初中数学第二十四章圆-单元测试卷

第二十四章 圆一、单选题1．下列命题：①直径相等的两个圆是等圆；②等弧是长度相等的弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦； ④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中真命题是 ( ) A ．①③ B ．①③④ C ．①②③ D ．②④2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ．若CD ＝AP ＝8，则⊙O 的直径为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．33．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面AB 宽为（ ）A.4mB.5mC.6mD.8m4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知4EF CD ==，则球的半径长是（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．45．如图，C 、D 为半圆上三等分点，则下列说法：①AD =CD =BC ；②∠AOD ＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个6．下列各角中，是圆心角的是（）A. B. C. D.7．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是()A．60°B．35°C．30.5°D．30°8．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是60°，则∠ACD的度数为( )A．60°B．30°C．120°D．45°9．已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定10．如图，AB是⊙O 的直径，BC是⊙O 的切线，若OC=AB，则∠C的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°11．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π12．如图，已知在⊙O中，AB=4，AF=6，AC是直径，AC⊥BD于F，图中阴影部分的面积是（）A. B. C.D.13．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=2，以AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )A.42π-B.42π+C.πD.2π二、填空题14．已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为________．15．如图，在⊙O 中，已知∠AOB ＝120°，则∠ACB ＝________．16．如图，在O 中，直径4AB =，弦CD AB ⊥于E ，若30A ∠=，则CD =____17．如图，在O 中，120AOB ∠=︒，P 为劣弧AB 上的一点，则APB ∠的度数是_______.三、解答题18．如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，求弦BD的长19．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D，过点D 作∠ADE＝∠A，交AC 于点E．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若34BCAC，求DE 的长．20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BC的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．∠=∠；（1）求证：A DOB（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．21．如图所示，一个圆锥的高为h＝(1)圆锥的母线长与底面圆的半径之比；(2)母线AB与AC的夹角；(3)圆锥的全面积．答案1．A2．A4．B5．A6．D7．D8．B9．A10．B11．C12．D13．A14．6.15．60°16．17．12018．解：如图，作CE⊥AB于E．∵∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-20°-130°在Rt △BCE 中，∵∠CEB=90°，∠B=30°，BC=2，∴CE=12BC=1，， ∵CE ⊥BD ，∴DE=EB ，∴19．（1）证明：连接 OD ，如图，∵∠C ＝90°，∴∠A +∠B ＝90°，∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠ODB ， 而∠ADE ＝∠A ，∴∠ADE +∠ODB ＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：在 Rt △ABC 中34BC AC ∴AC ＝43×15＝20， ∵ED 和 EC 为⊙O 的切线，而∠ADE ＝∠A ，∴DE ＝AE ，∴AE ＝CE ＝DE12AC ＝10，即 DE 的长为10．20．(1)连接OC ，D Q 为BC 的中点，∴CD BD =，12BOD BOC ∴∠=∠， 12BAC BOC ∠=∠， A DOB ∴∠=∠；(2)DE 与⊙O 相切，理由如下：A DOB ∠=∠，//AE OD ∴，∴∠ODE+∠E=180°，DE AE ⊥，∴∠ODE=90°，OD DE ∴⊥，又∵OD 是半径，DE ∴与⊙O 相切．21．(1)设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r . ∵圆锥的侧面展开图是半圆，∴2r l ππ＝，∴2l r ＝，∴21l r ＝::.即圆锥的母线长与底面圆的半径之比为2:1.(2)∵2l r ＝，即2AB BO ＝，∴30BAO ∠︒＝，∴60BAC ∠︒＝，即母线AB 与AC 的夹角为60︒.(3)在Rt AOB 中，222l h r ＝＋，又2l r ＝，h ＝ ∴36r l ＝，＝，∴227 S S S rl rπππ全底＝＋＝＋＝侧。

班级小组姓名成绩（满分100）一、填空题.（共16分，每空2分）1.圆的直径扩大4倍，它的周长就扩大倍,它的面积就扩大倍.2.在长8分米、宽6分米的长方形中画一个最大的圆，圆的周长是分米,面积是平方分米.π取3.14）3.画圆时，圆规两脚之间的距离为4厘米，那么这个圆的直径是厘米，周长是厘米，面积是平方厘米.（π取3.14）4.一根铁丝刚好可以围成一个边长是0.785米的正方形，用这根铁丝围成一个圆，这个圆的半径是米.（π取 3.14）5.一个半圆形的花坛周长是30.84米，这个半圆形花坛的面积是平方米.π取3.14）6.把一头牛用3米长的绳系在一根木桩上,这头牛吃草的最大面积是平方米.（π取3.14）二、判断题.（对的打“√”错的打“×”）（共8分，每题2分）1.周长相等的两个圆，它们的面积也一定相等.（）2.半径是2厘米的圆，在数值上，它的周长和面积相等.（）3.大圆的圆周率比小圆的圆周率要大.（）4.一个圆的直径等于一个正方形的边长，那么正方形面积小于圆的面积.（）三、选择题（把正确答案的序号填在括号里）（共10分，每题2分）1.车轮滚动一周，所行的路程是求车轮的（）A、周长B、半径C、直径2.设C为圆的周长,12cπ⨯=（）A、圆的面积B、圆的直径C、圆的半径3.如图是一个半圆，那它的周长的正确计算算式是（）3.1415+152C⨯⨯、4.小圆的直径是2厘米，大圆的半径是2厘米，小圆的面积是大圆面积的（）.A、21B、41C、815.用同样长的铁丝围成的正方形、圆形，其面积（）.A、相等B、正方形大C、圆形四、求阴影部分的面积.（共24分，每题8分）1.下图中正方形的边长为10厘米，求出阴影部分的面积.（π取3.14）2.下图中正方形的边长为4厘米，求出阴影部分的面积.π取3.14）3.已知图中三角形为等腰直角三角形，请根据图中数据，求出阴影部分的面积.（π取3.14）五、解决问题我能行.（共42分，每题8分）1.在一个半径是20米的圆形苗圃边沿修一条2米宽的环行路.这条路的面积是多少平方米？（π取 3.14）2.通过一座桥，直径是1.5米的车轮需转500圈，这座桥长多少米？（π取3.14）3.一块圆形菜地，直径20米，现在要在菜地上覆盖一层塑料薄膜，至少需要薄膜多少平方米?如果每平方米薄膜价格0.5元，这些薄膜要花多少元？（π取 3.14）4.一只大钟，它的时针长40厘米.当从中午12时到下午3时，这根时针的尖端所走的路程是多少米？（π取3.14）5.给直径为0.75米的水缸做一个木盖，木盖的直径比缸口直径大5厘米，这个木盖的面积是多少平方米？周长是多少米？（π取3.14）6.在一个半径是4分米的圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是多少平方分米？（π取3.14）。

冀教版 九上 第24章 一元二次方程 单元测试卷（一）一、选择题1、下列方程是一元二次方程的是（ ）A. 2x 10+=B. 2x y 2+=C. 2x 30-=D. 21x 2x-= 2、若m ，n 是一元二次方程x 2＝5x ＋2的两个实数根，则m －mn ＋n 的值是（ ）A. －7B. 7C. 5D. －5 3、已知关于x 的一元二次方程x 2+x+c=0有一个解为x=1，则c 的值为（ ）A. -2B. 0C. 1D. 24、如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x 2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（ ）A. 6B. 9C. 6或9D. 以上都不正确 5、用配方法解方程,则配方正确的是：（ ）A. ()249x -= B. ()249x +=C. ()2816x -=D. ()2857x += 6、若△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且满足（a -b ）（a -c ）=0，则△ABC 是（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形7、若一元二次方程x 2+2x+m=0有实数解，则m 的取值范围是（ ）A. m≤-1B. m≤1C. m≤1D. m≤48、某公司年前缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x ，则列方程（ ）A. 20（1+x ）3=24.2B. 20（1﹣x ）2=24.2C. 20+20（1+x ）2=24.2D. 20（1+x ）2=24.29、有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x 满足的方程为（ ）A. 1+x+x （1+x ）=100B. x （1+x ）=100C. 1+x+x 2=100D. x 2=10010、设x 1，x 2是一元二次方程2x -2x -3=0的两根，则2211x x +=（ ）A. 4B. 8C. 10D. 12二、填空题11、关于x 的一元二次方程x 2-2x+m=0有实数根，则m 的取值范围是______.12、若关于x 的一元二次方程240x x a ++=有两个相等的实数根，则a 的值是______． 13、若实数a 、b 满足(a+b)(a+b -2)-8=0，则a+b=______．14、已知实数x 满足4x 2-4x+l=0，则代数式2x+12x的值为______． 15、已知x 、y 为实数，且方程为（x 2+y 2）（x 2﹣2+y 2）=15，则x 2+y 2=______． 16、已知实数m 是关于x 的方程x 2－3x －1=0的一根，则代数式m 2－3m +5值为______．17、 若方程21(1)230m m x mx +-+-=是关于x 的一元二次方程，则m=______. 18、若x=2是关于x 的方程x 2﹣4mx ﹣8=0的一个根，则m 的值为______．19、如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m 2，则道路的宽为______．三、解答题20、用两种不同方法解方程：x 2-3-2x=021、已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+k ﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为大于1的整数，求方程的根．22、已知关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0（b≠0）与x 2＋cx ＋d ＝0都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根,且ab ＝cd ，则称它们互为“同根轮换方程”．如x 2－x －6＝0与x 2－2x －3＝0互为“同根轮换方程”．（1）若关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0与x 2－6x ＋n ＝0互为“同根轮换方程”，求m 的值；（2）已知方程①：x 2＋ax ＋b ＝0和方程②：x 2＋2ax ＋12b ＝0，p 、q 分别是方程①和方程②的实数根，且p≠q ，b≠0．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含a 的代数式分别表示p 和q ；如果不能，请说明理由．23、如图，用一根长为22cm 的铁丝分段围成一个面积为10cm 2的“田”字形的长方形铁丝框．设宽为x ，请列出关于x 的方程并化成一般形式．24、某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．25、某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？26、已知关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2.（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2满足x2-2x1=-3 ，求m的值.答案第1页，共8页参考答案1、【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的定义.【解答】根据只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为2（即“次”）的整式方程叫做一元二次方程的定义判断。

人教版数学九上圆一、单选题1．下列语句中正确的是（ ）A．长度相等的两条弧是等弧B．圆上一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的一半C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线D．三角形有且只有一个外接圆2．如图，OA，OC是⊙O的半径，点B在⊙O上，若AB∥OC，∠BCO=21°，则∠AOC的度数是（ ）A．42°B．21°C．84°D．60°3．如图，在矩形ABCD中，AD=8，以AD的中点O为圆心，以OA长为半径画弧与BC相切于点E，则阴影部分的面积为（ ）A．8−4πB．16−4πC．32−4πD．32−8π4．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接BO并延长交⊙O于点E，连接CE，若AB=4，CD=1，则CE的长为（ ）A．13B．4C．10D．155．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图．将扇形AOB 翻折，使点A 与圆心O 重合，展开后折痕所在直线l 与AB 交于点C ，连接AC ．若OA =2，则图中阴影部分的面积是( )A ．2π3−32B ．2π3−3C ．π3−32D ．π37．如图，⊙O 是正△ABC 的外接圆，△DOE 是顶角为120°的等腰三角形，点O 与圆心重合，点D ，E 分别在圆弧上，若⊙O 的半径是6，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．4πB ．12π−9 3C ．12π−923D ．24π− 9 38．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC 和CD 上的动点（不与端点重合），∠EAF =45°，AF 、AE分别与对角线BD交于点G和点H，连接EG．以下四个结论：（1）BE+DF=EF；（2）△AGE是等腰直角三角形；（3）S△AGH:S△AEF=1:2；（4）AB+BE=2BG，其中正确结论的个数是（ ）A．1B．2C．3D．49．【情境】如图是某数学项目学习小组设计的“鱼跃龙门”徽章图案，已知A，B，C，D，E是圆的5个等分点，连结BD，CE交于点F.设鱼头部分的四边形ABFE的面积为S1，鱼尾部分的△CDF的面积为S2.【问知】设S1:S2=n:1，则n的值为（ ）A．43−1B．3+5C．1+25D．35−110．如图，半径为5的圆中有一个内接矩形ABCD，AB>BC，点M是ABC的中点，MN⊥AB于点N，若矩形ABCD的面积为30，则线段MN的长为()A．10B．522C．702D．210二、填空题11．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠EBD=31°，则∠A+∠C= °．12．如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为 cm．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=2，则⊙O的直径为 ．14．如图，将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与AB交于点C，若OA=2，则OC的长为 ．