高中数学-两个向量的数量积测试题

6.2.4 向量的数量积第2课时 向量的向量积一、选择题1．（2019·全国高二课时练习）有四个式子：①1a a ⋅=；②0a a +=；③0MN NM -=；④a b a b ⋅=⋅.其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C 【解析】由向量的加减与乘法运算知①②③正确， 对④，由于cos a b a b a b θ⋅=≤，故不一定正确，则正确的有3个 故选C2．设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos1800⋅=︒=-<m n m n m n ；若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A. 3．（2019·全国高一课时练习）已知2,2a b a b ==⋅=，则a b -=（ ）A ．1B C ．2 D 2【答案】C【解析】()22222222a b a b a b a a b b -=-=-=-⋅+=-==.故选C. 4．（2019·全国高一课时练习）已知,a b 均为单位向量，且()()33222a b a b +⋅-=-，则向量,a b 的夹角为( ) A ．6π B ．4π C ．34π D ．56π 【答案】A【解析】设向量,a b 的夹角为θ.因为|a |＝|b |＝1，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－3a ·2b -＝－3cos θ，即cos θ＝2，θ＝6π. 故选A.5．（多选题）对于平面向量，给出下列四个命题：A.命题p 1：若a ⃗⋅b ⃗⃗>0，则a ⃗与b⃗⃗的夹角为锐角； B.命题p 2：“|a ⃗⋅b ⃗⃗|=|a ⃗|⋅|b ⃗⃗|”是“a ⃗//b⃗⃗”的充要条件； C.命题p 3：当a ⃗,b ⃗⃗为非零向量时，“a ⃗+b ⃗⃗=0⃗⃗”是“|a ⃗+b ⃗⃗|=||a ⃗|−|b⃗⃗||”的必要不充分条件； D.命题p 4：若|a ⃗+b ⃗⃗|=|b ⃗⃗|，则|2b ⃗⃗|≥|a ⃗+2b⃗⃗|。

课时素养评价五向量的数量积(15分钟30分)1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,且a与b的夹角为,则(a+b)·(2a-b)= (A. B.- C.- D.【解析】选A. =2a2-b2+a·b=2-3+1××=.2.(2020·广州高一检测)已知向量a,b满足|a|=,|b|=2,a·b=-3,则a与b的夹角是( )A.150°B.120C.60D.30°【解析】选B.设a与b的夹角为θ,则cos θ===-,因为0°≤θ≤180°,所以θ=120°.【补偿训练】已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量a与a-b的夹角为 ( )A. B. C. D.【解析】选A.|a-b|=设向量a与a-b的夹角为θ,则cos θ===,又因为θ∈[0,π],所以θ=.3.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是(A.·B.·C.·D.·【解析】选A.由于⊥,故其数量积是0,可排除C;与的夹角是,故其数量积小于零,可排除D;设正六边形的边长是a,则·=||||c os 30°=a2,·=||||c os 60°=a2.4.如图,AB是圆C的弦,设=a,=b,则向量在向量上的投影向量为(用a或b表示).【解析】如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为D,连接CB,则向量在向量上的投影向量为.因为CA=CB,所以D是AB的中点,所以==.答案:5.△ABC三边的长分别为AC=3,BC=4,AB=5,若=,=,则·= __.【解析】由题知·=(+)·=(+)·=·=+·=×42+0=.答案:6.已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角. 【解析】设a与b的夹角为θ,由已知条件得即②-①得23b2-46a·b=0,所以2a·b=b2,代入①得a2=b2,所以|a|=|b|,所以因为θ∈[0,π],所以θ=.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在△ABC中,若·+=0,则在上的投影向量为(A. B. C. D.【解析】选A.因为0=·+=·(+)=·,所以⊥,又与的夹角为锐角,所以在上的投影向量为.2.设a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.设a与b的夹角为θ.因为a·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|,所以cos θ=1,即a与b的夹角为0°,故a∥b;而当a∥b时,a与b的夹角为0°或180°,所以a·b=|a|·|b|cos θ=±|a|·|b|,所以“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件.【补偿训练】若|a|=1,|b|=2,则|a·b|的值不可能是 ( )A.0B.C.2D.3【解析】选D.由向量数量积的性质知|a·b|≤|a||b|=2.3.如图,AB是圆O的直径,P是圆弧AB上的点,M,N是AB上的两个三等分点,且AB=6,则·= ()A.3B.4C.6D.8【解析】选D.·=(+)·(+)=-=8.【补偿训练】已知正三角形ABC的边长为1,设=c,=a,=b,那么a·b+b·c+c·a的值是( )A. B. C.- D.-【解析】选C.因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,即|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以3+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以a·b+b·c+c·a=-.4.已知下列说法:①若a2+b2=0,则a=b=0;②已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|;③|a||b|<a·b;④a·a·a=|a|3.其中正确说法的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.对于①,因为a2+b2=0,所以|a|2+|b|2=0,所以|a|=|b|=0,所以a=b=0,故①正确;对于②,因为a+b=0,所以a与b互为相反向量,设a与c的夹角为θ,则b与c的夹角为π-θ,则a·c=|a||c|cos θ,b·c=|b||c|cos(π-θ)=-|b||c|cos θ,所以|a·c|=|b·c|,故②正确;对于③,由于a·b=|a||b|cos θ≤|a||b|,故③错误;对于④,由于a·a·a=|a|2a,其结果为向量,故④错误.【误区警示】解答本题容易将向量数量积与实数运算混淆而出错.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,则下列向量是单位向量的是(A. B.a-bC.a+bD.a-b【解析】选AD.因为a,b是单位向量,且夹角为60°,所以a·b=,|a|=|b|=1;所以=×3=1,(a-b)2=a2-2a·b+b2=1,所以和a-b是单位向量.6.已知e1,e2是两个单位向量,λ∈R时,|e1+λe2|的最小值为,则下列结论正确的是(A.e1,e2的夹角是B.e1,e2的夹角是或C.|=1或D.|e1+e2|=1或【解析】选BC.因为e1,e2是两个单位向量,且|e1+λe2|的最小值为,所以(e1+λe2)2的最小值为,所以(e1+λe2)2=λ2+2e1·e2λ+1=+,所以e1与e2的夹角为或,所以|e1+e2|2=1或3,所以|e1+e2|=1或.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=4,·(2a-3b)=12,则|b|= ;b在a 上的投影向量的模等于.【解析】a·b=|a||b|cos 45°=4|b|cos 45°=2|b|,又·(2a-3b)=|a|2+a·b-3|b|2=16+|b|-3|b|2=12,解得|b|=或|b|=-(舍去).b在a上的投影向量的模为||b|cos 45°|=cos 45°=1.答案: 18.(2020·浙江高考)设e1,e2为单位向量,满足|2e1-e2|≤,a=e1+e2,b=3e1+e2,设a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值为.【解析】(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2θ=(e1+e2)2(3e1+e2)2cos2θ=(2+2e1·e2)(10+6e1·e2)cos2θ=[(e1+e2)·(3e1+e2)]2=(3++4e1·e2)2=(4+4e1·e2)2,所以cos2θ=(10+6e1·e2)cos2θ=8(1+e1·e2),(6cos2θ-8)e1·e2=8-10cos2θ,又因为4+-4e1·e2≤2,5-4e1·e2≤2,所以e1·e2≥,所以e1·e2=≥,-≥0,≤0, ≤cos2θ<,所以cos2θ的最小值为.答案:四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·株洲高一检测)如图所示,在平行四边形ABCD中,若AB=8,AD=5,=3,(1)若∠BAD=,求||的值;(2)若·=2,求·的值.【解析】(1)在平行四边形ABCD中,AB=8,AD=5,=3,当∠BAD=时,=+=+,所以=+·+=52+×5×8×c os +×82=39,所以||=;(2)=+=+,=+=-,所以·=·=-·-=25-·-×64=2,解得·=22.【补偿训练】已知向量a,b的长度|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夹角为120°,求|3a-4b|;(2)若|a+b|=2,求a与b的夹角θ.【解析】(1)a·b=|a||b|cos 120°=4×2×=-4.又|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×42-24×(-4)+16×22=304,所以|3a-4b|=4.(2)因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2a·b+22=(2)2,所以a·b=-4,所以cos θ===-.又θ∈[0,π],所以θ=.10.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2t e1+7e2与e1+t e2的夹角θ为钝角,求实数t的取值范围.【解析】当夹角为π时,也有(2t e1+7e2)·(e1+t e2)<0,但此时夹角不是钝角.设2t e1+7e2=λ(e1+t e2),λ<0,则所以由向量2t e1+7e2与e1+t e2的夹角θ为钝角,得cos θ=<0,所以(2t e1+7e2)·(e1+t e2)<0,化简得2t2+15t+7<0.解得-7<t<-.所以所求实数t的取值范围是∪.【补偿训练】已知两个向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a,b的夹角为60°,若向量a+λb与λa+b的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.【解析】由题意得a·b=|a||b|cos 60°=2×3×=3,又(a+λb)·(λa+b)=λa2+(λ2+1)a·b+λb2,而向量a+λb与λa+b的夹角为锐角,所以λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,又|a|2=4,|b|2=9,a·b=3,所以3λ2+13λ+3>0,解得λ>或λ<.但是当λ=1时,向量a+λb与λa+b共线,其夹角不是锐角,故λ的取值范围是∪∪(1,+∞).1.八卦是中国文化的基本哲学概念,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中|OA|=1,则给出下列结论:①·=-;②+=-;③在向量上的投影向量的模为.其中正确结论的个数为(A.3B.2C.1D.0【解析】选B.·=1×1×cos 135°=-,所以①正确;+==-,所以②正确;显然||≠1,在向量上的投影向量的模为≠,所以③错误.2.已知a,b是非零向量,t为实数,设u=a+t b.(1)当|u|取最小值时,求实数t的值;(2)当|u|取最小值时,向量b与u是否垂直?【解析】(1)|u|2=|a+t b|2=(a+t b)·(a+t b)=|b|2t2+2(a·b)t+|a|2因为b是非零向量,所以|b|≠0,所以当t=时,|u|=|a+t b|的值最小.(2)垂直.因为b·(a+t b)=a·b+t|b|2=a·b+=a·b-a·b=0,所以b⊥(a+t b),即b⊥u.。

3.1.3两个向量的数量积1．已知在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC 1的长为( )． A. 3 B ．2 C. 5 D. 62．已知a ，b 是异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．已知|a |＝32，|b |＝4，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，m ⊥n ，则λ＝________．4．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是______．5．如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.求证：BD ⊥平面ADC .6．(创新拓展)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1；(2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．参考答案1. 解析：∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→ ∴AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1→＋2AD →·AA 1→＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|AC 1→|＝ 6. 答案：D2. 解析 ∵AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋|CD →|2＋DB →·CD→＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12， ∴a 与b 的夹角为60°.答案 C3. 解析 由m ⊥n ，得(a ＋b )·(a ＋λb )＝0，∴a 2＋(1＋λ)a ·b ＋λb 2＝0，∴18＋(λ＋1)×32×4cos 135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，∴λ＝－32.答案 －324. 解析 不妨设棱长为2，则AB 1→＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，cos 〈AB 1→，BM →〉＝（BB 1→－BA →）·（BC →＋12BB 1→）22×5＝0－2＋2－022×5＝ 0，故填90°.答案 90°5. 证明 不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2.BD →·AC →＝(AD →－AB →)·AC →＝AD →·AC →－AB →·AC→， 由于AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝AD →·AD →＝1，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝2×2×。

