第7章 分治算法(C++版)

c语言分治法实现合并排序算法分治法是一种重要的算法思想，它将原问题分解成若干个子问题来解决，最终将子问题的解合并为原问题的解。

其中，合并排序算法就是分治法的一个典型应用。

合并排序算法是一种基于比较的排序算法，它将待排序的序列不断地分割成更小的子序列，直到每个子序列只有一个元素为止，然后将这些子序列合并起来，直到整个序列有序为止。

在C语言中，实现合并排序算法的分治法思想非常简单，可以通过递归调用函数来实现。

具体来说，可以将待排序序列分为左右两个子序列，分别对其进行排序，最后将左右两个有序序列进行合并。

下面是C语言实现合并排序算法的示例代码：```void merge(int arr[], int l, int m, int r){int i, j, k;int n1 = m - l + 1;int n2 = r - m;/* 创建临时数组 */int L[n1], R[n2];/* 拷贝数据到临时数组 L[] 和 R[] */for (i = 0; i < n1; i++)L[i] = arr[l + i];for (j = 0; j < n2; j++)R[j] = arr[m + 1 + j];/* 合并临时数组到 arr[l..r]*/i = 0; /* 初始化左子数组的索引 */ j = 0; /* 初始化右子数组的索引 */ k = l; /* 初始归并子数组的索引 */ while (i < n1 && j < n2) {if (L[i] <= R[j]) {arr[k] = L[i];i++;}else {arr[k] = R[j];j++;}k++;}/* 拷贝 L[] 的剩余元素 */while (i < n1) {arr[k] = L[i];i++;k++;}/* 拷贝 R[] 的剩余元素 */while (j < n2) {arr[k] = R[j];j++;k++;}}void mergeSort(int arr[], int l, int r){if (l < r) {/* 找到中间点 */int m = l + (r - l) / 2;/* 分治排序左子数组和右子数组 */mergeSort(arr, l, m);mergeSort(arr, m + 1, r);/* 合并已排序的左子数组和右子数组 */merge(arr, l, m, r);}}```上述代码中，首先定义了一个函数 `merge()` 用于将两个已排序的子序列合并成一个有序序列。

C语言七大算法一、概述算法是计算机程序设计中解决问题的方法和步骤的描述，是计算机科学的重要基础。

在计算机科学中，有许多经典的算法被广泛应用，并成为不可或缺的工具。

本文将介绍C语言中的七大经典算法，包括排序算法、查找算法、图算法、字符串算法、动态规划算法、贪心算法和分治算法。

二、排序算法排序是将一组元素按照特定规则进行重新排列的过程。

常见的排序算法包括冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序、归并排序等。

这些排序算法在C语言中都有相应的实现，并且各有特点和适用场景。

三、查找算法查找算法用于在一组数据中查找特定值的位置或判断是否存在。

常见的查找算法有线性查找、二分查找、哈希查找等。

这些算法在C语言中的实现可以帮助我们快速地定位目标值。

四、图算法图算法用于解决与图相关的问题，包括最短路径问题、最小生成树问题、拓扑排序等。

在C语言中，我们可以利用图的邻接矩阵或邻接表来实现相关的图算法。

五、字符串算法字符串算法主要用于解决字符串匹配、替换、拼接等问题。

在C语言中，我们可以使用字符串库函数来完成一些基本的字符串操作，例如字符串比较、复制、连接等。

六、动态规划算法动态规划算法是解决一类最优化问题的常用方法，它将问题分解为多个子问题，并通过保存已解决子问题的结果来避免重复计算。

在C语言中，我们可以使用动态规划算法来解决背包问题、最长公共子序列问题等。

七、贪心算法贪心算法是一种通过每一步的局部最优选择来达到全局最优的方法。

贪心算法通常在解决最优化问题时使用，它快速、简单，并且可以给出近似最优解。

C语言中可以使用贪心算法来解决霍夫曼编码、最小生成树等问题。

八、分治算法分治算法是一种将问题分解为多个相同或类似的子问题然后递归解决的方法。

常见的分治算法有快速排序、归并排序等。

在C语言中，我们可以使用分治算法来提高程序的效率和性能。

总结：本文介绍了C语言中的七大经典算法，包括排序算法、查找算法、图算法、字符串算法、动态规划算法、贪心算法和分治算法。

c语言分治法实现合并排序算法在计算机科学中，分治算法是一种将问题划分为较小子问题，然后将结果合并以解决原始问题的算法。

其中，合并排序算法就是一种常见的分治算法。

C语言可以使用分治法实现合并排序算法。

该算法的基本思想是将原始数组递归地分成两半，直到每个部分只有一个元素，然后将这些部分合并起来，直到形成一个完整的已排序的数组。

具体实现过程如下：1.首先，定义一个函数merge，该函数将两个已排序的数组合并成一个已排序的数组。

2.然后，定义一个函数merge_sort，该函数使用递归的方式将原始数组分成两个部分，并对每个部分调用merge_sort函数以进行排序。

3.最后，将已排序的两个数组合并到一起，使用merge函数。

以下是C语言代码：void merge(int arr[], int left[], int left_count, int right[], int right_count) {int i = 0, j = 0, k = 0;while (i < left_count && j < right_count) {if (left[i] < right[j]) {arr[k++] = left[i++];} else {arr[k++] = right[j++];}}while (i < left_count) {arr[k++] = left[i++];}while (j < right_count) {arr[k++] = right[j++];}}void merge_sort(int arr[], int size) { if (size < 2) {return;}int mid = size / 2;int left[mid];int right[size - mid];for (int i = 0; i < mid; i++) {left[i] = arr[i];}for (int i = mid; i < size; i++) {right[i - mid] = arr[i];}merge_sort(left, mid);merge_sort(right, size - mid);merge(arr, left, mid, right, size - mid);}int main() {int arr[] = {3, 8, 1, 6, 9, 4, 5, 7, 2};int size = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);merge_sort(arr, size);for (int i = 0; i < size; i++) {printf('%d ', arr[i]);}return 0;}以上代码可以将数组{3, 8, 1, 6, 9, 4, 5, 7, 2}排序成{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。

