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充分条件和必要条件的判断及应用在数学推理中，充分条件和必要条件是常用的推理方法，用于证明命题的真假以及建立数学定理。
充分条件和必要条件的判断和应用是数学推理中的基本技巧，也是解题的关键。
本文将介绍充分条件和必要条件的概念、判断方法和应用。
一、充分条件和必要条件的概念1. 充分条件：如果一个命题P能推出另一个命题Q，那么我们可以说“P是Q的充分条件”，记作P→Q。
也就是说，如果P成立，则Q一定成立。
2. 必要条件：如果一个命题Q能推出另一个命题P，那么我们可以说“P是Q的必要条件”，记作Q→P。
也就是说，只有当Q成立时，P才能成立。
二、充分条件和必要条件的判断在判断充分条件和必要条件时，我们需要根据命题的逻辑关系进行推理。
1. 充分条件的判断：要判断P是否是Q的充分条件，我们需要假设P成立，然后推导出Q是否成立。
如果P成立时Q也成立，那么可以得出P是Q的充分条件。
2. 必要条件的判断：要判断P是否是Q的必要条件，我们需要假设P不成立，然后推导出Q是否不成立。
如果Q不成立时P也不成立，那么可以得出P是Q的必要条件。
三、充分条件和必要条件的应用充分条件和必要条件在数学中有着广泛的应用，特别是在证明定理和推理问题中。
1. 定理的证明：在证明一个定理时，我们可以通过找到它的充分条件和必要条件来进行推导和证明。
首先，我们根据已知条件推导出充分条件，然后再根据结论推导出必要条件。
最后，我们将充分条件和必要条件结合起来，完成定理的证明。
2. 推理问题的解答：在解答推理问题时，我们可以利用充分条件和必要条件来判断命题的真假。
首先，我们根据已知条件判断出充分条件，然后根据题目要求判断出必要条件。
最后，我们将充分条件和必要条件结合起来，得出问题的解答。
四、充分条件和必要条件的注意事项在应用充分条件和必要条件时，我们需要注意以下几点：1. 逻辑关系的准确性：在判断充分条件和必要条件时，我们需要确保逻辑关系的准确性。
只有当充分条件和必要条件的逻辑关系正确无误时，我们才能进行推理和证明。
学案三 充分条件、必要条件与命题的四种形式一、目标要求理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。
二、知识梳理1、充要条件（1）定义：(2)若p ⇒q ，但q ⇒/p,则p 是q 的若q ⇒p ，但p ⇒/q ，则p 是q 的2、四种命题（1）命题的四种形式：原命题： 逆命题：否命题： 逆否（2）四种命题的关系如下：三、基础训练1、a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行且不重合的（ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件2、在ABC ∆中条件A 〉B 是B A 22cos cos <的 条件3、“ab<0”是方程a c by x =+22表示双曲线的 条件4、(2008山东文)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图像不过第四象限。
在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 （ ）A 、 3B 、 2C 、 1D 、 0 四、典例精析例1（2007山东 理）下列各小题中，p 是q 的充要条件的是① p:62>-<m m 或; q:32+++=m mx x y 有两个不同的零点。
② p:1)()(=-x f x f ；q:)(x f y =是偶函数。
③ p:βαcos cos =；q:βαtan tan =。
④ p:A =B A ；q:AC B C U U ⊆。
A. ①② B.②③ C.③④ D.①④例2已知p:2311≤--x ；q:).0(01222>≤-+-m m x x 若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。
例3已知数列{n a }的前n 项和)10(≠≠+=p p q p s n n 且，求数列{n a }成等比数列的充要条件。
五、综合训练一、选择题1、 条件p:∣x+1|>2;条件q:x>2,则p ⌝是q ⌝的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件︳(C)充要条件 （D ）既不充分也不必要条件2、 是⎩⎨⎧>>3321x x ⎩⎨⎧>>+9x x 6x x 2121成立的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件︳(C)充要条件 （ D ）既不充分也不必要条件3、四个条件b>0>a,0>a>b,a>0>b,a>b>0中，能使ba 11<成立的充分条件的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 (C)3 （D ）44、已知真命题“a c b ⇒≥>d ”和“a<b f e ≤⇔”,那么“d c ≤”是“f e ≤”的（ ）（A ）充分条件 （B ） 必要条件(C)充要条件 （D ）既不充分也不必要条件5、下列四个命题：（1） “若xy=1,则x,y 互为倒数”的逆命题，（2） “相似三角形的周长相等”的否命题，（3） “若a 1≤,则方程0222=++-a a ax x 有实根”的逆命题，（4） “若,B B A =⋃则B A ⊇”的逆否命题其中真命题的是 （ ）A (1)(2) B(2)(3) C (1)(3) D （3）（4）6、已知=a,=b,=c,则a+b+c=0是A,B,C 三点构成三角形的是（ ）（A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件(C)充要条件 （D ）既不充分也不必要条件7、 已知222111,,,,,c b a c b a 均为非零实数，不等式0022221121>++>++c x b x a c x b x a 和的解集分别为集合M 和N,那么“212121c c b b a a ==”是 “M=N ”的( )（A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件(C)充要条件 （D ）既不充分也不必要条件8、 设有如下三个命题：甲：相交的直线l,m 都在平面α内,并且都不在平面β内；乙：直线l,m 中至少有一条与平面β相交;丙：平面α与平面β相交。
