2020届甘肃省第一次高考诊断考试数学(理)试题解析

2020年兰州市高三诊断考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1.已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}*2,B x x n n N==∈，则A B =I （ ） A. {}0,2,4 B. {}2,4 C. {}1,3,5D. {}1,2,3,4,5【答案】B【解析】【分析】根据交集定义求解．【详解】因为集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}*2,B x x n n N==∈， 所以{2,4}A B ⋂=，故选：B ．【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题．2.已知复数5i 22iz =+-，则z =（ ）A. 5 C. 13 【答案】B【解析】【分析】首先进行除法运算化简z ，再求模即可.【详解】因为5i 5(2)2212i 2i 5i i z +=+=+=+-，所以z =. 故选：B【点睛】本题考查复数的基本运算，复数的模，属于基础题.3.已知非零向量a r ，b r 给定:p R λ∃∈，使得λa b =r r ，:q a b a b +=+r r r r ，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】分析各个命题中向量a r ，b r 的关系，然后根据充分必要条件的定义确定．【详解】:p R λ∃∈，使得λa b =r r ，则a r ，b r共线， :q a b a b +=+r r r r 等价于a r ，b r 同向，因此p 是q 的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题考查充分必要条件的的判断，考查向量的共线定理及向量模的性质．判断充分必要条件时可以对两个命题分别进行化简，得出其等价的结论、范围，然后再根据充分必要条件的定义判断即可．4.若21tan 5722sin cos 1212tan 2αππα-=，则tan α=（ ） A 4B. 3C. -4D. -3【答案】C【解析】【分析】 对等式两边分别化简，然后可求值． 【详解】5712sin cos 2sin()cos()2cos sin sin 1212212212121262πππππππππ=-+=-=-=-， 221tan 222tan tan 2tan 221tan 2ααααα-==-， ∴21tan 2α=-，tan 4α=-．故选：C ．【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式，掌握二倍角公式是解题关键．5.已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（ ）A. 2 D. 【答案】A【解析】【分析】由点（2，﹣1）在双曲线的渐近线y b a =-x 上，得到a ＝2b ，再根据e ==解.【详解】因为（2，﹣1）在双曲线的渐近线y b a=-x 上， 所以a ＝2b ，即a 2＝4b 2，所以e ===， 故选：A .【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.已知集合46911,,,,55555A πππππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ） A. 110 B. 25 C. 35 D. 310【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式确定正弦值相等的角有几对，然后可计算出概率． 【详解】455πππ=-，655πππ=+，9255πππ=-，11255πππ=+，因此 69,55ππ这一对正弦值相等，411,,555πππ这三个中任取2个共有三对，它们正弦值相等， 共有4对正弦值相等，而从5个角中任取2个有10种取法，∴概率为42105P ==． 故选：B ． 【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数，可用列举法写出基本事件．7.已知函数()f x =，且()0.20.2a f =，()3log 4b f =，13log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. c a b <<C. c b a >>D. b c a >>【答案】D【解析】 【分析】先确定函数的奇偶性与单调性，然后结合中间值0和1比较幂和对数的的大小，最后可得结论．【详解】由题意知()f x 是偶函数，由复合函数单调性知在[0,)+∞上，函数单调递增， 0.200.21<<，3log 41>，13log 31=-，13(log 3)(1)(1)c f f f ==-=， 又0.2300.21log 4<<<，∴a c b <<．故选：D 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查幂与对数的比较大小，实质考查了指数函数与对数函数的性质，属于中档题．8.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：。

2020年甘肃省第一次高考诊断考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知{}1<=x x A ，{}12<=x x B ，则AUB=（ ）A ．（-1，0）B ．（0，1）C ．（-1，+∞）D ．（-∞，1）2．已知：)23(i i z -=，则z z ⋅=（ ）A ．5B ．5C ．13D ．133．已知平面向量,满足),3(),2,1(t -=-=，且)(+⊥=（ ）A ．3B ．10C ．32D ．54．已知抛物线)0(22>=p px y 经过点)22,2(M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为（ ） A ．22 B ．42 C ．22 D ．22- 5．函数22cos ln )(x x x x f +=的部分图象大致为（ ）A B C D6．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的一条渐近线经过圆04222=-++y x y x E ：的圆心，则双曲线的C 的离心率为（ ）A ．25 B ．5 C ．2 D ．27．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为a x y ˆ042.0ˆ-=．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%（ ）（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月8．设n m ，是空间两条不同的直线，βα，是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若α∥m ，β∥n ，βα∥，则n m ∥；②若βα⊥，β⊥m ，α⊄m ，则α∥m ；③若n m ⊥，α⊥m ，βα∥，则β∥n ；④若βα⊥，l =βαI ，α∥m ，l m ⊥．则β⊥m ．其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④9．定义在R 上的偶函数)(x f ，对)0,(,21-∞∈∀x x ．且21x x ≠，有0)()(1212>--x x x f x f 成立，已知)(ln πf a =，)(21-=e f b ，)61(log 2f c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＞a ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b10．将函数)6sin()(π+=x x f 图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数)(x g y =的图象，则函数)(x g y =图象的一个对称中心为（ ）A ．)0,12(πB ．)0,4(πC ．)0,(πD ．)0,34(π 11．若n x x )1(3+的展开式中二项式系数和为256．则二项式展开式中有理项系数之和为（ ）A ．85B ．84C ．57D ． 5612．若函数2)(mx e x f x -=有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是（ ） A ．),4[2+∞e B ),4(2+∞e C ．)4,(2e -∞ D ．]4,(2e -∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

甘肃省2020届高三上学期第一次调研考试（12月）数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设，（其中为虚数单位，是的共轭复数），则（）A. 2B.C.D. -22.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.3.已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则A. B. C. D.4.过抛物线的焦点作直线交抛物线于点两点，若，则中点到抛物线准线的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 55.已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.7.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A. -40B. -20C. 20D. 408.年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿米且由一名运动员完成，每个运动员都要出场. 现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队共有（）种兵布阵的方式.A. B. C. D.9.已知函数，若，则A. B. C. D.10.若函数的图像关于点对称，且当时，，则（）A. B. C. D.11.在平面直角坐标系中,双曲线的右焦点为F,一条过原点O且倾斜角为锐角的直线与双曲线C 交于A,B两点，若△FAB的面积为，则直线的斜率为（）A. B. C. D.12.已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足且，则__________．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.中，角的对边分别为若，，，则__________．14.抛物线与轴围成的封闭区域为，向内随机投掷一点，则的概率为__________．15.已知四点在球的表面上，且，，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为__________．16.已知则的大小关系是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足.（1）证明：是等比数列；（2）令，求数列的前项和.18.在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投次；在处每投进一球得分，在处每投进一球得分；如果前两次得分之和超过分即停止投篮，否则投第三次.同学在处的命中率为0，在处的命中率为，该同学选择先在处投一球，以后都在处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为]（1）求的值；（2）求随机变量的数学期望；（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，与均为等边三角形，点为的中点.（1）证明：平面平面；（2）试问在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.20.已知椭圆：的离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）已知，设点（且）为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，直线分别交轴于点，证明：.