分治算法矩阵乘法矩阵乘法是一个常见的数学问题，在许多领域都有广泛的应用，包括图形学、物理模拟和机器学习等。

矩阵乘法的传统方法是通过循环遍历两个矩阵的元素并计算乘积。

然而，当矩阵非常大时，这种方法的效率非常低。

此时，分治算法可以提供更快的解决方案。

分治算法是一种将问题分解为更小的子问题并通过组合子问题的解来求解原始问题的方法。

在矩阵乘法问题中，可以将两个大矩阵分解为更小的子矩阵，并通过组合子矩阵的乘积来计算原始矩阵的乘积。

具体地，假设我们要计算两个矩阵A和B的乘积C，其中A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵。

我们可以将A分解为四个子矩阵：A11、A12、A21和A22，每个子矩阵都是原始矩阵的四分之一大小。

同样地，将矩阵B分解为四个子矩阵：B11、B12、B21和B22根据矩阵乘法的定义，我们可以将C分解为四个子矩阵：C11、C12、C21和C22、根据分治算法的思想，我们可以通过以下步骤计算C的子矩阵：1.计算C11的值：C11=A11*B11+A12*B212.计算C12的值：C12=A11*B12+A12*B223.计算C21的值：C21=A21*B11+A22*B214.计算C22的值：C22=A21*B12+A22*B22通过分解原始矩阵和子矩阵的乘积，我们可以将大问题转化为四个较小的子问题，这些子问题可以并行计算。

然后，通过组合子问题的解来得到原始矩阵的乘积。

为了更好地理解分治算法在矩阵乘法中的应用，我们可以考虑一个具体的例子。

假设我们有两个2×2的矩阵：A=[[1,2],[3,4]]B=[[5,6],[7,8]]根据分治算法的步骤，我们可以将A和B分解为四个子矩阵：A11=[[1]]A12=[[2]]A21=[[3]]A22=[[4]]B11=[[5]]B12=[[6]]B21=[[7]]B22=[[8]]然后，我们可以通过计算子矩阵的乘积来得到C的子矩阵：C11=A11*B11+A12*B21=[[1]]*[[5]]+[[2]]*[[7]]=[[19]]C12=A11*B12+A12*B22=[[1]]*[[6]]+[[2]]*[[8]]=[[22]]C21=A21*B11+A22*B21=[[3]]*[[5]]+[[4]]*[[7]]=[[37]]C22=A21*B12+A22*B22=[[3]]*[[6]]+[[4]]*[[8]]=[[46]]最后，我们可以将子矩阵组合在一起，得到C的最终值：C=[[19,22],[37,46]]通过分治算法，我们将原始矩阵乘法的时间复杂度从O(n^3)降低到O(n^log2(7))，其中n是矩阵的大小。

c++分治算法详解《C分治算法详解》分治算法是一种将一个难以直接解决的大问题分解成几个规模较小、相互独立的小问题来解决的思想。

这种算法的核心是将一个大问题分解成两个或多个相似的小问题，然后递归地解决这些小问题，最终将小问题的解决方案合并起来得到大问题的解决方案。

一、分治算法的基本思想分治算法的核心是将一个大问题分解成几个子问题，然后将这些子问题分别解决，最后将子问题的解决方案合并起来得到原问题的解决方案。

这种思想的核心是将一个大问题分解成更小的、更易于解决的问题，从而降低问题的复杂度，提高解决问题的效率。

二、分治算法的步骤1.将原问题分解成两个或多个规模较小、相互独立的小问题；2.递归地解决这些小问题；3.将小问题的解决方案合并起来得到原问题的解决方案。

三、C语言实现分治算法下面是一个使用C语言实现分治算法的示例代码，用于求解一个简单的加法问题：```c#include<stdio.h>voidadd(inta[],intleft,intright){intmid=(left+right)/2;intsub_left=left;intsub_right=right;inti=left;while(i<=mid){if(a[i]>a[mid]){sub_right=mid;i++;}elseif(a[i]<a[mid]){sub_left=i;break;}else{i++;}}printf("Sumof%dand%dis%d\n",a[left],a[mid],a[mid]+(a[sub_ right]-a[sub_left]));add(a,sub_left,sub_right);}```这个程序使用递归的方式将原问题分解成两个子问题，然后分别求解这两个子问题，最后将子问题的解决方案合并起来得到原问题的解决方案。