15．如图，半径为5的⊙O与y轴相交于A点，B为⊙O在x轴上方的一个动点（不与点A重合），C 为y轴上一点且∠OCB＝60°，I为△BCO的内心，则△AIO的外接圆的半径的取值（或取值范围）为 ．16．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为2，将劣弧AC沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D．若∠ACB＝60°，则弦AC的长为 ．三、解答题17．如图，直径为1m的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为0.8m，求水的最大深度CD.18．如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，∠B=28°，求∠BOC的度数．19．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，AB=6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连结BD．（1）求证：∠BAD=∠CBD．（2）若∠AEB=125°，求BD的长．(结果保留π)20．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AC，过A作AF⊥AC，交⊙O于点F，连接DF，过B作BG⊥DF，交DF的延长线于点G．（1）求证：BG是⊙O的切线：（2）若∠DFA=30°，DF=4，求阴影部分的面积．21．在直角坐标系中，以M(3,0)为圆心的⊙M交x轴负半轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D．其中C点坐标为(0,4)．（1）求点A坐标．（2）如图，过C作⊙M的切线CE，过A作AN⊥CE于F，交⊙M于N，求AN的长度．（3）在⊙M上，若∠CPM=45°，求出点P的坐标．22．圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形.（1）如图1，四边形ABCD为等邻边圆内接四边形，AD=CD，∠ADC=60°，直接写出∠ABD的度数；（2）如图2，四边形ADBC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6，若四边形ADBC为等邻边圆内接四边形，AD=BD，求CD的长.（3）如图3，四边形ABCD为等邻边圆内接四边形，BC=CD，AB为⊙O的直径，且AB=48.设BC=x，四边形ABCD的周长为y，试确定y与x的函数关系式，并求出y的最大值.答案解析部分1．【答案】D2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】D9．【答案】B10．【答案】A11．【答案】21112．【答案】1613．【答案】2214．【答案】2π315．【答案】53316．【答案】621717．【答案】解：∵⊙O的直径为1m，∴OA=OD=0.5m.∵OD⊥AB，AB=0.8m，∴AC=0.4m，∴OC=OA2−AC2=0.52−0.42=0.3m，∴CD=OD−OC=0.5−0.3=0.2m.答：水的最大深度为0.2m.18．【答案】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣28°=62°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=62°，而∠ACO=∠BOC+∠B，∴∠BOC=62°﹣28°=34°．19．【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD．∵∠CAD=∠CBD，∴∠BAD=∠CBD；（2）解：如图，连结OD．∵∠AEB= 125°，∴∠AEC= 55°．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACE=90°，∴∠CAE= 35°，∴∠DAB=∠CAE=35°，∴∠BOD=2∠BAD=70°，∴BD的长为70×π×3180=7 6π.20．【答案】（1）证明：∵C，A，D，F在⊙O上，AF⊥AC，∴∠D=∠CAF=90°，∵AB⊥CD，BG⊥DF，∴∠BED=∠G=90°，∴四边形BEDG中，∠ABG=90°，∴半径OB⊥BG，∴BG是⊙O的切线；（2）解：连接CF，∵∠CAF=90°，∴CF是⊙O的直径，∴OC=OF，∵直径AB⊥CD于E，∴CE=DE，∴OE是△CDF的中位线，∴OE=12DF=2，∵∠AFD=30°，∴∠ACD=∠AFD=30°，∴∠CAE=90°−∠ACE=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∵CE⊥AB，∴E为AO的中点，∴OA=2OE=4，OB=4，AE=2，∴BE=OB+OE=6，DE=CE=23，∵∠BED=∠D=∠G=90°，∴四边形BEDG是矩形，∴S阴影=S矩形BEDG−S梯形OEDF−S扇形BOF=6×23−12×(2+4)×23−60π⋅42360=63−83π．21．【答案】（1）解：连接CM，∵M(3,0)，C(0,4)，∴OM=3，OC=4，∴CM=5，即⊙M的半径为5，∴MA=5，∴AO=AM-OM=2，∴A(−2,0)；（2）连接CM，作MH⊥AN于H，∵CE为⊙M的切线，∴MC⊥EC，即∠MCE=90°.∵AN⊥CE于F，即∠AFC=90°.又∵MH⊥AN于H，即∠MHA=90°.∴在四边形FHMC中，∠CMH=90°=∠CMO+∠AMH.∵在Rt△AHM中，∠HAM+∠AMH=90°，∴∠HAM=∠CMO.∵在Rt△COM中，∠CMO+∠OCM=90°，∴∠OCM=∠AMH.∵在△AMH与△MCO中，∠HAM=∠CMOMC=MA∴△AMH≌△MCO（ASA），∠OCM=∠AMH故AH=MO=3．即AN=HN+AH=3+3=6；（3）解：结合题意，可知PM=CM，△CMP为等腰三角形，同时因为∠CPM=45°=∠PCM，因此△CMP也是等腰直角三角形，即∠CMP=90°且CM=PM=5.①当P在CM右侧时，作PE垂直x轴于E.∵∠CMP=90°，∴∠CMO+∠PME=90°.又∵在Rt△PEM中，∠PME+∠MPE=90°，∴∠CMO=∠MPE.∴同理可得∠MCO=∠PME.在△MCO与△PME中，∠CMO=∠MPECM=PM∴△MCO≌△PME（ASA）∠MCO=∠PME∴OM=PE=3，ME=OC=4，即存在P1(7,3)；②当P在CM左侧时（设为P2），作PF垂直x轴于F.根据圆的对称性，结合①的结论，易证：△MCO≌△PMF，∴OM=PF=3，FM=OC=4，即存在P2(−1,−3)．22．【答案】（1）解：60°（2）解：连接CD，过点A作AH⊥CD，交CD于点H.如图：在Rt△AHC中，∵∠ACH=∠ABD=45°，AC=6，∴CH=AH=32，此时△ADB为等腰直角三角形，AD=BD=52，在Rt△AHD中，∵AH=32，AD=52，∴DH=42，∴CD=CH+DH=72.（3）解：如图，连接OC，BD.∵BC=CD，OB=OD，∴OC垂直平分BD，∵O为AB中点，∴OF为△BDA的中位线，有OF=12AD，OF//AD，设OF=t，则CF=24−t，AD=2t，y=48+x+x+2t=2t+2x+48，在Rt△BFC中，B F2=B C2−C F2=x2−(24−t)2，在Rt△BFO中，B F2=B O2−O F2=242−t2，于是有：x2−(24−t)2=242−t2，整理得，t=−148x2+24，∴y=−124x 2+2x+96=−124(x−24)2+120，当x=24时，y max=120。

第二十四章圆单元检测题一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列说法中,正确的是( )A.过圆心的线段叫直径B.长度相等的两条弧是等弧C.与半径垂直的直线是圆的切线D.圆既是中心对称图形,又是轴对称图形2.已知☉O的半径为6,圆心O到直线l的距离为7,则直线l与☉O的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.无法确定3.(2023自贡)如图所示,△ABC内接于☉O,CD是☉O的直径,连接BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数是( )第3题图A.41°B.45°C.49°D.59°4.圆锥的底面圆的半径r=3,高h=4,则圆锥的侧面积是( )A.10πB.15πC.30πD.45π5.如图所示,☉O的直径为10,弦AB的长为6,P为弦AB上的动点,则线段OP的取值范围是( )第5题图A.3<OP<5B.3≤OP≤5C.4<OP<5D.4≤OP≤56.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,F是CD上一点,且DF=BC,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC.若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为( )A.45°B.50°C.55°D.60°7.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,∠BAC=60°,若☉O的半径OC为2,则弦BC的长为( )第7题图A.4B.23C.338.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2,则其内切圆半径的长为( )2 B.22-22 D.2-29.(2022娄底改编)如图所示,等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形ABC 的内心成中心对称,则圆中的黑色部分的面积与△ABC 的面积之比是( )第9题图3π18 B.3183π9 D.3910.(2022广大附中一模)如图所示,点A,B 的坐标分别为A(2,0), B(0,2),点C 为坐标平面内一点,BC=1,点M 为线段AC 的中点,连接OM,则OM 的最大值为( )2+1 B.2+12C.22+1D.22-12二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.11.用反证法证明命题:“已知△ABC,AB=AC,求证:∠B<90°.”第一步应先假设 .12.如图所示,C为AB的中点,CN⊥OB于点N,CD⊥OA于点M,CD=4 cm,则CN= cm.13.已知圆心角为120°的扇形的面积为12π cm2,则扇形的弧长是 cm.14.如图所示,☉O的半径为1,PA,PB是☉O的两条切线,切点分别为A,B.连接OA,OB,AB,PO,若∠APB=60°,则△PAB的周长为 .第14题图15.小明很喜欢钻研问题,一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片(如图所示),让小明求瓦片所在圆的半径,小明连接瓦片弧线两端AB,量得AB的中点C到AB的距离CD=1.6 cm,AB=6.4 cm,则求得圆形瓦片所在圆的半径为 cm.第15题图三、解答题(一):本大题3小题,第16题10分,第17,18题各7分,共24分.16.(1)(2022湘潭节选)如图所示,在☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,AD.若AD=3,∠C=30°,求☉O的半径.(2)如图所示,扇形OAB的圆心角为120°,半径OA为6 cm.若把扇形纸片OAB卷成一个圆锥形无底纸帽,求这个纸帽的高OH.17.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,AB=AD,∠C=110°,若点E在AD 上,求∠E的度数.18.(2022珠海一模改编)如图所示,已知AB是☉O的直径,直线CD是☉O的切线,过点A作AD⊥CD,垂足为D,直线CD与AB的延长线交于点E.当AB=2BE,且CE=3时,求AD的长.四、解答题(二):本大题3小题,每小题9分,共27分.19.(原创)综合与实践素材:一张三角形纸板.操作:如图(1)所示,将一块三角形纸板ABC,准备裁剪成一个面积最大的圆形,已知∠C=90°,BC=3,AC=4.如图(2)所示,作△ABC的内切圆☉O,切点分别为D,E,G,连接OG,OD,OE.解决问题:请求出裁剪出的最大圆形面积.20.(2022眉山改编)如图所示,AB为☉O的直径,点C是☉O上一点,CD 与☉O相切于点C,过点B作BD⊥DC,连接AC,BC.(1)求证:BC平分∠ABD;(2)若BC=23,AB=4,求阴影部分的面积.21.(2022新疆节选)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,AB是☉O的直径,点D在☉O上,AC=CD,连接AD,延长DB交过点C的切线于点E.求证:(1)∠ABC=∠CAD;(2)BE⊥CE.五、解答题(三):本大题2小题,每小题12分,共24分.22.(2022金华)综合探究如图(1)所示,正五边形ABCDE内接于☉O,阅读以下作图过程,并回答下列问题:作法如图(2)所示.1.作直径AF.2.以F为圆心,FO为半径作圆弧,与☉O交于点M,N.3.连接AM,MN,NA.(1)求∠ABC的度数;(2)△AMN是正三角形吗?请说明理由;(3)从点A开始,以DN长为半径,在☉O上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.23.(2022宁波)综合运用如图(1)所示,☉O为锐角三角形ABC的外接圆,点D在BC上,AD交BC 于点E,点F在AE上,满足∠AFB-∠BFD=∠ACB,FG∥AC交BC于点G,BE=FG,连接BD,DG.设∠ACB=α.(1)用含α的代数式表示∠BFD;(2)求证:△BDE≌△FDG;(3)如图(2)所示,若AD为☉O的直径,当AB的长为2时,求AC的长.答案：一、选择题1.D2.A3.C4.B5.D6.B7.B8.B9.A 10.B二、填空题11.∠B≥90°　12.2　13.4π　14.33　15.4三、解答题(一)16.(1)解:∵∠C=∠B,∠C=30°,∴∠B=30°.∵AB是☉O的直径,AD=3,∴∠ADB=90°.∴AB=6.∴☉O的半径为3.(2)如图所示,设圆锥底面圆的半径为r,所以2πr=4π,解得r=2,在Rt△OHC中,HC=2,OC=6,所以OH=OC2-H C2=42(cm).17.解:如图所示,连接BD,∵∠C+∠BAD=180°,∠C=110°,∴∠BAD=180°-110°=70°.∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB.×(180°-70°)=55°.∴∠ABD=12∵四边形ABDE是☉O的内接四边形,∴∠E+∠ABD=180°.∴∠E=180°-55°=125°.18.解:如图所示,连接OC,∵直线CD为☉O的切线,∴∠OCE=90°.∵AB=2BO,AB=2BE,∴BO=BE=CO.设BO=BE=CO=x,∴OE=2x.在Rt△OCE中,根据勾股定理,得OC2+CE2=OE2,即x2+(3)2=(2x)2.∴x=1.∴AE=3,∠E=30°.∴AD=32.四、解答题(二)19.解:∵∠C=90°,BC=3,AC=4,OG=OE=OD,∴AB=32+42=5.∴S △ABC =12AC×BC=12AC×OG+12BC×OE+12AB×OD=12OG×C △ABC ,即12AC×BC=12OG×C △ABC .∴12×3×4=12×OG×(3+4+5),解得OG=1,∴裁剪出的最大圆形面积为π×12=π.20.(1)证明:连接OC,如图所示,∵CD 与☉O 相切于点C,OC 为半径,∴OC ⊥CD.∵BD ⊥CD,∴OC ∥BD.∴∠OCB=∠DBC.∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC.∴∠DBC=∠OBC.∴BC 平分∠ABD.(2)解:如图所示,作CE ⊥AO 于点E,∵AB是直径,AB=4,∴∠ACB=90°,OA=OC=2.在Rt△ABC中,AC=AB2-B C2=42-(23)2=2,∴AO=CO=AC=2.∴△AOC是等边三角形.∴∠AOC=60°.∵CE⊥OA,∴OE=12OA=1.∴CE=3.∴阴影部分的面积S=60×π×22360-12×2×3=2π3-3.21.证明:(1)∵AC=CD,∴∠CAD=∠ADC.∵∠ABC=∠ADC,∴∠ABC=∠CAD.(2)如图所示,连接OC,∵CE与☉O相切于点C,∴∠OCE=90°.∵四边形ADBC是圆内接四边形,∴∠CAD+∠DBC=180°.∵∠DBC+∠CBE=180°,∴∠CAD=∠CBE.∵∠ABC=∠CAD,∴∠CBE=∠ABC.∵OB=OC,∴∠OCB=∠ABC.∴∠OCB=∠CBE.∴OC∥BE.∴∠E=180°-∠OCE=90°.∴BE⊥CE.五、解答题(三)22.解:(1)∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠ABC=(5-2)×180°=108°,5即∠ABC=108°.(2)△AMN是正三角形.理由如下:如图所示,连接ON,NF,由题意,得FN=ON=OF,∴△FON是等边三角形.∴∠NFA=60°.∴NMA=60°.同理,得∠ANM=60°,∴∠MAN=60°.∴△MAN是正三角形.(3)∵∠AMN=60°,∴∠AON=120°.×2=144°,∵∠AOD=360°5∴∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°.∵360°÷24°=15,∴n的值是15.23.(1)解:∵∠AFB-∠BFD=∠ACB=α,①又∵∠AFB+∠BFD=180°,②②-①,得2∠BFD=180°-α,.∴∠BFD=90°-α2,(2)证明:由(1),得∠BFD=90°-α2∵∠ADB=∠ACB=α,.∴∠FBD=180°-∠ADB-∠BFD=90°-α2∴∠BFD=∠FBD.∴DB=DF.∵FG∥AC,∴∠CAD=∠DFG.∵∠CAD=∠DBE,∴∠DFG=∠DBE.在△BDE 和△FDG 中,{DB =DF ,∠DBE =∠DFG ,BE =FG ,∴△BDE ≌△FDG(SAS).(3)解:∵△BDE ≌△FDG,∴∠FDG=∠BDE=α,DE=DG.∴∠BDG=∠BDF+∠EDG=2α.∵DE=DG,∴∠DGE=12(180°-∠FDG)=90°-α2.∴∠DBG=180°-∠BDG-∠DGE=90°-3α2.∵AD 是☉O 的直径,∴∠ABD=90°.∴∠ABC=∠ABD-∠DBG=3α2.∴AC 与AB 所对的圆心角度数之比为3∶2.∴AC 与AB 的长度之比为3∶2.∵AB =2,∴AC =3.。