（为坐标原点）21.已知函数．（1）若函数在处的切线平行于直线，求实数a的值；（2）判断函数在区间上零点的个数；（3）在（1）的条件下，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|-1＜x＜4}，则集合A中的元素个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 62.（-1+i）（2i+1）=（）A. 1-iB. 1+iC. -3-iD. -3+i3.若双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，离心率为，则其虚轴长为（）A. 8B. 4C. 2D.4.已知向量，的夹角为，，，则（）A. B. -3 C. D. 35.某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是（）A. B. C. D.6.朱世杰是元代著名数学家，他所著《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中提到一些堆垛问题，如“三角垛果子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥，每层皆堆成正三角形，从上向下数，每层果子数分别为1，3，6，10，…，现有一个“三角垛果子”，其最底层每边果子数为10，则该层果子数为（）A. 50B. 55C. 100D. 1107.已知函数f（x）=x•ln，a=f（-），b=f（），c=f（），则以下关系成立的是（）A. c＜a＜bB. c＜b＜aC. a＜b＜cD. a＜c＜b8.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的n是（）A. 168B. 169C. 336D. 3389.若点P是函数y=图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l斜率的范围是（）A. （-∞，1）B. [0，1]C. [1，+∞）D. （0，1]10.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，AB=1，PD=2，则异面直线PA与BD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.11.已知点F1，F2是椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的动点，动点Q在射线F1P的延长线上，且||=||，若||的最小值为1，最大值为9，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=x2+ln（|x|+1），若对于x∈[1，2]，f（ax2）＜f（3）恒成立，则实数a的范围是（）A. B. -3＜a＜3 C. a D. a＜3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}中，a n+1=2a n对∀n∈N*成立，且a3=12，则a1=______．14.若实数x，y满足约束条件，则z=-2x-y必有最______值（填“大”或“小”）．15.已知sinα+cosα=，sinα＞cosα，则tanα=______．16.已知函数f（x）=a ln x+，当a∈（-）时，函数的零点个数为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b+c=10，a=，5b sin A cos C+5c sin A cos B=3a．（1）求A的余弦值；（2）求b和c．18.“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每周进行长跑不大于2天3天或4天不少于5天调练天数人数3013040若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关？热烈参与者非热烈参与者合计男140女55合计附：k2=（n为样本容量）P（k2≥k0）0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.已知曲线C上的任意一点到直线l：x=-的距离与到点F（）的距离相等．（1）求曲线C的方程；（2）若过P（1，0）的直线与曲线C相交于A，B两点，Q（-1，0）为定点，设直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，直线AB的斜率为k，证明：为定值．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△PCD为正三角形，∠BAD=30°，AD=4，AB=2，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC中点．（1）证明：BE⊥PC；（2）求多面体PABED的体积．21.已知函数f（x）=x3-（a2+a+2）x2+a2（a+2）x，a∈R．（1）当a=-1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数y=f（x）的极值点．22.已知曲线E的极坐标方程为4（ρ2-4）sin2θ=（16-ρ2）cos2θ，以极轴为x轴的非负半轴，极点O为坐标原点，建立平面直角坐标系．（1）写出曲线E的直角坐标方程；（2）若点P为曲线E上动点，点M为线段OP的中点，直线l的参数方程为（t为参数），求点M到直线l的距离的最大值．23.已知a＞0，b＞0，a+b=4，m∈R．（1）求+的最小值；（2）若|x+m|-|x-2|≤+对任意的实数x恒成立，求m的范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】用列举法写出集合B．本题考查了集合中元素个数的判断，属于基础题．【解答】解：集合A={x∈N|-1＜x＜4}={0，1，2，3}．即集合A中的元素个数是4．故选：B．2.答案：C解析：【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解：（-1+i）（2i+1）=-2i-1+2i2+i=-3-i．故选：C．3.答案：B解析：【分析】根据题意，由双曲线的实轴长可得a的值，进而由离心率公式可得c的值，计算可得b 的值，由双曲线的虚轴长为2b，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的实轴长为2a．【解答】解：根据题意，若双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，即2a=4，则a=2，又由双曲线的离心率e=，则有e==，则c=a=2，则b==2，则该双曲线的虚轴长2b=4；故选：B．4.答案：D解析：【分析】根据条件即可得出，从而求出．考查向量数量积的计算公式，向量夹角和长度的定义．【解答】解：∵，的夹角为，=-3，||=2；∴；∴．故选：D．解析：解：某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，基本事件总数n==10，A或B被选中的对立事件是A和B都没有被选中，则A或B被选中的概率是p=1-=．故选：D．基本事件总数n==10，A或B被选中的对立事件是A和B都没有被选中，由此能求出A或B被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：B解析：【分析】本题考查数列在实际问题中的运用，考查等差数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．由题意可得从上而下每层的个数为1+2+3+…+n，由等差数列的求和公式，计算可得所求值．【解答】解：由题意可得每层果子数分别为1，3，6，10，…，即为1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…，其最底层每边果子数为10，即有该层的果子数为1+2+3+…+10=×10×11=55．故选：B．7.答案：A解析：解：，，；∵；∴；∴c＜a＜b．故选：A．根据f（x）的解析式，可以求出，，容易看出，从而得出c＜a＜b．考查已知函数求值的方法，对数的运算，以及对数函数的单调性．解析：解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出1到2019中满足条件sin=1的k的个数n的值，由sin=1，又正弦函数的性质可知函数的取值周期为12，且2019=12×168+3，可得：n=168．故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，利用正弦函数的周期性即可得解．本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．9.答案：C解析：解：∵y=，∴y′==．∵-1＜sin2x≤1，∴0＜1+sin2x≤2，∴，则y′=．∴直线l斜率的范围是[1，+∞）．故选：C．求出原函数的导函数，进一步求得导函数的值域得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查三角函数值域的求法，是中档题．10.答案：D解析：【分析】本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．由题意建立空间直角坐标系，求出的坐标，由两向量所成角的余弦值求解，注意异面直线所成角的范围为（0°,90°]．【解答】解：由题意，建立如图的空间直角坐标系，∵底面ABCD为正方形，AB=1，PD=2，PD⊥底面ABCD，∴点A（1，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（1，1，0），则，，∴cos＜＞=．∴异面直线PA与BD所成角的余弦值为．故选：D．11.答案：C解析：解：因为||=||，||的最小值为1，最大值为9，∴|PF2|的最大值为a+c=9，最小值为a-c=1∴a=5，c=4．∴椭圆的离心率为e=，故选：C．可得|PF2|的最大值为a+c=9，最小值为a-c=1求得a，c．即可得椭圆的离心率．本题考查了椭圆的离心率，属于基础题．12.答案：A解析：解：函数f（x）=x2+ln（|x|+1）的定义域为R，且f（-x）=（-x）2+ln（|-x|+1）=x2+ln（|x|+1）=f（x），所以f（x）为R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数；所以对于x∈[1，2]，f（ax2）＜f（3）恒成立，等价于|ax2|＜3在x∈[1，2]上恒成立；即|a|＜在x∈[1，2]上恒成立，所以|a|＜，解得-＜a＜；所以实数a的范围是（-，）．故选：A．判断函数f（x）是定义域R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数；把问题转化为|ax2|＜3在x∈[1，2]上恒成立，即|a|＜在x∈[1，2]上恒成立，由此求出实数a的范围．本题考查了利用函数的单调性求不等式恒成立应用问题，是中档题．13.答案：3解析：解：∵12=a3=2a2，∴a2=6，∵6=a2=2a1，∴a1=3．故答案为：3．先求a2，再求a1．本题考查了数列的递推公式，属基础题．14.答案：大解析：解：实数x，y满足约束条件的可行域如图：则z=-2x-y如图中的红色直线，可知目标函数结果A时截距取得最小值，此时在取得最大值，故答案为：大．画出约束条件的可行域，判断目标函数的几何意义，然后推出结果．本题考查线性规划的简单应用，画出目标函数的可行域是解题的关键．15.答案：解析：解：∵sinα+cosα=，∴1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=．又cos2α+sin2α=1，且sinα＞cosα，∴sinα=，cosα=，tanα=．故答案为：．由sinα+cosα=，两边平方可得2sinαcosα=，又cos2A+sin2A=1，且sinα＞cosα，解得cosα，sinα的值，则tanα可求．本题考查同角三角函数的基本关系的应用，是基础题．16.答案：1解析：解：函数f（x）=a ln x+，可得f′（x）=-x，a∈（-）时，f′（x）＜0，函数是减函数，f（1）=-=，f（）=1-+＞0，所以函数函数f（x）=a ln x+，当a∈（-）时，函数的零点个数为1．