这个程序的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为数组的长度。

算法分析与设计实验报告第一次实验附录：完整代码（分治法）#include<iostream>#include<time.h>#include<iomanip>using namespace std;//当数组中的元素个数小于3时，处理最大值int compmax(int A[],int start,int end){int max;if(start<end) //有两个元素{if(A[start]<=A[end])max=A[end];elsemax=A[start];}else//有一个元素max=A[start];return max;}//当数组中元素的个数小于2时，处理最小值int compmin(int A[],int start,int end){int min;if(start<end) //有两个元素{if(A[start]<=A[end])min=A[start];elsemin=A[end];}else//有一个元素min=A[start];return min;}//分治法处理整个数组，求最大值与最小值void merge(int a[],int left,int right,int &Max,int &Min) //Max,Min用来保存最大值与最小值//之所以使用&引用，是由于如果只是简单的使用变量，并不会改变Max与Min的值，使用指针也可以{int max1=0,min1=0,max2=0,min2=0;if(right-left>2) //当数组中元素个数大于等于3时，进行分治{int mid=(right+left)/2;merge(a,left,mid,max1,min1); //左半边递归调用自身，求出最大值最小值，分别保存在max1,min1中merge(a,mid+1,right,max2,min2); //右半边递归调用自身，求出最大值最小值，分别保存在max2,min2中if(max1>=max2) //子序列两两合并，求出最大值与最小值，保存在Max与Min中Max=max1;elseMax=max2;if(min1<=min2)Min=min1;elseMin=min2;}else//数组中元素个数小于3时的情况，直接赋值{Max=compmax(a,left,right);Min=compmin(a,left,right);}}void ran(int *input,int n) //随机生成数组元素函数{int i;srand(time(0));for(i=0;i<n;i++)input[i]=rand();input[i]='\0';}int a[1000000]; //定义全局变量用来存放要查找的数组int main(){int n;int i;int max;int min;cout<<"请输入要查找的序列个数："<<endl;for(i=0;i<5;i++){cin>>n;ran(a,n);clock_t start,end,over; //计算程序运行时间的算法start=clock();end=clock();over=end-start;start=clock();merge(a,0,n-1,max,min); //调用分治法算法cout<<max<<" "<<min<<endl;end=clock();printf("The time is %6.3f",(double)(end-start-over)/CLK_TCK); //显示运行时间}system("pause"); //停止运行窗口return 0;}完整代码（非递归方法）#include<iostream>#include<time.h>#include<iomanip>using namespace std;void ran(int *input,int n) //随机生成数组元素函数{int i;srand(time(0));for(i=0;i<n;i++)input[i]=rand();input[i]='\0';}int a[1000000];int main(){int max=a[0],min=a[0];int i,j,n;cout<<"请输入数据规模："<<endl;for(j=0;j<5;j++){cin>>n;ran(a,n);clock_t start,end,over; //计算程序运行时间的算法start=clock();end=clock();over=end-start;start=clock();for(i=1;i<n;i++){if(a[i]>max)max=a[i];if(a[i]<min)min=a[i];}cout<<max<<" "<<min<<endl;end=clock();printf("The time is %6.3f",(double)(end-start-over)/CLK_TCK); //显示运行时间}system("pause");return 0;}。

/** 设有n=2k个运动员要进行网球循环赛。

现要设计一个满足以下要求的比赛日程表：* 每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；* 每个选手一天只能参赛一次；* 循环赛在n-1天内结束。

* 数组a[i][j]第i个选手在第j天所遇到的选手。

*/#include<>#include<>~void gametable(int k){int a[100][100];int n,temp,i,j,p,t;n=2;..2^k个选手的比赛日程{temp=n;n=n*2;//填左下角元素for(i=temp+1;i<=n;i++)for(j=1;j<=temp;j++)a[i][j]=a[i-temp][j]+temp;//左下角和左上角元素的对应关系)for(i=1;i<=temp;i++)//将左下角元素抄到右上角for(j=temp+1;j<=n;j++)a[i][j]=a[i+temp][(j+temp)%n];for(i=temp+1;i<=n;i++)//将左上角元素抄到右下角for(j=temp+1;j<=n;j++)a[i][j]=a[i-temp][j-temp];}printf("参赛人数为:%d\n(第i行第j列表示和第i个选手在第j天比赛的选手序号)\n",n);for(i=1;i<=n;i++)\for(j=1;j<=n;j++){printf("%d ",a[i][j]);if(j==n)printf("\n");}}void main()#{int k;printf("比赛选手个数为n(n=2^k)，请输入参数K(K>0):\n");scanf("%d",&k);if(k!=0)gametable(k);}。

c++分治算法详解摘要：1.分治算法概述2.C++分治算法实现a.快速排序b.归并排序c.赫夫曼编码3.分治算法的优势和应用4.C++分治算法案例分析a.快速排序案例b.归并排序案例c.赫夫曼编码案例5.总结正文：C++分治算法详解分治算法是一种将大问题分解为若干个相同或相似的小问题，然后逐个解决小问题，最后将小问题的解合并得到大问题的解的算法。

这种算法的设计思想是将一个难以直接解决的问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破。

分治算法广泛应用于计算机科学、数学、物理学等领域，其中快速排序、归并排序、赫夫曼编码等是常见的分治算法。

C++分治算法实现1.快速排序快速排序是一种常用的分治算法，它采用分治策略将待排序的数组划分为较小和较大的两个子数组，然后递归地对子数组进行排序，最终合并得到有序数组。

