______(_____(0)||(_____(0)naa na⎧⎪=≥⎧⎨=⎨⎪<⎩⎩为奇数)为偶数);__________(须使有意义).④零的任何次方根都是零.2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂:N*).n个②零指数幂:③负整数指数幂: Q a≠0,).④正分数指数幂:a=(a>0,m、n都是正整数,n>1).⑤负分数指数幂:=(a>0,m、n都是正整数,n>1)⑥0的正分数指数幂等于______,0的负分数指数幂___无意义_____.(2)有理指数幂的运算性质①a r a s=________(a>0,r,s∈Q).②(a r)s=________(a>0,r,s∈Q).③(ab)r=________(a>0,b>0,r∈Q).(注)上述性质对r、R均适用。
【课时训练】指数与指数函数一、选择题1.(2019某某某某调研)函数f (x )=2|x -1|的大致图象是( )A B C D 【答案】B【解析】由f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1,x ≥1,⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -1,x <1,可知f (x )在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递减.故选B.2.(2018某某某某一中月考)已知函数f (x )=a |x +1|(a >0,a ≠1)的值域为[1,+∞),则f (-4)与f (1)的关系是( )A .f (-4)>f (1)B .f (-4)=f (1)C .f (-4)<f (1)D .不能确定【答案】A【解析】由题意可知a >1, f (-4)=a 3,f (1)=a 2,由y =a t(a >1)的单调性知a 3>a 2,所以 f (-4)>f (1).3.(2018某某某某调研)若函数f (x )=a |2x -4|(a >0,且a ≠1)满足f (1)=19,则f (x )的单调递减区间是( )A .(-∞,2]B .[2,+∞)C .[-2,+∞)D .(-∞,-2]【答案】B【解析】由f (1)=19得a 2=19,又a >0,所以a =13,因此f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x -4|.因为g (x )=|2x -4|在[2,+∞)上单调递增,所以f (x )的单调递减区间是[2,+∞).4.(2018某某某某一模)已知奇函数y =⎩⎪⎨⎪⎧fx ,x >0,g x ,x <0.如果f (x )=a x(a >0,且a ≠1)对应的图象如图所示,那么g (x )=( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x B .-⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC .2-xD .-2x【答案】D【解析】由题图可知f (1)=12,∴a =12,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .由题意得g (x )=-f (-x )=-⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x=-2x.故选D.5.(2018某某省实验中学分校月考)函数y =16-2x的值域是( ) A .[0,+∞) B .[0,4] C .[0,4) D .(0,4)【答案】C【解析】函数y =16-2x中,因为16-2x≥0,所以2x≤16.因此2x∈(0,16],所以16-2x∈[0,16).故y =∈[0,4).故选C.6.(2018某某某某第一中学月考)已知集合A ={x |(2-x )·(2+x )>0},则函数f (x )=4x-2x +1-3(x ∈A )的最小值为( )A .4B .2C .-2D .-4【答案】D【解析】由题知集合A ={x |-2<x <2}.又f (x )=(2x )2-2×2x -3,设2x=t ,则14<t <4,所以f (x )=g (t )=t 2-2t -3=(t -1)2-4,且函数g (t )的对称轴为直线t =1,所以最小值为g (1)=-4.故选D.7.(2018某某某某联考)已知函数f (x )=e x,如果x 1,x 2∈R ,且x 1≠x 2,则下列关于f (x )的性质:①(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0;②y =f (x )不存在反函数;③f (x 1)+f (x 2)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22;④方程f (x )=x 2在(0,+∞)上没有实数根.其中正确的是( )A .①②B .①④C .①③D .③④【答案】B8.(2018某某某某联考)若函数f (x )=2x -a +1+x -a -a 的定义域与值域相同,则a =( )A .-1B .1C .0D .±1【答案】B【解析】∵函数f (x )=2x -a +1+x -a -a ,∴函数f (x )的定义域为[a ,+∞). ∵函数f (x )的定义域与值域相同, ∴函数f (x )的值域为[a ,+∞).又∵函数f (x )在[a ,+∞)上是单调递增函数,∴当x =a 时,f (a )=2a -a +1-a =a ,解得a =1.故选B.二、填空题9.