九年级下数学《二次函数--配方法及其应用》课件
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九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练专题06 一元二次方程-配方法典例解读【典例1】解方程:x2+4x﹣1=0.【点拨】首先进行移项,得到x2+4x=1,方程左右两边同时加上4,则方程左边就是完全平方式,右边是常数的形式,再利用直接开平方法即可求解.【解析】解:∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴(x+2)2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+,x2=﹣2﹣.【总结】配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.【典例2】用配方法解方程:2x2﹣12x﹣2=0.【点拨】首先将二次项系数化为1,再将方程的常数项移动方程右边,两边都加上9,左边化为完全平方式,右边合并,开方转化为两个一元一次方程,求出一次方程的解即可得到原方程的解.【解析】解:2x2﹣12x﹣2=0,系数化为1得:x2﹣6x﹣1=0,移项得:x2﹣6x=1,配方得:x2﹣6x+9=10,即(x﹣3)2=10,开方得:x﹣3=±10,则x 1=3+10,x 2=3﹣10.【总结】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,利用此方法解方程时,首先将二次项系数化为1,常数项移动方程右边,然后两边都加上一次项系数一半的平方,左边化为完全平方式,右边合并,开方转化为两个一元一次方程来求解.【典例3】若代数式221078M a b a =+-+,2251N a b a =+++,则M N -的值( )A.一定是负数 B.一定是正数 C.一定不是负数 D.一定不是正数【答案】B ;【解析】(作差法)22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>.故选B.【总结】本例是“配方法”在比较大小中的应用,通过作差法最后拆项、配成完全平方,使此差大于零而比较出大小.【典例4】用配方法证明21074x x -+-的值小于0. 【点拨】本题不是用配方法解一元二次方程,但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异,即思路一致. 【解析】22271074(107)410410x x x x x x ⎛⎫-+-=-+-=--- ⎪⎝⎭27494910410400400x x ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭274910420400x ⎡⎤⎛⎫=----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵ 2710020x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭,∴ 271111002040x ⎛⎫---< ⎪⎝⎭, 即210740x x -+-<.故21074x x -+-的值恒小于0.【总结】证明一个代数式大于零或小于零,常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明.【典例5】用配方法证明:二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0.【解析】解:﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8(x 2﹣x )﹣5=﹣8[x 2﹣x+()2]﹣5+8×()2=﹣8(x ﹣)2﹣, ∵(x ﹣)2≥0, ∴﹣8(x ﹣)2≤0, ∴﹣8(x ﹣)2﹣<0, 即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0.【总结】利用配方法将代数式配成完全平方式后,再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值.【典例6】若把代数式x 2+2bx+4化为(x ﹣m )2+k 的形式,其中m ,k 为常数,则k ﹣m 的最大值是 . 【答案】417; 【解析】解:x 2+2bx+4=x 2+2bx+b 2﹣b 2+4 =(x+b )2﹣b 2+4; ∴m=﹣b ,k=﹣b 2+4, 则k ﹣m=﹣(b ﹣21)2+417. ∵﹣(b ﹣21)2≤0, ∴当b=21时,k ﹣m 的最大值是417. 故答案为:417.【总结】此题考查利用完全平方公式配方,注意代数式的恒等变形. 【典例7】已知223730216b a a b -+-+=,求4a b - 【点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ,可配成两个完全平方式.【解析】将原式进行配方,得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴ 302a -=且104b -=, ∴ 32a =,14b =.∴ 31314422422a b -=-=-=-. 【总结】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式,进而求出a .b 的值.【教材知识必背】一、一元二次方程的解法---配方法 1.