快速排序的平均时间复杂度为O(nlogn)，它有效地提高了排序速度。

2.归并排序归并排序也是一种分治算法，它将待排序的数组划分为较小和较大的两个子数组，然后递归地对子数组进行排序，最后将有序的子数组合并得到有序数组。

归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)。

3.赫夫曼编码赫夫曼编码是一种基于分治思想的压缩算法，它将原始数据分为若干个子数据，然后对子数据进行编码，最后将编码后的子数据合并得到压缩后的数据。

赫夫曼编码能够实现最优压缩，即压缩后的数据长度最短。

分治算法的优势和应用分治算法具有以下优势：1.将大问题分解为小问题，降低问题的复杂度，便于解决。

2.递归地解决小问题，可以减少代码的编写。

3.分治算法可以有效地提高排序速度。

分治算法广泛应用于排序、查找、压缩等领域。

例如，快速排序和归并排序用于对数组进行排序，赫夫曼编码用于数据压缩。

C++分治算法案例分析1.快速排序案例假设有一个长度为10 的数组{5, 2, 9, 1, 5, 6}，采用快速排序进行排序。

首先，将数组划分为较小和较大的两个子数组，即{1, 2, 5, 5}和{9, 6}。

分治算法使用实例分治算法是一种基本的算法思想，用于解决各种问题。

它将一个大问题分解成多个小问题，然后递归地解决这些小问题，并将结果进行合并，从而得到大问题的解决方案。

分治算法被广泛应用于各个领域，如排序、查找、计算、图像处理等。

下面以三个经典的分治算法为例，具体说明分治算法的使用场景和实现方法。

1.归并排序：归并排序是一种高效的排序算法，它使用了分治算法的思想。

该算法将待排序的数组不断地二分，直到问题被分解为最小规模的子问题。

然后，将这些子问题逐个解决，并将结果进行合并，即将两个有序的子数组合并为一个有序的数组。

最终，所有子问题都解决完毕后，得到的数组就是排序好的结果。

归并排序的实现过程如下：-分解：将待排序的数组分解为两个子数组，递归地对这两个子数组进行排序。

-解决：对两个子数组分别进行排序，可以使用递归或其他排序算法。

-合并：将两个已排序的子数组合并为一个有序的数组。

2.求解最大子数组和：给定一个整数数组，求其最大子数组和。

分治算法可以解决这个问题。

该算法将问题分解为三个子问题：最大子数组和位于左半部分、最大子数组和位于右半部分、最大子数组和跨越中间位置。

然后，递归地对这三个子问题求解，并将结果进行合并，得到最终的解。

求解最大子数组和的实现过程如下：-分解：将待求解的数组分解为两个子数组，递归地求解这两个子数组的最大子数组和。

-解决：对两个子数组分别求解最大子数组和，可以使用递归或其他方法。

-合并：找出三个子问题中的最大子数组和，返回作为最终的解。

3.汉诺塔问题：汉诺塔问题是一个著名的递归问题，可以使用分治算法解决。

假设有三个柱子，初始时，有n个盘子从小到大依次放在第一个柱子上。

目标是将这些盘子移动到第三个柱子上，并保持它们的相对顺序不变。

每次只能移动一个盘子，并且大盘子不能放在小盘子上面。

汉诺塔问题的实现过程如下：-分解：将问题分解为两个子问题，将n-1个盘子从第一个柱子移动到第二个柱子，将最大的盘子从第一个柱子移动到第三个柱子。

分治算法详解及经典例题⼀、基本概念在计算机科学中，分治法是⼀种很重要的算法。

字⾯上的解释是“分⽽治之”，就是把⼀个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的⼦问题，再把⼦问题分成更⼩的⼦问题……直到最后⼦问题可以简单的直接求解，原问题的解即⼦问题的解的合并。

这个技巧是很多⾼效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅⽴叶变换(快速傅⽴叶变换)……任何⼀个可以⽤计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。

问题的规模越⼩，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。

例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。

n=2时，只要作⼀次⽐较即可排好序。

n=3时只要作3次⽐较即可，…。

⽽当n较⼤时，问题就不那么容易处理了。

要想直接解决⼀个规模较⼤的问题，有时是相当困难的。

⼆、基本思想及策略分治法的设计思想是：将⼀个难以直接解决的⼤问题，分割成⼀些规模较⼩的相同问题，以便各个击破，分⽽治之。

分治策略是：对于⼀个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（⽐如说规模n较⼩）则直接解决，否则将其分解为k个规模较⼩的⼦问题，这些⼦问题互相独⽴且与原问题形式相同，递归地解这些⼦问题，然后将各⼦问题的解合并得到原问题的解。

这种算法设计策略叫做分治法。

如果原问题可分割成k个⼦问题，1<k≤n，且这些⼦问题都可解并可利⽤这些⼦问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可⾏的。

由分治法产⽣的⼦问题往往是原问题的较⼩模式，这就为使⽤递归技术提供了⽅便。

在这种情况下，反复应⽤分治⼿段，可以使⼦问题与原问题类型⼀致⽽其规模却不断缩⼩，最终使⼦问题缩⼩到很容易直接求出其解。

这⾃然导致递归过程的产⽣。

分治与递归像⼀对孪⽣兄弟，经常同时应⽤在算法设计之中，并由此产⽣许多⾼效算法。

三、分治法适⽤的情况分治法所能解决的问题⼀般具有以下⼏个特征：1) 该问题的规模缩⼩到⼀定的程度就可以容易地解决2) 该问题可以分解为若⼲个规模较⼩的相同问题，即该问题具有最优⼦结构性质。

