重庆一中高二数学下学期期末考试试题 理

2015年重庆一中高2016级高二下期期末考试数 学 试 题 卷（理科）数学试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

.1设集合{}9,7,5,4=A ,{}9,8,7,4,3=B ,全集B A U ⋃=,则集合()B A C U ⋂的子集共有（ ） A.4个 B.7个C.8个D.16个.2已知ξ～N (0,26)，且P (－2≤ξ≤0)＝0.4，则P (ξ>2)等于( )A.0.1B.0.2C.0.6D.0.8.3下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A.R x x y ∈=,)21(B.1,11≠-=x x yC.R x x x y ∈+=,sinD.R x x x y ∈--=,3.4设某中学的女生体重y (kg)与身高x (cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为y ^＝0.85x －85.71，给出下列结论,则错误的是（ ）A.y 与x 具有正的线性相关关系；B.回归直线至少经过样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )中的一个；C.若该中学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ；D.回归直线一定过样本点的中心点()y x ,。

.5已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4),1(4,)21()(x x f x x f x，则2(1log 5)f +的值为( ) A.14 B.5log 1221+⎪⎭⎫⎝⎛ C.21 D.201.6下列命题中的真命题的个数是（ ）① b a >成立的一个充分不必要的条件是1+>b a ；② 已知命题p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题；③ 命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”；④ 命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为：“若x <－1，则x 2－3x ＋2≤0”。

重庆一中高二下册数学期末试题一.选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的.1.命题对恣意，总有的否认是A. 对恣意，总有B. 对恣意，总有C. 存在，使得D. 存在，使得2.请细心观察，运用合情推理，写在下面括号里的数最能够的是1,1,2,3,5，( )，13A.8B.9C.10D.113.某高二年级有文科先生500人，文科先生1500人，为了解先生对数学的喜欢水平，现用分层抽样的方法从该年级抽取一个容量为60的样本，那么样本中文科生有( )人A.10B.15C.20D.254.以下关于不等式的说法正确的选项是A假定，那么 B.假定，那么C.假定，那么D. .假定，那么5. 那么 =A.1B.2C.3D.46.执行如以下图所示的顺序框图，那么输入的A.4B.5C.6D.77. 设实数满足，目的函数的最大值为A.1B.3C.5D.78.(原创)六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与仰望图如以下图所示，那么其左视图不能够为A. B. C. D.9.(原创)设Q是曲线T：上恣意一点，是曲线T在点Q处的切线，且交坐标轴于A,B两点，那么 OAB的面积(O为坐标原点)A. 为定值2B.最小值为3C.最大值为4D. 与点Q的位置有关10. (原创)函数假定关于的方程有且只要一个实根，那么实数的取值范围是A. 或B.C. D .二.填空题: 本大题共5小题，考生作答5小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.11.集合，那么 = .12.双数满足 (其中为虚数单位)，那么 = .13. .14. 设，假定函数 ( )是奇函数，那么 = .15. 圆O：，直线：，假定圆O上恰恰有两不同的点到直线的距离为1，那么实数的取值范围是 .三.解答题: 本大题共6小题，共75分.解容许写出文字说明、证明进程或演算步骤.16.(本小题13分(1)小问6分，(2)小问7分)函数，且(1)务实数的值;(2)假定函数，求的最小值并指出此时的取值.17. (本小题13分(1)小问7分，(2)小问6分)函数(1)求的最大值;(2)假定，且，求的值.18 .(原创)(本小题12分(1)小问6分，(2)小问7分)一切棱长均为1的四棱柱如以下图所示， .(1)证明：平面平面 ;(2)当为多大时，四棱锥的体积最大，并求出该最大值.19.(原创)(本小题12分(1)小问6分，(2)小问6分)某幼儿园小班的美术课上，教员率领小冤家们用水彩笔为美术本上如右图所示的两个大小不同的气球涂色，要求一个气球只涂一种颜色，两个气球区分涂不同的颜色.该班的小冤家牛牛现可用的有暖色系水彩笔白色、橙色各一支，冷色系水彩笔绿色，蓝色，紫色各一支.(1) 牛牛从他可用的五支水彩笔中随机的取出两支按教员要求为气球涂色，问两个气球同为冷色的概率是多大? (2) 普通状况下，教员收回末尾指令到涂色活动全部完毕需求10分钟.牛牛至少需求2分钟完成该项义务.教员在收回末尾指令1分钟后随时能够离开牛牛身边检查涂色状况.问当教员离开牛牛身边时牛牛曾经完成义务的概率是多大? 20. (本小题12分(1)小问5分，(2)小问7分)函数 .(1)假定，讨论的单调性;(2)假定对，总有，务实数的取值范围.21.(本小题12分(1)小问5分，(2)小问7分)M是椭圆T：上恣意一点，F是椭圆T的右焦点，A为左顶点，B为上顶点，O为坐标原点，如以下图所示，的最大值为，最小值为 .(1) 求椭圆T的规范方程;(2) 求的面积的最大值 .假定点N 满足，称点N为格点.问椭圆T外部能否存在格点G，使得的面积 ?假定存在，求出G的坐标;假定不存在，请说明理由.(提示：点在椭圆T 外部 ).2021年重庆一中高二下册数学期末试题就为您引见完了，查字典数学网的编辑将第一时间为您整理信息，供大家参考!。

x(0, ) 秘密★启用前重庆一中2018-2019学年高二(下)期末考试数学试题（理）数学试题共5页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1. 答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2. 答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3. 答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4. 所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 M {x | x 22x 3 0}, N {y | yln(1 x )},则 MN 为（ ）A ． (1,3)B ． (3,1) C.(1,1)D.2. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上是单调递减的函数是()A. yx 3B. yln 1|x |C. y2|x |D. ycos x3. 函数 f (x )ln x x 2 的零点个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．34. 若 a 2.10.2 ， b 0.60.4 ,c lg0.6 ，则实数a ， b ， c 的大小关系为（）A. abcB. ac bC. bc aD. b a c5. 设i 是虚数单位， a ,bR , 条件p : 复数a 1 bi 是纯虚数，条件q : a1 ,则p 是q的（）A. 充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知函数 ylog a (8 ax ) (其中a 0, a 1)在区间[1,4]上单调递减,则实数a 的取值范围是( )A. (0,1)B. 121C. ( ,1) 2D. (1, 2)7. 已知函数 f (x ) ln(a x x 2) 的定义域是(1, 2) ,则(a1)6 的展开式中 x 2的系数是（ ）xA．－192 B．192 C．－230 D．2308. 我市 2021 年新高考方案公布，实行“ 3 1 2 ”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，在所有选科组合中,某学生选择考历史和化学的概率为（ ）11 A.B ．281 1 C ． D ．469. 下列说法中, 正确说法的个数是 （）① 在用2 2 列联表分析两个分类变量 A 与 B 之间的关系时,随机变量K 2的观测值k 越大，说明“A 与 B 有关系”的可信度越大② 以模型 yce kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 z ln y ，将其变换后得到线性方程 z0.3x 4 ，则c , k 的值分别是e 4 和0.3③ 已知两个变量具有线性相关关系,其回归直线方程为 ya bx ，若b2 ，x 1， y 3 ，则a 1A ．0B ．1C ．2D ．310．下列说法正确的是（）A. 若 pq 为真命题，则 p q 为真命题B. 命题“若 x1,则 x 21” 的否命题是真命题C. 命题“函数 y ln(2x ) 的值域是 R”的逆否命题是真命题D. 命题 p :“a R ,关于 x 的不等式 x 2 ax 1 0 有解”, 则p 为“ aR ,关于 x 的不等式 x 2a x 1≤ 0 无解” 11. 已知 f (x ) 是定义在R 上的奇函数,对任意 x 1, x 2[0,) , x 1x 2 ,都有(x x )[ f (x ) f (x )] 0 ,且对于任意的t [1,3] ,都有 f(mt 2 t ) f (2m ) 0 恒12 1 2成立，则实数m 的取值范围是（）A. m 13B. m 311C. m 24D ． 0m 1312. 已知函数 f (x )x 3 6x 28x 2 的图象上,有且只有三个不同的点,它们关于直线y 2 的对称点落在直线 y kx 2 上，则实数k 的取值范围是（）A. (1, ) B. (1,8)C. (,1)D. (, 8) (8, +∞) (-8,1)第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分. 各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.log 2(3x 1), 0≤ x 213．已知函数 f ( x ) 3x 2, 2 ≤ x ≤ 4,则 f [ f (1)] .14.已知定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x1) f (x ) ,且当1≤ x2 时,f (x ) 9x9 ,则 f (1) = .215.中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造. 算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，用算筹表示数 1～9 的方法如图:例如：163 可表示为“”, 27 可表示为“”.现有 6 根算筹,用来表示不能被 10 整除的两位数,算筹必须用完,则这样的两位数的个数为.16.已知曲线 F (x , y )0 关于 x 轴、 y 轴和直线 y x 均对称，设点集S{(x , y ) | F (x , y ) 0, x Z , y Z }.下列命题中正确命题的序号为．（写出所有正确命题的序号）①若(1, 2) S , 则(2, 1) S ；②若(0, 2)S ，则 S 中至少有 4 个元素；③ S 中元素的个数一定为偶数； ④若{(x , y ) | y 24x , x Z , y Z } S ,则{(x , y ) | x 24 y , x Z , y Z } S .三、解答题: 本大题 6 个小题,共 70 分. 各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内. 必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.17．（本题 10 分）已知函数 f (x )| 2x 1| | 2 x 3 | ．（1） 解不等式 f (x )10 ；（2） 若 f (x ) 的最小值为m ,正实数a , b 满足4a8b m ，求12的最小值．a b318. （本题 12 分）在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为 xt(t 为 y63t参数），以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 经过极点,且其圆心的极坐标为(2, ) .2（1） 求圆 C 的极坐标方程； （2） 若射线( 0) 分別与圆 C 和直线 l 交于点 A, B(点 A 异于坐标原点 O)，3求线段 AB 的长.19．（本题 12 分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上 随机抽取 100 件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径 mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数1135619 33 18 4421 21100经计算，样本的平均值μ = 65，标准差σ = 2.2，以频率值作为概率的估计值,用样本估计总体.（1） 将直径小于等于μ − 2σ或直径大于μ + 2σ的零件认为是次品,从设备M 的生产流水线上随意抽取 3 个零件，计算其中次品个数Y 的数学期望E (Y )；（2） 为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）: ① P (μ − σ < X ≤ μ + σ) ≥ 0.6827； ② P (μ − 2σ < X ≤ μ + 2σ) ≥0.9545；③ P (μ − 3σ < X ≤ μ + 3σ) ≥ 0.9973.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级并说明理由.1 1 20．（本题 12 分）如图，直三棱柱 ABCA 1B 1C 1 中， AC BC ， AA 12 ,AB 2 , D 为 BB 1 的中点, 点E 为线段 AB 1 上的一点.（1） 若 DE CD , 求证:DEAB 1 ；（2） 若 AE2EB 1 ，异面直线 AB 1 与CD所成的角为300，求直线 DE 与平面 AAC C 所成角的正弦值.21．（本题 12 分）已知函数 f (x )ln( x 1) ax ,其中a R .（1） 求 f (x ) 的单调递增区间;（2） 当 f (x ) 的图像刚好与 x 轴相切时,设函数 g (x )(x 2)e x m1 f(x 1) ,其中m 1 ,求证: g ( x ) 存在极小值且该极小值小于−2.22．