配方法解一元二次方程: (1)配方法解一元二次方程: 将一元二次方程配成的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式:.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤: ①把原方程化为的形式;②将常数项移到方程的右边;方程两边同时除以二次项的系数,将二次项系数化为1; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;教材知识链接④再把方程左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤若方程右边是非负数,则两边直接开平方,求出方程的解;若右边是一个负数,则判定此方程无实数解. 诠释:(1)配方法解一元二次方程的口诀:一除二移三配四开方;(2)配方法关键的一步是“配方”,即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. (3)配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±. 二、配方法的应用1.用于比较大小:在比较大小中的应用,通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方,使此差大于零(或小于零)而比较出大小.2.用于求待定字母的值:配方法在求值中的应用,将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后,再运用非负数的性质求出待定字母的取值.3.用于求最值:“配方法”在求最大(小)值时的应用,将原式化成一个完全平方式后可求出最值. 4.用于证明:“配方法”在代数证明中有着广泛的应用,我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用. 诠释:“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位,是恒等变形的重要手段,是研究相等关系,讨论不等关系的常用技巧,是挖掘题目当中隐含条件的有力工具,同学们一定要把它学好.【变式1】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2=0; (2)x 2+6x+8=0. 【答案】(1)方程变形为x 2-4x=2. 两边都加4,得x 2-4x+4=2+4.精准变式题利用完全平方公式,就得到形如(x+m)2=n 的方程,即有(x-2)2=6. 解这个方程,得x-2=或x-2=-. 于是,原方程的根为x=2+或x=2-.(2)将常数项移到方程右边x 2+6x=-8. 两边都加“一次项系数一半的平方”=32,得 x 2+6x+32=-8+32,∴ (x+3)2=1.用直接开平方法,得x+3=±1, ∴ x=-2或x=-4. 【变式2】用配方法解方程 (1)(2)20x px q ++=【答案】(1)2235x x +=2253x x -=-25322x x -=- 2225535()()2424x x -+=-+251()416x -=5144x -=±123,12x x ==.(2)20x px q ++=222()()22p px px q ++=-+224()24p p qx -+=①当240p q -≥时,此方程有实数解,221244p p q p p qx x -+----==②当240p q -<时,此方程无实数解.【变式3】求代数式 x 2+8x+17的最小值 【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=(x+4)2+1 ∵(x+4)2≥0,∴当(x+4)2=0时,代数式 x 2+8x+17的最小值是1.【变式4】试用配方法证明:代数式223x x -+的值不小于238. 【答案】 22123232x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭22211123244x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21123416x ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112348x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2123248x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.∵ 21204x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,∴ 2123232488x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭.即代数式223x x -+的值不小于238. 【变式5】(1)的最小值是 ;(2)的最大值是 .【答案】(1)222222333152632(3)323()()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+-=+-=++--=+-⎢⎥⎣⎦;所以的最小值是152-(2)22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x -++=--+=--+-+=--+所以的最大值是9.1. 用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣3=0时,原方程可变形为( ) A .