故答案为：1．通过导函数的符号判断函数的单调性，通过零点判断定理转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的零点判断定理的应用，是简单的综合题目．17.答案：解：（1）∵5b sin A cos C+5c sin A cos B=3a，∴由正弦定理可得：5sin B sin A cos C+5sin C sin A cos B=3sin A，∵sin A≠0，∴5sin B cos C+5sin C cos B=3，可得：sin（B+C）=，∵B+C=π-A，∴sin A=，∵A∈（0，），∴cos A==；（2）∵a2=b2+c2-2bc cos A=（b+c）2-2bc（1+cos A），又∵b+c=10，a=，∴解得：bc=25，∴解得：b=c=5．解析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理可得sin A=，结合范围A∈（0，），利用同角三角函数基本关系式可求cos A的值．（2）由已知利用余弦定理即可解得b，c的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市：热烈参与者“的人数约为：20000×=4000．（2）热烈参与者非热烈参与者合计男35105140女55560合计40160200K2=≈7.292＞6.635，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关．解析：（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市：热烈参与者“的人数约为：20000×=4000．（2）先得2×2列联表，再根据表中数据计算K2，结合临界值表可得．本题考查了独立性检验，属中档题．19.答案：（1）解：由条件可知，此曲线是焦点为F的抛物线，，p=1．∴抛物线的方程为y2=2x；（2）证明：根据已知，设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），由，可得ky2-2y-2k=0．设A（），B（），则，y1y2=-2．∵，．∴====．∴．解析：（1）直接由抛物线定义可得曲线C的方程；（2）设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），联立直线方程与抛物线方程，利用斜率公式求得，即可证明为定值．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.答案：证明：（1）∵BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cos∠BAD=4，∴BD=2，∴∠ABD=90°，∴BD⊥CD，∵面PCD⊥面ABCD，面PCD∩面ABCD=CD，∴BD⊥面PCD，∴BD⊥PC，∵△PCD是正三角形，E为PC的中点，∴DE⊥PC，∴PC⊥面BDE，∴BE⊥PC．解：（2）作PF⊥CD，EG⊥CD，F，G为垂足，∵面PCD⊥面ABCD，∴PF⊥面ABCD，EG⊥面ABCD，∵△PCD是正三角形，CD=2，∴PF=3，EG=，∴V P-ABCD==4，=，∴多面体PABED的体积V=V P-ABCD-V E-BCD=4=3．解析：（1）推导出BD⊥CD，从而BD⊥面PCD，进而BD⊥PC，推导出DE⊥PC，从而PC⊥面BDE，由此能证明BE⊥PC．（2）作PF⊥CD，EG⊥CD，推导出多面体PABED的体积V=V P-ABCD-V E-BCD，由此能求出结果．本题考查线线垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.答案：解：（1）当a=-1时，．∵f′（x）=x2-2x+1=（x-1）2≥0，故函数在R内为增函数，单调递增区间为（-∞，+∞）．（2）∵f′（x）=x2-（a2+a+2）x+a2（a+2）=（x-a2）[x-（a+2）]，①当a=-1或a=2时，a2=a+2，∵f’（x）≥0恒成立，函数为增函数，无极值；②当a＜-1或a＞2时，a2＞a+2，可得当x∈（-∞，a+2）时，f’（x）＞0，函数为增函数；当x∈（a+2，a2）时，f’（x）＜0，函数为减函数；当x∈（a2，+∞）时，f’（x）＞0，函数为增函数．当x=a+2时，函数有极大值f（a+2），当x=a2时，函数有极小值f（a2）．③当-1＜a＜2时，a2＜a+2．可得当x∈（-∞，a2）时，f’（x）＞0，函数为增函数；当x∈（a2，a+2）时，f’（x）＜0，函数为减函数；当x∈（a+2，+∞）时，f’（x）＞0，函数为增函数．当x=a+2时，函数有极小值f（a+2）；当x=a2时，函数有极大值f（a2）．解析：（1）首先求得导函数，然后结合导函数的符号求解函数的单调区间即可；（2）首先求得导函数，然后结合函数的解析式分类讨论确定函数的极值点即可．本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的极值，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．22.答案：解：（1）由4（ρ2-4）sin2θ=（16-ρ2）cos2θ得4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=16，利用互化公式可得x2+4y2=16；所以曲线E的直角坐标方程为：x2+4y2=16．（2）直线l的普通方程为：x-2y+3=0，设P（4cosα，2sinα），则M（2cosα，sinα）点M到直线l的距离d==≤=解析：（1）利用互化公式ρcosθ=x，ρsinθ=y，可得E的普通方程；（2）先l的参数方程化普通方程，再利用E的参数方程设出P点，利用中点公式得M，用点到直线距离公式求得M到直线l的距离，再求最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）∵a＞0，b＞0，a+b=4，∴+=（+）•（a+b）=（2++）≥（2+2）=1，当且仅当a=b=2时取“=”；∴+的最小值为1；（2）若|x+m|-|x-2|≤+对任意的实数x恒成立，则|x+m|-|x-2|≤对任意的实数x恒成立，即|x+m|-|x-2|≤1对任意的实数x恒成立；∵|x+m|-|x-2|≤|（x+m）-（x-2）|=|m+2|，即|m+2|≤1，∴-1≤m+2≤1，解得-3≤m≤-1，∴m的取值范围是-3≤m≤1．解析：（1）由题意，利用基本不等式求出+=（+）•（a+b）的最小值；（2）把问题等价于|x+m|-|x-2|≤对任意的实数x恒成立，即|x+m|-|x-2|≤1对任意的实数x恒成立，利用绝对值不等式转化为关于m的不等式，求出解集即可．本题考查了含有绝对值的不等式应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是中档题．。

数学（理）试题注意事项：1．本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i 是虚数单位，复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭A ．-3－4iB ．-3 +4iC ．3－4iD ．3+4i【答案】A【解析】()()()22234338634121i i i i i i i i i i i --⋅--⎛⎫====-- ⎪+⋅⎝⎭+。

2．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f （x ）=2x 2－x ，则f （1）=A ．3B ．-1C ．1D ．-3 【答案】D【解析】因为当x ≤0时，f （x ）=2x 2－x ，所以()13f -=，又因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以()13f =-。

3．某程序框图如图所示，若输出的S =57，则判断框内为 A ．k>4？ B ．k>5? C ．k>6？ D ．k>7？ 【答案】A【解析】第一次循环：12,24k k S S k =+==+=，此时应不满足条件，再次循环；第二次循环：13,211k k S S k =+==+=，此时应不满足条件，再次循环；第三次循环：14,226k k S S k =+==+=，此时应不满足条件，再次循环；第四次循环：15,257k k S S k =+==+=，此时应满足条件结束循环，输出S 的值为57，所以判断框里的条件应该是k>4？。

2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知A ={x|x 2−2x ≤0}，B ={x|y =lgx}，则A ∪B =( )A. RB. (0,+∞)C. [0,+∞)D. [1,+∞)2. 若复数z =4−i ，则z−z=( )A. −1517+817iB. 1+817iC. 1517+817iD. 1517−817i3. 已知平面向量a ⃗ =(k,3),b ⃗ =(1,4)，若a ⃗ ⊥b⃗ ，则实数k 为( ) A. −12 B. 12C. 43D. 344. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点F 作斜率为k 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB|=3p ，则k =( )A. √2B. −√2C. ±√2D. ±25. 函数f(x)=x4x 2−1的部分图象大致是( )A.B.C.D.6. 已知圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. (1,√3)B. (1,2)C. (√3,+∞)D. (2,+∞)7. 具有线性相关关系的两变量x ，y 满足的一组数据如表，若y 与x 的回归直线方程为y ̂=3x −32，则m 的值为( )x0123y−11m7A. 4B. 92C. 5D. 68.若m，n是两条不同的直线，m⊥平面α，则“m⊥n”是“n//α”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知函数f(x)是定义在上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=log 2(1−x).若f(a2−1)<1，则实数a的取值范围是()A. (−√2,0)∪(0,√2)B. (−√2,√2)C. (−1,0)∪(0,1)D. (−1,1)10.将函数y=sin(2x+π3)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π6个单位，所得函数的一个对称中心可以是()A. (0,0)B. (π6,0) C. (π3,0) D. (π2,0)11.在(1+x)6(1−2x)展开式中，含x5的项的系数是A. 36B. 24C. −36D. −2412.已知函数f(x)=a(2a−1)e2x−(3a−1)(x+2)e x+(x+2)2有4个不同的零点，则实数a的取值范围为( )A. (12,e) B. (12,e+12)C. (12,1)∪(1,e) D. (12,1)∪(1,e+12)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x,y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=3x−y的最小值等于______．14.某班星期二的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要安排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理各1节，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则共有___________种安排方法(用数字作答)．15.在ΔABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若ccosB+bcosC=2acosA，M为BC的中点，且AM=1，则b+c的最大值是________．16.类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a的正四面体的内切球半径为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.