（本题 12 分）已知抛物线 E : x 22 py 的焦点为 F ,准线为l , l 与 y 轴的交点为P ,点 M 在抛物线 E 上,过点 M 作 MN l 于点 N ,如图 1. 已知cos FMN 3,且四5边形 PFMN 的面积为7.2(1) 求抛物线 E 的方程;(2) 若正方形 ABCD 的三个顶点 A , B ,C 都在抛物线 E 上(如图 2),求正方形ABCD 面积的最小值.(图 1)(图 2)高二数学期末试题(理科)参考答案ABBAAD ACDCBD 1, 18, 16, ①②④17．（10 分）解析：（1）①当x ≥3时，4x－2<10，解得x＜3；②当−1≤x < 3时，4＞10，成立；2 2 2③当x < −1时，2-4x<10，解得x＞-2；所以该不等式的解集为(−2,3)．21 2 1 2（2）因为|2x + 1| + |2x− 3| ≥ 4，所以m 4, a 2b 1, ()(a 2b)a b a b5 2b 2a≥5 22b 2a) 9 ,当且仅当a b1时取等号.a b a b 3故所求最小值为 9.18. （12 分）【解】（1）圆C 是以(0,2)为圆心,半径为 2 的圆.其方程是x2+(y-2)2=4,可得其极坐标方程为 4sin，（2）将代入 4sin得 4s in 2 3 ，3 A39直线l:y + √3x = 9,其极坐标方程是 2 sin() ,将 3 代入得3B932sin23，故| AB||B A| 3 .19．（12 分）【解】(1) 由图表知道：直径小于或等于μ− 2σ的零件有 2 件，大于μ + 2σ的零件有 4件，共计 6 件.从设备M的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为6100= 3，50依题意Y~B(3, 3 )，故E(Y) = 3 × 3 = 950 50 50（2）由题意知, μ−σ = 62.8，μ + σ = 67.2，μ− 2σ = 60.6，μ + 2σ = 69.4，μ− 3σ = 58.4，μ + 3σ = 71.6，所以由图表知道：P(μ−σ < X≤ μ + σ) =80100= 0.80 > 0.6826P(μ− 2σ < X≤ μ + 2σ) = 94100 P(μ− 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 983100= 0.94 < 0.9544= 0.98 < 0.9974 所以该设备M的性能为丙级别.= 20．（12 分）【解】（1）证明：取AB 中点M ,连接CM ，MD ,有MD //AB 1,因为AC = BC ，所以CM ⊥ AB ,又因为三棱柱ABC = A 1B 1C 1为直三棱柱，所以平面ABC ⊥ 平面ABB 1A 1, 又因为平面ABC ∩ 平面ABB 1A 1=AB , 所以CM ⊥ 平面ABB 1A 1，又因为DE ⊂ 平面ABB 1A 1,所以CM ⊥ DE 又因为DE ⊥ CD , CD ∩ MD = D ,CD ⊂平面CMD ,CM ⊂平面CMD ,所以DE ⊥ 平面CMD ，又因为MD ⊂平面CMD ,所以DE ⊥ MD ,因为MD //AB 1，所以DE ⊥ AB 1.（2）设 AB 1,如图以M 为坐标原点，分别以MA , MO , MC 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）可知∠CDM = 30∘，DM = √6,所以CM = √2,22故A (√2 , 0,0), B 1(− √2 , 2,0), C(0,0, √ 2), D (− √2 , 1,0), E (− √ 2 , 4, 0),22 2 2 6 3对平面 AA 1C 1C, A ⃗⃗⃗⃗A ⃗⃗⃗1 = (0,2,0) → (0,1,0), A ⃗⃗⃗⃗C ⃗ = (− √2 , 0, √2) → (1,0, −1),所以其法向量22为n ⃗ = (1,0,1)．又D⃗⃗⃗⃗E ⃗ = ( √2 , 1 , 0) → (√2, 1,0)， 所以直线DE 与平面AA 1C 1C 成角的正弦⃗D ⃗⃗⃗⃗E ⃗ ⋅n ⃗值 |⃗D ⃗⃗⃗⃗E⃗ ||n ⃗ |3 3=√3.321．（12 分）【解】（1） f (x )1x 11 a axa ，当 a ≤0时, x 1f (x ) 0 , f (x ) 的单增区间是(1,) ; 当a >0 时,f (x ) 的单增区间是(1,1 a) .a（2）易知,切点为(0,0),由 f (0) 1 a0 得a 1,g (x ) (x 2)e x m x ln x ，所以 g (x ) (x 1)e x m1 1 (x 1)e x m1，设( x )e x m1 ，则(x ) 在xxx(0, ) 上是增函数， (1) e 1m10 ，当 x →0 时,(x ),所以(x )e x1xBA 1 O在区间0,1内存在唯一零点x ，即x1 0 .e x 0 m0 0x当x 0, x0时，g(x ) 0 ；当x x0,1时，g(x ) 0 ;当x 1, 时，g(x ) 0 ，所以g(x)存在极小值g 1e 1m 1.又因为m 1 ,e 1m 1, 故g 1 2 ,得证.k 21 2 22．（12 分） 解:(1)设| MF || MN | 5a ,由已知,则| PN | 4a , | PF | 2ap ,四边形 PFMN 的(2a 5a ) 4a 7 1 面积为 S14 a 7 p , p ,抛物线 E 的方程为:x 2y 2 2 2 (2)设 A (x , x 2) , B (x , x 2) , C (x , x 2) ,直线 BC 的斜率为k . 不妨 x xx ,则显1 12233x 2 x 21 x2 x 2123然有k 0 ,且k 3 2x 3x 2 . AB BC ,所以12x 1x 2 .x 3x 2 k x 1 x 2由|AB|=|BC|得(1 1)(xx )2 (1 k 2)(x x )2 ,即(xx )2 k 2(xx )2 ,k22 1322132即 x x k (xx ) . 将 x1 x , x k x 代入得2x1k (k 2x ) .21321k2 3 22k2(2k 2)xk 21,x2k2k 31 2k 22k,故正方形 ABCD 面积为S | BC |2 (1 k 2)(x x )2(1k 2)(k 2x )22k 21 232(k 2 1)2 k 2 1 2(k 2 1)2(1 k)( k 2 k)k 2 (k1)2.1 k 2≥ 2k ,≥ 4 (当且仅当 k=1 时取等) k2k 1(k 1)2k 2 1 1又≥ ,k 2 1≥, ≥ (当且仅当 k=1 时取等). 22(k 1)2 2 从而 S ≥4 1 2 ,当且仅当 k=1 时取得最小值 2. 2法二: 设 A (x , x 2) , B (x , x 2) , C (x , x 2) ,直线 BC 的斜率为k . 不妨 x xx , 则 1 12233123显然有k0 .联立 BC: y x 2k (xx ) 和 y x 2 ,消去 y 得 x 2kxkx x 2 0 .2 22 2x x k , xk x.同理,x 1x .由|AB|=|BC|得 x k 3 1 3 2 3 2 1 k 2 22k 2 2kS(k 2 1)322, S 6k(k21)2(k2k)22(k21)3(k2k)(2k1)(k2k)42(k 21)2(k 2k )][3k(k 2k )(k 21)(2k 1)](k 2k)42(k 2 1)2(k 2k)](k 3 2k 2 2k 1) 2(k 2 1)2(k 2 k)](k 1)(k 2 3k 1)(k 2k)4(k 2k)4故S 在(0,1)减,在(1.+∞)增,从而k=1 时,S 取最小值2.。

BatchDoc Word 文档批量处理工具秘密★启用前重庆一中高 2020 级高二(下)期末考试数学试题（理）数学试题共5页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 M = {x | x 2 - 2x - 3 < 0} , N = {y | y = ln(1 - x )} , 则 M N 为（ ）A ． (-1, 3)B ． (-3,1)C. (-1,1)D. ∅2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上是单调递减的函数是()A. y = x 3B. y = ln1| x |C. y = 2|x |D. y = cos x3．函数 f ( x ) = ln x + x 2 的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34. 若 a = 2.10.2 ， b = 0.60.4 , c = lg 0.6 ，则实数 a ， b ， c 的大小关系为（ ）A ． a > b > cB ． a > c > bC ． b > c > aD ． b > a > c5．设i 是虚数单位， a , b ∈ R , 条件p : 复数 a - 1 + bi 是纯虚数，条件q : a = 1 ,则p 是q的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知函数 y = log a (8 - ax ) (其中 a > 0, a ≠ 1 )在区间[1,4]上单调递减,则实数 a 的取值范围是()A. (0,1)B. (0, 1)2C. ( 1 ,1)2D. (1, 2)7．已知函数 f ( x ) = ln(a + x - x 2) 的定义域是 (-1, 2) ,则 (6的展开式中 x 2的系数是（ ）A ．－192B ．192C ．－230D ．230BatchDoc Word文档批量处理工具8. 我市2021 年新高考方案公布，实行“3 +1+ 2 ”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，在所有选科组合中,某学生选择考历史和化学的概率为（）1 1A．B．2 81 1C．D．4 69．下列说法中, 正确说法的个数是（）①在用2⨯2 列联表分析两个分类变量A 与B 之间的关系时,随机变量的观测值②以模型y =ce kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z = ln y ，将其变换后得到线性方程z = 0.3x + 4 ，则c, k 的值分别是e4 和0.3③已知两个变量具有线性相关关系,其回归直线方程为y =a +bx ，若b = 2 ，x =1，y = 3 ，则a =1A．0 B．1 C．2 D．310．下列说法正确的是（）A．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B．命题“若x >-1,则x2 > 1” 的否命题是真命题C．命题“函数y = ln(2x ) 的值域是R”的逆否命题是真命题D．命题p :“∀a ∈R ,关于x 的不等式x2 +ax +1> 0 有解”, 则⌝p 为“∃a∈R ,关于x 的不等式x2 +a x +1≤0 无解”11. 已知f ( x) 是定义在R上的奇函数,对任意x1, x2 ∈[0, +∞) , x1 ≠x2 ,都有(x1-x2)[ f (x1) -f (x2)] < 0 ,且对于任意的t ∈[1, 3],都有f (mt2-t) +f (2m) >0恒成立，则实数m的取值范围是（）1 3 1A．m <B．m < C．m <D．0 <m <3 11 3 12．已知函数f (x) =x3 - 6x2 + 8x - 2 的图象上,有且只有三个不同的点,它们关于直线y =-2 的对称点落在直线y =kx -2上，则实数k 的取值范围是（）A. (-1, +∞)B. (-1,8) (8, +∞)BatchDoc Word文档批量处理工具C. (-∞,1)D. (-∞, -8) (-8,1)第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分. 各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.⎧log2 (3x +1), 0 ≤x < 213．已知函数f ( x) =⎨,则f [ f (1)] = .⎩3x -2 , 2 ≤x ≤414．已知定义在R 上的函数f ( x) 满足f (x+1) =-f (x) ,且当1≤x < 2 时,f (x) = 9x - 9 ,则= .15．中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造. 算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，用算筹表示数1～9 的方法如图:例如：163 可表示为“”,27 可表示为“”.现有6 根算筹,用来表示不能被10 整除的两位数,算筹必须用完,则这样的两位数的个数为.16．已知曲线F(x, y) =0关于x 轴、y 轴和直线y =x 均对称，设点集S ={(x, y) | F(x, y) = 0, x ∈Z,y ∈Z}.下列命题中正确命题的序号为．（写出所有正确命题的序号）①若(1,2)∈S , 则(-2, -1) ∈S ；②若(0,2)∈S ，则S 中至少有4 个元素；③S 中元素的个数一定为偶数；④若{(x, y) | y2 = 4x, x ∈Z,y ∈Z} ⊆S ,则{(x, y) | x2 =-4y, x ∈Z,y ∈Z} ⊆S .三、解答题: 本大题6 个小题,共70 分. 各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内. 必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程. 17．（本题10 分）已知函数f (x) =| 2x+1|+|2x -3| ．（1）解不等式f (x) <10 ；（2）若f ( x) 的最小值为m ,正实数a, b满足4a + 8b =m ，求1 +2 的最小值．a b⎧⎪x = 18. （本题12 分）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎨ 3 +t(t 为⎪⎩y = 6 -3t参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 经过极点,且其圆心的极坐标为(2,π) .2（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若射线θ=π(ρ≥ 0) 分別与圆C 和直线l 交于点A, B(点A 异于坐标原点O)，3求线段AB 的长.19．（本题12 分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100 件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 1001 1 20．（本题 12 分）如图，直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AC = BC ， AA 1 = 2 ,AB = D 为 BB 1 的中点, 点E 为线段 AB 1 上的一点.（1）若 DE ⊥ CD , 求证: DE ⊥ AB 1 ；（2）若 AE = 2EB 1 ，异面直线 AB 1 与 CD所成的角为 300，求直线 DE 与平面 AA C C所成角的正弦值.21．（本题 12 分）已知函数 f ( x ) = ln( x +1) - ax ,其中 a ∈ R .（1）求 f ( x ) 的单调递增区间;（2）当 f ( x ) 的图像刚好与 x 轴相切时,设函数 g ( x ) = ( x - 2)e x +m - 1 + f ( x - 1) ,其中m > -1 ,求证: g ( x ) 存在极小值且该极小值小于−2.22．（本题 12 分）已知抛物线 E : x 2 = 2 py 的焦点为 F ,准线为 l , l 与 y 轴的交点为P ,点 M 在抛物线 E 上,过点 M 作 MN ⊥ l 于点 N ,如图 1. 已知 cos ∠FMN = 3,且四5边形 PFMN 的面积为 7.2(1) 求抛物线 E 的方程;(2) 若正方形 ABCD 的三个顶点 A , B ,C 都在抛物线 E 上(如图 2),求正方形ABCD 面积的最小值.(图 1) (图 2)命题: 侯明伟 审题: 王 明李长鸿BatchDoc Word文档批量处理工具。