信息学奥赛NOIP系列课程（三阶段）第一阶段C++语言及数据结构与算法基础课本:1、信息学奥赛一本通+训练指导教程C++版第五版--2017年出版(两本）第1部分C++语言（50课时）适于：零基础的初中或高中的学生，当然有C语言或scratch、Python语言基础更好授课：相关内容讲授+实例+题目现堂训练（每次课2-3题，题目较大可能是1题）第1章C++语言入门（2－3课时）第2章顺序结构程序设计（6课时）第3章程序控制结构（3课时）NOIP2017复赛普及组第1题成绩https:///problem-12334.htmlNOIP2018复赛普及组第1题标题统计方法一https:///problem-12393.htmlNOIP1996普及组第1题https:///WDAJSNHC/article/details/83513564https:///yuyanggo/article/details/47311665第4章循环结构（5课时）NOIP2018复赛普及组第1题标题统计方法二https:///problem-12393.htmlNOIP2016复赛普及组第1题买铅笔https:///problem-12121.htmlNOIP2015复赛普及组第1题金币/ch0105/45/NOIP2002复赛普及组第1题级数求和/ch0105/27/NOIP2013复赛普及组第1题计数问题https:///problem-11005.html?tdsourcetag=s_pcqq_aiomsgNOIP2012复赛普及组第1题质因数分解/ch0105/43/NOIP2011复赛普及组第1题数字反转/ch0105/29/NOIP2010复赛普及组第1题数字统计https:///problem-10012.htmlNOIP1999普及组第1题Cantor表/ch0201/8760/https:///problemnew/show/P1014NOIP1997普及组第1题棋盘问题https:///problemnew/show/P1548NOIP1995普及组复赛第1题https:///secret_zz/article/details/76862335https:///WDAJSNHC/article/details/83513896NOIP1997普及组第2题数字三角形https:///ber_bai/article/details/76722379第5章数组（9－10课时）NOIP2014复赛普及组第1题珠心算测验https:///problem-12091.htmlNOIP2009复赛普及组第1题多项式输出/ch0113/39/NOIP2006复赛普及组第1题明明的随机数/ch0110/09/NOIP2005复赛普及组第1题陶陶摘苹果/ch0106/02/NOIP2004复赛普及组第1题不高兴的津津/ch0109/03/NOIP2003年普及组第1题乒乓球/ch0113/37/NOIP1998年普及组第1题三连击（枚举）https:///problemnew/show/P1008NOIP1995普及组复赛第2题方阵填数https:///WDAJSNHC/article/details/79381876NOIP1996普及组第2题格子问题https:///WDAJSNHC/article/details/79381843?utm_source=blogxgwz5NOIP2016复赛普及组第2题回文日期https:///problem-12122.htmlhttps:///problemnew/show/P2010NOIP2015普及组第2题P2670扫雷游戏/ch0108/14/https:///problemnew/show/P2670https:///problem-12105.htmlNOIP2012普及组第2题_P1076寻宝/ch0112/06/https:///problemnew/show/P1076第6章函数（5课时）NOIP2008复赛普及组第1题ISBN号码/ch0107/29/NOIP2000提高组第1题P1017进制转换https:///problemnew/show/P1017NOIP2000普及组第1题计算器的改良https:///problemnew/show/P1022https:///yuyanggo/article/details/47856785https:///u012773338/article/details/41749421NOIP2018普及组第2题龙虎斗https:///problemnew/show/P5016https:///problem-12394.html机器翻译【1.12编程基础之函数与过程抽象07】Noip2010提高组第1题/ch0112/07/Vigenère密码【1.12编程基础之函数与过程抽象08】Noip2012提高组第1题/ch0112/08/笨小猴【1.9编程基础之顺序查找06】NOIP2008提高组第1题/ch0109/06/第7章文件和结构体（5课时）NOIP2011复赛提高组第1题铺地毯/ch0109/14/NOIp2008提高组第2题火柴棒等式https:///problemnew/show/P1149https:///Mr_Doublerun/article/details/52589778第8章指针及其应用（8课时）第9章C++实用技巧与模版库（5课时）NOIP2007复赛普及组第1题奖学金/ch0110/04/NOIP2017复赛普及组第2题图书管理员（STL、排序）https:///problem-12335.htmlhttps:///problemnew/show/P3955NOIP1999普及组第2题回文数https:///problemnew/show/P1015***模拟NOIP2017年提高组第2题时间复杂度（模拟）https:///problem-12333.htmlhttps:///problemnew/show/P3952NOIP2011普及组第3题P1309瑞士轮（模拟、快拍、归并排序）/ch0401/4363/https:///problemnew/show/P1309NOIP2018复赛普及组第3题摆渡车(模拟)https:///problem-12395.htmlhttps:///problemnew/show/P5017NOIP2016普及组第3题海港（port）--枚举https:///problemnew/show/P2058NOIP2006年提高组第3题P1065作业调度方案(模拟)https:///problemnew/show/P1065NOIP2013提高组第4题P1969积木大赛（模拟贪心）https:///problem-12071.htmlhttps:///problemnew/show/P1969NOIP2014提高组第4题P2038无线网络发射器选址（模拟）https:///problemnew/show/P2038第2部分NOIP基础算法（39课时）第1章高精度计算（2-3课时）【例1.6】回文数(Noip1999):8088/problem_show.php?pid=1309NOIP2003普及组第4题P1045麦森数(分治、高精度运算)https:///problemnew/show/P1045NOIP2005普及组第4题P1050循环(高精度运算、数论、快速幂) https:///problemnew/show/P1050第2章数据排序（3课时）NOIP2014复赛普及组第1题珠心算测验https:///problem-12091.html第3章递推算法（2-3课时）1314：【例3.6】过河卒(Noip2002):8088/problem_show.php?pid=1314NOIP2011普及组第4题P1310表达式的值(栈、表达式计算、递推) https:///problemnew/show/P1310NOIP2011提高组第6题P1315观光公交(递推分析、贪心)https:///problemnew/show/P1315第4章递归算法（2-3课时）【例4.6】数的计数(Noip2001普及组第1题):8088/problem_show.php?pid=1316第5章搜索与回溯算法（2-3课时）NOIP2015day1T3_斗地主P2668斗地主https:///problemnew/show/P2668NOIP2017年普及组第3题棋盘https:///problemnew/show/P3956https:///problem-12336.htmlNOIP2015年提高组第2题P2661信息传递（Tarjen bfs/dfs（图论））https:///problem-12107.htmlhttps:///problemnew/show/P2661NOIP2016年提高组第2题天天爱跑步（Lca/dfs（图论）树结构最近公共祖先）https:///problem-12208.htmlhttps:///problemnew/show/P1600NOIP2000普及组第4题P1019单词接龙(深搜)https:///problemnew/show/P1019NOIP2000年提高组第3题单词接龙(DFS,字符串,模拟)https:///problemnew/show/P1019NOIP2014普及组第4题P2258子矩阵(搜索或dp)https:///problemnew/show/P2258NOIP2018年提高组第3题P5021赛道修建(搜索深度优先搜索)https:///problem-12392.htmlhttps:///problemnew/show/P5021第6章贪心算法（3课时）删数问题（NOIP1994）P1106删数问题https:///problemnew/show/P1106:8088/problem_show.php?pid=1321NOIP2010复赛普及组第2题接水问题/ch0109/15/NOIP1999年提高组第1题导弹拦截https:///problemnew/show/P1020https:///huashanqingzhu/p/6728652.html