(x+2)2=1 B .(x+2)2=7 C .(x+2)2=13 D .(x+2)2=19 【答案】B .【解析】x 2+4x=3,x 2+4x+4=7,(x+2)2=7. 2.下列各式是完全平方式的是( )A .277x x ++B .244m m -- C .211216n n ++ D .222y x -+ 【答案】C ;【解析】211216n n ++214n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.3.用配方法解下列方程时,配方有错误的是( )A .22990x x --=化为2(1)100x -= B .22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C .2890x x ++=化为2(4)25x += D .23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】C ;【解析】选项C :2890x x ++=配方后应为2(4)7x +=.4.把一元二次方程x 2﹣6x+4=0化成(x+n )2=m 的形式时,m+n 的值为( ) A .8 B .6 C .3 D .2 【答案】D ;【解析】 x 2﹣6x=﹣4,∴ x 2﹣6x+9=﹣4+9,即得(x ﹣3)2=5,∴ n=﹣3,m=5, ∴ m+n=5﹣3=2.故选D .5.不论x 、y 为何实数,代数式22247x y x y ++-+的值 ( )A .总小于2B .总不小于7C .为任何实数D .不能为负数 【答案】D ;【解析】2222247(1)(2)22x y x y x y ++-+=++-+≥.综合提升变式练6.若x 2+6x+m 2是一个完全平方式,则m 的值是( )A .3B .-3C .3±D .以上都不对 【答案】C ;【解析】 若x 2+6x+m 2是一个完全平方式,则m 2=9,解得m=3±; 7.用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形,结果是( )A .(a-2)2+1 B .(a+2)2-1 C .(a+2)2+1 D .(a-2)2-1 【答案】A ;【解析】a 2-4a+5= a 2-4a+22-22+5=(a-2)2+1 ; 8.把方程x 2+3=4x 配方,得( )A .(x-2)2=7 B .(x+2)2=21 C .(x-2)2=1 D .(x+2)2=2 【答案】C ;【解析】方程x 2+3=4x 化为x 2-4x=-3,x 2-4x+22=-3+22,(x-2)2=1. 9.用配方法解方程x 2+4x=10的根为( )A .2.-2..【答案】B ;【解析】方程x 2+4x=10两边都加上22得x 2+4x+22=10+22,x=-210.(1)x 2+4x+ =(x+ )2;(2)x 2-6x+ =(x- )2;(3)x 2+8x+ =(x+ )2. 【答案】(1)4;2; (2)9;3; (3)16;4. 【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.11.用配方法将方程x 2-6x+7=0化为(x+m )2=n 的形式为 . 【答案】(x ﹣3)2=2.【解析】移项,得x 2﹣6x=﹣7,在方程两边加上一次项系数一半的平方得,x 2﹣6x+9=﹣7+9, (x ﹣3)2=2.12.若226x x m ++是一个完全平方式,则m 的值是________. 【答案】±3;【解析】2239m ==.∴ 3m =±.13.求代数式2x 2-7x+2的最小值为 .【答案】-338;【解析】∵2x 2-7x+2=2(x 2-72x )+2=2(x-74)2-338≥-338,∴最小值为-338,14.当x= 时,代数式﹣x 2﹣2x 有最大值,其最大值为 . 【答案】-1,1【解析】∵﹣x 2﹣2x=﹣(x 2+2x )=﹣(x 2+2x+1﹣1)=﹣(x+1)2+1,∴x=﹣1时,代数式﹣x 2﹣2x 有最大值,其最大值为1; 故答案为:﹣1,1.【解析】 -3x 2+5x+1=-3(x-56)2+3712≤3712,• ∴最大值为3712. 15. 用配方法解方程 (1) (2)221233x x += 【解析】 (1)x 2-4x-1=0 x 2-4x+22=1+22(x-2)2=5 x-2=5± x 1=2+5x 2=2-5(2)221233x x += 226x x +=2132x x += 222111()3()244x x ++=+ 2149()416x +=1744 x+=±13 2x=22x=-16. 用配方法解方程.(1)解方程:x2﹣2x=4.(2)解方程:x2﹣6x﹣4=0.【解析】解:(1)配方x2﹣2x+1=4+1∴(x﹣1)2=5∴x=1±∴x1=1+,x2=1﹣.解方程:x2﹣6x﹣4=0.(2)解:移项得x2﹣6x=4,配方得x2﹣6x+9=4+9,即(x﹣3)2=13,开方得x﹣3=±,∴x1=3+,x2=3﹣.17.当x,y取何值时,多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值,并求出最小值.【解析】解:x2+4x+4y2﹣4y+1=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4=(x+2)2+(2y﹣1)2﹣4,又∵(x+2)2+(2y﹣1)2的最小值是0,∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4.