人教版九年级上册第二十四章《圆》培优练习卷（含答案）一．选择题1．一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是（）A．48πB．45πC．36πD．32π2．如图，AB为⊙O的直径，P为弦BC上的点，∠ABC＝30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AB的延长线于点E．若点C恰好是的中点，BE＝6，则PC的长是（）A．6﹣8 B．3﹣3 C．2 D．12﹣63．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，则弧BC的长为（）A．2πB．3πC．4πD．π4．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸5．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（）A．55°B．70°C．110°D．125°6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是（）A．6 B．7 C．7D．127．如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．4π﹣16 B．8π﹣16 C．16π﹣32 D．32π﹣168．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H．若AE ＝3，则EG的长为（）A．B．C．D．9．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面．已知扇形的半径为5cm，弧长是8πcm，那么这个圆锥的高是（）A．8cm B．6cm C．3cm D．4cm10．如图，点C为△ABD外接圆上的一点（点C不在上，且不与点B，D重合），且∠ACB＝∠ABD＝45°，若BC＝8，CD＝4，则AC的长为（）A．8.5 B．5C．4D．11．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转60°，直角边AC扫过的面积等于（）A．24πB．20πC．18πD．6π12．如图，矩形ABCD中，BC＝2，CD＝1，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．二．填空题13．若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．14．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，连接DE，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是．15．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB 的度数是．16．如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是．17．半径为6的扇形的面积为12π，则该扇形的圆心角为°．18．在平面直角坐标系中，点A（a，a），以点B（0，4）为圆心，半径为1的圆上有一点C，直线AC与⊙B相切，切点为C，则线段AC的最小值为．三．解答题19．如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．20．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．21．如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB 交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．22．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是多少？23．已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝60°，求证：AH＝AO．（初二）24．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，＝，DH⊥AB于点H，AC分别交BD、DH于E、F．（1）已知AB＝10，AD＝6，求AH．（2）求证：DF＝EF25．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，点D在弧BC上，BD、AC的延长线交于点K，连接AD，交BC于点E，连接CD（1）求证：∠AKB﹣∠BCD＝45°；（2）若DC＝DB，求证：BC＝2CK．参考答案一．选择题1．解：侧面积是：πr2＝×π×82＝32π，底面圆半径为：，底面积＝π×42＝16π，故圆锥的全面积是：32π+16π＝48π．故选：A．2．解：连接OD，交CB于点F，连接BD，∵＝，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∴∠ABD＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴OD⊥FB，∴OF＝DF，∴BF∥DE，∴OB＝BE＝6∴CF＝FB＝OB•cos30°＝6×＝3，在Rt△POD中，OF＝DF，∴PF＝DO＝3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），∴CP＝CF﹣PF＝3﹣3．故选：B．3．解：∵ABCDEF为正六边形，∴∠COB＝360°×＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝6，弧BC的长为＝2π．故选：A．4．解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．5．解：连接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．故选：B．6．解：连接DO，EO，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，∴OE ⊥AC ，OD ⊥BC ，CD ＝CE ，BD ＝BF ＝3，AF ＝AE ＝4 又∵∠C ＝90°，∴四边形OECD 是矩形，又∵EO ＝DO ，∴矩形OECD 是正方形，设EO ＝x ，则EC ＝CD ＝x ，在Rt △ABC 中BC 2+AC 2＝AB 2故（x +2）2+（x +3）2＝52，解得：x ＝1，∴BC ＝3，AC ＝4，∴S △ABC ＝×3×4＝6，故选：A ．7．解：连接OA 、OB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOB ＝90°，∠O AB ＝45°，∴OA ＝AB cos45°＝4×＝2，所以阴影部分的面积＝S ⊙O ﹣S 正方形ABCD ＝π×（2）2﹣4×4＝8π﹣16． 故选：B ．8．解：如图，连接AC、BD、OF，，设⊙O的半径是r，则OF＝OA＝r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF＝60°÷2＝30°，AC⊥EF，EG＝EF＝∵OA＝OF，∴∠OFA＝∠OAF＝30°，∴∠COF＝30°+30°＝60°，∴FI＝r•sin60°＝r，∴EF＝r×2＝r＝AE＝3，∴r＝∴OI＝，∴CI＝OC﹣OI＝，∵EF⊥AC，∠BCA＝45°∴∠IGC＝∠BCI＝45°∴CI＝GI＝∴EG＝EI﹣GI＝故选：B．9．解：设圆锥底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝8π，解得r＝4，所以这个的圆锥的高＝＝3（cm）．故选：C．10．解：延长CD到E，使得DE＝BC，连接AE，如右图所示，∵∠ACB＝∠ABD＝45°，∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC＝∠DAE，∵∠BAC+∠CAD＝∠BAD＝90°，∴∠DAE+∠CAD＝90°，∴∠CAE＝90°，∵ACD＝45°，BC＝DE＝8，CD＝4，∴∠ACE＝45°，CE＝12，∴AC＝AE＝6，故选：D．11．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，∴BC＝AB＝6，∠ABC＝60°，∴S＝﹣＝﹣＝18π．阴影故选：C．12．解：连接OE交BD于F，如图，∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，∵四边形ABCD为矩形，OA＝OD＝1，而CD＝1，∴四边形ODCE和四边形ABEO都是正方形，∴BE＝1，∠DOE＝∠BEO＝90°∵∠BFE＝∠DFO，OD＝BE，∴△ODF≌△EBF（AAS），∴S△ODF ＝S△EBF，∴阴影部分的面积＝S扇形EOD＝＝．故选：C．二．填空题13．解：∵圆锥的底面圆的周长是5πcm，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为5πcm，∴＝5π，解得：n＝150故答案为150°．14．解：连接OE，∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，∴∠AOE＝120°，S △OAE ＝AE ×OE sin ∠OEA ＝×2×OE ×cos ∠OEA ×OE sin ∠OEA ＝，S 阴影部分＝S 扇形OAE ﹣S △OAE ＝×π×32﹣＝3π﹣．故答案3π﹣． 15．解：连接OC 交AB 于E ．∵C 是的中点，∴OC ⊥AB ，∴∠AEO ＝90°，∵∠BAO ＝20°，∴∠AOE ＝70°，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠C ＝55°，∴∠CAB ＝∠OAC ﹣∠OAB ＝35°，故答案为35°．16．解：由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，连接AB 、BC 、CD 、AD ，则四边形ABCD 是正方形，连接OB ，如图所示：则正方形ABCD 的对角线＝2OA ＝4，OA ⊥OB ，OA ＝OB ＝2，∴AB ＝2，过点O 作ON ⊥AB 于N ，则NA ＝AB ＝， ∴圆的半径为，∴四叶幸运草的周长＝2×2π×＝4π；故答案为：4π．17．解：设该扇形的圆心角为n2，则＝12π，解得：n＝120，故答案为：120．18．解：连结AB、BC，如图，∵A点坐标为（a，a），∴点A在直线y＝x上，作BH⊥直线y＝x于H，∵∠AOB＝45°，∴△BOH为等腰直角三角形，∴BH＝OB＝2，∵直线AC与⊙B相切，切点为C，∴BC⊥AC，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝，当AB最小时，AC的值最小，而点A在H点时，AB最小，此时AB＝BH＝2，∴AC的最小值为＝＝．故答案为．三．解答题（共7小题）19．（1）证明：连接OD、CD，∵CE是⊙O的直径，∴∠EDC＝90°，∵DE∥OA，∴OA⊥CD，∴OA垂直平分CD，∴OD＝OC，∴OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∵DE∥OA，∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC，∵AC是切线，∴∠ACB＝90°，在△AOD和△AOC中∴△AOD≌△AOC（SAS），∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∵OD是半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：连接OD，CD，∵BD是⊙O切线，∴∠ODB＝90°，∴∠BDE+∠ODE＝90°，∵CE是⊙O的直径，∴∠CDE＝90°，∴∠ODC+∠ODE＝90°，∴∠BDE＝∠ODC，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠BDE＝∠OCD，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCD，∴∴BD2＝BE•BC，设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，∴42＝x（x+6），解得x＝2或x＝﹣8（舍去），∴BE＝2，∴BC＝BE+EC＝8，∵AD、AC是⊙O的切线，∴AD＝AC，设AD＝AC＝y，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，∴（4+y）2＝y2+82，解得y＝6，∴AC＝6，故AC的长为6．20．解：（1）直线DE与⊙O相切，连结OD．∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）过O作OG⊥AF于G，∴AF＝2AG，∵∠BAC＝60°，OA＝2，∴AG＝OA＝1，∴AF＝2，∴AF＝OD，∴四边形AODF是菱形，∴DF∥OA，DF＝OA＝2，∴∠EFD＝∠BAC＝60°，∴EF＝DF＝1．21．证明：（1）∵OC＝OB∴∠OBC＝∠OCB∵OC∥BD∴∠OCB＝∠CBD∴∠OBC＝∠CBD∴（2）连接AC，∵CE＝1，EB＝3，∴BC＝4∵∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB ∴△ACE∽△BCA∴∴AC2＝CB•CE＝4×1∴AC＝2，∵AB是直径∴∠ACB＝90°∴AB＝＝2∴⊙O的半径为（3）如图，过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，∵PC是⊙O切线，∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA∴△APC∽△CPB∴∴PC＝2PA，PC2＝PA•PB∴4PA2＝PA×（PA+2）∴PA＝∴PO＝∵PQ∥BC∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90°∴△PHO∽△BCA∴即∴PH＝，OH＝∴HQ＝＝∴PQ＝PH+HQ＝22．解：过O点作OE⊥CD于E，∵AB为⊙O的切线，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，∴∠COD＝120°，∠OCD＝∠ODC＝30°，∵⊙O的半径为2，∴OE＝1，CE＝DE＝，∴CD＝2，∴图中阴影部分的面积＝﹣2×1＝﹣23．证明：（1）过O作OF⊥AC，于F，则F为AC的中点，连接CH，取CH中点N，连接FN，MN，则FN∥AD，AH＝2FN，MN∥BE，∵AD⊥BC，OM⊥BC，BE⊥AC，OF⊥AC，∴OM∥AD，BE∥OF，∵M为BC中点，N为CH中点，∴MN∥BE，∴OM∥FN，MN∥OF，∴四边形OMNF是平行四边形，∴OM＝FN，∵AH＝2FN，∴AH＝2OM．（2）证明：连接OB，OC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠BOM＝60°，∴∠OBM＝30°，∴OB＝2OM＝AH＝AO，即AH＝AO．24．（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DH⊥AB，∴∠DHA＝∠ADB＝90°，又∵∠DAB＝∠HAD，∴△DAB∽△HAD，∴＝即＝，∴AH＝3.6．（2）证明：∵＝，∴∠DAC＝∠DBA，∵DH⊥AB，∴∠FDE+∠B＝90°，∵∠ADB＝90°，∴∠DEF+∠DAC＝90°，∴∠DEF＝∠FDE，∴DF＝EF．25．解：（1）如图1，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵点C是的中点，∴AC＝BC，则△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，设∠CBK＝∠DAC＝α，则∠DAB＝∠DCB＝45°﹣α，∠AK B＝90°﹣α，∴∠AKB﹣∠BCD＝（90°﹣α）﹣（45°﹣α）＝45°；（2）过点C作CH⊥AD，∵∠CDH＝∠CBA＝45°，∴则△CHD是等腰直角三角形，∴CD＝CH，∵CD＝DB，∴CH＝DB，在△EBD和△EHC中，∴△EBD≌△EHC（AAS），∴CE＝BE＝BC，在△ACE和△BCK中，∴△ACE≌△BCK（ASA），∴CK＝CE＝BE＝BC，即BC＝2CK．人教版数学九年级上册第二十四章《圆》培优单元测试卷（含解析）一．选择题1．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则侧面积为（）A．2πB．3πC．6πD．8π2．如图，AB为⊙O的直径，P为弦BC上的点，∠ABC＝30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AB的延长线于点E．若点C恰好是的中点，BE＝6，则PC的长是（）A．6﹣8 B．3﹣3 C．2 D．12﹣63．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，则弧BC的长为（）A．2πB．3πC．4πD．π4．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸5．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（）A．55°B．70°C．110°D．125°6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是（）A．