高中数学必修第三册《第八章 向量的数量积与三角恒等变换》单元测试卷(1)一、单选题（本大题共10小题，共50.0分） 1.设θ为两个非零向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角，已知对任意实数t ，|t a ⃗ +b ⃗ |的最小值为1，则( ) A. 若θ确定，则|a⃗ |唯一确定 B. 若|a⃗ |确定，则θ唯一确定 C. 若θ确定，则|b ⃗ |唯一确定D. 若θ确定，则θ唯一确定2.已知△ABC 中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，N 是线段AC 的中点，则BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 12AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 13AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若csinC =acosB +bcosA ，则△ABC 的形状为( )A. 锐角三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形4.设函数f(x)=sin3x +acos3x(a ∈R)满足f(π6−x)=f(π6+x)，则a 的值是( )A. 3B. 2C. 1D. 05.已知函数f(x)=sin2x +2cos 2x −1，将f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π4个单位，得到函数y =g(x)的图象，则g(x)的解析式为( )A. y =√2sinxB. y =√2cosxC. y =√2sin(4x −3π4)D. y =√2cos4x6.已知向量a ⃗ =(m,1)，b ⃗ =(−2,n)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m ，n 间的关系正确的是( )A. m =2nB. m =−2nC. m =−12nD. m =12n7.圆O 中，弦PQ 满足|PQ|=2，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 2B. 1C. 12D. 48.化简√1−sin 2140°=( )A. ±cos40°B. cos40°C. −cos40°D. ±|cos40°|9.tan40°+tan80°−√3tan40°tan80°的值是( )A. √3B. −√3C. −√33 D. √3310. 如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在该单位圆上，∠AOP =θ(0<θ<π)，点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，三角形OAP 的面积记为S.则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +S 的最大值是( )A. √24B. √2+12C. √22D. √2+14二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 设平面向量a ⃗ =(1,−2)，b ⃗ =(k,2)满足a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|b ⃗ |=______． 12. 已知外接圆的半径为，且，，则__________ ．13. 下面有四个命题： ①函数是偶函数②函数的最小正周期是；③函数在上是增函数；④函数的图像的一条对称轴为直线，则．其中正确命题的序号是 。

平面向量的加减与数量积练习题一、向量的加减平面向量的加减是指根据向量的性质进行运算，可以将向量看作有方向和大小的箭头，通过对箭头进行平移和反转等操作进行运算。

1. 已知向量a = 2i + 3j，b = 4i - 5j，求a + b的结果。

解：将a和b的对应分量进行相加，得到：a +b = (2 + 4)i + (3 - 5)j = 6i - 2j2. 已知向量c = 6i - 7j，d = -3i + 2j，求c - d的结果。

解：将c和d的对应分量进行相减，得到：c -d = (6 - (-3))i + (-7 - 2)j = 9i - 9j二、数量积数量积也称为点积或内积，是将两个向量进行运算得到的结果，具体计算方式为将两个向量的对应分量相乘后相加。

3. 已知向量e = 3i + 4j，f = 2i - 5j，求e · f的结果。

解：将e和f的对应分量相乘后相加，得到：e ·f = (3 * 2) + (4 * (-5)) = 6 - 20 = -144. 已知向量g = 5i + 3j，h = -2i + 6j，求g · h的结果。

解：将g和h的对应分量相乘后相加，得到：g · h = (5 * (-2)) + (3 * 6) = -10 + 18 = 8三、练习题1. 已知向量m = 2i + j，n = 3i - 4j，求m + n的结果。

解：将m和n的对应分量进行相加，得到：m + n = (2 + 3)i + (1 - 4)j = 5i - 3j2. 已知向量p = 4i + 3j，q = -2i + 5j，求p - q的结果。

解：将p和q的对应分量进行相减，得到：p - q = (4 - (-2))i + (3 - 5)j = 6i - 2j3. 已知向量r = i - 2j，s = 3i + 4j，求r · s的结果。

解：将r和s的对应分量相乘后相加，得到：r · s = (1 * 3) + (-2 * 4) = 3 - 8 = -54. 已知向量t = 5i + 2j，u = -3i + 6j，求t · u的结果。

第六章 6.2 6.2.4A 级——基础过关练1．(2020年北京期末)已知平面向量满足a ＋b ＋c ＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32【答案】A 【解析】∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c.又|a|＝|b|＝|c|＝1，∴(a ＋b )2＝c 2，即1＋2a·b ＋1＝1.∴a·b ＝－12.故选A ．2．(2020年张家口月考)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，点E 满足AE →＝34AD→＋14AB →，则AE →·AC →＝( ) A ．83B ．43C ．6D ．4＋2 3【答案】C 【解析】如图，∵AB ＝AD ＝2，∠BAD ＝60°，AE →＝34AD →＋14AB →，∴AE →·AC →＝⎝⎛⎭⎫34AD →＋14AB →·(AD →＋AB →)＝34AD →2＋14AB →2＋AD →·AB →＝34×4＋14×4＋2×2×12＝6.故选C ．3．(多选)对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中错误的是( ) A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c【答案】ACD 【解析】A 中，若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故A 错；C 中，若a 2＝b 2，则|a|＝|b |，C 错；D 中，若a·b ＝a·c ，则可能有a ⊥b ，a ⊥c ，但b ≠c ，D 错．故只有选项B 正确．故选ACD ．4．(2020年沈阳月考)已知a ，b 均为单位向量，若a ，b 夹角为2π3，则|a －b|＝( )A ．7B ．6C ．5D ． 3【答案】D 【解析】∵|a|＝|b|＝1，〈a ，b 〉＝2π3，∴(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝1－2×1×1×⎝⎛⎭⎫－12＋1＝3.∴|a －b |＝ 3.故选D ． 5．(2020年岳阳月考)已知平面向量a ，b 满足|a|＝2，|b|＝1且(2a －b )·(a ＋2b )＝9，则向量a ，b 的夹角θ为( )A ．2π3B ．π2C ．π3D ．π6【答案】C 【解析】∵|a|＝2，|b|＝1，∴(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a·b ＝8－2＋3a·b ＝9.∴a·b ＝1.∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝12.又0≤〈a ，b 〉≤π，∴〈a ，b 〉＝π3.故选C ．6．P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心【答案】D 【解析】由P A →·PB →＝PB →·PC →得PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，∴PB ⊥CA ．同理P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴P 为△ABC 的垂心．7．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则实数k 的值为________．【答案】54 【解析】由a·b ＝0得(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0.整理，得k －2＋(1－2k )cos 2π3＝0，解得k ＝54.8．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a|＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.【答案】32 【解析】|2a －b |＝10⇔(2a －b )2＝10⇔4＋|b|2－4|b |cos 45°＝10⇔|b |＝3 2. 9．已知非零向量a ，b ，满足|a|＝1，(a －b )·(a ＋b )＝12，且a·b ＝12.(1)求向量a ，b 的夹角； (2)求|a －b |.解：(1)因为(a －b )·(a ＋b )＝12，所以a 2－b 2＝12，即|a|2－|b|2＝12.又|a|＝1，所以|b|＝22.设向量a ，b 的夹角为θ，因为a·b ＝12，所以|a|·|b|cos θ＝12，得cos θ＝22.因为0°≤θ≤180°，即θ＝45°，所以向量a ，b 的夹角为45°. (2)因为|a －b|2＝(a －b )2＝|a|2－2a·b ＋|b|2＝12，所以|a －b|＝22. 10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求|a ＋b|；(2)求向量a 与向量a ＋b 的夹角的余弦值．解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a|2－4a·b －3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b ＝－6.∴|a ＋b|＝|a|2＋|b|2＋2a·b ＝42＋32＋2×(－6)＝13.(2)∵a·(a ＋b )＝|a|2＋a·b ＝42－6＝10，∴向量a 与向量a ＋b 的夹角的余弦值为a·(a ＋b )|a||a ＋b|＝10413＝51326.B 级——能力提升练11．下列命题中错误的是( )A ．对于任意向量a ，b ，有|a ＋b|≤|a|＋|b|B ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0C ．对于任意向量a·b ，有|a·b|≤|a||b|D ．若a ，b 共线，则a·b ＝±|a||b|【答案】B 【解析】当a ⊥b 时，a·b ＝0也成立，故B 错误．12．(2020年黄山月考)已知非零向量a ，b 满足(a ＋2b )·a ＝0且|a|＝|b|，则向量a ，b 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π3【答案】D 【解析】∵|a|＝|b|≠0，∴(a ＋2b )·a ＝a 2＋2a·b ＝a 2＋2|a||b |cos 〈a ，b 〉＝a 2＋2a 2·cos 〈a ，b 〉＝0.∴1＋2cos 〈a ，b 〉＝0，则cos 〈a ，b 〉＝－12.又0≤〈a ，b 〉≤π，∴〈a ，b 〉＝2π3.故选D ．13．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．直角三角形【答案】D 【解析】因为AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，所以AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →，所以AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)，所以AB →·CB →＝BC →2，所以BC →·(BC →＋AB →)＝0，所以BC →·AC →＝0，所以AC ⊥BC ，所以△ABC 是直角三角形．14．(2020年岳阳月考)在△ABC 中，AB →·BC →＝0，|AB →|＝|BC →|＝32，AD →＝2DC →，则BD →·CA →＝( )A ．4B ．－6C ．6D ．－3 3【答案】B 【解析】如图，由AD →＝2DC →得BD →＝AD →－AB →＝23AC →＋BA →＝23(BC →－BA →)＋BA→＝23BC →＋13BA →，CA →＝BA →－BC →.又∵AB →·BC →＝0，|AB →|＝|BC →|＝32，∴BD →·CA →＝⎝⎛⎭⎫23BC →＋13BA →·(BA →－BC →)＝－23BC →2＋13BA →2＝－23×18＋13×18＝－6.故选B ．15．若非零向量a ，b 满足|a|＝3|b|＝|a ＋2b|，则a 与b 夹角的余弦值为________． 【答案】－13 【解析】∵|a|＝3|b|＝|a ＋2b|，∴|a|2＝9|b|2＝(a ＋2b )2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b.∴a·b＝－|b|2.∴cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|＝－|b|23|b|·|b|＝－13.16．已知向量a ，b 满足：|a|＝1，|b|＝6，a·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为________；|2a －b |＝________.【答案】π3 27 【解析】由于a·(b －a )＝a·b －a 2＝a·b －1＝2，则a·b ＝3.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.因为|2a －b|2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝28，所以|2a －b|＝27.17．已知|a|＝5，|b|＝4，a 与b 的夹角为60°，试问：当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？解：∵(k a －b )⊥(a ＋2b )，∴(k a －b )·(a ＋2b )＝0，即k a 2＋(2k －1)a·b －2b 2＝0，即k ×52＋(2k －1)×5×4×cos 60°－2×42＝0.∴k ＝1415.∴当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直．18．设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，得cos θ＝(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，化简得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角． 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0， 则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142.∴所求实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12. C 级——探索创新练19．(多选)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为θ，则下列结论正确的是( ) A ．e 1在e 2方向上的投影向量为cos θe 2B ．e 21＝e 22C ．(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)D ．e 1·e 2＝1【答案】ABC 【解析】因为两个单位向量e 1，e 2的夹角为θ，则|e 1|＝|e 2|＝1，则e 1在e 2方向上的投影向量为|e 1|cos θe 2＝cos θe 2，故A 正确；e 21＝e 22＝1，故B 正确；(e 1＋e 2)·(e 1－e 2)＝e 21－e 22＝0，故(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)，故C 正确；e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝cos θ，故D 错误． 20．如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，若E ，F 分别是BC ，AB 上的点，且满足BE BC ＝AF AB＝λ，当AE →·DF →＝0时，则λ的值为________．【答案】7－334 【解析】由AB ＝4，BC ＝CD ＝2，得AD →与BC →的夹角为60°，则AB →·AD→＝4×2×12＝4，AB →·BC →＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4，AD →·BC →＝2×2×12＝2.∵BE BC ＝AF AB ＝λ，∴BE →＝λBC →，AF →＝λAB →，则AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →，DF →＝AF →－AD →＝λAB →－AD →.∴AE →·DF →＝(AB →＋λBC →)·(λAB →－AD →)＝λ|AB →|2－AB →·AD →＋λ2AB →·BC →－λAD →·BC →＝0，即16λ－4－4λ2－2λ＝0，∴2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝7＋334(舍去)或λ＝7－334.。

