第11周二元一次方程组应用同步提优

8中学数学研究2019年第11期(下)分层变式，改编课例——《“二元一次方程组应用题”教学建议》有感广东省广州市育才中学(510080)雷娟摘要本文以笔者的区教研发言《“二元一次方程组应用题”教学建议》为背景,结合本身的教学实例和同行公开课的成功案例,探讨了“二元一次方程组应用题”课型的教学思路和具体做法,总结三点做法如下:分层递进,根据生源差异,设计层次不同的题组;变式提升,针对中考热点,进行变式教学;改编课例,源于课本,不拘泥于课本.关键词二元一次方程组应用题;分层;变式;改编课例笔者2019年3月在广州市越秀区全区教研活动作《“七年级下代数”教材分析和教学建议》公开发言,其中讲到《“二元一次方程组应用题”的教学建议》,教研组长总结点评“即使生源层次不同,每个教师听后都会有所收获”,同时获得在场教师好评.笔者会后反思感悟,再结合所听两节相关公开课,就二元一次方程组应用题课型如何设计教学,整理思路,总结如下:一、分层递进,根据生源差异,设计层次不同的题组针对参差不齐的生源,因人而异,因材施教,根据学生的认知差异设计由浅到深的系列题组层层递进,步步深入,全面培养不同学生的学习能力,让每个学生学有所得[1].具体做法为设计三组层次不同的题组.第一组基础题针对学弱生,设计容易入手,简单易明的基础题,注重基础知识的掌握和基本能力的培养;第二组中等题针对中等生,设计难度中等,巩固基础,灵活运用的题组;第三组提升题针对学优生,设计难度较大,拓展提升,综合运用的题组,如期末统考或中考题的压轴题等.下以一节笔者任教的二元一次方程组应用题专题课为例(所任教班级生源两级分化较大):列方程组解应用题,首先找出已知量和未知量,关键是找出题目中的两个等量关系.教学中首要先引导学生找出题目的等量关系关键句或者分析题意找出隐含的等量关系.面对学弱生,首先以熟悉简单的实际问题入手,降低难度,使学生容易入手,教学中可以放慢速度,引导学生充分审题,学会在题干用划线法找出等量关系句,手把手找出等量关系.基础题例1李巍有中国邮票和外国邮票共335张,中国邮票的张数比外国邮票的张数的3倍少17张.中国邮票和外国邮票各多少张？分析:题目中含有两个未知数,列出两个等量关系.(1)中国邮票的张数+外国邮票的张数=335;(2)中国邮票的张数=3×外国邮票的张数–17;设计意图以一道简单易明的题目入手,让学弱生能尽快入门.中等题例2甲乙分别从相距20千米的两地出发,相向而行.如果甲比乙早出发30分钟,那么在乙出发后1小时,他们相遇;如果同时出发,那么1小时后两人还相距11千米.求甲乙的速度？设计意图以一道难度中等的路程类型应用题,引出路程题的关键是画出行程示意图.中等题例3(课本P99探究一)养牛场原有30只大牛和15只小牛,一天约用饲料675kg;一周后又购进12只大牛和5只小牛,这时一天约用饲料940kg;饲养员李大叔估计每只大牛一天约用饲料1820kg,每只小牛一天约用饲料78kg,你能否通过计算检验他的估计？(2)过程严谨,结果完美数学的美不仅在于呈现,更重要的是对呈现的追寻.本节课通过对函数关系式的辨别,以及辨别中生成的资源借势而上,让学生在辨别中形成“新的经验”.这样做虽然比直接画图要多花时间,但更能体现出思维的力量,更有助于学生理解函数图像的“形结构”是由“式结构”决定的这一数学本质.技能可以模仿,思维不能复制,这种思维能力才是我们要教给学生的,也是学生真正需要领悟的,这才是我们教育的价值所在.只有当学生具备了这种思维能力,才能会画、会想,想得出,想的妙,画得出,画的美.参考文献[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准[M].北京:北京师范大学出版社,2011.[2]杨裕前,董林伟.《义务教育教科书•数学》(七年级下册)[M].南京:江苏凤凰科学技术出版社,2014.2019年第11期(下)中学数学研究9设计意图本例题有关估算与精确计算的比较,开放地寻求设计方案,目的让学生一题多解,再优中选优,体会不同方法的优劣.提升题例4某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机,已知该厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别为甲种每台1500元,乙种每台2100元,丙种每台2500元.(1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台,用去9万元,请你研究一下商场的进货方案;(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元,销售一台乙种电视机可获利200元,销售一台丙种电视机可获利250元.在同时购进两种不同型号电视机的方案中,为使销售时获利最多,你选择哪种进货方案？(3)若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台,请你设计进货方案.设计意图在上一题难度中等的课本方案题的基础上,拓展提升,以二元一次方程组应用题为基础,有机糅合多知识点综合运用于方案设计.针对学优生的特点,选取难度大的综合压轴题,大大提升这一层次学生的兴趣和能力.二、变式提升,针对中考热点,进行变式教学变式教学是指教师通过改变题目的条件结论,转化问题的形式和内容,但万变不离其宗,不改变问题的实质和核心知识点以及解题思路,有意识让学生理解问题变与不变的本质[1].变式教学运用于初中数学课堂,让学生脱离了枯燥无趣的题海训练,一题多用,一题多变,一题多解,多题重组,多题归一,借题发挥,以点带面,达到做一题通一类的效果.变式教学有利于加深理解概念,抓住问题本质,探索问题的内涵联系和外延关系,大大促进学生的探究意识和多维度理解问题的能力.下以笔者所在学校朱允华老师执教的越秀区公开课《8.3实际问题与二元一次方程组(2)》为例:例1如图1,用5个一样大小的小长方形恰好可以拼成如图所示的大长方形,若小长方形的周长是图112cm,求小长方形的长和宽[2].设计意图以最简单的图形入手,让学生学会数形结合,通过分析题意结合几何图形得出等量关系.变式1如图2,大长方形图案由10个完全一样的小长方形拼成,且每个小长方形的周长为100cm,求小长方形的长和宽.图2设计意图增加小长方形的个数,加大寻找等量关系的难度.但解题思路延续例1.变式2如图3,在长为10m,宽为8m的长方形空地中,沿平行于长方形各边的方向分割出三个完全一样的小长方形花圃,求三个小长方形花圃的面积之和.图3设计意图层层递进,变换图形,结合生活实际,但通过观察图形找出两个等量关系的思路不变.变式3小龙在拼图时,发现8个一样大的小长方形,恰好可以拼成一个大长方形,如图4所示;陈晔看见了说“我来试一试”,结果陈晔七拼八凑,拼成一个如图5的正方形,中间留下一个洞,恰好是边长2mm的小正方形,你能算出小长方形的长和宽吗？图4图5设计意图从上题一个图形变成两个图形,从一个图形对应两个等量关系变成一个图形对应一个等量关系.变式4图6是由22个周长为20cm的小长方形是拼接成的一个大长方形,当中出现三个大小一样的小正方形空隙,试求出三个小正方形空隙的面积和.图6设计意图把简单图形提升到复杂图形的组合,让学生在一个主题下不断提升,题目千变万化,解题思路不变.变式5如图7,用一些长短相同的小木棍,连续摆正方形或六边形要求每两个相邻的图形只有一条公共边.已知摆放的正方形比六边形多4个,并且一共用了110个小木棍,问连续摆放了正方形和六边形各多少个？图7设计意图结合找规律,把图形相关的二元一次方程组应用题解题思路更广泛运用到综合题.三、改编课例,源于课本,不拘泥于课本教材中许多例题,都具有典型性,示范性,探索性,不能简单地就题论题,应一题多变,根据学生实际情况,进行适当变化,引申,挖掘,使不同层次的学生都学有所得,学生对知10中学数学研究2019年第11期(下)识掌握更系统,开阔学生思路,激发学生求知欲望.改编教材需要教师深入研究教材,熟悉课标考点,才能用好教材,用活教材[3].下以一道课本例题的具体教学为例:笔者所在班教授课本“七下例题P99探究二”,按常规讲法讲解,效果不佳,部分学生似懂非懂,学弱生无从入手.在后续测验原题重做,学生得分率不高.笔者反思问题所在:此例题难度大,尤其对于刚从小学升上来的初一学生,有几个知识点学生知识储备不足,认识不清,在基础不牢的前提下,做综合应用题自然无从下手.故笔者经过学习研究,和同备课组老师教研讨论,参考河南师范大学附属中学付帅老师的课件《二元一次方程组(2)》,在此基础上对此例题进行改编,并把这种做法在广州市越秀区教研会议做全区发言,此后再结合越秀区邝晶晶老师2019年4月执教的公开课《实际问题与二元一次方程组(面积分割问题)》,做进一步调整,具体做法如下:(原题“课本P99探究二”):据统计资料,甲和乙的单位面积产量的比是1:2,把一块长为20m,宽为10m的长方形土地分为两块小长方形土地,分别种植甲和乙.怎样划分这块土地,才能使甲和乙的总产量的比是3:4？(改编后自编题):1.把一块长为10m,宽为5m的长方形土地分成两块小长方形土地,使得其中一块小长方形土地的面积为30m2,你是怎么分的？请画出分割线.2.甲、乙两种作物的单位面积产量分别为10kg/m2、20kg/m2,并且已知甲的种植面积为30kg/m2,乙的种植面积为20kg/m2,则甲种作物的总产量是kg,乙种作物的总产量是kg.3.甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2,并且已知甲的种植面积为30kg/m2,乙的种植面积为20kg/m2,则甲、乙两种作物的总产量的比是.4.据统计资料,甲和乙的单位面积产量的比是1:2,把一块长为20m,宽为10m的长方形土地分为两块小长方形土地,分别种植甲和乙.怎样图8划分这块土地,才能使甲和乙的总产量的比是3:4？5.若将长方形土地改为上底为100米,下底为200米,高为100米的直角梯形土地,甲和乙两种作物的单位面积产量的比是1:2,怎样划分这图9块土地,才能使甲和乙两种作物的总产量的比还是3:4[4]？6.据统计资料,甲和乙的单位面积产量的比是1:2,用一条线段将一块长为20m,宽为10m的长方形土地分为两部分土地,分别种植甲和乙.怎样划分这块土地,才能使甲和乙的总产量的比是3:4？(1)两个长方形;(2)一个三角形和一个梯形;(3)两个梯形.图10设计意图1.针对学生的几个思维难点,搭建脚手架,分解难点,做到一个问题设计一小问,难点逐个击破.例如学生对分割和总产量和比例等几个问题陌生,改编后针对如何分割设计第1问,针对总产量如何求设计第2问,针对比例问题设计第3问.2.针对生源层次较好的班级,可以把题目进行变式拓展.如原题“分割矩形面积”,改编后设计第5问“能否把梯形面积平分”,难度加大,增强了学优生的好奇心和兴趣.3.针对生源优异的班级,可以把题目进一步拓展,在第4问“把一块长为20m,宽为10m的长方形分成两个长方形”的基础上,改编成第6问“用一条线段将一块长为20m,宽为10m的长方形土地分为两部分土地”.使学生大开眼界,大大提升学生的探究问题和解决开放性问题的能力.综上所述,二元一次方程组应用题课型的设计思路和具体做法如下:(一)分层递进,根据生源差异设计层次不同的题组;(二)变式提升,针对中考热点,进行变式教学;(三)改编课例,源于课本,不拘泥于课本.笔者希望通过此文分享,能给出一个具体可行的二元一次方程组应用题教学思路和具体做法借鉴,另外抛砖引玉引起更多的思考,把这一教学思路推广拓展到更多更广的教学案例.参考文献[1]吴玲莉,《分层教学理论在初中数学教学中的应用》,[J],《教学论坛》2012(2).[2]朱允华,《<8.3实际问题与二元一次方程组￿>教学设计》,[C],越秀区初一数学教研活动,2014.[3]赵福文,《初中数学变式教学的方法探析》,[J],《数学大世界》.[4]邝晶晶,《<实际问题与二元一次方程组(面积分割问题)>教学设计》,[C],越秀区初一数学教研活动,2019.。

