2019年高中数学人教A必修一《对数函数及其性质(第一课时)》学案设计

4.4 对数函数-人教A版高中数学必修第一册（2019版）教案教学目标1.了解对数函数的定义与性质；2.掌握对数函数与指数函数的互逆关系；3.掌握对数函数的常用计算方法；4.能够运用对数函数解决实际问题。

教学重点1.对数函数与指数函数的互逆关系；2.对数函数的计算方法；3.运用对数函数解决实际问题。

教学难点1.运用对数函数解决实际问题。

教学过程导入环节1.老师介绍对数函数的概念，引入大家对对数函数的初步认识；2.引导学生思考指数函数与对数函数的关系。

讲解环节1.带领学生探究对数函数的定义与性质；2.利用白板和课件展示对数函数与指数函数的互逆关系；3.讲解对数函数的计算方法。

拓展训练1.练习题。

课堂上对对数函数的计算方法进行拓展训练；2.实际问题运用。

引导学生解决一些实际问题，如：瓶子里有几颗芝麻？数颗芝麻太麻烦，现在我把这些芝麻放在一个桶里，顺手拧了几下，芝麻就乱了，这时候你就不得不手动数了，如果用各种技巧将芝麻分成若干堆，让每堆的芝麻颗数尽量相等，这时就需要运用对数函数了。

教学方式1.讲授和讲解相结合；2.以教师讲解引导为主，学生自主思考为辅助；3.在讲解中引导学生进行课堂练习和实际问题讨论。

教学措施1.制定教案，并准备好教学资料及课件；2.定时提问，引导学生思考；3.给予课堂练习和讨论的机会。

教学效果评估1.课堂发言的积极性及准确性；2.课堂练习的完成情况；3.讨论的理解度和深度；4.在实际问题中应用对数函数解决问题的能力。

教学反思本节课的设计在引导学生对对数函数的认识上有一定效果，但是在实际问题应用中学生的思考深度不够，需要引导学生多思考。

在下一节课中需对实际问题运用进行更多的训练和引导。

课题：§对数函数教学目标:(1)进一步理解对数函数的图象和性质；(2)熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题；(3)通过例题和练习的讲解与演练，培养学生分析问题和解决问题的能力．教学重点: 对数函数的图象和性质．教学难点: 对数函数的性质的综合运用． 教学过程:1.完成下表〔对数函数x y a log =,0(>a 且)0≠a 的图象和性质〕x y a log =10<<a 1>a图象定义域 值域性质1.根据对数函数的图象和性质填空．(1)函数x y 2log =,那么当0>x 时,∈y ；当1>x 时,∈y ； 当10<<x 时,∈y ；当4>x 时,∈y ．(2)函数x y 31log =，那么当10<<x 时,∈y ；当1>x 时,∈y ；当5>x 时,∈y ；当20<<x 时,∈y ；当2>y 时，∈x ．x y x y x y lg ,log ,log 52===的图象如下图,回答以下问题．(1)说明哪个函数对应于哪个图象,并解释为什么？(2)函数x y a log =与x y a1log =,0(>a 且)0≠a 有什么关系？图象之间又有什么特殊的关系？○1 ○2 ○3(3)以x y x y x y lg ,log ,log 52===的图象为基础,在同一坐标系 中画出x y x y x y 1015121log ,log ,log ===的图象;(4)函数x y x y x y x y a a a a 4321log ,log ,log ,log ====的图 象,那么底数之间的关系为.例1.比较大小：(1)πa log ，e a log ,0(>a 且)0≠a ； (2) 21log 2，)1(log 22++a a )(R a ∈．例2.)13(log -a a 恒为正数，求a 的取值X 围．)78lg()(2-+-=x x x f 的定义域及值域．例4.(1)函数x y a log =在[2，4]上的最大值比最小值大1，求a 的值；(2)求函数)106(log 23++=x x y 的最小值．xxx x f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．)54(log )(22.0++-=x x y x f 的单调区间．练习:求函数)23(log 221x x y --=的单调区间．log =ya 1 log =ya 2 log =y a 3 log =ya 4。

教学设计课题y=log a x的图象与性质课时安排 1 课前准备教材内容分析函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本初等函数之一。

