分段函数极值问题的研究

分段函数极值问题的研究极值分段函数是一类重要的函数，特别是在经济学、物理学、数学等领域中，其应用非常广泛。

它的极值研究对于理解这类函数的特性有着至关重要的作用，有助于更深入的剖析极值分段函数。

首先，我们需要了解极值分段函数的定义。

通常，极值分段函数是指由几个函数段组成的函数。

每一个函数段都有自己的参数，其结果或极值可以由参数来预测。

因此，极值分段函数具有复杂的分析特性，既包含着各个段的参数，也包含着整个函数的参数。

其次，当研究分段函数的极值时，我们需要关注它们的变化规律，也就是在每一段中的极值的行为。

如果我们能够确定一个实际的函数模型，那么就可以用它来求解各段的极值。

比如，我们可以用偏导数的方法来求分段函数的极大值或极小值，也可以使用非微分几何的方法来求取分段函数的局部极值。

这些方法都很有效，可以较为精确地求解分段函数的极值。

此外，结构化分析也是分段函数极值研究的有效方法。

根据函数模型，我们可以计算任意函数式的极值，这就是分段函数的优点所在。

除此之外，分段函数的极值研究还可以通过有限差分法来实现，这种方法可以综合考虑各段函数的影响，减少误差，并给出准确的求解结果。

最后，有关分段函数的极值研究还可以通过数值计算的方法来进行。

这种方法可以很好地模拟函数的变化趋势，从而挖掘出准确的极值。

但是，数值计算方法很复杂，容易出现计算误差，因此需要特别注意参数选取等问题，以获得最准确的极值计算结果。

综上所述，分段函数的极值研究对于理解这类函数的特性有着至关重要的作用。

其中，对参数的准确把控、多段函数的联合考虑、以及数值计算必须特别关注，以避免出现求解失误。

未来，人们有望在极值研究方面取得更大的进步，在各个领域更好地应用分段函数。

浅析分段函数典型错误，提高复习效率【摘要】 分段函数是今年来高考考查的一个重点和热点，题目的综合性强，涉及面广，但得分率一直都不高。

尽管许多高三老师针对分段函数进行了专题复习，但效果不如人意。

本文结合笔者高三复习中对分段函数学生出现的五种典型错误进行归类浅析，并对每个类别提出教学的对策，以期提高复习的效率。

【关键词】 分段函数；典型错误；错因分析；教学对策；提高效率在定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数称之为分段函数。

纵观近年来的高考试卷，很多省市的高考试卷都考查了分段函数，如08年广东文21、理19、10年广东文20， 11年福建文8、辽宁理9等，据我的不完全统计，仅仅2011年对分段函数的考查就超过10个题目，题目的特点是综合性强，涉及面广，如分段函数的定义域、值域（最值）、函数的性质，以及与分段函数相关的不等式、方程、零点、解析式、应用题等，是高考考查的重点和热点。

分段函数在人教A 版等教材中是以例题的形式出现的，并没有对分段函数进行明确的概念界定和深入的分析研究。

尽管许多高三的老师也对分段函数进行题型的专题复习训练，但学生掌握的情况不如人意，统计发现这类题得分率并不高。

许多学生对它的认识较浅、片面，如思维不严谨、认为分段函数是多个函数的组合体等。

在高三复习阶段，如何有效的进行分段函数的复习就成为一个关键点。

我尝试着把学生在复习过程中出现的典型错误进行归类浅析，结合函数的本质，思考有效的解决方法以提高复习效率，让学生有比较大的进步，现将这个问题总结如下。

1 分段函数求解过程漏考虑定义域的限制在分段函数的相关问题，如方程、不等式等问题中，由于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同的，学生常见的就是对问题进行了分类讨论，最后忘记考虑定义域的问题了，如例1.1 已知函数⎩⎨⎧>≤=+0,log 0,3)(21x x x x f x ，使f(x)的图象位于y=1的上方，求x 的取值范围。