6 B．7 C．7D．127．如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．4π﹣16 B．8π﹣16 C．16π﹣32 D．32π﹣168．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H．若AE＝3，则EG的长为（）A．B．C．D．9．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．将半径为5的“等边扇形”围成一个圆锥，则圆锥的侧面积为（）A．B．πC．50 D．50π10．如图，点C为△ABD外接圆上的一点（点C不在上，且不与点B，D重合），且∠ACB＝∠ABD＝45°，若BC＝8，CD＝4，则AC的长为（）A．8.5 B．5C．4D．11．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转60°，直角边AC扫过的面积等于（）A．24πB．20πC．18πD．6π12．如图，矩形ABCD中，BC＝2，C D＝1，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．二．填空题13．若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．14．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，连接DE，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是．15．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB 的度数是．16．如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是．17．半径为6的扇形的面积为12π，则该扇形的圆心角为°．18．如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B 在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为．三．解答题19．如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．20．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．21．如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB 交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．22．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是多少？23．已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝60°，求证：AH＝AO．（初二）24．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，＝，DH⊥AB于点H，AC分别交BD、DH于E、F．（1）已知AB＝10，AD＝6，求AH．（2）求证：DF＝EF25．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点．（1）求证：∠ACD＝∠DEC；（2）延长DE、CB交于点P，若PB＝BO，DE＝2，求PE的长．参考答案一．选择题1．解：圆锥的侧面积＝×2π×1×3＝3π，故选：B ．2．解：连接OD ，交CB 于点F ，连接BD ，∵＝，∴∠DBC ＝∠ABC ＝30°，∴∠ABD ＝60°，∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∴OD ⊥FB ，∴OF ＝DF ，∴BF ∥DE ，∴OB ＝BE ＝6∴CF ＝FB ＝OB •cos30°＝6×＝3，在Rt △POD 中，OF ＝DF ，∴PF ＝DO ＝3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），∴CP ＝CF ﹣PF ＝3﹣3． 故选：B ．3．解：∵ABCDEF 为正六边形，∴∠COB ＝360°×＝60°，∴△OBC 是等边三角形，∴OB ＝OC ＝BC ＝6，弧BC的长为＝2π．故选：A．4．解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．5．解：连接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．故选：B．6．解：连接DO，EO，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，∴OE ⊥AC ，OD ⊥BC ，CD ＝CE ，BD ＝BF ＝3，AF ＝AE ＝4又∵∠C ＝90°，∴四边形OECD 是矩形，又∵EO ＝DO ，∴矩形OECD 是正方形，设EO ＝x ，则EC ＝CD ＝x ，在Rt △ABC 中BC 2+AC 2＝AB 2故（x +2）2+（x +3）2＝52，解得：x ＝1，∴BC ＝3，AC ＝4，∴S △ABC ＝×3×4＝6，故选：A ．7．解：连接OA 、OB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOB ＝90°，∠OAB ＝45°，∴OA ＝AB cos45°＝4×＝2，所以阴影部分的面积＝S ⊙O ﹣S 正方形ABCD ＝π×（2）2﹣4×4＝8π﹣16． 故选：B ．8．解：如图，连接AC、BD、OF，，设⊙O的半径是r，则OF＝OA＝r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF＝60°÷2＝30°，AC⊥EF，EG＝EF＝∵OA＝OF，∴∠OFA＝∠OAF＝30°，∴∠COF＝30°+30°＝60°，∴FI＝r•sin60°＝r，∴EF＝r×2＝r＝AE＝3，∴r＝∴OI＝，∴CI＝OC﹣OI＝，∵EF⊥AC，∠BCA＝45°∴∠IGC＝∠BCI＝45°∴CI＝GI＝∴EG＝EI﹣GI＝故选：B．9．解：圆锥的侧面积＝•5•5＝．故选：A．10．解：延长CD到E，使得DE＝BC，连接AE，如右图所示，∵∠ACB＝∠ABD＝45°，∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC＝∠DAE，∵∠BAC+∠CAD＝∠BAD＝90°，∴∠DAE+∠CAD＝90°，∴∠CAE＝90°，∵ACD＝45°，BC＝DE＝8，CD＝4，∴∠ACE＝45°，CE＝12，∴AC＝AE＝6，故选：D．11．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，∴BC＝AB＝6，∠ABC＝60°，＝﹣＝﹣＝18π．∴S阴影故选：C．12．解：连接OE交BD于F，如图，∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，∵四边形ABCD为矩形，OA＝OD＝1，而CD ＝1，∴四边形ODCE 和四边形ABEO 都是正方形，∴BE ＝1，∠DOE ＝∠BEO ＝90°∵∠BFE ＝∠DFO ， OD ＝BE ，∴△ODF ≌△EBF （AAS ），∴S △ODF ＝S △EBF ，∴阴影部分的面积＝S 扇形EOD ＝＝．故选：C ．二．填空题（共6小题）13．解：∵圆锥的底面圆的周长是5πcm ，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为5πcm ，∴＝5π，解得：n ＝150故答案为150°．14．解：连接OE ，∵∠CDF ＝15°，∠C ＝75°，∴∠OAE ＝30°＝∠OEA ，∴∠AOE ＝120°，S △OAE ＝AE ×OE sin ∠OEA ＝×2×OE ×cos ∠OEA ×OE sin ∠OEA ＝，S 阴影部分＝S 扇形OAE ﹣S △OAE ＝×π×32﹣＝3π﹣．故答案3π﹣．15．解：连接OC交AB于E．∵C是的中点，∴OC⊥AB，∴∠AEO＝90°，∵∠BAO＝20°，∴∠AOE＝70°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝55°，∴∠CAB＝∠OAC﹣∠OAB＝35°，故答案为35°．16．解：由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，连接AB、BC、CD、AD，则四边形ABCD是正方形，连接OB，如图所示：则正方形ABCD的对角线＝2OA＝4，O A⊥OB，OA＝OB＝2，∴AB＝2，过点O作ON⊥AB于N，则NA＝AB＝，∴圆的半径为，∴四叶幸运草的周长＝2×2π×＝4π；故答案为：4π．17．解：设该扇形的圆心角为n2，则＝12π，解得：n＝120，故答案为：120．18．解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，∵C（3，4），∴OC＝＝5，∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为3，∴OP＝OA＝OB＝8，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴AB长度的最大值为16，故答案为16．三．解答题（共7小题）19．（1）证明：连接OD、CD，∵CE是⊙O的直径，∴∠EDC＝90°，∵DE∥OA，∴OA⊥CD，∴OA垂直平分CD，∴OD＝OC，∴OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∵DE∥OA，∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC，∵AC是切线，∴∠ACB＝90°，在△AOD和△AOC中∴△AOD≌△AOC（SAS），∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∵OD是半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：连接OD，CD，∵BD是⊙O切线，∴∠ODB＝90°，∴∠BDE+∠ODE＝90°，∵CE是⊙O的直径，∴∠CDE＝90°，∴∠ODC+∠ODE＝90°，∴∠BDE＝∠ODC，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠BDE＝∠OCD，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCD，∴∴BD2＝BE•BC，设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，∴42＝x（x+6），解得x＝2或x＝﹣8（舍去），∴BE＝2，∴BC＝BE+EC＝8，∵AD、AC是⊙O的切线，设AD＝AC＝y，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，∴（4+y）2＝y2+82，解得y＝6，∴AC＝6，故AC的长为6．20．解：（1）直线DE与⊙O相切，连结OD．∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）过O作OG⊥AF于G，∴AF＝2AG，∵∠BAC＝60°，OA＝2，∴AG＝OA＝1，∴AF＝2，∴四边形AODF是菱形，∴DF∥OA，DF＝OA＝2，∴∠EFD＝∠BAC＝60°，∴EF＝DF＝1．21．证明：（1）∵OC＝OB∴∠OBC＝∠OCB∵O C∥BD∴∠OCB＝∠CBD∴∠OBC＝∠CBD∴（2）连接AC，∵CE＝1，EB＝3，∴BC＝4∵∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB ∴△ACE∽△BCA∴∴AC2＝CB•CE＝4×1∴AC＝2，∵AB是直径∴∠ACB＝90°∴AB＝＝2∴⊙O的半径为（3）如图，过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，∵PC是⊙O切线，∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA∴△APC∽△CPB∴∴PC＝2PA，PC2＝PA•PB∴4PA2＝PA×（PA+2）∴PA＝∴PO＝∵PQ∥BC∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90°∴△PHO∽△BCA∴即∴PH＝，OH＝∴HQ＝＝∴PQ＝PH+HQ＝22．解：过O点作OE⊥CD于E，∵AB为⊙O的切线，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，∴∠COD＝120°，∠OCD＝∠ODC＝30°，∵⊙O的半径为2，∴OE＝1，CE＝DE＝，∴CD＝2，∴图中阴影部分的面积＝﹣2×1＝﹣23．证明：（1）过O作OF⊥AC，于F，则F为AC的中点，连接CH，取CH中点N，连接FN，MN，则FN∥AD，AH＝2FN，MN∥BE，∵AD⊥BC，OM⊥BC，BE⊥AC，OF⊥AC，∴OM∥AD，BE∥OF，∵M为BC中点，N为CH中点，∴MN∥BE，∴OM∥FN，MN∥OF，∴四边形OMNF是平行四边形，∴OM＝FN，∵AH＝2FN，∴AH＝2OM．（2）证明：连接OB，OC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠BOM＝60°，∴∠OBM＝30°，∴OB＝2OM＝AH＝AO，即AH＝AO．24．（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DH⊥AB，∴∠DHA＝∠ADB＝90°，又∵∠DAB＝∠HAD，∴△DAB∽△HAD，∴＝即＝，∴AH＝3.6．（2）证明：∵＝，∴∠DAC＝∠DBA，∵DH⊥AB，∴∠FDE+∠B＝90°，∵∠ADB＝90°，∴∠DEF+∠DAC＝90°，∴∠DEF＝∠DEF，∴DF＝EF．25．（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD+∠B＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵∠DEC＝∠B，∴∠ACD＝∠DEC．（2）证明：连结OE∵E为BD弧的中点．∴∠DCE＝∠BCE，∵OC＝OE，∴∠BCE＝∠OEC，∴∠DCE＝∠OEC，∴OE∥CD，∴△POE∽△PCD，∴＝，∵PB＝BO，DE＝2∴PB＝BO＝OC∴＝＝，∴＝，∴PE＝4．人教版九上数学第二十四章圆单元测试卷一．选择题1．下列说法中正确的是（）A．弦是直径B．弧是半圆C．半圆是圆中最长的弧D．直径是圆中最长的弦2．已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD＝25°，那么∠C的度数是（）A．75°B．65°C．60°D．50°3．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO＝40°，则∠C的度数是（）A．100°B．80°C．50°D．40°4．在⊙O中，∠AOB＝120°，P为弧AB上的一点，则∠APB的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．130°5．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB＝25°，则∠BAO的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则△ADE的周长是（）A．9+3B．12+6C．18+3D．18+67．一个圆形餐桌直径为2米，高1米，铺在上面的一个正方形桌布的四个角恰好刚刚接触地面，则这块桌布的每边长度（米）为（）A．2B．4 C．4D．4π8．如图，AD是⊙O的弦，过点O作AD的垂线，垂足为点C，交⊙O于点F，过点A作⊙O的切线，交OF的延长线于点E．若CO＝1，AD＝2，则图中阴影部分的面积为（）A．4﹣πB．2﹣πC．4﹣πD．2﹣π9．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．B．2 C．D．10．如图，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B，C，G，H都在⊙O的直径上，正方形ABCD 的顶点A在⊙O上，顶点D在PC上，正方形EFGH的顶点E在⊙O上，顶点F在QG上，正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上，若BC＝1，GH＝2，则正方形PCGQ的面积为（）A．5 B．6 C．7 D．1011．如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2B．π﹣C．π﹣2D．π﹣12．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）A．4 B．6 C．3D．2二．填空题13．如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，则∠BAD＝度．14．边长为4的正六边形内接于⊙M，则⊙M的半径是．。

