第02章 数学模型的建立

初中数学模型搭建教案教学目标：1. 理解数学模型的概念和意义；2. 学会使用数学符号和数学语言描述现实问题；3. 掌握数学模型的搭建方法和步骤；4. 能够运用数学模型解决实际问题。

教学内容：1. 数学模型的概念和意义；2. 数学模型的搭建方法和步骤；3. 数学模型的应用实例。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入数学模型的概念，让学生初步了解数学模型是什么；2. 引导学生思考数学模型在现实生活中的应用和意义。

二、讲解（15分钟）1. 讲解数学模型的定义和特点，让学生理解数学模型是用数学符号和数学语言描述现实问题的数学形式；2. 讲解数学模型的搭建方法和步骤，让学生掌握如何搭建数学模型；3. 通过实例讲解数学模型的应用，让学生了解数学模型在实际问题中的应用和意义。

三、实践（15分钟）1. 让学生分组讨论，选择一个实际问题进行数学模型的搭建；2. 引导学生用数学符号和数学语言描述问题，并用适当的数学方法建立模型；3. 组织学生展示自己的数学模型，让学生互相交流和学习。

四、总结（5分钟）1. 总结本节课的重点内容，让学生掌握数学模型的概念、搭建方法和应用；2. 强调数学模型在实际问题中的应用和意义，激发学生学习数学的兴趣和积极性。

教学评价：1. 学生能够理解数学模型的概念和意义；2. 学生能够使用数学符号和数学语言描述现实问题；3. 学生能够掌握数学模型的搭建方法和步骤；4. 学生能够运用数学模型解决实际问题。

教学资源：1. 数学模型实例；2. 数学符号和数学语言的相关资料。

教学建议：1. 在教学过程中，注重培养学生的数学思维能力和实际问题解决能力；2. 鼓励学生积极参与实践，培养学生的合作意识和团队精神；3. 注重教学评价，及时发现和纠正学生的错误，提高学生的学习效果。

第三节数学模型一、概述数学模型是所研究系统的动态特性的数学表达式，或者说，是系统输入作用与输出作用之间的数学关系。

控制系统中需要建立数学模型的，不局限于被控对象，系统中的每一个部分都需要建立数学模型。

但相对来说，被控对象之外部分的数学模型很多是控制仪表及装置的模型，其特性已经研究得比较多，而且变化很少。

被控对象则比较复杂，不同的控制系统，被控对象的差异极大。

因此，建模的重点是对象的建模。

被控对象千差万别，建立模型特别是机理建模，需要对被控对象有比较透彻的了解。

1．过程对象的特点过程对象系统相对较大、较为复杂，时间常数大、滞后大，具有非线性、分布参数和时变特性，因此建模比较困难，需要在模型的简化上做工作，更多地需要从实验中建立模型。

2．简化模型实际的物理系统是非常复杂的，过程对象也是如此，必须对系统进行适当的简化处理，才能有效地建模。

通常的做法是：（1）从分布参数到集中参数所有系统的模型本质上都是分布参数的，但分布参数模型太复杂，难建立也难以处理。

因此，通常都是将它简化为集中参数系统来建立模型。

当然，这仅仅在一定的范围内是有效的。

（2）从非线性到线性实际的物理系统存在许多非线性，只要系统中任何一个环节是非线性的，系统就是非线性的。

线性系统的重要特征是可以运用叠加原理，这将使系统建模分析大大简化。

因此，在很多情况下，应该尽量将系统简化为线性系统来建模和分析。

3．建模方法系统的建模方法分为两大类：机理建模与实验建模。

开始人们倾向于机理建模，认为这样的模型有理论依据，物理意义明确。

但对于较复杂的系统，做了许多简化与理想化后，才能建立起机理模型。

实验室建模似乎是迫不得已的办法，但在数据处理能力大大提高的今天，它也有较强的生命力。

机理建模就像是“开环控制”，理论上可以做到很精确，但实际上很难；试验建模就像是“闭环控制”，不管对象有多复杂，都可用这种综合方法来对付它。

对于一个新的建模问题，可以先建立一个比较简化的机理模型，对之进行一些初步的了解和研究。

第二章控制系统的数学模型第10讲梅逊公式王燕舞梅逊(Mason)公式◆梅逊(Mason)公式是美国麻省理工学院S.J. Mason于20世纪50年代提出的。

借助于梅逊公式，不经任何结构变换，便可以得到系统的传递函数。

•∑L i ：所有回路(n 条)的回路增益之和。

•∑L i L j ：所有两两互不接触回路(n 2条)的回路增益乘积之和。

•∑L i L j L k ：所有三三互不接触回路(n 3条)的回路增益乘积之和。

•P k ：从输入节点到输出节点第k 条前向通路的增益。

•Δk ：在Δ中，将与第k 条前向通路相接触的回路除去后所余下的部分的Δ ，称为余子式。

•m ：从输入节点到输出节点所有前向通路的条数。

∆∆=∑=m k kk P s G 1)(+-+-=∆∑∑∑321111n kj i n j i n i L L L L L L ◆梅逊公式的表达式为：•G(s)：待求的总传递函数。