(2018某某某某一模)已知函数f (x )=e x -e -xe x +e -x ,若f (a )=-12,则f (-a )=________. 【答案】12【解析】∵f (x )=e x-e -xe x +e -x ,f (a )=-12,∴e a -e -a e a +e -a =-12.∴f (-a )=e -a -e a e -a +e a =-e a -e -ae a +e -a =-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=12. 10.(2018某某一中月考)若函数f (x )=a x-1(a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a =________.【答案】 3【解析】当a >1时,f (x )=a x -1在[0,2]上为增函数,则a 2-1=2,∴a =± 3.又a >1,∴a = 3.当0<a <1时,f (x )=a x-1在[0,2]上为减函数,又f (0)=0≠2,∴0<a <1不成立.综上可知,a = 3.11.(2018某某十校联考)已知max (a ,b )表示a ,b 两数中的最大值.若f (x )=max {e |x |,e|x -2|},则f (x )的最小值为________.【答案】e【解析】由于f (x )=max {e |x |,e |x -2|}=⎩⎪⎨⎪⎧e x,x ≥1,e 2-x,x <1.当x ≥1时,f (x )≥e,且当x =1时,取得最小值e ;当x <1时,f (x )>e.故f (x )的最小值为f (1)=e.12.(2018某某某某海阳一中期中)已知函数f (x )=2|x -2|-1在区间[0,m ]上的值域为[0,3],则实数m 的取值X 围为________.【答案】[2,4] 【解析】函数f (x )=2|x -2|-1的对称轴为直线x =2,且在(-∞,2]上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.由于函数f (x )=2|x -2|-1在区间[0,m ]上的值域为[0,3]且函数关于直线x =2对称,f (0)=f (4)=3,f (2)=0,所以结合图象可知m ∈[2,4].三、解答题13.(2018某某余姚中学月考)已知定义在R 上的函数 f (x )=2x-12|x |.(1)若f (x )=32,求x 的值;(2)若2tf (2t )+mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立,某某数m 的取值X 围. 【解】(1)当x <0时,f (x )=0,无解; 当x ≥0时,f (x )=2x-12x ,由2x -12x =32,得2·22x -3·2x-2=0,将上式看成关于2x的一元二次方程, 解得2x =2或2x=-12,∵2x>0,∴x =1.(2)当t ∈[1,2]时,2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t-122t +m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t -12t ≥0,即m (22t-1)≥-(24t-1),∵22t-1>0, ∴m ≥-(22t+1),∵t ∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5], 故实数m 的取值X 围是[-5,+∞).。
第五节 指与指函指与指函(1)了解指函模型的实际背景.(2)解有指幂的含义,了解实指幂的意义,掌握幂的运算.(3)解指函的概念,解指函的单调性,掌握指函图象通过的特殊点.(4)知道指函是一类重要的函模型.知识点一 根式与幂的运算 1.根式的性质 (1)(na )n =a .(2)当n 为奇时,n a n =a . (3)当n 为偶时,na n=|a |=⎩⎪⎨⎪⎧aa -aa <0.(4)负的偶次方根无意义. (5)零的任何次方根都等于零. 2.有指幂 (1)分指幂:①正分指幂:a m n=n a m(a >0,m ,n ∈N *,且n >1).②负分指幂:a -m n=1am n=1na m(a >0,m ,n ∈N *,且n >1).③0的正分指幂等于0,0的负分指幂没有意义. (2)有指幂的运算性质①a r ·a s =a r +s (a >0,r 、s ∈Q ). ②(a r )s =a rs (a >0,r 、s ∈Q ). ③(ab )r =a r b r (a >0,b >0,r ∈Q ).易误提醒 在进行指幂的运算时,一般用分指幂的形式表示,并且结果不能同时含有根号和分指幂,也不能既有分母又含有负指.易忽视字母的符号.[自测练习]1.简a 23·b -1-12·a -12·b136a ·b 5(a >0,b >0)的结果是( )A .aB .abC .a 2bD.1a解析:原式=a -13b 12·a -12b 13a 16b 56=a -13-12-16·b 12+13-56=1a .答案:D知识点二 指函的图象与性质易误提醒 指函y =a x (a >0,a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关,要特别注意区分a >1或0<a <1.必备方法1.指函图象的三个关键点画指函图象时应抓住图象上的三个关键点:(1,a ),(0,1),⎝⎛⎭⎪⎫-1,1a .2.底a 与1的大小关系决定了指函图象的“升降”:当a >1时,指函的图象“上升”;当0<a <1时,指函的图象“下降”.3.底的大小决定了图象相对位置的高低:不论是a >1,还是0<a <1,在第一象限内底越大,函图象越高.4.