若一个数列的奇数项与偶数项分别都成等比数列，则称该数列为“亚等比数列”，已知数列{a n}：a n=2 [n2]，n∈N∗其中[x]为x的整数部分，如[5.9]=5，[−1.3]=−2(1)求证：{a n}为“亚等比数列”，并写出通项公式；(2)求{a n}的前2014项和S2014．18.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点．(1)求直线EC与AF所成角的余弦值．(2)求二面角E−AF−B的余弦值．19.在合作学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担A，B，C，D四项不同的任务，每个同学只能承担一项任务．(1)若每项任务至少安排一位同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；(2)设这五位同学中承担任务A的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．20.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆C所截线段的长及中点坐标21.函数f(x)=−lnx+12ax2+(a−1)x−2(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a>0，求证：f(x)≥−32a．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．(1)求证：直线l与圆C必有两个公共点；(2)已知点M的直角坐标为(1,0)，直线l与圆C交于A，B两点，若||MA|−|MB||=1，求cosα的值．23.已知函数f(x)=|x+1|−|4−2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x−1)的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m，且2a+b=m(a>0,b>0)，求2a +1b的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A ={x|x 2−2x ≤0}={x|0≤x ≤2}， B ={x|y =lgx}={x|x >0}， 则A ∪B ={x|x ≥0}=[0,+∞)． 故选：C ．化简集合A 、B ，根据并集的定义写出A ∪B ． 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：∵z =4−i ，∴z −z =4+i4−i =(4+i)2(4−i)(4+i)=1517+817i ． 故选：C ．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题． 由条件利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得k 的值． 解：∵平面向量a ⃗ =(k,3)，b ⃗ =(1,4)，a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴a ⃗ ·b⃗ =k +12=0， 解得k =−12， 故选A ．4.答案：C解析：本题考查了抛物线的定义，性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．依题意，设过点F 的直线方程为y =k(x −p2)，与抛物线方程联立，利用韦达定理可得x 1+x 2=k 2p+2p k 2，根据|AB|=x 1+x 2+p ，即可求得结果． 解：设过点F 的直线方程为y =k(x −p2)，联立方程{y =k (x −p2)y 2=2px ，消y 得k 2x 2−(k 2p +2p )x +k 2p 24=0，Δ>0恒成立，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=k 2p+2p k 2，因为|AB|=x 1+x 2+p ， 所以k 2p+2p k 2+p =3p ，解得k 2=2⇒k =±√2．故选C ．5.答案：A解析：本题主要考查函数图象的识别，利用函数奇偶性和特殊值进行排除是解决本题的关键．属于基础题． 判断函数的奇偶性，判断函数的对称性，利用特殊值法进行排除判断即可． 解：由4x 2−1≠0，得x 2≠14，得x ≠±12，所以函数f(x)的定义域为{x |x ≠±12}，关于原点对称，函数f(−x)=−x4(−x)2−1=−x4x 2−1=−f(x)，则函数为奇函数，可排除C ，D ， 当x =1时，f(1)=14−1=13>0，排除B ． 故选：A ．6.答案：D解析：本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 先求出切线的斜率，再利用圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，可得ba >√3，即可求出双曲线C 的离心率的取值范围． 解：由题意，圆心到直线的距离d =√k 2+1=√32， ∴k =±√3，∵圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，∴ba >√3， ∴1+b 2a 2>4， 即c 2a 2>4，∴e >2， 故选：D ．7.答案：C解析：本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．由表中数据计算x −、y −，把样本中心点代入线性回归方程中，求得m 的值．解：由表中数据，计算x −=14×(0+1+2+3)=1.5， y −=14×(−1+1+m +7)=m+74，把样本中心点(1.5,m+74)代入线性回归方程y ̂=3x −32中，得m+74=3×1.5−32，解得m =5． 故选C ．8.答案：B解析：解：∵m ，n 是两条不同的直线，m ⊥平面α， ∴“m ⊥n ”推不出“n//α”， “n//α”⇒“m ⊥n ”，∴“m⊥n”是“n//α”的必要不充分条件．故选：B．“m⊥n”推不出“n//α”，“n//α”⇒“m⊥n”．本题考查命真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．9.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性、函数的单调性，一元二次不等式的解法，属于中档题．当x≤0时，f(x)=log2(1−x)为减函数，结合偶函数f(x)满足f(−1)=1，可得答案．解：当x≤0时，f(x)=log2(1−x)为减函数．令f(x)=1，即log2(1−x)=1，解得x=−1．又函数f(x)是定义在上的偶函数，若f(a2−1)<1，则a2−1∈(−1,1)，解得a∈(−√2,0)∪(0,√2).故选A．10.答案：D解析：解：将函数y=sin(2x+π3)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，可得y=sin(x+π3)的图象；再向左平移π6个单位，可得y=sin(x+π6+π3)=cosx的图象，故它的一个对称中心可以是(π2,0)，故选：D．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得平移后函数的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：D解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 把(1+x)6按照二项式定理展开，可得(1+x)6(1−2x)展开式中，含x 5的项的系数．解：∵(1+x)6展开式中，x 4系数为C 64，x 5系数为C 65，可得(1+x)6(1−2x)展开式中，含x 5的项的系数为1×C 65+(−2)×C 64故展开式中含x 5的系数为6−30=−24， 故选D ．12.答案：D解析：本题考查了函数零点与方程根的关系，利用导数求函数的最值，属于中档题． 由题意可得a =x+2e x, 2a −1=x+2e x，令g(x)=x+2e x，求导，利用导数可得g(x)max =g(−1)=e ，可得，解不等式即可． 解：由得即a =x+2e x, 2a −1=x+2e x，令g(x)=x+2e x，g′(x)=−(x+1)e x，所以g(x)在(−∞, −1)上单调递增，在(−1, +∞)上单调递减，g(−2)=0， 所以g(x)max =g(−1)=e ，当x >−2, g(x)>0.x →−∞, g(x)→−∞，x →+∞, g(x)→0+， 要使方程有4个不同的零点，则{0<a <e,0<2a −1<e, 2a −1≠a ⇒12<a <1+e2, a ≠1, 即实数a 的取值范围为(12,1)∪(1,e+12)．故选D ．13.答案：−72解析：作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ， 则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)，所以z =3x −y 的最小值z min =3⋅(−1)−12=−72． 故答案为：−72．14.答案：408解析：本题考查排列组合的综合应用，属基础题目． 对数学是否排在上午第一节进行分类即可．解：上午第一节排数学，有A 55=5×4×3×2×1=120种排法， 上午第一节不排数学，也不排体育，数学又必须在上午，所以有A 41×A 31×A 44=4×3×4×3×2×1=288．所以共有120+288=408种方法． 故答案为408种．15.答案：4√33解析：本题考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于综合题，先由正弦定理和ccosB +bcosC =2acosA ，求得，再由余弦定理a 2=b 2+c 2−bc ，b 2+c 2=2+a 22消去a 得(b +c)2=4+bc ，再利用基本不等式可得．解：∵ccosB +bcosC =2acosA ，，，解得，在ΔABC 中，由余弦定理a 2=b 2+c 2−bc ，①在ΔAMC 中，， 在ΔAMB 中，，∴b 2+c 2=2+a 22，②由①②消去a 得(b +c)2=4+bc ， ∴(b +c)2=4+bc ≤4+(b+c)24，当且仅当b =c 取“=”，∴b +c ≤4√33，即b +c 的最大值是4√33． 故答案为4√33． 16.答案：√612a解析：本题考查了类比推理，平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，证明时连接球心与正四面体的四个顶点，把正四面体分成四个高为r 的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．解：设正四面体的内切球半径为r ，各面面积为S ，正四面体的高为h ， 所以13×ℎ×S =4×13×r ×S ，．故答案为√612a ．17.答案：解：(1)若n 为偶数，不妨设n =2k ，k ∈Z ，则[n2]=[k]=k =n2，此时a n =2 [n2]=2n2． 此时a n+2a n =2n+222n 2=2为常数，此时数列{a n }是公比为2，首项a 2=2的等比数列．若n 为奇数，不妨设n =2k −1，则[n 2]=[2k−12]=k −1=n+12−1=n−12，则a n =2[n2]=2n−12．此时a n+2a n=2n+2−122n−12=2为常数，此时数列{a n }是公比为2，首项a 1=1的等比数列．即{a n }为“亚等比数列，且a n ={2n−12,n =2k −1,k ∈Z2n 2,n =2k,k ∈Z．(2)∵a n ={2n−12,n =2k −1,k ∈Z2n 2,n =2k,k ∈Z，奇数项是公比为2，首项a 1=1的等比数列，偶数项是公比为2，首项a 2=2的等比数列， ∴{a n }的前2014项和S 2014=S 奇+S 偶=1×(1−21007)1−2+2×(1−21007)1−2=3⋅21007−3．解析：(1)根据条件求数列的通项公式，利用{a n }为“亚等比数列的条件分别证明奇数项和偶数项是等比数列即可得，(2)利用分组求和和将数列分为奇数项和偶数项，然后利用等比数列的求和公式即可求{a n }的前2014项和S 2014．本题主要考查等比数列的通项公式以及数列求和，根据定义求出数列的通项公式是解决本题的关键．