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用向量证明垂直PPT课件

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高中数学人教A版选修2-1课件：3.2.2 用向量方法解决垂直问题

高中数学人教A版选修2-1课件：3.2.2 用向量方法解决垂直问题
∴ ������������ ·������������1 = 0, ������������ ·������������ = 0. ∴AF⊥EA1,AF⊥ED. 又 EA1∩ED=E,∴AF⊥平面 A1ED.
3 1, , 0 2
.
题型一
题型二
题型三
证明面面垂直
【例 3】 如图,在五面体 ABCDEF 中,FA⊥平面 ABCD,AD∥BC∥ FE,AB⊥AD,M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE=
题型一
题型二
题型三
解:如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点,设 AB=1, 依题意,得 D(0,2,0),F(1,2,1),A1(0,0,4),������
3 1 ∴ ������������ = (1,2,1), ������������1 = -1,- ,4 , ������������ = -1, ,0 , 2 2
1 1 , 1, 2 2
, ������ (1,1,0), ������(0,2,0), ������ (0,1,1),
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】 如图所示,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形 ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方 形,DD1⊥平面A1B1C1D1,DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
反思对于坐标系易建立的空间线面垂直问题,通常用向量法,先 求出平面的法向量和直线的方向向量,证明平面法向量与直线的方 向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂 直,再用线面垂直判定定理即可.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC, CC1上的点,CF=AB=2CE,AB∶AD∶AA1=1∶2∶4.求证:AF⊥平面 A1ED.

利用空间向量证明平行、垂直问题PPT精品课件

利用空间向量证明平行、垂直问题PPT精品课件

②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－
3 5
v，
∴u∥v，∴α∥β.
③∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，
∴u与v不共线，也不垂直，
∴α与β相交但不垂直．
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
∴u·a＝－6＋8－2＝0，
∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.
②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－
贝 多 芬
你知道托尔斯泰哪些 文学代表作？
它们在俄国历史上起 过什么作用？
托尔斯泰晚年为什么 选择“平民化”的道
“我要扼住命运的咽喉，它决不能使我 完全屈服”
——贝多芬
1.当时贝多芬遇到了怎样的厄 运？
2.他是怎样“扼住命运的咽 喉”？
《吃土豆的人》
哪一首乐曲标志着贝多芬在艺术 上和思想上的成熟？
b，∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，
∴a·b＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，
∴a与b不共线，也不垂直，∴l1与l2相交或异面．
(2)①u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－12 ，
∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.
A．(2,3,1)
B．(1，－1,2)
C．(1,2,1)
D．(1,0,3)
解析：A→D＝xA→B＋yA→C＝(x＋y，x＋2y，x－y)， 对四个选项逐个检验，只有当(x＋y，x＋2y，x－y)＝
(1,0,3)时有解xy＝ ＝2－1 . 答案：D
1．注意用向量中的有关公式及变形，借助建立直角坐 标系将复杂的几何问题化为简单的代数问题．

用空间向量证明线线垂直与线面垂直

用空间向量证明线线垂直与线面垂直

第二节 用空间向量证明线线垂直与线面垂直一、空间向量及其数量积1、 在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。

用AB 或a 表示，其中向量的大小称为向量的长度或或a。

正如平面向量可用坐标(x,y.)表示，空间向量也可用坐标(x,y,z)表示。

若已知点A 坐标为（x 1，y 1，z 1）,点B 坐标为（x 2，y 2，z 2） 则向量AB =（x 2 -x 1，y 2- y 1，z 2 -z 1）即是终点坐标减起点坐标。

在空间，知道向量=（x ，y ，z=222z y x ++2、 空间向量数量积① 已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则角∠AOB 叫向量a 与b 的夹角，记作＜a ，b ＞规定，若0≤＜a ，b ＞≤π，若＜a ，b ＞=2π，称a 与b 垂直，记作a ⊥。