重庆市第一中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合2230{|}M x x x =--<，{|ln(1)}N y y x ==-，则M N ⋂为（ ）A ．(1,3)- B ．(3,1)- C ．(1,1)- D ．∅【答案】A【解析】利用集合的交集运算进行求解即可 【详解】由题可知集合M 中()1,3x ∈-，集合N 中求的是值域y 的取值范围，y R ∈所以M N ⋂的取值范围为(1,3)- 答案选A 【点睛】求解集合基本运算时，需注意每个集合中求解的是x 还是y,求的是定义域还是值域，是点集还是数集等2．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =【答案】A【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A3．函数()2ln f x x x =+的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】因为ln y x =和2y x =在()0,+?均为增函数，所以()f x 在()0,+?单调递增，所以函数至多一个零点，再给()f x 赋值，根据()110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭可得函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点 【详解】因为ln y x =与2y x =均在()0,+?上为增函数，所以函数()2ln f x x x=+至多一个零点又221111ln 10f e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ，()1ln1110f =+=>，()110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，即函数()f x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点 答案选B 【点睛】零点问题可根据零点存在定理进行判断，也可采用构造函数法，根据构造的两新函数函数交点个数来确定零点个数4．若0.22.1a =，0.40.6b =；lg 0.6c =，则实数a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a b c >> B.a c b >> C.b c a >> D.b a c >>【答案】A【解析】根据指数函数与对数函数的性质，分别确定a ，b ，c 的范围，即可得出结果. 【详解】因为0.202.1 2.11a =>=，0.4000.60.61b <=<=，lg 0.6lg10c =<=， 所以a b c >>. 故选A 【点睛】本题主要考查对数与指数比较大小的问题，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于常考题型.5．设是虚数单位，条件复数是纯虚数，条件，则是的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】复数是纯虚数，必有利用充分条件与必要条件的定义可得结果. 【详解】 若复数是纯虚数，必有所以由能推出；但若,不能推出复数是纯虚数. 所以由不能推出.，因此是充分不必要条件,故选A. 【点睛】本题主要考查复数的基本概念以及充分条件与必要条件的定义，属于简单题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.6．已知函数log (8)a y ax =-（其中 0,1a a >≠）在区间[]1,4上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,2【答案】D【解析】根据复合函数增减性与对数函数的增减性来进行判断求解 【详解】0a >Q ，8y ax ∴=-为减函数，若log (8)a y ax =-底数()0,1a ∈，根据复合函数同增异减的性质，可得函数在定义域内单调递增，与题不符，舍去若log (8)a y ax =-底数()1,a ∈+∞，根据复合函数同增异减的性质，可得函数在定义域内单调递减，log (8)a y ax =-的定义域满足80ax ->，8x a<，因log (8)a y ax =-在区间[]1,4上单调递减，故有842a a>⇒<，所以()1,2a ∈ 答案选D 【点睛】复合函数的增减性满足同增异减，对于对数函数中底数不能确定的情况，需对底数进行分类讨论，再进行求解7．已知函数()2()ln f x a x x =+-的定义域是()1,2-，则6⎛ ⎝的展开式中2x 的系数是（ ）A ．192-B ．192C ．230-D ．230【答案】A【解析】函数()2()ln f x a x x=+-的定义域是()1,2-可知，-1和2是方程20a x x +-=的两根，代入可求得a 值，再根据二项式定理的通项公式进行求解即可【详解】因为()2()ln f x a x x=+-的定义域()1,2x ∈-，所以-1和2是方程20a x x+-=的两根，将-1代入方程20a x x +-=可得2a =，则二项式定理为6⎛⎝根据二项式定理的通项公式61122162rrr r T C x x --+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，62,122r r r --=∴=， 2x 的系数161162(1)192C --=-答案选A 【点睛】本题考察了一元二次方程根与系数的关系，二项式定理通项公式的求法及二项式系数的求法，难度不大，但综合性强8．湖北省2019年新高考方案公布，实行“312++”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，在所有选科组合中某学生选择考历史和化学的概率为（ ） A ．12B ．18C ．14D ．16【答案】C【解析】基本事件总数122412n C C ==，在所有选项中某学生选择考历史和化学包含的基本事件总数133m C ==，由此能求出在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率．【详解】湖北省2019年新高考方案公布，实行“312++”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，基本事件总数122412n C C ==， 在所有选项中某学生选择考历史和化学包含的基本事件总数133m C ==， ∴在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为31124m p n ===． 故选：C ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9．下列说法中，正确说法的个数是（ ）①在用22⨯列联表分析两个分类变量A 与B 之间的关系时，随机变量2K 的观测值k 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大②以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则,c k 的值分别是4e 和0. 3③已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1,3x y ==，则1a =A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】①分类变量A 与B 的随机变量2K 越大,说明“A 与B 有关系”的可信度越大 ②对kx y ce =同取对数，再进行化简，可进行判断③根据线性回归方程y a bx =+，将2b =，1,3x y ==代入可求出a 值 【详解】对于①,分类变量A 与B 的随机变量2K 越大,说明“A 与B 有关系”的可信度越大,正确;对于②,kxy ce =Q ,∴两边取对数,可得()ln ln ln ln ln kxkxy cec ec kx ==+=+,令ln z y =,可得ln ,0.34,ln 4,0.3z c kx z x c k =+=+∴==Q , 4c e ∴=.即②正确; 对于③,根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y a bx =+中,2,1b x ==,3y =,则1a =.故 ③正确因此，本题正确答案是:①②③ 答案选D 【点睛】二联表中2K 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大；将变量转化成一般线性方程时，可根据系数对应关系对号入座进行求解；线性回归方程的求解可根据,,b x y ,代入y a bx =+求出a 值10．下列说法正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．命题“若1x >-，则21x >”的否命题是真命题C ．命题“函数()ln 2xy =的值域是R ”的逆否命题是真命题D ．命题:p “a ∀∈R ，关于x 的不等式210x ax ++>有解”，则p ⌝为“0a R ∃∈，关于x 的不等式2010x a x ++≤无解”【答案】C【解析】采用命题的基本判断法进行判断，条件能推出结论为真，推不出为假 【详解】A. 若p q ∨为真命题，则,p q 中有一个为真命题即可满足，但推不出p q ∧为真命题，A 错B. 命题“若1x >-，则21x >”的否命题是：“若1x ≤-，则21x ≤”，当2x =-时，不满足，B 错C. 原命题与逆否命题真假性相同，2x 的取值大于零，所以()ln 2xy =值域为R ，C 为真命题D. 命题:p “a ∀∈R ，关于x 的不等式210x ax ++>有解”，则p ⌝为“0a R ∃∈，关于x 的不等式2010x a x ++>无解”，D 错答案选C 【点睛】四种常见命题需要熟悉基本改写方式，原命题与逆否命题为真，逆命题与否命题为真，原命题与逆命题或否命题真假性无法判断，需改写之后再进行判断，命题的否定为只否定结论，全称改存在，存在改全称11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意12,[0,)x x ∈+∞，12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，且对于任意的[1,3]t ∈，都有2()(2)0f mt t f m -+>恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．13m <B ．311m <C．4m <D ．103m <<【答案】B【解析】由()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦可判断函数为减函数，将2()(2)0f mt t f m -+>变形为2()(2)(2)f mt t f m f m ->-=-，再将函数转化成恒成立问题即可 【详解】()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦Q ，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴为R 上减函数，故2()(2)0f mt t f m -+>可变形为2()(2)(2)f mt t f m f m ->-=-，即2()(2)f mt t f m ->-，根据函数在R 上为减函数可得22mt t m -<-，整理后得2212t m t t t+<=+，2y t t=+在t ∈为减函数，t ∈为增函数，所以112y t t =+在t ∈为增函数，t ∈为减函数 2212t m t t t +<=+在[1,3]t ∈恒成立，即1min m y <，当3t =时，1y 有最小值311所以311m < 答案选B 【点睛】奇偶性与增减性结合考查函数性质的题型重在根据性质转化函数，学会去“f ”；本题还涉及恒成立问题，一般通过分离参数，处理函数在某一区间恒成立问题12．已知函数32()682f x x x x =-+-的图象上，有且只有三个不同的点，它们关于直线2y =-的对称点落在直线2y kx =-上，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞B ．(1,8)(8,)-⋃+∞C ．(,1)-∞D ．(,8)(8,1)-∞-⋃-【答案】D【解析】可先求2y kx =-关于2y =-的对称直线，联立对称直线和32()682f x x x x =-+-可得关于x 的函数方程，采用分离参数法以及数形结合的方式进行求解即可 【详解】设直线2y kx =-关于2y =-的对称函数为()g x ，则()2g x kx =--，因为()g x 与()f x 有三个不同交点，联立()32()6822f x x x x g x kx ⎧=-+-⎪⎨=--⎪⎩，可得3268x x k x x -+-=，当0x =时显然为一解，当0x ≠时，有268k x x =-+-，0,8x k ≠∴≠-Q画出268y x x =-+-的图像，可知满足y k =与268y x x =-+-有两交点需满足1k <综上所述，实数k 的取值范围是(,8)(8,1)-∞-⋃- 答案选D 【点睛】本题考察了直线关于对称直线的求法，函数零点中分离参数、数形结合、分类讨论等基本知识，对数学思维转化能力要求较高，特别是分离参数与数形结合求零点问题，是考察重点二、填空题13．已知函数22log (31),02()3,24x x x f x x -+≤<⎧=⎨≤≤⎩，则()1f f =⎡⎤⎣⎦__________.【答案】1【解析】先求内层函数(1)f 的值，解得函数值为2，再将2代入求值即可 【详解】当1x =时，满足02x ≤<对应的表达式，先求内层函数2(1)log (31)2f =+=， 当2x =时，满足24x ≤≤对应的表达式，再求()2f ，()22213f -==所以[(1)]1f f = 【点睛】分段函数求值问题需注意先求解内层函数，再依次求解外层函数，每一个括号内对应的值都必须在定义域对应的区间内进行求值 14．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且当12x ≤<时，()99x f x =-，则12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________【答案】18【解析】由()()1f x f x +=-可判断函数周期为2，所以12f ⎛⎫-=⎪⎝⎭32f ⎛⎫⎪⎝⎭，将32x =代入()99xf x =-即可求值 【详解】 由()()1f x f x +=-，可得()()()212f x f x f x T +=-+=⇒=12f ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭()3322239939182f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭所以12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭18 【点睛】若函数满足()()f x a f x +=-，则函数周期为2T a =，对于给出x 的取值不在给定区间的，必须要根据周期性转化为在对应区间的x 值，再代入表达式进行求解15．中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造. 算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，用算筹表示数1～9的方法如图:例如：163可表示为“”，27可表示为“”.现有6根算筹，用来表示不能被10整除的两位数，算筹必须用完，则这样的两位数的个数为_________.【答案】16【解析】根据算筹计数法，需要对不能被10整除的两位数进行分类讨论。