《圆》单元测试卷一．选择题1．下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补其中错误的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．70°3．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（）A．5cm或11cm B．2.5cmC．5.5cm D．2.5cm或5.5cm4．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝65°，则∠DAO+∠DCO ＝（）A．90°B．110°C． 120°D．165°5．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是（）A．πB． +C．D． +6．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值为（）A．1 B．C．D．7．如图所示，已知AB为⊙O的弦，且AB⊥OP于D，PA为⊙O的切线，A为切点，AP＝6cm，OP＝4cm，则BD的长为（）A． cm B．3cm C． cm D．2cm8．如图，在菱形ABCD中，以AB为直径画弧分别交BC于点F，交对角线AC于点E，若AB ＝4，F为BC的中点，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．9．如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°10．如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知∠OAB＝20°，则∠OCB的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°11．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB＝3，则的弧长为（）A．B．πC．D．312．如图，⊙O的半径为4，A、B、C、D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF的值是（）A．4 B．2C．4D．值不确定二．填空题13．把一个半径为12，圆心角为150°的扇形围成一个圆锥（按缝处不重叠），那么这个圆锥的高是．14．（1）已知一个直角三角形的面积为12cm2，周长为12cm，那么这个直角三角形外接圆的半径是cm，内切圆半径是cm．（2）等边△ABC的边长为10cm，则它的外接圆的半径是cm，内切圆半径是cm．15．在圆内接四边形ABCD中，弦AB＝AD，AC＝2016，∠ACD＝60°，则四边形ABCD的面积为．16．已知⊙O的半径为1cm，弦AB＝cm，AC＝cm，则∠BAC＝．17．如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD 上的一个动点，当CD＝6时，AP+BP的最小值为．三．解答题18．AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝30°．（1）求∠B的度数；（2）若PC＝2，求BC的长．19．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D 作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为2，CF＝1，求的长（结果保留π）．20．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．（1）求证：DG∥CA；（2）求证：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．21．某隧道施工单位准备在双向道路中间全程增加一个宽为1米的隔离带，已知隧道截面是一个半径为4米的半圆形，点O是其圆心，AE是隔离带截面，问一辆高3米，宽1.9米的卡车ABCD能通过这个隧道吗？请说明理由．22．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若OF⊥AE，OF＝1，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2．（1）求直径AB的长；（2）求阴影部分图形的周长和面积．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点，CE交AB于点H，且AH＝AC，AF平分线∠CAH．（1）求证：BE∥AF；（2）若AC＝6，BC＝8，求EH的长．25．如图所示，△ABC内接于⊙O，AC是直径，D在⊙O上，且AC平分∠BCD，AE∥BC，交CD于E，F在CD的延长线上，且AE＝EF．连接AF．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）连接BF交AE于G，若AB＝12，AE＝13，求AG的长．参考答案一．选择题1．解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；④圆内接四边形对角互补；正确；故选：C．2．解：∵∠AOC＝140°，∴∠BOC＝40°，∵∠BOC与∠BDC都对，∴∠D＝∠BOC＝20°，故选：A．3．解：当点P在圆内时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8cm，则直径是11cm，因而半径是5.5cm；当点P在圆外时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8m，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．故选：D．4．解：∵OA＝OB＝OC，∴∠ABO＝∠BAO，∠OBC＝∠OCB，∵∠ABC＝65°＝∠ABO+∠OBC，∴∠BAO+∠BCO＝65°，∵∠ADC＝65°，∴∠DAO+∠DCO＝360°﹣（∠ADC+∠BAO+∠BCO+∠ABC）＝360°﹣（65°+65°+65°）＝165°，故选：D．5．解：∵AB为直径，∴∠ACB ＝90°，∵AC ＝BC ＝，∴△ACB 为等腰直角三角形， ∴OC ⊥AB ，∴△AOC 和△BOC 都是等腰直角三角形，∴S △AOC ＝S △BOC ，OA ＝，∴S 阴影部分＝S 扇形OAC ＝＝π．故选：A ．6．解：∵正六边形的任一内角为120°， ∴∠1＝30°（如图），∴a ＝2cos ∠1＝，∴a ＝2．故选：D ．7．解：∵PA 为⊙O 的切线，A 为切点， ∴∠PAO ＝90°，在直角△APO 中，OA ＝＝2，∵AB ⊥OP ，∴AD ＝BD ，∠ADO ＝90°， ∴∠ADO ＝∠PAO ＝90°， ∵∠AOP ＝∠DOA ， ∴△APO ∽△DAO ，∴＝，即＝，解得：AD ＝3（cm ），∴BD ＝3cm ． 故选：B ．8．解：如图，取AB 的中点O ，连接AF ，OF ． ∵AB 是直径， ∴∠AFB ＝90°， ∴AF ⊥BF ，∵CF ＝BF ， ∴AC ＝AB ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ＝AC ， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AE ＝EC ， 易证△CEF ≌△BOF ，∴S 阴＝S 扇形OBF ＝＝，故选：D ．9．解：连接AC ，如图， ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BAC ＝90°， ∵∠ACB ＝∠ADB ＝70°， ∴∠ABC ＝90°﹣70°＝20°． 故答案为20°． 故选：A ．10．解：连接OB，∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝20°，∴∠DBC＝70°，∵∠AOC＝90°，∴∠ODA＝∠BDC＝70°，∴∠OCB＝40°，故选：C．11．解：∵四边形AECD是平行四边形，∴AE＝CD，∵AB＝BE＝CD＝3，∴AB＝BE＝AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠B＝60°，∴的弧长为＝π，故选：B．12．解：当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF是定值．理由：连接OA、OB、OC、OD，如图：∵DG与⊙O相切，∴∠GDA＝∠ABD．∵∠ADG＝30°，∴∠ABD＝30°．∴∠AOD＝2∠ABD＝60°．∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形．∴AD＝OA＝4．同理可得：BC＝4．∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴＝，＝．∴+＝+＝1．∴+＝1．∴PE+PF＝4．∴当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF＝4．故选：A．二．填空题（共5小题）13．解：设这个圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝5，所以圆锥的高＝＝．故答案为．14．解：（1）如果设这个直角三角形的直角边是a，b，斜边是c，那么由题意得：S＝ab＝12，a+b+c＝12，△∴ab＝24，a+b＝12﹣c，根据勾股定理得a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2，（12﹣c）2﹣48＝c2，解得c＝，所以直角三角形外接圆的半径是cm；设内切圆的半径是r，则×12r＝12，解得：r＝cm．故答案是：，；（2）连接OC和OD，如图：由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点所以OD⊥BC，∠OCD＝30°，OD即为圆的半径．又由BC＝10cm，则CD＝5cm在直角三角形OCD中：＝tan30°代入解得：OD＝CD＝，则CO＝×10＝；故答案为：，．15．解：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．∵∠ADF+∠ABC＝180（圆的内接四边形对角之和为180），∠ABE+∠ABC＝180，∴∠ADF＝∠ABE．∵∠ABE＝∠ADF，AB＝AD，∠AEB＝∠AFD，∴△AEB≌△AFD，∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积，AE＝AF．又∵∠E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL）．∵∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，∴∠CAF ＝30°，∴CF ＝1008，AF ＝，∴四边形ABCD 的面积＝2S △ACF ＝2×CF ×AF ＝88144．故答案为：88144．16．解：当圆心O 在弦AC 与AB 之间时，如图（1）所示， 过O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，连接OA ，由垂径定理得到：D 为AB 中点，E 为AC 中点，∴AE ＝AC ＝cm ，AD ＝AB ＝cm ，∴cos ∠CAO ＝，cos ∠BAO ＝＝，∴∠CAO ＝45°，∠BAO ＝30°，此时∠BAC ＝∠CAO +∠BAO ＝45°+30°＝75°； 当圆心在弦AC 与AB 一侧时，如图（2）所示， 同理得：∠BAC ＝∠CAO ﹣∠BAO ＝45°﹣30°＝15°， 综上，∠BAC ＝15°或75°． 故答案为：15°或75°．17．解：作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B ，交CD 于点P ，则PA +PB 最小， 连接OA ′，AA ′．∵点A与A′关于CD对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′OD＝∠AOD＝60°，PA＝PA′，∵点B是弧AD的中点，∴∠BOD＝30°，∴∠A′OB＝∠A′OD+∠BOD＝90°，又∵OA＝OA′＝3，∴A′B＝．∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝3．故答案为：3．三．解答题（共8小题）18．解：（1）∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴∠P＝30°，∴∠POA＝60°，∴∠B＝∠POA＝×60°＝30°，（2）如图，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°且∠B＝30°，∴BC＝AC，设OA＝OB＝OC＝x，在Rt△AOP中，∠P＝30°，∴PO＝2OA，∴2+x＝2x，x＝2．即OA＝OB＝2．又在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AC＝AB＝×4＝2，∴BC＝tan60°•AC＝AC＝2．19．（1）证明：连接OD，如图所示．∵DF是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DF，∴∠ODF＝90°．∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠CFD＝∠ODF＝90°，∴DF⊥AC．（2）解：连接BE，∵AB是直径，∴BE⊥AC，∵DF⊥AC，∴＝＝，∵FC＝1，∴EC＝2，∵OD＝AC＝2，∴AC＝4，∴AE＝EC＝2，∴AB＝BC，∵AB＝AC＝4，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵OD∥AC，∴∠BOD＝∠BAC＝60°，∴的长：＝．20．（1）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠2＝∠7，∵DG平分∠ADF，∴∠1＝∠ADF，∵∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥AC；（2）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠5＝∠6，∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，即∠4＝∠DAI，∴DA＝DI；（3）解：∵∠3＝∠7，∠AED＝∠BAD，∴△DAE∽△DBA，∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，∴AD＝6，∴DI＝6，∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．21．解：如图所示：连接OC，∵OA＝AE＝0.5m，∴OB＝1.9+0.5＝2.4m，∴BC＝＝＝3.2＞3m ∴一辆高3米，宽1.9米的卡车能通过隧道．22．（1）证明：连接OE，∵AC＝EC，OA＝OE，∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO，∵AC⊥AB，∴∠CAD＝90°，∴∠CAE+∠EAO＝90°，∴∠CEA+∠AEO＝90°，即∠CEO＝90°，∴OE⊥CD，∴CE为⊙O的切线；（2）解：∵∠OAF＝30°，OF＝1∴AO＝2；∴AF＝即AE＝；∴；∵∠AOE＝120°，AO＝2；∴；＝．∴S阴影23．解：（1）设CD交AB于E．∵∠BOC＝2∠CDB，∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠CBO＝60°，∵CD⊥AB，CD＝2，∴CE＝ED＝，∴OC＝EC÷os30°＝2，∴AB＝2OC＝4．（2）连接BC，OD，∵∠CBO＝∠BOD＝60°，∴BC∥OD，∴S△BCD ＝S△BCO，∴S阴＝S扇形OBC＝＝π，阴影部分的周长＝2+2+＝2+2+π．24．（1）证明：∵AH＝AC，AF平分线∠CAH∴∠HAF＝∠CAF，AF⊥EC，∴∠HAF+∠ACH＝90°∵∠ACB＝90°，即∠BCE+∠ACH＝90°，∴∠HAF＝∠BCE，∵E为的中点，∴，∴∠EBD＝∠BCE，∴∠HAF＝∠E BD，∴BE∥AF；（2）解：连接OH、CD．∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵AH＝AC＝6∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，∵∠EBH＝∠ECB，∠BEH＝∠CEB∴△EBH∽△ECB，∴，EB＝2EH，由勾股定理得BE2+EH2＝BH2，即（2EH）2+EH2＝42，∴EH＝．25．证明：（1）∵AC平分∠BCD∴∠ACB＝∠ACD，∵AE∥BC∴∠ACB＝∠CAE＝∠ACD∴AE＝CE，且AE＝EF∴AE＝CE＝EF∴△CAF是直角三角形∴∠CAF＝90°∴AF是⊙O的切线（2）连接AD，∵AC是直径∴∠ABC＝90°＝∠ADC∵∠ACB＝∠ACD，AC＝AC，∠ABC＝∠ADC＝90°∴△ABC≌△ADC（AAS）∴AB＝AD＝12，BC＝CD在Rt△AED中，DE＝＝5∵AE＝CE＝EF＝13∴CF＝2EF，CD＝BC＝CE+DE＝18，∵AE∥BC∴＝∴EG＝9∴AG＝AE﹣EG＝13﹣9＝421。