含参的复杂分段函数的最值求解方法探究江苏省淮阴中学 卢连伟 223001摘要：含参的二次函数在闭区间上的最值在高中阶段已经研究很透，但是如果一个分段函数是由多个二次函数或者别的函数复合而成，怎样研究它的最值？分类的标准是什么？本文以三个含参二次函数组合成一个分段函数为例，研究它的最值，总结出三种策略。

希望通过对本例的研究，能对解决其它的复杂分段函数有些帮助。

关键词：参数，二次函数，分段函数，最值例 求函数的2()|1||1|([2,2])f x a x x x =-+-∈-最大值.分析：2221,21()1,111,12x ax a x f x x ax a x x ax a x ⎧-+--≤≤-⎪=--++-<<⎨⎪+--≤≤⎩方法一、先对每段分别求出最大值，然后给出结论：（1）当21x -≤≤-时， ①当322a ≤- 即3a ≤-时，max ()(1)2f x f a =-=， ②当322a >- 即3a >-时，max ()(2)33f x f a =-=+， （2）当11x -<<时， ①当12a -> 即2a <-时，max ()(1)0f x f ==， ②当112a -≤-≤ 即22a -≤≤时，2max ()()124a a f x f a =-=++， ③当12a -<- 即2a >时，max ()(1)2f x f a =-=； （3）当12x ≤≤时， ①当322a -≥ 即3a ≤-时，max ()(1)0f x f ==， ②当322a -< 即3a >-时，max ()(2)3f x f a ==+. 下面对a 的范围按照从小到大的顺序加以汇总:①3a ≤-时()f x 的最大值可能为2,0,0a ，易知此时最大值为0；②32a -<<-时()f x 的最大值可能为33,0,3a a ++，易知此时最大值为3a +；③22a -≤≤时()f x 的最大值可能为233,1,34a a a a ++++，这三个数大小关系不确定，(ⅰ)当20a -≤<时，显然333a a +<+，又22(1)(3)2044a a a a ++-+=-<，故此时最大值为3a +；(ⅱ) 当02a ≤≤时，显然333a a +≥+，又22(1)(33)22044a a a a a ++-+=--<，故此时最大值为33a +；④2a >时()f x 的最大值可能为33,2,3a a a ++，易知此时最大值为33a +.综上：max 0,3()3,3033,0a f x a a a a ≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩. 评注：该方法的难点在于如何汇总最后的结论，但是前期的工作非常熟悉。

高中数学核心素养培养的分段函数探究理论依据1.波利亚的解题理论.波利亚认为：中学数学教育的根本目的就是“教会年轻人思考”，这种思考既是有目的的思考，产生式的思考，也包括形式的和非形式的思维.数学教育中注重培养学生的兴趣、好奇心、毅力、情感体验等非智力品质的重要性.2.建构主义的数学教育理论.该理论阐述了数学学习什么、学生如何学习数学、教师如何开展数学教学.关键词:分段函数，函数性质，分类讨论思想。