命题的充分条件与必要条件命题是我们日常生活中经常遇到的一种表达方式，它是陈述一个观点或者提出一个问题，并要求判断该观点的真假或者回答该问题的正确性。
在逻辑学中，命题可以分为真命题和假命题，而判断一个命题的真假则需要借助充分条件和必要条件的理论。
本文将围绕命题的充分条件与必要条件展开论述，探讨其概念、关系以及应用。
一、充分条件的概念充分条件是指在某个关系中，当满足该条件时，命题成立。
从逻辑学的角度来看，充分条件可通过蕴涵关系来表示。
蕴涵是指如果一个命题A蕴涵另一个命题B，那么当A成立时，B一定成立。
因此，在一个蕴涵关系中，A是充分条件，而B是必要条件。
例如，命题A：“一个人是成年人的充分条件是年满18岁”，在这个命题中，年满18岁是成为成年人的充分条件，也就是说，只要一个人年满18岁，就可以确定其是成年人。
二、必要条件的概念必要条件是指在某个关系中，当满足该条件时，命题才能成立。
与充分条件相对应，必要条件可以通过逆否命题来表示。
逆否命题是指将命题的否定和倒置进行推理得到的新命题。
例如，命题B：“一个人是成年人的必要条件是不是未成年人”，在这个命题中，不是未成年人是成为成年人的必要条件，也就是说，只有一个人不是未成年人，才能确定其是成年人。
三、充要条件的关系充要条件是指一个命题既是充分条件也是必要条件，也就是说充分条件和必要条件同时满足。
例如，命题C：“一个人是成年人的充要条件是年满18岁并且不是未成年人”，在这个命题中，年满18岁并且不是未成年人即是成为成年人的充分条件，也是必要条件。
四、应用举例命题的充分条件与必要条件在数学和科学领域有着广泛应用。
在数学中，例如研究一个数是素数的命题，其充分条件是这个数只能被1和它本身整除，而必要条件是这个数不是任何其他数的因子。
在科学研究中，命题的充分条件与必要条件常用于推理和验证理论。
总结：在判断命题的真假以及进行推理过程中，充分条件和必要条件是两个重要的概念。
充分条件假言命题和必要条件假言命题1. 引言在逻辑学中，条件命题是一种形式为“如果…，那么…”的命题。
充分条件假言命题和必要条件假言命题则是对条件命题进行进一步的分类和分析。
本文将详细介绍充分条件假言命题和必要条件假言命题的概念、特点以及它们在逻辑推理中的应用。
2. 充分条件假言命题2.1 概念充分条件假言命题是指一个复合命题，其形式为“如果p，则q”，表示p是q发生的充分条件。
其中，p称为前件（antecedent），q称为后件（consequent）。
2.2 特点充分条件假言命题具有以下特点：•前件与后件之间存在因果关系：p作为触发某种结果q发生的原因或先决条件。
•后件蕴含前件：即当后件q成立时，前件p必然成立；反过来并不一定成立。
•表示一种可能性：充分条件假言命题描述了某种情况下的可能结果。
2.3 示例以下是一些典型的充分条件假言命题示例：•如果下雨，那么地面湿润。
•如果你不好好学习，那么考试会不及格。
•如果我饿了，我会吃饭。
2.4 应用充分条件假言命题在逻辑推理和证明中具有重要的应用。
通过分析充分条件假言命题的前件和后件之间的关系，可以得出结论或进行推理。
例如，在数学证明中，常常使用充分条件假言命题来说明定理的充要条件。
通过证明定理的充分条件成立，可以得出结论定理也成立。
3. 必要条件假言命题3.1 概念必要条件假言命题是指一个复合命题，其形式为“只有当p时，才能q”，表示p是q发生的必要条件。
其中，p称为充分条件（sufficient condition），q称为必要条件（necessary condition）。
3.2 特点必要条件假言命题具有以下特点：•前件与后件之间存在因果关系：只有满足前件p时才能发生后件q。
•前件蕴含后件：即当前件p成立时，后件q必然成立；反过来并不一定成立。
•表示一种限制或约束：必要条件假言命题描述了发生某种结果q所必需的条件p。
3.3 示例以下是一些典型的必要条件假言命题示例：•只有当你学习努力，才能取得好成绩。
§1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充分条件与必要条件1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．2．若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要不充分条件．知识点二充要条件1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．(×)2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．(√) 3．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)4．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(√)5．