重庆市一中2020年春高二数学下学期期末考试题卷一、选择题（每小题5分，共60分，其中第11题为多选，选错或者漏选不得分，其他题目为单选.） 1. 集合{}2,1,2,3A =-的真子集个数为（ ）A. 16B. 15C. 14D. 132. 已知复数12iz i-=（其中i 是虛数单位），则z =（ ） A.22B.2C. 1D. 23. 已知函数()f x 的定义域是[]1,1-，则函数()()()21ln 1f x g x x -=-的定义域是（ ）A.[]0,1B.[)0,1C.(]0,1D.()0,14. 如果函数()0,1x y a a a =>≠是增函数，那么函数()log 1a y x =-+的图象大致是（ ）A. B. C. D.5. 某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：x 2 4 56 8 y3040t5070根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程为 6.517.5y x =+，则t 的值为（ ）A. 40B. 50C. 60D. 706.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈宽，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A.2329B.2129C.1112D.12137. 使得()13nx n N x x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含常数项的最小的n 为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 78.某单位晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三个，节目乙和节目丙相邻，该晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A. 120种B. 156种C. 188种D. 240种9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 243π+B.43π C. 223π+D.53π 10. 若x ，y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅为()1,3，则a的取值范围为（ ） A.()1,1-B.[)0,1C.()(),11,-∞-+∞D.(]1,0-11.（多选）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()232f x x x =---，以下命题错误．．的是（ ） A. 当0x >时，()232f x x x =++B. 函数()f x 有4个零点C.()10f x ->的解集为()()()1,01,23,-+∞D.()f x 的单调减区间是33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12. 已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在区间[]200,200-上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1ln 2,ln 63⎛⎫--⎪⎝⎭B. 1ln 2,ln 63⎛⎤--⎥⎝⎦C. 13ln 6,ln 234⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. 13ln 6,ln 234⎛⎤-- ⎥⎝⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知()22log f x x =，则()2f =______.14. 若随机变量15,3B ξ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则(32)D ξ+=______. 15. 函数()()()()3141log 1a a x a x f x x x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，若12,x x R ∀∈，12x x ≠，有()()12f x f x ≠，则实数a 的取值范围是______. 16. 设x ，y 为正实数，若2241x y xy ++=，则266x yxy++的最大值是______.三、解答题（本大题共6个小题，其中第17小题10分，其余每个小题12分，共70分.） 17. 已知集合(){}2|lg 12A x y x x ==--+，614B x x ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}|6C x x a =-≤.（1）求A B ；（2）若“x C ∈”是“x A B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18. 已知函数()()2log 21xf x kx =+-的图象过点252,log 2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）不等式()102f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）函数()()12241f x xx h x m +=+⋅-，[]20,log 3x ∈，若实数0m <，求()h x 的最小值.19. 如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，90AEB ∠=︒，BE BC =，F 为CE 的中点.（1）求证：平面BDF ⊥平面ACE ；（2）若22BE AE ==，在线段AE 上找一点P ，使得直线BF 与平面PBD 所成角的正弦值为13，求PE 的长. 20.为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示如图：男生 女生 总计 喜欢阅读中国古典文学 42 30 72 不喜欢阅读中国古典文学30 18 48 总计7248120（1）判断是否有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记ξ为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望()Eξ.附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.()20P K k ≥0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k3.8415.0246.6357.87910.82821. 点(),Px y 与定点()2,0F的距离和它到直线22x =的距离之比是常数22，设点P 的轨迹为曲线E .直线l 与抛物线22x y =交于A ，B 两点，与曲线E 交于C ，D 两点，设直线OA ，OB ，OC ，OD（O 为坐标原点）的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，若OA OB ⊥. （1）求曲线E 的方程；（2）是否存在常数λ，满足()1234k k k k λ+=+？若存在，求出λ；若不存在，说明理由.22. 已知函数()21ln 22f x x a x ax ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数1x ，2x ，使得()()123f x f x +=-，证明：122x x +>.参考答案一、选择题 1-5：BADCC 6-10：BBADA 11. ABD 12. D二、填空题13. 16 14. 10 15. 11,73a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭16. 1018三、解答题17. 解：（1）{}{}2|120|43A x x x x x =--+>=-<<，{}|42B x x =-<≤，∴{}|42AB x x =-<≤.（2）∵“x C ∈”是“x A B ∈”的必要不充分条件，∴()A B C ，∴42a b a b -≤-⎧⎨+≥⎩，解得42a -≤≤， {}|C x a b x a b =-≤≤+，∴[]4,2a ∈-.18. 解：（1）∵()()2log 21xf x kx =+-的图像过点252,log 2⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴()2225log 212log 2k +-=，∴12k =， ∴()()21log 212xf x x =+-. ∴()0gx >恒成立即()2log 210x a +->恒成立.令()()2log 21xu x =+，则命题等价于()min a u x <，而()u x 在R 上单增.∴()0ux >，∴0a ≤.（2）()()222x x h x m =⋅+，令2x t =，∵[]20,log 3x ∈，∴[]1,3t ∈，∴()2y h x mt t ==+，[]1,3t ∈，①当122t m =->，即104m -<<时， ()min 11y y m ==+；②当122t m =-≤，即14m ≤-时， ()min 393y y m ==+，综上：min11,04193,4m m y m m ⎧+-<<⎪⎪=⎨⎪+≤-⎪⎩. 19. 证明：（1）∵面ABCD ⊥面ABE ，BC AB ⊥，面ABCD 面ABE AB =，BC ⊂面ABCD ，∴BC ⊥面ABE ，∴BC AE ⊥.又∵AE BE ⊥，BC BE B =，BC ⊂面BCE ，BE ⊂面BCE ，∴AE ⊥面BCE .∴AE BF ⊥，又∵BE BC =，F 为EC 中点， ∴BFCE ⊥，AE CE E =，∴BF ⊥面ACE .又∵BF ⊂面BDF ，∴面BDF ⊥面ACE .（2）以E 为坐标原点，EB 为x 轴，EA 为y 轴如图建立空间直角坐标系，则()2,0,0B ，()0,1,2D ，()2,0,2C ，()1,0,1F ，设()0,,0P a ，∴()2,1,2BD =-，()1,0,1BF =-，()2,,0PB a =-，设面BDP 的法向量(),,n x y z =，由n BD ⊥，n PB ⊥，得：22020x y z x ay -++=⎧⎨-=⎩，令2y =，则x a =，1z a =-，∴(),2,1n a a =-.sin cos ,BF n BF n BF nθ⋅==21132225a a ==⋅-+，∴12a =，即12PE =.20.（1）22120(42183030)0.208 3.84172487248K ⨯-⨯==<⨯⨯⨯， ∴没有95%的把握认为喜欢中国古典文学与性别有关.（2）设参加座谈会中喜欢中国古典文学的人数为m ，女生为n ，则m n ξ=+，2,3,4ξ=，()()121122212243121,13C C C C P P m n C C ξ⋅======⋅， ()()()32,11,2P P m n P m n ξ====+==11122222324312C C C C C C +==⋅， ()()12223243142,26C C P P m n C C ξ⋅======⋅，∴ξ的分布列为ξ 2 3 4P1312 16∴()111172343266E ξ=⨯+⨯+⨯=. 21. 解：（1）由题意知：()()22202222x y x -+-=-，化简得： E ：22142x y +=.（2）由题知：l 的斜率存在且不过原点， 设l ：()0y kx b b =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，由：22y kx b x y=+⎧⎨=⎩，得2220x kx b --=，∴122x x k +=，122x x b =-，∵OA OB ⊥，∴0OA OB⋅=，∴()21212121204x x x x y y x x +=+=，∴2b =，则122x x k +=，124x x ⋅=， ∴121212121222y y kx kx k k x x x x +++=+=+()121222x x k k x x +=+=， 设()33,C x y ，()44,D x y ，由222142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得 ()2212840k xkx +++=，∴342812k x x k -+=+，342412x x k ⋅=+， ∴334434343422y kx y kx k k x x x x +++=+=+ ()3434222x x k k x x +=+=-，∴()123412k k k k +=-+， 即存在常数12λ=-满足题意.22. 解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()12111'21x a x f x a x x x---⎡⎤⎣⎦=+-=，当12a ≤时，()f x 在()0,1上单增，在()1,+∞上单减. 当112a <<时，()f x 在()0,1和1,21a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单增，在11,21a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单减，当1a =时，()f x 在()0,+∞上单增.当1a >时，()f x 在10,21a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭和()1,+∞上单增，在1,121a ⎛⎫⎪-⎝⎭上单减.（2）()f x 在定义域内是增函数，由（1）可知1a =.()21ln 22f x x x x =+-，设12x x <， 又∵()312f =-，∴()()()12321f x f x f +=-=，则1201x x <<<， 设()()()23gx f x f x =-++，()0,1x ∈，则()()()()()321''2'02x g x f x f x x x -=--+=>-对()0,1x ∀∈成立.∴()gx 在()0,1上是增函数.∴()0,1x ∀∈，有()()()12130g x g f <=+=，()0,1x ∀∈，有()()230f x f x -++<，∵101x <<，∴()()11230f x f x -++<，即：()()212f x f x >-，又∵()f x 在()0,+∞单增，∴212x x >-，而122x x +>.。