二元一次方程组的应用（第2课时）教学目标:1、 会用二元一次方程组解决简单的实际问题。

2、 会综合运用二元一次方程以及统计等的相关知识解决实际问题。

教学重点：列二元一次方程组解应用题。

教学难点：例2的问题情境比较复杂，且涉及多方面的知识和技能，是本节的难点。

教学过程：一、 复习旧知应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤:二、探求新知1、例1：一根金属棒在0℃时的长度是q m,温度每升高1 ℃,它就伸长p m.当温度为t ℃时,金属棒的长度L 可用公式L=pt+q 计算.已测得当t=100 ℃时, L=2.002m;当t=500 ℃时,L=2.01m.(1)求p,q 的值; 理解问题 （审题，搞清已知和未知，分清数量关系）制定计划 （考虑如何根据等量关系设元，列出方程） 执行计划 理解问题 （列出方程组并求解，得到答案） （检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意）(2)若这根金属棒加热后长度伸长到2.016m,问这时金属棒的温度是多少?解：（1）根据题意，得100 2.002500 2.01p q p q +=⎧⎨==⎩②- ①,得400p=0.008，解得p=0.00002把p=0.00002代入①，得0.002+q=2.002，解得q=2即 0.000022p q =⎧⎨=⎩答：p=0.00002,q=2(2)由（1），得l=0.00002t+2金属棒加热后，长度伸长到2.016m,即当l=2.016m 时，2.016=0.00002t+2,解这个一元一次方程，得t=800(℃)答：此时金属棒得温度是800 ℃。

2、变式：上题中当这根金属棒加热到200℃时，它的长度是多少？ 解：由（1）得t ＝0.00002t ＋2当t=200时，t ＝0.00002×200＋2＝2.004米答：此时它的长度是2.004米3、合作讨论：例2的解题步骤？讨论归纳：① 代入（将已知的量 代入关系式）② 列（列出二元一次方程组）③解（解这个二元一次方程组）④回代（把求得p 、q 值重新回代到关系式中，使关系式只有两个相关的量，如只有t 与t ）指出：这种求字母系数的方法称为待定系数法。