对数函数在生产、生活实践中都有许多应用。

本节课的学习使学生的知识体系更加完善、系统。

设计理念本节课的难点在于底数a的变化对对数函数图象和性质的影响，如果单纯画出几个对数函数图象显得不太直观，学生可能无法透彻理解底数对于对数函数图象的影响.故利用信息技术来突破此难点，在几何画板中既作出三个底数不同的对数函数图象也作出对数函数随着底数变化的动态过程，放进课件当中，在课堂当中直接呈现动态变化过程加深学生的理解。

学情分析本节主要内容是由指数式与对数式的互化，引出对数函数概念及对其图象和性质进行研究。

在此之前，学生已经学习了指数函数，探究过指数函数的图象与性质。

故学生完全有能力用类比的方法研究对数函数的图象与性质教学目标1.掌握对数函数的图象与性质，培养学生实际应用函数的能力；2.通过观察图象。

分析、归纳、总结对数函数的性质3.会作对数函数的图像，通过作图，认识对数函数底数不同，函数图象的变化情况。

4.培养数形结合的意识。

教学重难点重点：掌握对数函数y=log a x的图象和性质﹒难点：底数a的变化对对数函数图象和性质的影响．教学过程教学环节（一）师生活动１．利用情境，切入主题教师播放化学实验“探究稀盐酸溶液稀释后的ｐＨ值变化规律图象”实施过程的视频师：大家都知道，溶液的酸碱性是通过ｐＨ值刻画的．那同学们有没有觉得ｐＨ值与加入的水的体积Ｖ的关系式与我们学习过的一个函数有点相似呢？生１：有点像对数函数．生２：不是对数函数，因为ｐＨ＝ｌｇ（Ｖ＋１）＋１不符合我们学的对数函数的表达式，所以它只是对数模型．师：很好！那我们刚刚观察了强酸溶液稀释后的ｐＨ值变化规律的图象，这节课我们就来探究对数函数图象的画法设计意图通过观看化学实验“探究稀盐酸溶液稀释后的ｐＨ值的变化规律图象”，由对数函数模型的图象让学生对对数函数的图象有一个直观印象．在课程实施过程中有意识地培养学生运用跨学科知识的能力，利用知识迁移进行拓展应用，加强各学科融合。

教学设计课程基本信息学科数学年级高一学期第一学期课题 4.4.2 对数函数的图像和性质教科书书名：普通高中教科书数学必修第一册 A 版出版社：人民教育出版社教学目标1.掌握对数函数的图像和性质；能利用对数函数的图像与性质来解决简单问题2.经过探究对数函数的图像和性质，对数函数与指数函数图像之间的联系，对数函数内部的联系。

培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力；渗透类比等基本数学思想方法。

3.在学习对数函数过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生的数学应用的意识，探索数学。

教学内容教学重点：1.掌握对数函数的图像和性质，对数函数与指数函数之间的联系，不同底数的对数函数图象之间的联系；2.理解与掌握反函数的概念。

教学难点：1.对数函数的图像与指数函数的关系；2.不同底数的对数函数之间的联系。

教学过程一、温顾知新问题1 对数函数的概念是什么？问题2 怎样研究指数函数的？我们主要研究它的哪些性质？二、新识探究与研究指数函数一样，我们首先画出其图像，然后借助图像研究其质．由浅入深，我们先最简单的开始。

（合作探究一）画出x y 2log =的图像和x y 21log =的图像问题3 我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数，比如x y 2log =和x y 21log = ，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？（合作探究二）底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称 问题4底数a （a ＞０，且a ≠１）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，有哪些共性？由此你能概括出对数函数x y a log =的值域和性质吗？（合作探究三） 根据图像，类比研究指数函数性质的方法你能归纳对数 函数的哪些图像特征和性质？完成下列表格。

对数函数及其性质（第一课时）一、教材分析本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》（人教A版）第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。

对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。

与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。

学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。

二、学情分析刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。

由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。

教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。

三、学法.教法分析教学中，教师创设疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，在积极的双边活动中，学生找到了解决疑难的方法。