分段函数就是对于自变量的不同取值范围,有着不同对应法则的函数,它是由几段构成的一个函数,而不是几个函数.因为其形式宽泛,一个分段函数可以同时包含若干个初等函数,有时也以绝对值函数的形式出现,所以以分段函数为载体的问题所涉及的知识面较广,所蕴含的思想方法丰富.因而分段函数已成为高考命题的一个热点，解决分段函数问题的基本思想是“分段归类”，需要综合运用函数性质和图象，有利于提高学生分析问题和解决问题的能力和提升逻辑推理，数学运算和直观想象的核心素养.高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现,试题难度一般较小.常见的命题角度有如下几个方面:1.分段函数的求值分段函数的求值包括两类题型.一是直接求值,不含参数的复合函数求值时,从内向外逐次计算,每次都要注意自变量的取值范围;二是如果分段函数的解析式或求解方程问题中含有参数,可根据条件、方程解出参数后,再解决其他问题.例题1(2021河南濮阳模拟)若f(x)=是奇函数,则f(g(-2))的值为( ).A. B.- C.1 D.-1析∵f(x)=是奇函数,∴当x<0时,解∴g(-2)=-1,∴f(g(-2))=f(-1)=g(-1)=1.点拨：求分段函数的函数值时,要先确定待求值的自变量属于哪一个区间,然后代入该区间对应的解析式求值;当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值;当自变量的值所在区间不确定时,要分类讨论,分类标准应参照分段函数不同段的端点值.训练1．【2018江苏卷9】函数满足，且在区间上，则的值为．答案2.给定函数值求参数f(x)是一个分段函数,函数值的取值直接依赖于自变量x属于定义域的哪一个区间,所以要对x的可能取值范围逐段进行讨论.例题2.(2021云南曲靖一模)设若f(0)是f(x)的最小值,则实数a的取值范围为( ).A.[-1,2]B.[-1,0]C.[1,2]D.[0,2]解析∵当x≤0时,f(x)=(x-a)2,f(0)是f(x)的最小值,∴a≥0.当x>0时,,当且仅当x=1时取等号.要满足f(0)是f(x)的最小值,需2+a≥f(0)=a2,即a2-a-2≤0,解得-1≤a≤2.∴实数a的取值范围是0≤a≤2.故选D.点拨：若给定函数值求自变量,应根据函数定义域内每一段的解析式分别求解,利用函数值构造方程.其关键点为:(1)讨论,对所求自变量分段讨论,得出相应函数值;(2)解方程,由函数值相等构造方程,并解方程;(3)得结论,将符合自变量相应范围的解写出来训练2.(2021安徽模拟)已知函数则f(f(-2))= ,若f(f(a))=4,则a= . 答案2, ±13.分段函数的单调性分段函数在定义域上的单调性,不但取决于各段函数的单调性,还需在定义域的分界处满足单调性定义.【例3】(2020届武汉调研)若是定义在R上的减函数,则a的取值范围是.【解析】由题意知解得所以a的取值范围是 .点拨：对于含参数的分段函数的单调性的判断(以两段为例):(1)确定函数的第一部分的单调性;(2)确定函数的第二部分的单调性;(3)比较左端点和右端点的大小,列出满足条件的不等式组,取交集已知函数 (a>0,且a≠1),数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),增数列,则实数a的取值范围是( ).且{an}是递A.[7,8)B.(1,8)C.(4,8)D.(4,7) 答案C4.与分段函数有关的不等式问题在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围(解不等式)的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的某段上,然后相应求出在这段定义域上自变量的取值范围,再与这段定义域求交集即可.例4(2021河北冀州中学第一次质检)对任意实数a,b定义运算“*”:设f(x)=(x2-1)*(4+x),若函数y=f(x)+k的图象与x轴恰有三个不同的交点,则实数k的取值范围是( ).A.(-2,1)B.[0,1]C.[-2,0)D.[-2,1)解析解不等式x2-1-(4+x)≥1,得x≤-2或x≥3.所以其图象如图中实线所示,由图可知,当-1<-k≤2时,y=f(x)与y=-k的图象恰有三个交点,即当-2≤k<1时,函数y=f(x)+k的图象与x轴恰有三个不同的交点.故选D.点拨由分段函数的函数值相同求自变量或参数的范围问题时,一般先画出分段函数的图象,观察在相应区间上函数图象与相应直线相交的交点横坐标的范围,再列出函数满足的不等式,从而解出参数范围.训练4．【2018浙江卷15】已知λ∈R，函数当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是_______．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是_________．答案：5.与分段函数有关的方程问题(1)已知函数值求自变量x或其他参数值的问题,一般按自变量x的取值范围分类讨论,通过解方程得出结果;(2)解由函数零点的存在情况求参数值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式.例5【2020天津9】.已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以 .综上，的取值范围为 .故选：D.点拨：解决与分段函数有关的方程问题,主要是分段讨论构建方程或通过数形结合求图象交点,其关键点为:(1)讨论,分段讨论相应的自变量,构建方程.(2)求解,在分类讨论的前提下,求解方程,或利用分段函数的图象求交点的横坐标.(3)下结论,将各段上的方程的解求并集.训练5．【2018天津卷14】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是。