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)题型一充分、必要、充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根；(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断解(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)因为m>0⇒方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m>0，即方程有实根，方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0⇏m>0，所以p是q的充分不必要条件．(3)p是q的既不充分也不必要条件．反思感悟充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等； (2)p ：f (x )＝x ，q ：f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数； (3)p ：A ⊆B ，q ：A ∩B ＝A ； (4)p ：a >b ，q ：ac >bc . 考点 充要条件的概念及判断 题点 充要条件的判断解 (1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， ∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵f (x )＝x ⇒f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，但f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数⇏f (x )＝x ，∴p 是q 的充分不必要条件．(3)∵p ⇒q ，且q ⇒p ，∴p 是q 的充要条件．(4)∵p ⇏q ，且q ⇏p ，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．题型二 充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围例2 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 引申探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，所以A B .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9， 所以m ≥9，即实数m 的取值范围是[9，＋∞)．2．若本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在．反思感悟 由条件关系求参数的取值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系． (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．跟踪训练2 (1)“不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立”的一个充分不必要条件是“－2<x <－1”，则实数a 的取值范围是________． 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 答案 (2，＋∞)解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0， 因为当－2<x <－1时不等式成立， 所以不等式的解集是－a <x <－1. 由题意有(－2，－1)(－a ，－1)， 所以－2>－a ，即a >2.(2)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________．考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 答案 [－1,5]解析 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.命题角度2 探求充要条件例3 求关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立的充要条件． 考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件解 由题意可知，关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立，等价于对于方程ax 2－ax ＋1＝0中，⎩⎨⎧a >0，Δ<0⇔0<a <4.反思感悟 求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密．跟踪训练3 直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是m ＝________. 考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件 答案 －4或0解析 由题意知，直线与圆相切等价于圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于半径2， 即|2＋m |2＝2，得m ＝－4或0.充要条件的证明典例 求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明 充分性(由ac <0推证方程有一正根和一负根)，∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0， ∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x 1，x 2，则x 1x 2＝ca <0，∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根． 