空间向量的数量积运算（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知空间向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= ( )A.0B.2C.4D.83.(2013·天水高二检测)已知四边形ABCD满足:·>0,·>0,·>0,·>0,则该四边形为( )A.平行四边形B.梯形C.平面四边形D.空间四边形4.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是( )A. B. C.1 D.5.(2013·杭州高二检测)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC= 90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是( )A.45°B.60°C.90°D.120°二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·安阳高二检测)已知向量a与b的夹角是120°,且|a|=|b|=4,则b·(2a+b)= .7.如图所示,在几何体A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=1,CD=2,点E为CD的中点,则AE的长为.8.如图∠BAC=90°,等腰直角三角形ABC所在的平面与正方形ABDE所在的平面互相垂直,则异面直线AD与BC所成角的大小是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求的长.(2)求cos<,>的值.(3)求证:A1B⊥C1M.10.(2013·济南高二检测)如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,(1)求证:MN⊥CD.(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.11.(能力挑战题)如图所示,矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD上方),问BC边上是否存在点Q,使⊥?答案解析1.【解析】选A.a·b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|⇔cos<a,b>=1⇔<a,b>=0,即a,b 同向,故是充分条件;当a与b反向时,不能成立,不是必要条件.2.【解析】选B.|2a-b|====2,故选B.3.【解析】选D.由题意知,·<0,·<0,·<0,·<0,即四边形的四个内角均为钝角,所以该四边形为空间四边形.4.【解析】选D.=++∴=(++)2=+++2(·+·+·) 由题意知,||=||=||=1,·=||·||cos135°=1×1×(-)=-,·=·=0,∴2=3+2×(-)=3-,∴BD=.5.【解析】选B.设=a,=b,=c,|a|=|c|=1,则|b|=,=+=+=a+c,=+=-+=-a+b+c,∴·=(a+c)·(-a+b+c)=-a2+a·b+a·c-a·c+b·c+c2=-|a|2+a·b+b·c+|c|2=-+a·b+0+=a·b.由题意知,<a,b>=45°,∴a·b=|a||b|cos<a,b>=1××cos45°=1, ∴·=×1=,==,∴cos<,>===,∴cos<,>=60°,∴EF与BC1所成的角为60°.6.【解析】b·(2a+b)=2a·b+b2=2|a|·|b|cos120°+|b|2=2×4×4×(-)+42=0. 答案:07.【解析】=(++)2,=||2+||2+||2+2(·+·+·),由题意知,||=||=1=||,且·=·=·=0.∴=3,∴AE的长为.答案:【举一反三】若将题条件中“BC⊥CD”改为“∠BCD=120°”,其他条件不变,结果如何?【解析】由本题解答知,=||2+||2+||2+2(·+·+·), ∵||=||=1=||,·=·=0,·=||·||·cos<,>=1×1×cos60°=,∴=3+2×=4,故AE的长是2.答案:28.【解析】设正方形ABDE的边长为1,∵=+,=-,∴·=(+)·(-)=·-+·-·,=0-1+0-0=-1,||====,||====,∴cos<,>==-,∴<,>=120°,故AD与BC所成角为60°. 答案:60°9.【解析】(1)由题可知,BA=,BA⊥AN,∴=(+)2=+2·+=()2+2×0+12=3,∴BN=.即的长为.(2)∵=+,=+,∴·=(+)·(+) =·+·+·+·=||·||·cos135°+0+0+=×1×(-)+22=3,||===,||===,∴cos<,>===.(3)∵=+,=(+),∴·=(+)·(+)=(·+·+·+·) 由题意知,·=·=0,·=||·||·cos<,>=×1×cos135°=-1,·=||·||·cos<,>=×1×cos45°=1,∴·=×(-1+1)=0,∴⊥,即A1B⊥C1M.10.【证明】(1)设=a,=b,=c,则=++=+-=+-(++)=++--=(+)=(b+c),∴·=(b+c)·(-a)=-(a·b+a·c),∵四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,∴a⊥b,a⊥c,∴a·b=a·c=0,∴·=0,∴⊥,故MN⊥CD.(2)由(1)知,MN⊥CD,=(b+c),∵=-=b-c,∴·=(b+c)·(b-c)=(|b|2-|c|2),∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,又∠PDA=45°,∴PA=AD,∴|b|=|c|,∴·=0,∴⊥,∴MN⊥PD,∵CD,PD⊂平面PCD,且CD∩PD=D,∴MN⊥平面PCD.【拓展提升】巧用数量积证明垂直问题垂直问题有线线垂直、线面垂直、面面垂直三类问题,这三类问题通常会转化为线线垂直问题,证明线线垂直问题又转化为向量的数量积为0,具体方法是:(1)先确定两个向量为两直线的方向向量.(2)用已知向量(通常是三个已知向量,其模及其夹角已知)表示方向向量.(3)计算两个方向向量的数量积,通过线性运算、化简得出其数量积为0,得出两个方向向量垂直.(4)把向量垂直的结论转化为两直线垂直.11.【解题指南】由⊥得PQ⊥QD,在平面ABCD内,点Q在以AD为直径的圆上,此时需讨论AD与AB的大小关系,若此圆与BC相切或相交,则BC边上存在点Q,否则不存在.【解析】假设存在点Q(Q点在边BC上),使⊥,即PQ⊥QD,连接AQ.∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥QD.又=+且⊥,∴·=0,即·+·=0.又由·=0,∴·=0,∴⊥,∴∠AQD=90°,即点Q在以边AD为直径的圆上,圆的半径为.又∵AB=1,由图知,当=1,即a=2时,该圆与边BC相切,存在1个点Q满足题意; 当>1,即a>2时,该圆与边BC相交,存在2个点Q满足题意; 当<1,即a<2时,该圆与边BC相离,不存在点Q满足题意. 综上所述,当a≥2时,存在点Q;当0<a<2时,不存在点Q.关闭Word文档返回原板块高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

模块素养检测(二)（120分钟150分）一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.在四边形ABCD中，++= ()A。

B. C.D。

【解析】选D.在四边形ABCD中，++=++=+=。

2.（2019·全国卷Ⅰ）已知非零向量a,b满足｜a｜=2｜b｜,且(a-b）⊥b，则a与b的夹角为（）A. B. C. D.【解析】选B.设夹角为θ,因为(a-b)⊥b，所以（a—b)·b=a·b —b2=0,所以a·b=b2，所以cos θ===,又θ∈［0，π］,所以a与b的夹角为。

【补偿训练】若=1，=，且a⊥,则向量a，b的夹角为（）A.45°B。

60°C。

120°D。

135°【解析】选A。

由=1,=,且a⊥,得a·=0⇒a2=a·b=1，则cos <a,b〉==，又0°≤<a,b〉≤180°，得<a，b〉=45°,所以向量a，b的夹角为45°。

3.已知α∈（0,π），2sin α—cos α=1,则sin= （)A。

B. C。

D.【解析】选B。

由题得2sin α-1=cos α，所以4sin2α—4sin α+1=cos2α，所以4sin2α—4sin α+1=1—sin2α，所以5sin2α—4sin α=0,所以sin α=0(舍）或sin α=,所以cos α=，所以1-2sin2=，所以sin=.【补偿训练】已知sin =,则cos = （)A。

- B.— C. D.【解题指南】观察已知角与待求的角之间的特殊关系,运用余弦的二倍角公式和诱导公式求解。

【解析】选A。

令—α=θ,则—2α=2θ,+2α=π—2θ，所以cos 2θ=1—2sin 2θ=1—2×=，所以cos =cos =—cos 2θ=—。

课时跟踪检测（二） 空间向量的数量积运算1．[多选]下列各命题中，正确的命题是( )A．＝|a|B．m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)C．a·(b＋c)＝(b＋c)·aD．a2b＝b2a解析：选ABC　∵a·a＝|a|2，∴＝|a|，故A正确．m(λa)·b＝(mλa)·b＝mλa·b＝(mλ)a·b，故B正确．a·(b＋c)＝a·b＋a·c，(b＋c)·a＝b·a＋c·a＝a·b＋a·c＝a·(b＋c)，故C正确．a2·b＝|a|2·b，b2·a＝|b|2·a，故D不一定正确．2．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝k e1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )A．－6 B．6C．3 D．－3解析：选B　由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，∴(2e1＋3e2)·(k e1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD 的中点，则AE·AF的值为( )A．a2B．a2C．a2D．a2解析：选C　AE·AF＝(AB＋AC)·AD＝(AB·AD＋AC·AD)＝＝a2.4．已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱的长度都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是( )A．2 B．C． D．解析：选C　由于EF＝EA＋AA1＋A1F，所以|EF|＝＝＝，即EF的长是.5.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )A．6 B．6C．12 D．144解析：选C　因为PC＝PA＋AB＋BC，所以PC2＝PA2＋AB2＋BC2＋2PA·AB＋2PA·BC＋2AB·BC＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12.6．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________.解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.答案：227.如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，∠BAA1＝60°，E为棱C1D1的中点，则AB·AE＝________.解析：AE＝AA1＋AD＋AB，AB·AE＝AB·AA1＋AB·AD＋AB2＝4×3×cos 60°＋0＋×42＝14.答案：148．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是________．解析：a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e＝1－1×1×－2＝－，|a|＝＝＝＝＝，|b|＝＝＝＝＝.∴cos〈a，b〉＝＝＝－.∴〈a，b〉＝120°.答案：120°9.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.(1)求〈CE，AF〉的余弦值；C1E(2)求证：BD1⊥EF.解：(1)AF＝AD＋DF＝AD＋AA1，CE＝CC1＋C1E＝AA1＋CD＝AA1－AB.因为AB·AD＝0，AB·AA1＝0，AD·AA1＝0，所以CE·AF＝·＝.又|AF|＝|CE|＝，所以cos〈CE，AF〉＝.(2)证明：因为BD1＝BD＋DD1＝AD－AB＋AA1，EF＝ED1＋D1F＝－(AB＋AA1)，所以BD1·EF＝0，所以BD1⊥EF.即BD1⊥EF.10.如图，正四棱锥PABCD的各棱长都为a.(1)用向量法证明：BD⊥PC；(2)求|AC＋PC|的值．解：(1)证明：∵BD＝BC＋CD，∴BD·PC＝(BC＋CD)·PC＝BC·PC＋CD·PC＝|BC||PC|·cos 60°＋|CD||PC|cos 120°＝a2－a2＝0.∴BD⊥PC.(2)∵AC＋PC＝AB＋BC＋PC，∴|AC＋PC|2＝|AB|2＋|BC|2＋|PC|2＋2AB·BC＋2AB·PC＋2BC·PC＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2，∴|AC＋PC|＝a.1．[多选]在正方体ABCDA1B1C1D1中，则下列命题正确的是( )A．(AA1＋AD＋AB)2＝3AB2B．A1C·(A1B1－A1A)＝0C．AD1与A1B的夹角为60°D．正方体的体积为|AB·AA1·AD|解析：选AB　如图所示，(AA1＋AD＋AB)2＝(AA1＋A1D1＋D1C1)2＝AC12＝3AB2；A1C·(A1B1－A1A)＝A1C·AB1＝0；AD1与A1B的夹角是D1C与D1A夹角的补角，而D1C与D1A的夹角为60°，故AD1与A1B的夹角为120°；正方体的体积为|AB||AA1|| AD|.综上可知，A、B正确．2．设空间上有四个互异的点A，B，C，D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC是( )A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形解析：选B　因为DB＋DC－2DA＝(DB－DA)＋(DC－DA)＝AB＋AC，所以(AB＋AC)·(AB－AC)＝|AB|2－|AC|2＝0，所以|AB|＝|AC|，即△ABC是等腰三角形．3.如图，在长方体ABCDAB1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则B1C与A1P所成角的大小为________，B1C·A1P＝________.解析：法一：连接A1D，则∠PA1D就是B1C与A1P所成角．连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即B1C与A1P所成角的大小为60°.因此B1C·A1P＝××cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B1C·A1P＝(A1A＋)·＝AD2＝1.由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos〈B1C，A1P〉＝1，从而〈B1C，A1P〉＝60°.答案：60°　14.在四面体OABC中，各棱长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE 与BF所成角的余弦值．解：取OA＝a，OB＝b，OC＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b＝b·c＝c·a＝.又∵OE＝(a＋b)，BF＝c－b，∴OE·BF＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－|b|2＝－.又|OE|＝，|BF|＝，∴cos〈OE，BF〉＝＝－，∵异面直线夹角的范围为，∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为.5．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．解：∵∠ACD＝90°，∴AC·CD＝0，同理可得AC·BA＝0.∵AB与CD成60°角，∴〈BA，CD〉＝60°或〈BA，CD〉＝120°.又BD＝BA＋AC＋CD，∴|BD|2＝|BA|2＋|AC|2＋|CD|2＋2BA·AC＋2BA·CD＋2AC·CD＝3＋2×1×1×cos〈BA，CD〉．∴当〈BA，CD〉＝60°时，|BD|2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈BA，CD〉＝120°时，|BD|2＝2，此时B，D间的距离为.。

