下载文档原格式
信号系统(第3版)习题解答《信号与系统》（第3版）习题解析高等教育出版社目录第1章习题解析 (2)第2章习题解析 (6)第3章习题解析 (16)第4章习题解析 (23)第5章习题解析 (31)第6章习题解析 (41)第7章习题解析 (49)第8章习题解析 (55)第1章习题解析1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c) (d)题1-1图解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。
1-2 给定题1-2图示信号f ( t )，试画出下列信号的波形。
[提示：f ( 2t )表示将f ( t )波形压缩，f (2t )表示将f ( t )波形展宽。
] (a) 2 f ( t - 2 )(b) f ( 2t )(c) f ( 2t ) (d) f ( -t +1 )题1-2图解 以上各函数的波形如图p1-2所示。
图p1-21-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。
题1-3图解 各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(t i R t u R R ⋅= tt i L t u L L d )(d )(= ⎰∞-=t C C i Ct u ττd )(1)(1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。
S R S L S C题1-4图解 系统为反馈联接形式。
设加法器的输出为x ( t )，由于)()()()(t y a t f t x -+=且)()(,d )()(t y t x t t x t y '==⎰故有 )()()(t ay t f t y -='即)()()(t f t ay t y =+'1-5 已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设T 为系统的运算子，则可以表示为)()]([)(t f t f T t y ==不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) + f 2( t )，则)()()]([111t y t f t f T ==)()()]([222t y t f t f T ==故有)()()()]([21t y t f t f t f T =+=显然)()()()(2121t f t f t f t f +≠+即不满足可加性，故为非线性时不变系统。
1试分别指出以下波形是属于哪种信号？题图1-11-2 试写出题1-1 图中信号的函数表达式。
1-3 已知信号x1(t)与x2(t)波形如题图1-3 中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。
题图1-3⑴x1(t2)⑵ x1(1 t)⑶ x1(2t 2)⑷ x2(t 3)⑸ x2(t 2) ⑹x2(1 2t)2⑺x1(t) x2( t)⑻x1(1 t)x2(t 1)⑼x1(2 t) x2(t 4)21- 4 已知信号x1(n)与x2 (n)波形如题图1-4中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。
题图1-4⑴x1(2n 1) ⑵ x1(4 n)⑶ x1(n)2⑷ x2 (2 n)⑸ x2(n 2) ⑹ x2(n 2) x2( n 1)⑺x1(n 2) x2(1 2n)⑻x1(1 n) x2(n 4)⑼ x1(n 1) x2(n 3)1- 5 已知信号x(5 2t )的波形如题图1-5 所示，试作出信号x(t)的波形图，并加以标注。
题图1-51- 6 试画出下列信号的波形图：1⑴ x(t) sin( t) sin(8 t)⑵ x(t) [1 sin( t )] sin(8 t)21⑶x(t) [1 sin( t)] sin(8 t)⑷ x(t) sin( 2t )1-7 试画出下列信号的波形图：⑴ x(t)1 e t u(t) ⑵ x(t) e t cos10 t[u(t 1) u(t 2)]⑶ x(t)(2 e t)u(t)⑷ x(t) e (t 1)u(t)⑸ x(t)u(t22 9) ⑹ x(t)(t2 4)1-8 试求出以下复变函数的模与幅角，并画出模与幅角的波形图1j2 ⑴ X (j ) (1 e j2)⑵ X( j1 e j4⑶ X (j ) 11 ee j ⑷ X( j )试作出下列波形的奇分量、偶分量和非零区间上的平均分量与交流分量。
题图 1-10形图。
题图 1-141-15 已知系统的信号流图如下，试写出各自系统的输入输出方程。
习 题 一 第一章习题解答基本练习题1-1 解 (a) 基频 =0f GCD （15,6）=3 Hz 。
