12.1平方差公式

【教案】青岛版数学七年级下册12.1《平方差公式》教案一. 教材分析本节课的内容是平方差公式。

平方差公式是代数中的一个重要公式，它揭示了两个数的平方差与它们之间的关系。

青岛版数学七年级下册12.1节的内容主要包括平方差公式的定义、推导过程以及公式的应用。

通过本节课的学习，学生能够理解并掌握平方差公式，并能运用它解决一些实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式等基础知识。

他们对代数式有一定的认识，但对于平方差公式的理解和运用还需要进一步引导和培养。

学生的学习兴趣较为浓厚，但部分学生可能对于公式的推导和证明过程存在困难。

三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解平方差公式的定义，掌握公式的推导过程，并能够运用公式解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过小组合作、探究学习，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养他们积极思考、主动探索的精神。

四. 教学重难点1.教学重点：平方差公式的定义和推导过程。

2.教学难点：平方差公式的运用和解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际例子，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.小组合作学习：学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

3.引导发现法：教师引导学生发现平方差公式的规律，培养学生的观察力和思维能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示平方差公式的定义、推导过程和应用实例。

2.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生对平方差公式的理解和运用。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生活中的实际例子，引出平方差公式的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师展示平方差公式的定义和推导过程，引导学生理解并掌握公式。

3.操练（10分钟）教师提出一些练习题，学生独立完成，教师给予指导和反馈。

4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，共同解决一些实际问题，巩固学生对平方差公式的运用。

【教学设计】青岛版数学七年级下册12.1《平方差公式》教学设计一. 教材分析1.《平方差公式》是青岛版数学七年级下册第12.1节的内容，本节主要让学生掌握平方差公式的推导过程和应用。

2.平方差公式是基本的代数公式，它在解一元二次方程、因式分解等数学运算中有着广泛的应用。

3.本节内容通过具体的例子，引导学生发现并总结平方差公式，培养学生观察、思考、归纳的能力。

二. 学情分析1.七年级的学生已经学习了有理数的乘法、完全平方公式等基础知识，具备一定的代数运算能力。

2.学生对直观的图形和具体的例子感兴趣，善于观察和总结规律。

3.学生可能对代数公式的推导过程感到困惑，需要通过具体的例子和实践活动来加深理解。

三. 教学目标1.了解平方差公式的推导过程，掌握平方差公式的结构。

2.能够运用平方差公式进行解题和因式分解。

3.培养学生的观察能力、思考能力和归纳能力。

四. 教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程和应用。

2.教学难点：平方差公式的理解和运用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提问引导学生思考和探索。

2.利用图形和具体的例子，帮助学生直观地理解平方差公式。

3.采用分组讨论和合作交流的方式，让学生在实践中学习和巩固知识。

六. 教学准备1.准备相关的图形和例子，用于讲解和展示。

2.准备练习题和测试题，用于巩固和评估学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）–利用一个具体的例子，引出平方差公式的问题。