整个过程贯穿“怀疑”——“思索”——“发现”——“解惑”四个环节，学生随时对所学知识产生有意注意。

思想上经历了从肯定到否定、又从否定到肯定的辨证思维过程，符合学生认知水平，培养了学习能力。

教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：(1)对照比较学习法：学习对数函数,处处与指数函数相对照。

(2)探究式学习法：学生通过分析、探索、得出对数函数的定义。

(3)自主性学习法：通过实验画出函数图象、观察图象自得其性质。

(4)反馈练习法：检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距。

这样可发挥学生的主观能动性，有利于提高学生的各种能力。

四、教学目标1知识与技能（1）对数函数的概念，对数函数的图象。

§4.4.1 对数函数及其性质（第一课时）导学目标：(1)通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(2)知道对数函数log a y x =与指数函数xy a =互为反函数（0a >，且1a ≠）．（预习教材P 130~ P 135，回答下列问题） 复习：指数函数的定义及其图像性质函数xy a =（0a >且1a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 其图像性质如下：思考：根据指数与对数的关系，由指数函数xy a =（0a >且1a ≠）可以得到log a x y =（0a >且1a ≠），x 也是y 的函数.而通常我们用x 表示自变量，用y 表示函数，为此，我们将log a x y =（0a >且1a ≠）中的变量x ，y 互调， 得到log a y x =（0a >且1a ≠）．【知识点一】对数函数的概念函数log a y x =（0a >且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞．（1）指数函数和对数函数互化（2）形如：22log y x =，2log 3xy =都不是对数函数，可称其为对数型函数． （3）对数函数的定义域为()0,+∞．值域呢？自我检测1：函数22log y x =的定义域为 ．【知识点二】对数函数的图像及性质用描点的方法画出2log y x =与12log y x =在同一坐标系下的图像用同样的方法我们可以得到3log y x =与13log y x =；4log y x =与14log y x =，它们在同一坐标系下的图像，如下图：观察右图，你能发现对数函数图像有何特点？你能总结出对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图像 特点吗？x18 14 121 2 4 82log y x = 3- 2- 1- 0 1 2312log y x = 32 1 0 1- 2- 3-对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图像及性质自我检测2：根据上述图像，比较大小：（1）2log 3.2 2log π；（2）13log 0.8 13log 0.9；（3）31log 70.3log 0.2． 【知识点三】反函数我们在同一个坐标系中分别作出指数函数2xy =（定义域x R ∈，值域()0,y ∈+∞）和对数函数2log y x =（定义域()0,x ∈+∞，值域y R ∈）的图像． 不难发现，它们的定义域和值域恰好相反，并且图像关于y x =对称，那么我们就称函数2xy =的反函数是2log y x =， 函数2log y x =的反函数是2xy =．这两个函数互为反函数．自我检测3：一般的，xy a =（0a >且1a ≠）与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数，它们的定义域和值域 ；它们的图像关于 对称．第四章 指数函数与对数函数- 4 -题型一 对数型函数的定义域 【例1】求下面函数的定义域(1) ()()lg 1f x x =+； (2) ()()()2log 5x f x x -=-．题型二 对数函数的图象问题【例2-1】函数y x a =+与log a y x =的图象只可能是下图中的( )【例2-2】如图所示的曲线是对数函数log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，则,,,a b c d 与1的大小关系为________．【例2-3】已知函数()log 31a y x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 也在函数()3xf x b =+的图象上，则()3log 2f =________．题型三利用对数函数图像比较大小【例3-1】比较大小：（1）2log 3.32log 3.4；（2）0.2log 3.30.2log 3.4；（3）0.2log0.37log8【例3-2】已知12132111,log,log332a b c⎛⎫===⎪⎝⎭，则（）A．c b a>>B．b c a>>C．a b c>>D．b a c>>1．给出下列函数：①223logy x=；②()3log1y x=-；③()1logxy x+=；④logy xπ=．其中是对数函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．函数2log(2)y x=-的定义域是（）A．(0,)+∞B．(1,)+∞C．(2,)+∞D．[)4,+∞3．若5log3a=，lg0.7b=，0.13c=，则（）.A．b a c<<B．c b a<<C．b c a<<D．a b c<<第四章指数函数与对数函数- 6 -4．函数()()()log201af x x a=+<<的图象必不过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．