https:///qq_33927580/article/details/51853345 https:///Darost/article/details/52086240https:///yuyanggo/article/details/48739029NOIP2002提高组第1题均分纸牌P1031均分纸牌https:///problemnew/show/P1031NOIP2007普及组第2题_P1094纪念品分组https:///problem-12007.htmlhttps:///problemnew/show/P1094NOIP2008普及组第2题_P1056排座椅https:///problem-12008.htmlhttps:///problemnew/show/P1056NOIP2012年提高组第2题国王游戏（贪心、排序后列出）https:///problemnew/show/P1080NOIP2013年提高组第2题P1966火柴排队(逆序对、贪心、排序) https:///problem-12083.htmlhttps:///problemnew/show/P1966NOIP2010普及组第4题P1199三国游戏(贪心)https:///problemnew/show/P1199第7章分治算法（3课时）NOIP2001提高组第1题P1024一元三次方程求解/ch0204/7891/https:///problemnew/show/P1024NOIP2011年提高组第2题P1311选择客栈(二分查找)https:///problemnew/show/P1311NOIP2003普及组第4题P1045麦森数(分治、高精度运算)https:///problemnew/show/P1045第8章广度优先搜索算法（2-3课时）NOIP2002年提高组第2题P1032字串变换(BFS,字符串)https:///problemnew/show/P1032NOIP2013提高组第6题P1979华容道(广搜\最短路:图论)https:///problem-12212.htmlhttps:///problemnew/show/P1979第9章动态规划（15课时）第一节动态规划的基本模型1260：【例9.4】拦截导弹(NOIP1999):8088/problem_show.php?pid=1260NOIP2013普及组第3题P1982小朋友的数字https:///problemnew/show/P1982NOIP2003复赛普及组第2题_P1043数字游戏数字游戏（Game.cpp）https:///problemnew/show/P1043NOIP2006年提高组第2题P1064金明的预算方案(资源分配DP,构造) https:///problemnew/show/P1064NOIP2013普及组第3题P1982小朋友的数字（动态规划、子段和）https:///problemnew/show/P1982NOIP2007普及组第3题P1095守望者的逃离(动态规划或枚举）https:///problemnew/show/P1095NOIP2009普及组第4题P1070道路游戏(动态规划)https:///problemnew/show/P1070NOIP2004年提高组第3题P1091合唱队形(子序列DP)https:///problemnew/show/P1091第二节背包问题NOIP2018提高组第2题货币系统https:///problem-12391.htmlNOIP2006普及组第2题_P1060开心的金明题解https:///problemnew/show/P1060NOIP2005普及组第3题P1048采药(0/1背包)/ch0206/1775/https:///problem-12062.htmlhttps:///problemnew/show/P1048NOIP2001普及组第4题P1049装箱问题(0/1背包或枚举)https:///problemnew/show/P1049NOIP2014年提高组第3题P1941飞扬的小鸟(背包DP)https:///problem-12087.htmlhttps:///problemnew/show/P1941第三节动态规划经典题NOIP2000年提高组第2题P1018乘积最大（资源分配DP）https:///problemnew/show/P1018NOIP2000普及组第3题P1018乘积最大(划分动态规划)https:///problemnew/show/P1018NOIP2001年提高组第2题P1025数的划分（资源分配DP,多维状态DP）/ch0206/8787/https:///problemnew/show/P1025NOIP2001年提高组第3题统计单词个数(资源分配DP,字符串) https:///problemnew/show/P1026NOIP2005年提高组第2题P1052过河(子序列DP,贪心优化)https:///problemnew/show/P1052NOIP2010年提高组第2题P1541乌龟棋(动态规划优化)https:///problemnew/show/P1541NOIP2014年提高组第2题P1351联合权值（动态规划搜索图结构树形DP图的遍历遍历（图论）,二次展开式）https:///problem-12086.htmlhttps:///problem-12210.htmlhttps:///problemnew/show/P1351NOIP2008普及组第3题P1057传球游戏（动态规划）https:///problemnew/show/P1057NOIP2012普及组第3题摆花（动态规划）https:///problem-12366.htmlhttps:///problemnew/show/P1077NOIP2002普及组第4题P1002过河卒(棋盘动态规划)https:///problemnew/show/P1002NOIP2008年提高组第3题P1006传纸条(多维状态DP动态规划图结构最短路网络流)https:///problem-12110.htmlhttps:///problemnew/show/P1006NOIP2000提高组第4题方格取数(多维状态DP)/ch0206/8786/https:///problem-12186.htmlhttps:///problemnew/show/P1004NOIP2002提高组第4题P1034矩形覆盖(动态规划/贪心/搜索剪枝) /ch0405/1793/https:///problemnew/show/P1034第3部分NOIP数据结构（19课时）第1章栈（3课时）NOIP2011普及组第4题P1310表达式的值(栈、表达式计算、递推) https:///problemnew/show/P1310第2章队列（3-5课时）NOIP2016普及组第3题海港（port）https:///problemnew/show/P2058第3章树（3课时）第一节树的概念第二节二叉树第三节堆及其应用NOIP2015普及组第4题P2672推销员(枚举、堆)https:///problemnew/show/P2672NOIP2001普及组第3题P1030求先序排列(树的遍历)https:///problemnew/show/P1030NOIP2004普及组第3题P1087FBI树(二叉树的遍历)https:///problemnew/show/P1087第4章图论算法（8课时）第一节基本概念第二节图的遍历第三节最短路径算法NOIP2002普及组第3题P1037产生数(最短路、高精度)https:///problemnew/show/P1037NOIP2012普及组第4题P1078文化之旅(搜索、最短路(图论)、动规) https:///problemnew/show/P1078NOIP2009年提高组第3题P1073最优贸易(最短路:图论）https:///problemnew/show/P1073NOIP2001提高组第4题P1027Car的旅行路线(最短路,实数处理)https:///problemnew/show/P1027NOIP2007提高组第4题P1099树网的核(最短路,树的直径)https:///problemnew/show/P1099第四节图的连通性问题第五节并查集NOIP2010年提高组第3题P1525关押罪犯(二分答案或并查集)https:///problemnew/show/P1525NOIP2017提高组第4题P3958奶酪（数据结构树结构并查集）https:///problem-12205.htmlhttps:///problemnew/show/P3958第六节最小生成树第七节拓朴排序与关键路径NOIP2013普及组第4题P1983车站分级(图论、拓扑排序) https:///problemnew/show/P19831390：食物链【NOI2001】:8088/problem_show.php?pid=1390NOIP2004年提高组第2题P1090合并果子(最优哈夫曼树，排序，贪心)https:///problemnew/show/P1090NOIP2013年提高组第3题P1967货车运输(最大生成树,最近公共祖先)https:///problemnew/show/P1967NOIP2018提高组第4题P5022旅行（搜索图结构）https:///problem-12397.htmlhttps:///problemnew/show/P5022NOIP2018提高组第6题P5024保卫王国(图结构)https:///problem-12399.htmlhttps:///problemnew/show/P50242、啊哈！