x(0, ) 秘密★启用前重庆一中2018-2019学年高二(下)期末考试数学试题（理）第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 M = {x | x 2- 2x - 3 < 0}, N = {y | y = ln(1- x )}, 则 M N 为（ ）A ． (-1, 3)B ． (-3,1) C. (-1,1) D. ∅2. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上是单调递减的函数是()A. y = x 3B. y = ln1| x |C. y = 2|x |D. y = cos x3. 函数 f (x ) = ln x + x 2的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34. 若 a = 2.10.2 ， b = 0.60.4 , c = lg 0.6 ，则实数a ， b ， c 的大小关系为（ ）A. a > b > cB. a > c > bC. b > c > aD. b > a > c5. 设 是虚数单位， a ,b ∈ R , 条件 : 复数a -1+ bi 是纯虚数，条件 : a = 1 ,则 是的（ ）A. 充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知函数 y = log a (8 - ax ) (其中a > 0, a ≠ 1)在区间[1,4]上单调递减,则实数a 的取值范围是( )A. (0,1)B. 121C. ( ,1) 2D. (1, 2)7. 已知函数 f (x ) = ln(a + x - x 2) 的定义域是(-1, 2) ,则(a -1 )6的展开式中 x 2的系数是（ ） A ．－192B ．192C ．－230D ．230x0 08. 我市 2021 年新高考方案公布，实行“ 3 +1+ 2 ”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，在所有选科组合中,某学生选择考历史和化学的概率为（ ）1 1 A.B ．281 1 C ． D ．469. 下列说法中, 正确说法的个数是 （）① 在用2 ⨯ 2 列联表分析两个分类变量 A 与 B 之间的关系时,随机变量 的观测值k 越大，说明“A 与 B 有关系”的可信度越大② 以模型 y = ce kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 z = ln y ，将其变换后得到线性方程 z = 0.3x + 4 ，则c , k 的值分别是e 4 和0.3③ 已知两个变量具有线性相关关系,其回归直线方程为 y = a + bx ，若b = 2 ，x = 1， y = 3 ，则a = 1A ．0B ．1C ．2D ．310．下列说法正确的是（）A. 若 p ∨ q 为真命题，则 p ∧ q 为真命题B. 命题“若 x > -1,则 x 2> 1” 的否命题是真命题C. 命题“函数 y = ln(2x ) 的值域是 R”的逆否命题是真命题D. 命题 p :“ ∀a ∈ R ,关于 x 的不等式 x2+ ax +1 > 0 有解”, 则⌝p 为“ ∃a ∈ R ,关于 x 的不等式 x 2+ a x +1≤ 0 无解”11. 已知 f (x ) 是定义在 上的奇函数,对任意 x 1, x 2 ∈[0, +∞) , x 1 ≠ x 2 ,都有(x - x )[ f (x ) - f (x )] < 0 ,且对于任意的t ∈[1,3] ,都有 f (mt 2 - t ) + f (2m ) > 0 恒1212成立，则实数 的取值范围是（）A. m < 13B. m < 311C. m < 24D ． 0 < m < 1312. 已知函数 f (x ) = x 3- 6x 2+ 8x - 2 的图象上,有且只有三个不同的点,它们关于直线y = -2 的对称点落在直线 y = kx - 2 上，则实数k 的取值范围是（）A. (-1, +∞)B. (-1,8)C. (-∞,1)D. (-∞, -8) (8, +∞) (-8,1)⎩第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分. 各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.⎧log 2(3x + 1), 0 ≤x < 2 13．已知函数 f ( x ) = ⎨3x -2 , 2 ≤ x ≤ 4,则 f [ f (1)] = .14.已知定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x +1) = - f (x ) ,且当1≤ x < 2 时,f (x ) = 9x - 9 ,则 f (- 1) =.215.中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造. 算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，用算筹表示数 1～9 的方法如图:例如：163 可表示为“”, 27 可表示为“”. 现有 6 根算筹,用来表示不能被 10 整除的两位数,算筹必须用完,则这样的两位数的个数为.16.已知曲线 F (x , y ) = 0 关于 x 轴、 y 轴和直线 y = x 均对称，设点集S = {(x , y ) | F (x , y ) = 0, x ∈ Z , y ∈ Z }.下列命题中正确命题的序号为．（写出所有正确命题的序号）①若(1, 2) ∈ S , 则(-2, -1) ∈ S ； ②若(0, 2) ∈ S ，则 S 中至少有 4 个元素； ③ S 中元素的个数一定为偶数；④若{(x , y ) | y 2= 4x , x ∈ Z , y ∈ Z } ⊆ S ,则{(x , y ) | x 2= -4 y , x ∈ Z , y ∈ Z } ⊆ S .三、解答题: 本大题 6 个小题,共 70 分. 各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内. 必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.17．（本题 10 分）已知函数 f (x ) =| 2x +1| + | 2 x -3 | ．（1） 解不等式 f (x ) < 10 ；（2） 若 f (x ) 的最小值为m ,正实数a , b 满足4a + 8b = m ，求1 + 2的最小值． a b3 ⎨ 18. （本题 12 分）在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为 ⎧⎪ x = + t (t 为 ⎪⎩ y = 6 - 3t参数），以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 经过极点,且 π其圆心的极坐标为(2, ) .2（1） 求圆 C 的极坐标方程； （2） 若射线θ =π(ρ ≥ 0) 分別与圆 C 和直线 l 交于点 A, B(点 A 异于坐标原点 O)，3求线段 AB 的长.19．（本题 12 分）为评估设备 生产某种零件的性能，从设备 生产零件的流水线上 随机抽取 100 件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值 = 65，标准差 = 2.2，以频率值作为概率的估计值,用样本估计总体.（1） 将直径小于等于 − 2 或直径大于 + 2 的零件认为是次品,从设备 的生产流水线上随意抽取 3 个零件，计算其中次品个数 的数学期望 ( )；（2） 为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（ 表示相应事件的概率）: ① ( − < ≤ + ) ≥ 0.6827； ② ( − 2 < ≤ + 2 ) ≥ 0.9545；③ ( − 3 < ≤ + 3 ) ≥ 0.9973.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备 的性能等级并说明理由.1 120．（本题 12 分）如图，直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AC = BC ， AA 1 = 2 ,AB = 2 , D 为 BB 1 的中点, 点 为线段 AB 1 上的一点.（1） 若 DE ⊥ CD , 求证:DE ⊥ AB 1 ；（2） 若 AE = 2EB 1 ，异面直线 AB 1 与CD所成的角为300，求直线 DE 与平面 AAC C 所成角的正弦值.21．（本题 12 分）已知函数 f (x ) = ln( x +1) - ax ,其中a ∈ R .（1） 求 f (x ) 的单调递增区间;（2） 当 f (x ) 的图像刚好与 x 轴相切时,设函数 g (x ) = (x - 2)ex +m-1+ f (x -1) ,其中m > -1 ,求证: g ( x ) 存在极小值且该极小值小于− .22．（本题 12 分）已知抛物线 E : x 2= 2 py 的焦点为 F ,准线为l , l 与 y 轴的交点为P ,点 M 在抛物线 E 上,过点 M 作 MN ⊥ l 于点 N ,如图 1. 已知cos ∠FMN = 3,且四5边形 PFMN 的面积为 7.2(1) 求抛物线 E 的方程;(2) 若正方形 ABCD 的三个顶点 A , B ,C 都在抛物线 E 上(如图 2),求正方形ABCD 面积的最小值.(图 1)(图 2)高二数学期末试题(理科)参考答案ABBAAD ACDCBD 1, 18, 16, ①②④17．（10 分）解析：（1）①当 ≥ 3时，4x －2<10，解得 x ＜3；②当− 1 ≤ < 3时，4＞10，成立；222③当 < − 1时，2-4x<10，解得 x ＞-2；所以该不等式的解集为(−2,3)．21 2 1 2 （2）因为|2 + 1| + |2 − 3| ≥ 4，所以m = 4, a + 2b = 1, + = ( + )(a + 2b )a b a b = 5 +2b + 2a ≥ 5 += 9 ,当且仅当a = b = 1 时取等号. a b 3故所求最小值为 9. 18. （12 分 ）【解】（1）圆 C 是以(0,2)为圆心,半径为 2 的圆.其方程是 x 2+(y-2)2=4,可得其极坐标方程为 ρ = 4sin θ ，（2）将θ = π 代入 ρ = 4sin θ 得 ρ = 4s in π= 2 3 ，3 A3ρ =9π π直线l :y + √3 = 9,其极坐标方程是 2 sin(θ +) ,将θ = 3代入得3ρB = 9= 3 2sin 2π 3， 故| AB |=| ρ B - ρA |= 3 . 19．（12 分）【解】(1) 由图表知道：直径小于或等于 − 2 的零件有 2 件，大于 + 2 的零件有 4件，共计 6 件.从设备 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为 6100 = 3 ，50依题意 ~ (3, 3 )，故 ( ) = 3 × 3 = 9505050（2）由题意知, − = 62.8， + = 67.2， − 2 = 60.6， + 2 = 69.4， − 3 = 58.4， + 3 = 71.6，所以由图表知道：( − < ≤ + ) = 80 100= 0.80 > 0.6826( − 2 < ≤ + 2 ) = 94 100 ( − 3 < ≤ + 3 ) = 98 100= 0.94 < 0.9544= 0.98 < 0.9974所以该设备 的性能为丙级别.3= 【解】（1）证明：取 中点M ,连接 ， ,有 // 1,因为 = ，所以 ⊥ ,又因为三棱柱 = 1 1 1为直三棱柱，所以平面 ⊥ 平面 1 1, 又因为平面 ∩ 平面 1 1= , 所以 ⊥ 平面 1 1，又因为 ⊂ 平面 1 1,所以 ⊥ 又因为 ⊥ , ∩ = , ⊂平面, ⊂平面 ,所以 ⊥ 平面 ，又因为 ⊂平面 ,所以 ⊥ ,因为 // 1，所以 ⊥ 1.（2）设 AB 1,如图以 为坐标原点，分别以, , 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）可知∠ = 30∘， = √6,所以 = √2,22故 (√2 , 0,0), 1(− √2 , 2,0), C(0,0, √ 2), (− √2 , 1,0), (− √ 2 , 4 , 0),22226 3对平面 AA 1C 1C, 1= (0,2,0) → (0,1,0), = (− √2 , 0, √2) → (1,0, −1),所以其法向量 22为 = (1,0,1)．又= ( √2 , 1 , 0) → (√2, 1,0)， 所以直线 与平面 1 1 成角的正弦⋅值 | || | 3 3= √3. 321．（12 分）【解】（1） f '(x ) =1 x + 11 - a - ax- a = ，当 a ≤0 时, x + 1f '(x ) > 0 , f (x ) 的单增区间是(-1, +∞) ; 当a >0 时, f (x ) 的单增区间是(-1, 1 - a) . a（2）易知,切点为(0,0),由 f '(0) = 1- a = 0 得a = 1, g (x ) = (x - 2)e x +m - x + ln x ，所以 g '(x ) = (x -1)ex +m-1 + 1 = (x -1) ⎛ e x +m - 1 ⎫ ，设ϕ( x ) = e x +m - 1，则ϕ(x ) 在x x ⎪ x ⎝ ⎭(0, +∞) 上是增函数， ϕ(1) = e1+m-1 > 0 ，当 x →0 时,ϕ(x ) → -∞,所以ϕ(x ) = e x- 1x在区间(0,1) 内存在唯一零点x ，即ϕ( x ) = e x 0 +m- 1= 0 . 0当 x ∈(0, x 0 ) 时， g '(x ) > 0 ；当 x ∈( x 0,1) 时， g '(x ) > 0 ;当 x ∈(1, +∞) 时，g '(x ) > 0 ，所以 g(x)存在极小值g (1) = -e 1+m -1.又因为m > -1 ,∴e 1+m > 1,故g (1) < -2 ,得证.BA 1 = O xk 2+ 1 2解:(1)设| MF |=| MN |= 5a ,由已知,则| PN |= 4a , | PF |= 2a = p ,四边形 PFMN 的 (2a + 5a ) ⨯ 4a7 1面积为 S == 14a = 7 p = ,∴ p = ,抛物线 E 的方程为: x 2 = y2 2 2 (2)设 A (x , x 2) , B (x , x 2) , C (x , x 2) ,直线 BC 的斜率为k . 