函数()log101ay x a=+<<的图象大致为()§4.4 对数函数及其性质（第一课时）答案导学目标：(1)通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(2)知道对数函数log a y x =与指数函数xy a =互为反函数（0a >，且1a ≠）．（预习教材P 130~ P 135，回答下列问题） 复习：指数函数的定义及其图像性质函数xy a =（0a >且1a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 其图像性质如下：思考：根据指数与对数的关系，由指数函数xy a =（0a >且1a ≠）可以得到log a x y =（0a >且1a ≠），x 也是y 的函数.而通常我们用x 表示自变量，用y 表示函数，为此，我们将log a x y =（0a >且1a ≠）中的变量x ，y 互调，- 8 -得到log a y x =（0a >且1a ≠）． 【知识点一】对数函数的概念函数log a y x =（0a >且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞．（1）指数函数和对数函数互化（2）形如：22log y x =，2log 3xy =都不是对数函数，可称其为对数型函数． （3）对数函数的定义域为()0,+∞．值域呢？自我检测1：函数22log y x =的定义域为 ．【知识点二】对数函数的图像及性质用描点的方法画出2log y x =与12log y x =在同一坐标系下的图像用同样的方法我们可以得到3log y x =与13log y x =；4log y x =与14log y x =，它们在同一坐标系下的图像，如下图：观察右图，你能发现对数函数图像有何特点？你能总结出对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图像x18 14 121 2 4 82log y x = 3- 2- 1- 0 1 2312log y x = 32 1 0 1- 2- 3-特点吗？对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图像及性质自我检测2：根据上述图像，比较大小：（1）2log 3.2 2log π；（2）13log 0.8 13log 0.9；（3）31log 70.3log 0.2． 【知识点三】反函数我们在同一个坐标系中分别作出指数函数2xy =（定义域x R ∈，值域()0,y ∈+∞）和对数函数2log y x =（定义域()0,x ∈+∞，值域y R ∈）的图像． 不难发现，它们的定义域和值域恰好相反，并且图像关于y x =对称，那么我们就称函数2xy =的反函数是2log y x =， 函数2log y x =的反函数是2xy =．这两个函数互为反函数．自我检测3：一般的，xy a =（0a >且1a ≠）与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数，它们的定义域和值域 ；它们的图像关于 对称．第四章 指数函数与对数函数- 10 -题型一 对数型函数的定义域 【例1】求下面函数的定义域(1) ()()lg 1f x x =+； (2) ()()()2log 5x f x x -=-．【答案】（1）()1,1-； （2）()()2,33,5．题型二 对数函数的图象问题【例2-1】函数y x a =+与log a y x =的图象只可能是下图中的( )【例2-2】如图所示的曲线是对数函数log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，则,,,a b c d 与1的大小关系为________．【例2-3】已知函数()log 31ay x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 也在函数()3x f x b =+的图象上，则()3log 2f =________．【答案】 (1) C (2) 1b a d c >>>> (3)89题型三 利用对数函数图像比较大小【例3-1】比较大小：（1）2log 3.3 2log 3.4；（2）0.2log 3.3 0.2log 3.4；（3）0.2log 0.3 7log 8【答案】,,<>< 【例3-2】已知12132111,log ,log 332a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ） A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >> 【答案】D1．给出下列函数：①223log y x =；②()3log 1y x =-；③()1log x y x +=；④log y x π=．其中是对数函数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A2．函数2log (2)y x =-的定义域是（ ）A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞第四章 指数函数与对数函数 - 12 - C ．(2,)+∞ D ．[)4,+∞【答案】C3．若5log 3a =，lg 0.7b =，0.13c =，则（ ）.A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A4．函数()()()log 201a f x x a =+<<的图象必不过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A5．函数()log 101a y x a =+<<的图象大致为( )【答案】A。

《对数函数及其性质（第1课时）》教学设计有了学习指数函数的图象和性质的学习经历，以及对数知识的知识准备，对数函数概念的引入，对数函数图象和和性质的研究便水到渠成。