∴当x=﹣2,y=时有最小值为﹣4.18. 已知a2+b2﹣4a+6b+13=0,求a+b的值.【解析】解:∵a2+b2﹣4a+6b+13=0,∴a2﹣4a+4+b2+6b+9=0,∴(a ﹣2)2+(b+3)2=0,∴a ﹣2=0,b+3=0,∴a=2,b=﹣3,∴a+b=2﹣3=﹣1.19.已知a ,b ,c 是△ABC 的三边,且2226810500a b c a b c ++---+=.(1)求a ,b ,c 的值;(2)判断三角形的形状.【解析】(1)由2226810500a b c a b c ++---+=,得222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=又2(3)0a -≥,2(4)0b -≥,2(5)0c -≥,∴ 30a -=,40b -=,50c -=,∴ 3a =,4b =,5c =.(2)∵ 222345+= 即222a b c +=,∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形.。
《第二十六章二次函数》单元备课一、学情分析九年级学生的思维正处于由经验型向理论型转型期,虽然经过第三学段学习,抽象思维能力有了长足发展,但形象思维仍然处于主流位置,加之二次函数的学习是以已学函数内容为基础的,从八年级上册“一次函数”、八年级下册“反比例函数”的学习到九年级下册“二次函数”的学习,相互间隔时间较长,而函数的概念、描点法画函数的图象等在本章中都要用到。
因此,要注意复习已学函数相关内容,是顺利完成本章学习的基础,帮助学生学好二次函数。
在学习过程中,需要不断地提高认识问题的水平,这包括对过去已认识过的事物的再认识,也包括对新认识的事物与已认识的事物之间的联系的认识。
这种认识水平的提高,是构建知识体系的过程中不可缺少的。
二、教学任务分析:本章是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后,进一步学习函数知识,是函数知识螺旋发展的一个重要环节。
二次函数是描述变量之间关系的重要的数学模型,它既是其他学科研究时所采用的重要方法之一,也是某些单变量最优化问题的数学模型,如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数的图像抛物线,既是人们最为熟悉的曲线之一,同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用,如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。
和一次函数、反比例函数一样,二次函数也是一种非常基本的初等函数,对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系,同时函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。
学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数,这是对函数及其应用知识学习的深化和提高,是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节,起到承上启下的作用,为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。
这几节的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用,是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。
二次函数的图象是它性质的直观体现,对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势,二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型,对理解函数的性质,掌握研究函数的方法,体会函数的思想是十分重要的,因此这一章节的教学目标:1.使学生经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系;2.能用表格、关系式、图象表示变量之间的二次函数关系,发展有条理地进行思考和语言表达的能力,并能根据具体问题,选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系;3.会作二次函数的图象,并能根据图象对二次函数的性质进行分析,并逐步积累研究一般函数性质的经验;4.能根据二次函数的表达式,确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