指函的图象向左(或向右)平移不会与x 轴有交点,向上(或向下)平移a 个单位后,图象都在直线y =a (或y =-a )的上方.[自测练习]2.函y =a x -a (a >0,且a ≠1)的图象可能是( )解:当x =1时,y =a 1-a =0,所以函y =a x -a 的图象过定点(1,0),结合选项可知选C.答案:C3.设a =⎝ ⎛⎭⎪⎫3525,b =⎝ ⎛⎭⎪⎫2535,c =⎝ ⎛⎭⎪⎫2525,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a >c >bB .a >b >cC .c >a >bD .b >c >a解析:构造指函y =⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R ),由该函在定义域内单调递减可得b <c ;又y =⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R )与y =⎝ ⎛⎭⎪⎫35x(x ∈R )之间有如下结论:当x >0时,有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x >⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ,故⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>⎝ ⎛⎭⎪⎫2525,即a >c ,故a >c >b . 答案:A4.指函y =(2-a )x 在定义域内是减函,则a 的取值范围是________.解析:由题意知0<2-a <1,解得1<a <2. 答案:(1,2)考点一 指幂的简与求值|求值与简:(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350+2-2·⎝ ⎛⎭⎪⎫21412--(0.01)0.5; (2)56a 13·b -2·(-3a 12-b -1)÷(4a 23·b -3)12; (3)a 3b 23ab 2a 14b124a 13-b13(a >0,b >0).解:(1)原式=1+14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912-⎝ ⎛⎭⎪⎫110012=1+14×23-110=1+16-110=1615. (2)原式=-52a 16-b -3÷(4a 23·b -3) 12=-54a 16-b -3÷(a 13b 32-)=-54a 12-·b 32-=-54·1ab 3=-5ab 4ab 2. (3)原式=a 3b 2a 13b2312ab 2a 13-b13=a3111263+-+b111233+--=ab -1.指幂运算的四个原则1.有括号的先算括号里的,无括号的先做指运算. 2.先乘除后加减,负指幂成正指幂的倒.3.底是负,先确定符号,底是小,先成分,底是带分的,先成假分.4.若是根式,应为分指幂,尽可能用幂的形式表示,运用指幂的运算性质解答.考点二 指函图象及应用|(1)函f (x )=2|x -1|的图象是( )[解析]f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1,x ≥1,⎝ ⎛⎭⎪⎫12x-1,x <1,故选B.[答案] B(2)(2015·衡水模拟)若曲线|y |=2x +1与直线y =b 没有公共点,则b 的取值范围是________.[解析] 曲线|y |=2x +1与直线y =b 的图象如图所示,由图可知:如果|y |=2x +1与直线y =b 没有公共点,则b 应满足的条件是b ∈[-1,1].[答案] [-1,1]与指函图象有关的应用问题的两种求解策略1.与指函有关的函的图象的研究,往往利用相应指函的图象,通过平移、对称变换得到其图象.2.一些指方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指型函图象形结合求解.偶函f (x )满足f (x -1)=f (x +1),且在x ∈[0,1]时,f (x )=x ,则关于x 的方程f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在x ∈[0,4]上解的个是( )A .1B .2C .3D .4解析:由f (x -1)=f (x +1)可知T =2.∵x ∈[0,1]时,f (x )=x ,又∵f (x )是偶函,∴可得图象如图.∴f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在x ∈[0,4]上解的个是4个.故选D.答案:D考点三 指函的性质及应用|高考常以选择题或填空题的形式考查指函的性质及应用,难度偏小,属于低档题.归纳起常见的命题探究角度有: 1.比较指式的大小.2.与指函有关的奇偶性及应用. 3.探究指型函的性质. 探究一 比较指式的大小1.(2015·高考山东卷)设a =0.60.6,b =0.61.5,c =1.50.6,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a <b <cB .a <c <bC .b <a <cD .b <c <a解析:由指函y =0.6x 在(0,+∞)上单调递减,可知0.61.5<0.60.6,由幂函y =x 0.6在(0,+∞)上单调递增,可知0.60.6<1.50.6,所以b <a <c ,故选C.答案:C探究二 与指函有关的奇偶性及应用2.(2015·高考山东卷)若函f (x )=2x +12x -a 是奇函,则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A .