高三数学数量积及其应用试题答案及解析1.已知向量，.若向量的夹角为，则实数=（）A．B．C．0D．【答案】B【解析】因为所以解得，故选B.【考点】平面向量的数量积、模与夹角.2.设是非零向量，已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若，，则，故，故命题是假命题；若，则，故命题是真命题，由复合命题真假判断知，是真命题，选A．【考点】1、平面向量的数量积运算；2、向量共线．3.已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，．若，，则A．B．C．D．【答案】C．【解析】，，即①，同理可得②，①+②得，故选C．【考点】1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算．4.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)，若实数t满足(－t)·＝0，则t的值为()A．B．－C．D．－【答案】D【解析】由题设知＝(3,5)，＝(－2，－1)，则－t＝(3＋2t,5＋t)．由(－t)·＝0得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.5.若，，且，则与的夹角是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，即（其中为与的夹角），即，由于，解得，故选D.【考点】平面向量数量积6.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆C过点.（1）求椭圆C的方程；（2）点A为椭圆C的右顶点，过点作直线与椭圆C相交于E，F两点，直线AE,AF与直线分别交于不同的两点M,N，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题设知椭圆中心在原点，一个焦点坐标为，且过点，于是可设出其标准方程,并用待定系数法求出的值进而确定椭圆的方程.（2）当直线的斜率存在且不为零时，由题意可设直线的方程为，与椭圆方程联立组成方程组消去并结合韦达定理得到，据此可将化成关于的函数而求解.注意对直线的斜率不存在及斜率为零的情况，要单独说明.解：（1）抛物线的准线方程为： 1分设椭圆的方程为，则依题意得，解得，.所以椭圆的方程为. 3分（2）显然点.（1）当直线的斜率不存在时，不妨设点在轴上方，易得，，所以. 5分（2）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，,显然时，不符合题意.由得. 6分则. 7分直线，的方程分别为：，令，则.所以，. 9分所以. 11分因为，所以，所以，即.综上所述，的取值范围是. 13分【考点】1、椭圆的标准方程；2、抛物线的标准方程；3、直线与椭圆位置关系综合问题.7.对任意两个非零的平面向量α和β，定义.若两个非零的平面向量和，满足与的夹角，且和都在集合中，则=A．B．C．1D．【答案】D【解析】由条件知: ===,===,因为和都在集合中，且与的夹角，故可取,=得: =,故选D.【考点】本题是创新题,理解给定的信息是解决好本题的关键.8.在中,是的中点,(1) .(2)是的中点,是(包括边界)内任意一点,则的取值范围是 .【答案】（1）；（2）【解析】(1).以C为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，所以，,则；(2).设点，则，故，设，变形为，当直线分别过时，取到最大值和最小值，即，故的取值范围是．【考点】1、向量数量积运算；2、线性规划.9.若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为 ()A．0B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，即向量夹角为，选D.10.在直角三角形中，，，则__________．【答案】【解析】．【考点】向量的数量积．11.已知，与的夹角为.（1）；（2）若向量与垂直，则k的值为 .【答案】（1）1 （2）-5【解析】（1）.（2）∵向量与垂直，∴，∴，解得.【考点】向量的数量积、向量垂直的充要条件.12.已知四边形是边长为的正方形，若，，则的值为.已知四边形是边长为的正方形，若，，则的值为.【答案】.【解析】解法一：以点为坐标原点，、所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，所以，，因此；解法二：如下图所示，则，，所以.【考点】1.平面向量的线性表示；2.平面向量的数量积13.为边,为对角线的矩形中,,,则实数____________.【答案】4【解析】由题意，又，所以.【考点】垂直向量.14.在△ABC中，，则角A的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由可得.化简可得...所以.【考点】1.向量的数量积.2.三角不等式.3.归纳转化的数学思想.15.平面向量与的夹角为，，则_______.【答案】【解析】因为，则，所以.【考点】向量的数量积、向量的综合应用.16.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】C【解析】设a与b的夹角为θ,则(2a+b)·b=2a·b+b2="2|a||b|cos" θ+|b|2=|b|2(2cos θ+1)=0,又b为非零向量,∴2cos θ+1=0,∴cos θ=-,∴θ=120°.故选C.17.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)·c=30,则x等于()A．6B．5C．4D．3【答案】C【解析】∵8a-b=(6,3),∴(8a-b)·c=18+3x=30,x=4,故选C.18.已知向量与的夹角为,且,若,且,,则实数的值为( ）A．B．C．D．【答案】D【解析】得,选D【考点】向量内积垂直19.若函数f(x)＝2sin (－2＜x＜10)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则(＋)·＝________.【答案】32【解析】由题意知，点A(4,0)，根据三角函数的图象，点B、C关于点A对称，设B(x1，y1)，则C(8－x1，－y1)．故(＋)·＝8×4＝32.20.如图，在直角三角形ABC中，AC＝，BC＝1，点M，N分别是AB，BC的中点，点P 是△ABC(包括边界)内任一点，则·的取值范围为________．【答案】【解析】以点C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，建立如图所示直角坐标系，设P(x，y)，则由题可知B(1,0)，A(0，)，N，M，所以＝，＝，所以·＝－－y＋＝－y＋，直线AB的方程为x＋y－＝0.由题可知由线性规划知识可知，当直线－y＋－z＝0过点A时有最小值－，过点B时有最大值.21.已知向量函数的第个零点记作（从小到大依次计数），所有组成数列．（1）求函数的值域；（2）若，求数列的前100项和.【答案】（1）;（2）【解析】（1）根据题意向量函数.通过向量的坐标形式的数量积公式，以及三角函数的化一公式，可得函数的关于x的解析式.（2）由及（1）可得.因为第个零点记作.也就是的对应的x的值从小排到大的一列数.根据图像的对称性可得两个相邻的和为.所以即可求得结论.试题解析：（1）所以函数的值域为（2）由得所以或因此【考点】1.三角形函数的化一公式.2.向量的数量积.3.数列的求和.4.对称的知识.22. A，B是半径为1的圆O上两点，且∠AOB＝．若点C是圆O上任意一点，则▪的取值范围为．【答案】【解析】根据题意可得，则，由，得：，可求得．【考点】向量的数量积23.如图，在底角为的等腰梯形中，已知，分别为，的中点.设，.(1)试用，表示，；(2)若，试求的值.【答案】(1)，；（2）.【解析】(1) 利用平面向量的加法和减法的运算法则进行计算，用已知量表示未知量，注意向量的方向的变化；（2）要求，就要找到向量，的模及其数量积，先求出向量的模，再根据向量的性质进行计算.试题解析：(1)因为，，，分别为，的中点，所以； 3分. 6分（2），, ，所以, 8分那么. 12分【考点】1、平面向量的模及数量积；2、平面向量的加减混合运算.24.对正整数，有抛物线，过任作直线交抛物线于，两点，设数列中，，且，则数列的前项和( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线方程为，代入抛物线方程得，设，则①，由根与系数的关系得，，代入①式得，故（），故数列的前项和.【考点】1、直线的方程；2、方程的根与系数的关系；3、平面向量的数量积.25.已知向量 .【答案】-3【解析】依题意，，又易知，，.【考点】数量积的坐标表示26.已知正三角形的边长为，点是边上的动点，点是边上的动点，且，,则的最大值为A．B．C．D．【答案】D【解析】，，而，,，，故当时，取最大值.【考点】平面向量的减法、平面向量的数量积、二次函数27.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b= mq－np，下面说法错误的是（）A．若a与b共线，则a⊙b =0B．a⊙b =b⊙aC．对任意的R，有（a）⊙b =（a⊙b）D．（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2【答案】B【解析】对于A．若a与b共线，则a⊙b = mq－np =0，成立，对于B．a⊙b =b⊙a不成立，对于C．对任意的R，有（a）⊙b =（a⊙b）成立，对于D．（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2成立，故选B.【考点】向量的数量积点评：主要是考查了向量的数量积，属于基础题。