•Δ称为特征式，◆梅逊公式的证明：参见：1.Samuel J. Mason, “Feedback theory-Some properties ofsignal flow graphs,” Proc. IRE, vol. 41, no. 9, pp. 1144-1 156, Sept. 1953.2.Samuel J. Mason, “Feedback theory-Further properties ofsignal flow graphs,” Proc. IRE, vol. 44, no. 7, pp. 920-926, July 1956.3.W.K. Chen, “Applied Graph Theory, Graphs and ElectricalNetworks,” North-Holland, Amsterdam, 1976.4.陈景明, “S.J. Mason讯号流图增益公式的另一个证明,” 吉林大学自然科学学报, no. 4, pp. 137-146, 1979.G 3H 2G 2G 1G 4H 1CR G 5G 6H 4H 3-H 2G 2G 3-H 4G41G 6G 5-H 3CB E F G x 3H IR A 1G 1-H 11结构图信号流图求图示控制系统的传递函数。

第二章自动控制系统的数学模型本章要点系统的数学模型是对系统进行定量分析的基础和出发点。

本章主要介绍从微分方程、传递函数和系统框图去建立自动控制系统的数学模型。

内容包括系统微分方程的建立步骤、传递函数的定义与性质、系统框图的建立、等效变换及化简、系统各种传递函数的求取以及典型环节的数学模型。

为了对自动控制系统性能进行深入的分析和设计，须定量计算系统的动、静态性能指标。

而要完成此项任务，就必须掌握其变化规律，用一个反映其运动状态的数学表达式描述系统的动态过程。

这种描述系统各变量之间关系的数学表达式称为系统的数学模型。

系统数学模型的建立主要有解析法和实验法。

解析法是从系统元件所遵循的一些基本规律出发去推导系统的数学模型。

如果不了解系统的结构和运动规律，则应采用实验法建立数学模型，即在系统的输入端加上测试信号，在根据测试出的输出响应信号建立其数学模型。

系统的数学模型有多种，经典控制理论中常用的数学模型有：微分方程（时域数学模型）、传递函数（复域数学模型）、频率特性（频域数学模型）和动态结构图(几何模型)。

第一节系统的微分方程微分方程是描述系统的输入量和输出量之间关系最直接的方法。

当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时，其微分方程可以确切描述系统的运动过程。

一、系统微分方程的建立步骤1．根据系统的组成结构、工作原理和运动规律，确定系统的输入量和输出量。

2．从输入端开始，根据各环节所遵循的运动规律，依次列写微分方程。

联立方程，消去中间变量，求取一个只包含系统输入量和输出量的微分方程。

3．将方程整理成标准形式。

即把含输出量的各项放在方程的左边，把含输入量的各项放在方程的右边，方程两边各导数按降幂排列，并将有关系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常数等。

二、举例说明例2-1求图2-1所示RC网络的微分方程。

解：由图可知，输入量为u i(t) , 输出量为u o(t) ，根据电路遵循的基尔霍夫电压定律，有dtt du Ct i t u R t i t u o o i )()()()()(=+=消去上式中的中间变量i(t) ，得)()()(t u dtt du RCt u o o i += 整理得 ()()()o o i du t RCu t u t dt+= 例2-2 求直流电动机的微分方程。

数学中的数学模型建立在数学领域中，数学模型被广泛应用于解决各种实际问题。

通过建立数学模型，我们能够简化真实世界的复杂情况，将其转化为数学问题，并通过分析和计算来获得预测结果。

本文将介绍数学中的数学模型建立的基本方法和应用领域。

一、数学模型的基本构成1.问题的抽象化在建立数学模型之前，首先需要对待解问题进行抽象化。

抽象化是将实际问题中的关键要素提取出来，并将其转化为数学符号和表达式。

通过这种方式，我们可以将复杂的问题简化为数学问题。

2.建立数学表达式在数学模型中，数学表达式是非常重要的部分。

数学表达式可以用来描述问题的特性、关系和约束条件。

常见的数学表达式包括方程、不等式、函数等。

通过合理选择和构建数学表达式，可以准确地刻画问题的本质和特点。

3.参数的确定数学模型中的参数是指那些在问题求解过程中需要给定的常量或变量。

参数的确定对于模型的有效性和准确性有重要影响。

参数的选择需要考虑实际问题的特点和要求，并通过实验、观察或数据分析等手段来确定。

4.模型的求解建立数学模型后，我们需要对模型进行求解，以获得问题的解答或预测结果。

模型的求解可以采用不同的方法，例如解析解、数值解或模拟仿真等。

根据问题的特点和要求，选择合适的求解方法对于模型的成功应用至关重要。

二、数学模型的应用领域1.物理学领域中的数学模型物理学是最早采用数学模型进行研究的学科之一。

在物理学中，很多现象都可以通过数学模型进行描述和解释。

例如，牛顿的力学定律可以通过建立动力学方程来描述；热传导现象可以通过建立热传导方程来描述。

数学模型在物理学中的应用不仅扩展了我们对自然世界的认识，也为科学技术的发展提供了重要的支持。

2.生物学领域中的数学模型生物学是研究生命现象和生物系统的学科，也离不开数学模型的应用。

生物学中的数学模型可以用来研究生物体的生长、繁殖、迁徙等行为，以及生物系统的动力学特性。

例如，建立动力学方程可以帮助我们理解种群数量的变化规律；建立生物过程的数学模型可以用来预测疾病的传播和控制。