可编辑修改精选全文完整版九年级数学上册《第二十四章圆》单元测试卷带答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．如L是⊙O的切线，要判定AB⊥L，还需要添加的条件是（）A．AB经过圆心O B．AB是直径C．AB是直径，B是切点D．AB是直线，B是切点2.如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25∘，则∠BOD的度数是（）A．25∘B．30∘C．40∘D．50∘3.如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A．2√15B．8C．2√10D．2√134．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，⊙O是△ABC的内切圆，连接AO，BO.则图中阴影部分的面积之和（）A．10−32πB．14−52πC．12 D．145.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC=72∘，则∠BAC的度数是( )A．72∘B．36∘C．18∘D．54∘6.如图，在半径为5的⊙O中AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为( )A．3B．4C．3√2D．4√27.如图，已知OB为⊙C的半径，且OB=10cm，弦CD⊥OB于M，若OM:MB=4:1，则CD长为( )A．3cm B．6cm C．12cm D．24cm8.如图，在平面直角坐标系中，⊙M与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙M于P，Q两点，点P在点Q的右方，若点P的坐标是(−1,2)，则点Q的坐标是( )A．(−4,2)B．(−4.5,2)C．(−5,2)D．(−5.5,2)二、填空题9.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120∘，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为．（结果保留π）10.在半径为3cm的圆中，120∘的圆心角所对的弧长等于．11.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC交⊙O于点D，若∠C=50∘，则∠AOD=．12.如图所示，点P为弦AB上一点，连接OP，过P作PC⊥OP，PC交⊙O于点C，若AP= 4，PB=2则PC的长为．13.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若AB=6，CE:ED=1:9则⊙O的半径是．三、解答题14．已知：点I是△ABC的内心，AI的延长线交外接圆于D．则DB与DI相等吗？为什么？15．如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE=∠DAC．求证：DB=DC．16．如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD.求证：BD是⊙O的切线.17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD的延长线与BC的延长线相交于点E，DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）如果DC⊥OE，求证：△ABE是等边三角形．18．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）求证：AB=AC．（2）若PC=2 √5，求⊙O的半径．参考答案1．C2．A3．C4．B5. B6. C7. C8. A9. 350πcm210. 2πcm11. 80°12. 2√213. 514．解：ID=BD．理由：如图所示：连接BI．由三角形的外角的性质可知：∠1+∠2=∠BIA．∵点I是△ABC的内心∴∠1=∠4，∠2=∠3．又∵∠4=∠5∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠3+∠5，即∠BIA=∠IBD．∴ID=BD．15．证明：∵∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，∴∠DAE=∠DCB，又∠DAE=∠DAC，∴∠DCB=∠DAC，又∠DAC=∠DBC，∴∠DCB=∠DBC，∴DB=DC16．解：如图，连接OD∵OD＝OA∴∠ODA＝∠DAB＝30°∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°即OD⊥BD∴直线BD与⊙O相切.17．（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠A=∠DCE∵DC=DE∴∠DCE=∠DEC∴∠A=∠AEB（2）证明：∵DC⊥OE∴DF=CF∴OE是CD的垂直平分线∴ED=EC，又DE=DC∴△DEC为等边三角形∴∠AEB=60°，又∠A=∠AEB∴△ABE是等边三角形．18．（1）证明：连接OB∵OB=OP∴∠OPB=∠OBP∵∠OPB=∠APC∴∠OBP=∠APC∵AB与⊙O相切于点B∴OB⊥AB∴∠ABO=90°∴∠ABP+∠OBP=90°∵OA⊥AC∴∠OAC=90°∴∠ACB+∠APC=90°∴∠ABP=∠ACB∴AB=AC（2）证明：设⊙O的半径为r在Rt△AOB中，AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2 在Rt△ACP中，AC2=PC2﹣PA2AC2=（2 √5）2﹣（5﹣r）2∵AB=AC∴52﹣r2=（2 √5）2﹣（5﹣r）2 解得：r=3则⊙O的半径为3。

第二十四章 圆24．1 圆的有关性质24．1.1 圆01 基础题知识点1 圆的有关概念圆上各点到定点(圆心)的距离都等于定长(半径)；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．如图，在圆O 中，弦有AC ，AB ，半径有OA ，OB ，OC ，直径是AB ，ABC ︵，CAB ︵是优弧，劣弧有AC ︵，BC ︵，半圆是AB ︵，OA ＝OB ＝OC ．1．下列条件中，能确定一个圆的是(C )A ．以点O 为圆心B ．以2 cm 长为半径C ．以点O 为圆心，以5 cm 长为半径D ．经过点A2．下列命题中正确的有(B )①弦是连接圆上任意两点的线段；②半径是弦；③直径是圆中最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．如图所示，在⊙O 中，弦有AC ，AB ，直径是AB ，优弧有ABC ︵，CAB ︵，劣弧有AC ︵，BC ︵.第3题图 第4题图4．如图，在⊙O 中，点B 在⊙O 上，四边形AOCB 是矩形，对角线AC 的长为5，则⊙O 的半径长为5．知识点2 圆中的半径相等5．如图，AB 是⊙O 的直径，∠C＝20°，则∠BOC 的度数是(A )A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°第5题图 第6题图6．如图，已知AB ，CD 是⊙O 的两条直径，∠A BC ＝30°，那么∠BAD 等于(D )A ．45°B ．60°C ．90°D ．30°7．如图，在△ABC 中，BD ，CE 是两条高，点O 为BC 的中点，连接OD ，OE ，求证：B ，C ，D ，E 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上．证明：∵BD，CE 是两条高， ∴∠BDC ＝∠BEC ＝90°.∵△BEC 为直角三角形，点O 为BC 的中点， ∴OE ＝OB ＝OC ＝12BC.同理：OD ＝OB ＝OC ＝12BC.∴OB ＝OC ＝OD ＝OE.∴B，C ，D ，E 在以O 为圆心的同一个圆上．8．如图，AB ，AC 为⊙O 的弦，连接CO ，BO 并延长，分别交弦AB ，AC 于点E ，F ，∠B＝∠C.求证：CE ＝BF.证明：∵OB，OC 是⊙O 的半径， ∴OB ＝OC.又∵∠B ＝∠C，∠BOE ＝∠COF， ∴△EOB≌△FOC (ASA )． ∴OE ＝OF.∵CE ＝CO ＋OE ，BF ＝BO ＋OF ， ∴CE ＝BF.02中档题9．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为(C)A．50°B．60°C．70°D．80°10．下列四边形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．其中四个顶点在同一个圆上的有(B) A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，A，B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为(B)A.2rB.3rC．rD．2r12．已知A，B是半径为6 cm的圆上的两个不同的点，则弦长AB的取值范围是0<AB≤12cm.13．如图，CE是⊙O的直径，AD的延长线与CE的延长线交于点B，若BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度数．解：设∠B＝x.∵BD＝OD，∴∠DOB＝∠B＝x.∴∠ADO＝∠DOB＋∠B＝2x.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2x.∵∠AOC＝∠A＋∠B，∴2x＋x＝114°.解得x＝38°.∴∠AOD＝180°－∠A－∠ADO＝180°－4x＝180°－4×38°＝28°.14．如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．解：OE＝OF.证明：∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB.∴∠OBA＝∠OAB.又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF(SAS)．∴OE＝OF.15．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E点，已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．解：连接OD.∵AB为⊙O的直径，OC，OD为半径，AB＝2DE，∴OC＝OD＝DE.∴∠DOE＝∠E，∠OCE＝∠ODC.又∵∠ODC＝∠DOE＋∠E，∴∠OCE＝∠ODC＝2∠E.∵∠E＝18°，∴∠OCE＝36°.∴∠AOC＝∠OCE＋∠E＝36°＋18°＝54°.03综合题16．如图，AB，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，点P，Q为弧CB上的任意两点，作PE⊥CD，PF⊥AB，QM⊥CD，QN⊥AB，则线段EF，MN的大小关系为EF＝MN.(填“＜”“＞”或“＝”)24．1.2 垂直于弦的直径01 基础题知识点1 认识垂径定理(1)圆是轴对称图形，它的对称轴有无数条；(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．图1如图1，在⊙O 中，点A 是圆上一点，OA⊥弦CD 于点B ，则BC ＝BD ，AC ︵＝AD ︵.1．(黔西南中考)如图，在⊙O 中，半径OC 与弦AB 垂直于点D ，且AB ＝8，OC ＝5，则CD 的长是(C )A ．3B ．2.5C ．2D ．1第1题图 第2题图2．(遵义仁怀市期末)如图，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB 于点E ，且CE ＝2，OB ＝4，则AB 的长为(D )A ．2 3B ．4C ．6D ．433．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为M ，下列结论不一定成立的是(D )A ．CM ＝DM B.CB ︵＝DB ︵C ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MB第3题图 第4题图4．(黔西南中考)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD⊥AB 于点E ，已知CD ＝4，AE ＝1，则⊙O 的半径为52．知识点2 垂径定理的推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图1，在⊙O 中，点A 是圆上一点，OA 与弦CD 交于点B ，且BC ＝BD ，则∠OBD＝90°，AC ︵＝AD ︵. 5．如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是AB 的中点，且OM ＝3，则⊙O 的半径等于(D )A．8 B．2 C．10 D．5第5题图第6题图6．如图，⊙O的弦AB＝8，P是劣弧AB的中点，连接OP交AB于C，且PC＝2，则⊙O的半径为5.知识点3垂径定理的应用7．(南宁中考)在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB＝160 cm，则油的最大深度为(A)A．40 cmB．60 cmC．80 cmD．100 cm8．(茂名中考)如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB 为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为0.5米．易错点忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”9．下列说法正确的是(D)A．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C．过弦的中点的直径垂直于弦D．平分弦所对的两条弧的直径平分弦02 中档题10．(黔东南中考)如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD＝22.5°，若CD＝6 cm，则AB的长为(B)A．4 cm B．3 2 cmC．2 3 cm D．2 6 cm第10题图第11题图11．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝16 cm，则球的半径为(B)A ．10 3 cmB ．10 cmC ．10 2 cmD ．8 3 cm12．如图，在⊙O 中，AB ，AC 是互相垂直的两条弦，OD⊥AB 于点D ，OE⊥AC 于点E ，且AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，那么⊙O 的半径OA 长为5__cm .第12题图 第13题图13．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O 作OC⊥AP 于点C ，OD⊥PB 于点D ，则CD 的长为4．14．(遵义中考)如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，点M 是OA 的中点，过点M 的直线与⊙O 交于C ，D 两点．若∠CMA＝45°，则弦CD 的长为14.15．(佛山中考)如图，⊙O 的直径为10 cm ，弦AB ＝8 cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．解：作直径MN⊥弦AB ，交AB 于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝12AB ＝4 cm.又∵⊙O 的直径为10 cm ，连接OA ，则OA ＝5 cm. 由勾股定理，得OD ＝OA 2－AD 2＝3 cm. ∴OP 的长度范围是3 cm≤OP≤5 cm.03 综合题16．(湖州中考)已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D(如图所示)．(1)求证：AC ＝BD ；(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．解：(1)证明：过点O 作OE⊥AB 于点E. 则CE ＝DE ，AE ＝BE. ∴AE －CE ＝BE －DE ，即AC＝BD.(2)连接OA，OC.由(1)可知，OE⊥AB且O E⊥CD，∴CE＝OC2－OE2＝82－62＝27. AE＝OA2－OE2＝102－62＝8.∴AC＝AE－CE＝8－27.24．1.3 弧、弦、圆心角01 基础题知识点1 认识圆心角圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心．顶点在圆心的角叫做圆心角． 如图，在⊙O 中，∠AOC 与∠ABC 中，是圆心角的是∠AOC ．1．如图所示，图中的圆心角(小于平角的)有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知圆O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为5 cm ，则弦AB 所对的圆心角∠AOB＝60°.知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角⇔所对的弧相等⇔所对的弦也相等． 如图，∠AOB＝∠COD ⇔AB ︵＝CD ︵⇔AB ＝CD.3．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点D 为半圆周上的一点，且AD ︵所对圆心角的度数是BD ︵所对圆心角度数的两倍，则圆心角∠BOD 的度数为60°.第3题图 第4题图4．(兰州中考)如图，在⊙O 中，点C 是AB ︵的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝(A )A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°5．(贵港中考)如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD＝34°，则∠AEO 的度数是(A )A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°第5题图 第6题图6．如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A＝30°，则∠B＝(B )A ．150°B ．75°C ．60°D ．15°7．如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，且AD ︵＝CE ︵，求证：BE ＝CE.证明：∵∠BOE ＝∠AOD， ∴BE ︵＝AD ︵. 又∵AD ︵＝CE ︵， ∴BE ︵＝CE ︵. ∴BE ＝CE.易错点 对圆中的有关线段的关系运用不当而致错8．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且AD ＝BC ，则AB 与CD 的大小关系为(B )A ．AB >CD B ．AB ＝CDC ．AB <CD D ．不能确定02 中档题9．如图，在⊙O 中，已知弦AB ＝DE ，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C ，F ，则下列说法中正确的个数为(D )①∠DOE ＝∠AOB ；②AB ︵＝DE ︵；③OF ＝OC ；④AC ＝EF .