因此，公共周期3110==f T s 。
(b) )30cos 10(cos 5.0)20cos()10cos()(t t t t t f ππππ+==基频 =0f GCD （5, 15）=5 Hz 。
因此，公共周期5110==f T s 。
(c) 由于两个分量的频率1ω=10π rad/s 、1ω=20 rad/s 的比值是无理数，因此无法找出公共周期。
所以是非周期的。
(d) 两个分量是同频率的，基频 =0f 1/π Hz 。
因此，公共周期π==01f T s 。
1-2 解 (a) 波形如图1-2(a)所示。
显然是功率信号。
t d t f TP T TT ⎰-∞→=2)(21lim16163611lim 22110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰∞→t d t d t d T T T W(b) 波形如图1.2(b)所示。
显然是能量信号。
3716112=⨯+⨯=E J (c) 能量信号 1.0101)(lim101025=-===⎰⎰∞∞---∞→T t ttT e dt edt eE J(d) 功率信号，显然有 1=P W1-3 解 周期T=7 ，一个周期的能量为 5624316=⨯+⨯=E J 信号的功率为 8756===T E P W 1-5 解 (a) )(4)2()23(2t tt δδ=+； (b) )5.2(5.0)5.2(5.0)25(5.733-=-=----t e t e t et tδδδ(c) )2(23)2()3sin()2()32sin(πδπδπππδπ+-=++-=++t t t t 题解图1-2(a) 21题解图1-2(b) 21(d) )3()3()(1)2(-=----t e t t et δδε。
1-6 解 (a) 5)3()94()3()4(2-=+-=+-⎰⎰∞∞-∞∞-dt t dt t t δδ(b) 0)4()4(632=+-⎰-dt t t δ(c) 2)]2(2)4(10[)]42(2)4()[6(63632=+++-=+++-⎰⎰--dt t t dt t t t δδδδ(d)3)3(3)(3sin )(1010=⋅=⎰⎰∞-∞-dt t Sa t dt ttt δδ。
第一章作业解答解：（b ）jt t t j e e e t x --+-==)1(2)(由于)()(2)1()1())(1(2t x e e e T t x T j t j T t j ≠==++-+-++-，故不是周期信号；（或者：由于该函数的包络随t 增长衰减的指数信号，故其不是周期信号；） （c ）n j e n x π73][= 则πω70= 7220=ωπ是有理数，故其周期为N=2；解：]4[1][1)1(]1[1][43--=--==+---=∑∑∞=∞=n u m n mk k n n x m k δδ-3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 n1…减去：-3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 nu[n-4]等于：-3 –2 –1 0 1 2 34 5 6 n…故：]3[+-n u 即：M=-1，n 0=-3。
解：x(t)的一个周期如图(a)所示，x(t)如图(b)所示：而：g(t)如图(c)所示……dtt dx )(如图（d ）所示：……故：)1(3)(3)(--=t g t g dtt dx 则：1t ,0t 3,32121==-==；A A 1.15解：该系统如下图所示： 2[n]（1）]4[2]3[5]2[2]}4[4]3[2{21]}3[4]2[2{]3[21]2[][][1111111222-+-+-=-+-+-+-=-+-==n x n x n x n x n x n x n x n x n x n y n y即：]4[2]3[5]2[2][-+-+-=n x n x n x n y（2）若系统级联顺序改变，该系统不会改变，因为该系统是线性时不变系统。
（也可以通过改变顺序求取输入、输出关系，与前面做对比）。
解：（a ）因果性：)(sin )(t x t y =举一反例：当)0()y(,0int s x t =-=-=ππ则时输出与以后的输入有关，不是因果的；（b ）线性：按照线性的证明过程（这里略），该系统是线性的。
第2章 习 题2-1 求下列齐次微分方程在给定起始状态条件下的零输入响应（1）0)(2)(3)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,3)0(==--y dt dy ； （2）0)(4)(22=+t y t y dt d ；给定：1)0(,1)0(==--y dtd y ；（3）0)(2)(2)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dt dy ； （4）0)()(2)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dtdy ； （5）0)()(2)(2233=++t y dt d t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(,1)0(22===---y dt d y dt d y 。