本科生毕业论文题目分段函数的若干问题研究系别数学与应用数学班级112班姓名张伟学号104131231答辩时间2015年5月新疆农业大学数理学院目录摘要 (1)1 分段函数的基本定义 (2)1.1 基本定义 (2)1.2 定义域、值域 (3)1.3 性质 (3)1.3.1 分段函数的单调性 (3)1.3.2 分段函数奇偶性的判断 (4)1.3.3 分段函数周期性的判断 (4)1.4 分段函数的特点 (5)2 分段函数连续性、可导性和可积性 (5)2.1 分段函数连续性 (5)2.2 分段函数在分段点处的可导性 (6)2.2.1 基本定理 (6)2.2.2 导数的计算方法 (7)2.3分段函数的可积性 (9)2.3.1可积性与原函数的存在性 (9)2.3.2 不定积分的求法 (10)2.3.3定积分的例子 (11)3 其他计算问题 (13)3.1幂级数 (13)3.2微分方程 (15)3.3 二元分段函数连续性问题 (15)4 结论 (15)参考文献 (16)谢辞 (17)分段函数的若干问题研究张伟指导教师：程霄摘要：函数是高等数学的一个重要内容，而分段函数又是函数中的一个难点。

在自然科学与工程技术中，经常会遇到分段函数。

本文从分段函数的基本性质入手，分析了分段函数的特点。

进而重点总结了分段函数在分段点外的连续性，可导性，可积性等重要性质与计算方法。

同时，还探讨了的分段函数的其它若干计算问题。

关键词：分段函数；连续性：可导性；积分运算函数是高等数学的一个重要内容，而分段函数又是函数中的一个难点。

一般教科书中只是在函数的定义之后给出了分段函数的一些简单介绍，并不对分段函数进行严格地定。

对其特征、性质等都没有作出任何说明;并且其后的有关知识对于分段函数应该如何处理，也没有明确指出。

正是由于上述原因，对分段函数及其有关性质、处理方法难以把握。

因此，应适当地加强分段函数的讨论，在相关知识中融人分段函数的内容，并给出较详细的说明。

求分段函数的值域，最值，单调区间，零点的常用方法梁关化，2015，11，17分段函数在高考中常常是以小题出现，但有时却是小题中的难题。

如今年北京，天津就是把它作为小题中的难题出。

分段函数是一个函数，只是自变量取值不同时对应法则不同而已，但它又可以看成若干个函数组成的一个整体。

故它的值域是若干个函数值域的并集，最值是由它们的最值比较而定，单调区间，零点也是它们综合起来而定。

解题时，一般是先分段求解，再综合整理。

其中常常用到数形结合，分类讨论等数学思想，零点问题常与方程结合，单调区间，最值，必要时还需要用导数解决。

下面看题。

1、（2015年北京理科卷）设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．解析：①若1a =，则()()()211412 1.x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥1）数形结合法：由图象得最小值为-1。

2）分段分析法：当x<1时，1211x -<-<；当1x ≥时，()()4121x x --≥-，故 最小值为-1。

（另外，由图象得，单调递增区间为3(,1),(,)2-∞+∞，单调递减区间为3(1,)2，有三个零点）②1） 数形结合法：若()f x 恰有2个零点，其图象如下：由图象得112a ≤<或2a ≥。

2）分段分析方程法： 当0a ≤时，两方程（()()2(1)4201)x a x x a x a x -<--==0, (≥）都无解：当102a <<时，方程2(1)x a x -<=0有一解，而方程()()4201)x a x a x --=(≥无解；当112a ≤<时，方程2(1)x a x -<=0有一解，而方程()()4201)x a x a x --=(≥也有一解；当12a ≤<时，方程2(1)x a x -<=0有一解，而方程()()4201)x a x a x --=(≥有两解；当2a ≥时，方程2(1)x a x -<=0无解，而方程()()4201)x a x a x --=(≥有两解。

