高考数学二轮复习专题五解析几何第一讲小题考法——直线与圆课件理.ppt

(3)原点到直线的距离d＝ 122＋12＝ 2，故|OP|的最小值为 2， 故选B．
求解直线方程应注意的问题 (1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程 求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况． (2)要注意几种直线方程的局限性，点斜式、斜截式要求直线不能 与x轴垂直；两点式要求直线不能与坐标轴垂直；截距式方程不能表 示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． (3)求直线方程要考虑直线的斜率是否存在．
8
5
距离
02 考点分类 • 析重点
考点一 直线的方程
1．直线方程的五种形式 (1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)． (2)斜截式：y＝kx＋b. (3)两点式：yy2－－yy11＝xx2－－xx11(x1≠x2，y1≠y2)． (4)截距式：ax＋by＝1(a≠0，b≠0)． (5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．
第二部分
专题篇•素养提升(文理)
专题五 解析几何
第1讲 直线与圆
1 解题策略 • 明方向 2 考点分类 • 析重点 3 易错清零 • 免失误 4 真题回放 • 悟高考 5 预测演练 • 巧押题
01 解题策略 • 明方向
1．直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位 置关系是本讲高考的重点．
考点二 圆的方程
1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2． 2．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F＞0)表示以 －D2 ，－E2 为圆 心， D2＋2E2－4F为半径的圆．
2．考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直 线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空 题．

F＝0，
则16＋4D＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
F＝0，
解得D＝－4， E＝－2，
所以圆的方程为 x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5； 若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
F＝0，
则1＋1－D＋E＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
F＝0Байду номын сангаас 解得D＝－83，
因为 OP⊥OQ，故 1＋ 2p×(－ 2p)＝0⇒p＝12， 抛物线 C 的方程为：y2＝x， 因为⊙M 与 l 相切，故其半径为 1， 故⊙M：(x－2)2＋y2＝1．
(2)设 A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)．
当 A1，A2，A3 其中某一个为坐标原点时(假设 A1 为坐标原点时)，
A2＋B2
3．两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B 不
同时为零)间的距离
d＝
|C1－C2| ． A2＋B2
典例1 (1)(2022·辽宁高三二模)若两直线l1：(a－1)x－3y－2＝0
与l2：x－(a＋1)y＋2＝0平行，则a的值为
(A )
A．±2
B．2
C．－2
y0＝－x0＋5， 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则x0＋12＝y0－x20＋12＋16. 解得xy00＝ ＝32， 或xy00＝ ＝1－1，6. 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16 或(x－11)2＋(y＋6)2＝144．
6．(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直 线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M(2,0)，且⊙M与l相 切．

求 ABC 面积 S 的最大值
例
3
解：（1）Q
P(8 5
,
4) 5
在圆
C1
上， 5 (8 )2 5 (4)2 8 m 16 4 32 0 ，解得 m 22
5
55
5
， 圆 C1 :5x2 5y2 22x 16y 32 0 ，得
11 8
C1 (
5
,
) 5
，可得
C1P
方程为 4x 3y 4 0 ，设 C(x0, y0 )(x0
A． x 2y 2 0 B． 2x y 6 0 C． 2x y 2 0 D． x 2y 6 0
例 2 解：如图所示：圆 C : x2 y2 2x 8 0 ，化为标准方程为： (x 1)2 y2 9 ，
圆心 C(1,0) ，当直线 l 与 CM 垂直时，直线 l 分圆 C 的两部分的面积之差的绝对值最大，
Q kCM
20 2 1
2，直线 l
的斜率 k
1 2
，直线 l
的方程为： y 2 1 ( x 2) ， 2
即 x 2y 6 0 ，故选： D ．
一、典型例题
【例
3】.已知圆
C
与圆
C1
:5x2
5y2
mx
16 y
32
0
外切于点
P(8 5
,
4) ，且与
5
y
轴相切．
（1）求圆 C 的方程
（2）过点 O 作直线 l1 ， l2 分别交圆 C 于 A、 B 两点，若 l1 ， l2 斜率之积为 2 ，
联立
y kx 4
x2
y2
4x
0
得
(1
k 2 )x2