（6）0)(4)(22=+t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dtdy 。
解：（1）微分方程的特征方程为：2320λλ++=，解得特征根：121, 2.λλ=-=- 因此该方程的齐次解为：2()t th y t Ae Be --=+.由(0)3,(0)2dy y dt--==得:3,2 2.A B A B +=--=解得:8, 5.A B ==- 所以此齐次方程的零输入响应为:2()85tty t e e--=-.（2）微分方程的特征方程为：240λ+=，解得特征根：1,22i λ=±.因此该方程的齐次解为：()cos(2)sin(2)h y t A t B t =+.由(0)1,(0)1d y y dx --==得:1A =,21B =,解得:11,2A B ==. 所以此齐次方程的零输入响应为:1()cos(2)sin(2)2y t t t =+.（3）微分方程的特征方程为：2220λλ++=，解得特征根:1,21i λ=-± 因此该方程的齐次解为：()(cos()sin())th y t e A t B t -=+.由(0)1,(0)2dy y dx--==得:1,2,A B A =-= 解得:1,3A B ==.所以齐次方程的零输入响应为:()(cos()3sin())ty t e t t -=+.（4）微分方程的特征方程为：2210λλ++=，解得二重根:1,21λ=-.因此该方程的齐次解为：()()th y t At B e -=+. 由(0)1,(0)2dy y dx--==得:1,2,B A B =-=解得:3, 1.A B == 所以该方程的零输入响应为:()(31)ty t t e -=+.（5）微分方程的特征方程为：3220λλλ++=，解得特征根: 1,21λ=-,30λ=. 因此该方程的齐次解为：()()th y t A Bt C e -=++.由22(0)1,(0)1,(0)2d d y y y dx dt---===得:1,1,22A C B C C B +=-=-=. 解得:5,3,4A B C ==-=-.所以方程的零输入响应为:()5(34)ty t t e -=-+.（6）微分方程的特征方程为：240λλ+=，解得特征根:120,4λλ==-. 因此该方程的齐次解为：4()th y t A Be -=+.由(0)1,(0)2d y y dx --==得:1,42A B B +=-=.解得:31,22A B ==-. 所以此齐次方程的零输入响应为:431()22ty t e -=-.2-2 已知系统的微分方程和激励信号，求系统的零状态响应。
第一章1.8 系统的数学模型如下，试判断其线性、时不变性和因果性。
其中X （0-）为系统的初始状态。
（2）()()2f t y t e= （5）()()cos2y t f t t= （8）()()2y t f t =解：（2）()()2f t y t e=① 线性： 设()()()()1122,f t y t f t y t →→，则()()()()122212,f t f t y t ey t e==那么()()()()()()()112211222221122a f t a f t a f t a f t a f t a f t y t ee e +⎡⎤⎣⎦+→==，显然，()()()1122y t a y t a y t ≠+，所以是非线性的。
② 时不变性 设()()11,f t y t →则()()()()10122110,f t t f t y t ey t t e-=-=设()()102,f t t y t -→则()()()102210f t t y t ey t t -==-，所以是时不变的。
③ 因果性因为对任意时刻 t1，()()121f t y t e=，即输出由当前时刻的输入决定，所以系统是因果的。
（5）()()cos2y t f t t=① 线性： 设()()()()1122,f t y t f t y t →→，则()()()()1122cos2,cos2y t f t t y t f t t==那么()()()()()()()112211221122cos 2cos 2cos 2a f t a f t y t a f t a f t t a f t t a f t t+→=+=+⎡⎤⎣⎦,显然()()()1122y t a y t a y t =+，所以系统是线性的。