–提问学生：如何快速计算两个数的平方差？2.呈现（10分钟）–展示相关的图形和例子，引导学生观察和思考。

–通过具体的计算和解释，呈现平方差公式的推导过程。

3.操练（10分钟）–让学生分组讨论，尝试用自己的语言总结平方差公式的结构。

–每组选出一个代表，进行分享和讨论。

4.巩固（10分钟）–给出一些练习题，让学生运用平方差公式进行计算和因式分解。

–引导学生总结解题步骤和注意事项。

5.拓展（10分钟）–引导学生思考：平方差公式在实际生活中的应用。

“四抓”帮你学好平方差公式平方差公式（a+b）（a－b)=a2－b2是乘法运算中的一个重要公式，同学们一定要熟练掌握好它,要想学好、用好平方差公式，学习中应抓住以下四点．一、抓住公式的结构特点公式的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项是完全相同，另一项互为相反数;右边是完全相同项的平方减去符号相反项的平方．为了帮助大家记忆,可以编成如下“口诀”：求同存异平方差,全靠符号分两家；同平方，异平方,再把同方减异方．二、抓住公式中字母的广泛性公式中字母a、b具有广泛性，它们可以是具体的数,也可以是单项式或多项式．抓住了字母的广泛性,就能在更广泛的范围内正确运用公式．三、抓住几种常用的变换将所给式子进行适当变换,是灵活使用公式的前提，常用的变换有以下几种:1．位置变换:如计算(2b+3a) （3a－2b）= (3a +2b） (3a－2b） = (3a)2－(2b)2=9a2－4b2．2．系数变换：如计算(2x+4y）（3x－6y)=2 （x+2y）·3 (x－2y）=6（x2－4y2）= 6x2－24y2．3．符号变换:如计算（－2a－3b）（2a－3b)=－(2a+3b）（2a－3b）=－(4a2－9b2)=－4a2+9b2．4．指数变换:如计算(a+b）2（a－b)2=［（a+b) (a—b)]2=(a2－b2)2= a4－2a2b2+b4．5．分组变换：如计算（3－a +2b+c) (3+a－2b+c)=[ （3+c)－(a－2b）］ [ （3+c）+(a －2b）]= (3+c) 2－（a－2b)2=9+6c+c2－a2+4ab－4b2．6．拆项变换:如计算20062－2008×200420062－（2006+2）( 2006－2）=20062－（ 20062－22) =20062－20062+22 =4．四、抓住公式的正逆应用学习平方差公式时,我们不但要掌握其正向应用，还要适当地逆向公式，有时正逆联手使用可以达到变繁为简，变难为易的效果．如计算（a+b)2（a－b)2－(2a+b）2（2a－b)2=[（a+b) （a－b)］2－［(2a+b）（2a－b)］2=(a2－b2）2－(4a2－b2)2=（a2－b2－4a2+b2） (a2－b2+4a2－b2）=－3a2（5a2－2b2）=－15a4+6a2b2．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

青岛版数学七年级下册《12.1 平方差公式》教学设计1一. 教材分析《12.1 平方差公式》是青岛版数学七年级下册的教学内容。

本节内容主要介绍了平方差公式的定义、推导过程及其应用。

平方差公式是代数学习中一个重要的公式，它对于学生理解代数的基本概念和解决实际问题具有重要意义。

本节课的教学内容为后续学习完全平方公式和二次方程打下基础。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于代数知识有一定的了解。

但是，对于平方差公式的推导和应用，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的实际情况进行有针对性的教学。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解平方差公式的定义和推导过程，能够熟练运用平方差公式解决实际问题。

2.过程与方法：通过学生的自主探究和合作交流，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：平方差公式的定义和推导过程。

2.难点：平方差公式的灵活运用和解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平方差公式，激发学生的学习兴趣。

2.自主探究法：引导学生通过合作交流，自主推导平方差公式。

3.练习法：通过大量的练习，巩固学生对平方差公式的理解和运用。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示平方差公式的定义、推导过程及应用。

2.练习题：准备一些关于平方差公式的练习题，用于课堂练习和课后作业。

3.教学黑板：准备一块黑板，用于板书平方差公式和相关例题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例引入平方差公式，如：一块正方形的面积为4平方米，将其一边扩大2倍，另一边缩小2倍，求得新的正方形的面积。

引导学生思考如何解决这个问题，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）引导学生通过合作交流，自主推导平方差公式。

教师在课堂上进行引导和指导，帮助学生理解平方差公式的推导过程。

课题：12、1 平方差公式一、教与学目标：1、会推导平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2 了解公式的几何解释，理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异。

并能运用公式进行计算。

2、经历探索平方差公式的推导过程，体会“特殊——一般——特殊”的认识规律。

二、教与学重点和难点：公式的应用及推广三、教与学方法：自主探究，合作交流四、教学过程（一）复习旧知、引入新课1、回顾整式乘法中多项式与多项式相乘的法则。

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.符号表示：（m+b)(n+a)= mn+ma+bn+ba2：时代中学计划将一个边长为m米的正方形花坛改造成长为（a+2）米、宽为（a-2）米的长方形的花坛。