“配方法”及其应用把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式,这种方法叫“配方法”.“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax bc c +=≥的形式后求解,这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”.它的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±.例1.解方程2210x x +-=.解:方程两边都除以2,得21022x x +-=,移项,得2122x x +=, 配方,得2111216216x x ++=+,即219416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.开方,得12112x x ==-,. 通过本例可以归纳出用“配方法”解一元二次方程的一般步骤:1.方程两边同除以二次项系数,化二次项系数为1;2.移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项;3.配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方,把原方程化为2()ax b c +=的形式;4.若0c ≥,用“直接开平方法”解出;若0c <,则原方程无实数根即原方程无解. “配方法”是一种重要的数学方法,它不仅可应用于解一元二次方程,而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用.一、用于比较大小例2.若代数式221078M a b a =+-+,2251N a b a =+++,则M N -的值( )A .一定是负数B .一定是正数C .一定不是负数D .一定不是正数 解:(作差法)22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>.故选B .说明:本例是“配方法”在比较大小中的应用,通过作差法最后拆项、配成完全平方,使此差大于零而比较出大小.二、用于因式分解例3.分解因式:42221x x ax a +++-.解:42221x x ax a +++-4222221x x x ax a =+-++-4222212x x x ax a =++--+()()2221x x a =+--()() 22(1)(1)x x a x x a =++-+-+.说明:这是配方法在因式分解中的应用,通过添项、配成完全平方式,进而运用平方差公式分解因式.三、用于求待定字母的值例4.若实数x y ,满足224250x y x y +--+=的值是( )A .1 B.32+ C.3+D.3- 解:对已知等式配方,得2210x y -+-=2()(),∴21x y ==,.3====+C . 说明:本例是配方法在求值中的应用,将原等式左边配成完全平方式后,再运用非负数的性质求出待定字母的取值.四、用于求最值例5.多项式21x x -+的最小值是( )A .1B .54C .12D .34 解:21x x -+21324x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.故选D . 说明:此例是“配方法”在求最大(小)值时的应用,将原式化成一个完全平方式后可求出最值.五、用于证明例6.证明方程85210x x x x -+++=没有实数根.证明:85210x x x x -+++=85221344244393x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭224132202433x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即对所有实数x ,方程左边的代数式的值均不等于0,因此,原方程没有实数根. 说明:这是“配方法”在代数证明中的应用,要证明方程85210x x x x -+++=没有实数根.似乎无从下手,而用“配方法”将其变成完全平方式后,便“柳暗花明”了.以后,我们学习了函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用.“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位,是恒等变形的重要手段,是研究相等关系,讨论不等关系的常用技巧,是挖掘题目当中隐含条件的有力工具,同学们一定要把它学好.。
课题:2.1 二次函数一、课标要求:(一)内容标准:通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义。
(二)能力目标:通过分析实际问题,获得用二次函数表示变量之间关系的体验,引出二次函数的概念,并能利用尝试求值的方法解决实际问题。
体会函数的建模思想。
十大核心概念在本节课中突出培养的是应用意识、模型思想。
二、教材与学情分析:(一)教材分析:本节课是九年级下册第二章《二次函数》第一节,属于“数与代数”领域中的“函数”。
二次函数是一种基本初等函数,是描述现实世界变量之间关系的重要模型。
学生已经学习了函数,一次函数和反比例函数。
研究函数已经有很好的基础和经验。
二次函数是初中阶段所学的函数知识的重点内容之一,是对函数及其应用知识学习的深化和提高。
二次函数的学习为学生进一步学习函数,进而体会函数的思想奠定基础,积累经验,同时为第四节二次函数的应用做好铺垫有着承上启下的作用。
本节的重点是通过实际情境,引出二次函数的概念,并从中体会函数的模型思想。
(二)学情分析一、学习条件和起点能力分析:1.学习条件分析:(1)必要条件:学生之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念,具备了一定的函数方面的基础知识、基本技能,会利方程解决一些实际问题。
(2)支持性条件:在相关知识的学习过程中,学生已经经历了一些利用函数解决实际问题的活动,感受到了函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型;经历过合作学习的过程,具有一定的合作与交流能力。
2.起点能力分析学生能够表示出比较简单的具体问题中各个量之间的关系。