② 时不变性 设()()11,f t y t →则()()()()()1110100cos2,cos2y t f t t y t t f t t t t =-=--设()()102,f t t y t -→则()()()21010cos2y t f t t t y t t =-≠-，所以是时变的。
《信号与系统》（第3版）习题解析高等教育目录第1章习题解析 (2)第2章习题解析 (6)第3章习题解析 (16)第4章习题解析 (23)第5章习题解析 (31)第6章习题解析 (41)第7章习题解析 (49)第8章习题解析 (55)第1章习题解析1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c) (d)题1-1图解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。
1-2 给定题1-2图示信号f ( t )，试画出下列信号的波形。
[提示：f ( 2t )表示将f ( t )波形压缩，f (2t)表示将f ( t )波形展宽。
](a) 2 f ( t - 2 ) (b) f ( 2t )(c) f ( 2t)(d) f ( -t +1 )题1-2图解 以上各函数的波形如图p1-2所示。
图p1-21-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。
题1-3图解 各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(t i R t u R R ⋅= tt i Lt u L L d )(d )(= ⎰∞-=tC C i Ct u ττd )(1)(1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。
S RS LS C题1-4图解 系统为反馈联接形式。
设加法器的输出为x ( t )，由于)()()()(t y a t f t x -+=且)()(,d )()(t y t x t t x t y '==⎰故有)()()(t ay t f t y -='即)()()(t f t ay t y =+'1-5 已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设T 为系统的运算子，则可以表示为)()]([)(t f t f T t y ==不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) + f 2( t )，则)()()]([111t y t f t f T == )()()]([222t y t f t f T ==故有)()()()]([21t y t f t f t f T =+=显然)()()()(2121t f t f t f t f +≠+即不满足可加性，故为非线性时不变系统。
《信号与系统》课程习题与解答第二章习题(教材上册第二章p81-p87)2-1,2-4～2-10,2-12～2-15,2-17～2-21,2-23,2-24第二章习题解答2-1 对下图所示电路图分别列写求电压的微分方程表示。
图(a)：微分方程：11222012()2()1()()()2()()()()2()()()c cc di t i t u t e t dtdi t i t u t dtdi t u t dt du t i t i t dt ⎧+*+=⎪⎪⎪+=⎪⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩图（b ）：微分方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+++=+++⎰⎰2021'2'21'2'11)(01)(1Ri t v Ri Mi Li dt i Ct e Ri Mi Li dt i C)()(1)(2)()2()(2)()(33020022203304422t e dtd MR t v C t v dt d C R t v dt d C L R t v dt d RL t v dt d M L =+++++-⇒ 图(c)微分方程：dt i C i L t v ⎰==211'101)(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎰dt t v L i t v L i dtdt v L i dt d)(1)(1)(10110'1122011∵ )(122111213t i dt d L C i i i i +=+=)(0(1]1[][101011022110331t e dt dR t v RL v dt d RR L C v dt d R C R C v dt d CC μ=+++++⇒图(d)微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=⎰)()()()()(1)()(11111t e t Ri t v t v dt t i C t Ri t e μRC v dt d 1)1(1+-⇒μ)(11t e V = ∵)()(10t v t v μ=)()(1)1(0'0t e R v t v R Cv v =+-⇒2-4 已知系统相应的其次方程及其对应的0+状态条件，求系统的零输入响应。