(-∞,-1)B .(-1,0)C .(0,1)D .(1,+∞)解析:f (-x )=2-x +12-x -a =2x +11-a ·2x ,由f (-x )=-f (x )得2x +11-a ·2x=-2x +12x -a ,即1-a ·2x =-2x +a ,简得a ·(1+2x )=1+2x ,所以a=1,f (x )=2x +12x -1.由f (x )>3得0<x <1.故选C.答案:C探究三 指型函的性质应用3.已知函f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2-4x +3.(1)若a =-1,求f (x )的单调区间; (2)若f (x )有最大值3,求a 的值; (3)若f (x )的值域是(0,+∞),求a 的值.解:(1)当a =-1时,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13-x 2-4x +3,令g (x )=-x 2-4x +3,由于g (x )在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减,所以f (x )在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函f (x )的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).(2)令g (x )=ax 2-4x +3,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x ),由于f (x )有最大值3,所以g (x )应有最小值-1,因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0,3a -4a=-1,解得a =1,即当f (x )有最大值3时,a 的值等于1. (3)由指函的性质知,要使y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )的值域为(0,+∞).应使g (x )=ax 2-4x +3的值域为R ,因此只能a =0.(因为若a ≠0,则g (x )为二次函,其值域不可能为R ).故a 的值为0.指函的性质及应用问题三种解题策略(1)比较大小问题.常利用指函的单调性及中间值(0或1)法. (2)简单的指方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指函的单调性,要特别注意底a 的取值范围,并在必要时进行分类讨论.(3)解决指函的综合问题时,要把指函的概念和性质同函的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合,同时要特别注意底不确定时,对底的分类讨论.4.换元法解决与指函有关的值域问题【典例】 函y =⎝ ⎛⎭⎪⎫14x -⎝ ⎛⎭⎪⎫12x+1在区间[-3,2]上的值域是________.[思路点拨] 设t =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,则⎝ ⎛⎭⎪⎫14x=t 2,这样原函就可转为二次函.[解析] 因为x ∈[-3,2],所以若令t =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14,8,故y =t 2-t +1=⎝⎛⎭⎪⎫t -122+34.当t =12时,y min =34;当t =8时,y max =57.故所求函值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34,57.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34,57[方法点评] 与指函有关的值域或最值问题,通常利用换元法,将其转为基本初等函的单调性或值域问题,注意换元过程中“元”的取值范围的变.[跟踪练习] 已知0≤x ≤2,则y =4x -12-3·2x +5的最大值为________.解析:令t =2x ,∵0≤x ≤2,∴1≤t ≤4, 又y =22x -1-3·2x +5,∴y =12t 2-3t +5=12(t -3)2+12,∵1≤t ≤4,∴t =1时,y max =52.答案:52A 组 考点能力演练1.已知函f (x )=a x -b 的图象如图所示,其中a 、b 为常,则下列结论正确的是( )A .a >1,b <0B .a >1,b >0C .0<a <1,b <0D .0<a <1,b >0解析:由图象呈下降趋势知,0<a <1,又a -b <1=a 0,故-b >0,即b <0.答案:C2.函y =2x -2-x 是( )A .奇函,在区间(0,+∞)上单调递增B .奇函,在区间(0,+∞)上单调递减C .偶函,在区间(-∞,0)上单调递增D .偶函,在区间(-∞,0)上单调递减解析:根据奇偶性的定义判断函奇偶性,借助指函的图象及相关结论判断单调性.令f (x )=2x -2-x ,则f (-x )=2-x -2x =-f (x ),所以函是奇函,排除C ,D.又函y =2x ,y =-2-x 都是R 上的增函,由增函加增函还是增函的结论可知f (x )=2x -2-x 是R 上的增函,故选A.答案:A3.(2015·日照模拟)设函f (x )定义在实集上,它的图象关于直线x =1对称,且当x ≥1时,f (x )=3x -1,则有( )A .