② 已知空间两个向量a 、bCOS ＜a ，b ＞叫向量a 、b 的数量积，记作b a ⋅COS＜，＞若⊥⇔a ⋅＝０③ 若已知空间向量a ＝（x 1，y 1，z 1）， b ＝（x 2，y 2，z 2） 则a ∙b ＝x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 ， COS ＜a ，222222212121212121z y x z y x z z y y x x ++⋅++++=例１ 如图，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=900,D 1、E 1分别为A 1B 1、A 1C 1中点，若BC=CA=CC 1，求向1BD 与1AE 所成角的余弦值。

C 1B 1 Ａ1ＡＣＢ D 1 E 1练习：已知正方体ABCD —1111D C B A 中，11E B =11F D =411B A ，求向量1BE 与1DF 所成角的余弦值。

二 、利用向量证线线垂直与线面垂直例2 在正方体ABCD —1111D C B A 中，求证A 1C ⊥平面AB 1D 1练习：在正方体ABCD —1111D C B A 中，O 为底面ABCD 的中心，P 为DD 1的中点， 求证：B 1O ⊥平面PAC 。

空间向量证明线面垂直

空间向量证明线面垂直

空间向量证明线面垂直
在三维空间中，我们可以使用向量来证明线和面的垂直关系。

假设有一条直线 L，其方向向量为 a，过一点 P 的平面方程为 Ax
+ By + Cz + D = 0。

我们要证明直线 L 与平面的法向量垂直。

首先，我们知道直线 L 上的任意一点可以表示为 P = P0 + ta，其中 P0 是直线上的一个特定点，a 是直线的方向向量，t 是一个
实数。

假设直线 L 与平面的法向量为 n = (A, B, C)。

现在我们来证明直线 L 与平面的法向量垂直。

我们知道如果两
个向量垂直，它们的点积为零。

因此，我们可以计算直线的方向向
量与平面的法向量的点积：
a · n = Aa1 + Ba2 + Ca3。

其中，a1、a2 和 a3 是向量 a 的分量。

由于直线 L 上的任意
一点 P 可以表示为 P0 + ta，我们可以将 P 的坐标代入平面方程中：
A(P0x + tax) + B(P0y + tay) + C(P0z + taz) + D = 0。

展开并整理得到：
t(Aa1 + Ba2 + Ca3) + (AP0x + BP0y + CP0z + D) = 0。

由于上式对于直线 L 上的任意点成立，因此必须有 Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0。

这意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直，即直线和平面垂直。

因此，我们使用空间向量证明了直线和平面的垂直关系。

这种方法可以帮助我们在三维空间中分析线和面的相互关系，为我们理解空间中的几何关系提供了有力的工具。

用向量讨论垂直和平行(课堂PPT)

用向量讨论垂直和平行(课堂PPT)

与平行获得处理这类问题的方法。
3 认识事物之间的规律性，进一步体会向量方法 在立体几何中的具体作用。
5
导学案反馈
闪光点：1、按时交导学案； 2、对课本认真解读了，对知识达到了一定的理
解； 态度方面：个别卷面不整洁； 知识理解方面：
1、求点的轨迹是要注意建系设点（合作探究2） 2、当不确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上时，要注 意讨论。（合作探究3）
另一个平面，则这两个平面平行。
14
例 2.在 正 方 形 A B C D-A 1B 1C 1D 1 中 ,
求 证 :平 面 A 1B D//平 面 C B 1D 1
证明:如图分别以D1A1、D1C1、D1D
三边所在的直线为x,y,z轴建立空间 A
直角坐标系.设正方体的棱长为1,
Z
D
C
B
则A1(1,0,0),B1(1,1,0),
求证CD 平面BDM
A
A1
解 :
D
如 图 ,以 C为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 .
B( 2,0,0),B1( 2,1,0),A1(0,1,1),
C
C1
MY
B1
D( 2,1,1),M( 2,1,0),
B
2 22 2
X
uuur CD(
2, 2
1, 2
12),uAu1uBr (
uuuur 2,1,1)，DM(0,
C'
A'
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
A'C AB',求证：BC' AB'
证明：设底面边长 1, 为
设a AA',b AB,c AC C