1-1 分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？图1-1图1-2解 信号分类如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧--⎩⎨⎧--））（散（例见图数字：幅值、时间均离））（连续（例见图抽样：时间离散，幅值离散））（连续（例见图量化：幅值离散，时间））（续（例见图模拟：幅值、时间均连连续信号d 21c 21b 21a 21图1-1所示信号分别为 （a ）连续信号（模拟信号）； （b ）连续（量化）信号； （c ）离散信号，数字信号； （d ）离散信号；（e ）离散信号，数字信号； （f ）离散信号，数字信号。
1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所示问） （1）)sin(t e at ω-； （2）nT e -； （3）)cos(πn ；（4）为任意值）（00)sin(ωωn ；（5）221⎪⎭⎫⎝⎛。
解由1-1题的分析可知： （1）连续信号； （2）离散信号；（3）离散信号，数字信号； （4）离散信号； （5）离散信号。
1-3 分别求下列各周期信号的周期T ： （1）)30t (cos )10t (cos -； （2）j10t e ；（3）2)]8t (5sin [；（4）[]为整数）（n )T nT t (u )nT t (u )1(0n n ∑∞=-----。
解 判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为非周期信号。
（1）对于分量cos (10t )其周期5T 1π=；对于分量cos (30t )，其周期15T 2π=。
由于5π为21T T 、的最小公倍数，所以此信号的周期5T π=。
（2）由欧拉公式)t (jsin )t (cos e t j ωωω+= 即)10t (jsin )10t (cos e j10t +=得周期5102T ππ==。
《信号与系统》课程习题与解答第三章习题(教材上册第三章p160-p172)3-1～3-3,3-5,3-9,3-12,3-13,3-15～3-17,3-19,3-22,3-24,3-25,3-29,3-32第三章习题解答3-2 周期矩形信号如题图3-2所示。
若：求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
解：直流分量⎰⎰--=⨯==2222301105)(1ττv Edt dt t f T a TTf(t)为偶函数，∴0=n b)(2cos )(222T n Sa T E tdt n t f T a n πττωττ⎰-==)(21T n Sa T E a F n n πςτ== 基波 =1a )1.0s i n (20)(2πππττ=T Sa T E有效值 39.11.0sin 22021≈=ππa二次谐波有效值 32.122≈a三次谐波有效值 21.123≈a3-3 若周期矩形信号)(1t f 和 )(2t f 波形如题图3-2所示，)(1t f 的参数为s μτ5.0=，s T μ1=，E=1V ；)(2t f 的参数为s μτ5.1=，s T μ3=，E=3V ，分别求：（1）)(1t f 的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz 表示； （2）)(2t f 的谱线间隔和带宽； （3） )(1t f 和 )(2t f 的基波幅度之比； （4） )(1t f 基波与)(2t f 三次谐波幅度之比。
解：（1）)(1t f s μτ5.0= s T μ1= E=1V 谱线间隔：khZ T 10001==∆带宽：KHzB f 20001==τ(2) )(2t f s μτ5.1= s T μ3= E=3V间隔：khZ T 310001==∆谱线带宽：KHzB f 320001==τ(3) )(1t f 基波幅度：ππτ2)2cos(4201==⎰dt t T E T a )(2t f 基波幅度：ππτ6)2cos(4201==⎰dt t T E T a幅度比：1：3（4） )(2t f 三次谐波幅度：ππτ2)23cos(4203-=⨯=⎰dt t T E T a 幅度比：1：13-5 求题图3-5所示半波余弦信号的傅立叶级数。