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13解析:∵函f (x )的图象关于直线x =1对称,∴f (x )=f (2-x ),∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2-13=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23=f ⎝⎛⎭⎪⎫2-23=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43,又∵x ≥1时,f (x )=3x-1为单调递增函,且43<32<53,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53, 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13,故选B.答案:B4.已知实a ,b 满足等式2a =3b ,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b=0.其中有可能成立的关系式有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析:依题意,在同一坐标系下画出函y=2x,y=3x的图象与直线y=t,平移直线y=t,通过观察可知,直线y=t分别与函y=2x,y=3x的图象的交点的横坐标a,b的大小关系可能是a<b<0;a=b=0;0<b<a,因此其中有可能成立的关系式共有3个,故选C.答案:C5.(2015·济宁三模)已知函f(x)=|2x-1|,a<b<c且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是( )A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0C.2-a<2c D.2a+2c<2解析:作出函f(x)=|2x-1|的图象,如图,∵a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),结合图象知,0<f(a)<1,a<0,c>0,∴0<2a<1.∴f(a)=|2a-1|=1-2a<1,∴f(c)<1,∴0<c<1.∴1<2c<2,∴f(c)=|2c-1|=2c-1,又∵f(a)>f(c),∴1-2a>2c-1,∴2a+2c<2,故选D.答案:D6.计算:⎝ ⎛⎭⎪⎫32-13×⎝ ⎛⎭⎪⎫-760+814×42-⎝ ⎛⎭⎪⎫-2323=________. 解析:原式=⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1+234×214-⎝ ⎛⎭⎪⎫2313=2.答案:27.已知函f (x )=a x -1+1(a ≠0)的图象恒过定点A ,则点A 的坐标是________.解析:由题意,因为a 为变量,所以只有当a x -1为定值时,函的图象才过定点,所以x =1,y =2,定点A (1,2).答案:(1,2)8.函f (x )=a x (a >0,且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2,则a 的值为________.解析:当a >1时,f (x )=a x 为增函,在x ∈[1,2]上,f (x )最大=f (2)=a 2,f (x )最小=f (1)=a .∴a 2-a =a2.即a (2a -3)=0.∴a =0(舍)或a =32>1.∴a =32.当0<a <1时,f (x )=a x 为减函,在x ∈[1,2]上,f (x )最大=f (1)=a ,f (x )最小=f (2)=a 2. ∴a -a 2=a2.∴a (2a -1)=0,∴a =0(舍)或a =12.∴a =12.综上可知,a =12或a =32.答案:12或329.已知2x 2-x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x -1,求函y =2x -2-x 的值域.解:由2x 2-x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x -1=2-2x +2,得x 2-x ≤-2x +2,即x 2+x -2≤0解得-2≤x ≤1.令t =2x,t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14,2,则y =t -1t ,易知y =t -1t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14,2上是增函, 所以,函y =t -1t 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-154,32,即函y =2x -2-x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-154,32. 10.(2016·天津期末)已知函f (x )=e x -e -x (x ∈R ,且e 为自然对的底).(1)判断函f (x )的单调性与奇偶性;(2)是否存在实t ,使不等式f (x -t )+f (x 2-t 2)≥0对一切x ∈R 都成立?若存在,求出t ;若不存在,请说明由.解:(1)∵f (x )=e x-⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x,∴f ′(x )=e x+⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x,∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立, ∴f (x )在R 上是增函.