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知⊙O 中，M 为AB ︵的中点，则下列结论正确的是(C )A ．AB ＞2AM B ．AB ＝2AMC ．AB ＜2AMD ．AB 与2AM 的大小不能确定11．如图，AB 是半圆O 的直径，E 是OA 的中点，F 是OB 的中点，ME⊥AB 于点E ，NF⊥AB 于点F.下列结论：①AM ︵＝MN ︵＝BN ︵；②ME＝NF ；③AE＝BF ；④ME＝2AE.其中正确结论的序号是①②③．12．如图所示，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，交AD ，BC 于E ，F ，延长BA 交⊙A 于G ，求证：GE ︵＝EF ︵.证明：连接AF.∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD∥BC.∴∠GAE ＝∠B， ∠EAF ＝∠AFB.又∵AB，AF 为⊙A 的半径，AB ＝AF ， ∴∠B ＝∠AFB. ∴∠GAE ＝∠EAF. ∴GE ︵＝EF ︵.13．(教材9上P84例3变式)如图，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵，∠COD ＝60°.(1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD .解：(1)△AOC 是等边三角形． ∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°. 又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形． (2)证明：∵AC ︵＝CD ︵，∴OC⊥AD.∵∠AOC ＝∠COD ＝60°，∴∠BOD ＝180°－(∠AOC ＋∠COD )＝60°. ∵OD ＝OB ，∴△ODB 为等边三角形． ∴∠ODB ＝60°.∴∠ODB ＝∠COD ＝60°. ∴OC∥BD.03 综合题14．如图，∠AOB＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，连接AB 分别交OC ，OD 于点E ，F ，求证：AE ＝BF ＝CD.证明：连接AC ，BD.∵AC ︵＝CD ︵＝DB ︵，∠AOB ＝90°，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝13∠AOB ＝13×90°＝30°，AC ＝CD ＝BD.∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠ABO ＝45°.∴∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°. ∵在△AOC 中，OA ＝OC ，∴∠ACO ＝180°－∠AOC 2＝180°－30°2＝75°.∴∠AEC ＝∠ACO.∴AE ＝AC. 同理BF ＝BD. ∴AE ＝BF ＝CD.24.1.4 圆周角第1课时 圆周角定理及其推论01 基础题知识点1 圆周角定理(1)顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角，图中是圆周角的是∠ABC ；(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，在⊙O 中，∠ABC＝12∠AOC.1．(遵义桐梓县期末)如图，已知点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB＝50°，则∠AOB 的度数为(B )A ．50°B ．100°C ．25°D ．70°第1题图 第2题图2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA ，OB ，∠OBA＝50°，则∠C 的度数为(B )A ．30°B ．40°C ．50°D ．80°3．(柳州中考)如图，在⊙O 中与∠1一定相等的角是(A )A ．∠2B ．∠3C ．∠4D ．∠5第3题图 第4题图4．(娄底中考)如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O 上，斜边和一直角边分别与⊙O 相交于A 、B 两点，P 是优弧AB 上任意一点(与A ，B 不重合)，则∠APB＝30°．知识点2 圆周角定理的推论同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．如图，在⊙O 中，若AB ＝CD ，则∠ACB＝∠DAC ；若AD 是直径，则∠ACD＝90°；若∠ACD＝90°，则AD 是直径．5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠A＝35°，则∠B 的度数是(C )A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°第5题图 第6题图6．(绍兴中考)如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB＝60°，则∠BD C 的度数是(D )A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°7．(黔西南中考)如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠BAC＝50°，则∠AEC 的度数为(A )A ．65°B ．75°C ．50°D ．55°第7题图 第8题图8．如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠D＝40°，则∠CAB 的度数为50°.易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错9．已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径，则此弦AB 所对的圆周角的度数为30°或150°．02 中档题10．(广州中考)如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB⊥CD，垂足为E ，连接CO ，AD ，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是(D )A ．AD ＝2OB B ．CE ＝EOC ．∠OCE ＝40°D ．∠BOC ＝2∠BAD第10题图 第11题图11．(遵义仁怀市期末)如图，AB ︵是半圆，连接AB ，点O 为AB 的中点，点C ，D 在AB ︵上，连接AD ，CO ，BC ，BD ，OD.若∠COD＝62°，且AD∥OC，则∠ABD 的大小是(B )A ．26°B ．28°C ．30°D ．32°12．(南昌中考)如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B 的度数为(D )A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°第12题图 第13题图13．(贵阳中考)如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠BOD＝130°，AC∥OD 交⊙O 于点C ，连接BC ，则∠B＝40度．14．如图，⊙C 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知∠OBA＝30°，点A 的坐标为(2，0)，则点D 的坐标为(0，23)．第14题图 第15题图15．(遵义道真县月考改编)如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AP⊥BC 于点P ，AM 为⊙O 的直径．若∠BAM＝15°，则∠CAP＝15°.16．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，且点D 为边BC 的中点．(1)求证：△ABC 为等边三角形； (2)求DE 的长．解：(1)证明：连接AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∵点D 是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线．∴AB ＝AC. 又∵AB ＝BC ，∴AB ＝AC ＝BC. ∴△ABC 为等边三角形． (2)连接BE.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°.∴BE⊥AC. ∵△ABC 是等边三角形，∴AE ＝EC ，即E 为AC 的中点． 又∵D 是BC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线．∴DE ＝12AB ＝12×2＝1.03 综合题17．(东营中考)如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8 cm ，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，M 是AB 上一动点，CM ＋DM 的最小值为8__cm.第2课时圆内接四边形01 基础题知识点圆内接四边形的性质如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆，圆内接四边形的对角互补．如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠BCD＝180°.1．如图所示，图中∠A＋∠C＝(B)A．90° B．180°C．270° D．360°第1题图第2题图2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B) A．115° B．105° C．100° D．95°3．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(D)A．1∶2∶3∶4 B．1∶3∶2∶4C．4∶2∶3∶1 D．4∶2∶1∶34．(娄底中考)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是AB∥CD．第4题图第5题图5．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝30°，D是弧AC的中点，则∠DAC的度数是30度．6．圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7，求这个四边形各内角的度数．解：根据圆内接四边形的对角互补可知，其对角和相等，所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8.设这四个内角的度数分别为2x°，x°，7x°，8x°，则2x＋x＋7x＋8x＝360.解得x＝20.2x＝40，7x＝140，8x＝160.答：这个四边形各内角的度数分别为40°，20°，140°，160°.7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径．证明：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O， ∴∠ADC ＝180°－∠B ＝130°. ∵∠ACD ＝25°，∴∠DAC ＝180°－∠ACD －∠D ＝180°－25°－130°＝25°. ∴∠DAC ＝∠ACD. ∴AD ＝CD.(2)∵∠BAC ＝∠BAD －∠D AC ＝65°－25°＝40°，∠B ＝50°， ∴∠ACB ＝180°－∠B －∠BAC ＝180°－50°－40°＝90°. ∴AB 是⊙O 的直径．易错点 对圆内接四边形的概念理解不清导致错误8．(来宾中考)如图，在⊙O 中，点A 、B 、C 在⊙O 上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°．02 中档题9．(广东中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，DA ＝DC ，∠CBE＝50°，则∠DAC 的大小为(C )A ．130°B ．100°C ．65°D ．50°10．(聊城中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E 的度数为(B )A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°第10题图 第11题图11．(南京中考)如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝215°．12．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为(0，4)，M 是圆上一点，∠BMO ＝120°.求⊙C 的半径．解：∵四边形ABMO内接于⊙C，∴∠BAO＋∠BMO＝180°.∵∠BMO＝120°，∴∠BAO＝60°.在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，∴AB＝8.∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙C的直径．∴⊙C的半径为4.13．(苏州中考)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD ＝BD.连接AC交圆O于点F，连接AE，DE，DF.(1)求证：∠E＝∠C；(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC.∴AB＝AC.∴∠B＝∠C.又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°－∠E.又∵∠CFD＝180°－∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°.∵∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C ＋∠CFD＝110°.03 综合题14．(佛山中考)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.(1)若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；(2)若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．解：(1)证明：∵∠DCE ＝∠BCF，∠E ＝∠F，又∵∠ADC ＝∠E ＋∠DCE，∠ABC ＝∠F ＋∠BCF， ∴∠ADC ＝∠ABC.(2)由(1)知∠ADC ＝∠ABC， ∵四边形ABCD 内接于⊙O， ∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°. ∴∠ADC ＝90°.在Rt△ADF 中，∠A ＝90°－∠F ＝90°－42°＝48°. (3)连接EF.∵四边形ABCD 为圆的内接四边形， ∴∠ECD ＝∠A.∵∠ECD ＝∠CEF ＋∠CFE， ∴∠A ＝∠CEF ＋∠CFE.∵∠A ＋∠CEF ＋∠CFE ＋∠DEC ＋∠BFC ＝180°， ∴2∠A ＋α＋β＝180°. ∴∠A ＝90°－α＋β2.小专题7 圆周角定理——教材P90T14的变式与应用【教材母题】 如图，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.判断△ABC 的形状，并证明你的结论．解：△ABC 为等边三角形．证明：∵∠APC ＝∠ABC，∠CPB ＝∠BAC， 又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°， ∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°. ∴∠ACB ＝60°.∴△ABC 为等边三角形．【问题延伸1】 求证：PA ＋PB ＝PC.证明：在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD ，如图， ∵∠APC ＝60°，∴△APD 是等边三角形．∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，∠ADC ＝120°. ∵∠APB ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°， ∴∠ADC ＝∠APB.在△APB 和△ADC 中，⎩⎨⎧∠ABP ＝∠ACD，∠APB ＝∠ADC，AP ＝AD ，∴△APB≌△ADC (AAS )． ∴BP ＝CD.又∵PD ＝AP ，∴PA ＋PB ＝PC.证明线段的和、差、倍、分问题的常见做法是“截长补短”法，具体做法是：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．【问题延伸2】 若BC ＝23，点P 是AB ︵上一动点(异于点A ，B)，求PA ＋PB 的最大值．解：由上题知PA ＋PB ＝PC ，要使PA ＋PB 最大，则PC 为直径，作直径BG ，连接CG.∴∠G ＝∠BAC ＝60°，∠BCG ＝90°.∵BC ＝23，∴BG ＝4.即PA ＋PB 的最大值为4.直径是圆中最长的一条弦，在求最值的问题中经常用到这一结论．1．如图，四边形APBC 是圆内接四边形，延长BP 至E ，若∠EPA＝∠CPA，判断△ABC 的形状，并证明你的结论．解：△ABC 是等腰三角形，理由：∵四边形APBC 是圆内接四边形， ∴∠EPA ＝∠ACB.∵∠EPA ＝∠CPA，∠CPA ＝∠ABC， ∴∠ACB ＝∠ABC. ∴AB ＝AC.∴△ABC 是等腰三角形．2．如图，A ，P ，B ，C 是半径为8的⊙O 上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求证：△ABC 是等边三角形； (2)求圆心O 到BC 的距离OD.