专题 二元一次方程组的应用【知识点1 调配与配套问题】1.比例问题:如果甲、乙数量比为a:b ，则=a b甲数乙数； 2.“二合一”问题:如果a 件甲产品和b 件乙产品配成一套，那么甲产品数的b 倍等于乙产品数的a 倍，即=a b甲产品数乙产品数； 3.“三合一”问题:如果甲产品a 件，乙产品b 件，丙产品c 件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：==a b b甲产品数乙产品数丙产品数. 【题型1 调配问题】【例1】（2021春•夏津县期末）为庆祝建党100周年，更加深入了解党的光荣历史，我校团委计划组织全校共青团员到曾家岩周公馆、红岩村纪念馆、烈士墓渣滓洞一线开展红色研学之旅．计划统一乘车前往，若调配30座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配36座客车，则用车数量将减少1辆，并空出4个座位．设计划调配30座客车x 辆，全校共青团员共有y 人，则根据题意可列出方程组为（ ） A ．{y −30x =836(x −1)−y =4 B ．{y −30x =8y −36(x −1)=4C ．{30x −y =836x −1−y =4 D ．{30x −y =8y −(36x −1)=4【变式1-1】（2021春•沈丘县期末）乙组人数是甲组人数的一半，若将乙组人数的三分之一调入甲组，则甲组比乙组多15人，设甲组原有x 人，乙组原有y 人，则可得方程组为 ．【变式1-2】（2021春•永定区期中）在抗击新冠肺炎疫情期间，各省市积极组织医护人员支援武汉．某省组织医护人员统一乘车去武汉，原计划调配45座客车若干辆，则有30人没有座位；若调配同样数量的60座客车，则有45个座位无人坐．（1）该省有多少医护人员支援武汉？（2）若同时调配45座和60座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？【变式1-3】（2020•恩平市模拟）北京和上海都有检测新冠肺炎病毒的仪器可供外地使用，其中北京有10台，上海有4台．（1）已知武汉需要8台，温州需要6台，从北京、上海将仪器运往武汉、温州的费用如表所示，有关部门计划用8000元运送这些仪器，请你设计一种运送方案，使武汉、温州能得到所需仪器，而且运费正好够用． （2）为了节约运送资金，中央防控工作组统一调配仪器，分配到温州的仪器不能超过5台，则如何调配？ 运费表 单位：（元/台）终点 起点 温州武汉北京 400 800 上海300500【题型2 配套问题】【例2】（2020•松北区二模）机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问安排 名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套． 【变式2-1】（2020春•义乌市期末）为紧急安置50名雅安地震灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，且所有帐篷都住满人，则搭建方案共有 种．【变式2-2】（2020春•甘南县期中）某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好全部运走，怎样调配劳力才能使挖出来的土能及时运走且不窝工？【变式2-3】（2020春•浦东新区期末）某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2m 的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只．现计划用132m 这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【知识点2 古代问题】1．和差倍分问题：较大量＝较小量+多余量，总量＝倍数×倍量．2．盈不足问题：每次数量×份数﹣盈＝总数量，每次数量×份数+亏＝总数量． 3．鸡兔同笼问题：注意鸡有两只脚，兔有四只脚．【题型3 和差倍分问题】【例3】（2021•洛阳三模）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两．问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x 两，一枚白银的重量为y 两，则可列方程组为（ ） A ．{9x =11y 9x −y =11y −x +13B ．{9x =11y 9x −y =11y −x −13C ．{9x =11y 8x +y =10y +x +13D ．{9x =11y 8x +y =10y +x −13【变式3-1】（2021•泰安）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，根据题意，可列方程组为 ．【变式3-2】（2020•南陵县一模）《九章算术》中有这样一题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？大意为：现有若干人合伙出钱买一只鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？请解答上述问题．【变式3-3（2020•泉州二模）我国古代数学著作《九章算术》记载这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，问几何？”其大意为：现有木棍，不知道它的长短，用绳子去量，绳子多了4尺5寸；把绳子对折后再量，绳子又短了1尺，问：木棍有多长？【题型4 盈不足问题】【例4】（2021•朝阳一模）《九章算术》中“盈不足术”问题的原文为：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”译文为：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？”设共同购买该物品的有x 人，该物品的价格是y 元，则根据题意，列方程组为（ ） A ．{8x −y =37x −y =4B ．{8x −y =3y −7x =4C ．{y −8x =37x −y =4D ．{y −8x =3y −7x =4【变式4-1】（2021•赣州模拟）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为 ．【变式4-2】（2021•江西模拟）中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一．书中有一盈不足问题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”译文：今有数人共同买金子，每人出400，多出来3400；每人出300，多出来100，问：共有多少人？金价是多少？请解决这个问题．【变式4-3】（2021春•桂平市期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．书中有如下问题：今有其买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少4元钱，问有多少人？该物品价值多少元？【知识点4 图形与表格问题】1．图表信息题的关键信息隐藏在图形和表格中，需读懂图中所提供的数据，提炼图中所给的信息，从中找出相等关系，再选取适当量为元列出方程组．2．图形问题，其等量关系的确定一般借助图形的边长(周长)和面积，具体方法是根据单个图形的形状，按图形的拼接方式确定边长(周长)和面积之间的等量关系． 【题型5 从图表中获取问题】【例5】（2021春•沂水县期末）已知关于x ，y 的二元一次方程2x ﹣3y ＝t ，其取值如下表，则p 的值为（ ）x m m +2 y n n ﹣3 t 5p A ．16B ．17C ．18D ．19【变式5-1】（2021春•博兴县期末）篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分，下表是某队全部比赛结束后的部分统计结果：胜 负 合计 场数 y 10 积分2x16表中x ，y 满足的二元一次方程组是（ ）A ．{x +y =102x −y =16B ．{x +y =102x +y =16C ．{x −y =102x +y =16D ．{4x +y =162x +y =16【变式5-2】（2020春•五华区校级月考）新房装修后，甲居民购买家居用品的清单如下表，因污水导致部分信息无法识别，根据下表解决问题：家居用品名称单价（元）数量（个）金额（元）挂钟 30 2 60 垃圾桶 15 塑料鞋架 40 艺术饰品 a 2 120 电热水壶351 b 合计8310（1）直接写出a＝，b＝；（2）甲居民购买了垃圾桶，塑料鞋架各几个？（3）若甲居民再次购买艺术饰品和垃圾桶两种家居用品，共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？【变式5-3】（2020•徐州）小丽购买学习用品的收据如表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题：（1）小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？（2）若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？商品名单价（元）数量（个）金额（元）签字笔326自动铅笔 1.5●●记号笔4●●软皮笔记本●29圆规 3.51●合计828【题型6 从几何图形中获取信息】【例6】（2021春•漳州期末）如图，7个大小、形状完全相同的小长方形组成一个周长为68的大长方形ABCD．求大长方形ABCD的面积．【变式6-1】（2021春•上城区期末）如图，在长方形ABCD中，放入8个完全相同的小长方形．（1）每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？（2）图中阴影部分面积为多少平方厘米？【变式6-2】（2021春•九龙坡区校级期末）小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为他爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．（1）若小语用长40cm，宽34cm的长方形纸片恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的2.5倍，三处“接口”的宽度相等，则该茶叶盒的容积是多少？（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒200元购进一批茶叶，按进价增加18%作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了6元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利1800元，求这批茶叶共进了多少盒？【变式6-3】（2021春•天河区校级月考）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．（1）如果加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？（2））如果加工成有盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．现工厂有35块铁板，每块铁板都可以裁剪成长方形铁片和正方形铁片，且有以下三种裁剪方式．方式①：每块铁板可裁成3张长方形铁片；方式②：每块铁板可裁成4张正方形铁片；方式③；每块铁板可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少铁盒？。