∵f (x )的定义域为R ,且f (-x )=e -x -e x =-f (x ),∴f (x )是奇函.(2)存在.由(1)知f (x )在R 上是增函和奇函,则f (x -t )+f (x 2-t 2)≥0对一切x ∈R 都成立⇔f (x 2-t 2)≥f (t -x )对一切x ∈R 都成立 ⇔x 2-t 2≥t -x 对一切x ∈R 都成立⇔t 2+t ≤x 2+x =⎝⎛⎭⎪⎫x +122-14对一切x ∈R 都成立⇔t 2+t ≤(x 2+x )min =-14⇔t 2+t +14=⎝ ⎛⎭⎪⎫t +122≤0,又⎝ ⎛⎭⎪⎫t +12≥0,∴⎝⎛⎭⎪⎫t +122=0,∴t =-12,∴存在t =-12,使不等式f (x -t )+f (x 2-t 2)≥0对一切x ∈R都成立.B 组 高考题型专练1.(2014·高考陕西卷)下列函中,满足“f (x +y )=f (x )f (y )”的单调递增函是( )A .f (x )=x 3B .f (x )=3xC .f (x )=x 12D .f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x解析:对于选项A ,f (x +y )=(x +y )3≠f (x )f (y )=x 3y 3,排除A ;对于选项B ,f (x +y )=3x +y =3x ·3y =f (x )f (y ),且f (x )=3x 在其定义域内是单调增函,B 正确;对于选项C ,f (x +y )=x +y ≠f (x )f (y )=x 12y 12=xy ,排除C ;对于选项D ,f (x +y )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12y =f (x )f (y ),但f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在其定义域内是减函,排除D.故选B.答案:B2.(2015·高考山东卷)已知函f (x )=a x +b (a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a +b =________.解析:①当a >1时,f (x )在[-1,0]上单调递增,则⎩⎪⎨⎪⎧a -1+b =-1,a 0+b =0,无解.②当0<a <1时,f (x )在[-1,0]上单调递减,则⎩⎪⎨⎪⎧a -1+b =0,a 0+b =-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =12,b =-2,∴a +b =-32.答案:-323.(2015·高考江苏卷)不等式2x 2-x <4的解集为________. 解析:不等式2x 2-x <4可转为2x 2-x <22,利用指函y =2x 的性质可得,x 2-x <2,解得-1<x <2,故所求解集为{x |-1<x <2}.答案:(-1,2)4.(2015·高考福建卷)若函f (x )=2|x -a |(a ∈R )满足f (1+x )=f (1-x ),且f (x )在[m ,+∞)上单调递增,则实m 的最小值等于________.解析:因为f (1+x )=f (1-x ),所以函f (x )关于直线x =1对称,所以a =1,所以函f (x )=2|x -1|的图象如图所示,因为函f (x )在[m ,+∞)上单调递增,所以m ≥1,所以实m 的最小值为1.答案:1。
2019-2020学年高三数学第一轮复习《第8课时 指数与指数函数》学案【考点概述】①了解指数函数模型的实际背景;②理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;③理解指数函数的概念,并理解指数函数的单调性与函数图像通过的特殊点; ④知道指数函数是一类重要的函数模型.【重点难点】:对分数指数幂含义的理解,学会根式与分数指数幂的互化掌握有理指数幂的运算性质; 指数函数的性质的理解与应用,能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论 比较简单的函数的有关问题.【知识扫描】1. 根式(2)两个重要公式______(_____(0)||(_____(0)n a a n a ⎧⎪=≥⎧⎨=⎨⎪<⎩⎩为奇数)为偶数);②n =__________(a . 2. 有理指数幂(1)分数指数幂的表示:①正数的正分数指数幂是*______(0,,,1)m n a a m n N n =>∈>;②正数的负分数指数幂是*______________(0,,,1)mn a a m n N n -==>∈>;③0的正分数指数幂是________,0的负分数指数幂无意义.(2)有理指数幂的运算性质:),,0(R t s a ∈>①=t s a a ;②=t s a )( = ;③=t ab )( 。
1.=-3127 ;=0π;()=43325 ; ()[]=-++-+-----214334303101.0162)87(064.0 。
2.函数33x y a -=+恒过定点 。
3.函数x y 2=的单调递减区间为 。
4.函数y =的定义域是 ;121-+=x y 的值域为 ;1221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y 的值域为 。
5.函数x a x f )1()(2-=是R 上的减函数,则a 的取值范围是 。
6.已知12a =,函数()x f x a =,若实数m 、n 满足()()f m f n >,则m 、n 的大小关系为 . 7.已知,32121=+-xx 则=-+-+--84221x x x x 。