高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。

因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。

下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。

一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。

我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数的极值。

很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。

例1设－2≤x≤3，求函数的最值。

解：若将函数示为分段函数形式。

作出函数图像根据图像我们可以判断：当x=0,；当x=3,,对此类型问题的思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值，那么过程就非常复杂。

那么是否有更简单的方法呢？经过对问题的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。

经过比较就得出了极值例如上题：f(－2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、、=8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。

=max ｛f(bi)、i=1、2、3……n ｝,=min ｛f(－bi),i=1、2、3……n ｝.二、将极值问题转化为几何问题。

运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。

1.转化为求直线斜率的最值。

例2求函数的最值分析函数解析式非我们常见的函数模型。

通过分析我们发现该函数可以看做过点A （3、2）与B （sin 、－cos ）两点直线的斜率。

而动点B的轨迹是y xo 3+=x y 3+-=x y 13+-=x y 13-=x y圆x2+y2=1。

因此我们就将问题转化为了求定点（3、2）与圆x2+y2=10上一点连线的斜率的最大值与最小值。

分段函数极值问题的研究许多研究人员一直在研究如何确定分段函数的极值，也就是最大值或最小值。

极值理论的研究有助于理解和描述数据，这些数据可能是不同类别的自然或计算机的基础上的决策和规划的基础。

分段函数的极值有三种方法可以计算：最小值定义法、极小值定理和极值定理。

最小值定义法可以用来计算数据的最小值，即当给定的数据满足一定性质时，它的最小值。

极小值定理是指当曲线的一个点满足某些性质时，这个点就是这个曲线的极小值点。

最后一种方法，即极值定理，是指给定一个函数时，曲线上相对于另一个点存在极值，这种极值的值可能是最大值或最小值。

首先，最小值定义法是通过比较多个数值中最小值来确定最小值。

这种方法有一定的要求，即所有参与比较的数值必须满足某些条件，才能确定一个最小值。

其次，极小值定理是依据曲线上存在极小点而对最小值进行确定的，而极小点是指曲线上满足特定条件的点，可以满足特定条件的数据可以确定这个极小点，从而确定极小值。

最后，极值定理是指给定一个函数时，曲线上相对于另一个点存在极值，所以当给定一个函数时，极值定理可以用来确定函数的最大值或最小值。

在研究分段函数的极值时，一般采用分析法、代数法、几何法、微积分法等方法，不同函数类型采用不同方法，但各种方法也是相互补充完善的，比如代数法可以把函数分解成有限个简单函数，然后利用微积分法求解，也可以用几何方法来分析曲线上性质变化，从而求出函数的极值点。

此外，研究分段函数极值还可以利用计算机程序来求解，基于某种数字算法，它可以计算函数的极值。

当函数的参数比较复杂时，可以借助于计算机程序快速求解，能够节省人们很多工作量。

总而言之，在确定分段函数极值问题时，多种方法可以分别应用于不同情况，像分析法、代数法、几何法、微积分法、计算机程序等，这些方法各有优劣，在研究中可以结合起来，以达到最优的确定极值问题的结果。

2018.NO2429摘 要:本文以具体习题为例，对125名学生的解题思路进行探析，将学生在运算过程中出现的误区大致归为三类:函数概念混淆、符号意识欠缺、数学语言使用不当，并分别针对三个误区提出相应策略。

关键词:分段函数 极限运算 分段点 误区 策略一、问题提出极限作为高等数学教学中非常重要的概念，是微积分的灵魂，也是运用微积分解决问题贯穿始终的基本方法。

高等数学的主要研究对象是函数，而分段函数作为一类特殊且重要的函数，也是高等数学教学中不可忽略的重难点之一。

分段函数可以理解为在定义域的不同部分有不同对应法则的函数，是一类非初等函数[1]，它在其分段点处的极限、导数、积分等运算对学习高等数学有举足轻重的作用。

但是通过对学生在分段函数相关问题的表现来看，学生往往在讨论分段函数的性质时会容易出错，尤其是在分段点处的性质学生常因思路不清造成错误。

因此，对分段函数分段点处的极限运算进行研究非常必要。

本研究通过分析学生在分段函数分段点处极限运算的表现，收集学生在此问题上的常见误区，并对误区类型进行归类探析，旨在探索出关于分段函数分段点极限运算的教学建议，为学生的数学学习及教师的数学教学提供参考，以促进学生数学能力的更好提升。