1-4 分析过程：（1）例1-1的方法：()()()()23232f t f t f t f t →−→−→−− （2）方法二：()()()233323f t f t f t f t ⎡⎤⎛⎞→→−→−−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦（3）方法三：()()()()232f t f t f t f t →−→−+→−−⎡⎤⎣⎦ 解题过程：（1）方法一：方法二：（1）()−f at 左移0t ：()()()000−+=−−≠−⎡⎤⎣⎦f a t t f at at f t at （2）()f at 右移0t ：()()()000−=−≠−⎡⎤⎣⎦f a t t f at at f t at （3）()f at 左移0t a ：()()000⎡⎤⎛⎞+=+≠−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦t f a t f at t f t at a （4）()f at 右移0t a ：()()000⎡⎤⎛⎞−−=−+=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦t f a t f at t f t at a 故（4）运算可以得到正确结果。
注：1-4、1-5题考察信号时域运算：1-4题说明采用不同的运算次序可以得到一致的结果；1-5题提醒所有的运算是针对自变量t 进行的。
如果先进行尺度变换或者反转变换，再进行移位变换，一定要注意移位量和移位的方向。
1-9 解题过程： （1）()()()2tf t eu t −=− （2）()()()232tt f t ee u t −−=+（3）()()()255ttf t e eu t −−=− （4）()()()()cos 1012tf t et u t u t π−=−−−⎡⎤⎣⎦1-12 解题过程：（（（（注：1-9、1-12题中的时域信号均为实因果信号，即()()()=f t f t u t 1-18 分析过程：任何信号均可分解为奇分量与偶分量之和的形式，即()()()()1e o f t f t f t =+其中，()e f t 为偶分量，()o f t 为奇分量，二者性质如下：()()()()()()23e e o o f t f t f t f t =−=−−()()13∼式联立得()()()12e f t f t f t =+−⎡⎤⎣⎦ ()()()12o f t f t f t =−−⎡⎤⎣⎦ 解题过程：(a-1) (a-2)(a-3)(a-4)f t为偶函数，故只有偶分量，为其本身(b) ()(c-1)(c-2)(c-3)(c-4)(d-1)(d-2)(d-3)(d-4)1-20 分析过程：本题为判断系统性质：线性、时不变性、因果性（1）线性（Linearity）：基本含义为叠加性和均匀性即输入()1x t ，()2x t 得到的输出分别为()1y t ，()2y t ，()()11T x t y t =⎡⎤⎣⎦，()()22T x t y t =⎡⎤⎣⎦，则()()()()11221122T c x t c x t c y t c y t +=+⎡⎤⎣⎦（1c ，2c 为常数）。
信号与系统习题解第二章1.从本章所讲的各讲中挑出你认为比较新的概念。
2.若物理信号()x t 的频谱存在，记为()X f ，考虑截断信号(),||()20,T T x t t x t ⎧≤⎪=⎨⎪⎩其它，1,||()20,T T t R t ⎧≤⎪=⎨⎪⎩其它在如下情况下的频谱(1)将截断信号()T x t 视为非周期模拟信号求其频谱()T X f ; (2)将截断信号()T x t 视为周期为T 的模拟信号求其频谱()T X n ;(3)将截断信号()T x t 视为)()()(t R t x t x T T =，求其频谱的解析表达式，并由此推出积分变换sin ()()()()()f s TKX f X s dsf s ππ+∞-∞-=-⎰的性质。
由此讨论各种观点下的频谱的表现形式以及内在规律。
解： (1)2222)(()()T T T T j ftj ft f X x t edt x t e dt ππ+∞---∞-==⎰⎰(2)2222()1()jnt TT nn T jn tTT n T x t C eC x t e dtTππ+∞=-∞--==∑⎰(3)2()2()22ˆ()()*()ˆ()()()()()sin ()()()T TTj f s t T T j f s t T X f X f R f X s R f s ds X s R t e dtds X s e dtds f s TX s dsf s ππππ+∞-∞∞+∞---∞-∞+∞---∞-+∞-∞==-==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰积分变换sin ()()()()()f s TKX f X s ds f s ππ+∞-∞-=-⎰将信号()x t 的频谱化为截断信号()T x t 的频谱。