算法--2014-06（35-50小时）第二阶段算法与数据结构提高1、《信息学奥赛一本通·提高篇》（80-100课时，不一定一次都讲完）第一部分基础算法第1章贪心算法NOIP2002提高组第1题P1031均分纸牌(贪心,模拟)https:///problemnew/show/P1031NOIP2010普及组第3题P1158导弹拦截（排序+枚举，贪心）https:///problemnew/show/P1158NOIP2012提高组第6题P1084疫情控制(二分答案，贪心，倍增)https:///problemnew/show/P1084第2章二分与三分NOIP2010年提高组第3题P1525关押罪犯(二分答案或并查集)https:///problemnew/show/P1525NOIP2008提高组第4题P1155双栈排序(枚举,贪心/二分图)https:///problemnew/show/P1155NOIP2015提高组第4题P2678跳石头（二分查找、二分答案）https:///problem-12198.htmlhttps:///problemnew/show/P2678第3章深搜的剪枝技巧NOIP2018普及组第4题对称二叉树（搜索树结构深度优先搜索）https:///problem-12396.htmlhttps:///problemnew/show/P5018NOIP2011年提高组第3题P1312Mayan游戏(深搜、剪支)https:///problemnew/show/P1312NOIP2015年提高组第3题P2668斗地主(分情况,剪枝)https:///problemnew/show/P2668NOIP2003提高组第4题P1041传染病控制(随机贪心/搜索剪枝)https:///problemnew/show/P1041NOIP2004提高组第4题P1092虫食算（搜索搜索与剪枝）https:///problem-12414.htmlhttps:///problemnew/show/P1092第4章广搜的优化技巧NOIP2017年普及组第3题棋盘（搜索搜索与剪枝广度优先搜索）https:///problemnew/show/P3956https:///problem-12336.htmlNOIP2009提高组第4题P1074靶形数独(搜索优化)https:///problemnew/show/P1074NOIP2010提高组第4题P1514引入水域（广搜+动态规划，判断有解和无解）https:///problemnew/show/P1514第二部分字符串算法第1章哈希表第2章KMP算法第3章Trie字典树第4章AC自动机NOIP2005提高组第4题P1054等价表达式(字符串,抽样检测,表达式) /practice/1686/https:///problemnew/show/P1054NOIP2008普及组第4题P1058立体图(字符输出)https:///problemnew/show/P1058NOIP2006普及组第3题P1061Jam的计数法(数学、字符串)https:///problemnew/show/P1061NOIP2007年提高组第2题字符串的展开（字符串模拟）https:///problem-11016.htmlhttps:///problemnew/show/P1098NOIP2003年提高组第2题P1039侦探推理(枚举,模拟,字符串)https:///problemnew/show/P1039NOIP2011普及组第2题_P1308统计单词数/ch0112/05/https:///problemnew/show/P1308第三部分图论第1章最小生成树第2章最短路径NOIP2016年提高组第3题P1850换教室(最短路/Dp)https:///problemnew/show/P1850NOIP2017年提高组第3题P3953逛公园(搜索图结构记忆化搜索最短路)https:///problem-12337.htmlhttps:///problemnew/show/P3953NOIP2014提高组第5题P1351联合权值(遍历,二次展开式)https:///problem-12086.htmlhttps:///problemnew/show/P1351第3章SPFA算法的优化第4章差分约束系统第5章强连通分量第6章割点和桥第7章欧拉回路第四部分数据结构第1章树状数组第2章RMQ问题第3章线段树NOIP2012提高组第5题P1083借教室(枚举、线段树、树状数组、二分) https:///problem-12069.htmlhttps:///problemnew/show/P1083NOIP2017提高组第6题P3960列队(数据结构平衡树线段树)https:///problem-12339.htmlhttps:///problemnew/show/P3960第4章倍增求LCANOIP2015提高组第6题P2680运输计划(Lca或线段树)https:///problem-12213.htmlhttps:///problemnew/show/P2680第5章树链剖分第6章平衡树Treap第五部分动态规划第1章区间类型动态规划NOIP2007年提高组第3题P1005矩阵取数游戏(区间DP,高精度)https:///problemnew/show/P1005第2章树型动态规划NOIP2003年提高组第3题P1040加分二叉树(树,区间DP)https:///problemnew/show/P1040第3章数位动态规划第4章状态压缩类动态规划NOIP2017提高组第5题P3959宝藏(动态规划搜索贪心状态压缩DP枚举)https:///problem-12340.htmlhttps:///problemnew/show/P3959NOIP2016提高组第6题愤怒的小鸟(状态压缩动态规划)https:///problemnew/show/P2831第5章单调队列优化动态规划NOIP2016提高组第5题蚯蚓(单调队列)https:///Mrsrz/p/7517155.htmlhttps:///m0_38083668/article/details/82557281NOIP2017普及组第4题P3957跳房子（数据结构动态规划单调队列队列）https:///problem-12338.htmlhttps:///problemnew/show/P3957第6章利用斜率优化动态规划NOIP2012年提高组第3题P1081开车旅行(离线深搜，动态规划、倍增)https:///problemnew/show/P1081NOIP2015提高组第5题P2679子串(Dp+滚动数组)https:///problemnew/show/P2679第六部分数学基础第1章快速幂第2章素数第3章约数第4章同余问题第5章矩阵乘法第6章组合数学NOIP2009年提高组第2题P1072Hankson的趣味题(初等数论,质因数,组合数学)https:///problemnew/show/P1072NOIP2006提高组第4题P10662^k进制数(动态规划/组合数学,高精度) https:///problemnew/show/P1066NOIP2011提高组第4题P1313计算系数（组合、二项式系数）/practice/4036/https:///problemnew/show/P1313NOIP2016提高组第4题P2822组合数问题（杨辉三角）https:///problemnew/show/P2822第7章博弈论NOIP2004普及组第4题P1088火星人(数学:排列、stl)https:///problemnew/show/P1088NOIP2009普及组第3题P1069细胞分裂（数论）https:///problemnew/show/P1069NOIP2000提高组第1题P1017进制转换(初等代数,找规律)https:///problemnew/show/P1017NOIP2001提高组第1题P1024一元三次方程求解(数学,枚举,实数处理) /ch0204/7891/https:///problemnew/show/P1024NOIP2003普及组第3题P1044栈(数学:卡特兰数）https:///problemnew/show/P1044NOIP2018年提高组第2题货币系统(数论)https:///problem-12391.htmlhttps:///problemnew/show/P5020NOIP2014年普及组复赛第3题螺旋矩阵（数学分析）https:///problem-12341.htmlhttps:///problemnew/show/P2239NOIP2015年普及组第3题求和（数学：数列）https:///problemnew/show/P2671NOIP2004普及组第4题P1088火星人(数学:排列、stl)https:///problemnew/show/P1088NOIP2005普及组第4题P1050循环(高精度运算、数论、快速幂) https:///problemnew/show/P1050NOIP2006普及组第4题P1062数列(数学:进制转换)https:///problemnew/show/P1062NOIP2007普及组第4题P1096$Hanoi$双塔问题(数学、高精度) 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一、引言在计算机科学领域，分治法是一种常见的问题求解策略。