18.答案：解：(1)如图建立空间直角坐标系，则A(2,0，0)，F(0,1，0)，C(0,2，0)，E(2,1，2)， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,2)． ∴cos <AF,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CE⃗⃗⃗⃗⃗ >=22222=−√53， 故直线EC 与AF 所成角的余弦值为√53．(2)平面ABCD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)． 设平面AEF 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，∴{−2x +y =0y +2z =0, 令x =1，则y =2，z =−1⇒n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−1)， ∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4+1=−√66． 由图知二面角E −AF −B 为锐二面角，所以其余弦值为√66．解析：本题考查利用空间向量求异面直线夹角及二面角的余弦值，属于中档题．(1)通过建立空间直角坐标系，得到AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用它们的夹角公式即可得到异面直线EC 与AF 所成角的余弦值；(2)利用线面垂直的性质及空间向量求出平面ABCD 与平面AEF 的一个法向量，利用法向量的数量积公式即可得到二面角的余弦值．19.答案：解：(1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件M ，则P(M)=A 44C 52A 44=110，所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是P(M)=1−P(M)=910， 答：甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是910； (2)ξ的可能取值为ξ=0,1,2,3,4,5， P(ξ=0)=3545=(34)5， P(ξ=1)=C 51⋅3445=5⋅3445， P(ξ=2)=C 52⋅3345=10⋅3345， P(ξ=3)=C 53⋅3245=10⋅3245，P(ξ=4)=C 54⋅3145=1545，P(ξ=5)=C 55⋅3045=145，ξ的分布列为：所以E (ξ)=∑i ⋅P i 5i=0=54．解析：本题考查离散型随机变量的期望的求解及古典概型．(1)利用古典概型求出甲、乙两人同时承担同一项任务的概型，然后利用对立事件的概率公式求解即可；(2)分析ξ的取值，求出各自的概率，得出分布列，再求期望．20.答案：解：(1)由题意得：b =4,c a =35，又因为a 2=b 2+c 2，解得a =5，椭圆C 的方程为x 225+y 216=1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x −3)， 设直线被椭圆C 所截线段的端点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)， 中点为M(x 1+x 22,y 1+y 22)，y =45(x −3)与x 225+y 216=1联立消元得：x 2−3x −8=0，△=41>0，x 1+x 2=3，x 1x 2=−8，x 1+x 22=32,y 1+y 22=45(32−3)=−65，所以，直线被椭圆C 所截线段中点坐标为(32,−65)； |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(1+1625)(x 1−x 2)2=√415√(x 1+x 2)2−4x 1x 2，|AB|=√415√9+32=415，直线被椭圆C 所截线段长为415．解析：本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．(1)利用椭圆的离心率以及椭圆经过的点，转化求解椭圆方程即可．(2)求出直线方程，利用椭圆方程联立通过中点坐标，弦长公式转化求解即可．21.答案：解：(1)f′(x)=−1x +ax +(a −1)=ax 2+(a−1)x−1x=(ax−1)(x+1)x(x >0).①当a ≤0时，f ′(x)<0，则f(x)在(0,+∞)上单调递减；②当a >0时，由f ′(x)>0解得x >1a ，由f ′(x)<0解得0<x <1a ．即f(x)在(0 , 1a )上单调递减；f(x)在(1a ,+∞)上单调递增；综上，a ≤0时，f(x)的单调递减区间是(0,+∞)，没有单调递增区间； a >0时，f(x)的单调递减区间是(0 , 1a )，f(x)的单调递增区间是(1a ,+∞)． (2)由(1)知f(x)在(0 , 1a )上单调递减；f(x)在(1a ,+∞)上单调递增， 则f(x)min =f(1a )=lna −12a −1．要证f(x)≥−32a ，即证lna −12a −1≥−32a ，即lna +1a −1≥0， 构造函数μ(a)=lna +1a −1，则μ′(a)=1a −1a 2=a−1a 2，由μ′(a)>0解得a >1，由μ′(a)<0解得0<a <1， 即μ(a)在(0,1)上单调递减；μ(a)在(1,+∞)上单调递增； ∴μ(a)min =μ(1)=ln1+11−1=0， 即lna +1a −1≥0成立． 从而f(x)≥−32a 成立．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道中档题．(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性求出f(x)的最小值，问题转化为lna +1a −1≥0，构造函数μ(a)=lna +1a −1，根据函数的单调性证明即可．22.答案：解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −5=0． 法一：将直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数).代入x 2+y 2−4x −5=0， 得t 2−2tcosα−8=0，(∗)∴Δ=4cos 2α+32>0， ∴方程(∗)有两个不等的实数解． ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．法二：直线l 过定点(1,0)，(1,0)在圆C 内， ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．(2)记A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由(1)可知t1+t2=2cosα，t1t2=−8<0，∴||MA|−|MB||=|t1+t2|=2|cosα|=1，∴cosα=±12．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2，因为f(x)≥13(x−1)，所以{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1)，解得1≤x≤2或2<x≤4．故不等式f(x)≥13(x−1)的解集为[1,4]．(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3．因为2a+b=3(a>0,b>0)，所以2a +1b=13(2a+b)(2a+1b)=13(2ab+2ba+5)≥13×(2×2+5)=3，当且仅当a=b=1时，等号成立，故2a +1b的最小值是3．解析：(1)将函数f(x)化为分段函数的形式，再分类讨论去掉绝对值，解不等式组后取并集即可得到解集；(2)由(1)知，2a+b=3，再利用基本不等式即可求得所求式子的最小值．本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题．。

兰州市高三诊断考试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M C N =I （ ）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞2.已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A ．复数z 的实部为5B ．复数z 的虚部为12iC ．复数z 的共轭复数为512i +D ．复数z 的模为133.已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()a a =（ ）A ．．．4.双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A ．54B ．5C ．4D 5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r ，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 等于（ ）A ．49-B ．43-C ．43D ．496.数列{}n a 中，11a =，对任意*n N ∈，有11n n a n a +=++，令1i i b a =，*()i N ∈，则122018b b b ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．20171009B ．20172018C ．20182019D ．403620197.若1(1)n x x ++的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0,]π和[0,]4n 内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（ ）A ．11π- B ．21π- C ．31π- D ．128.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A．3π B．3π C．3π D．4π9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S的值是（）A．1008 B．2017 C．2018 D．302510.设p：实数x，y满足22(1)[(22)]x y-+-322≤-；q：实数x，y满足111x yx yy-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件11.已知圆C：22(1)(4)10x y-+-=和点(5,)M t，若圆C上存在两点A，B使得MA MB⊥，则实数t 的取值范围是（）A．[2,6]- B．[3,5]- C．[2,6] D．[3,5]12.定义在(0,)2π上的函数()f x，已知'()f x是它的导函数，且恒有cos'()sin()0x f x x f x⋅+⋅<成立，则有（）A．()2()64fππ> B3()()63fππ> C．()3()63fππ> D．()3()64fππ>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin()45πα-=-，则cos()4πα+=．14.已知样本数据1a，2a，……2018a的方差是4，如果有2i ib a=-(1,2,,2018)i=⋅⋅⋅，那么数据1b，2b，……2018b 的均方差为． 15.设函数()sin(2)f x x ϕ=+()2πϕ<向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则ϕ=． 16.函数23()123x x f x x =+-+，23()123x x g x x =-+-，若函数()(3)(4)F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[,](,,)a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知向量(cos 2,sin 2)a x x =r ，(3,1)b =r ，函数()f x a b m =⋅+r r .（1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.18.