空间向量与垂直关系 课件

空间向量与垂直关系 课件

1.用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么? 提示:需要确定直线的方向向量和平面的法向量,然后把证明线、 面的垂直关系转化为向量的平行或垂直的关系.
2.与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为_______.
【解析】设n=(x,y,z),且n⊥a,n⊥b,则:
n n
a b
C(0,0,0), A( 2, 2,0), B(0, 2,0), D( 2,0,0), E(0,0,1), F( 2 , 2 ,1),
22 CF ( 2 , 2 ,1), BE (0, 2,1),
22 DE ( 2,0,1),
CF BE 0 11 0,CF DE 1 0 1 0,
DD1 (0,0, 2), AC ( 2, 2,0), DB (2, 2,0), DD1 AC 0 0 0 0, DB AC 4 4 0 0, DD1 AC, DB AC.
∴D1F⊥平面AEG.
方法三:以D为原点，DA,DC,DD1分别为x轴，y轴,z轴建立空间
直角坐标系，设正方体棱长为1，则
D1
0, 0,1 , F(1,
1 2
, 0),
A1,0,0,G( 1 ,1,0), E(1,1, 1 ).
2
2
D1F
(1,
1 2
,
1),
AG
(
1 2
,1,
0),
AE
(0,1,
0,
0,1
,
F(1,
1 2
,
0),
A
1,
0,
0
,
G
(
1 2
,1,
0),
E(1,1,
1 2
),
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

2-3-4用向量讨论垂直与平行课件(北师大版选修2-1)


2．用空间向量解决立体几何问题的步骤 (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉 及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它 们之间距离和夹角等问题； (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．
题型一 求空间平面的法向量 【例 1】 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F 分别为棱 A1D1、A1B1 的中点，求平面 EFBD 的一个法向量．
2 2
名师点睛 1．求平面法向量的步骤 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标 系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： 设平面的法向量为 n＝(x，y，z)． (1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，1，1)， b c b＝(a2，b2，c2)；
(2)根据法向量的定义建立关于 x、y、z
同理设平面 EGF 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)， → n2·EF＝0 y2＋z2＝0， 由 ⇔ → n ·EG＝0 x2＋y2＋z2＝0， 2 令 y2＝1 可得：x2＝0，z2＝－1， ∴n2＝(0，1，－1)， ∴n1＝n2⇒n1∥n2， ∴平面 EGF∥平面 ABD. 方法点评 利用等价转化思想将立体几何问题转化为空间向量 的坐标运算，大大降低了思维的难度，同学们只要运算仔细就 可以了，这种思想的运用必须掌握好．
证明
法一 如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，
则有 D(0，0，0)，A1(2，0，2)，P(0，1，0)，M(0，2，1)，N(1， 2，0)． → → → ∴A1P＝(－2，1，－2)，DM＝(0，2，1)，DN＝(1，2，0)， → → → → ∴A1P·DM＝0，A1P·DN＝0. ∴A1P⊥DM，A1P⊥DN， 又 DM∩DN＝D， ∴A1P⊥平面 DMN.

关于用向量法证明垂直课件


⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组

n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
二、用向量讨论垂直关系
设直l线 、m的方向向量方向别向为量 a和b分 ,
平面、的法向量分u别 ,v 为
拓展： 在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、 F 分别为棱 AB 和 BC 的中点，试在棱 B1B 上找一点 M， 使得 D1M⊥平面 EFB1.
证明：分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 D－xyz，
则 A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E1，12，0， M(1,1，m)．∴A→C＝(－1,1,0)，
01
10 2
(1) 0
0
D1F
DE
01
1 1 (1) 1
2
2
0
则D1FD,AD1FDE
D A
x
E
C
F
y
B
则D1FD,AD1FDE ,又DADED
所以 D1F平面 ADE
例 4、在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PD⊥平面 ABCD，E、F 分别为棱 AD、PB 的中点， PD＝AD.求证：平面 CEF⊥平面 PBC.
z
O1
C1
A1
B1
o
A
x
C
y
B
例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6)

用空间向量研究直线、平面的位置关系PPT课件

的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线
和平面.
（一）点的位置向量
1.思考：如何用空间向量表示空间中的一个点?