不妨 x < x < x ,则显112233x 2 - x 21 x2 - x 2123然有k > 0 ,且k = 3 2 = x 3 + x 2. AB ⊥ BC ,所以 - = 1 2 = x 1 + x 2 . x 3 - x 2 k x 1 - x 2由|AB|=|BC|得(1 + 1 )(x - x )2 = (1 + k 2)(x - x )2,即(x - x )2 = k 2(x - x )2 ,k 2 2 13 2 2 1 3 2即 x - x = k (x - x ) . 将 x= - 1 - x , x = k - x 代入得2x + 1= k (k - 2x ) . 2 1 3 21 k23 2 2 k 2 ∴(2k + 2)x = k 2 - 1,∴ x = 2 k 2k 3 -1 2k 2 + 2k,故正方形 ABCD 面积为S =| BC |2= (1+ k 2)(x - x )2 = (1+ k 2)(k - 2x )2 = + 2k 2 + 1 23 2(k 2 + 1)2 k 2 + 1 2(k 2 + 1)2(1 k )( k 2 + k) = k 2 ⨯ (k + 1)2 .1+ k 2 ≥ 2k ,∴ ≥ 4 (当且仅当 k=1 时取等) k2k + 1 (k + 1)2 k 2 + 1 1 又 ≥ ,∴k 2 + 1≥ ,∴ ≥ (当且仅当 k=1 时取等).2 2 (k + 1)2 2 从而 S ≥4 ⨯ 1= 2 ,当且仅当 k=1 时取得最小值 2. 2法二: 设 A (x , x 2) , B (x , x 2) , C (x , x 2) ,直线 BC 的斜率为k . 不妨 x < x < x , 则112233123显然有k > 0 .联立 BC: y - x 2= k (x - x ) 和 y = x 2,消去 y 得 x 2- kx + kx - x 2= 0 .2222x + x = k ,∴ x = k - x .同理, x = - 1- x .由|AB|=|BC|得 x = k 3 - 1 3 2 3 2 1 k 2 2 2k 2 + 2k∴S = (k 2 + 1)3 (k 2 + k )2 , S '=6k (k 2 + 1)2(k 2 + k )2 - 2(k 2 + 1)3(k 2 + k )(2k + 1)(k 2 + k )4=2(k 2 + 1)2(k 2 + k )][3k (k 2 + k ) - (k 2 + 1)(2k + 1)] (k 2 + k )4= 2(k 2 + 1)2(k 2 + k )](k 3 + 2k 2 - 2k -1) = 2(k 2 + 1)2(k 2 + k )](k -1)(k 2 + 3k + 1) (k 2 + k )4(k 2 + k )4故 S 在(0,1)减,在(1.+∞)增,从而 k=1 时,S 取最小值 2.。

2019-2020学年重庆一中高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．集合A＝{﹣2，1，2，3}的真子集个数为（）A．16B．15C．14D．132．已知复数z＝（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1D．23．已知函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，则函数的定义域是（）A．[0，1]B．（0，1）C．[0，1）D．（0，1]4．如果函数y＝a x（a＞0，a≠1）的反函数是增函数，那么函数y＝﹣log a（x+1）的图象大致是（）A．B．C．D．5．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：x24568y3040t5070根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程为＝6.5x+17.5，则t的值为（）A．40B．50C．60D．706．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺．若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A．B．C．D．7．使得（3x+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4B．5C．6D．78．某单位晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三个，节目乙和节目丙相邻，该晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．120种B．156种C．188种D．240种9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．10．若x、y满足约束条件，目标函数z＝ax+y取得最大值时的最优解仅为（1，3），则a的取值范围为（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣∞，1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0]11．（多选题）函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣3x﹣2，以下命题错误的是（）A．当x＞0时，f（x）＝x2+3x+2B．函数f（x）有4个零点C．f（x﹣1）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，2）∪（3，+∞）D．f（x）的单调减区间是[﹣，]12．已知偶函数f（x）满足f（4+x）＝f（4﹣x），且当x∈（0，4]时，，关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣200，200]上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）.13．已知f（log2x）＝x2，则f（2）＝．14．若随机变量ξ～B（5，），则D（3ξ+2）＝．15．若函数f（x）＝，若∀x1，x2∈R，x1≠x2，有f（x1）≠f（x2），则实数a的取值范围是．16．设x，y为正实数，若4x2+y2+xy＝1，则的最大值是三、解答题（共6个小题）17．已知集合A＝{x|y＝lg（﹣x2﹣x+12）}，B＝{x|≥1}，C＝{x||x﹣a|≤6}．（1）求A∩B；（2）若“x∈C”是“x∈A∩B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）＝log2（2x+1）﹣kx的图象过点（2，log2）．（Ⅰ）若不等式f（x）+恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数h（x）＝2+m•4x﹣1，x∈[0，log23]，若实数m＜0，求h（x）的最小值．19．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB ＝90°，BE＝BC，F为CE的中点．（1）求证：平面BDF⊥平面ACE；（2）若BE＝2AE＝2，在线段AE上找一点P，使得直线BF与平面PBD所成角的正弦值为，求PE的长．20．为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目．工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示如表：男生女生总计喜欢阅读中国古典文学423072不喜欢阅读中国古典文301848学总计7248120（1）判断是否有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的的学生进行中国古典文学阅读交流．实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学．现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记ξ为参加会议的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．附表及公式：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2＞k0）0.050.0250.0100.0050.001 k0 3.841 5.024 6.6357.87910.82821．点P（x，y）与定点F（，0）的距离和它到直线x＝2的距离之比是常数，设点P的轨迹为曲线E．直线l与抛物线x2＝2y交于A，B两点，与曲线E交于C，D 两点，设直线OA，OB，OC，OD（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，k3，k4，若OA⊥OB．（1）求曲线E的方程；（2）是否存在常数λ，满足k1k2＝λ（k3+k4）？若存在，求出λ；若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）＝lnx+（a﹣）x2﹣2ax，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数x1，x2使得f（x1）+f（x2）＝﹣3，证明：x1+x2＞2．参考答案一、选择题（共12小题）.1．集合A＝{﹣2，1，2，3}的真子集个数为（）A．16B．15C．14D．13【分析】由含有n个元素的集合，其真子集个数为2n﹣1个可得答案．解：∵集合A＝{﹣2，1，2，3}；则集合A真子集的个数为24﹣1＝15个，故选：B．2．已知复数z＝（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1D．2【分析】利用复数模长的性质即可求解．解：∵复数z＝，∴＝＝，故选：A．3．已知函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，则函数的定义域是（）A．[0，1]B．（0，1）C．[0，1）D．（0，1]【分析】根据f（x）的定义域即可得出，函数g（x）需满足条件：，解出x的范围即可．解：∵f（x）的定义域是[﹣1，1]；∴g（x）需满足：；解得0＜x＜1；∴g（x）的定义域是（0，1）．故选：B．4．如果函数y＝a x（a＞0，a≠1）的反函数是增函数，那么函数y＝﹣log a（x+1）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】本题关键在于需要知道如何求解反函数并且熟悉对数函数的基本性质．解：y＝a x的反函数为y＝log a x，因为该函数为增函数，所以a＞1，因此y＝﹣log a（x+1）的图象单调递减，排除B和D．因为函数定义域为x+1＞0因此x＞﹣1，故选：C．5．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：x24568y3040t5070根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程为＝6.5x+17.5，则t的值为（）A．40B．50C．60D．70【分析】先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果．解：∵a＝﹣b，由回归方程知17.5＝﹣6.5＝﹣6.5×，解得t＝60，故选：C．6．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺．若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A．B．C．D．【分析】设水深为x尺，利用勾股定理求出水深，结合葭长13尺，代入几何概型概率计算公式，可得答案．解：设水深为x尺，则（x+1）2＝x2+52，解得x＝12，即水深12尺．又葭长13尺，则所求概率，故选：B．7．使得（3x+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4B．5C．6D．7【分析】利用二项展开式的通项公式T r+1＝3n﹣r••，令x的幂指数n﹣r＝0即可求得展开式中含有常数项的最小的n．解：设（n∈N+）的展开式的通项为T r+1，则：T r+1＝3n﹣r••x n﹣r•＝3n﹣r••，令n﹣r＝0得：n＝r，又n∈N+，∴当r＝2时，n最小，即n min＝5．故选：B．8．某单位晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三个，节目乙和节目丙相邻，该晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．120种B．156种C．188种D．240种【分析】根据题意，记演出的顺序依次为1到6号，由于甲只能排在1、2、3的位置，按甲的位置分三种情况讨论，依次求出每种情况的编排方法，由加法原理分析可得答案．解：根据题意，记演出的顺序依次为1到6号，由于节目甲必须排在前三位，即甲只能排在1、2、3的位置，分3种情况讨论：①、甲排在1号位置，节目乙和节目丙必须排在一起，则节目乙和节目丙可选的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33＝6种安排方法，则此时有4×2×6＝48种编排方法；②、甲排在2号位置，节目乙和节目丙必须排在一起，则节目乙和节目丙可选的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33＝6种安排方法，则此时有3×2×6＝36种编排方法；③、甲排在3号位置，节目乙和节目丙必须排在一起，则节目乙和节目丙可选的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33＝6种安排方法，则此时有3×2×6＝36种编排方法；则符合题意要求的编排方法有36+36+48＝120种；故选：A．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【分析】几何体为半球与半圆柱的组合体．解：由三视图可知几何体半球与半圆柱的组合体，半球的半径为1，半圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V＝+＝．故选：B．10．若x、y满足约束条件，目标函数z＝ax+y取得最大值时的最优解仅为（1，3），则a的取值范围为（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣∞，1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0]【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值时的条件，转化为斜率之间的关系进行求解即可．解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝ax+y得y＝﹣ax+z，要使目标函数z＝ax+y取得最大值时的最优解仅为（1，3），则若a＝0，则直线y＝z在A（1，3）处取得最大值，满足条件．