第8讲指数与指数函数考试说明1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点.会画底数为2,3,10,,的指数函数的图像.4.体会指数函数是一类重要的函数模型.考情分析考点考查方向考例考查热度指数幂的运算根式化简、指数幂运算★☆☆指数函数的图指数函数图像的判断★☆☆像指数函数的性指数函数性质的应用2014全国卷Ⅰ15★☆☆质真题再现■[2017-2016]课标全国真题再现[2014·全国卷Ⅰ]设函数f(x)=则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是.[答案](-∞,8][解析]当x<1时,由e x-1≤2,得x<1;当x≥1时,由≤2,解得1≤x≤8.综合可知x的取值范围为x≤8.■[2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·北京卷]已知函数f(x)=3x-,则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数[解析]A因为f(-x)=3-x-=-3x=-3x-=-f(x),所以f(x)为奇函数.又因为y=3x为增函数,y=为减函数,所以f(x)=3x-为增函数.故选A.2.[2016·四川卷]某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)()A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年[解析]B设x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由题可知,130(1+12%)x≥200,解得x≥=≈3.80,因为x为整数,所以x取4,故开始超过200万元的年份是2019年.log1.12【课前双基巩固】知识聚焦1.n次方根奇数偶数没有意义根式根指数被开方数a2.(1)0没有意义(2)a r+s a rs a r b r3.(0,+∞)(0,1)y>10<y<10<y<1y>1增函数减函数对点演练1.±3[解析]把x+x-1=3两边平方,可得x2+x-2=7,则(x-x-1)2=x2-2+x-2=5,所以x-x-1=±,所以x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=±3.2.(-∞,2)[解析]根据指数函数性质,得x-1<3-x,解得x<2,所以x的取值范围是(-∞,2).3.(1,3)[解析]令x-1=0,得x=1,此时y=a0+2=3,所以函数图像恒过定点(1,3).4.②[解析]对于②,∵1-x∈R,∴y=的值域是(0,+∞);①的值域为(-∞,0);③的值域为[0,+∞);④的值域为[0,1).5.2[解析]+=1++|1-|=2.6.2[解析]由指数函数的定义可得解得a=2.7.2或[解析]若a>1,则f (x )max =f (1)=a=2;若0<a<1,则f (x )max =f (-1)=a -1=2,得a=.8.f (3x)≥f (2x)[解析]∵f (x )满足f (1-x )=f (1+x ),∴f (x )的图像关于直线x=1对称.由a>0知,f (x )图像的开口向上.当x<0时,2x <1,3x <1,2x >3x ,且f (x )为减函数,故f (2x )<f (3x );当x>0时,2x >1,3x >1,3x >2x,且f (x )为增函数,故f (3x )>f (2x );当x=0时,f (3x )=f (2x ).故f (3x )≥f (2x ).【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)利用完全平方公式找到a-,a 2+,a+之间的关系即可求解;(2)根据分数指数幂的运算法则进行计算.(1)D (2)60.7[解析](1)由a-=3,得a-2=9,即a 2+-2=9,故a 2+a -2=11.又(a+a -1)2=a 2+a -2+2=11+2=13,且a>0,所以a+a -1=.于是a 2+a+a -2+a -1=11+,故选D .(2)原式=0.3+(44--(36=0.3+43--3=60.7.变式题(1)84(2)[解析](1)原式=(3-2)-3×(33+3=3-2×(-3)×+3=36×3-2+3=36-2+3=34+3=84.(2)由已知得,a+b=6,ab=4,所以===.因为a>b>0,所以>,所以=.例2[思路点拨](1)结合解析式和图像,分析奇偶性和值域可得结论;(2)作出函数f (x )的图像,再重点分析a 与c 的情况.(1)A (2)D [解析](1)将函数解析式与图像对比分析,函数y=1-e |x|是偶函数,且值域是(-∞,0],只有A 选项满足上述两个性质,故选A .(2)作出函数f (x )=|2x-1|的图像,如图所示,因为a<b<c ,且有f (a )>f (c )>f (b ),所以必有a<0,0<c<1,且|2a -1|>|2c -1|,所以1-2a >2c -1,则2a +2c <2,且2a +2c >1.故选D .变式题(1)C (2)C [解析](1)若a>1,则1-a<0,函数y=a x单调递增,y=(1-a )x 单调递减;若0<a<1,则1-a>0,函数y=a x 单调递减,y=(1-a )x 单调递增.所以y=a x 与y=(1-a )x 单调性相反,排除A,D;又y=a x的图像过定点(0,1),所以排除B .故选C .(2)由两函数的图像关于y 轴对称,可知与a 互为倒数,即=1,解得a=4.