2.点的位置向量
如图 ，在空间中，我们取一定点 作为基点，
那么空间中任意一点 就可以用向量来表示:我
们把向量称为点 的位置向量.
向量称为点 的位置向量.

三
探究新知2——平面的法向量（互学）
注：其中符号
,
,
= − ；
4.平面法向量的三种求法
(3)求法三：叉乘法(该方法只适合选择题、填空题，不可用于解答题)
已知两个不共线的空间向量 = , , 与 = , , ,设向
量 = , , 为向量与确定平面的法向量,则
三
探究新知2——平面的法向量（互学）
1.平面法向量的定义
我们知道，给定空间一点 和一条直线，则过点 且

垂直于直线的平面是唯一确定的.由此得到启发，我们可以
利用点和直线的方向向量来确定平面.
如图，直线 ⊥ ,取直线的方向向量，我们称向量为
平面的法向量.
给定一个点 和一个向量，那么过点A，且以向量为
是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在
直线上的充要条件是存在实数，使得
= ,即 =

二
探究新知1——空间中点、直线和平面的向量表示（互学）
2.直线的向量表示
进一步地，如图，取定空间中的任意一点，可以得
到点在直线上的充要条件是存在实数，使
= ,
, , ;
③列方程：由 ⊥ ⇔ ∙ = 列出方程
⊥
∙ =