你会计算改造后的花坛面积吗？如果改造成长为（a+1）米、宽为（a-1）米的长方形花坛呢？（a+2）×（a-2）=a2+2a-2a-4=a2-4（a+1）×（a-1）=a2+a-a-1=a2-13观察思考：上面乘式中两个因式以及它们的乘积有什么特征？4、猜想：（a+b）（a-b）=________从而有下面的平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2（二）自主学习探究新知1、动手操作，了解公式的几何意义(1)用较简单的代数式表示下图纸片的面积．(2)沿直线裁一刀，将不规则的右图重新拼接成一个矩形，并用代数式表示出你新拼图形的面积．比较这两个结果，你能验证平方差公式吗？2、合作交流（1）、叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式；（2）、试比较公式的两种表达式在应用上的差异．依照公式的文字表达式可写出下面两个正确的式子：（3）．判断正误：(4x+3b)(4x-3b)＝4x2-3b2；( ) (4x+3b)(4x-3b)＝16x2-9；( ) (4x+3b)(4x-3b)＝4x2+9b2( ) (4x+3b)(4x-3b)＝4x2-9b2； ( )3、典型例题分析例1 利用平方差公式计算：（1）(3x+2y)(3x-2y) （2） (-7+2m2)(-7-2m2)（3）（x-1）（x+1）（x2 +1）温新提示：平方差公式中的a、b可以表示任意的代数式例2、．运用平方差公式计算：803x797（三）、学以致用1、运用平方差公式计算：(1)102×98； (2)(y+2)(y-2)(y2+4)．2．运用平方差公式计算：(1)103×97； (2)(x+3)(x-3)(x2+9)；(3)59.8×60.2；3、填空：1）、(1)a2-4＝(a+2)( )；(2)25-x2＝(5-x)( )；(3)m2-n2＝( )( )；2）、x2-25＝( )( )；3）、4m2-49＝(2m-7)( )；4）、a4-m4＝(a2+m2)( )＝(a2+m2)( )( )；4、计算：(1)(a+b-3)(a+b+3)； (2)(m2+n-7)(m2-n-7)．（四）拓展延伸迁移升华1．运用平方差公式计算：(1)(a2+b)(a2-b)； (2)(-4m2+5n)(4m2+5n)；(3)(x2-y2)(x2+y2)；(4)(9a2+7b2)(7b2-9a2)．2．运用平方差公式计算：五课堂小结：1．什么是平方差公式？一般两个二项式相乘的积应是几项式？2．平方差公式中字母a、b可以是那些形式？3．怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式？六、作业1、必做题习题12.1 1 2 32、挑战自我A BM NC E FPQ B C G A BC DG E FA B D E CF) 3 菏泽市2010年初中学业水平考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．2010年元月19日，山东省气象局预报我市元月20日的最高气温是4℃，最低气温是－6℃，那么我市元月20日的最大温差是（ ）A ．10℃B ．6℃C ．4℃D ．2℃ 2．负实数a 的倒数是（ ）A ．－aB ． 1 aC ．－ 1aD ．a3．下列运算正确的是（ ）A ．(a ＋b )(b －a )＝a 2－b 2B ．(a －2)2＝a 2－4C ．a 3＋a 3＝2a 6D ．(－3a 2)2＝9a 44．如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小5．如图，直线PQ ∥MN ，C 是MN 上一点，CE 交PQ 于 A ，CF交PQ 于B ，且∠ECF ＝90º．若∠FBQ ＝50º， 则∠ECM ＝（ ）A ．60ºB ．50ºC ．40ºD ．30º 6．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3．折叠纸片使 AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，点A 落在点A 1处，则△A 1BG 的面积与矩形ABCD 的面积的比为（ ）A ． 1 12B ． 1 9C ． 1 8D ． 167．如图，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥．若圆的半径为r ，扇形的半径为R ，则（ ） A ．R ＝2r B ．R ＝r C ．R ＝3r D ．R ＝4r8．如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60º，AB ＝2cm ，E 、F 分别是BC 、 CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）A ．