初中数学二元一次方程提高题与常考题和培优题(含解析)一．选择题〔共13小题〕1．关于x，y的方程x2m﹣n﹣2+4y m+n+1=6是二元一次方程，那么m，n的值为〔〕A．m=1，n=﹣1 B．m=﹣1，n=1 C．D．2．x=﹣3，y=1为以下哪一个二元一次方程式的解？〔〕A．x+2y=﹣1 B．x﹣2y=1 C．2x+3y=6 D．2x﹣3y=﹣63．x，y满足方程组，那么x+y的值为〔〕A．9 B．7 C．5 D．34．假设二元一次联立方程式的解为x=a，y=b，那么a+b之值为何？〔〕A．B．C．7 D．135．为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的选项是〔〕A．B．C．D．6．如果是方程x﹣3y=﹣3的一组解，那么代数式5﹣a+3b的值是〔〕A．8 B．5 C．2 D．07．父子二人并排垂站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面的高度是他自身身高的，父子二人的身高之和为3.2米．假设设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，那么可列方程组为〔〕A．B．C ．D ．8．小明在某商店购置商品A、B共两次，这两次购置商品A、B的数量和费用如表：购置商品A的数量〔个〕购置商品B的数量〔个〕购置总费用〔元〕第一次购物4393第二次购物66162假设小明需要购置3个商品A和2个商品B，那么她要花费〔〕A．64元B．65元C．66元D．67元9．足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某足球队共进展了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数可能是〔〕A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或510．电影"刘三姐"中，秀才和刘三姐对歌的场面十分精彩．罗秀才唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得均？〞刘三姐示意舟妹来答，舟妹唱道：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条财主请来当奴才．〞假设用数学方法解决罗秀才提出的问题，设“一少〞的狗有x条，“三多〞的狗有y条，那么解此问题所列关系式正确的选项是〔〕A ．B ．C．D．11．假设方程组的解是，那么方程组的解是〔〕A． B．C． D．12．"九章算术"是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的根本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是"九章算术"最高的数学成就．"九章算术"中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？〞译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？〞设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为〔〕A．B．C．D．13．如图，用12块一样的小长方形瓷砖拼成一个大的长方形，那么每个小长方形瓷砖的面积是〔〕A．175cm2B．300cm2C．375cm2D．336cm2二．填空题〔共13小题〕14．方程组的解是．15．a、b满足方程组，那么=．16．假设方程组与的解一样，那么a=，b=．17．是方程组的解，那么代数式〔a+b〕〔a﹣b〕的值为．18．假设〔a﹣2b+1〕2与互为相反数，那么a=，b=．19．定义运算“﹡〞：规定x﹡y=ax+by〔其中a、b为常数〕，假设1﹡1=3，1﹡〔﹣1〕=1，那么1﹡2=．20．我国明代数学家程大位的名著"直指算法统宗"里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？如果译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设大和尚x人，小和尚y人，可列方程组为．21．如图，图1和图2都是由8个一样大小的小长方形拼成的，且图2中的小正方形〔阴影局部〕的面积为1cm2，那么小长方形的周长等于．22．如果4x a+2b﹣11﹣2y5a﹣2b﹣3=8是关于x，y的二元一次方程，那么a﹣b=．23．一副三角扳按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，假设设∠1=x°，∠2=y°，那么可得到方程组为．24．如图，三个全等的小矩形沿“横﹣竖﹣横〞排列在一个边长分别为5.7，4.5的大矩形中，图中一个小矩形的周长等于．25．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、图②两种方式摆放，根据图中数据，那么图②的大正方形中未被小正方形覆盖局部的面积大小为．26．如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是．三．解答题〔共14小题〕27．解方程组：．28．解方程组：．29．关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求k的值．30．观察以下方程组，解答问题：①；②；③；…〔1〕在以上3个方程组的解中，你发现x与y有什么数量关系？〔不必说理〕〔2〕请你构造第④个方程组，使其满足上述方程组的构造特征，并验证〔1〕中的结论．31．根据图中提供的信息，列方程或方程组求杯子和热水瓶的单价．32．某班学生集体去看演出，观看演出需购置甲种门票或乙种门票，甲种门票每张24元，乙种门票每张18元．该班35名学生每人购置一种门票共花费750元，求该班购置甲、乙两种门票的张数．33．某公园的门票价格规定如下表：购票人数50人以下51～100人100人以上票价13元/人11元/人9元/人某学校七年级1班和2班两个班共104人去游园，其中1班缺乏50人，2班超过50人．〔1〕假设以班为单位分别购票，一共应付1240元，求两班各有多少人？〔2〕假设两班联合购票可少付多少元？34．“最美女教师〞张丽莉，为抢救两名学生，以致双腿高位截肢，社会各界纷纷为她捐款，我市某中学九年级10班40名同学参加了捐款活动，共捐款400元，捐款情况如下表：表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．请你用你学过的知识算出捐款10元和15元的人数各是多少名？35．某天蔬菜经营户用120元批发了西兰花和胡萝卜共60kg到菜市场零售，西兰花和胡萝卜当天的批发价和零售价如表所示：品名西兰花胡萝卜批发价〔元/kg〕 2.8 1.6零售价〔元/kg〕 3.8 2.5如果他当天全部卖完这些西兰花和胡萝卜可获得利润多少元．36．4月23日“世界读书日〞期间，玲玲和小雨通过某图书微信群网购图书，请根据他们的微信聊天对话，试一试：求出每本"英汉词典"和"读者"杂志的单价．37．学生在素质教育基地进展社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40kg，了解到这些蔬菜的种植本钱共42元，还了解到如下信息：〔1〕请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？〔2〕这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？38．某校住校生宿舍有大小两种寝室假设干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满．求该校的大小寝室每间各住多少人？39．某运发动在一场篮球比赛中的技术统计如表所示：技术上场时出手投篮投中〔次〕罚球得篮板〔个〕助攻〔次〕个人总间〔次〕分得分〔分钟〕数据46662210118 60注：表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球．根据以上信息，求本场比赛中该运发动投中2分球和3分球各几个．40．在平面直角坐标系中，假设横坐标、纵坐标均为整数点称为格点，假设一个多边形的顶点都是格点，那么称为格点多边形．记格点多边形的面积为S，其内部的格点数记为n，边界上的格点数记为l，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，n=0，l=4．奥地利数学家皮克发现格点多边形的面积可表示为S=n+al+b，其中a，b为常数．〔1〕利用图中条件求a，b的值；〔2〕假设某格点多边形对应的n=20，l=15，求S的值；〔3〕在图中画出面积等于5的格点直角三角形PQR．初中数学二元一次方程提高题与常考题和培优题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题〔共13小题〕1．〔2016•毕节市〕关于x，y的方程x2m﹣n﹣2+4y m+n+1=6是二元一次方程，那么m，n的值为〔〕A．m=1，n=﹣1 B．m=﹣1，n=1 C．D．【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．【解答】解：∵方程x2m﹣n﹣2+4y m+n+1=6是二元一次方程，∴，解得：，应选A【点评】此题考察了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键．2．〔2016•〕x=﹣3，y=1为以下哪一个二元一次方程式的解？〔〕A．x+2y=﹣1 B．x﹣2y=1 C．2x+3y=6 D．2x﹣3y=﹣6【分析】直接利用二元一次方程的解的定义分别代入求出答案．【解答】解：将x=﹣3，y=1代入各式，A、〔﹣3〕+2×1=﹣1，正确；B、〔﹣3〕﹣2×1=﹣5≠1，故此选项错误；C、2×〔﹣3〕+3‧1=﹣3≠6，故此选项错误；D、2×〔﹣3〕﹣3‧1=﹣9≠﹣6，故此选项错误；应选：A．【点评】此题主要考察了二元一次方程的解，正确代入方程是解题关键．3．〔2016•〕x，y满足方程组，那么x+y的值为〔〕A．9 B．7 C．5 D．3【分析】方程组两方程相加求出x+y的值即可．【解答】解：，①+②得：4x+4y=20，那么x+y=5，应选C【点评】此题考察了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．4．〔2016•〕假设二元一次联立方程式的解为x=a，y=b，那么a+b之值为何？〔〕A．B．C．7 D．13【分析】将其中一个方程两边乘以一个数，使其与另一方程中x的系数互为相反数，再将两方程相加，消去一个未知数，到达降元的目的，求出另一个未知数，再用代入法求另一个未知数．【解答】解：①×2﹣②得，7x=7，x=1，代入①中得，2+y=14，解得y=12，那么a+b=1+12=13，应选D．【点评】此题主要考察解二元一次方程组，熟练运用加减消元是解答此题的关键．5．〔2016•〕为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的选项是〔〕A．B．C．D．【分析】根据题意可得等量关系：①男生人数+女生人数=30；②男生种树的总棵树+女生种树的总棵树=78棵，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：该班男生有x人，女生有y人．根据题意得：，应选：D．【点评】此题主要考察了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，然后再列出方程组．6．〔2016•吴中区一模〕如果是方程x﹣3y=﹣3的一组解，那么代数式5﹣a+3b 的值是〔〕A．8 B．5 C．2 D．0【分析】把x=a，y=b代入方程，再根据5﹣a+3b=5﹣〔a﹣3b〕，然后代入求值即可．【解答】解：把x=a，y=b代入方程，可得：a﹣3b=﹣3，所以5﹣a+3b=5﹣〔a﹣3b〕=5+3=8，应选A【点评】此题考察了代数式的求值，正确对代数式变形，利用添括号法那么是关键．7．〔2017•河北一模〕父子二人并排垂站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面的高度是他自身身高的，父子二人的身高之和为3.2米．假设设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，那么可列方程组为〔〕A．B．C．D．【分析】根据题意可得两个等量关系：①爸爸的身高+儿子的身高=3.2米；②父亲在水中的身高〔1﹣〕x=儿子在水中的身高〔1﹣〕y，根据等量关系可列出方程组．【解答】解：设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，由题意得：，应选：D．【点评】此题主要考察了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，解决此题的关键是知道父亲和儿子没在水中的身高是相等的．8．〔2016•黔东南州〕小明在某商店购置商品A、B共两次，这两次购置商品A、B的数量和费用如表：购置商品A的数量〔个〕购置商品B的数量〔个〕购置总费用〔元〕第一次购物4393第二次购物66162假设小明需要购置3个商品A和2个商品B，那么她要花费〔〕A．64元B．65元C．66元D．67元【分析】设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，由题意得等量关系：①4个A的花费+3个B的花费=93元；②6个A的花费+6个B的花费=162元，根据等量关系列出方程组，再解即可．【解答】解：设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据题意，得，解得：．答：商品A的标价为12元，商品B的标价为15元；所以3×12+2×15=66元，应选C【点评】此题主要考察了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程组．9．〔2016•〕足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某足球队共进展了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数可能是〔〕A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或5【分析】设该队胜x场，平y场，那么负〔6﹣x﹣y〕场，根据：胜场得分+平场得分+负场得分=最终得分，列出二元一次方程，根据x、y的范围可得x的可能取值．【解答】解：设该队胜x场，平y场，那么负〔6﹣x﹣y〕场，根据题意，得：3x+y=12，即：x=，∵x、y均为非负整数，且x+y≤6，∴当y=0时，x=4；当y=3时，x=3；即该队获胜的场数可能是3场或4场，应选：C．