当视信号为非周期的模拟信号时，其频谱是模拟的；当视信号为周期的模拟信号时，其频谱是离散的；并且二者有如下关系1()n n C X T T=当视信号为两个信号的乘积时，其频谱为这两个信号频谱的卷积；利用这三种观点求出的频谱，在本质上是一致的。
3.给出帕色伐尔定理的不同表示形式(周期信号与非周期信号)。
解：(1)非周期信号 记()[()],()[()]X f FT x t Y f FT x t ==则()()()()x t y t dt X f Y f df +∞+∞-∞-∞=⎰⎰(2)周期信号指数表示设()T x t 和()T y t 为周期为T 的周期函数且22(1)(2)(),()n n j t j t TTT nT nn n x t Cey t Ceππ+∞+∞=-∞=-∞==∑∑则22(1)(2)222222(1)(2)222(1)(2)22(1)(2)()()11T T nm j t jt TTT T T T nmn m T n m j t j t T T T n m n m T n m j t T T nmn m nnn x t y t dt CeCedtT C e C e dtT T C Ce dt T TCC πππππ+∞+∞--=-∞=-∞+∞+∞-=-∞=-∞-+∞+∞-=-∞=-∞+∞=-∞====∑∑⎰⎰∑∑⎰∑∑⎰∑(3)周期信号正余弦表示设()T x t 和()T y t 为周期为T 的周期函数且(1)(1)(1)01(2)(2)(2)0122()cos sin222()cos sin2T k k k T k k k a kx kx x t a b T T a kx kx y t a b T T ππππ∞=∞==++=++∑∑ 则22(1)(2)(1)(1)(2)(2)002112(1)(2)(1)(2)(1)(2)00(1)(2)(1)(2)(1)(2)00()()2222cos sin cos sin 224222TT T T T T k k k kk k k k k k k k k k k k x t y t dta a kx kx kx kx ab a b dt T T T T a a T T a a b b a a T a a b b ππππ-∞∞-==+∞=-∞=-⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=++=++⎰∑∑⎰∑+∞∞⎛⎫ ⎪⎝⎭∑4.给出图解法的实施步骤、数学证明中的辅助函数及其任意阶广义导函数。
见讲义5.证明以下普通函数的广义极限均为()t δ()10e erf λπ设()f t 是任意实的连续可积函数，则(1)()1()()()21()2 () [,]0,()()()(0)()()()()g t f t dt f t dt f dtf g t f t dt f f t f t dtg t t λλλλλλλλξλξξλλλξδδ+∞-∞--+∞+∞-∞-∞===∈-∴→=→=∴→⎰⎰⎰⎰⎰(2)()1||()()(1)()1|| ()(1) () [,]0,()()()(0)()()()()t g t f t dt f t dt t f dtf g t f t dt f f t f t dtg t t λλλλλλλλλξλλξξλλλξδδ+∞-∞--+∞+∞-∞-∞=-=-=∈-∴→=→=∴→⎰⎰⎰⎰⎰(3)()||1||11()()()2(1)1()2(1)() [,]0,()()()(0)()()()()t t g t f t dt e f t dt e f e dt e f g t f t dt f f t f t dtg t t λλλλλλλλλλξλξξλλλξδδ-+∞--∞----+∞+∞-∞-∞=-=-=∈-∴→=→=∴→⎰⎰⎰⎰⎰(4)()22()()1()()()()1()()() [,]0,()()()(0)()()()()t t g t f t dt e f t dterf f e dterf f g t f t dt f f t f t dtg t t πλλλλπλλλλλλπξλπξξλλλξδδ-+∞-∞---+∞+∞-∞-∞===∈-∴→=→=∴→⎰⎰⎰⎰⎰6.利用傅立叶正反变换可以导出一种非常广义的导数，其定义为()(){2()},()(())defDx t IFT j fX f X f FT x t π==因为傅立叶变换存在的条件相当低，所以很多不一定连续的函数也都存在如此定义的广义导数。
请模仿经典导数，列出该广义导数的性质。