对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的确定的实际问题引入的，既说明对数函数的概念来自于实践，又便于学生接受。

在教学中，学生往往容易忽略对数函数的定义域，因此在进行定义教学时，要结合指数式强调说明对数爱护念书的定义域，加强对数函数的定义域为()0,+∞的理解。

在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图象和性质，是本节的教学重点，而理解底数a的值对于函数值变化的影响（即对对数函数单调性的影响）是教学的一个重点，教学时要充分利用图象，数形结合，帮助学生理解。

研究了对数函数的图象和性质之后，可以将对数函数的图象和性质与指数函数的图象和性质进行比较，以便加深学生对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也可以为反函数的概念的引出作一些准备。

三维目标1．知识技能①理解对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质;②掌握对数函数的性质.2．过程与方法引导学生结合图象，类比指数函数的性质，探索研究对数函数的性质. 3．情感、态度与价值观培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；培养学生严谨的科学态度.学法与教学用具1．学法：通过让学生观察、思考、讨论、交流、发现对数函数的性质；2．教学用具：直尺、挂图、黑板笔教学重点、难点重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.难点：对数函数的性质第一课时教学过程一、复习导入：（1）知识方法准备我们在前面学习了指数函数及其性质，那么指数函数具有哪些性质呢？下面我和同学们一起来借助指数函数的图象来复习它的性质.引导学生复习指数函数的性质，适时的把性质在挂图上补充完整，完成后表扬学生，激发学生学习新知识的兴趣.（2）引例：在58P 练习题3中，我们知道某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……不难得出下表：由对数的意义可知，当分裂后细胞个数为2时，细胞分裂次数为21log 2=次；当分裂后细胞个数为4时，细胞分裂次数为22log 4=次；当分裂后细胞个数为8时，细胞分裂次数为23log 8=次……当分裂后细胞个数为x 时，细胞分裂次数为2log y x =次，我们发现对于每一个分裂后细胞个数x ，通过对应关系2log y x =，细胞分裂次数y 都有唯一的值与之对应，从而y 是关于x 的函数，这是一个什么样的函数呢？这就是我们今天要研究的对数函数. 二、推进新课 1、对数函数的概念一般地，我们把函数()log 01a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：()log 1a y x =+，22log y x = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．②对数函数对底数的限制：01a a >≠且2、在同一坐标系中画出下列对数函数的图象： （1）①2log y x =； ②12log y x =；做图步骤：列表、描点、用平滑曲线连结起来（2）③ 3log y x = ④13log y x =思考：这些函数的图象有什么关系？类比底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称，得出底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称同理我们也可以画出底数为152a=……等等的对数函数图象，4,,,425我们不难发现如下共同特征：3、类比指数函数图象和性质，研究对数函数图象和性质学生以大组为单位讨论对数函数的性质，5分钟后每一组推举一名表达较好的代表来描述对数函数性质，对于拿不准的同学给予鼓励，对于描述正确的同学予以表扬.三、课堂小节1、对数函数的概念.2、对数函数的图象与性质.3、数形结合的数学思想.四、作业预习课本P例7~例9，为下次课的对数函数性质的应用做71好准备五、板书设计设计感想本节课是在前面研究了对数及常用对数、指数函数的基础上，研究的第二类具体初等函数，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习的基础，鉴于这种情况，安排教学时，要充分利用函数图象，数形结合，无论是导入还是概念得出的过程，都比较的详细，通俗易懂，因此课堂容量教大，要提高学生互动的积极性特别是归纳出对数函数的图象和性质后，要与指数函数的图象和性质进行比较，加深学生对对数函数的概念、图象和性质的理解，要提高课堂的效率和节奏，多运用信息化的教学手段，顺利完成本节课的任务。