【点评】此题主要考察二元一次方程的实际应用，根据相等关系列出方程是解题的关键，要熟练根据未知数的范围确定方程的解．10．〔2016•泰安模拟〕电影"刘三姐"中，秀才和刘三姐对歌的场面十分精彩．罗秀才唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得均？〞刘三姐示意舟妹来答，舟妹唱道：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条财主请来当奴才．〞假设用数学方法解决罗秀才提出的问题，设“一少〞的狗有x条，“三多〞的狗有y条，那么解此问题所列关系式正确的选项是〔〕A．B．C．D．【分析】根据一少三多四下分，不要双数要单数，列出不等式组解答即可．【解答】解：设“一少〞的狗有x条，“三多〞的狗有y条，可得：，应选：B．【点评】此题考察二元一次方程的应用，关键是根据一少三多四下分，不要双数要单数列出不等式组．11．〔2016•高阳县一模〕假设方程组的解是，那么方程组的解是〔〕A． B．C． D．【分析】根据加减法，可得〔x+2〕、〔y﹣1〕的解，再根据解方程，可得答案．【解答】解：∵方程组的解是，∴方程组中∴应选：C．【点评】此题考察了二元一次方程组的解，解决此题的关键是先求〔x+2〕、〔y ﹣1〕的解，再求x、y的值．12．〔2016•乐山模拟〕"九章算术"是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的根本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是"九章算术"最高的数学成就．"九章算术"中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？〞译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？〞设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为〔〕A．B．C．D．【分析】根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两〞，得到等量关系，即可列出方程组．【解答】解：根据题意得：，应选A【点评】此题考察了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决此题的关键是找到题目中所存在的等量关系．13．〔2016•富顺县校级模拟〕如图，用12块一样的小长方形瓷砖拼成一个大的长方形，那么每个小长方形瓷砖的面积是〔〕A．175cm2B．300cm2C．375cm2D．336cm2【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意可知x+y=40，大矩形的长可表示3x或3y+2x，从而得到3x=3y+2x，然后列方程组求解即可．【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm．根据题意得：解得：．故xy=30×10=300cm2．应选：B．【点评】此题主要考察的是二元一次方程组的应用，根据矩形的对边相等列出方程组是解题的关键．二．填空题〔共13小题〕14．〔2016•永州〕方程组的解是．【分析】代入消元法求解即可．【解答】解：解方程组，由①得：x=2﹣2y ③，将③代入②，得：2〔2﹣2y〕+y=4，解得：y=0，将y=0代入①，得：x=2，故方程组的解为，故答案为：．【点评】此题考察的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．15．〔2016•〕a、b满足方程组，那么= 3 ．【分析】方程组利用加减消元法求出解得到a与b的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：，①×3+②得：7a=28，即a=4，把a=4代入②得：b=5，那么原式=3．故答案为：3【点评】此题考察了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．16．〔2016•富顺县校级模拟〕假设方程组与的解一样，那么a= 33 ，b=．【分析】先求出x，y的值，再组成一个含a，b的新方程组．解这个方程组即可．【解答】解：解方程组得，代入方程组得，解得，故答案为：33，．【点评】此题主要考察了二元一次方程组的解，解题的关键是正确求出x，y的值，组成一个新的方程组．17．〔2016•〕是方程组的解，那么代数式〔a+b〕〔a﹣b〕的值为﹣8 ．【分析】把x与y的值代入方程组求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：把代入方程组得：，①×3+②×2得：5a=﹣5，即a=﹣1，把a=﹣1代入①得：b=﹣3，那么原式=a2﹣b2=1﹣9=﹣8，故答案为：﹣8【点评】此题考察了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．18．〔2016•富顺县校级模拟〕假设〔a﹣2b+1〕2与互为相反数，那么a= 3 ，b= 2 ．【分析】根据得出〔a﹣2b+1〕2+=0，得出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：∵〔a﹣2b+1〕2与互为相反数，∴〔a﹣2b+1〕2+=0，〔a﹣2b+1〕2=0且=0，即，解得：a=3，b=2故答案为：3，2．【点评】此题考察了相反数，二元一次方程组，偶次方，算术平方根的应用，解此题的关键是得出关于x、y的方程组．19．〔2016•浦东新区二模〕定义运算“﹡〞：规定x﹡y=ax+by〔其中a、b为常数〕，假设1﹡1=3，1﹡〔﹣1〕=1，那么1﹡2= 4 ．【分析】等式利用题中的新定义化简为二元一次方程组，求出方程组的解得到a 与b的值，即可确定出所求式子的值．【解答】解：根据题中的新定义得：，解得：，那么1﹡2=1×2+2×1=2+2=4，故答案为：4【点评】此题考察了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．20．〔2016•丰台区二模〕我国明代数学家程大位的名著"直指算法统宗"里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？如果译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设大和尚x人，小和尚y人，可列方程组为．【分析】根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程组即可．【解答】解：设大和尚x人，小和尚y人，由题意可得．故答案为．【点评】此题考察了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程组．21．〔2016•龙岩模拟〕如图，图1和图2都是由8个一样大小的小长方形拼成的，且图2中的小正方形〔阴影局部〕的面积为1cm2，那么小长方形的周长等于16cm ．【分析】仔细观察图形，发现此题中2个等量关系为：小长方形的长×3=小长方形的宽×5，〔小长方形的长+小长方形的宽×2〕2=小长方形的长×小长方形的宽×8+1．根据这两个等量关系可列出方程组，即可求出小长方形的周长．【解答】解：设这8个大小一样的小长方形的长为xcm，宽为ycm．由题意，得，解得．小长方形的周长为2×〔3+5〕=16，故答案为16cm．【点评】此题主要考察了二元二次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找到适宜的等量关系，列出方程组．解决此题需仔细观察图形，发现大长方形的对边相等及正方形的面积=8个小长方形的面积+小正方形的面积是关键．22．〔2016春•单县期末〕如果4x a+2b﹣11﹣2y5a﹣2b﹣3=8是关于x，y的二元一次方程，那么a﹣b= ﹣2 ．【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．【解答】解：因为4x a+2b﹣11﹣2y5a﹣2b﹣3=8是关于x，y的二元一次方程，可得：，解得：，所以a﹣b=﹣2，故答案为：﹣2【点评】主要考察二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．23．〔2016春•镇赉县期末〕一副三角扳按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，假设设∠1=x°，∠2=y°，那么可得到方程组为．【分析】根据∠1的度数比∠2的度数大50°，还有平角为180°列出方程，联立两个方程即可．【解答】解：根据∠1的度数比∠2的度数大50°可得方程x﹣y=50，再根据平角定义可得x+y+90=180，故x+y=90，那么可得方程组：，故答案为：．【点评】此题主要考察了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．24．〔2016•广陵区二模〕如图，三个全等的小矩形沿“横﹣竖﹣横〞排列在一个边长分别为5.7，4.5的大矩形中，图中一个小矩形的周长等于 6.8 ．【分析】由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽=5.7，小矩形的2个宽+一个长=4.5，设出长和宽，列出方程组即可得答案．【解答】解：设小矩形的长为xm，宽为ym，由题意得：，解得：x+y=3.4．一个小矩形的周长为：3.4×2=6.8，故答案为：6.8．【点评】此题主要考察了二元一次方程组的应用，做题的关键是：弄懂题意，找出等量关系，列出方程组．25．〔2016•河南模拟〕一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、图②两种方式摆放，根据图中数据，那么图②的大正方形中未被小正方形覆盖局部的面积大小为24 ．【分析】设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，根据图①、图②给出的数据即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可求出x、y的值，再用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可得出结论．【解答】解：设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，根据题意得：，解得：，∴图②的大正方形中未被小正方形覆盖局部的面积为52﹣4×=24．故答案为：24．【点评】此题考察了二元一次方程组的应用，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．26．〔2016•楚雄州模拟〕如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是292 ．【分析】设连续搭建正三角形的个数为x个，连续搭建正六边形的根数为y个，根据“所用火柴棍数=三角形个数×2+1+正六边形个数×5+1〞联立正三角形的个数比正六边形的个数多6个得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．【解答】解：设连续搭建正三角形的个数为x个，连续搭建正六边形的根数为y 个，由题意得，解得：．故答案为：292．【点评】此题考察了二元一次方程组的应用，解题的关键是列出关于x、y的二元一次方程．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，结合数量关系得出关于两种图形个数的方程〔或方程组〕是关键．三．解答题〔共14小题〕27．〔2016•〕解方程组：．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①×8+②得：33x=33，即x=1，把x=1代入①得：y=1，那么方程组的解为．【点评】此题考察了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．28．〔2016•威海一模〕解方程组：．【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【解答】解：原方程组可化为，①×3+②，得11x=22，即x=2，将x=2代入①，得6﹣y=3，即y=3，那么方程组的解为．【点评】此题考察了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．29．〔2016•莆田模拟〕关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求k的值．【分析】方程组两方程相加表示出x+y，根据x与y互为相反数得到x+y=0，求出k的值即可．【解答】解：，①+②得：3〔x+y〕=k﹣1，即x+y=，由题意得：x+y=0，即=0，解得：k=1．【点评】此题考察了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．30．〔2016•漳州模拟〕观察以下方程组，解答问题：①；②；③；…〔1〕在以上3个方程组的解中，你发现x与y有什么数量关系？〔不必说理〕〔2〕请你构造第④个方程组，使其满足上述方程组的构造特征，并验证〔1〕中的结论．【分析】〔1〕观察方程组，得到x与y的数量关系即可；〔2〕归纳总结得到第④个方程组，求出方程组的解，验证即可．【解答】解：〔1〕在以上3个方程组的解中，发现x+y=0；〔2〕第④个方程组为，①+②得：6x=24，即x=4，把x=4代入①得：y=﹣4，那么x+y=4﹣4=0．【点评】此题考察了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．31．〔2016•龙岩模拟〕根据图中提供的信息，列方程或方程组求杯子和热水瓶的单价．【分析】根据图知道，一个保温瓶和一个杯子的价钱是43元，2个保温瓶和3个杯子的价钱是94元；先用43×2求出2个保温瓶和2个杯子的价钱，再用2个保温瓶和3个杯子的价钱减去2个保温瓶和2个杯子的价钱就是一个杯子的价钱，进而求出一个保温瓶的价钱．【解答】解：设杯子的单价为x元，那么热水瓶单价为y元，那么解得，答：杯子的单价为8元，那么热水瓶单价为35元．【点评】此题考察方程组的应用，关键是根据图，得出保温瓶与杯子的价钱之间的数量关系，再根据数量关系的特点，选择适宜的方法进展计算．32．〔2016•长春模拟〕某班学生集体去看演出，观看演出需购置甲种门票或乙种门票，甲种门票每张24元，乙种门票每张18元．该班35名学生每人购置一种门票共花费750元，求该班购置甲、乙两种门票的张数．【分析】设该班购置甲种门票x张，乙种门票y张，根据“该班一共35人，甲种门票每张24元，乙种门票每张18元，每人购置一种门票共花费750元〞列方。