23cmB ．33cmC ．43cmD ．3cm9．某种气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的气压P (kPa )是气体体积V (m 3)的反比例函数，其图象 如图所示．当气球内气体的气压大于120kPa 时，气球将爆炸．为了安全，气体的体积应该（ ）A ．不大于 5 4m 3B ．小于 54m 3 C ．不小于 4 5m 3 D ．小于 45m 310．某医院决定抽调甲、乙、丙、丁4名医护人员参加抗震救灾，先随机地从这4人中抽取A ．B ．C ．D ．A B CD OB C D E F G C 1B 1A 1A B CD 2人作为第一批救灾医护人员，那么丁被抽到作为第一批救灾医护人员的概率是（ ） A ． 1 2 B ． 1 3 C ． 1 4 D ． 34二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）11．分解因式：a 3－6a 2b ＋9ab 2＝ ．12．月球距离地球地面为384000000m ，将这个距离用科学记数法表示(保留两个有效数字)应为 m ．13．若关于x 的不等式3m －2x ＜5的解集是x ＞2，则实数m 的值为 ．14．已知2是关于x 的方程x 2＋4x －p ＝0的一个根，则该方程的另一个根是 ． 15．已知点P 的坐标为(m ，n )，O 为坐标原点．连接OP ，将线段OP 饶O 点顺时针旋转90º得OP 1，则点P 1的坐标为 ．16．刘谦的魔术表演风靡全国．小明也学起刘谦，发明了一个魔术盒，当任意实数对(a ，b )进入其中时，会得到一个新的实数：a 2＋b －1，例如把(3，－2)放入其中，就会得到32＋(－2)－1＝6．现将实数对(－2，－3)放入其中，得到的实数是 ．17．如图，在正方形ABCD 中，O 是CD 上的一点，以O 为圆心、OD 为半径的半圆恰好与以B 为圆心、BC 为半径的扇形的弧外 切，则∠OBC 的正弦值为 ．18．如图，三角板ABC 的直角边AC 、BC 的长分别为40cm 和30cm ， 点G 在斜边AB 上，且BG ＝30cm ．将这个三角板以G 为中心按逆时针旋转90º至△A 1B 1C 1的位置，那么旋转前后两个三角板重 叠部分(四边形DEFG )的面积为 ．三、解答题（本大题共6小题，满分66分） 19．（每小题4分，满分12分）(1)计算：)4(60sin 4120π-+-ο．(2)解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≤+<+，3128)2(3x x x x (3)解分式方程：x x x -=+--21221．20．(8分)如图，在△ABC 中，∠C ＝90º，∠A ＝30º，BD 是∠ABC 的平分线，CD ＝5cm ，求AB 的长．21．(10分)某中学初三(1)班、(2)班各选5名同学参加“爱我中华”演讲比赛，其预赛成绩(满分100分)如图所示：A EO CD(1(2)根据两班的平均数和中位数，分析哪班成绩较好？(3)如果每班各选2名同学参加决赛，你认为哪个班实力更强些？说明理由．22．(12分)如图，在△AOB 中，OA ＝OB ，∠A ＝30º，⊙O 经过AB 的中点E 分别交OA 、OB 于C 、D 两点，连接CD ．(1)求证：AB 是⊙O 的切线． (2)求证：AB ∥CD ．(3)若CD ＝43，求扇形OCED 的面积．23．(12分)我市为绿化城区，计划购买甲、乙两种树苗共计500棵，甲种树苗每棵50元，乙种树苗每棵80元，调查统计得：甲、乙两种树苗的成活率分别为90%、95%． (1)如果购买两种树苗共用28000元，那么甲、乙两种树苗各买了多少棵？(2)市绿化部门研究决定，购买树苗的钱数不得超过34000元，应如何选购树苗？(3)要使这批树苗的成活率不低于92%，且使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？最低费用是多少？24．(12分)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过原点O ，与x 轴交于另一点N ，直线y ＝kx ＋4与两坐标轴分别交于A 、D 两点，与抛物线交于点B (1，m )(1)求直线与抛物线的解析式．(2)若抛物线在x 轴上方的部分有一动点P (x ，y )，设 ∠PON ＝α，求当△PON 的面积最大时tan α的值． (3)若动点P 保持(2)中的运动线路，问是否存在点P ，使得△POA 的面积等于△PON 的面积的 815？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。