§2.2.2 对数函数及其性质（第一、二课时）一．教学目标1．知识技能①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律.②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题.2．过程与方法让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质.3．情感、态度与价值观①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；②培养学生严谨的科学态度.二．学法与教学用具1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质；2．教学手段：多媒体计算机辅助教学．三．教学重点、难点1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.2、难点：底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用.四．教学过程1．设置情境在2．2．1的例6中，考古学家利用157302log P 估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C 14含量P ，通过关系式，都有唯一确定的年代t 与之对应．同理，对于每一个对数式log x a y =中的x ，任取一个正的实数值，y 均有唯一的值与之对应，所以log x a y x =关于的函数．2．探索新知一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1．（2）．为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.答：①根据对数与指数式的关系，知log a y x =可化为y a x =，由指数的概念，要使y a x =有意义，必须规定a ＞0且a ≠1．②因为log a y x =可化为y x a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质，y a ＞0，所以(0,)x ∈+∞． 例题1：求下列函数的定义域（1）2log a y x = （2）log (4)a y x =- （a ＞0且a ≠1）。

2.2.2 对数函数及其性质(一)自主学习1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做________________，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．a >10<a <1(0，＋∞)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数________________________互为反函数．对点讲练对数函数的图象【例1】 下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( )A. 3、43、35、110B.3、43、110、35C.43、3、35、110D.43、3、110、35规律方法 (1)y ＝log a x (a >0，且a ≠1)图象无限地靠近于y 轴，但永远不会与y 轴相交． (2)设y 1＝log a x ，y 2＝log b x ，其中a >1，b >1(或0<a <1，0<b <1)，则当x >1时，“底大图低”，即若a >b ，则y 1<y 2.当0<x <1时，“底大图高”，即若a >b ，则y 1>y 2.(3)在同一坐标系内，y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象与y ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴(即y ＝0)对称．变式迁移1 借助图象求使函数y ＝log a (3x ＋4)的函数值恒为负值的x 的取值范围．对数函数的单调性的应用【例2】 比较下列各组中两个值的大小：(1)log 0.52.7，log 0.52.8； (2)log 34，log 65； (3)log a π，log a e (a >0且a ≠1)．变式迁移2 若a ＝log 3π，b ＝log 76，c ＝log 20.8，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a求函数的定义域【例3】 求下列函数的定义域：(1)y ＝3log 2x ； (2)y ＝log 0.5(4x －3)； (3)y ＝log (x ＋1)(2－x )．规律方法 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．变式迁移3 求下列函数的定义域．(1)y ＝1lg (x ＋1)－3； (2)y ＝log a (4x －3)(a >0，且a ≠1)．1．对数函数单调性等重要性质要借助图象来理解与掌握．2．比较对数值的大小要用函数单调性及中间“桥梁”过渡．另外还要注意底数是否相同．3．掌握对数函数不但要清楚对数函数自身的图象和性质，还要结合指数函数的图象和性质来对比掌握．4．对数函数的单调性与指数函数的单调性大同小异．课时作业一、选择题1．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅ 2．若log a 2<log b 2<0，则( )A ．0<a <b <1B ．0<b <a <1C ．a >b >1D ．b >a >1 3．以下四个数中的最大者是( )A ．(ln 2)2B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 24．函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状只能是( )二、填空题5．函数f (x )＝lg (4－x )x －3的定义域为______________．6．若指数函数f (x )＝a x则不等式log a (x －1)<07．函数y ＝log a (x ＋2)＋3的图象过定点__________． 三、解答题8．求下列函数的定义域：(1)y ＝ 32x －1－127；(2)y ＝－lg (1－x )；(3)y ＝11－log a (x ＋a )(a >0，a ≠1)．9．已知f (x )＝log a 1＋x1－x(a >0，a ≠1)，(1)求f (x )的定义域； (2)求使f (x )>0的x 的取值范围； (3)判断f (x )的奇偶性．