6.3.2 平面向量数量积的坐标表示（精练）【题组一 数量积的坐标运算】1．（2021·深圳市龙岗区）已知向量()1,3a =-，()5,4b =-，则⋅=a b （ ） A ．15 B ．16C ．17D ．18【答案】C【解析】因为向量()1,3a =-，()5,4b =-，所以()()153417a b ⋅=-⨯-+⨯=，故选：C 2．（2020·广东高一期末）若(1,2),(2,3)=-=a b 则(2b)b a -⋅=（ ） A ．-5 B ．5C ．-6D ．6【答案】A【解析】因为(1,2),(2,3)=-=a b ，所以(2b)b a -⋅=(4,1)(2,3)42135-⋅=-⨯+⨯=-.故选：A.3．（2020·湖北高一期末）已知向量()4,5a =，()22,11a b -=-，则向量a 在向量b 方向上的投影为（ ）A ．1B ．2-C ．2D ．-1【答案】B【解析】由题意，()4,5a =，()22,11a b -=-，可得()26,6b -=-，则()3,3b =-，所以43353a b ⋅=⨯-⨯=-，()233b =+-=所以向量a 在向量b 方向上的投影为3232a b b⋅-==-.故选：B.4．（2020·湖北武汉市·高一期末）已知()1,2A -，()4,1B-，()3,2C ，则cos BAC ∠=（ ）A ．10-B ．10C ．2-D ．2【答案】D【解析】由已知得()3,1AB =，()2,4AC =，∴cos cos ,23AB AC BAC AB AC AB AC⋅∠====.故选：D. 5．（2020·安徽合肥市·高一期末）已知点()1,1A -，()1,2B ，()2,1C --，()3,4D ，则向量CD →在BA→方向上的投影是（ ） A．- B．2-C．D．2【答案】A【解析】由题可知，(1,1)A -，(1,2)B ，(2,1)C --，(3,4)D ，所以(2,1)BA →=--，(5,5)CD →=， 则向量CD →在BA →方向上的投影是||BA CD BA →→→⋅==-故选：A.6．（2020·四川内江市）已知向量(1,2)a =，(,4)b x =，(2,)c y =，若//a b ，a c ⊥，则()b a c ⋅-=（ ） A ．14 B ．-14C ．10D ．6【答案】C【解析】向量(1,2)a =，(,4)b x =，(2,)c y =，//a b ，可得142x ⨯=，解得2x =，(2,4)b =，a c ⊥，可得1220y ⨯+=，解得1y =-，(1,3)a c -=-，则()21210b a c -=-+=．故选：C ．7．（2020·山东聊城市·高一期末）向量(1,3)a =，(3,1)b =，则向量a b +与a b -的夹角为（ ） A ．12πB ．6πC ．3π D ．2π 【答案】D【解析】设θ为a b +与a b -的夹角，(1,3)a =，(3,1)b =，则1+31+a b +=（，，131a b -=（-，）||=6a b ++||6a b -=-又()()0cos 04a b a b a b a bθ+⋅-===+-，0,2πθπθ≤≤∴=. 故选：D .8．（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知向量(1,2)a =，(,4)a b m +=，若a b ⊥ ，则m =（ ） A ．3- B ．2-C ．2D ．3【答案】A【解析】()()(,4)1,2(1,2)b a b a m m =+-=-=-，因为a b ⊥，所以()112230a b m m ⋅=-⨯+⨯=+=，解得：3m =-，故选：A9．（2020·全国高一课时练习）设(3,4)a =，a b ⊥且b 在x 轴上的投影为2，则b =（ ） A ．8(2,)3B ．3(2,)2-C ．8(2,)3-D ．3(2,)2-【答案】B【解析】由题意，向量b 在x 轴上的投影为2，可设(2,)b y =， 因为a b ⊥，可得2340a b y ⋅=⨯+=，解得32y =-，所以3(2,)2b =-.故选：B. 10．（2021·江苏高一）已知平面向量(1,)a m =，()0,2b =，若(3)b a mb ⊥-，则实数m =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】因为(3)b a mb ⊥-，所以(3)0b a mb ⋅-=，即23a b mb ⋅=，又(1,)a m =，()0,2b =，故324m m ⨯=，解得0m =.故选：B.11．（2020·全国高一）已知向量()()126,,3,2e e λ==-，若12,e e 为钝角，则λ的范围是（ ） A ．(,9)-∞ B ．(9,)+∞C ．(,4)(4,9)-∞⋃D ．(,4)(4,9)-∞-⋃-【答案】D【解析】12,e e 为钝角，∴12·0e e <且12,e e 不共线，∴18201230λλ-+<⎧⎨+≠⎩，解得9λ<且4λ≠-， λ∴的范围是(-∞，4)(4-⋃-，9).故选：D.12．（多选）（2021·江苏高一）已知向量(),3a m =，()2,4b =-，若()a b a +⊥，则（ ） A ．1m =或3m =- B ．1m =-或3m = C ．2a b +=或10a b += D ．2a b +=或26a b +=【答案】AC【解析】因为向量(),3a m =，()2,4b =-，所以()2,1b m a +=+-，若()a b a +⊥，则()()2130m m +⨯+-⨯=，即2230m m +-=，解得1m =或3m =-， 故A 正确，B 错；当3m =-时，(b m a +=+=当1m =时，(a b m +=+=故C 正确，D 错.故选：AC.13．（多选）（2020·全国高一）设向量()2,0a =，()1,1b =，则（ ） A ．a b = B ．()//a b b - C ．()a b b -⊥ D ．a 与b 的夹角为π4【答案】CD【解析】因为()2,0a =，()1,1b =， 所以2,2a b ==，所以a b ≠，故A 错误； 因为()2,0a =，()1,1b =，所以()()=1,1a b --，又()1,1b =， 则1111⨯≠-⨯，所以()a b -与b 不平行，故B 错误； 又()110a b b -⋅=-=，故C 正确；又2cos ,222a b a b a b⋅<>===⋅， 又a 与b 的夹角范围是[]0,π， 所以a 与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD.14．（2020·全国高一）已知向量()1,2a =-，()4,3b =，22c =.若a 与()b c -垂直，则向量a 与c 的夹角的余弦值是______.【答案】10-【解析】由已知14(2)32a b ⋅=⨯+-⨯=-，5a =，∵a 与()b c -垂直，∴()0a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅=，∴2a c a b ⋅=⋅=-，∴2cos 105a c a c a c⋅-<⋅>===-⨯．15．（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学）已知向量()1,2a =，与向量(),1b x = （1）当x 为何值时，a b ⊥；（2）当3x =为何值时，求向量a 与向量b 的夹角； （3）求2b a -的最小值以及取得最小值时向量b 的坐标． 【答案】（1）2x =-；（2）4π；（3）最小值3，(2,1)=b ． 【解析】（1）20a b x ⋅=+=，2x =-，所以2x =-时，a b ⊥；（2）由题意(3,1)b =，3cos ,25a b a b a b⋅+<>===⨯,4a b π<>=；（3）由已知2(2,3)b a x -=--， 所以2(2)b a x -=-2x =时，2b a -取得最小值3，此时(2,1)=b ．【题组二 巧建坐标解数量积】1．（2020·安徽省亳州市第十八中学高一期中）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，点P 为CD 的中点，点Q 在BC 上，且2BQ =．（1）求AP AQ ⋅；（2）若AC AP AQ λμ=+（λ，μ∈R ），求λμ的值.【答案】（1）14；（2）23λμ=. 【解析】如图，分别以边AB ，AD 所在的直线为x 轴，y 轴， 点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,3P ，()4,0B ，()4,3C ，()4,2Q .（1）∵()2,3AP =，()4,2AQ =，∴243214AP AQ ⋅=⨯+⨯=. （2）∵()4,3AC =，()2,3AP =，()4,2AQ =，由AC AP AQ λμ=+，得()()4,324,32λμλμ=++，∴244,323,λμλμ+=⎧⎨+=⎩解得1,23,4λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴23λμ=.2．（2020·江西高一期末）如图，在ABC 中，已知2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，D 为线段BC 中点，E 为线段AD 中点.（1）求AD BC ⋅的值；（2）求EB ，EC 夹角的余弦值.【答案】（1）6；（2. 【解析】（1）依题意可知ABC为直角三角形，BC =则(0,0)B ，(0,2)A，C ， 因为D 为BC的中点，故D ，∴()3,2AD =-，()2BC =，∴36AD BC ⋅=⨯=.（2）由E 为线段AD 中点可知2E ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，∴12EB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，312EC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴cos ,||||EB ECEB EC EB EC ⋅<>=11-⨯+⨯==3．（2020·河北邢台市·高一期中）如图，扇形OAB的圆心角为90︒，2OA =，点M 为线段OA 的中点，点N 为弧AB 上任意一点.（1）若30BON ∠=︒，试用向量OA ，OB 表示向量ON ； （2）求MB ON ⋅的取值范围. 【答案】（1）1322ON OA OB =+；（2）[]2,4-. 【解析】（1）如图，以O 为坐标原点，建立直角坐标系xOy ， 则()0,0O ，()0,2A ，()2,0B ，)N，所以()0,2OA =，()2,0OB =，()3,1ON =.设ON xOA yOB=+，则212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1322ON OA OB =+. （2）设()0θ90BON θ∠=︒≤≤︒，则()2cos ,2sin N θθ，()0,1M ， 则()2,1MB =-，()2cos ,2sin ON θθ=， 所以()4cos 2sin MB ON θθθϕ⋅=-=+， 其中cos 5ϕ=，sin 5ϕ=（ϕ为锐角）. 因为090θ︒≤≤︒，所以90ϕθϕϕ≤+=+︒， 则()maxcos cos 5θϕϕ+==，()()mincos cos 90sin 5θϕϕϕ+=︒+=-=-，所以MBON ⋅的取值范围为[]2,4-.【题组三 数量积与三角函数综合运用】1．（2020·河南安阳市·林州一中高一月考）已知向量(4sin ,1cos ),(1,2)a b αα=-=-,若2a b ⋅=-,则22sin cos 2sin cos αααα=-( ) A ．1 B ．1-C ．27-D ．12-【答案】A【解析】由2a b ⋅=-，得4sin 2(1cos )2αα--=-，整理得1tan 2α=-，所以2221sin cos tan 2112sin cos 2tan 112αααααα-===---，故选：A . 2．（2020·辽宁高一期末）已知向量()1,cos2a x =，(sin 2b x =，将函数()f x a b =⋅的图象沿x 轴向左平移ϕ()0ϕ>个单位后，得到的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．12πB ．6πC ．512π D ．3π 【答案】D【解析】()sin 222sin 23f x a b x x x π=⋅⎛⎫==+⎪⎝⎭， 将函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位，得到()2sin 22sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 该函数的图象关于原点对称，∴该函数是奇函数，23k πϕπ∴+=，k Z ∈，62k ππϕ∴=-+，k Z ∈，又0ϕ>，min 3πϕ∴=.故选：D .3．（2020·陕西宝鸡市·高一期末）已知α是锐角，3(,sin )2a α=，1(,2cos )3b α=-，且a b ⊥，则α为（ ） A ．15° B ．45°C ．75°D ．15°或75°【答案】D【解析】a b ⊥，3(,sin )2a α=，1(,2cos )3b α=-，112sin cos 0sin 222a b ααα∴⋅=-=⇒=，又()0,90α∈，则20,180α，230α∴=或150，解得α=15°或75°.故选：D4．（2020·辽宁大连市·）已知向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,cos b α=，若a b ⊥，则3cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13- B ．13C ．D 【答案】A【解析】若a b ⊥，则1tan cos 03a b αα⋅=+⋅=，即1sin 3α=-， 所以31cos sin 23παα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭.故选：A 5．（2020·陕西宝鸡市·高一期末）已知向量(sin 70,cos 70)a =，(cos80,sin 80)b =，则a b +的值为（ ）A ．1 BC ．2D ．4【答案】B 【解析】(sin 70,cos 70)a =，(cos80,sin 80)b =(sin 701a ∴==，(cos801b ==，1sin 70cos80cos70sin80sin1502a b ， ()22223a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=.故选：B.6．（2020·泰兴市第二高级中学高一期末）已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<. （1）求向量a b +与a b -所成的夹角； （2）若k a b +与a k b -的模相等，求2αβ-的值（k 为非零的常数）.【答案】（1）90；（2）4π-. 【解析】（1）由已知得：1a b ==，则：()()22·0a b a b a b +-=-=，因此：()()a b a b +⊥-，因此，向量a b +与a b -所成的夹角为90；（2）由(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，可得()cos cos ,sin sin k a b k k αβαβ+=++，()cos cos ,sin sin a k b k k αβαβ-=--，(cos ka b k +=，(cos a kb α-=∴=整理可得：()()222cos 112cos k k k k βαβα+-+=--+，即：()4cos 0k βα-=，0k ≠ ， ()cos 0βα∴-=，即()cos 0αβ-=，00αβππαβ<<<∴-<-<，因此：2παβ-=-，即：24αβπ-=-.7．（2020·株洲市南方中学高一期末）已知向量()2sin ,1a α=，()1,cos b α=. （1）若角α的终边过点()3,4，求a b ⋅的值； （2）//a b ，且角α为锐角，求角α的大小； 【答案】（1）115；（2）4π．【解析】（1）角α的终边过点()3,4，点(3,4)到原点距离为5r ==，∴4sin 5α，3cos 5α=， ∴43112sin cos 2555a b αα⋅=+=⨯+=； （2）∵//a b ，∴2sin cos 10αα-=，sin21α=，又α为锐角，∴22πα=，∴4πα=．8．（2020·林芝市第二高级中学高一期末）在平面直角坐标系xoy中，已知向量2(,22m =-，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈．（1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 【答案】（1）tan 1x =（2）512π． 【解析】（1）∵m n ⊥，∴0mn ⋅=0x x -=，∴tan 1x =． （2）∵m 与n 的夹角为3π，∴2cos 122cos ,112x x m n m n m n -⋅<>===⨯||||，故1sin()42x π-=， 又(0,)2x π∈，∴(,)444πππ-∈-x ，46x ππ∴-=，即512x π=．