若a＜0，则﹣a＞0，要使直线y＝﹣ax+z在A（1，3）处取得最大值，则直线y＝﹣ax+z的斜率小于AC的斜率k＝1，即﹣a＜﹣1，的﹣1＜a＜0，若a＞0，则﹣a＜0，要使直线y＝﹣ax+z在A（1，3）处取得最大值，则直线y＝﹣ax+z的斜率大于AB的斜率k＝﹣1，即﹣a＞﹣1，的0＜a＜1，综上﹣1＜a＜1，即实数a的取值范围是（﹣1，1），故选：A．11．（多选题）函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣3x﹣2，以下命题错误的是（）A．当x＞0时，f（x）＝x2+3x+2B．函数f（x）有4个零点C．f（x﹣1）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，2）∪（3，+∞）D．f（x）的单调减区间是[﹣，]【分析】A，由奇偶性可得f（x）＝﹣f（﹣x）即可求解；B，解方程﹣x2﹣3x﹣2＝0（x＜0），x2﹣3x+2＝0（x＞0），及f（0）＝0，即可判断；C，解不等式﹣x2﹣3x﹣2＞0（x＜0），x2﹣3x+2＞0（x＞0），即可判断；D，根据解析式即可求解．解：对于A，令x＞0，可得f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（﹣x2+3x﹣2）＝x2﹣3x+2，故错误；对于B，解方程﹣x2﹣3x﹣2＝0（x＜0），x2﹣3x+2＝0（x＞0），可得方程共有4个根，又f（0）＝0，故错误；对于C，解不等式﹣x2﹣3x﹣2＞0（x＜0），x2﹣3x+2＞0（x＞0），可得﹣2＜x＜﹣1，0＜x＜1，x＞2，故f（x﹣1）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，2）∪（3，+∞），故正确；对于D，f（x）的单调减区间是[，0），（0，]，故错．故选：ABD．12．已知偶函数f（x）满足f（4+x）＝f（4﹣x），且当x∈（0，4]时，，关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣200，200]上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据f（x）的周期和对称性得出不等式在（0，4]上的整数解的个数为3，计算f（k）（k＝1，2，3，4）的值得出a的范围．解：∵偶函数f（x）满足f（x）满足f（4+x）＝f（4﹣x），∴f（x+4）＝f（4﹣x）＝f（x﹣4），∴f（x）的周期为8，且f（x）的图象关于直线x＝4对称．由于[﹣200，200]上含有50个周期，且f（x）在每个周期内都是轴对称图形，∴关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0在（0，4]上有3个整数解．当x∈（0，4]时，f′（x）＝，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，4）上单调递减，∵f（1）＝ln2，f（2）＞f（3）＞f（4）＝＝ln2＞0，∵当x＝k（k＝1，2，3，4）时，f（x）＞0，∴当a≥0时，f2（x）+af（x）＞0在（0，4]上有4个整数解，不符合题意，∴a＜0，由f2（x）+af（x）＞0可得f（x）＜0或f（x）＞﹣a．显然f（x）＜0在（0，4]上无整数解，故而f（x）＞﹣a在（0，4]上有3个整数解，分别为1，2，3．∴﹣a≥f（4）＝，﹣a＜f（3）＝，﹣a＜f（1）＝ln2，∴﹣＜a≤﹣ln2．故选：D．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．已知f（log2x）＝x2，则f（2）＝16．【分析】设log2x＝t，则x＝2t，f（t）＝（2t）2，由此能求出f（2）．解：∵f（log2x）＝x2，∴设log2x＝t，则x＝2t，f（t）＝（2t）2，∴f（2）＝（22）2＝16．故答案为：16．14．若随机变量ξ～B（5，），则D（3ξ+2）＝10．【分析】利用二项分布的方差公式进行计算．解：∵随机变量ξ～B（5，），∴D（ξ）＝5××＝，∴D（3ξ+2）＝9D（ξ）＝10．故答案为：10．15．若函数f（x）＝，若∀x1，x2∈R，x1≠x2，有f（x1）≠f（x2），则实数a的取值范围是[，）．【分析】由题意可知f（x）是单调函数，对f（x）的单调性进行讨论列不等式组求出a 的范围．解：∵对∀x1，x2∈R，x1≠x2，有f（x1）≠f（x2），∴f（x）是单调函数，（1）若f（x）单调递增，则，方程组无解；（2）若f（x）单调递减，则，解得：≤a＜．故答案为：[，）．16．设x，y为正实数，若4x2+y2+xy＝1，则的最大值是【分析】先由4x2+y2+xy＝1⇒2x+y＝，然后令＝t，得到：＝，再利用基本不等式求其最大值．解：由题设可得：（2x+y）2﹣3xy＝1，即（2x+y）2＝1+3xy，∴2x+y＝＞0，令＝t，则1+3xy＝t2，∴＝＝≤＝，当且仅当t＝也即t＝时取“＝“，此时xy＝．故答案为：．三、解答题（本大共6个小题，其中第17小题10分，其余每个小题12分，共70分.）17．已知集合A＝{x|y＝lg（﹣x2﹣x+12）}，B＝{x|≥1}，C＝{x||x﹣a|≤6}．（1）求A∩B；（2）若“x∈C”是“x∈A∩B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∩B．（2求出A∩B＝{x|﹣4＜x≤2}，C＝{x||x﹣a|≤6}＝{x|a﹣6≤x≤a+6}．由“x∈C”是“x∈A ∩B”的必要不充分条件，得（A∩B）⊆C，由此列出不等式组，能求出实数a的取值范围．解：（1）∵集合A＝{x|y＝lg（﹣x2﹣x+12）}＝{x|﹣x2﹣x+12＞0}＝{x|﹣4＜x＜3}，B＝{x|≥1}＝{x|﹣4＜x≤2}，∴A∩B＝{x|﹣4＜x≤2}．（2）∵A∩B＝{x|﹣4＜x≤2}，C＝{x||x﹣a|≤6}＝{x|a﹣6≤x≤a+6}．“x∈C”是“x∈A∩B”的必要不充分条件，∴（A∩B）⊆C，∴，解得﹣4≤a＜2，∴实数a的取值范围是[﹣4，2）．18．已知函数f（x）＝log2（2x+1）﹣kx的图象过点（2，log2）．（Ⅰ）若不等式f（x）+恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数h（x）＝2+m•4x﹣1，x∈[0，log23]，若实数m＜0，求h（x）的最小值．【分析】（Ⅰ）代入点（2，log2），求得k，可得f（x）的解析式，由题意可得a＜log2（2x+1）恒成立，运用指数函数和对数函数的单调性，可得所求范围；（Ⅱ）化简可得h（x）＝m•4x+2x，运用换元法和二次函数在闭区间上的最值求法，可得所求最小值．解：（Ⅰ）函数f（x）＝log2（2x+1）﹣kx的图象过点（2，log2），可得log25﹣2k＝log2＝log25﹣1，即2k＝1，解得k＝，则f（（x）＝log2（2x+1）﹣x，f（x）+恒成立，即为a＜log2（2x+1）恒成立，由log2（2x+1）＞log21＝0，则a≤0，可得a的取值范围是（﹣∞，0]；（Ⅱ）函数h（x）＝2+m•4x﹣1，即h（x）＝2+m•4x﹣1，化为h（x）＝m•4x+2x，设2x＝t，由x∈[0，log23]可得1≤t≤3，则有g（t）＝mt2+t，1≤t≤3，且m＜0，①当﹣≥3，解得﹣≤m＜0，g（t）在[1，3]递增，可得g（t）取得最小值g（1）＝m+1；②当﹣＜m≤﹣时，m+1≥9m+3，可得g（t）的最小值为g（3）＝9m+3；③当﹣＜m＜﹣时，m+1＜9m+3，可得g（t）的最小值为g（1）＝m+1；④当﹣≤1，即m≤﹣，g（t）在[1，3]递减，可得g（t）的最小值为g（3）＝9m+3．综上可得，当﹣＜m＜0时，h（x）的最小值为m+1；当m≤﹣时，h（x）的最小值为9m+3．19．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB ＝90°，BE＝BC，F为CE的中点．（1）求证：平面BDF⊥平面ACE；（2）若BE＝2AE＝2，在线段AE上找一点P，使得直线BF与平面PBD所成角的正弦值为，求PE的长．【分析】（1）推导出BC⊥平面ABE，BC⊥AE，AE⊥BE，从而AE⊥平面BCE，AE ⊥BF．BF⊥CE，AE∩CE＝E，进而BF⊥平面ACE，由此能证明平面BDF⊥平面ACE．（2）以E为坐标原点，EB为x轴，EA为y轴，过点E作平面ABE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段AE上存在点P，且PE＝，使得直线BF 与平面PBD所成角的正弦值为．解：（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，平面ABCD∩平面ABE＝AB∴BC⊥平面ABE，又∵AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE，又∵AE⊥BE，BC∩BE＝B，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BF．在△BCE中，BE＝CB，F为CE的中点，∴BF⊥CE，AE∩CE＝E，∴BF⊥平面ACE，又BF⊂平面BDF，∴平面BDF⊥平面ACE．（2）解：以E为坐标原点，EB为x轴，EA为y轴，过点E作平面ABE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设EP＝a，则B（2，0，0），D（0，1，2），F（1，0，1），P（0，a，0），＝（﹣2，1，2），＝（﹣1，0，1），＝（2，﹣a，0），设面BDP的法向量＝（x，y，z），则，取x＝a，得＝（a，2，a﹣1），∵直线BF与平面PBD 所成角的正弦值为，∴＝＝，解得a ＝，∴线段AE上存在点P，且PE ＝，使得直线BF与平面PBD 所成角的正弦值为．20．为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目．工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示如表：男生女生总计喜欢阅读中国古典文学423072不喜欢阅读中国古典文301848学总计7248120（1）判断是否有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的的学生进行中国古典文学阅读交流．实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学．现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记ξ为参加会议的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．附表及公式：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2＞k0）0.050.0250.0100.0050.001 k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）求出K2＝0.208＜3.841，从而没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系．（2）设参加座谈会中喜欢中国古典文学的人数为m，女生为n，则ξ＝m+n，ξ＝2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．解：（1）K2＝＝＝0.208＜3.841，∴没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系．（2）设参加座谈会中喜欢中国古典文学的人数为m，女生为n，则ξ＝m+n，ξ＝2，3，4，P（ξ＝2）＝P（m＝1，n＝1）＝＝，P（ξ＝3）＝P（m＝2，n＝1）+P（m＝1，n＝2）＝＝，P（ξ＝4）＝P（m＝2，n＝2）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ234PE（ξ）＝＝．21．点P（x，y）与定点F（，0）的距离和它到直线x＝2的距离之比是常数，设点P的轨迹为曲线E．直线l与抛物线x2＝2y交于A，B两点，与曲线E交于C，D 两点，设直线OA，OB，OC，OD（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，k3，k4，若OA⊥OB．（1）求曲线E的方程；（2）是否存在常数λ，满足k1k2＝λ（k3+k4）？若存在，求出λ；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据条件可得＝，整理即可得E的方程；（2）设直线l：y＝kx+b，与x2＝2y联立，利用根与系数关系结合OA⊥OB，可得直线l 方程为y＝kx+2，表示出k1+k2＝k，联立直线与椭圆，利用根与系数关系可得k3+k4＝﹣6k，然后求出λ的值．解：（1）因为点P（x，y）与定点F（，0）的距离和它到直线x＝2的距离之比是常数，所以＝，整理可得x2+2y2＝4，即，故曲线E的方程为：；（2）易知直线l的斜率存在且不过原点，不妨设l：y＝kx+b（b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得x2﹣2kx﹣2b＝0，则x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2b，所以y1y2＝＝b2，因为OA⊥OB，所以＝x1x2+y1y2＝﹣2b+b2＝0，解得b＝2，由l：y＝kx+2，知直线恒过点（0，2），由b＝2，得x1+x2＝2k，x1x2＝﹣4，所以k1+k2＝＝＝＝＝k，设C（m，n），D（a，t），联立，整理得（1+2k2）x2+8kx+4＝0，则m+a＝﹣，ma＝，所以k3+k4＝＝＝2k+＝﹣6k，则k1k2＝﹣（k3+k4），即λ＝﹣．22．已知函数f（x）＝lnx+（a﹣）x2﹣2ax，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数x1，x2使得f（x1）+f（x2）＝﹣3，证明：x1+x2＞2．【分析】（1）定义域为（0，+∞），求导得f′（x）＝，分三种情况当a≤时，当a＜1时，当a＝1时，当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．（2）由（1）可知a＝1，此时f（x）＝lnx+﹣2x，设x1＜x2，f（x1）+f（x2）＝﹣3＝2f（1），则0＜x1＜1＜x2，设g（x）＝f（2﹣x）+f（x）+3，x∈（0，1），求导得g′（x）＝＞0，对任意x∈（0，1）恒成立，所以g（x）在（0，1）是增函数，所以对任意x∈（0，1），有g（x）＜g（1）＝2f（1）+3＝0，即对任意x∈（0，1），有f（2﹣x）+f（x）+3＜0，因为0＜x1＜1，所以f（2﹣x1）+f（x1）+3＜0，即有f（x2）＞f（2﹣x1），又f（x）在（0，+∞）单调递增，所以x2＞2﹣x1，即可得出结论．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）＝lnx+（a﹣）x2﹣2ax，所以f′（x）＝+（2a﹣1）x﹣2a＝＝，当a≤时，令，得0＜x＜1，令，得x＞1，当a＜1时，则，令，得0＜x＜1，或x＞，令，得1＜x＜，当a＝1时，f′（x）≥0，当a＞1时，则0＜＜1，令，得0＜x＜，或x＞1，令，得＜x＜1，综上，当a≤时，f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）上递减，当a＜1时，f（x）在（0，1），（，+∞）单调递增，在（1，）上递减，当a＝1时，f（x）在（0，+∞）单调递增，当a＞1时，f（x）在（0，），（1，+∞）单调递增，在（，1）上递减，（2）证明：f（x）在定义域内是增函数，由（1）可知a＝1，此时f（x）＝lnx+﹣2x，设x1＜x2，因为f（x1）+f（x2）＝﹣3＝2f（1），则0＜x1＜1＜x2，设g（x）＝f（2﹣x）+f（x）+3，x∈（0，1），则g′（x）＝﹣f′（2﹣x）+f′（x）＝﹣+＝＞0，对任意x∈（0，1）恒成立，所以g（x）在（0，1）是增函数，所以对任意x∈（0，1），有g（x）＜g（1）＝2f（1）+3＝0，即对任意x∈（0，1），有f（2﹣x）+f（x）+3＜0，因为0＜x1＜1，所以f（2﹣x1）+f（x1）+3＜0，即有f（x2）＞f（2﹣x1），又f（x）在（0，+∞）单调递增，所以x2＞2﹣x1，即x1+x2＞2．。