如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G =I ，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：C o ）的相关数据，如下表：x 11 9 8 5 2y 7 8 8 1012 （1）试求y 与x 的回归方程y bxa =+； （2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6C o ，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；（3）假定该地12月份的日最高气温2(,)X N μσ:，其中μ近似取样本平均数x ，2σ近似取样本方差2s ，试求(3.813.4)P X <<.附：参考公式和有关数据$1122211()()()n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑$$3.2≈1.8≈，若2(,)X N μσ:，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，且(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P .（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R ，T 两点，且12l l ⊥，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）. ①设00(,)W x y ，证明：220012x y +<； ②求四边形QRST 的面积的最小值.21.已知函数1()1x x t f x e x -+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）证明：当1x >时，①1，②1x e x ->； （2）证明：对任意1x >，1t >-，有1()ln )2f x x >+. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程是2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+. （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值.23.[选修4-5：不等式选讲] 设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集；（2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.兰州市高三诊断考试 数学（理科）试题参考答案及评分参考 一、选择题 1-5: CDADA 6-10: DBBAB 11、12：CC 二、填空题 13. 25- 14. 2 15. 3π 16. 10 三、解答题17.（1）由题意知：()cos(2,sin 2)f x x x =(3,1)m ⋅+3cos 2sin 2x x m =++2sin(2)3x m π=++， 所以()f x 的最小正周期为T π=.（2）由（1）知：()2sin(2)3f x x m π=++， 当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈. 所以当4233x ππ+=时，()f x 的最小值为3m -+. 又∵()f x 的最小值为5，∴35m -+=，即53m =+.18.（1）因为AD ⊥面ABE ，所以AD AE ⊥，又//BC AD ，所以BC AE ⊥.因为BF ⊥面ACE ，所以BF AE ⊥.又BC BF B =I ，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE .（2）方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF CE ⊥，又BC BE =，所以F 为CE 中点，在DEC ∆中，22DE CE CD ===DF CE ⊥，BFD ∠为二面角B CE D --的平面角，222cos 2BF DF BD BFD BF DF +-∠=⋅⋅3226==⋅⋅∴平面BCE 与平面CDE所成角的余弦值为3. 方法2： 以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,0,0)E ，(2,0,0)B ，(2,0,2)C ，(0,2,2)D ，设平面BCE 的法向量1n u r ，平面CDE 的法向量为2n u u r ，易知1(0,1,0)n =u r ，令2(,,)n x y z =u u r ，则2200n EC n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r ，故220220x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得111x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，2(1,1,1)n =-u u r ， 于是，12cos ,n n <>u r u ur 1212n n n n ⋅==u r u u r u r u ur =此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.（1）由题意，7x =，9y =，1n i i i x y nx y =-∑28757928=-⋅⋅=-， 221n i i x nx =-∑22955750=-⋅=，280.5650b =-=-$，$a y bx =-$9(0.56)712.92=--⋅=. 所以所求回归直线方程为$0.5612.92y x =-+.（2）由0.560b=-<$知，y 与x 负相关.将6x =代入回归方程可得， $0.56612.929.56y =-⋅+=，即可预测当日销售量为9.56kg .（3）由（1）知7x μ≈=， 3.2σ≈=，所以(3.813.4)P X <<(2)P X μσμσ=-<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+0.8185=.20.解：（1）设动圆半径为r ，由于D 在圆内，圆P 与圆C 内切，则PC r =，PD r =，PC PD +=2CD >=，由椭圆定义可知，点P 的轨迹E是椭圆，a =1c =，1b ==，E 的方程为2212x y +=. （2）①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上，则有22001x y +=，又因Q ，R ，S ，T 为不同的四个点，220012x y +<.②解：若1l 或2l 的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2.若两条直线的斜率存在，设1l 的斜率为1k ，则1l 的方程为1(1)y k x =+， 解方程组122(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(21)4k x k x ++2220k +-=，则QS =，同理得RT = ∴12QSRT S QS RT =⋅2222(1)4(21)(2)k k k +=++2222(1)49(1)4k k +≥+169=， 当且仅当22212k k +=+，即1k =±时等号成立.综上所述，当1k =±时，四边形QRST 的面积取得最小值为169. 21.解：（1）令()ln1)m x =，则1'()2m x x =-1)0=<，()m x 为(1,)+∞上的减函数，而(1)0m =，所以()ln1)0m x =<，1<成立； 令1()x n x e x -=-，则1'()10x n x e -=->，()n x 为(1,)+∞上的增函数，而(1)0n =，所以1()0x n x ex -=->，1x e x ->成立. （2）1()ln )2f x x >+，即11x x t e x -+-1ln )2x >+ln =+， 由（1）1<，所以1+<，ln+x <=，所以，只需证11x x t x e x -+<-，即12()x x t e x x -+>-， 由（1）1x e x ->，所以只需证2()x x t x x +>-，只需证1x t x +>-，即1t >-， 上式已知成立，故原式成立，得证.22.解：（1）∵ρθθ=，∴2cos sin ρθθ=，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-=，即22((122x y -++=，∴圆心直角坐标为22-.（2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是==≥， ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值是方法2：直线l的普通方程为0x y -+=，∴圆心C 到直线l|5++=， ∴直线l 上的点向圆C=23.解：（1）当2a =时，2221x x x -+≥+， 所以21x -≥，所以3x ≥或1x ≤，解集为(,1][3,)-∞+∞U .（2）3,(),x a x a f x x a x a -≥⎧=⎨+<⎩，因为0a >，∴x a ≥时，320x a a -≥>恒成立， 又x a <时，当2x >-时，2x a a +>-+，∴只需20a -+≥即可，所以2a ≥.。

高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.=（）A. B. C. D.2.已知全集U=R，集合A={x|-3≤x≤1}，B={x|x＜-2，或x＞2}，那么集合A∩（∁U B）=（）A. {x|-3≤x＜-2}B. {x|-3≤x＜2}C. {x|-2≤x≤1}D. {x|x≤1，或x≥2}3.已知平面向量，的夹角为，=（0，-1），||=2，则|2+|=（）A. 4B. 2C. 2D. 24.抛物线y2=8x的焦点到双曲线-x2=1的渐近线的距离是（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A. f（x）=e|x|•cos xB. f（x）=ln|x|•cos xC. f（x）=e|x|+cos xD. f（x）=ln|x|+cos x6.若函数f（x）=a sin x+cos x在[-，]为增函数，则实数a的取值范围是（）A. [1，+∞）B. （-∞，-]C. [-，1]D. （-∞，-]∪[1，+∞）7.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A.B.C.D.8.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（）A. B. C. D. C C C9.在△ABC中，A=120°，BC=14，AB=10，则△ABC的面积为（）A. 15B. 15C. 40D. 4010.四棱锥P-ABCD的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形ABCD的边长为4，则四棱锥P-ABCD的体积最大值为（）A. B. C. D.11.直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知，则p=（）A. 2B.C.D. 412.已知函数f'（x）是函数f（x）的导函数，，对任意实数都有f（x）-f'（x）＞0，则不等式f（x）＜e x-2的解集为（）A. （-∞，e）B. （1，+∞）C. （1，e）D. （e，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x，y满足约束条件，则z=x-y的最大值是______．14.已知α，β均为锐角，cosα=，tan（α-β）=-，则cosβ=______．15.直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为正三角形，AB=2，D是AB的中点，异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，则三棱柱ABC-A1B1C1的表面积等于______．16.