专题11二元一次方程实际应用的三种考法类型一、方案问题
类型二、销售利润问题
例．某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机，若购进2部甲型号手机和5部乙型号手机，共需要资金6000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．
(1)求甲、乙型号手机每部进价各为多少元；
(2)该店预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号手机共20部，请问有多少种进货方案？
(3)若甲型号手机的售价为1500元，乙型号手机的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机．返还顾客现金a元，甲型号手机售价不变，要使（2）中购进的手机全部售完，每种方案获利相同，求a的值．
【变式训练1】某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1100元．
(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
(2)该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x个，获得的利润为W元；
①求W关于x的函数关系式
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
类型三、小题压轴
课后训练。

二元一次方程组的应用【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】1．会列二元一次方程组解决实际问题。

2．通过对列二元一次方程组解决应用题，培养学生灵活解决数学问题的能力。

【教学重难点】1．理解列二元一次方程组解应用题的一般步骤。

2．会灵活运用列方程组解决实际问题。

【教学过程】一、导入新课我们学习了列一元一次方程解应用题的一般步骤，那么列方程分为哪几个基本步骤？学生积极回答：（一）审题设未知数；（二）找相等关系；（三）列方程；（四）解方程；（五）检验，写出答案。

这一节我们来学习用二元一次方程组解决实际问题（板书课题）。

二、推进新课（一）问题：某市举办中学生足球赛，规定胜一场得3分，平一场得1分。

一球队共比赛11场，没输过一场，一共得27分。

问该队胜几场，平几场？分析题意（方法一）：1．该队共进行比赛多少场，有没有输？（没有）2．若假设胜了x场，则平多少场？（11－x）3．胜一场得3分，胜x场得了多少分？（3x）4．平一场得1分，平局共得多少分？（11－x ）5．该队共得27分。

6．你找到等量关系了吗？（胜场得分＋平局得分＝总分）通过以上分析你有信心独立列出方程吗？解：设该队胜x 场，则平了（11－x ）场。

由题意可得：3x ＋(11－x)＝27；解得x ＝8。

11－x ＝11－8＝3；答：该队胜8场，平3场。

分析题意（方法二）：1．若假设胜利了x 场，平局为y 场，共进行11场比赛。

你能找到它们三者之间的等量关系吗？（胜利场数＋平局场数＝总场数）2．胜利一场得3分，胜利x 场共得了3x 分，平一场得1分，平局y 场共得y 分，一共得27分，这3个得分间有什么等量关系呢？（胜利得分＋平局得分＝总分）设两个未知数，就需要列二元一次方程组来解决，你能列出这个方程组吗？解：设胜利x 场，平局为y 场，得方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝11，3x ＋y ＝27。