它通过将问题划分为更小的子问题，并通过递归的方式解决这些子问题，最终将它们的解合并起来得到原始问题的解。

在本文中，我们将探讨分治法在一个经典问题——大整数相乘中的应用，以及如何使用C语言来实现这一算法。

二、大整数相乘问题概述在计算机中，通常情况下我们可以使用基本的数据类型（如int、float 等）来表示和操作数字。

但是，当涉及到非常大的整数时，这些基本的数据类型就显得力不从心了。

两个100位的整数相乘，如果直接使用基本的数据类型进行计算，会导致溢出和精度丢失的问题。

我们需要一种特殊的方法来处理大整数之间的乘法运算。

三、分治法解决大整数相乘问题分治法是一种将问题分解为更小的子问题，并通过递归的方式解决这些子问题，再将它们的解合并起来得到原始问题的解的策略。

在大整数相乘的问题中，可以使用分治法来将两个大整数分别划分为更小的子整数，然后通过递归的方式计算这些子整数的乘积，最终将它们的乘积合并起来得到原始问题的解。

四、C语言实现大整数相乘算法在C语言中，我们可以使用数组来表示大整数，并通过一定的算法来实现大整数相乘的功能。

我们需要将两个大整数表示为数组，然后通过分治法的思想，将这两个数组划分为更小的子数组，通过递归的方式计算这些子数组的乘积。

将这些子数组的乘积合并起来得到原始问题的解。

五、个人观点和理解从简单的分治法到复杂问题的解决，这个经典问题让我深刻理解了分治法的精髓。

在解决大整数相乘的问题时，分治法不仅解决了基本问题，还能很好地处理大整数的溢出和精度问题。

在C语言中实现大整数相乘算法也为我提供了一个很好的实践机会，让我更深入地理解了分治法的应用。

六、总结通过本文的探讨，我们对分治法在大整数相乘问题中的应用有了更深入的理解。

通过C语言实现大整数相乘算法的实例，我们也对分治法的具体实现有了更清晰的认识。

希望本文能够帮助读者更好地理解分治法的应用，并且对大整数相乘问题有进一步的了解和认识。

分治算法求解循环赛问题⼀.分治算法的基本思想 当我们求解某些问题时，由于这些问题要处理的数据相当多，或求解过程相当复杂，使得直接求解法在时间上相当长，或者根本⽆法直接求出。

对于这类问题，我们往往先把它分解成⼏个⼦问题，找到求出这⼏个⼦问题的解法后，再找到合适的⽅法，把它们组合成求整个问题的解法。

如果这些⼦问题还较⼤，难以解决，可以再把它们分成⼏个更⼩的⼦问题，以此类推，直⾄可以直接求出解为⽌。

这就是分治策略的基本思想。

⼆.分治算法求解问题的步骤 (1) 分解，将要解决的问题划分成若⼲规模较⼩的同类问题; (2) 求解，当⼦问题划分得⾜够⼩时，⽤较简单的⽅法解决; (3) 合并，按原问题的要求，将⼦问题的解逐层合并构成原问题的解。

三.分治算法的应⽤场景运⽤分治策略解决的问题⼀般来说具有以下特点: (1) 原问题可以分解为多个⼦问题这些⼦问题与原问题相⽐，只是问题的规模有所降低，其结构和求解⽅法与原问题相同或相似。

(2) 原问题在分解过程中，递归地求解⼦问题由于递归都必须有⼀个终⽌条件，因此，当分解后的⼦问题规模⾜够⼩时，应能够直接求解。

(3) 求解并得到各个⼦问题的解后应能够采⽤某种⽅式、⽅法合并或构造出原问题的解。

四.循环赛⽇程表问题问题：设有n=2^k个球队参加循环赛，要求设计⼀个满⾜以下要求⽐赛⽇程表： (1) 每⽀球队必须与其他n-1⽀球队各赛⼀次； (2) 每⽀球队⼀天只能参赛⼀次； (3) 循环赛在n-1天内结束。

按此要求将⽐赛⽇程表设计成有 n ⾏和 n 列的⼀个表。

在表中的第 i ⾏，第 j 列处填⼊为第 i 个球队在第 j 天所遇到的球队。

其中 1 ≤ i ≤n，2 ≤ j ≤ n。

8 个球队的⽐赛⽇程表如下图：五.分治法求解循环赛问题1/**2 * 分治算法：循环赛⽇程表3 * 题⽬：2^n⽀球队，进⾏循环赛，要求如下：4 * (1)每⽀球队必须与其他n-1⽀球队各赛⼀次；5 * (2)每⽀球队⼀天只能参赛⼀次；6 * (3)循环赛在n-1天内结束。