极点与系统稳定性
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极点及系统稳定性
极点对系统性能影响一．控制系统与极点自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离散控制系统。
通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统。
连续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。
系统的数学模型一般由系统传递函数表达。
传递函数为零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z 变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。
记作Φ（s ）=Xo （s ）/Xi （s ），其中Xo （s ）、Xi （s ）分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。
特征方程的根称为极点。
如试Φ﹙S ﹚= C [∏（S-Pi ）/∏(S-Qi) ]中Q1 Q2 Q3 …… Qi ……即为系统的极点。
二．极点对系统的影响极点--确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。
下面对连续系统与离散系统分别进行分析：⑴连续系统理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式设系统函数为：将H(S)进行部分分式展开：1n a s -+++系统冲激响应H(S)的时域特性h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数H(S)的极点位置决定。
每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。
稳定性：由上述得知Y(S)= C [∏（S-Pi ）/(S-Qi) ]可分解为Y(S)=C1/(S-τ1)+ C2/(S-τ2)+ C3/(S-τ3)+……+ Ci/(S-τi)+…… 则时间响应为……由于特征方程的根不止一个，这时，应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。
只要有一个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。
因此，特征方程所有根的实部都必须是负数，亦即所有的根都在复平面的左半平面。
通过复变函数幅角定理将S 由G 平面映射到GH 平面。
如果封闭曲线 F 内有Z 个F(s)的零点，有P 个F(s)的极点，则s 沿 F 顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点顺时针转的圈数R 为z 和p 之差，即R ＝z －p 。
系统稳定性意义以及稳定性地几种定义
系统稳定性意义以及稳定性的几种定义一、引言：研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。
在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。
由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。
从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。
但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。
人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。
描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。
电路系统的稳定性是电路系统的一个重要问题，稳定是控制系统提出的基本要求，也保证电路工作的基本条件；不稳定系统不具备调节能力，也不能正常工作，稳定性是系统自身性之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。
对于线性系统来说可以用几点分布来判断，也可以用劳斯稳定性判据分析。
对于非线性系统的分析则比较复杂，劳斯稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据受到一定的局限性。
二、稳定性定义：1、是指系统受到扰动作用偏离平衡状态后，当扰动消失，系统经过自身调节能否以一定的准确度恢复到原平衡状态的性能。
若当扰动消失后，系统能逐渐恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的，否则称系统为不稳定。
稳定性又分为绝对稳定性和相对稳定性。
绝对稳定性。
如果控制系统没有受到任何扰动，同时也没有输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，则控制系统处于平衡状态。
（1）如果线性系统在初始条件的作用下，其输出量最终返回它的平衡状态，那么这种系统是稳定的。
（2）如果线性系统的输出量呈现持续不断的等幅振荡过程，则称其为临界稳定。
（临界稳定状态按李雅普洛夫的定义属于稳定的状态，但由于系统参数变化等原因，实际上等幅振荡不能维持，系统总会由于某些因素导致不稳定。
因此从工程应用的角度来看，临界稳定属于不稳定系统，或称工程意义上的不稳定。
用Nyquist判据判断系统稳定性
用Nyquist判据判断系统稳定性Nyquist判据是一种经典的判断系统稳定性的方法，被广泛应用于控制工程和通信工程中。
该方法通过绘制系统的Nyquist图，判断系统的极点和零点在复平面上所处的位置，从而判断系统的稳定性。
本文将介绍Nyquist判据的基本原理、具体操作步骤以及注意事项，以帮助读者更好地理解和应用这一方法。