向量法在空间垂直关系中的应用 课件


成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
(3)由于点 M 在 AE 上， 所以可设A→M＝λ·A→E＝λ·(0,2,1)＝(0,2λ，λ)， ∴M(2,2λ，λ)，A→1M＝(0,2λ，λ－2)． 要使 A1M⊥平面 DAE，需 A1M⊥AE， ∴A→1M·A→E＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0， ∴λ＝25．故当 AM＝25AE 时，A1M⊥平面 DAE．
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
面面垂直
已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F、 G 分别是 BB1、DD1、DC 的中点，求证：
(1)平面 ADE∥平面 B1C1F； (2)平面 ADE⊥平面 A1D1G； (3)在 AE 上求一点 M，使得 A1M⊥平面 DAE．
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
[分析] 证法一：选取基向量A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c ―→
用a，b，c表示E→F，A→B1，B→1C0 ―→ 结论
证法二： 建系 ―→ 求出A、C、E、F、B1各点坐标 ―→
求出E→F，A→B1，A→C的坐标 ―→
利用向量的坐标运算求得E→F·A→B1＝0，E→F·A→C＝0
―→
结论
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
[证明] 证法一：设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则E→F＝E→B1＋ B→1F＝12(B→B1＋B→1D1)＝12(A→A1＋B→D)
[方法规律总结] 证明直线l⊥平面α，(一)取直线的方向向 量e和平面的法向量n，验证e∥n；(二)取直线的方向向量e和与 平面α平行的两不共线向量a，b，验证e·a＝0且e·b＝0．可以 选取基向量表示，方便建系时一般用坐标法证明．
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B112，0，1，
∵M 为 BC 中点，
∴M14， 43，0.
∴M→N＝－14， 43，14，A→B1＝(1,0,1)， ∴M→N·A→B1＝－14＋0＋14＝0. ∴M→N⊥A→B1， ∴AB1⊥MN.
利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤： (1)基向量法：①选取三个不共线的已知向量(通常是它们的 模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底； ②把两直线的方向向量用基底表示； ③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量 积为 0； ④由方向向量垂直得到两直线垂直．
【证明】 如图所示，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为 1 个单位长度，则 A(1,0,0)，A1(1,0,1)， M0，0，12，O12，12，0，∴O→A1＝D→A1－D→O＝12，－12，1，A→M ＝D→M－D→A＝－1，0，12，
∴O→A1·A→M＝12×(－1)＋－12×0＋1×12＝0， ∴O→A1⊥A→M.
利用向量证明面面垂直 如图 3－2－12 所示，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，
AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E 为 BB1 的中点，证明：平面 AEC1⊥平面 AA1C1C.
图 3－2－12
【自主解答】 由题意得 AB，BC，B1B 两两垂直．以 B 为 原点，BA，BC，BB1 分别为 x，y，z 轴，建立如题图所示的空间 直角坐标系．
∵AB＝AA1＝ 2， ∴OA＝OB＝OA1＝1， ∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)．
由A→1B1＝A→B， 易得 B1(－1,1,1)． ∵A→1C＝(－1,0，－1)，B→D＝(0，－2,0)，B→B1＝(－1,0,1)， ∴A→1C·B→D＝0，A→1C·B→B1＝0， ∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1， ∴A1C⊥平面 BB1D1D.
利用向量证明线面垂直 (2013·陕西高考改编)如图 3－2－10，四棱柱 ABCD
－A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O⊥平面 ABCD，AB＝AA1＝ 2.
证明：A1C⊥平面 BB1D1D.
图 3－2－10
【自主解答】 由题设易知 OA，OB，OA1 两两垂直，以 O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．
于是C→A＝(－1,1,0)，C→P＝(－1,0,1)，P→B1＝(1,1,1)， ∴C→A·P→B1＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0， C→P·P→B1＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0， 故C→P⊥P→B1，C→A⊥P→B1，即 PB1⊥CP，PB1⊥CA， 又 CP∩CA＝C，且 CP⊂平面 PAC，CA⊂平面 PAC. 故直线 PB1⊥平面 PAC.
令 x1＝1，得 y1＝1. ∴n1＝(1,1,0)． 设平面 AEC1 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)．
则 nn22··AA→→CE＝1＝00，
－2x2＋2y2＋z2＝0， ⇒－2x2＋12z2＝0，
令 z2＝4，得 x2＝1，y2＝－1.
∴n2＝(1，－1,4)． ∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n1⊥n2，∴平面 AEC1⊥平面 AA1C1C.
-----平行与垂直
复习、用向量运算处理垂直关系
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直
线面垂直 面面垂直
l⊥m a⊥b ab 0；
l ⊥ a ∥u a ku； ⊥ u ⊥ v u v 0.
利用向量证明线线垂直
已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的各棱长都为 1，M 是 底面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1.
如图 3－2－11，长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝AD＝1， AA1＝2，点 P 为 DD1 的中点，求证：直线 P明】 依题设，以 D 为坐标原点，如图所示，建立空 间直角坐标系 Dxyz，则 C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0,1,0)，B1(1,1,2)，
1．坐标法证明线面垂直有两种思路： 方法一：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向 量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为 0.
方法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量； (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用 方法二，否则常常选用方法一解决．
A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E0，0，12， 则 A→A1 ＝ (0,0,1) ， A→C ＝ ( － 2,2,0) ， A→C1 ＝ ( － 2,2,1) ， A→E ＝ －2，0，12. 设平面 AA1C1C 的一个法向量为 n1＝(x1，y1，z1)． 则nn11··AA→→AC1＝＝00， ⇒z－1＝2x01，＋2y1＝0.
求证：AB1⊥MN. 【自主解答】 法一 设A→B＝a，A→C＝b，A→A1＝c， 则由已知条件和正三棱柱的性质，得 |a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0， A→B1＝a＋c，A→M＝12(a＋b)，
法二 设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1.
以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已 知得 A －12，0，0 ， B 12，0，0 ， C 0， 23，0 ， N 0， 23，14 ，
(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间 直角坐标系，正确地写出各点的坐标；
②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标； ③计算两直线方向向量的数量积为 0； ④由方向向量垂直得到两直线垂直．
在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 是棱 DD1 的中点，O 为 正方形 ABCD 的中心，用坐标法证明向量O→A1⊥A→M.