教学策略：学生独立求解，并与方法一的结果做比较，进一步体会列一次方程（组）解应用题的方法。

人教版七年级数学下册 8．1 二元一次方程组提优训练一、选择题1.下列各式中是二元一次方程的是（ ） A ．2x +y =6zB ．1x+2=3y C ．3x -2y =9 D ．x -3=4y 22. 方程ax -4y =x -1是关于x ,y 的二元一次方程,则a 的取值范围为( )A. a ≠0B. a ≠-1C. a ≠1D. a ≠2 3.下列方程组是二元一次方程组的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1xy ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝－1y ＝2x ＋3C.⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＝0y ＝x ＋1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1x －1＝y3x ＋y ＝04．方程组233x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是( )A ．12x y =⎧⎨=⎩B ．21x y =⎧⎨=⎩C ．11x y =⎧⎨=⎩D ．23x y =⎧⎨=⎩5. 方程x +y =6的非负整数解有 ( )A. 6个B. 7个C. 8个D. 无数个 6．下列不是二元一次方程x －3y ＝－2的解是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝43C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝37．若方程6kx -2y =8有一组解32x y =-⎧⎨=⎩，则k 的值等于( )A ．-16B ．16C ．23D ．-238. 若{x =1y =2是关于x ,y 的二元一次方程ax －3y ＝1的解,则a 的值为( )A. －5B. －1C. 2D. 7 9. 某班有若干个活动小组，其中书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15人，绘画小组人数的2倍比书法小组的人数多5人，问：书法小组和绘画小组各有多少人？若设书法小组有x 人，绘画小组有y 人，则可列方程组为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧y －3x ＝15x －2y ＝5 B.⎩⎪⎨⎪⎧y －3x ＝152y －x ＝5 C.⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝15x －2y ＝5 D.⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝152y －x ＝5 10．二元一次方程x +3y =10的非负整数解共有( ) A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对二、填空题11. 若方程3x 3m +2y n =4是二元一次方程,那么m = ,n = .12．若方程组的解为42x y ==⎧⎨⎩，则写出这个方程组为__________． 13．某班学生去看演出，甲种票每张30元，乙种票每张20元，如果36名学生购票恰好用去860元，设甲种票买了x 张，乙种票买了y 张，依据题意，可列方程组为 14. 写出一个以{x =0,y =7为解的二元一次方程组: .15．二元一次方程2x +y =6的所有正整数解是__________．16．已知xm ＋n y 2与xym －n的和是单项式，则可列得二元一次方程组 ．三、解答题17．已知方程（2m -6）x |m -2|+（n -2）23n y =0是二元一次方程，求m ，n 的值．18. 若{x =2,y =1既是方程2x -y =m 的解,也是方程x +my =n 的解,求|m -n |的值.19．已知甲种物品每个重4 kg ，乙种物品每个重7 kg ，现有甲种物品x 个，乙种物品y 个，共重76 kg .(1)列出关于x ，y 的二元一次方程； (2)若x ＝12，则y ＝ ；(3)若乙种物品有8个，则甲种物品有 个；(4)写出满足条件的x，y的全部整数解．20．根据题意列出方程组：（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？21．已知两个二元一次方程：①3x －y ＝0；②7x －2y ＝2.(1)对于给出x 的值，在下表中分别写出对应的y 的值；(2)请你写出方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，7x －2y ＝2的解．22．甲、乙两人共同解方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩①②，由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=-⎩，看错了方程②中的b ，得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩，计算201820191()10ab +-的值．参考答案：一、选择题1.下列各式中是二元一次方程的是（ C ） A ．2x +y =6zB ．1x+2=3y C ．3x -2y =9 D ．x -3=4y 22. 方程ax -4y =x -1是关于x ,y 的二元一次方程,则a 的取值范围为( C )A. a ≠0B. a ≠-1C. a ≠1D. a ≠2 3.下列方程组是二元一次方程组的是(B )A.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1xy ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝－1y ＝2x ＋3C.⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＝0y ＝x ＋1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1x －1＝y3x ＋y ＝04．方程组233x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是( B )A ．12x y =⎧⎨=⎩B ．21x y =⎧⎨=⎩C ．11x y =⎧⎨=⎩D ．23x y =⎧⎨=⎩5. 方程x +y =6的非负整数解有 ( B )A. 6个B. 7个C. 8个D. 无数个 6．下列不是二元一次方程x －3y ＝－2的解是(C )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝43C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝3 7．若方程6kx -2y =8有一组解32x y =-⎧⎨=⎩，则k 的值等于( C )A ．-16B ．16C ．23D ．-238. 若{x =1y =2是关于x ,y 的二元一次方程ax －3y ＝1的解,则a 的值为( D )A. －5B. －1C. 2D. 7 9. 某班有若干个活动小组，其中书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15人，绘画小组人数的2倍比书法小组的人数多5人，问：书法小组和绘画小组各有多少人？若设书法小组有x 人，绘画小组有y 人，则可列方程组为(D )A.⎩⎪⎨⎪⎧y －3x ＝15x －2y ＝5 B.⎩⎪⎨⎪⎧y －3x ＝152y －x ＝5C.⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝15x －2y ＝5D.⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝152y －x ＝5 10．二元一次方程x +3y =10的非负整数解共有( D) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对二、填空题11. 若方程3x 3m+2y n=4是二元一次方程,那么m = ,n = .【答案】13;112．若方程组的解为42x y ==⎧⎨⎩，则写出这个方程组为__________．【答案】62x y x y +=-=⎧⎨⎩（答案不唯一）13．某班学生去看演出，甲种票每张30元，乙种票每张20元，如果36名学生购票恰好用去860元，设甲种票买了x 张，乙种票买了y 张，依据题意，可列方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3630x ＋20y ＝860． 14. 写出一个以{x =0,y =7为解的二元一次方程组: .【答案】{x +y =7,x -2y =-14(答案不唯一)15．二元一次方程2x +y =6的所有正整数解是__________．【答案】12122124x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩， 16．已知x m ＋n y 2与xy m －n的和是单项式，则可列得二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1m －n ＝2． 三、解答题17．已知方程（2m -6）x|m -2|+（n -2）23ny -=0是二元一次方程，求m ，n 的值．【解析】根据题意，得2|2|131m n -=⎧⎨-=⎩，26020m n -≠⎧⎨-≠⎩， ∴m =1，n =-2．18. 若{x =2,y =1既是方程2x -y =m 的解,也是方程x +my =n 的解,求|m -n |的值.【答案】将{x =2,y =1代入2x -y =m ,解得m =3;将{x =2,y =1和m =3代入x +my =n ,解得n =5.故|m -n |=|3-5|=2.19．已知甲种物品每个重4 kg ，乙种物品每个重7 kg ，现有甲种物品x 个，乙种物品y 个，共重76 kg .(1)列出关于x ，y 的二元一次方程； (2)若x ＝12，则y ＝ ；(3)若乙种物品有8个，则甲种物品有 个； (4)写出满足条件的x ，y 的全部整数解． 解：(1)4x ＋7y ＝76.(4)由4x ＋7y ＝76，得x ＝76－7y4.又由题意，得y 为正整数．当y ＝0时，x ＝19；当y ＝1时，x ＝76－74＝694，不合题意； 当y ＝2时，x ＝76－2×74＝312，不合题意； 当y ＝3时，x ＝76－3×74＝554，不合题意；当y ＝4时，x ＝76－4×74＝12； 当y ＝5时，x ＝76－5×74＝414，不合题意； 当y ＝6时，x ＝76－6×74＝172，不合题意； 当y ＝7时，x ＝76－7×74＝274，不合题意； 当y ＝8时，x ＝76－8×74＝5； 当y ＝9时，x ＝76－9×74＝134，不合题意； 当y ＝10时，x ＝76－10×74＝32，不合题意； 当y ＝11时，x ＝76－11×74<0，不合题意． 所以满足条件的x ，y 的全部整数解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝8，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝19，y ＝0.20．根据题意列出方程组：（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？ 【解析】（1）设0.8元的邮票买了x 枚，2元的邮票买了y 枚，根据题意得130.8220x y x y +=⎧⎨+=⎩，（2）设有x 只鸡，y 个笼，根据题意得415(1)y xy x +=⎧⎨-=⎩21．已知两个二元一次方程：①3x －y ＝0；②7x －2y ＝2.(1)对于给出x 的值，在下表中分别写出对应的y 的值；(2)请你写出方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，7x －2y ＝2的解． 解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝6.22．甲、乙两人共同解方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩①②，由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=-⎩，看错了方程②中的b ，得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩，计算201820191()10ab +-的值．【解析】根据题意把31x y =-⎧⎨=-⎩代入4x -by =-2，得-12+b =-2， 解得：b =10，把54x y =⎧⎨=⎩代入ax +5y =15，得5a +20=15，解得a =-1，1 10b）2019=（-1）2018+（-110×10）2019=0．所以a2018+（-。