一、Nyquist判据的基本原理在控制系统中，我们通常将系统的传递函数写成如下形式：G(s) = N(s) / D(s)其中，N(s)和D(s)分别为系统的分子和分母多项式，s为复变量。
我们知道，当系统传递函数G(s)的阶数为n时，该函数在复平面上有n个极点和/或零点。
Nyquist判据的基本思想是：绘制系统的Nyquist图，即将系统的G(s)函数沿着复平面上的一个可变的圈线进行连续变形，并记录圈线变形前和变形后所经过的原点和极点个数及情况。
通过比较圈线变形前后绕圆点的圈数，就可以判断系统的稳定性。
具体地说，Nyquist判据有以下两个重要的结论：1.当系统的Nyquist图绕复平面上的所有极点时，如果围绕极点的圈数全都是负数，则该系统是稳定的；相反，如果存在围绕极点的圈数为正数，则该系统是不稳定的。
这两个结论形象地表现了系统稳定性与Nyquist图绕复平面上点的情况之间的关系，为我们判断系统稳定性提供了有力的理论支持。
在具体应用Nyquist判据时，我们可以按照以下步骤进行：1.绘制系统的G(s)函数的Nyquist图。
2.确定系统的极点和零点在复平面上的位置，并标记在Nyquist图中。
3.确定绘制Nyquist图时的路径，通常采用右半平面或左半平面的路径。
对于一些特殊系统，比如共轭复极点或共轭复零点，我们需要构造一些特殊路径。
4.通过沿着路径将Nyquist图绘制出来，并标记绕圆点的圈数。
一般情况下，我们可以按照路径的方向来计算围绕圆点的圈数。
5.根据Nyquist图绕极点和零点的情况，结合Nyquist判据的两个结论，判断系统的稳定性。
极点及系统稳定性
极点对系统性能影响一．控制系统与极点自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离散控制系统。
通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统。
连续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。
系统的数学模型一般由系统传递函数表达。
传递函数为零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z 变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。
记作Φ（s ）=Xo （s ）/Xi （s ），其中Xo （s ）、Xi （s ）分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。
特征方程的根称为极点。
如试Φ﹙S ﹚= C [∏（S-Pi ）/∏(S-Qi) ]中Q1 Q2 Q3 …… Qi ……即为系统的极点。
二．极点对系统的影响极点--确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。
下面对连续系统与离散系统分别进行分析：⑴连续系统理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式设系统函数为：将H(S)进行部分分式展开：1n a s -+++系统冲激响应H(S)的时域特性h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数H(S)的极点位置决定。
每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。
稳定性：由上述得知Y(S)= C [∏（S-Pi ）/(S-Qi) ]可分解为Y(S)=C1/(S-τ1)+ C2/(S-τ2)+ C3/(S-τ3)+……+ Ci/(S-τi)+…… 则时间响应为……由于特征方程的根不止一个，这时，应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。
只要有一个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。
因此，特征方程所有根的实部都必须是负数，亦即所有的根都在复平面的左半平面。
通过复变函数幅角定理将S 由G 平面映射到GH 平面。
如果封闭曲线 F 内有Z 个F(s)的零点，有P 个F(s)的极点，则s 沿 F 顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点顺时针转的圈数R 为z 和p 之差，即R ＝z －p 。
第七章 (2)系统稳定性
an 1 an 3 cn 1 cn 3 d n 1 = cn 1
d n 3
an 1 an 5 cn 1 cn 5 = cn 1
罗斯准则: 罗斯准则:多项式 A(s) 是霍尔维兹多项 式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素均大 式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素均大 于零. 于零. **在排表过程中,任何一行的系数可以同乘以( **在排表过程中,任何一行的系数可以同乘以(或 在排表过程中 除以)某个正数而不会改变判别结果. 除以)某个正数而不会改变判别结果.
1 2 c2 d2
3 2 c0 d0
1 3 1 c2 = =2 2 2 2 1 d2 = =2 2 2 0 2 2
1 0 1 c0 = =0 2 2 0 1 d0 = =0 2 0 0 2 0
k = ∞
∑ h( k ) ≤ M
+∞
式中M为正常数. 式中M为正常数.
**系统函数的收敛域包含单位圆,该系统为稳定的. 系统函数的收敛域包含单位圆,该系统为稳定的. 系统函数的收敛域包含单位圆
7.2如图7.2 所示因果反馈系统, 7.2因果反馈系统 例7.2-1 如图7.2-3所示因果反馈系统,子系统的 系统函数 1
2 对于二阶系统 A(s) = a2s + a1s + a0
1 2 3
a2 a1 a0
a0 0 0
只需 a2 > 0, a1 > 0, a0 > 0 即可. 即可.