例3[思路点拨](1)化为同底指数式,结合指数函数的单调性比较;(2)先将底数在a>0且a ≠1范围内进行转化,再结合指数函数的单调性比较.(1)A (2)3a >a 3>[解析](1)由a 15==220,b 15==212,c 15=255>220,可知b 15<a 15<c 15,所以b<a<c.(2)易知3a >0,<0,a 3<0,又由-1<a<0得0<-a<1,所以(-a )3<(-a ,即-a 3<-,所以a 3>,因此3a >a 3>.例4[思路点拨](1)结合函数的单调性,分x ≥2,1<x<2,0<x ≤1,x<0四种情况求解;(2)分情况讨论去掉绝对值,解相应的指数方程.(1)(0,)(2)x=log 23[解析](1)当x ≥2时,≤1,不等式无解;当1<x<2时,1<<2,结合函数的单调性,由不等式f (x )<f 得x<,得1<x<;当0<x ≤1时,≥2,不等式恒成立;当x<0时,<0,不等式无解.综上可得,不等式f (x )<f 的解集是(0,).(2)当x ≤0时,1-2x ≥0,原方程即为4x -2x -10=0,可得2x =+,此时x>0,故舍去.当x>0时,1-2x <0,原方程即为4x +2x -12=0,可得2x =3,则x=log 23.故原方程的解为x=log 23.例5[思路点拨](1)根据条件先确定a ,b 的值,再依据指数函数的值域确定函数f (x )的值域;(2)分离参数,根据指数函数单调性和不等式恒成立得出关于a 的不等式,解之即可.(1)A (2)[解析](1)函数f (x )为奇函数,则f (0)=a+=0,①函数图像过点ln3,,则f(ln3)=a+=.②结合①②可得a=1,b=-2,则f(x)=1-.因为e x>0,所以e x+1>1,所以0<<2,所以-1<1-<1,即函数f(x)的值域为(-1,1).(2)从已知不等式中分离出实数a,得a>-.∵函数y=和y=在R上都是减函数,∴当x∈时,≥,≥,∴+≥+=,从而得-+≤-.故实数a的取值范围为a>-.强化演练1.D[解析]∵y=在R上为减函数,>,∴b<c.又∵y=在(0,+∞)上为增函数,>,∴a>c,∴b<c<a.2.D[解析]因为2x>0,所以由2x(x-a)<1得a>x-.令f(x)=x-,则函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以f(x)>f(0)=0-=-1,所以a>-1.3.[解析]当a<1时,41-a=21,所以a=;当a>1时,代入可知不成立.所以a的值为.4.{x|x>4或x<0}[解析]f(x)为偶函数,当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)=2-x-4,所以f(x)=当f(x-2)>0时,有或解得x>4或x<0.所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}.5.[解析]把(1,6),(3,24)代入f(x)=b·a x,得结合a>0且a≠1,解得所以f(x)=3·2x.要使+≥m在x∈(-∞,1]时恒成立,只需函数y=+在(-∞,1]上的最小值不小于m即可.因为函数y=+在(-∞,1]上为减函数,所以当x=1时,y=+取得最小值,所以只需m≤即可,即m的取值范围为-∞,.【备选理由】例1综合考查指数函数图像与二次函数图像;例2主要涉及指数函数在指定区间上的取值问题与最值,考查转化与化归思想;例3考查了求解指数方程、指数函数的单调性、不等式恒成立问题,要善于使用分离变量法求解.1[配合例2使用]在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx与指数函数y=的图像可能是()[解析]A由指数函数的图像可以看出0<<1,二次函数图像的顶点坐标为-,-,所以-<-<0,又-1<-<0,故选A.2[配合例5使用]设y=f (x )在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数K ,定义f K (x )=给出函数f (x )=2x+1-4x ,若对于任意x ∈(-∞,1],恒有f K (x )=f (x ),则()A .K 的最大值为0B .K 的最小值为0C .K 的最大值为1D .K 的最小值为1[解析]D 根据给出的定义知,f K (x )为函数y=f (x )与y=K 中的较小值.若对任意的x ∈(-∞,1],恒有f K (x )=f (x ),则对任意的x ∈(-∞,1],恒有f (x )≤K ,等价于函数f (x )在(-∞,1]上的最大值小于或等于K.令t=2x ∈(0,2],则函数f (x )=2x+1-4x 即为函数φ(t )=-t 2+2t ,即φ(t )=-(t-1)2+1≤1,故函数f (x )在(-∞,1]上的最大值为1,即K ≥1,所以K 有最小值1.3[配合例5使用]已知定义在R 上的函数f (x )=2x-.(1)若f (x )=,求x 的值;(2)若2tf (2t )+mf (t )≥0对任意t ∈[1,2]恒成立,求实数m 的取值范围.解:(1)由f (x )=⇒2x -=⇒2·(2x )2-3·2x -2=0⇒(2x -2)(2·2x +1)=0.∵2x >0,∴2x =2,∴x=1.(2)由2t f (2t )+mf (t )≥0⇒2t 22t-+m 2t -≥0⇒m (2t -2-t )≥-2t (22t -2-2t).又t ∈[1,2]⇒2t-2-t>0⇒m ≥-2t(2t+2-t),即m ≥-22t-1,只需m ≥(-22t-1)max .令y=-22t-1,t ∈[1,2],可得y max =-22-1=-5,故m ≥-5.。