2.2.2 对数函数及其性质(一) 答案自学导引 1．对数函数2．(1,0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x 轴3．y ＝a x (a >0且a ≠1) 对点讲练【例1】 A [过(0,1)作平行于x 轴的直线，与C 1，C 2，C 3，C 4的交点的坐标为(a 1,1)，(a 2,1)，(a 3,1)，(a 4,1)，其中a 1，a 2，a 3，a 4分别为各对数的底，显然a 1>a 2>a 3>a 4，所以C 1，C 2，C 3，C 4的底值依次由大到小．]变式迁移1 解 当a >1时，由题意有 0<3x ＋4<1，即－43<x <－1.当0<a <1时，由题意有3x ＋4>1，即x >－1.综上，当a >1时，－43<x <－1；当0<a <1时，x >－1.【例2】 解 (1)∵0<0.5<1，∴对数函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数． 又∵2.7<2.8，∴log 0.52.7>log 0.52.8.(2)∵y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 34>log 33＝1.∵y ＝log 6x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 65<log 66＝1. ∴log 34>log 65.(3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数． ∵π>e ，∴log a π>log a e.当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数． ∵π>e ，∴log a π<log a e.综上可知，当a >1时，log a π>log a e ； 当0<a <1时，log a π<log a e.变式迁移2 A [利用界值法可得a ＝log 3π>log 33＝1,0<b ＝log 76<log 77＝1，c ＝log 20.8<log 21＝0，故a >b >c .]【例3】 解 (1)∵该函数是奇次根式，要使函数有意义，只要对数的真数是正数即可， ∴定义域是{x |x >0}．(2)要使函数y ＝log 0.5(4x －3)有意义， 必须log 0.5(4x －3)≥0＝log 0.51，∴0<4x －3≤1.解得34<x ≤1.∴定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |34<x ≤1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x ＋1≠12－x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >－1x ≠0，x <2即0<x <2或－1<x <0，所求定义域为(－1,0)∪(0,2)．变式迁移3 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)－3≠0x ＋1>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠103x >－1， ∴x >－1且x ≠999，∴函数的定义域为{x |x >－1且x ≠999}． (2)log a (4x －3)≥0.(*)当a >1时，(*)可化为log a (4x －3)≥log a 1， ∴4x －3≥1，x ≥1.当0<a <1时，(*)可化为 log a (4x －3)≥log a 1，∴0<4x －3≤1，34<x ≤1.综上所述，当a >1时，函数定义域为[1，＋∞)，当0<a <1时，函数定义域为⎝⎛⎦⎤34，1. 课时作业1．C [由题意知M ＝{x |x <1}， N ＝{x |x >－1}．故M ∩N ＝{x |－1<x <1}．]2．B [由底数与对数函数的图象关系(如图)可知y ＝log a x ，y ＝log b x 图象的大致走向．再由对数函数的图象规律：从第一象限看，自左向右底数依次增大．∴选B.] 3．D [∵0<ln 2<1，∴ln(ln 2)<0，(ln 2)2<ln 2，而ln 2＝12ln 2<ln 2.∴最大的数是ln 2.] 4．A5．{x |x <4，且x ≠3}解析 ⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0x －3≠0解得x <4，且x ≠3，所以定义域为{x |x <4，且x ≠3}． 6．{x |1<x <2}解析 由题可知a ＝1.2，∴log 1.2(x －1)<0， ∴log 1.2(x －1)<log 1.21，解得x <2， 又∵x －1>0，即x >1，∴1<x <2. 故原不等式的解集为{x |1<x <2}． 7．(－1,3)8．解 (1)由32x －1－127≥0得，x ≥－1.∴所求定义域为[－1，＋∞)．(2)由－lg(1－x )≥0得，⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≤11－x >0，即x ∈[0,1)∴所求定义域为[0,1)．(3)1－log a (x ＋a )>0时，函数有意义， 即log a (x ＋a )<1① 当a >1时，－a <－1由①得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a <ax ＋a >0解得－a <x <0.∴定义域为(－a,0)． 当0<a <1时，－1<－a <0. 由①得，x ＋a >a .∴x >0. ∴定义域为(0，＋∞)．故所求定义域是：当0<a <1时，x ∈(0，＋∞)； 当a >1时，x ∈(－a,0)．9．解 (1)由1＋x1－x>0，得－1<x <1.故所求的定义域为(－1,1)．(2)①当a >1时，由log a 1＋x1－x>0＝log a 1得1＋x 1－x>1，∴0<x <1. ②当0<a <1时，由log a 1＋x1－x>0＝log a 1得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0.故当a >1时，所求范围为0<x <1； 当0<a <1时，所求范围为－1<x <0.(3)f (－x )＝log a 1－x1＋x＝log a (1＋x 1－x)－1＝－f (x )∴f (x )为奇函数．。