A(s) = s2 + 3s + 2 K 在例7.2 7.2在例7.2-1中
利用上式容易求得该系统为稳定系统的条件为
K<2
7.2例7.2-3 判别多项式 A(s) = s4 + s3 + 3s2 + s + 6 是否为霍尔维兹多项式. 是否为霍尔维兹多项式. 排成罗斯阵列如下: 解 排成罗斯阵列如下:
系统函数零极点时域特性和稳定性
若 pi为k阶极点，则 pi Ki1tk1 Ki2tk2
Ki(k1)t Kik e pit
②典型情况
ⅰ) pi =0（一阶）
j
h(t)
0
0t
1 h(t) u(t) s
pi =0 （二阶）
j
h(t)
0
0t
1 s2
h(t)
tu(t)
ⅱ) pi<0（实一阶）
j
a
0
h(t)
0t
1 eatu(t) sa
自由响应 齐次解
零输入响应 齐次解的一部分
强迫响应 特解
零状态响应 齐次解的一部分+特解
2．Ki , Kk 均由 pi , pk共同作用，即 自由响应：形式只由H(s)决定，幅度相位由H(s), E(s)共同决定 强迫响应：形式只由E(s)决定，幅度相位由H(s), E(s)共同决定
3．固有频率(自由频率)：系统行列式(系统特征方程)的根， 反映全部自由响应的形式
④∞处： 分母次数 > 分子次数则为零点，阶次为分母次数减分子次数 分母次数 < 分子次数则为极点，阶次为分子次数减分母次数
注意：零、极点个数相同
⑤零极点图中：×表示极点；○表示零点
[例1]： ①
H
(s)
s[(s 1)2 (s 1)2 (s2
1] 4)
解：
极点：s = -1 （二阶） s = j2 （一阶） s = -j2（一阶）
pi<0（实二阶）
j
a
0
h(t)
0t
(s
1 a)2
teatu(t)
起始增加，最终收敛
ⅲ) pi>0（实一阶）
j
h(t)
《自动控制原理》第五章：系统稳定性
5.2 稳定的条件
当σi和λi均为负数，即特征根的 σi和λi均为负数， 均为负数 实部为负数，系统是稳定的； 实部为负数，系统是稳定的； 或极点均在左平面。 或极点均在左平面。
5.3 代数稳定性判据
定常线性系统稳定的充要条件 定常线性系统稳定的充要条件是特征方程的根具有负 充要条件是特征方程的根具有负 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。为 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布， 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布，看其 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性，这样 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性， 也就产生了一系列稳定性判据。 也就产生了一系列稳定性判据。 其中最主要是E.J.Routh(1877 )h和Hurwitz（ 其中最主要是E.J.Routh(1877年)h和Hurwitz（1895 E.J.Routh(1877年 年）分别提出的代数判据。 分别提出的代数判据 代数判据。
习题讲解： 习题讲解：
µ
G1
Q21
G1
h2
k1 k1 G1 ( s ) = , G1 ( s ) = (T1s + 1) (T1s + 1) k1k 2 G0 ( s ) = (T1s + 1)(T2 s + 1)
kp
G0 ( s ) G(s) = 1 + G0 ( s ) K p
5.4 Nyquist稳定性判据 Nyquist稳定性判据
系统稳定的条件？ 系统稳定的条件？
5.2 稳定的条件
d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) 线性系统微分方程： 线性系统微分方程： n a + an −1 + L + a1 + a0 y (t ) n ( n −1) dt dt dt d m x(t ) d ( m −1) x(t ) dx(t ) = bm + bm−1 + L + b1 + b0 x(t ) m ( m −1) dt dt dt d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) + a( n −1) + L + a1 + a0 y (t ) = 0 齐次微分方程： 齐次微分方程： an n ( n −1) dt dt dt an s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0 = 0 设系统k 设系统k个实根
系统函数零极点时域特性和稳定性
1 h(t) 0 设：e(t) sgn[h(t)] 0 h(t) 0
1 h(t) 0
则 e(t) 1有界，e(t)h(t) h(t)
r(t) e(t) h(t) h( )e(t )d
r(0) h( )e( )d h( ) d
若 h(t) dt无界,则r(0)也无界 对某种有界e(t )
6.