B．(x＋1)2＋y2＝8
C．(x－1)2＋y2＝2
D．(x－1)2＋y2＝8
第二十五页，共46页。
考点(kǎo diǎn)二
试题 解析
考点(kǎo diǎn)
一
由题意知圆 C 的圆心坐标为(－1,0)，半径为圆心到直线 x＋y＋3
考点(kǎo diǎn)
二 考点三
＝0 的距离 d＝ 2 ＝ 2，∴圆 C 的方程为(x＋1)2＋y2＝2.故选 A. 2
所以圆心到直线
2x－y＝0
的距离
d＝
2a ＝4 5
5
5，
解得 a＝2，
所以圆 C 的半径 r＝|CM|＝ 4＋5＝3，
所以圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝9.
第十页，共46页。
考点三
直线(zhíxiàn)与圆的位置 关系
试题(shìt解í)析(jiě
考点一
考点二 考点三
5．(2016·高考全国Ⅰ卷)设直线 y＝x＋2a 与圆 C：x2＋y2－2ay －2＝0 相交于 A，B 两点，若|AB|＝2 3，则圆 C 的面积为__4_π___．
的距离
d＝|0－a＋2 2a|，由勾股定理得2
2
32
二
考点三
＋|0－a＋2 2a|2＝a2＋2，解得 a2＝2，
所以 r＝2，所以圆 C 的面积为 π×22＝4π.
第十二页，共46页。
考点 (kǎo diǎn)三
考点一
考点二
考点三
试题(shìtí)解析(jiě
6．(2015·高考全国Ⅰ卷)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x－2)2＋(y－3)2＝1 交于 M，N 两点． (1)求 k 的取值范围； (2)若O→M·O→N＝12，其中 O 为坐标原点，求|MN|.

[方法技巧] 圆的方程的 2 种求法
待定 ①根据题意，选择方程形式(标准方程或一般方程)； 系数 ②根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；
法 ③解出a，b，r或D、E、F，代入所选的方程中即可 在求圆的方程过程中，常利用圆的一些性质或定理直 接求出圆心和半径，进而可写出标准方程．常用的几
[演练冲关] 1．(2018·洛阳模拟)已知直线 l1：x＋my－1＝0，l2：nx＋y－p＝0，
则“m＋n＝0”是“l1⊥l2”的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：①若 m＋n＝0，当 m＝n＝0 时，直线 l1：x－1＝0 与直线
l2：y－p＝0 互相垂直；当 m＝－n≠0 时，直线 l1 的斜率为－m1 ，
坐标为(1， 3)，半径为 2.从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－ 3)2＝4.
几何 何性质有： 法 ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上； ③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心在一条直线上
[演练冲关]
1．(2018·长沙模拟)与圆(x－2)2＋y2＝4 关于直线 y＝ 33x 对称的圆的方程是
()
A．(x－ 3)2＋(y－1)2＝4
B．(x－ 2)2＋(y－ 2)2＝4
[解析] 易知直线 x－y＋1＝0 与 x 轴的交点为(－1,0)， 即圆 C 的圆心坐标为(－1,0)． 因为直线 x＋y＋3＝0 与圆 C 相切， 所以圆心(－1,0)到直线 x＋y＋3＝0 的距离等于半径 r， 即 r＝|－1＋20＋3|＝ 2，所以圆 C 的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
[答案] (x＋1)2＋y2＝2
则 l1 与 l2 间的距离为

专题五 解析几何
圆
高考二轮总复习 • 数学
考点一 圆的方程
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1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2． 2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F＞0)表示以 －D2 ，－E2 为圆 心， D2＋2E2－4F为半径的圆．
5m2 1＋m2
，由于向量
→ OP
与
向量
→ OQ
共线且方向相同，即它们的夹角为0，所以
OP
·OQ
＝
→ OP
→ ·OQ
＝
x1x2＋y1y2＝1＋5m2＋15＋mm2 2＝5．
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【剖析】 上述解法正确，也得出了正确答案，但运算繁杂．下 面的解法简洁明了．
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典例3 (1)(2020·天津市部分区期末)直线x－y＋1＝0与圆x2
＋(y＋1)2＝4相交于A、B，则弦AB的长度为
(B )
A． 2
B．2 2
C．2
D．4
(2)(2020·武昌区模拟)若直线y＝kx＋1与圆(x－2)2＋y2＝4相交，且两
【解析】 已知圆C1：x2＋y2＝8与圆C2：x2＋y2＋2x＋y－a＝0相 交于A、B两点，则AB所在直线的方程为2x＋y－a＋8＝0，
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若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，分2种情况讨 论：

A．x＋y－2＝0
B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0
D．x－y＋3＝0
[答案] D
[解析] 圆心(0,3)，又知所求直线斜率为1，∴直线方程
为x－y＋3＝0.
(理)(2014·安徽文，6)过点P(－ 3 ，－1)的直线l与圆x2＋y2
＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. (0，π6]
2．判断两直线平行与垂直时，不要忘记斜率不存在的情形．
命题热点突破
直线的倾斜角、斜率与直线的方程
(文)已知直线l1与圆(x－a)2＋y2＝1相切，l1关于 直线y＝x的对称直线为l2：y＝ 3x－1，则a的值为( )
A.
3或－
3 3
B．1
C．－
3 3
[答案] D
D．1或－3
[分析] 由l1与l2关于直线y＝x对称可求出l1的方程，再由l1与 圆相切求a.
几何法：根据d＝
方法位 置关系
|Aa＋A2B＋b＋B2C|与r的大小
关系
相交
d<r
相切
d＝r
相离
d>r
Ax＋By＋C＝0 代数法：x－a2＋y－b2＝r2 消元得一元二次方程，根据判别 式Δ的符号
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
(4)圆与圆的位置关系
表现形式 几何表现：圆心距d
位置关系
与r1、r2的关系
适合所有的直线
(3)两直线的位置关系
方程 约束条件 位置关系
l1：y＝k1x＋b1 l2：y＝k2x＋b2
l1：A1x＋B1y＋C1＝0 l2：A2x＋B2y＋C2＝0
平行 相交 重合
k1＝k2，且 b1≠b2
A1B2－A2B1＝0，且 B1C2 －B2C1≠0