故x 的值为512π． 9．（2020·广西桂林市·高一期末）已知向量(sin ,1)m x =-，向量13cos ,2n x ⎛⎫= ⎪⎭，函数()()f x m n m =+⋅.（1）求()f x 的最小正周期T 及其图象的对称轴的方程； （2）若方程()0f x t -=在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）π，23k x ππ=+，k z ∈；（2）3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）∵(sin ,1)m x =-，13cos ,2n x ⎛⎫= ⎪⎭，∴1sin ,2m n x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，可得1()()sin (sin )2f x m n m x x x =+⋅=+21sin cos 2x x x =+∵21sin (1cos 2)2x x =-，1sin cos sin 22x x x =∴11()(1cos 2)2sin 212226f x x x x π⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭ 因此，()f x 的最小正周期22T ππ==. ∵262x k πππ-=+，k z ∈，∴对称轴方程为23k x ππ=+，k z ∈. （2）∵,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ∵方程()0f x t -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解， ∴()f x t =在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，即得实数t 的取值范围为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 10．（2020·甘肃白银市·高一期末）设向量()3cos ,2sin a θθ=-． （1）当43θπ=时，求a 的值： （2）若()3,1b =-，且//a b，求22cos 124θπθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1；（2）23．【解析】（1）43θπ=，所以4433cos ,2sin ,332a ππ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎝⎭⎝，所以2322a ⎛⎫==⎪； （2）//a b ，则3cos 32sin 0θθ-+⨯=，所以1tan 2θ=，故22cos 1cos 122sin cos tan 134θθπθθθθ-===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭．11．（2020·湖北荆门外语学校高一期中）已知向量()2sin ,cos a m x x =，()sin cos ,4sin b x x m x =+-，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（1）若//a b ，tan 2x =-，求实数m 的值；（2）记()f x a b =⋅，若()1f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）±（2）(,1]-∞. 【解析】（1）∵//a b ，∴ 228sin cos (sin cos )m x x x x -=+，整理得：228tan tan 1m x x =-- ∵tan 2x =-，2321m =，解得：m = （2）∵()f x a b =⋅，()2sin ,cos a m x x =，()sin cos ,4sin b x x m x =+-， ∴()2sin (sin cos )4sin cos f x m x x x x x =+-22sin 2sin cos m x m x x =- (1cos 2)sin 2m x m x =-- (sin 2cos2)m m x x =-+sin(2)4m x π=+∵(,0)2x π∈-，∴32444x πππ-<+<，∴1sin(2)42x π-≤+<，∴01)14x π<+≤若()sin(2)14f x m x π=+≤恒成立，则11)4m x π≤+恒成立，又∵111)4x π≥=+，∴1m ≤，故实数m的取值范围为(,1]-∞.12．（2020·山西朔州市·应县一中高一期中（理））已知()sin ,cos a x x ωω=，()sin ,2sin cos b x x x ωωω=-，()0,4ω∈，若()2f x a b =⋅其图像关于点,08M π⎛⎫⎪⎝⎭对称（1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间； （3）当a b ⊥时，求x 的值. 【答案】（1）()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增区间是30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，减区间是3,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）28k x ππ=+，k Z ∈. 【解析】（1）()sin ,cos a x x ωω=，()sin ,2sin cos b x x x ωωω=- ∴()2222sin4sin cos 2cos f x a b x x x x ωωωω=⋅=+-2sin22cos2x x ωω=-24x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭∵()f x 的图象关于点,08M π⎛⎫⎪⎝⎭对称 ∴284k ππωπ⋅-=，k Z ∈即41k ω=+，k Z ∈∵()0,4ω∈ ∴1ω=∴()24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）()24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为： ()()322224288k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤-≤+∈⇒-≤≤+∈； 单调递减区间为：()()33722224288k x k k Z k x k k Z πππππππππ+≤-≤+∈⇒+≤≤+∈； 所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增区间是30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，减区间是3,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （3）∵a b ⊥∴()222sin 204f x a b x π⎛⎫=⋅=-= ⎪⎝⎭即24x k ππ-=，k Z ∈ 解得28k x ππ=+，k Z ∈13．（2020·广东高一期末）已知向量(1,2cos ),3sin ,0,23π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭a x b x x . （1）若//a b ，求tan2x 的值；（2）若f （x ）＝a •b ，则函数f （x ）的值域．【答案】（1（2）【解析】（1）因为//a b ，所以cos 0x x -=，所以1sin 22x =，因为03x π<<，所以2023x π<<，所以26x π=，所以tan 2tan63x π==.（2）()f x a b =⋅=2cos 2x x x x+⨯=+)4x π=+， 因为03x π<<，所以74412x πππ<+<，所以sin(),1]42x π+∈，所以()f x ∈.14．（2021·广东湛江）已知向量33cossin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，cos sin()22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，且0.2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（1）求a b 及a b +的值；（2）若()·2f x a b a b λ=-+的最小值是32-，求实数λ的值． 【答案】（1）·cos 2a b x =，2cos a b x +=，（2）12λ= 【解析】（1）因为向量33cossin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，cos sin()22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，所以33·cos cos sin sin cos 22222x x x xa b x =-=， 33cos cos ,sin sin 2222x x x x a b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，所以(cosa b +===因为02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以cos 0x >， 所以2cos a b x +=，（2）由（1）可得()2·2cos 24cos 2cos 4cos 1f x a b a b x x x x λλλ=-+=-=--， 令cos t x =，则[0,1]t ∈，令2()241g t t t λ=--，其图像的对称轴为直线44t λλ-=-=， 则问题转化为当λ为何值时，函数2()241g t t t λ=--在[0,1]t ∈上有最小值32-， ①当0λ≤时，则函数()g t 在[0,1]上递增，最小值为3(0)12g =-≠-，不合题意，舍去， ②01λ<<时，则函数()g t 在[0,]λ上递减，在[,1]λ上递增，则最小值为23()212g λλ=--=-，解得12λ=或12λ=-（舍去）， ③当1λ≥时，则函数()g t 在[0,1]上递减，最小值为3(1)142g λ=-=-，解得58λ=，不合题意，舍去，综上，12λ=【题组四 数量积与几何综合运用】1．（2020·全国高一课时练习）一个平行四边形的三个顶点坐标分别是()5,7、()3,5-、()3,4，则第四个顶点的坐标不可能是（ ） A ．()1,8- B ．()5,2-C ．()11,6D ．()5,2【答案】D【解析】设点()5,7A 、()3,5B -、()3,4C ，设第四个顶点为(),D x y ，分以下三种情况讨论： ①若四边形ABDC 为平行四边形，则AC BD =，即()()2,33,5x y --=+-，即3253x y +=-⎧⎨-=-⎩，解得52x y =-⎧⎨=⎩，此时，点D 的坐标为()5,2-；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AD BC =，则()()5,76,1x y --=-， 即5671x y -=⎧⎨-=-⎩，解得116x y =⎧⎨=⎩，此时，点D 的坐标为()11,6；③若四边形ACBD 为平行四边形，则AD CB =，即()()5,76,1x y --=-，即5671x y -=-⎧⎨-=⎩，解得18x y =-⎧⎨=⎩，此时，点D 的坐标为()1,8-.综上所述，第四个顶点的坐标为()11,6或()5,2-或()1,8-，所以不可能是()5,2，故选：D. 2．（2020·辽宁）已知向量．（1）若ΔABC 为直角三角形，且∠B 为直角，求实数λ的值． （2）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数λ应满足的条件 ． 【答案】（1）λ=2；（2）λ≠−2． 【解析】∵即：−7(6−λ)+7(3λ−2)=0,∴λ=2（2）∵若点A 、B 、C 能构成三角形，则A 、B 、C 不共线 ∴−7(3λ−2)≠7(6−λ) ∴实数λ应满足的条件 是λ≠−23．（2021·重庆市）已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC x y =-=-=---,(4,1)OD =． （1）若四边形ABCD 是平行四边形，求,x y 的值；（2）若ABC ∆为等腰直角三角形，且B ∠为直角，求,x y 的值． 【答案】（1）2,5x y =-=-；（2）0{3x y ==-或2{3x y =-=．【解析】（1）(1,5)AD =，(1,)BC x y =---，由AD BC =得x=-2,y=-5． （2）(3,1),AB =(1,)BC x y =---，若B ∠为直角，则AB BC ⊥， ∴3(1)0x y ---=，又AB BC =，∴22(1)10x y ++=，再由3(1)y x =--，解得0{3x y ==-或2{3x y =-=．4．（2020·浙江温州市·高一期末）已知平面上三点,,A B C ，()2,3BC k =-，()2,4AC =. （1）若BC AC =，求实数k 的值.（2）若ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，求实数k 的值.【答案】（1）2k =（2）2k =-【解析】（1）由于BC AC =，则=解得2k =.（2）(),1AB AC BC k =-= 由题意得A 为直角，则•0AB AC =. 即240k +=，故2k =-.5．（2020·山西朔州市·应县一中高一期中（文））已知向量OA =()3,4-,OB =()6,3-,OC =()5,3m m ---,O 为坐标原点.（1）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值； （2）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件. 【答案】（1）74m =；（2）12m ≠ 【解析】（1）因为OA =()3,4-，OB =()6,3-，OC =()5,3m m ---， 所以(3,1)AB OB OA =-=，(2,1)AC OC OA m m =-=--， 若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB AC ⊥， ∴3（2﹣m ）+（1﹣m ）＝0，解得74m =． （2）若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线， 得3（1﹣m ）≠2﹣m ，∴实数12m ≠时，满足条件． 6．（2020·广东云浮市·高一期末）（1）已知向量a ，b 满足5a =，()1,2b =，且//a b ，求a 的坐标． （2）已知()1,4A --、()5,2B 、()3,4C ，判断并证明以A ，B ，C 为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．【答案】（1）()1,2a =或()1,2a =--；（2）ABC 为直角三角形，B 为直角，证明见解析. 【解析】（1）设(),a x y =，则225x y +=，又//a b ，所以20x y -=，联立2252x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩． 于是()1,2a =或()1,2a =--．（2）ABC 是直角三角形，B 为直角．证明如下：∵()()()1,45,26,6BA =---=--，()()()3,45,22,2BC =-=-，∴()()62620BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=，∴BA BC ⊥，即ABC 为直角三角形，B 为直角．7．（2020·湖北襄阳市·襄阳五中高一月考）已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC x y =-+，(4,1)OD =--．（Ⅰ）若四边形ABCD 是平行四边形，求x ，y 的值；（Ⅱ）若ABC ∆为等腰直角三角形，且B 为直角，求x ，y 的值．【答案】（Ⅰ）2,5--；（Ⅱ）03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩． 【解析】（Ⅰ）(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC x y =-+，∴(1,5)AD =--，(1,)BC x y =+，由AD BC =，2x =-，5y =-； （Ⅱ）(3,1)AB =--，(1,)BC x y =+，B ∠为直角，则AB BC ⊥，3(1)0x y ∴-+-=，又||||AB BC =，22(1)10x y ∴++=，再由3(1)y x =-+，解得：03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩．。