因果稳定系统充要条件：
h(t) h(t)u(t)
0
h(t)
dt
M
7．BIBO稳定性把H(s)稳定性中的临界稳定性判为不稳定
h(t)=A或等幅振荡代表不满足绝对可积条件
[例3]：
H (s)
sin(0t )u (t )
s
s2 2
R(s)
s2
s
02
0 s2 02
r (t )
1 2
t
sin(0t )u (t )
n i 1
ki s pi
h(t)
n
hi (t)
i 1
n
ki e Pi t
i 1
故： pi e pit
若 pi为k阶极点，则 pi Ki1tk1 Ki2tk2
Ki(k1)t Kik e pit
②典型情况
ⅰ) pi =0（一阶）
j
h(t)
0
0t
1 h(t) u(t) s
pi =0 （二阶）
r (t )
[例4]：K 取何值时系统稳定、临界稳定？
+
V1 ( s) -
G(s)
1
(s 2)(s 1)
V2 (s)
K
解：V2 (s) [V1(s) KV2 (s)]G(s) 1
V2 (s) G(s) (s 1)( s 2)
系统的稳定性 常见判据
s s s
i
n
j k
,
s s i j i j i 1, j 2 n a0 n ( 1) si an i 1 an 2 an
n
系统稳定的必要条件： 各系数同号且不为零 或： an>0, an-1>0, … , a1>0, a0>0
二、Routh （劳斯）稳定判据
2. 系统稳定的充要条件
n n1 D ( s ) a s a s a1 s a0 0 特征方程： n n1
Routh 表：
s
n
an
an 2 an 3 A2 B2 D2
an 4 an 5 A3 B3
an 6 an 7 A4 B4
其中：
一、系统的稳定性与稳定条件
1. 系统不稳定现象
例：液压位置随动系统
原理：
外力→阀芯初始位移Xi(0)→阀口2、4打开 →活塞右移→阀口关闭（回复平衡位置）
→（惯性）活塞继续右移→阀口1、3开启→活塞左移→ 平衡位置
→（惯性）活塞继续左移→阀口2、4开启…… ① 随动：活塞跟随阀芯运动 ② 惯性：引起振荡 ③ 振荡结果： ③ 增幅振荡 ① 减幅振荡 ② 等幅振荡 （收敛，稳定） （临界稳定） （发散，不稳定）
例2 已知=0.2及n=86.6，试确定K取何值时，系统方能稳定。 系统开环传递函数：
2 n (s K ) Xo( s ) GK ( s ) 2 E ( s) s ( s 2n )
系统闭环传递函数： 特征方程：
3
2 X o ( s) n (s K ) GB ( s ) 3 2 2 X i ( s ) s 2n s 2 n s K n
传递函数存在零极点对消,系统能控能观
传递函数存在零极点对消，系统能控能观[中括号]：传递函数的零极点对消对系统的控制与观测性引言传递函数是描述连续时间线性时不变系统的数学工具，它能够帮助我们理解系统的特性以及系统的控制能力和观测性。
传递函数中的零点和极点对系统的控制和观测性起着关键作用。
本文将通过详细的步骤和分析，探讨传递函数中零极点对消的概念，以及如何实现系统的控制和观测能力。
一、传递函数的定义与实例传递函数是描述系统输入与输出关系的函数，它可以表示为H(s)=N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)分别是系统的分子部分和分母部分。
作为一个例子，我们考虑一个简单的一阶系统传递函数H(s)=1/(s+1)。
二、传递函数的零点和极点传递函数中的零点和极点是指使得传递函数取得零值和无穷值的输入信号。
对于上述的例子H(s)=1/(s+1)，传递函数的极点为s=-1。
极点的位置对系统的动态响应和稳定性具有重要影响。
三、传递函数的零极点对系统稳定性和控制性的影响传递函数的极点位置决定了系统的稳定性。
如果系统的所有极点都位于左半平面，则系统是稳定的。
相反，如果系统的极点存在于右半平面，系统则是不稳定的。
对于例子H(s)=1/(s+1)来说，它的极点位于s=-1，因此系统是稳定的。
另一方面，传递函数的零点位置对系统的控制性能有着重要影响。
零点相当于系统对输入信号的特殊灵敏度，它们可以导致更好的系统响应和稳定性。
如果系统具有零点，那么对于某些输入信号，系统可以减小或者抵消输出信号。
对于例子H(s)=1/(s+1)来说，系统没有零点，因此无法通过零极点对消的方法来控制输出。