已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），且在区间[0，2]上是增函数，①函数f（x）的一个周期为4；②直线x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴；③函数f（x）在[-6，-5）上单调递增，在[-5，-4）上单调递减；④函数f（x）在[0，100]内有25个零点；其中正确的命题序号是______（注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足a3-a2=3，a2+a4=14．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n是等比数列{b n}的前n项和，若b2=a2，b4=a6，求S7．18.为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：cm），经统计其增长长度均在区间[19，31]内，将其按[19，21），[21，23），[23，25），[25，27），[27，29），[29，31]分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为27cm及以上的产品为优质产品．（Ⅰ）求图中a的值；120A B两个试验区，部分数据如下列联表：将联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系，并说明理由；下面的临界值表仅供参考：（参考公式：，其中n=a+b+c+d）（Ⅲ）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数X的分布列和数学期望EX．19.如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠ADC=120°，PD=AD=AB=2，CD=4，点M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）求二面角A-BM-C的余弦值．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与x轴不垂直的直线l经过N（0，），且与椭圆C交于A，B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l斜率的取值范围．21.已知函数f（x）=x2-x lnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若+-＜0在（1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）求C1和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（3，2）作直线C1的垂线交曲线C2于M，N两点，求|PM|•|PN|．23.已知函数f（x）=|x-2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x-m）-f（-x）≤恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：=．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∁U B={x|-2≤x≤2}；∴A∩（∁U B）={x|-2≤x≤1}．故选：C．进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集和补集的运算．3.【答案】B【解析】解：由题意，∵=（0，-1），=1．∴|2+|2=（）2=42+2+4=4•1+4+4=8+4•cos=8+4•1•2•（-）=4．∴|2+|=2．故选：B．本题可将模进行平方一下，然后根据向量性质计算，最后得出模平方的值，最终算出结果．本题主要根据向量性质进行计算，属基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和焦点的求法，属于基础题．求得抛物线的焦点和双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得所求距离．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线-x2=1的一条渐近线方程设为y=2x，可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线距离为=．故选：C．5.【答案】D【解析】解：由图可知f（）＞0，故可排除A，B；对于C：f（x）=e|x|+cos x，当x∈（0，1）时f（x）＞0，故可排除C．故选：D．采用排除法排除A，B，C．本题考查了函数图象与图象的变换，属中档题．6.【答案】A【解析】解：①当a=0时，函数f（x）=a sin x+cos x在[-，]上先增后减，结论不成立．②当a≠0时，f（x）=a sin x+cos xf′（x）=a cos x-sin x，若f（x）在[-，]上为单调增函数，则a cos x-sin x≥0在[-，]上恒成立，故a≥tan x在[-，]上恒成立，而y=tan x在[-，]上的最大值是1，∴a≥1．∴实数a的取值范围是[1，+∞）．故选：A．先看a=0时，已知条件不成立，再看a≠0时，求出函数的导数，结合三角函数的性质求出a的范围即可．本题主要考查了三角函数的性质，三角函数的单调性，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=+++…+=1-+-+…+-=1-，∵满足条件k＞10的最小k=11，∴当k=11时，程序运行终止，此时S=1-=．故选：C．算法的功能是求S=+++…，判断当k=11时，程序运行终止，利用裂项相消法求出S值．本题考查了循环结构的程序框图，由框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键．8.【答案】A【解析】解：将14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5则不同的分配方法有，故选：A．根据题意，分析有14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5，计算即可本题考查分组分配的问题，先分组再分配时关键，属于中档题．9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．由已知利用余弦定理可求AC的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵A=120°，BC=14，AB=10，∴由余弦定理可得：142=102+AC2-2×10×AC×cos A，可得：AC2+10AC-96=0，∴解得：AC=6或-16（舍去），∴S△ABC=AB•AC•sin A==15．故选：B．10.【答案】D【解析】【分析】由题意，可得当四棱锥P-ABCD为正四棱锥时体积最大，画出图形，求出四棱锥的高，代入棱锥体积公式求解．本题考查球内接多面体体积最值的求法，明确当四棱锥P-ABCD为正四棱锥时体积最大是关键，是中档题．【解答】解：四棱锥P-ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD为正方形，球的半径为3，下底面的边长为4，若四棱锥P-ABCD的体积最大，则球心在高上，且四棱锥为正四棱锥．设四棱锥的高为h，则下底面的中心G到B的距离GB=，可得OG2+GB2=OB2，即，可得h=2（舍）或h=4．则该四棱锥的体积的最大值V=．故选D．11.【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义、相似三角形的性质即可求出．熟练掌握抛物线的定义、相似三角形的性质是解题的关键．【解答】解：过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D．准线与x轴交于点G，∵，∴|AE|=4，|CB|=3|BF|，且|BF|=|BD|，设|BF|=|BD|=a，则|BC|=3a，根据三角形的相似性可得，即，解得a=2，∴，即，∴．故选：C．12.【答案】B【解析】解：设g（x）=，则g′（x）==．∵对任意实数都有f（x）-f'（x）＞0，∴g′（x）＜0，即g（x）为R上的减函数．g（1）=．由f（x）＜e x-2，得，即g（x）＜g（1）．∵g（x）为R上的减函数，∴x＞1．∴不等式f（x）＜e x-2的解集为（1，+∞）．故选：B．由已知f（x）-f'（x）＞0，可联想构造函数g（x）=，利用导数得其单调性，把要求解的不等式转化为g（x）＜g（1）得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，是中档题．13.【答案】8【解析】解：画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数z=x-y过点A时取得最大值，由，解得A（6，-2），代入计算z=6-（-2）=8，所以z=x-y的最大值为8．故答案为：8．画出约束条件表示的平面区域，利用图形求出最优解，计算目标函数的最大值．本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：∵0＜α＜，cosα=，∴sinα=，∴tanα=．∵tan（α-β）===-，解得tanβ=．联立，解得cosβ=（β为锐角）．故答案为：．由已知求得tanα，进一步求得tanβ，结合平方关系即可求得cosβ．本题考查了三角函数的基本关系式、正切公式、两角和的余弦公式等基础知识与基本方法，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设三棱柱高为h，以A为坐标原点，建立如图坐标系，则A（0，0，0），B（1，，0），C（2，0，0），D（，，0），C1，（2，0，h），∴=（2，0，h），=（-2，，0）=（-，，0），异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，∴与所成角的余弦值的绝对值为，∴==，解得h=2，∴三棱柱的表面积为：S=2×+（2+2+2）×2=．故填：14．设三棱柱的高为h，建立坐标系后，根据异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，求出h，即可求出表面积．本题适合用坐标法处理，但是要注意向量夹角与直线夹角的区别，属于基础题．16.【答案】①②④【解析】解：∵偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），∴令x=-2得满足f（-2+4）=f（-2）+f（2），即f（2）=f（2）+f（2）得f（2）=0，则f（x+4）=f（x）即函数f（x）是周期为4的周期函数，故①正确，∵f（x）是偶函数，∴图象关于y轴即x=0对称，函数的周期是4，∴x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴，故②正确，∵在区间[0，2]上是增函数，∴在区间[-2，0]上是减函数，则在区间[-6，-4]上是减函数，故③错误，∵f（2）=0，∴f（-2）=0，即函数在一个周期[0，4）内只有一个零点，则函数f（x）在[0，100]内有25个零点，故④正确，故正确的是①②④，故答案为：①②④．根据函数的奇偶性和条件，得到f（2）=0，即函数是周期为4的周期函数，结合的周期性，奇偶性以及对称性的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的奇偶性，周期性，对称性以及单调性的性质是应用，根据条件求出函数的周期是解决本题的关键．17.【答案】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3-a2=3，a2+a4=14．∴d=3，2a1+4d=14，解得a1=1，d=3，∴a n=1+3（n-1）=3n-2．（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，b2=a2=4=b1q，b4=a6=16=b1q3，联立解得b1=2=q，b1=-2=q，∴S7==254，或S7==-86．【解析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，由a3-a2=3，a2+a4=14．可得d=3，2a1+4d=14，联立解得a1，d，即可得出．