计算方法第三章(插值法)资料.

第三章 插 值 法在观察或总结某些现象时，往往会发现所关心变量之间存在着某种联系，但是这种联一般很难用解析式表达。

有时即便找出了其解析表达式，由于表达式过于复杂，使用或计算起来也可能十分困难。

于是就想到能否用形式比较简单的函数去近似原来很困难得到或应用起来不便的函数。

本章所讨论的插值法就是函数近似表达的一种方法。

这里介绍的插值方法本身也是以后介绍的方法如：数值积分，数值微分，以及微分方程的数值解的基础。

本章主要介绍插值函数的构造，误差估计及简单介绍方法的收敛性和稳定性。

§1.插值的基本概念插值定义：设f(x)为定义在[a,b]上的函数，n 10x ,,x ,x 为［a,b ］上n+1个互不相同的点，Ｙ为给定的某一个函数类，若Ｙ上有函数y(x)，满足：n ,,2,1,0i ),x (f )x (y i i ==(3—１)则称y(x)为f(x)关于节点n 10x ,,x ,x 在Ｙ上的插值函数，点n 10x ,,x ,x 称为插值节点,f(x)称为被插值函数。

包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，条件（3—１）称为插值条件。

关于函数插值，我们要回答以下几个问题：(1)给定了被插函数（即f(x)），插值节点n 10x ,,x ,x 及插值函数类Ｙ，那么满足插值条件的插值函数是否存在？若存在，是否唯一？即插值的存在性与唯一性问题。

(2)如若插值函数存在唯一，如何构造插值函数?即采用何种插值方法问题。

(3)y(x)作为f(x)的近似函数，存在误差R(x)=f(x)-y(x)。

如何估计其误差？当不斯地增加插值节点，那么插值函数列是否收敛被插函数。

现在首先回答第一个问题：由于我们这里介绍的插值函数类Ｙ是多项式类。

故要求插值函数是多项式的情况下，来回答存在性与唯一性问题。

定理：设)x (M n 表示次数不超过n 次的多项式的全体，则满足插值条件（3—１）的，属于函数类Ｙ＝)x (M n 的插值多项y(x)存在且唯一。

1 第3章 插值法与数据拟合一、考核知识点拉格朗日插值法及其余项、牛顿插值、最小二乘法、超定方程组。

二、考核要求：1．熟练掌握拉格朗日插值法及其余项。

2．掌握牛顿插值。

3．了解最小二乘法的基本思想，熟练掌握求最小二乘多项式与超定方程组最小二乘解的方法。

三、重、难点分析例1 已知,3)9(,2)4(==f f 用线性插值计算)5(f ，并估计误差。

解 取插值节点x 0= 4,x 1= 9，两个插值基函数分别为)9(51)(1010--=--=x x x x x x l )4(51)(0101-=--=x x x x x x l 故有 565)4(53)9(52)()()(11001+=-+--=+=x x x y x l y x l x L 2.25655)5()5(1=+=≈L f 误差为 )(2)95)(45(!2)()5(2ξξf f R ''-=--''=例2 求过点(0,1)、(1,2)、(2,3)的三点插值多项式。

解:由Lagrange 插值公式又0120120,1,2;1,2,3x x x y y y ======故例3已知f(0)=8, f(1)= -7.5, f(2)= -18;用牛顿插值法求f(x)在[0,2]之间的近似零点。

0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x ------=++------2(1)(2)(0)(2)(0)(1)()123(01)(02)(10)(12)(20)(21)1x x x x x x L xx ------=⨯+⨯+⨯------=+2例4求下列超定方程组的最小二乘解。

⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x1 解 令 ⎪⎩⎪⎨⎧--=-+=-+=2724213212211x x u x x u x x u23222121u u u x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x 由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x解得 7231=x 7112=x所以最小二乘解为 7231=x 7112=x2 解 方程组写成矩阵形式为 正规方程组为即解得12114127112x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦12114111111127121121112x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1232132616x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦122311,77x x ==。