四、零极点对消的概念与实现零极点对消是一种通过调整传递函数中的参数，使得系统的零点和极点相互抵消，从而改变系统的特性和性能的方法。
这种方法可以用于增加或减小系统对某些输入信号的灵敏度，提高系统的控制性能。
具体实现零极点对消方法有很多种，这里我们以反馈控制为例进行说明。
反馈控制可以通过引入额外的控制信号和传递函数来改变系统的特性。
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极点对系统性能影响
一．控制系统与极点
自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离散控制系统。
通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统。
连续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。
系统的数学模型一般由系统传递函数表达。
传递函数为零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。
记作Φ（s）=Xo（s）/Xi（s），其中Xo（s）、Xi（s）分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。
特征方程的根称为极点。
如试Φ﹙S﹚= C [∏（S-Pi）/∏(S-Qi) ]中Q1 Q2 Q3 ……Qi ……即为系统的极点。
二．极点对系统的影响
极点--确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。
下面对连续系统与离散系统分别进行分析：
⑴连续系统
理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式
设系统函数为：
将H(S)进行部分分式展开：
1
11
n n
n n
s a s a s a
-
-
++++=
L
系统冲激响应H(S)的时域特性h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数H(S)的极点位置决定。
每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。
稳定性：由上述得知Y(S)= C [∏（S-Pi ）/(S-Qi) ]可分解为Y(S)=C1/(S-τ1)+ C2/(S-τ2)+ C3/(S-τ3)+……+ Ci/(S-τi)+…… 则时间响应为
……
由于特征方程的根不止一个，这时，应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。
只要有一个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。
因此，特征方程所有根的实部都必须是负数，亦即所有的根都在复平面的左半平面。
通过复变函数幅角定理将S 由G 平面映射到GH 平面。
如果封闭曲线 F 内有Z 个F(s)的零点，有P 个F(s)的极点，则s 沿 F 顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点顺时针转的圈数R 为z 和p 之差，即R ＝z －p 。
若R 为负,表示F(s)曲线绕原点逆时针转过的圈数。
F(s)的分母是G0(s)的分母，其极点是G0(s)的极点；其分子是Ø(s)的分母，即Ø(s)的特征多项式，其零点是Ø(s)的极点。
取D 形曲线（D 围线）如图所示，是整个右半复平面。
且设D 曲线不经过F(s)的任一极点或零点。
s 沿D 曲线顺时针变化一周，F(s)顺时针包围原点的周数为： n=z-p=F(s)在右半复平面的零点数(闭环传函在右半复平面极点数) -F(s)在右半复平面的极点数(开环传函在右半复平面极点数) 所以闭环系统稳定的充分必要条件是： n=- p =-开环传函在右半复平面的极点数
1212()n s t s t s t
n y t C e C e C e =+++L 0()0()0()0()t s y t y t Ce y t y t t ααααα=<→⎧⎪
===⎨⎪>→∞⎩
→∞（1）只有一个实根：时，时，恒量时，()()121()0cos()00j t j t t s j y t C e C e C e t t αωαωααωαωϕαα+-=±=+<⎧⎪=+==⎨⎪>⎩