二、学生可能达到的程度和存在的普遍性问题:本节课通过自主学习与合作交流,少数学生能用二次函数表示简单变量之间的关系,多数学生能判断是否是二次函数、能够用尝试求值的方法解决实际问题。
多数学生在解决问题时由于实现数学化方面存在学习障碍,因此分析和建立两个变量之间的二次函数关系仍有困难,针对这一问题,采取策略:从学生感兴趣的且较简单的实际问题入手,使学生积极参与数学学习活动,把数学问题和实际问题相联系,同时使学生体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,增强对数学的好奇心和求知欲。
反思:很荣幸,我被安排到北京密云三中上了一节“同课异构”的课,从中展示我数学科组多年来开展的教学改革的成果。
接到任务后,我精心准备,用心请教,按照阳光课堂的精神要求,即“教育是一种相互感染、相互呵护、相互促进的,充满生机与活力的教育”,认真开展了工作。
这节课取得了预期效果,得到了较好评价,再次说明我们数学科组开展的教学改革,它是充满生机与活力的。
当然,这节课既有优点,也有许多不足之处。
优点是我能够认真落实“初学---深学---拓学”的模式,整个教学过程嵌入了“群学、组学、独学”的活动,发挥了教师主导型,体现了学生主体性,努力做到“以阳光之心育阳光之人”。
缺点是教学过程中语言还不够简练,教态不够自然,影响了部分学生的学习兴趣。
相比较这节课的优点与缺点,我更想谈一下我整个备课的过程,从中总结经验,以便以后更好地开展异地教学工作。
记得当我接受这一节课的时候,我首先考虑三个方面,按照三方面的要求依次做好准备。
首先是了解教学内容,以便备课;其次是了解学生,以便开展教学活动;最后是落实我数学科组的教学模式,以便展示阳光教育理念。
在了解教学内容方面,我不仅与组办方沟通,而且与三中教师沟通,熟悉情况。
在整个备课的过程当中,我用心请教了我数学组的许多有经验的老师,并借用初三(8)班上了一节试讲课,采纳了许多意见,特别是教学的重点与次重点,教学容量的控制,教学内容在细节上的把握,最终敲定教学内容。
在了解学生方面,经过我沟通与了解,我知晓了三中学生的特点:成绩是中上水平,学生不乐于发言,往往做完题目就不愿意多交流,自顾自个。
鉴于此,我带了一些奖品,通过转盘的形式加以奖励。
通过奖励规则,我强调了两个方面内容:一是询问喜欢的奖品,学生举手示意,要求学生做完题后举左手,右手继续做题,不浪费时间,老师会过去批改,同时勇于发言;二是四人小组参与抽奖,只需派一个代表,让学生课前讨论中意的礼物,要求学生善于小组讨论。
在落实我数学科教学模式方面,我的最大感受是:最大限度地调动孩子积极性,尽可能地挤时间让孩子练题,不时对孩子好的行为加以表扬肯定,有意地对一些不良行为加以制止。
九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练专题06 一元二次方程-配方法【典例1】解方程:x 2+4x ﹣1=0.【典例2】用配方法解方程:2x 2﹣12x ﹣2=0.【典例3】若代数式221078M a b a =+-+,2251N a b a =+++,则M N -的值() A.一定是负数 B.一定是正数 C.一定不是负数 D.一定不是正数【典例4】用配方法证明21074x x -+-的值小于0.典例解读【典例5】用配方法证明:二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0.【典例6】若把代数式x 2+2bx+4化为(x ﹣m )2+k 的形式,其中m ,k 为常数,则k ﹣m 的最大值是 .【典例7】已知223730216b a a b -+-+=,求4a b -的值.【教材知识必背】一、一元二次方程的解法---配方法1.配方法解一元二次方程:(1)配方法解一元二次方程:将一元二次方程配成的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式:. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤:①把原方程化为的形式; ②将常数项移到方程的右边;方程两边同时除以二次项的系数,将二次项系数化为1;③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;教材知识链接④再把方程左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤若方程右边是非负数,则两边直接开平方,求出方程的解;若右边是一个负数,则判定此方程无实数解.诠释:(1)配方法解一元二次方程的口诀:一除二移三配四开方;(2)配方法关键的一步是“配方”,即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.(3)配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±.二、配方法的应用1.用于比较大小:在比较大小中的应用,通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方,使此差大于零(或小于零)而比较出大小.2.用于求待定字母的值:配方法在求值中的应用,将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后,再运用非负数的性质求出待定字母的取值.3.用于求最值:“配方法”在求最大(小)值时的应用,将原式化成一个完全平方式后可求出最值.4.用于证明:“配方法”在代数证明中有着广泛的应用,我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用.