插值法的最简单计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：插值法是一种常用的数值计算方法，用于通过已知数据点推断出未知数据点的值。

在实际问题中，往往会遇到数据点不连续或者缺失的情况，这时就需要通过插值法来填补这些数据点，以便更准确地进行计算和分析。

插值法的最简单计算公式是线性插值法。

线性插值法假设数据点之间的变化是线性的，通过已知的两个数据点来推断出中间的未知数据点的值。

其计算公式为：设已知数据点为(x0, y0)和(x1, y1)，需要插值的点为x，其在(x0, x1)之间，且x0 < x < x1，插值公式为：y = y0 + (y1 - y0) * (x - x0) / (x1 - x0)y为插值点x对应的值，y0和y1分别为已知数据点x0和x1对应的值。

通过这个线性插值公式，可以方便地计算出中间未知点的值。

举一个简单的例子来说明线性插值法的应用。

假设有一组数据点为(1, 2)和(3, 6)，现在需要插值得到x=2时的值。

根据线性插值公式，我们可以计算出：y = 2 + (6 - 2) * (2 - 1) / (3 - 1) = 2 + 4 * 1 / 2 = 2 + 2 = 4当x=2时，线性插值法得到的值为4。

通过这个简单的例子，可以看出线性插值法的计算公式的简单易懂，适用于很多实际问题中的插值计算。

除了线性插值法，还有其他更复杂的插值方法，如多项式插值、样条插值等，它们能够更精确地拟合数据并减小误差。

在一些简单的情况下，线性插值法已经足够满足需求，并且计算起来更加直观和方便。

在实际应用中，插值法经常用于图像处理、信号处理、数据分析等领域。

通过插值法，可以将不连续的数据点连接起来，填补缺失的数据，使得数据更加完整和连续，方便后续的处理和分析。

插值法是一种简单而有效的数值计算方法，其中线性插值法是最简单的计算公式之一。

通过这个简单的公式，可以方便地推断出未知数据点的值，并在实际应用中发挥重要作用。

插值法的最简单计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：插值法是数值分析领域中常用的一种方法，它可以用来估计未知函数在给定点处的值。

插值法的基本思想是基于已知数据点，构建一个多项式函数来逼近未知函数的值。

在实际应用中，插值法常常被用来对离散数据进行平滑处理，或是用来预测未来的数据。

最简单的插值方法之一是线性插值法。

线性插值法假设未知函数在两个已知数据点之间是线性变化的，即可以通过这两个点之间的直线来估计未知函数在中间点处的值。

线性插值的计算公式如下：设已知数据点为(x0, y0)和(x1, y1)，要估计中间点x处的函数值y，则线性插值公式为：\[y = y0 + \frac{x - x0}{x1 - x0} * (y1 - y0)\]这个公式的推导比较简单，可以通过代入已知数据点计算出来。

如果已知数据点为(0, 1)和(2, 3)，要估计在x=1处的函数值，根据线性插值公式，计算如下：在x=1处的函数值为2。

线性插值法的优点是简单易懂，计算速度快，并且可以比较精确地估计函数值。

但是线性插值法的精度受限于已知数据点之间的线性关系，如果函数在两个数据点之间发生了急剧变化，线性插值法可能无法准确估计函数值。

除了线性插值法，还有许多其他更复杂的插值方法，如拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值等。

这些方法在不同的情况下可以提供更精确的函数估计值，但也需要更复杂的计算步骤。

插值法是一种常用的数值分析方法，可以帮助我们更好地处理数据和预测未知函数的值。

在实际应用中，可以根据具体情况选取合适的插值方法来进行计算。

第二篇示例：插值法是一种用于估算未知数值的方法，它基于已知数据点之间的关系进行推断。

在实际应用中，插值法经常用于数据处理、图像处理、数学建模和预测等领域。

插值法的计算公式通常比较复杂，但是我们可以通过简化的方式来理解和计算插值结果。

最简单的插值方法之一是线性插值法。

在线性插值法中，我们假设已知数据点之间的关系是线性的，然后通过线性方程来估算未知点的数值。