二、研究设计本研究主要针对分段函数分段点处极限运算的思路和方法进行归纳讨论，主要采用统计分析法，根据笔者授课的三个班级中125名学生对习题(下文简称习题*)解答过程进行微观分析，找出学生在分段函数极限运算过程(特别是分段点)中存在的问题，使教师和学生们对于分段函数性质的讨论有更深刻的认识。

习题如下:三、研究结果(一)解题数据通过对习题*的解题结果进行统计分析，得出如下研究结果:(二)正确解答参考在上述解题数据的支撑下，以下针对正确率较低的问题(2)，即在分段函数分段点处的极限运算问题，对学生解答过程中所反应的问题进行误区类型归类，以期对学生的数学学习及教师教学提供切实帮助。

误区类型1:函数概念混淆型。

分段函数的极值与最值分段函数是一种由不同函数组合而成的函数形式，它包含了不同函数在不同区间的定义。

在实际问题中，我们常常遇到这样的情形：同一个问题可以用不同的函数来描述，而这些函数的定义域却有所不同，或者说同一个函数在不同的定义域范围内，其表现形式也不尽相同。

分段函数的研究，对于理解函数的本质、掌握其性质和解决实际问题都具有重要的意义。

本文将重点探讨分段函数的极值与最值及其应用。

一、分段函数的定义及基本性质分段函数的一般形式为：$$ y=f(x),\ x\in D $$其中，$D$ 分为 $n$ 个不相交的子集 $D_1,D_2,\cdots,D_n$，即：$$D=D_1\cup D_2\cup\cdots\cup D_n$$在 $D_i$ 上，$f(x)$ 由特定的函数形式表示，即：$$f(x)=\begin{cases}f_1(x),\ x\in D_1\\\ f_2(x),\ x\in D_2\\ \cdots\\ f_n(x),\ x\in D_n\end{cases} $$分段函数的定义域是其所有子集的并集，而值域则是各子函数的值域的并集。

分段函数在各子函数定义域范围内都是普通函数，具有普通函数的一般性质。

但由于各子函数之间在某些点存在“缝隙”，因此在分段点处无法取得定义，也就是说，在分段点处分段函数可能不连续。

为了便于研究其性质，我们通常只考虑每一段的连续性和单调性。

二、（一）分段函数的极值对于普通函数 $y=f(x)$，其极值即为导数为 $0$，或者在导数不存在的点取得的极值。

对于分段函数，我们同样可以通过求导得到其各段函数的极值点。

假设 $f(x)$ 在 $x_i$ 点的右侧是一段 $n$ 次可导的函数，那么可以通过求 $f(x)$ 在 $(x_i,x_i+\Delta x)$ 区间内的导数来确定$x_i$ 点的极值。

具体来说，我们可以分三种情况来讨论：1. 当 $n=0$ 时，即 $f(x)$ 在 $x_i$ 右侧是一个常函数，则其导数为 $0$，$x_i$ 就是 $f(x)$ 的极值点。

分段函数的极值与最值定理在数学中，分段函数是指由不同的函数拼接而成的函数。

其定义域可以被分成几个不重合的区间，每个区间用不同的函数来定义。

这样的函数在许多实际问题中都有应用，并且它们也常常涉及到一些有趣的性质。

在这篇文章中，我们将探讨分段函数的极值和最值定理。

这些概念是分段函数的重要性质，对于理解和应用分段函数都具有很大的帮助。

一、定义首先来回顾一下极值和最值的定义。

给定一个函数 f(x)，在x=a 处，如果存在一个小的正数ε，使得当x不等于a且 x落在（a-ε, a+ε)这个开区间内时，有f(x)<f(a)，那么a就是函数f(x)在定义域内的一个局部最大值。