诠释:“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位,是恒等变形的重要手段,是研究相等关系,讨论不等关系的常用技巧,是挖掘题目当中隐含条件的有力工具,同学们一定要把它学好.【变式1】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2=0; (2)x 2+6x+8=0.精准变式题【变式2】用配方法解方程(1)(2)20x px q ++=【变式3】求代数式 x 2+8x+17的最小值【变式4】试用配方法证明:代数式223x x -+的值不小于238.【变式5】(1)的最小值是 ;(2)的最大值是 .1. 用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣3=0时,原方程可变形为( )A .(x+2)2=1B .(x+2)2=7C .(x+2)2=13D .(x+2)2=192.下列各式是完全平方式的是( )A .277x x ++B .244m m --C .211216n n ++ D .222y x -+ 3.用配方法解下列方程时,配方有错误的是( ) A .22990x x --=化为2(1)100x -= B .22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C .2890x x ++=化为2(4)25x +=D .23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 4.把一元二次方程x 2﹣6x+4=0化成(x+n )2=m 的形式时,m+n 的值为( )A .8B .6C .3D .25.不论x 、y 为何实数,代数式22247x y x y ++-+的值 ( )A .总小于2B .总不小于7C .为任何实数D .不能为负数6.若x 2+6x+m 2是一个完全平方式,则m 的值是( )A .3B .-3C .3±D .以上都不对7.用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形,结果是( )A .(a-2)2+1B .(a+2)2-1C .(a+2)2+1D .(a-2)2-18.把方程x 2+3=4x 配方,得( )A .(x-2)2=7B .(x+2)2=21C .(x-2)2=1D .(x+2)2=29.用配方法解方程x 2+4x=10的根为( )A .2±10B .-2±14C .-2+10D .2-1010.(1)x 2+4x+ =(x+ )2;(2)x 2-6x+ =(x- )2;(3)x 2+8x+ =(x+ )2.11.用配方法将方程x 2-6x+7=0化为(x+m )2=n 的形式为 .12.若226x x m ++是一个完全平方式,则m 的值是________.13.求代数式2x 2-7x+2的最小值为 . 综合提升变式练14.当x= 时,代数式﹣x 2﹣2x 有最大值,其最大值为 .15. 用配方法解方程(1)(2)221233x x +=16. 用配方法解方程.(1)解方程:x 2﹣2x=4. (2)解方程:x 2﹣6x ﹣4=0.17.当x ,y 取何值时,多项式x 2+4x+4y 2﹣4y+1取得最小值,并求出最小值.18. 已知a 2+b 2﹣4a+6b+13=0,求a+b 的值.19.已知a ,b ,c 是△ABC 的三边,且2226810500a b c a b c ++---+=.(1)求a ,b ,c 的值;(2)判断三角形的形状.。
2024年九年级下册数学《二次函数》课件一、教学内容本节课选自2024年九年级下册数学教材第十章《二次函数》。
具体内容包括:10.1二次函数的定义与图像,10.2二次函数的性质,10.3二次函数的顶点式及其应用,10.4二次函数与一元二次方程的关系。
二、教学目标1. 理解二次函数的定义,掌握二次函数的标准式、顶点式及其互化方法。
2. 能够根据二次函数的定义和性质,分析二次函数的图像特点。
3. 学会运用二次函数解决实际问题,提高解决问题的能力。
三、教学难点与重点重点:二次函数的定义、性质、图像及其应用。
难点:二次函数顶点式的推导及其应用。
四、教具与学具准备1. 教具:多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具:直尺、圆规、铅笔、橡皮。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示一个抛物线的运动轨迹,引导学生观察、分析,进而引出二次函数的概念。
2. 教学新课(1)二次函数的定义与图像通过实例让学生理解二次函数的定义,展示二次函数的图像,引导学生观察、分析图像特点。
(2)二次函数的性质利用实例和图像,引导学生探究二次函数的性质,如开口方向、对称轴、顶点等。
(3)二次函数的顶点式及其应用通过顶点式的推导,让学生掌握顶点式与标准式的互化方法,并能运用顶点式解决实际问题。
(4)二次函数与一元二次方程的关系介绍二次函数与一元二次方程之间的联系,让学生了解它们在实际问题中的应用。
3. 例题讲解结合本节课的内容,讲解典型例题,引导学生运用所学知识解决问题。
4. 随堂练习设计适量练习题,让学生当堂巩固所学知识。
六、板书设计1. 二次函数的定义2. 二次函数的性质3. 二次函数的顶点式及其应用4. 二次函数与一元二次方程的关系七、作业设计1. 作业题目:(1)已知二次函数f(x)=x²4x+3,求其顶点坐标和对称轴。
(2)求二次函数y=2(x3)²+4的顶点坐标、开口方向和最值。
2. 答案:(1)顶点坐标为(2,1),对称轴为x=2。