2020年重庆一中高2021级高二下期期末考试数学测试试题卷注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一、选择题（每小题5分，共60分，其中第11题为多选，选错或者漏选不得分，其他题目为单选.）1.集合{}2,1,2,3A =-的真子集个数为（）A.16B.15C.14D.132.已知复数12iz i-=（其中i 是虛数单位），则z =（）A.22B.C.1D.23.已知函数()f x 的定义域是[]1,1-，则函数()()()21ln 1f x g x x -=-的定义域是（）A.[]0,1 B.[)0,1 C.(]0,1 D.()0,14.如果函数()0,1xy aa a =>≠是增函数，那么函数()log 1a y x =-+的图象大致是（）A. B.C. D.5.某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：x24568y3040t5070根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程为6.517.5y x =+，则t 的值为（）A.40B.50C.60D.706.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈宽，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A.2329B.2129C.1112D.12137.使得()3nx n N+⎛+∈ ⎝的展开式中含常数项的最小的n 为（）A.4B.5C.6D.78.某单位晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三个，节目乙和节目丙相邻，该晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A.120种B.156种C.188种D.240种9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.243π+B.43π C.223π+D.53π10.若x ，y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅为()1,3，则a 的取值范围为（）A.()1,1- B.[)0,1 C.()(),11,-∞-+∞ D.(]1,0-11.（多选）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()232f x x x =---，以下命题错误．．的是（）A.当0x >时，()232f x x x =++ B.函数()f x 有4个零点C.()10f x ->的解集为()()()1,01,23,-+∞D.()f x 的单调减区间是33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12.已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在区间[]200,200-上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是（）A.1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦C.13ln 6,ln 234⎛⎫--⎪⎝⎭D.13ln 6,ln 234⎛⎤--⎥⎝⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()22log f x x =，则()2f =______.14.若随机变量15,3B ξ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则(32)D ξ+=______.15.函数()()()()3141log 1a a x a x f x x x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，若12,x x R ∀∈，12x x ≠，有()()12f x f x ≠，则实数a 的取值范围是______.16.设x ，y 为正实数，若2241x y xy ++=，则266x yxy++的最大值是______.三、解答题（本大题共6个小题，其中第17小题10分，其余每个小题12分，共70分.）17.已知集合(){}2|lg 12A x y x x ==--+，614B xx ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}|6C x x a =-≤.（1）求A B ；（2）若“x C ∈”是“x A B ∈ ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18.已知函数()()2log 21x f x kx =+-的图象过点252,log 2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）不等式()102f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）函数()()12241f x xx h x m +=+⋅-，[]20,log 3x ∈，若实数0m <，求()h x 的最小值.19.如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，90AEB ∠=︒，BE BC =，F 为CE 的中点.（1）求证：平面BDF ⊥平面ACE ；（2）若22BE AE ==，在线段AE 上找一点P ，使得直线BF 与平面PBD 所成角的正弦值为13，求PE 的长.20.为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示如图：男生女生总计喜欢阅读中国古典文学423072不喜欢阅读中国古典文学301848总计7248120（1）判断是否有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记ξ为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望()E ξ.附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.()20P K k ≥0.050.0250.0100.0050.0010k 3.8415.0246.6357.87910.82821.点(),P x y 与定点)F的距离和它到直线x =的距离之比是常数2，设点P 的轨迹为曲线E .直线l 与抛物线22x y =交于A ，B 两点，与曲线E 交于C ，D 两点，设直线OA ，OB ，OC ，OD （O为坐标原点）的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，若OA OB ⊥.（1）求曲线E 的方程；（2）是否存在常数λ，满足()1234k k k k λ+=+？若存在，求出λ；若不存在，说明理由.22.已知函数()21ln 22f x x a x ax ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数1x ，2x ，使得()()123f x f x +=-，证明：122x x +>.参考答案一、选择题1-5：BADCC 6-10：BBADA11.ABD12.D二、填空题13.1614.1015.11,73a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭16.18三、解答题17.解：（1）{}{}2|120|43A x x x x x =--+>=-<<，{}|42B x x =-<≤，∴{}|42A B x x =-<≤ .（2）∵“x C ∈”是“x A B ∈ ”的必要不充分条件，∴()A B C Þ，∴42a b a b -≤-⎧⎨+≥⎩，解得42a -≤≤，{}|C x a b x a b =-≤≤+，∴[]4,2a ∈-.18.解：（1）∵()()2log 21x f x kx =+-的图像过点252,log 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()2225log 212log 2k +-=，∴12k =，∴()()21log 212xf x x =+-.∴()0g x >恒成立即()2log 210x a +->恒成立.令()()2log 21x u x =+，则命题等价于()min a u x <，而()u x 在R 上单增.∴()0u x >，∴0a ≤.（2）()()222x x h x m =⋅+，令2x t =，∵[]20,log 3x ∈，∴[]1,3t ∈，∴()2y h x mt t ==+，[]1,3t ∈，①当122t m =->，即104m -<<时，()min 11y y m ==+；②当122t m =-≤，即14m ≤-时，()min 393y y m ==+，综上：min11,04193,4m m y m m ⎧+-<<⎪⎪=⎨⎪+≤-⎪⎩.19.证明：（1）∵面ABCD ⊥面ABE ，BC AB ⊥，面ABCD 面ABE AB =，BC ⊂面ABCD ，∴BC ⊥面ABE ，∴BC AE ⊥.又∵AE BE ⊥，BC BE B = ，BC ⊂面BCE ，BE ⊂面BCE ，∴AE ⊥面BCE .∴AE BF ⊥，又∵BE BC =，F 为EC 中点，∴BF CE ⊥，AE CE E = ，∴BF ⊥面ACE .又∵BF ⊂面BDF ，∴面BDF ⊥面ACE .（2）以E 为坐标原点，EB 为x 轴，EA 为y 轴如图建立空间直角坐标系，则()2,0,0B ，()0,1,2D ，()2,0,2C ，()1,0,1F ，设()0,,0P a ，∴()2,1,2BD =- ，()1,0,1BF =- ，()2,,0PB a =-，设面BDP 的法向量(),,n x y z =，由n BD ⊥ ，n PB ⊥ ，得：22020x y z x ay -++=⎧⎨-=⎩，令2y =，则x a =，1z a =-，∴(),2,1n a a =-.sin cos ,BF n BF n BF n θ⋅==13==，∴12a =，即12PE =.20.（1）22120(42183030)0.208 3.84172487248K ⨯-⨯==<⨯⨯⨯，∴没有95%的把握认为喜欢中国古典文学与性别有关.（2）设参加座谈会中喜欢中国古典文学的人数为m ，女生为n ，则m n ξ=+，2,3,4ξ=，()()121122212243121,13C C C C P P m n C C ξ⋅======⋅，()()()32,11,2P P m n P m n ξ====+==11122222324312C C C C C C +==⋅，()()12223243142,26C C P P m n C C ξ⋅======⋅，∴ξ的分布列为ξ234P131216∴()111172343266E ξ=⨯+⨯+⨯=.21.解：（1）由题意知：2=，化简得：E ：22142x y +=.（2）由题知：l 的斜率存在且不过原点，设l ：()0y kx b b =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，由：22y kx bx y=+⎧⎨=⎩，得2220x kx b --=，∴122x x k +=，122x x b =-，∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=，∴()21212121204x x x x y y x x +=+=，∴2b =，则122x x k +=，124x x ⋅=，∴121212121222y y kx kx k k x x x x +++=+=+()121222x x k k x x +=+=，设()33,C x y ，()44,D x y ，由222142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2212840k xkx +++=，∴342812k x x k -+=+，342412x x k ⋅=+，∴334434343422y kx y kx k k x x x x +++=+=+()3434222x x k k x x +=+=-，∴()123412k k k k +=-+，即存在常数12λ=-满足题意.22.解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()12111'21x a x f x a x x x---⎡⎤⎣⎦=+-=，当12a ≤时，()f x 在()0,1上单增，在()1,+∞上单减.当112a <<时，()f x 在()0,1和1,21a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单增，在11,21a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单减，当1a =时，()f x 在()0,+∞上单增.当1a >时，()f x 在10,21a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭和()1,+∞上单增，在1,121a ⎛⎫⎪-⎝⎭上单减.（2）()f x 在定义域内是增函数，由（1）可知1a =.()21ln 22f x x x x =+-，设12x x <，又∵()312f =-，∴()()()12321f x f x f +=-=，则1201x x <<<，设()()()23g x f x f x =-++，()0,1x ∈，则()()()()()321''2'02x g x f x f x x x -=--+=>-对()0,1x ∀∈成立.∴()g x 在()0,1上是增函数.∴()0,1x ∀∈，有()()()12130g x g f <=+=，()0,1x ∀∈，有()()230f x f x -++<，∵101x <<，∴()()11230f x f x -++<，即：()()212f x f x >-，又∵()f x 在()0,+∞单增，∴212x x >-，而122x x +>.。