必要性(由方程有一正根和一负根推证ac <0)， ∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根， 不妨设为x 1，x 2，∴由根与系数的关系得x 1x 2＝ca <0，即ac <0，此时Δ＝b 2－4ac >0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.[素养评析] (1)一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质．1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件 答案 C解析 ∵－2<x <1⇏x >1或x <－1，且x >1或x <－1⇏－2<x <1，∴“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分也不必要条件．2．设命题p ：x 2－3x ＋2<0，q ：x －1x －2≤0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 命题p ：1<x <2；命题q ：1≤x <2，故p 是q 的充分不必要条件． 3．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由于当“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．4．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－3]解析 由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B ＝{x |y ＝lg(x －a )}＝{x |x >a }，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则有A ⊆B ，则有a ≤－3.5．“a ＝0”是“直线l 1：x －2ay －1＝0与l 2：2x －2ay －1＝0平行”的________条件． 答案 充要解析 (1)∵a ＝0，∴l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0， ∴l 1∥l 2，即a ＝0⇒l 1∥l 2. (2)若l 1∥l 2，当a ≠0时， l 1：y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a .令12a ＝1a，方程无解． 当a ＝0时，l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，显然l 1∥l 2. ∴a ＝0是直线l 1与l 2平行的充要条件．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p 和结论q 之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p 和结论q ，然后判断“p ⇒q ”及“q ⇒p ”的真假，根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．一、选择题1．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.2．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的命题个数为( ) ①若f (x )是周期函数，则f (x )＝sin x ； ②若x >5，则x >2； ③若x 2－9＝0，则x ＝3. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①中，周期函数还有很多，如y ＝cos x ，所以①中p 不是q 的充分条件；很明显②中p 是q 的充分条件；③中，当x 2－9＝0时，x ＝3或x ＝－3，所以③中p 不是q 的充分条件．所以p 是q 的充分条件的命题的个数为1，故选B.3．已知向量a ，b 为非零向量，则“a ⊥b ”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 |a ＋b |2＝|a －b |2⇔a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ⇔a ·b ＝0.4．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，则a 2＋b 2＝c 2是圆O 与直线l 相切的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由直线与圆相切得|c |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝c 2；a 2＋b 2＝c 2时也有|c |a 2＋b 2＝1成立，即直线与圆相切．5．若a ，b ，c 是常数，则“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当a >0且b 2－4ac <0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立，即充分性成立．反之，则不一定成立．