→∞（2）有一对复根：时，收敛时，等幅振荡时，发散
因此：
反馈控制系统在s右半平面的闭环极点个数Z=P-2N，式中，P为s右半平面开环极点数，N为开环Nyquist曲线逆时针包围(-1 ,j0) 点的圈数，且有N=N+－N-
其中N+为：正穿越与半次正穿越次数的和。
其中N-为：负穿越与半次负穿越次数的和。
正穿越：随着ω的增大，开环Nyquist曲线逆时针穿越实轴区间(-∞ , -1) 。
半次正穿越：逆时针方向离开（或中止于）实轴区间(-∞ , -1) 。
负穿越：随着ω的增大，开环Nyquist曲线顺时针穿越实轴区间(-∞ , -1) 。
半次负穿越：顺时针方向离开或中止于实轴区间(-∞ , -1) 。
若开环传递函数有积分环节，开环Nyquist 曲线在ω=0＋时，幅值无穷大，而相角为。
判断稳定性要求ω=0开始逆时针补半径为无穷大，角度为的虚线圆弧。
在计算正、负穿越次数时，应将补上的虚线圆弧作为Nyquist 曲线的一部分。
波的图判据等原理相同。
都是由特征方程推出S根没有复实部。
总结：
1.如系统函数H(s)的全部极点落于S域左半平面，则系统稳定。
2.如系统函数H(s)有极点落于S右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，则该系统不稳定。
3.若系统函数H(s)没有极点落在右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则系统临界稳定。
4.系统函数的分子多项式的阶次，不应高于分母多项式的阶次。
⑵离散系统
)
(t r )(z C )(z R 离散系统稳定性原理与连续系统一样，由于离散系统本身特征稍有改，离散信号是脉冲序列即时间上离散，离散信号是数字序列即幅值上整量化。
因此引入Z 变换取代拉斯变换只适用与连续函数，离散时间序列 x(n) 的Z 变换定义为X(z)＝Σx(n)z-n ，常用序列的Z 变换中z ＝e ，σ为实变数，ω为实变量，j ＝，所以z 是一个幅度为e б，相位为ω的复变量。
x(n)和X(z)构成一个Z 变换时 。
理想的单位脉冲序列：
采样器可以看成是一个调制器，输入量作为调制信号，而单位脉冲串可以作为载波信号，调制过程可以表示为：
则：
Z 变换为：
定义：
则： 由以上定义得知Z 变换，则如何从S 平面映射到
Z 平面： ∑
∞
-∞=-=k T kT t t )
()(δδ∑
∞
-∞=-==k T kT t t x t t x t x )
()()()()(*
δδ∑
∑
∞=+∞
=-=+-++-+-+=-=0
0*
)()()()()2()2()()()()0()
()()(k k kT t kT x kT t kT x T t T x T t T x t x kT t t x t x δδδδδδΛΛ)
()()()()(00*
KT t kT x KT t t x t x k k -=-=∑
∑∞
=∞=δδ∑
∞
=-==0
*
*)()]([)(k kTs
e kT x t x L s X sT
e z =∑
∞
=-====01
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T z T
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当σ< 0，则对应在s 左半平面，系统稳定映射到Z 平面上 对应在Z 平面的单位圆内，脉冲系统稳定；
当σ > 0，则对应在s 右半平面，系统不稳定，映射到Z 平面上 对应在Z 平面的单位圆外，脉冲系统不稳定；
当σ＝0，则对应在s 平面的虚轴上，系统临界稳定，映射到Z 平面上 对应在Z 平面的单位圆上，脉冲系统临界稳定。
将Z 进行映射变换，离散系统稳定判断依旧能够使用劳斯判据判断。
总结：
稳定系统的系统函数的收敛域，应该包含单位圆（包含在单位圆内）。
即稳定系统的系统函数，其极点不应分布在单位圆上！
1.若H(Z)的全部极点落在单位圆内，则系统稳定。
Ts e
z =ω
σj s +=T j T T j e
e e
z ωσωσ==+)(σ
T e
z =T
z ω=∠1<z 1>z 1=z
2.若H(Z)有极点落在单位圆外，或在单位圆上具有二阶以上的极点，则系统部稳定。
3.若H(Z)在单位圆上有一阶极点，但其他极点均在单位圆内，则系统临界稳定。