如果将“<”改成“>”，那么a就是函数f(x)的局部最小值。

如果在定义域内，函数的取值在所有点上都不小于或不大于其它点，那么它叫做最大值或最小值。

当我们考虑分段函数的时候，需要区分开每个区间内的极值和最值，因为这些值可能仅存在于某个区间内。

二、定理在讨论分段函数的极值和最值之前，需要介绍两个基本的定理。

第一个是最值存在定理，它指出：如果 f(x) 是一个连续函数，定义域是一个有限区间，那么 f(x) 存在最大值和最小值。

证明这个定理只需要使用最大值最小值原理和连续函数的定义即可。

因为函数在有限区间内连续，所以它在此区间上有最大值和最小值，这是因为其值域必须是一个紧致区间（即闭和有界）。

而这个值域是由函数在定义域的取值所组成，所以 f(x) 的最大值和最小值一定存在。

第二个重要的定理是间断点处极值的存在定理。

这个定理主要是针对分段函数而言的。

如果分段函数存在一个间断点x=a，且左右极限均存在，那么如果左极限大于右极限，那么 x=a 就是分段函数的局部最大值，反之则为局部最小值。

这个定理的证明也比较简单，它基于左右极限的定义和比较原理。

当左极限大于右极限时，如果我们取的小的ε使得x介于a左边的区间内，那么在这个区间中 f(x) 一定小于等于 f(a-)，因此 x=a 就是 f(x) 的局部最大值。

分段函数极值问题的研究分段函数极值问题是数学中一个重要及复杂的问题，它涉及到了函数极值的求解、过程中状态变化的追踪以及一系列其它问题，为此，研究者在过去的时期研究过这个问题，以求进步理论模型的构建及算法的实现。

首先，对于分段函数极值问题，我们要求解的是函数在某一段区间内的极值，也就是求解函数的最大值和最小值，因此，这个问题的核心是求解极值，极值一般是泰勒展开或者拉格朗日分解等来求解。

这样，求解极值就成为分段函数极值问题最重要的步骤，而求解极值的关键在于极限的判断，也就是确定实际上函数是否存在极值，以及函数的极值是何种类型的极值。

其次，在极限的判断方面，理论上可以利用全微分学，把函数求微分，再把微分等于零作为极值判断的准则，如果函数不能利用全微分学求微分，则可以去求函数的偏微分，偏微分如果等于零，也可以作为极值判断的标准，而如果偏微分不为零，这时候可以考虑利用数值求解，根据函数在某一离散点的取值，判断函数是否存在极值，而当函数符合某种凸函数的情况，可以较为容易的利用凸函数的性质来判断函数的极值，而如果函数不存在极值，也可以得出该结论，从而得出极值问题的最终答案。

最后，在算法实现的过程中，可以根据前述的极值的判断方法，构建出求解分段函数极值问题的算法，可以考虑采用定点法，二分法，牛顿迭代等求解方法，其中，定点法可以采用排列求解，即分析一系列可能存在的极值，根据极值的性质来求解；二分法可以采用“先查”原则，在范围内先查一个点，根据该点的函数值大小，将范围分为两个部分，然后分别继续进行查找；牛顿迭代法就可以采用牛顿迭代的求解方法，根据函数的导数的变化，不断迭代函数，以求解函数的极值。

总之，分段函数极值问题是一个涉及到极值求解、状态变化追踪及算法实现复杂问题，我们要求解的是函数在某一段区间内的极值，这要求我们要去判断函数的极限情况，而判断函数极限的方法主要有全微分求解、偏微分求解以及数值求解等，而在极限的判断之后，我们还需要结合定点法、二分法、牛顿迭代法等构建出求解分段函数极值的算法。