2020-2021年度浙教版七年级数学下册《2.4二元一次方程的应用》同步提升训练（附答案）1．甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑10米，甲跑5秒就追上乙；如果让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙，若设甲、乙每秒分别跑x米，y米，下列方程组正确的是（）A．5105442x yx y+=⎧⎨-=⎩B．5510424x yx y=+⎧⎨-=⎩C．55104()2x yx y y-=⎧⎨-=⎩D．5()104(2)2x yx y x-=⎧⎨-=⎩2．已知关于x，y的方程组43112x yax by+=⎧⎨+=-⎩和3516x ybx ay-=⎧⎨-=⎩的解相同，则（a＋b）2021的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．20213．在长方形ABCD中，放入6个形状大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽AE的长度为（）cm ．A．1 B．1.6 C．2 D．2.54．某商场新购进一种服装，每套售价1000元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%，则调价前上衣的单价是（）A．200元B．480元C．600元D．800元5．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐步成为人们喜爱的交通工具．某汽车公司计划正好用190万元购买A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），其中A型汽车进价为20万元/辆，B型汽车进价为30万元/辆，则A，B型号两种汽车一共最多购买（）A．9辆B．8辆C．7辆D．6辆6．若下列三个二元一次方程：3x+y=5，x-3y=5，y=ax-9，有公共解，那么a的值应是（）．A．-4 B．4 C．3 D．-37．有一个两位数和一个一位数若在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是139；若用这个两位数除以这个一位数，则商7余3，则这个两位数为（）A．59 B．69 C．79 D．898．若关于,x y的二元一次方程组ax by mcx dy n+=⎧⎨+=⎩与()()()()123345a xb y mc xd y n⎧+++=+⎪⎨+++=+⎪⎩有相同的解，则这个解是（）A．12xy=⎧⎨=⎩B．12xy=-⎧⎨=⎩C．12xy=⎧⎨=-⎩D．12xy=-⎧⎨=-⎩9．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．第八卷记载：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问：牛羊各值金几何？”设每头牛值金x两，每头羊值金y两，可列方程组为_____．10．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花__元．11．已知关于x，y的二元一次方程组32129x y kx y+=+⎧⎨-=⎩的解互为相反数，则k的值是______．12．一水池有一个进水管和三个完全相同的出水管，现水池中有一定量的水，打开进水管（注水速度一致），若只打开一个出水管，则1小时正好能把水池中的水放完；若打开两个出水管，则20分钟正好能把水池中的水放完；问若打开三个出水管，则需要__________分钟恰好能把水池中的水放完．13．方程组23113543.1a ba b-=⎧⎨+=⎩解为9.72.8ab=⎧⎨=⎩，则方程组()()()()(223111325143.1x yx y⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩解为_____．14．如图，用8块相同长方形地砖拼成一块宽为60厘米大的长方形地面，则大长方形的面积为_____．15．重阳佳节来临之际，某糕点店对桂圆味，核桃味，绿豆味重阳糕（分别记为A、B、C）进行混装，推出了甲、乙两种盒装重阳糕，盒装重阳糕的成本是盒中所有A、B、C的成本与盒装成本之和，每盒甲装有6个A，2个B，2个C，每盒乙装有2个A，4个B，4个C，每盒甲中所有A、B、C的之和是1个A成本的15倍，每盒乙的盒装包装成本是每盒甲的盒装包装成本的43倍．每盒乙的利润率为20%，每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%．当该店销售这两种盒装重阳糕的总销售额为31000元，总利润率为24%时，销售甲种盒装重阳糕的总利润是_______元．16．已知关于x ，y 的方程组4375x y m x y m +=⎧⎨-=-⎩的解满足等式2x ＋y ＝8，则m 的值是__． 17．某车间有660名工人，生产某种由一个螺栓和两个螺母构成的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个，应安排______________人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套．18．实数m 取何值，方程260x my mx -+-=总有一个固定的解，请直接写出这个解______．19．某文具店有5元一支和4元一支的钢笔，王老师带48元去买钢笔，钱正好全部用完，共有_______种购买方案．20．我国明代《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么竿子长为______尺，索长为____尺．21．小雅和小智约好周末一起登缙云山，两人同时从山脚出发，沿同一路线上山．小雅以每分钟45米的速度匀速上山，途中不休息；小智以每分钟120米的速度骑自行车匀速上山，每骑车5分钟休息1分钟．10分钟后小智自行车出现故障，立即以每分钟50米的速度推着自行车到山脚出发点维修．15分钟后小智修好了自行车，立即以出发时的速度骑车追赶小雅，仍然骑车5分钟休息1分钟，最后小雅还是比小智早到山顶45秒，则山脚到山顶的距离为___________米．22．若关于x ，y 的方程组24,1mx ny x y +=⎧⎨+=⎩与()3,13x y nx m y -=⎧⎨+-=⎩有相同的解． （1）求这个相同的解；（2）求m 、n 的值．23．为了应对新冠肺炎疫情，做好防控工作，我市某校开学前拟为教职工购买口罩，计划购买普通口罩和N95口罩共4200个，已知每个普通口罩的价格为0.5元，每个N95口罩的价格为5元．（1）若购买这两类口罩的总金额为3000元，求两种口罩各购买了多少个？（2）为弘扬“好心茂名”精神，某企业决定给采购口罩的学校实行以下优惠：普通口罩每购满100个减10元，每个N95口罩打7折．若按（1）中的购买数量，实行优惠后学校需要支付多少钱？24．已知：用2辆A 型车和1辆B 型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A 型车和2辆B 型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有36吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案．25．某制衣厂现有22名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的村衫和裤子．每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条．（1）若该厂要求每天制作的衬衫和裤子配套，一件衬衫配两条裤子，则应各安排多少人分别制作衬衫和裤子？（此问题用列方程组方法求解）．（2）已知制作件衬衫可获得利润35元，制作一条裤子可获得利润15元，在（1）的条件下，求该厂每天制作衬衫和裤子所获得的利润共是多少元？26．如图，O 为直线MN 上的一点，AOB ∠为直角，OC 平分MOB ∠．若OD 平分CON ∠，且21DON AOM ∠-∠=︒，求BON ∠的度数．27．杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场，由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人，生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．（1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？（2）公司安排10名工人完成480辆自行车的安装，已知新工人和熟练工人在相同的时间内各完成240辆，问这10名工人中熟练工有几人？（列方程解决问题）），使得最后能刚好一个月（30天）（3）若公司原有熟练工a人，现招聘n名新工人（a n完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求n的值．28．政府为应对新冠疫情，促进经济发展，对商家打折销售进行了补贴，不打折时，6个A 商品，5个B商品，总费用为114元，3个A商品，7个B商品，总费用为111元，打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品共用了141.6元．（1）求出商品A，B每个的标价；（2）若商品A，B的折扣相同，商店打几折出售这两商品？小明在此次购物中得到了多少优惠？参考答案1．C2．A3．C4．D5．A6．B7．A8．B9．5210 258x yx y+=⎧⎨+=⎩．10．400 11．2 12．1213．7.73.8 xy=⎧⎨=⎩．14．5400cm2 15．2500 16．-6 17．38518．63 xy=⎧⎨=⎩19．3 20．15 20 21．3373.222．（1）21x y =⎧⎨=-⎩；（2）m =6,n =4 23．（1）普通口罩购买4000只，N95口罩购买200只；（2）2300元24．（1）1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨；（2）故共有三种租车方案，分别为：①A 型车4辆，B 型车6辆；②A 型车8辆，B 型车3辆；③A 型车12辆，B 型车0辆．25．（1）应安排10人制作衬衫，安排12人制作裤子；（2）1950元26．152BON ∠=︒．27．（1）每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车；（2）4人；（3）1或4或728．（1）商品A 的标价为9元，商品B 的标价为12元；（2）八折；35.4元。

2.4二元一次方程组的应用(二)一、选择题1．甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x 元、y 元，则下列方程组正确( )A.⎩⎨⎧x ＋y ＝100，（1＋10%）x ＋（1－40%）y ＝100×（1＋20%） B.⎩⎨⎧x ＋y ＝100，（1－10%）x ＋（1＋40%）y ＝100×20% C.⎩⎨⎧x ＋y ＝100，（1－10%）x ＋（1＋40%）y ＝100×（1＋20%） D.⎩⎨⎧x ＋y ＝100，（1＋10%）x ＋（1－40%）y ＝100×20%2．小红家2012年结余9000元，与2011年相比，2012年收入比2011年高20%，支出比2011年低10%，结余比2011年增加50%.设2012年的收入为x 元，支出为y 元，则可列方程组为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝9000，x 1＋20%－y 1－10%＝90001＋50%B.⎩⎨⎧x －y ＝9000，（1＋20%）x －（1－10%）y ＝9000 C.⎩⎨⎧x －y ＝9000，（1＋20%）x －（1－10%）y ＝9000（1＋50%） D.⎩⎨⎧x －y ＝9000，（1－20%）x －（1＋10%）y ＝90003．七年级学生在会议室开会，若每排座位坐12人，则有11人无处坐；若每排座位坐14人，则最后一排只坐1人，那么这间会议室共有座位( ) A ．14排 B ．13排C ．12排D ．11排二、填空题4．某船在河流中航行，已知顺流速度是14千米/时，逆流速度是8千米/时，那么它在静水中的速度是__ __千米/时，水流速度是__ __千米/时． 三、解答题5．用甲、乙两种原料配制某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表所示：现要求用多少千克？6．某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费．甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千米，付了35元”．请你算一算这种出租车的起步价是多少元，以及超过3千米后，每千米的车费是多少元．7．小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈：今天买这两样菜共花了45元，上月买同样重量的这两种菜只要36元．爸爸：报纸上说了萝卜的单价上涨了50%，排骨的单价上涨了20%.小明：爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)．8．体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如下表，全部销售完后共获得利润260元.(1)(2)销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？9．在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏规则如下：如图2－4－1，掷到A区和B 区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外的部分(掷中一次记一个点)．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下：图2－4－1(1)求掷中A区、B区一次各得多少分；(2)依此方法计算小明的得分为多少分．参考答案2.4（二）1、C，2、A，3、C，4、11,3，5、应购买甲种原料8千克，乙种原料2千克．6、这种出租车的起步价是5元，超过3千米后每千米收费1.5元．7、萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤.8、（1）购进篮球12个，排球8个．（2）与销售4个篮球的利润相等．9、（1）掷到A区得10分，掷到B区得9分．（2）76(分)。