【平面向量的数量积、正余弦定理测试题】1．下列各式中正确的是（ C ）（1）(λ·a ) ·b =λ·(a b )=a · (λb ), （2）|a ·b |=|a |·|b |,（3）(a ·b )· c =a · (b ·c ), （4）(a +b ) · c = a ·c +b ·c A ．（1）（3）B ．（2）（4） C ．（1）（4）D ．以上都不对.2．O 是ABC ∆所在的平面内的一点，且满足()()0OB OC OC OA -⋅-=，则ABC ∆一定为（ C ）三角形A ．正B ．等腰直角C ．直角D ．斜 3．设|a |= 4,|b |= 3, 夹角为60°, 则|a+b |=（ C ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 4．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ D ） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b=2 ,∠A=30° C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45° 5．在△ABC 中“a>b ”是“sin A <sin B ”的（ C ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6．已知A(2,1),B(3,2),C(－1,4),则ΔABC 是（ B ） A ．锐角ΔB ．Rt ΔC ．钝角ΔD ．任意Δ7．已知|a |=1,|b |=2 ,且(a －b )和a 垂直,则a 与b 的夹角为（ D ）A ．60°B ．30°C ．135°D ．45°8．两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南偏东60°,则A,B 之间的相距（A ）A ．a (km)B ．3a(km)C ．2a(km)D ．2a (km) 9．在ABCD 中,已知|AB|=4,|AD|=3,∠DAB=60°,则AD BC ⋅==__9__ ,AB DA ⋅=__-6___.10．已知a=(2,3) ,b =(－4,7) ,则a ·b= 13 ；a 在b 方向上的投影为511．已知a =(2,1) , b =(3,x), 若(2a －b )⊥b ,则x= －1或3 ，(2a －b )∥b ，则x= 3212．已知a =(2,－1), b =(λ,3).若a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是__32λ<，且6-≠λ. 13．设a =(m+1)i －3j, b =i +(m －1)j , (a +b ) ⊥(a －b ), 则m=___-2___.14．把y=log 3(x+3)－6的图象,按向量a 平移,得到函数y=log 3x 的图象,则a = ____.（3，6）215．ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 60°或120°16．若A(4,2)、B(－6,－4)、C(x,－254)三点共线,则C 点分AB 的比λ=_4_ _, x= _ __-4_ 17．A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是___钝角___三角形.18．在∆ABC 中，已知sin A :sin B :sin C =3:5:7，则∆ABC 最大角的值是_ 120︒； 19．在ΔABC 中，若S ΔABC =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______.4π20．ABC ∆中，(2,AB =，(3,1)AC =，则∠A=30° ，ABC ∆的面积为221．在ΔABC 中, B=60°,b 2=ac ，则△ABC 为等边 三角形ac ac c a ac b c a ac b c a =-+⇒=-+⇒-+=︒22222222212260cos 0)(2=-∴c a ， c a =∴. 由a=c 及B=60°可知△ABC 为等边三角形.22．[2004年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第11题，文科数学第12题]．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b =31+ 23．若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, ΔABC 的形状是 等边三角形 24． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.54cos =A （I ）求A CB 2cos 2sin 2++的值; （Ⅱ）若b =2，△ABC 的面积S=3，求a .解：（I ）A C B A C B 2cos 2)cos(12cos 2sin 2++-=++……2分=1cos 22cos 12-++A A……………………4分=5059…………………………………6分 （Ⅱ）∵,53sin ,54cos =∴=A A …………………7分由.5,532213:sin 21=⨯⨯=⨯=∆c c A bc S ABC 解得得………9分由余弦定理a 2=b 2+c 2－2bccosA 可得： 13545222542=⨯⨯⨯-+=a ………………11分 13=∴a .…………………………………12分25．（2004年江苏高考数学第16题）平面向量a ，b 中，已知a =(4，-3)，b =1，且a ·b =5，则向量b =__________.)53,54(- 26．（2004年福建高考数学·理工第8题，文史第8题）已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（B）A ．6πB ．3π C ．32π D ．65π 27．(2004年广东高考数学第1题)已知平面向量a =（3，1），b =（x ，–3），且a b ⊥，则x= （ C ）A ．－3B ．－1C ．1D ．328．（2004年天津高考数学·理工第3题，文史第4题）若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是︒180，且53||=，则=A A. )6,3(-B. )6,3(-C. )3,6(-D. )3,6(-29．（2004年天津高考数学·文史第14题）已知向量)1,1(=，)3,2(-=，若k 2-与垂直，则实数k 等于 -1 。