目前，高职教育正处于创新改革发展时期，课程建设与改革是高职教育提高教学质量的核心，教学改革改到难处是课程，改到深处是教学，改到痛处是教师。

在这场改革创新中，很多新的教学理念和教学模式层出不穷，被大家关注、引进、探索，这对于高职教育的发展具有积极的促进作用。

高等数学作为高职院校的公共基础课，对学生后继专业课程的学习和思维方式的培养起着重要的作用。

但是，高职学生的数学基础薄弱，知识储备有限，理解数学知识的能力不足，再加上课时少、内容多和传统的授课模式，学生的学习基本上就变成了被动的听、讲、练习、记忆、考试，从而导致学生产生厌学情绪，对数学的学习丧失信心，积极性不高，教学效果不理想。

因此，探索与改革新的高职数学教学模式，提高学生的积极性和教学效果迫在眉睫。

探究式教学倡导学生的主体作用，在教学过程中，学生在老师的指导下，通过以“自主、探究、合作”为特征的学习方式对当前教学内容中的主要知识点进行自主学习、深入探究并进行小组合作交流，实现教学目标。

探究式教学的教学模式的设计形式多样，根据学生自主获取的信息的不同程度，可分为接受式探究和发现式探究，不管何种方式，其核心是探究，通过探究过程获取信息、获得知识，达到学习的目的。

一、《分段函数》为例的探究式教学案例研究分段函数隶属于函数的内容，在实际生活中的应用非常广泛。

函数是微积分中最基础的内容，通过学习函数，可以培养学生的逻辑思维能力、拓展思维以及解决问题的能力；应用函数，可以提高数据运算的速度，从而提高工作效率。

而分段函数是一类特殊的函数，是在学生学习了函数的定义、定义域、一般函数关系式的建立后进行学习的内容，学好本节内容可以更好地理解函数的定义，为后继极限、连续等知识的学习奠定基础。

1.创设情景，引入新课师：大家坐过出租车吗？出租车是怎么收费的呢？（以生活中的实际案例引导学生思考分段函数的计算方法）生：出租车收费先有一个起步价，然后是按每公里计费。

师：对，坐过出租车的同学应该都知道，以我们城市为例，起步价8元（2公里以内（含2公里）），之后1.4元/公里。

关于分段函数相关问题的教学探讨马艳丽;潘娟娟;褚正清;李海霞【摘要】函数是高等数学的主要研究对象,其中分段函数是一类非常特殊且具有代表性的函数,它是数学教学中的重点,同时也是学生不易掌握的难点.通过具体实例分析了分段函数的极限、连续性、导数、积分和极值的求法以及容易出现的问题,指出理解分段函数有关内容的关键是掌握其在分界点处的特殊变化.【期刊名称】《佛山科学技术学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(034)006【总页数】8页(P37-43,51)【关键词】分段函数;连续性;导数;积分;极值【作者】马艳丽;潘娟娟;褚正清;李海霞【作者单位】安徽新华学院公共课教学部,安徽合肥230088;安徽新华学院公共课教学部,安徽合肥230088;安徽新华学院公共课教学部,安徽合肥230088;安徽新华学院公共课教学部,安徽合肥230088【正文语种】中文【中图分类】O174函数是高等数学的主要研究对象，它从始至终都占据着非常重要的地位，其中分段函数［1］是一类非常特殊且具有代表性的函数，它是高等数学教学中的重点，同时也是学生不易理解和掌握的难点。

在高等数学中，有许多内容都要涉及到分段函数，它的明显特征就是“分段”，在讨论分段函数的性质，如连续性、可导性、积分和极值时学生往往容易出错，尤其是对于分段函数在分界点处的性质，学生更容易忽略，往往会感到无从下手。

本文主要对分段函数的极限、连续性、导数、积分和极值等问题的求解思路和方法进行归纳总结并结合实例进行分析，旨在对学生的学习能够起到一定的指导作用，使学生们对于分段函数性质的分析有更深的理解和掌握。

分段函数是指对自变量的不同取值范围，对应法则用不同式子来表示的函数。

它明确指出了分段函数是在自变量的不同取值范围内对应着不同解析式的一个函数，并不是几个函数［1］。

因此，不要以为对于自变量的全部值由一个公式定义的函数与利用几个公式定义的函数是相同的，这两者之间有着原则上的区别。