解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠APC ＝60°，∠BAC ＝∠APC ＝60°， ∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°. ∴△ABC 是等边三角形． (2)连接OB ，OC.可得∠BOC ＝2∠BAC ＝2×60°＝120°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBD ＝∠OCD ＝12×(180°－120°)＝30°.∵∠ODB ＝90°，∴OD ＝12OB ＝4.3．(广州中考改编)如图，点A ，B ，C ，D 在同一个圆上，且C 点为一动点(点C 不在BAD ︵上，且不与点B ，D 重合)，∠ACB＝∠ABD＝45°.(1)求证：BD 是该圆的直径；(2)连接CD ，求证：2AC ＝BC ＋CD.证明：(1)∵AB ︵＝AB ︵，∴∠ACB ＝∠ADB ＝45°. ∵∠ABD ＝45°， ∴∠BAD ＝90°.∴BD 是该圆的直径．(2)在CD 的延长线上截取DE ＝BC ，连接EA ， ∵∠ABD ＝∠ADB，∴AB ＝AD.∵∠ADE ＋∠ADC ＝180°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADE. 在△ABC 和△ADE 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE，BC ＝DE ，∴△ABC≌△ADE (SAS )． ∴∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD. ∴∠BAD ＝∠CAE ＝90°.∵AD ︵＝AD ︵，∴∠ACD ＝∠ABD ＝45°. ∴△CAE 是等腰直角三角形． ∴2AC ＝CE.∴2AC ＝DE ＋CD ＝BC ＋CD.小专题8 与圆的性质有关的计算与证明类型1 求角度1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，BA ，DC 的延长线交于点E ，AB ＝2CE ，∠E＝25°，则∠BOD＝75°．2．(南京中考)如图，A ，B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点(P 不与A ，B 重合)，我们称∠APB 是⊙O 上关于点A ，B 的滑动角．已知∠APB 是⊙O 上关于点A ，B 的滑动角．(1)若AB 是⊙O 的直径，则∠APB 的度数是90°；(2)若⊙O 的半径是1，AB ＝2，则∠APB 的度数是45°或135°__．3．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，则∠CEB 的度数为100°．第3题图 第4题图4．(永州中考)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点D 是AC ︵的中点，点E 是BC ︵上的一点．若∠CED＝40°，则∠ADC＝100度．5．(南京中考)如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE.若∠D＝78°，则∠EAC＝27°．类型2 求长度6．(黔东南中考)如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，∠A＝15°，半径为2，则弦CD 的长为(A )A ．2B ．－1C. 2D ．4第6题图第7题图7．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为213__．8．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为2 3 cm.第8题图第9题图9．如图，AB，AC，AD为⊙O的弦，∠BAC＝60°，∠DAC＝30°，AB＝4，AD＝6，则CD的长为13．10．(十堰中考)如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AC＝6，BD＝52，则BC的长为8．24.2点和圆、直线和圆的位置关系24．2.1点和圆的位置关系01 基础题知识点1点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：(1)点P在圆外⇨d>r；(2)点P在圆上⇨d＝r；(3)点P在圆内⇨d＜r．1．若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A与⊙O的位置关系是(C) A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定2．(遵义中考模拟)已知⊙O半径为6，点P在⊙O内，则OP长可能是(A)A．5 B．6 C．7 D．83．已知⊙O半径为3 cm，点P到圆心O的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O上．4．已知⊙O的半径为6 cm，点P在圆外，则线段OP的长度的取值范围是OP＞6__cm．5．已知⊙O的半径为7 cm，点A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A与⊙O的位置关系．(1)OP＝8 cm；(2)OP＝14 cm；(3)OP＝16 cm.解：(1)在圆内．(2)在圆上．(3)在圆外．知识点2三角形的外接圆与外心不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形外接圆的圆心叫外心，它是三角形三条边垂直平分线的交点；一个三角形的外接圆有1个，一个圆的内接三角形有无数个．6．下列关于三角形的外心的说法中，正确的是(C)A．三角形的外心在三角形外B．三角形的外心到三边的距离相等C．三角形的外心到三个顶点的距离相等D．等腰三角形的外心在三角形内7．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．第7题图第8题图8．如图，△ABC的外接圆圆心的坐标是(－2，－1)．知识点3反证法反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．9．用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时，先假设平行于同一条直线的两条直线相交成立，然后经过推理与平行公理相矛盾．10．用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°.则有∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾．因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°.易错点概念不清11．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③三角形的外心到三角形三边的距离相等；④圆有且只有一个内接三角形．其中正确的是②(填序号)．02 中档题12．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d＝0有实数根，则点P(D) A．在⊙O的内部B．在⊙O的外部C．在⊙O上D．在⊙O上或⊙O的内部13．用反证法证明“两条直线相交只有一个交点”应该先假设(A)A．两条直线相交至少有两个交点B．两条直线相交没有两个交点C．两条直线平行时也有一个交点D．两条直线平行没有交点14．如图，在△ABC中，BC＝3 cm，∠BAC＝60°，那么△ABC能被半径至少为3cm的圆形纸片所覆盖．15．若O为△ABC的外心，且∠BOC＝60°，则∠BAC＝30°或150°．16．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，斜边AB边上的高为CD，若以点C为圆心，分别以R1＝2，R2＝2.4，R3＝3为半径作⊙C1，⊙C2，⊙C3，试判断点D与这三个圆的位置关系．解：由勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝5，由面积公式，得CD＝2.4，∴d＝CD＝2.4.∴d>R1，d＝R2，d<R3.∴点D在⊙C1的外部，在⊙C2上，在⊙C3的内部．17．如图，已知，△ABC中，∠A＝25°，∠B＝40°.(1)求作：⊙O，使得⊙O是△ABC的外接圆；(要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)(2)综合应用：在你所作的圆中，求∠AOB的度数．解：(1)如图．作法：分别作边AB，AC的垂直平分线GH，EF，交于点O，以O为圆心，以OA为半径的圆就是△ABC的外接圆．(2)在优弧AB上取一点D，连接DA，DB.∵∠CAB＝25°，∠CBA＝40°，∴∠C＝180°－∠CAB－∠CBA＝115°.∵四边形CADB是圆的内接四边形，∴∠ADB＝180°－∠C＝180°－115°＝65°.∴∠AOB＝2∠ADB＝130°.24．2.2 直线和圆的位置关系 第1课时 直线和圆的位置关系01 基础题知识点1 直线与圆的位置关系的判定如图，直线l 与⊙O 有三种位置关系：(1)图1中直线l 与⊙O 相交，有两个公共点，这条直线叫做圆的割线．图1 图2 图3(2)图2中直线l 与⊙O 相切，有1个公共点，这条直线叫做圆的切线． (3)图3中直线l 与⊙O 相离，无公共点．1．(梧州中考)已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为(C )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定2．已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是(D )A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交3．(张家界中考)如图，∠O＝30°，C 为OB 上一点，且OC ＝6，以点C 为圆心，半径为3的圆与OA 的位置关系是(C )A ．相离B ．相交C ．相切D ．以上三种情况均有可能4．⊙O 的半径为6，一条弦长63，以3为半径的同心圆与这条弦的关系是(A )A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交5．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝4 cm ，BC ＝2 cm ，以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有何种位置关系？请你写出判断过程．(1)r ＝1.5 cm ；(2)r ＝ 3 cm ；(3)r ＝2 cm . 解：过点C 作CD⊥AB，垂足为D. ∵AB ＝4，BC ＝2，∴AC ＝2 3. 又∵S △ABC ＝12AB·CD ＝12BC·AC，∴CD ＝BC·ACAB ＝ 3.(1)r ＝1.5 cm 时，相离． (2)r ＝ 3 cm 时，相切． (3)r ＝2 cm 时，相交．知识点2 直线与圆的位置关系的性质已知⊙O 的半径为r ，圆心到直线l 的距离为d ，根据直线和圆相交，相切，相离的定义，可以得到： (1)直线l 与⊙O 相交⇔d ＜r ；(2)直线l 与⊙O 相切⇔d ＝r ；(3)直线l 与⊙O 相离⇔d ＞r.6．设⊙O 的半径为4，点O 到直线a 的距离为d ，若⊙O 与直线a 至多只有一个公共点，则d 的取值范围为(C )A ．d ≤4B ．d ＜4C ．d ≥4D ．d ＝47．(益阳中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为(－3，0)，将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为(B )A ．1B ．1或5C ．3D ．58．(西宁中考)⊙O 的半径为R ，点O 到直线l 的距离为d ，R ，d 是方程x 2－4x ＋m ＝0的两根，当直线l 与⊙O 相切时，m 的值为4．9．如图，在Rt △ABC 中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO ＝x ，⊙O 的半径为2，求当x 在什么范围内取值时，AB 所在的直线与⊙O 相交，相切，相离？解：过点O 作OD⊥AB，垂足为D.∵∠A ＝90°，∠C ＝60°，∴∠B ＝30°. ∴OD ＝12OB ＝12x.当AB 所在的直线与⊙O 相切时，OD ＝r ＝2.∴BO ＝4.∴0<x<4时，相交；x ＝4时，相切；x>4时，相离．易错点 题意理解不清10．已知⊙O 的半径为2，直线l 上有一点P 满足PO ＝2，则直线l 与⊙O 的位置关系是相切或相交．02 中档题11．(遵义汇川月考)如图，在Rt △ABC 中，∠B＝90°，∠A＝60°，BC ＝4 cm ，以B 为圆心，2 cm 长为半径作圆，则⊙B与AC的位置关系是(B)A．相离B．相切C．相交D．外切12．(百色中考)以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是(D) A．0≤b<2 2 B．－22≤b≤2 2C．－23<b<2 3 D．－22<b<2213．(铜仁模拟)已知如图，∠BOA＝30°，M是OB上一点，以M为圆心、2 cm为半径作⊙M，点M在射线OB上运动，当OM＝5 cm时，⊙M与直线OA的位置关系是相离．第13题图第14题图14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC≠BC，点M是边AC上的动点．过点M作MN∥AB交BC于点N，现将△MNC沿MN折叠，得到△MNP.若点P在AB上．则以MN为直径的圆与直线AB的位置关系是相交．15．如图所示，半径为2的⊙P的圆心在直线y＝2x－1上运动．(1)当⊙P和x轴相切时，写出点P的坐标；并判断此时y轴与⊙P的位置关系；(2)当⊙P和y轴相切时，写出点P的坐标；并判断此时x轴与⊙P的位置关系；(3)⊙P是否能同时与x轴和y轴相切？若能，写出点P的坐标；若不能，说明理由．解：(1)∵⊙P的圆心在直线y＝2x－1上，∴圆心坐标可设为(x，2x－1)．当⊙P和x轴相切时，2x－1＝2或2x－1＝－2，解得x1＝1.5，x2＝－0.5.∴P1(1.5，2)，P2(－0.5，－2)．∵1.5<2，|－0.5|<2，∴y轴与⊙P相交．(2)当⊙P和y轴相切时，x＝2或－2.得2x－1＝3或2x－1＝－5.∵|－5|>2，3>2，∴x轴与⊙P相离．(3)不能．∵当x＝2时，y＝3，当x＝－2时，y＝－5，|－5|≠2，3≠2，∴⊙P不能同时与x轴和y轴相切．03 综合题16．(永州中考)如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l 的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：(1)当d＝3时，m＝1；(2)当m＝2时，d的取值范围是1＜d＜3．第2课时切线的判定与性质01 基础题知识点1切线的判定经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，∵AB⊥BC，∴BC为⊙O的切线．1．下列说法中，正确的是(D)A．AB垂直于⊙O的半径，则AB是⊙O的切线B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线2．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD，BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD.判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由．解：PD是⊙O的切线．理由如下：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.∴∠ADO＋∠ODB＝90°.∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB.∵∠PDA＝∠PBD，∴∠ADO＋∠PDA＝90°，即∠PDO＝90°.又∵直线PD经过⊙O半径的外端，∴PD是⊙O的切线．知识点2切线的性质圆的切线垂直于过切点的半径．3．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，⊙O 的半径为2，若∠OBA＝30°，则OB 的长为(B )A ．4 3B ．4C ．2 3D ．2第3题图 第4题图4．(黔南中考)如图，已知直线AD 是⊙O 的切线，点A 为切点，OD 交⊙O 于点B ，点C 在⊙O 上，且∠ODA＝36°，则∠ACB 的度数为(D )A ．54°B ．36°C ．30°D ．27°5．如图，PA 切⊙O 于A ，PO 交⊙O 于B ，若PA ＝6，PB ＝3，则⊙O 的半径是(C )A ．5B ．4C ．4.5D ．3.5第5题图 第6题图6．如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心，若∠B＝25°，则∠C 等于40°. 7．(济南中考)如图，AB 与⊙O 相切于点C ，∠A＝∠B，⊙O 的半径为6，AB ＝16.求OA 的长．解：连接OC.∵AB 与⊙O 相切于点C ， ∴OC⊥AB.∵∠A ＝∠B，∴OA ＝OB. ∴AC ＝BC ＝12AB ＝8.∵OC ＝6，∴OA ＝62＋82＝10.易错点 判断圆和各边相切时考虑不全面而漏解8．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC ，B(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心P 的坐标为(1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2)．02 中档题9．(教材9上P 101习题T 5变式)如图，两个同心圆的半径分别为4 cm 和5 cm ，大圆的一条弦AB 与小圆相切，则弦AB 的长为(C )。