（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，b2=a2=4=b1q，b4=a6=16=b1q3，联立解得b1，q，利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图数据，得：2（a+a+2a+0.2+0.2）=1，解得a=0.025．（Ⅱ）根据频率分布直方图得：样本中优质产品有120（0.100×2+0.025×2）=30，∴=≈10.3＜10.828，∴有99.9%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系．（Ⅲ）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），∴P（X=0）==，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，EX=4×=1．【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图的性质列方程能求出a．（Ⅱ）根据频率分布直方图得样本中优质产品有30，作出列联表，求出k2≈10.3＜10.828，从而有99.9%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系．（Ⅲ）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），由此能求出抽取的这4件产品中含优质产品的件数X的分布列和数学期望EX．本题考查频率、独立检验、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）取PD的中点E，连结AE，EM，∵M是棱PC的中点，∴EM∥CD，且EM=CD，∵AB∥CD，AB=2，CD=4，∴EM∥AB，EM=AB，∴四边形ABME是平行四边形，∴BM∥AE，∵BM⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，∴BM∥平面PAD．解：（Ⅱ）以D为原点，以DC、DP分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），P（0，0，2），A（，-1，0），B（，1，0），C（0，4，0），M（0，2，1），=（0，2，0），=（-，1，1），=（-，3，0），设=（x，y，z）是平面ABM的一个法向量，由，即，令x=，得=（），设=（x，y，z）是平面CBM的法向量，由，即，令y=1，得=（，1，2），cos＜＞===，∵二面角A-BM-C的平面角为钝角，∴二面角A-BM-C的余弦值为-．【解析】（Ⅰ）取PD的中点E，连结AE，EM，推导出四边形ABME是平行四边形，从而BM∥AE，由此能证明BM∥平面PAD．（Ⅱ）以D为原点，以DC、DP分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BM-C的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=1，∴椭圆C的方程为+y2=1．（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+，代入椭圆方程+y2=1整理可得得（1+4k2）x2+8kx+4=0，△=（8k）2-16（1+4k2）＞0，解得k＞或k＜-，设A（x1，y1），B（x2，y2），又x1+x2=-，x1•x2=，∴y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+2，∵坐标原点O在以AB为直径的圆内，∴•＜0∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+2=（1+k2）+k（-）+2＜0，解得k＜-或k＞故直线l斜率的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞）．【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=1，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，即可直线l斜率的取值范围．本题考查椭圆方程，考查向量的运算，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、数量积的合理运用，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=x2-x lnx的导数为f′（x）=2x-（ln x+1），可得切线的斜率为1，切点为（1，1），切线方程为y-1=x-1，即y=x；（Ⅱ）若+-＜0在（1，+∞）上恒成立，可得k＜-x lnx+x2在（1，+∞）上恒成立，令y=-x lnx+x2，则y′=-ln x-1+x，y″=-+1＞0，可得y′在（1，+∞）上单调递增，则y′＞-ln1-1+1=0，可得y在（1，+∞）上单调递增，则y＞，则k≤．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（Ⅱ）由题意可得k＜-x lnx+x2在（1，+∞）上恒成立，利用导数确定单调性，求出最值，即可求实数k的取值范围．本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求切线方程和函数的单调区间，同时考查了不等式恒成立问题解法，有一定的综合性．22.【答案】解：（Ⅰ）直线C1的参数方程为（其中t为参数）消去t可得：x-y-1=0，由ρ=得ρ2sin2θ=4ρcosθ，的y2=4x．（x≠0）（Ⅱ）过点P（3，2）与直线C1垂直的直线的参数方程为：（t为参数），代入y2=4x可得t2+8t-16=0设M，N对应的参数为t1，t2，则t1t2=-16，所以|PM||PN|=|t1t2|=16．【解析】（Ⅰ）直线C1的参数方程为（其中t为参数）消去t可得：x-y-1=0，由ρ=得ρ2sin2θ=4ρcosθ，的y2=4x．（x≠0）；（Ⅱ）代入直线的参数方程到曲线C2中，利用参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ），（2分）当时，由3-3x≥6，解得x≤-1；当时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x-3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（-∞，-1]∪[3，+∞）．…（5分）（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（6分）∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x-2-m|-|-x-2|≤9，即[|x-2-m|-|-x-2|]max≤9（7分）∵|x-2-m|-|-x-2|≤|（x-2-m）-（x+2）|=|-4-m|∴-9≤m+4≤9，（9分）∴-13≤m≤5（10分）【解析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。

2020届甘肃省第一次高考诊断考试理科数学试题一、单选题(★) 1 . 已知，，则（）A．B．C．D．(★) 2 . 已知，则（）A．5B．C．13D．(★) 3 . 已知平面向量，满足，，且，则（）A．3B．C．D．5(★) 4 . 已知抛物线经过点，焦点为，则直线的斜率为（）A．B．C．D．(★) 5 . 函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．(★) 6 . 已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2(★) 7 . 网络是一种先进的高频传输技术，我国的技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款手机，现调查得到该款手机上市时间和市场占有率（单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出关于的线性回归方程为.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（）A．2020年6月B．2020年7月C．2020年8月D．2020年9月(★) 8 . 设，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，，则.其中正确的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④(★) 9 . 定义在上的偶函数，对，，且，有成立，已知，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．(★) 10 . 将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．(★) 11 . 若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（）A．85B．84C．57D．56(★) 12 . 若函数有且只有4个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13 . 实数，满足约束条件，则的最大值为__________.(★) 14 . 某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有__________种.(★) 15 . 在中，角，，的对边分别为，，.若；且，则周长的范围为__________.三、双空题(★★★★) 16 . 1611年，约翰内斯·开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想.简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答.2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯·黑尔斯（ Thomas Hales）带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案.现有大小形状都相同的若干排球，按照下面图片中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共__________个，最上面球的球顶距离地面的高度约为__________ （排球的直径约为）四、解答题(★★) 17 . 数列满足，是与的等差中项.（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.(★★) 18 . 如图，正方体的棱长为2，为棱的中点.（1）面出过点且与直线垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求与该平面所成角的正弦值.(★★) 19 . 某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足l小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为，，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为，，且两人健身时间都不会超过3小时.（1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望；（2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.(★★★★★) 20 . 椭圆的右焦点，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点. 为坐标原点，为椭圆的右顶点，求四边形面积的最大值.(★★★★★) 21 . 已知函数.（1）讨论函数单调性；（2）当时，求证：.(★★) 22 . 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：. （1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取得最大值时直线的直角坐标方程.(★★) 23 . 已知函数，不等式的解集为.（1）求实数，的值；（2）若，，，求证：.。