如当a ＝0，b ＝0，且c >0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立．综上，“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的充分不必要条件．6．设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)内不是单调函数的充要条件是( ) A ．0<m <12B ．0<m <1 C.12<m <1 D ．m >1答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，－log 2x ，0<x <1.f (x )的图象在(0,1)内单调递减， 在(1，＋∞)内单调递增．f (x )在(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数等价于⎩⎪⎨⎪⎧m <1，2m ＋1>1⇔0<m <1. 7．已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是( ) A ．λ1＝λ2＝－1 B ．λ1＝λ2＝1 C ．λ1λ2＝1 D ．λ1λ2＝－1答案 C解析 依题意，知A ，B ，C 三点共线⇔AB →＝λAC →⇔λ1a ＋b ＝λa ＋λλ2b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝λ，λλ2＝1，即λ1λ2＝1.故选C.8．设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别是集合M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2<0，则M ≠N ， 即a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇏M ＝N ； 反之，若M ＝N ＝∅，即两个一元二次不等式的解集为空集时，只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a 1<0，a 2<0)，而与系数之比无关．二、填空题9．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由于方程有整数根，由判别式Δ＝16－4n ≥0.得1≤n ≤4，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1,3；当n ＝4时，方程有正整数解2.故n ＝3或4.10．设p ：1≤x <4，q ：x <m ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 答案 [4，＋∞)解析 据题意知，p ⇒q ，则m ≥4.11．给出下列三个命题：①“a >b ”是“3a >3b ”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号为________．答案 ③解析 ①∵函数y ＝3x 是R 上的增函数，∴“a >b ”是“3a >3b ”的充要条件，故①错误；②∵2π>π2，cos 2π>cos π2，∴α>β⇏cos α<cos β；∵cos π<cos 2π，π<2π，∴cos α<cos β⇏α>β.∴“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分也不必要条件，故②错误；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件，正确．三、解答题12．已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 化简B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}； ②当a <13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}． 因为p 是q 的充分条件且A 为非空集合，所以A ⊆B ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥13，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <13，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1，解得1≤a ≤3或a ＝－1.综上，a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．13．设a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．求证：a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .证明 充分性：∵A ＝2B ，∴A －B ＝B ，则sin(A －B )＝sin B ，则sin A cos B －cos A sin B ＝sinB ，结合正弦、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，化简整理得a 2＝b (b ＋c )； 必要性：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a 2＝b (b ＋c )，得b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴1＋2cos A ＝c b ＝sin C sin B， 即sin B ＋2sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin B ＝sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )，由于A ，B 均为三角形的内角，故必有B ＝A －B ，即A ＝2B . 