解： 1.()()()()()()Dx y t Dx t Dy t +=+证明：()(){2(()())}{2()}{2()}()()()()Dx y t IFT j f X f Y f IFT j fX f IFT j f Y f Dx t Dy t πππ+=+=++=+2. ()()()()D x t D x t αα=3.()()()()()()()()D xy t x t D y t D x t y t =+证明：()(){2(()*())}D xy t IFT j f X f Y f π=而2(()*())2()()2()()2()()()2()()2()*(())2(())*()j f X f Y f j f X Y f d j X fY f d j X f Y f d j X Y f d j X f fY f j fX f Y f ππτττπτττπττττπττττππ+∞-∞+∞-∞+∞+∞-∞-∞=-=-=--+-=+⎰⎰⎰⎰所以()(){()*(2())(2())*()}(){2()}{2()}()()()()()()()D xy t IFT X f j fY f j fX f Y f x t IFT j fY f IFT j fX f y t x t D y t D x t y t ππππ=+=+=+…… 第三章1. 在一般情况下，按L ∞-范数收敛强于按2L -范数收敛，但在特殊情况下，按2L -范数收敛也能推出按L ∞-范数收敛。
比如令2L σ为所有能量有限且其频谱()X f 满足()||()0X f f X f σ<⎧=⎨⎩其它 的信号(),(,)x t t ∈-∞+∞组成的线性空间(按照通常的加法和数乘)，按内积(,)()()x y x t y t dt +∞-∞=⎰诱导的范数12||||(,)x x x =成为一个Hilbert 空间。
它与有限区间(,)σσ-+上的一切平方可积函数构成的Hilbert 空间2(,)L σσ-+等距同构。
证明2()x t L σ∀∈，当2|()()|0,()n x t x t dt n +∞-∞-→→∞⎰时，必有(,)sup |()()|0,()t n x t x t n ∈-∞+∞-→→∞。
证明： 由于221222|()()||(()())||(()())||()()||()()||()()||()()|j ft n n j ft n n n Schwarts n Paserval equalityn x t x t X f X f e df X f X f e dfX f X f dfX f X f dfX f X f df x t x t dt ππσσσσ+∞-∞+∞-∞+∞-∞+-+-+∞-∞-=-≤-=-=-⎤≤-⎥⎦⎤=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰122()()||n x t x t ⎥⎦=-从而(,)2sup |()()|()()||t n n x t x t x t x t ∈-∞+∞--因此当2|()()|0n x t x t dt +∞-∞-→⎰时，必有(,)sup |()()|0t n x t x t ∈-∞+∞-→。
2. 设()X f 为信号()x t 的频谱，{}()x n ∆为信号()x t 的采样序列，记0()()n nX f X f +∞=-∞=+∆∑，2()()j fn n X f x n e π+∞∆∆=-∞=∆∆∑，证明0()()X f X f ∆=。
证明：由于∑+∞-∞=∆+=n nf X f X )()(0是以∆1为周期的函数，即)()1(00f X f X =∆+，设20()j fm mm X f Ce π+∞-∆=-∞=∑ 为)(0f X Fourier 级数展开式， 其中122102122121221212()212122122()()()()()()(j fm m j fm n j fm n n nj m n n nj m n n j fm C X f e df n X f e df nX f e dfX ed Xe d Xf e dfx m ππππθπθπθθθθ∆∆-∆+∞∆∆-=-∞∆+∞∆∆-=-∞∆+∞+-∆∆∆∆-+=-∞∆∆+∞+∆∆∆-+=-∞∆∆+∞∆-∞=∆⎛⎫=∆+ ⎪∆⎝⎭=∆+∆=∆=∆=∆=∆⎰∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰⎰)∆从而得到220()()()()j fm j fn m n X f x m ex n e X f ππ+∞+∞-∆-∆∆=-∞=-∞=∆∆=∆∆=∑∑3. 设{}()x n ∆为信号()x t 的采样序列，如果再以1μ∆=∆(2μ≥为正整数)抽出子列1{()}x m ∆，证明111111sin()()()()m t m x t x m t m ππ+∞=-∞-∆∆=∆-∆∆∑与sin()()()()n t n x t x n t n ππ+∞=-∞-∆∆=∆-∆∆∑满足 12111|2()()2|()|f x t x t X f df >∆-≤⎰，其中()X f 是()x t 的频谱。