0 的对称点仍在圆上，且圆与直线 x－y＋1＝0 相交的弦长为
2 2，则圆的方程是________.
解析 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 的对称点仍在圆上，说明圆心在直线 x＋2y＝0 上，即有
a＋2b＝0，又(2－a)2＋(3－b)2＝r2，而圆与直线 x－y＋1＝0 相交
考点整合
1.两直线平行或垂直 (1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存 在且l1与l2不重合时，l1∥l2. (2)两条直线垂直：对于两条直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2， 则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.特别地，当l1，l2中有一条直线的斜率不 存在，另一条直线的斜率为零时，l1⊥l2.
2.圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半 径为 r. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心 为－D2 ，－E2，半径为 r＝ D2＋2E2－4F；对于二元二次方程 Ax2 ＋ Bxy ＋ Cy2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 B＝0， A＝C≠0， D2＋E2－4AF＞0.
探究提高 (1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直， 圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线 方程时主要选择点斜式. (2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定 理处理.
[微题型3] 与圆有关的弦长问题 【例 1－3】 (2015·泰州调研)若圆上一点 A(2，3)关于直线 x＋2y＝
5.直线与圆中常见的最值问题 (1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值. (2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值. (3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值. (4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值 问题. (5)两圆相离，两圆上点的距离的最值.

2021/12/13
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因为 θ∈[0，π)，所以 θ＝23π，则 tan θ＝－ 3， 所以直线 l 的方程为 y－1＝－ 3(x－ 3)， 即 3x＋y－4＝0. 答案：B
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第十四页，共四十七页。
2．直线 l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y
第八页，共四十七页。
理由如下： 设 M(x，y)，由已知得⊙M 的半径为 r＝|x＋2|， |AO|＝2. 由于 MO⊥AO，故可得 x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得 M 的轨迹方程为 y2＝4x. 因为曲线 C：y2＝4x 是以点 P(1，0)为焦点，以直线 x＝－1 为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1. 因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1， 所以存在满足条件的定点 P.
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第六页，共四十七页。
4．(2019·全国卷Ⅰ)已知点 A，B 关于坐标原点 O 对 称，|AB|＝4，⊙M 过点 A，B 且与直线 x＋2＝0 相切．
(1)若 A 在直线 x＋y＝0 上，求⊙M 的半径； (2)是否存在定点 P，使得当 A 运动时，|MA|－|MP| 为定值？并说明理由． 解：(1)因为⊙M 过点 A，B，所以圆心 M 在 AB 的 垂直平分线上，由已知 A 在直线 x＋y＝0 上，且 A，B 关 于坐标原点 O 对称，
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则圆上的点到直线 AB 的最短距离为 d－r＝|a＋22|－1. 又|AB|＝ 22＋22＝2 2， 故(S△ABC)min＝12×2 2×|a＋2|2－ 2＝3－ 2. 解之得 a＝1 或 a＝－5. 答案：(1)(x－1)2＋y2＝4 (2)1 或－5

6 [假设直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦
为AB，∵圆的半径r＝
10，圆心到直线的距离d＝
5 －32＋42
＝1，
∴弦长|AB|＝2× r2－d2＝2 10－1＝2×3＝6.]
5．[一题多解]经过三点A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圆的方程为 ________．
2．(借助待定系数法求圆的方程)已知圆C关于y轴对称，经过点 A(1,0)，且被x轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为 ________．

x2＋y±
332＝43
[因为圆C关于y轴对称，
所以圆心C在y轴上，可设C(0，b)，
设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2.
(x－1)2＋y2＝4 [法一：(待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx ＋Ey＋F＝0，将A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的坐标代入圆的方程可得
1－D＋F＝0，

9＋3D＋F＝0， 1＋4＋D＋2E＋F＝0，
解得D＝－2，E＝0，F＝－3，所以圆的
方程为(x－1)2＋y2＝4. 法二：(几何法)根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x＝1
1．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－ 3 ＝0与圆x2＋y2 ＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若 |AB|＝2 3，则|CD|＝________.
4 [由直线l：mx＋y＋3m－ 3 ＝0知其过定点(－3， 3 )，圆心 O到直线l的距离为d＝|3mm－2＋13|.
上，设圆心坐标O(1，a)，则圆的半径r＝ 4＋a2 ＝|a－2|，所以a＝ 0，r＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.]