综上，知a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .14．已知p ：x 2＋2x －3>0，q ：x >a (a 为实数)．若綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则实数a 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 将x 2＋2x －3>0化为(x －1)(x ＋3)>0，所以p ：x >1或x <－3，所以綈p ：－3≤x ≤1.又綈q ：x ≤a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，所以a ≥1.15．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明 充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件。
充分条件必要条件命题一、充分条件假言命题1、充分条件假言命题的语言标志如果…那么…／只要…就…／若…必…／一…就…2、充分条件假言命题的性质如果A，那么B。
符号表达：A=> B。
有前件就必有后件（如果一个充分条件假言命题为真，则：如果肯定其前件，则必然可以得到后件。
简称：有前必有后。
）无前件未必有后件（否前未必否后）有后件未必有前件（肯后未必肯前）无后件则必无前件（否后必肯前）——逆否命题（原命题与逆否命题同真假）3、充分条件假言命题的矛盾命题如果A，那么B。
符号表达：A=> B。
并非（A=>B）＝ A且非B（A=>B）＝非A或B（一个充分条件假言命题如果我们知道前件为假，后件不管真假，整个充分条件假言命题一定是真的；当我们知道后件为真的的时候，前件不管真假，整个充分条件假言命题一定是真的）二、必要条件假言命题1、必要条件假言命题的语言标志：只有…才...2、必要条件假言命题的性质只有A，才B。
符号表达：B => A。
有条件未必有结果无条件则必无结果（逆否命题）有结果则必有条件无结果未必无条件3、必要条件假言命题的矛盾命题只有A，才B。
符号表达：B=> A。
并非（B=> A）＝B且非A（B=> A）＝非B或A（一个必要条件假言命题如果我们知道前件为真，后件不管真假，整个必要条件假言命题一定是真的；当我们知道后件为假的的时候，前件不管真假，整个必要条件假言命题一定是真的）等值命题：只有A，才B＝如果B，就A。
三、特殊语言标志1、不…不…如果不A，那么不B。
－A＝》－B B＝》A2、没有…没有…如果没有A，那么没有B。
－A＝》－B B＝》A3、除非…否则…等于必须…否则…例：除非调查，否则就没有发言权。
以下各项都符合题干的断定，除了A．如果调查，就一定有发言权。
B．只有调查，才有发言权。
C．没有调查，就没有发言权。
D．如果有发言权，则一定做过调查。
E．或者调查，或者没有发言权。
转换：除非今天不下雨，否则今天的体育课一定在教室上。
4、其它A以B为必要条件／A是B的必要条件／A是B 不可或缺的重要条件（前提条件、先决条件）／A是B的前提A以B为充分条件／A是B的充分条件A以B基础／A是B的基础／A是B的基本要求A源于B／ A离不开B5、假言连锁 A=>B， B=>C ，A=> C例1:世界经济的发展历程来看，如果一国或者地区的经济保持着稳定的增长速度，大多数商品和服务的价格必然会随之上涨，只要这种涨幅始终在一个较小的区间内就不会对经济造成负面影响。
由此可以推出，在一定时期内：A.如果大多数商品价格上涨，说明该国经济在稳定增长B 如果大多数商品价格涨幅过大，对该国经济必然有负面影响C.如果大多数商品价格不上涨，说明该国经济没有保持稳定增长D.如果经济发展水平下降，该国的大多数商品价格也会降低例2:文学院有学生为优秀奖学金获得者。
除非各学院有学生为优秀奖学金获得者，否则任何学院都不能从学校领取奖学金，计算机学院可以从学校领取奖学金。
由此可以推出（）。
A．文学院可以从学校领取奖学金B．文学院有的学生不是优秀奖学金获得者C．计算机学院有的学生是优秀奖学金获得者D．计算机学院有的学生不是优秀奖学金获得者例3:如果不能保证四小时睡眠，那么大脑将不能得到很好的休息；如果大脑没有得到很好的休息，那么第二天大部人都会感觉到精神疲劳。
因此，可以推断（）。
A．只要大脑得到充分休息，就能消除精神疲劳B．大部人的精神疲劳源于睡眠不足C．如果你只睡眠三个小时，那么第二天一定会精神疲劳D．如果大脑得到了很好的休息，则必然保证了四小时的睡眠例4:有人说，工作的时候，我们要将重要事务放在主要位置，重要事务是必要条件，关系着一件事情成功与否。
重要的事务没做好，一定不成功。
但是，细节也是很重要的，细节是成功的充分条件，同样也与一件事情成功与否相关。
一个成功的人是能够协调好重要事务与细节的关系的。
由此可推出：A. 成功并不代表着所有细节都处理好了B. 如果不成功则说明重要事务没有做好C. 成功的前提条件是既要做好重要事务，又要处理好细节D. 虽然处理好了细节，但没做好重要事务，也不一定成功例5:生物处于污染条件下，可以通过结合固定、代谢解毒、分室作用等过程将污染物在体内富集、解毒。
其中生物的解毒能力是生物抗性的基础，解毒能力强的生物都具有抗性，但解毒能力不是抗性的全都，抗性强的生物不一定解毒能力就强。
由此可以推知（）。
A.解毒能力不强的生物不具有抗性B.具有抗性的生物一定具有较强的解毒能力C.生物可将污染物富集、解毒，所以生物能在污染环境下生存D.不具有抗性的生物解毒能力一定不强例6:如果一个人在A城市乱扔垃圾就会被认为没有道德；一个人如果没有道德，A城市里就没有人和他做朋友；一个人如果在A城市没有朋友就寸步难行，无法继续留在这里。
从上述叙述中，可以推出以下哪项结论？（）A．一个人在B城市乱扔垃圾但是仍然可以留在A城市B．如果一个人道德修养很高，那么他就能留在A城市C．生活在A城市的小李在过马路时将西瓜皮扔在地上，那么他将难以再留在A城市D．小王没有留在A城市说明他缺乏道德修养例7:要加强社会主义物质文明建设，就必须大力发展社会主义的生产力。
只有进一步改革束缚生产力发展的生产关系，才能大力发展社会主义的生产力。
而不树立走改革之路的坚定意识，就不可能去改革束缚生产力发展的生产关系。
下列（）项可以从题干中推出。
A.要加强社会主义物质文明建设，必须树立走改革之路的坚定意识B.主张加强社会主义物质文明建设的人，不可能认同不走改革之路C.一旦树立了走改革之路的坚定意识，就能加强社会主义物质文明建设D.要发展社会主义的生产力，未必一定要走改革之路例8:某水果店只有进货价低于正常价格时，才能以低于市场的价格卖水果而获利;除非该水果店的销售量很大，否则，不能从果农那里购得低于正常价格的水果;要想有大的销售量，该水果店就要拥有特定品种水果的独家销售权。
因为种种原因，该水果店没有得到特定品种水果的独家销售权。
由此可以推出：A.该水果店的销售量很大B.该水果店的进货价低于正常价格C.该水果店不能以低于市场的价格卖水果而获利D.该水果店获利很少例9:知己知彼，才能百战不殆。
这句话同样适用于人际交往之中，一个人只有先了解自己，才能了解别人；任何人也只信赖充分了解他的人，包括他自己。
试想，如果一个人根本不了解你，他如何值得你信赖呢？由此可以推出:A.只有信赖自己，才能信赖别人B.不了解自己，就不会被任何人信赖C.他充分了解你，所以他值得你信赖D.充分了解自己，就可以获得许多人的信赖例10:以上4张卡片均为一面是图案，另一面是阿拉伯数字。
现在断定：如果一面是梅花，那么另一面是6。
如果要检验该断定正确与否，且只允许翻动以上两张卡片，正确的选择是（）。
A．翻动第一张和第三张B．翻动第二张和第三张C．翻动第一张和第四张D．翻动第二张和第四张例11:只有具备足够的奖金投入和技术人才，一个企业的产品才能拥有高科技含量。
而这种高科质含量，对于一个产品长期稳定地占领市场是必不可少的。
以下哪项情况如果存在，最能削弱以上断定？A. 苹果牌电脑拥有高科质含量，并长期稳定地占领着市场。
B．西子洗衣机没能长期稳定地占领市场，但该产品并不缺乏高科技含量。
C．长江电视机没能长期稳定地占领市场，因为该产品缺乏高科技含量。
D．清河空调长期稳定地占领市场，但该产品的厂家缺乏足够的奖金投入。
E．开开电冰箱没能长期稳定地占领市场，但该产品的厂家有足够的奖金投入和技术人才。
例12:“没有经济的快速发展，就不会有社会事业的进步。
现在经济发展速度很快，所以社会事业的建设也会取得显著的成绩。
”与上述文字推理形式相同的是( )。
A. 社会主义民主和法制相辅相成，缺一不可，民主是法制的前提，法制是民主的体现。
现在法制体系不断健全，因此民主得以保障B. 效益与公平是矛盾统一体，没有公平很难取得更大的效益。
某企业的效益提高了，因此，该企业也实现了分配公平C. 社会化程度越高，社会分工越细。
现在社会化程度提高了，因此现在社会分工也更细D. 清正廉洁是对领导干部的基本要求。
一名作风正派、严于律己的领导干部就是合格的领导干部例13:一切有利于生产力发展的方针政策都是符合人民根本利益的，改革开放有利于生产力的发展，所以改革开放是符合人民根本利益的。
以下哪种推理方式与上面的这段论述最为相似?A. 一切行动听指挥是一支队伍能够战无不胜的纪律保证。
所以，一个企业、一个地区要发展，必须提倡令行禁止、服从大局。
B. 经过对最近六个月销售的健身器跟踪调查，没有发现一台因质量问题而退货或返修。
因此，可以说这批健身器的质量是合格的。
C. 如果某种产品超过了市场需求，就可能出现滞销现象。
“卓群”领带的供应量大大超过了市场需求，因此，一定会出现滞销现象。
D. 凡是超越代理人权限所签的合同都是无效的。
这份房地产建设合同是超越代理权限签定的，所以它是无效的。
例14:一支攻击型军队必须具有“三大件”：一是航母编队，一是战斗机，一是海外军事基地。
目前的中国“一无所有”，根本无法形成攻击链。
因此，聪明的兰德公司认为：“中国距离‘破坏’地区军事平衡还相差很远。
”下面哪一选项在论证方式上与题干相同？Ａ.崛起的中国必须以强大的军事力量支撑自己的脊梁。
中国要崛起，所以，中国必须拥有强大的军事力量Ｂ.只有聪明且勤奋，才能有大成就；李明既不聪明也不勤奋，所以，他不会有大成就Ｃ.如果吃高蛋白、高热量和高脂肪的食品过多，就会发胖；我很少吃这类食品，所以，我不会发胖Ｄ.如果139是偶数，则它能够被2整除；139不能被2整除，所以，139不是偶数联言选言命题一、联言命题1、定义：联言命题是断定几种情况同时存在的复合命题，标准形式“A并且B”2、语言标志：不仅…而且…／既…又…／虽然…但是…3、推理基础：一个联言命题是真的，当且仅当所有的变项都是真的。
只要有一个变项是假的，联言命题就是假的。
4、矛盾命题：并非（A且B）＝非A或非B＝如果A，则非B＝A、B中至少有一个是假的二、选言命题（一）相容选言命题1、定义：断定事物若干个可能情况中至少有一种情况存在的命题，标准形式“A或者B”2、语言标志：可能…，可能…／或许…，或许…3、推理基础：如果一个相容选言命题是真的，则它所有的变项中，至少有一个真的（这是必然的），至多可以全部为真（这是可能的）。
也就是说，只有在所有变项都为假的情况下，这个相容选言命题才是假的。
只要有一个变项为真，则这个相容选言命题真。
4、矛盾命题：并非（A或者B）＝非A且非B（二）不相容选言命题1、定义：当一个选言命题的变项不能同时为真时，那么这个选言命题就是不相容的。