向量的数量积判断向量的共线与垂直一．选择题（共13小题）1．设x，y∈R，向量＝（x，1，1），＝（1，y，1），＝（2，﹣4，2），且⊥，∥，则|+|＝（）A．B．C．3D．42．已知空间向量＝（1，n，2），＝（﹣2，1，2），若2﹣与垂直，则||等于（）A．B．C．D．3．向量＝（2，1，x），＝（2，y，﹣1），若||＝，且⊥，则x+y的值为（）A．﹣1B．1C．﹣4D．44．已知＝（x，﹣4，2），＝（3，y，﹣5），若⊥，则x2+y2的取值范围为（）A．[2，+∞）B．[3，+∞）C．[4，+∞）D．[5，+∞）5．向量，若，且，则x+y的值为（）A．﹣1B．1C．﹣4D．46．已知空间向量＝（﹣1，2，3），＝（3，﹣2，x），若⊥，则x的值为（）A．B．C．D．7．已知，分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则k＝（）A．﹣2B．﹣1C．D．28．已知，若，则实数λ的值为（）A．﹣2B．C．D．29．已知＝（2，﹣4，2），＝（1，a，1），且⊥，则a＝（）A．﹣3B．﹣2C．1D．210．向量＝（﹣2，﹣3，1），＝（2，0，4），＝（﹣4，﹣6，2），下列结论正确的是（）A．∥，⊥B．∥，⊥C．∥，⊥D．以上都不对11．已知向量＝（0，1，1），＝（1，0，0），若向量k+与﹣互相垂直，k的值是（）A．B．﹣1C．D．112．已知向量＝（1，2，﹣1），则下列向量与垂直的是（）A．（0，0，1）B．（﹣2，1，0）C．（1，1，2）D．（4，﹣1，1）13．已知直线l1的方向向量＝（2，4，x），直线l2的方向向量＝（2，y，2），若||＝6，且⊥，则x+y的值是（）A．﹣3或1B．3或﹣1C．﹣3D．1二．多选题（共2小题）（多选）14．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝（2，﹣1，﹣4），＝（4，2，0），＝（﹣1，2，﹣1）．下列结论正确的有（）A．AP⊥ABB．AP⊥ADC．是平面ABCD的一个法向量D．∥（多选）15．下列利用方向向量、法向量判断线线、线面、面面位置关系的结论中，正确的是（）A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是＝（2，3，﹣1），＝（﹣2，﹣3，1），则l1∥l2B．直线l的方向向量＝（1，﹣1，2），平面α的法向量是＝（6，4，﹣1），则l⊥αC．两个不同的平面α，β的法向量分别是＝（2，2，﹣1），＝（﹣3，4，2），则α⊥βD．直线l的方向向量＝（0，3，0），平面α的法向量是＝（0，﹣5，0），则l∥α三．填空题（共12小题）16．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，P A＝AB，点M为P A的中点，＝λ．若MN⊥AD，则实数λ＝．17．已知向量＝（﹣2，1，3），＝（﹣1，2，1），若⊥（），则实数λ的值为．18．已知直线l的一个方向向量＝（2，3，5），平面α的一个法向量＝（﹣4，m，n），若l⊥α，则m+n＝．19．已知平面α的一个法向量为，则直线AB与平面α的位置关系为．20．已知＝（1，5，﹣2），＝（3，1，c），若＝（a，b，﹣7），⊥，且⊥平面BCD，则＝．21．已知向量＝（1，﹣3，2），＝（﹣2，m，﹣4），若∥，则实数m的值是；若⊥，则实数m 的值是．22．已知＝（﹣2，3，m），＝（2，﹣1，1），若⊥，则实数m的值为．23．已知＝（x，4，1），＝（﹣2，y，﹣1），＝（3，﹣2，z），∥，⊥，则z＝．24．已知空间向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，x），＝（1，﹣x，2），若（+）⊥，则x＝．25．已知向量，，若，则k的值为．26．已知平面α，β的法向量分别为＝（﹣2，m，1），＝（n，4，﹣2），若α∥β，则m﹣n＝．27．已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），且k+与2﹣互相垂直，则k＝．四．解答题（共5小题）28．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DC＝DA＝2，DD1＝4，点E在C1C上，且CE＝1．（1）求异面直线A1D与B1B所成角的正切值；（2）求证：A1C⊥平面DBE；（3）求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值．29．已知，（1）若，求x的值；（2）若，求x的值．30．已知空间中三点A（2，0，﹣2），B（1，﹣1，﹣2），C（3，0，﹣4），设＝，＝．（Ⅰ）若||＝3，且∥，求向量；（Ⅱ）已知向量k+与互相垂直，求k的值；（Ⅲ）求△ABC的面积．31．已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设＝，＝．（1）求和的夹角的余弦值；（2）若向量k+与k﹣2互相垂直，求实数k的值．32．已知＝（λ+1，1，2λ），＝（6，2m﹣1，2）．（1）若∥，分别求λ与m的值；（2）若||＝，且与＝（2，﹣2λ，﹣λ）垂直，求．向量的数量积判断向量的共线与垂直精选题32道参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．设x，y∈R，向量＝（x，1，1），＝（1，y，1），＝（2，﹣4，2），且⊥，∥，则|+|＝（）A．B．C．3D．4【分析】利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出x，y，再由平面向量坐标运算法则求出，由此能求出||．【解答】解：设x，y∈R，向量＝（x，1，1），＝（1，y，1），＝（2，﹣4，2），且⊥，∥，∴，解得x＝1，y＝﹣2，∴＝（1，1，1）+（1，﹣2，1）＝（2，﹣1，2），∴|+|＝．故选：C．【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量平行、向量垂直、平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知空间向量＝（1，n，2），＝（﹣2，1，2），若2﹣与垂直，则||等于（）A．B．C．D．【分析】利用向量垂直关系，2﹣与垂直，则（2﹣）•＝0，即可得出．【解答】解：∵＝（1，n，2），＝（﹣2，1，2），∴2﹣＝（4，2n﹣1，2），∵2﹣与垂直，∴（2﹣）•＝0，∴﹣8+2n﹣1+4＝0，解得，n＝，∴∴．故选：D．【点评】本题考查的知识点是向量的数量积判断向量垂直，其中根据两向量垂直数量积为0．3．向量＝（2，1，x），＝（2，y，﹣1），若||＝，且⊥，则x+y的值为（）A．﹣1B．1C．﹣4D．4【分析】根据||＝求出x的值，再根据⊥得出•＝0，列方程求出y的值，即可计算x+y的值．【解答】解：向量＝（2，1，x），若||＝，则＝，解得x＝0；又向量＝（2，y，﹣1），且⊥，则•＝4+y+0＝0，解得y＝﹣4；所以x+y＝﹣4．故选：C．【点评】本题考查了空间向量的数量积与模长公式计算问题，是基础题．4．已知＝（x，﹣4，2），＝（3，y，﹣5），若⊥，则x2+y2的取值范围为（）A．[2，+∞）B．[3，+∞）C．[4，+∞）D．[5，+∞）【分析】由⊥，可得•＝3x﹣4y﹣10＝0，求出原点到直线的距离d，即可得出x2+y2的取值范围．【解答】解：∵⊥，∴•＝3x﹣4y﹣10＝0，原点到直线的距离d＝＝2．则x2+y2的取值范围为[4，+∞）．故选：C．【点评】本题考查了数量积运算性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．向量，若，且，则x+y的值为（）A．﹣1B．1C．﹣4D．4【分析】利用向量的模、向量的数量积公式列出方程组，能求出x，y，由此能求出x+y．【解答】解：∵向量，，且，∴，解得x＝0，y＝﹣4，∴x+y＝﹣4．故选：C．【点评】本题考查两数和的求法，考查向量的模、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．已知空间向量＝（﹣1，2，3），＝（3，﹣2，x），若⊥，则x的值为（）A．B．C．D．【分析】利用向量垂直，数量积等于0，求出x即可．【解答】解：空间向量，，由得，﹣3﹣4+3x＝0，x＝，故选：B．【点评】考查向量数量积的坐标运算，属于基础题．7．已知，分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则k＝（）A．﹣2B．﹣1C．D．2【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵，分别是平面α，β的法向量，α⊥β，∴＝＝0，解得k＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．已知，若，则实数λ的值为（）A．﹣2B．C．D．2【分析】由，可得•（﹣λ）＝0．【解答】解：﹣λ＝（﹣2+λ，1﹣2λ，3﹣λ）．∵，∴•（﹣λ）＝﹣2（﹣2+λ）+（1﹣2λ）+3（3﹣λ）＝0．解得实数λ＝2．故选：D．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．已知＝（2，﹣4，2），＝（1，a，1），且⊥，则a＝（）A．﹣3B．﹣2C．1D．2【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵＝（2，﹣4，2），＝（1，a，1），且⊥，∴＝2﹣4a+2＝0，解得a＝1．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．向量＝（﹣2，﹣3，1），＝（2，0，4），＝（﹣4，﹣6，2），下列结论正确的是（）A．∥，⊥B．∥，⊥C．∥，⊥D．以上都不对【分析】利用向量的共线和垂直的充要条件即可判断出．【解答】解：∵，∴，又∵＝﹣2×2+0+1×4＝0，∴，故选：C．【点评】熟练掌握向量的共线和垂直的充要条件是解题的关键．11．已知向量＝（0，1，1），＝（1，0，0），若向量k+与﹣互相垂直，k的值是（）A．B．﹣1C．D．1【分析】根据题意，求出向量k+与﹣的坐标，由空间向量数量积计算公式可得（k+）•（﹣）＝﹣1+2k ＝0，求出k的值，即可得答案．【解答】解：∵＝（0，1，1），＝（1，0，0），∴k+＝（1，k，k），﹣＝（﹣1，1，1），若向量k+与﹣互相垂直，则（k+）•（﹣）＝﹣1+2k＝0，解得k＝，故选：C．【点评】本题考查空间向量垂直的判断，注意空间向量数量积的计算公式，属于基础题．12．已知向量＝（1，2，﹣1），则下列向量与垂直的是（）A．（0，0，1）B．（﹣2，1，0）C．（1，1，2）D．（4，﹣1，1）【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：对于A，∵（1，2，﹣1）•（0，0，1）＝﹣1，故A错误；对于B，∵（1，2，﹣1）•（﹣2，1，0）＝0，故B正确；对于C，∵（1，2，﹣1）•（1，1，2）＝1，故C错误；对于D，∵（1，2，﹣1）•（4，﹣1，1）＝1，故D错误．故选：B．【点评】本题考查满足向量垂直的向量的判断，考查向量垂直的性质等基础知识，是基础题．13．已知直线l1的方向向量＝（2，4，x），直线l2的方向向量＝（2，y，2），若||＝6，且⊥，则x+y的值是（）A．﹣3或1B．3或﹣1C．﹣3D．1【分析】由已知利用向量的模和向量垂直的性质得，求出x，y，由此能求出x+y的值．【解答】解：由已知得，解得x＝﹣4，y＝1或x＝4，y＝﹣3，∴x+y＝﹣3或x+y＝1．故选：A．【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要注意向量垂直的性质的合理运用．二．多选题（共2小题）（多选）14．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝（2，﹣1，﹣4），＝（4，2，0），＝（﹣1，2，﹣1）．下列结论正确的有（）A．AP⊥ABB．AP⊥ADC．是平面ABCD的一个法向量D．∥【分析】由•＝0得出⊥，判断A正确；由•＝0得出⊥，判断B正确；由⊥且⊥得出是平面ABCD的一个法向量，判断C正确；由是平面ABCD的法向量得出⊥，判断D错误．【解答】解：对于A，•＝2×（﹣1）+（﹣1）×2+（﹣4）×（﹣1）＝0，∴⊥，即AP⊥AB，A正确；对于B，•＝（﹣1）×4+2×2+（﹣1）×0＝0，∴⊥，即AP⊥AD，B正确；对于C，由⊥，且⊥，得出是平面ABCD的一个法向量，C正确；对于D，由是平面ABCD的法向量，得出⊥，则D错误．故选：ABC．【点评】本题考查了空间向量的性质应用问题，是基础题．（多选）15．下列利用方向向量、法向量判断线线、线面、面面位置关系的结论中，正确的是（）A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是＝（2，3，﹣1），＝（﹣2，﹣3，1），则l1∥l2B．直线l的方向向量＝（1，﹣1，2），平面α的法向量是＝（6，4，﹣1），则l⊥αC．两个不同的平面α，β的法向量分别是＝（2，2，﹣1），＝（﹣3，4，2），则α⊥βD．直线l的方向向量＝（0，3，0），平面α的法向量是＝（0，﹣5，0），则l∥α【分析】A中，根据两条不重合直线方向向量共线，判断两直线平行；B中，根据直线的方向向量与平面的法向量垂直，判断直线与平面平行或在平面内；C中，根据两个不同的平面法向量垂直，判断两平面垂直；D中，根据直线的方向向量与平面的法向量共线，判断直线与平面垂直．【解答】解：对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是＝（2，3，﹣1），＝（﹣2，﹣3，1），且＝﹣，所以l1∥l2，选项A正确；对于B，直线l的方向向量＝（1，﹣1，2），平面α的法向量是＝（6，4，﹣1），且•＝1×6﹣1×4+2×（﹣1）＝0，所以l∥α或l⊂α，判断选项B错误；对于C，两个不同的平面α，β的法向量分别是＝（2，2，﹣1），＝（﹣3，4，2），且•＝2×（﹣3）+2×4﹣1×2＝0，所以α⊥β，选项C正确；对于D，直线l的方向向量＝（0，3，0），平面α的法向量是＝（0，﹣5，0），且＝﹣，所以l⊥α，选项D错误．故选：AC．【点评】本题考查了利用空间向量判断直线与平面以及平面与平面的位置关系应用问题，是基础题．三．填空题（共12小题）16．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，P A＝AB，点M为P A的中点，＝λ．若MN⊥AD，则实数λ＝4．【分析】连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ．【解答】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设P A＝AB＝2，则A（，0，0），D（0，﹣，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，，0），＝（0，﹣2，0），设N（0，b，0），则＝（0，b﹣，0），∵＝λ，∴﹣2＝，∴b＝，∴N（0，，0），＝（﹣，，﹣），＝（﹣，0），∵MN⊥AD，∴＝1﹣＝0，解得实数λ＝4．故答案为：4．【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17．已知向量＝（﹣2，1，3），＝（﹣1，2，1），若⊥（），则实数λ的值为2．【分析】利用向量坐标运算法则推导出＝（﹣2+λ，1﹣2λ，3﹣λ），再由⊥（），能求出实数λ．【解答】解：∵向量＝（﹣2，1，3），＝（﹣1，2，1），∴＝（﹣2+λ，1﹣2λ，3﹣λ），∵⊥（），∴＝﹣2（﹣2+λ）+（1﹣2λ）+3（3﹣λ）＝0，解得实数λ＝2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．18．已知直线l的一个方向向量＝（2，3，5），平面α的一个法向量＝（﹣4，m，n），若l⊥α，则m+n＝﹣16．【分析】由l⊥α，得∥，由此能求出m，n，进而能求出m+n．【解答】解：∵直线l的一个方向向量＝（2，3，5），平面α的一个法向量＝（﹣4，m，n），l⊥α，∴∥，∴，解得m＝﹣6，n＝﹣10，∴m+n＝﹣6﹣10＝﹣16．故答案为：﹣16．【点评】本题考查两数和的求法，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．已知平面α的一个法向量为，则直线AB与平面α的位置关系为直线AB在平面α上或直线AB与平面α平行．【分析】由•＝0得出⊥，即得直线AB在平面α上或直线AB与平面α平行．【解答】解：由平面α的一个法向量为，且•＝1×（﹣2）+2×1+2×0＝0，所以⊥；所以直线AB与平面α的位置关系是：直线AB在平面α上或直线AB与平面α平行．故答案为：直线AB在平面α上或直线AB与平面α平行．【点评】本题考查了平面法向量的定义与应用问题，是基础题．20．已知＝（1，5，﹣2），＝（3，1，c），若＝（a，b，﹣7），⊥，且⊥平面BCD，则＝（11，﹣5，﹣7）．【分析】利用向量垂直、线面垂直的性质直接求解．【解答】解：∵＝（1，5，﹣2），＝（3，1，c），＝（a，b，﹣7），⊥，且⊥平面BCD，∴，解得a＝11，b＝﹣5，∴＝（11，﹣5，﹣7）．故答案为：（11，﹣5，﹣7）．【点评】本题考查向量的求法，考查向量垂直、线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21．已知向量＝（1，﹣3，2），＝（﹣2，m，﹣4），若∥，则实数m的值是6；若⊥，则实数m的值是．【分析】利用向量平行、向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵向量＝（1，﹣3，2），＝（﹣2，m，﹣4），∥，∴，解得m＝6．∵向量＝（1，﹣3，2），＝（﹣2，m，﹣4），⊥，∴＝﹣2﹣3m﹣8＝0，解得m＝﹣．故答案为：6，﹣．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22．已知＝（﹣2，3，m），＝（2，﹣1，1），若⊥，则实数m的值为7．【分析】由得•＝0，列方程求出m的值．【解答】解：，，由得出•＝﹣4﹣3+m＝0，解得m＝7．故答案为：7．【点评】本题考查了空间向量的数量积计算问题，是基础题．23．已知＝（x，4，1），＝（﹣2，y，﹣1），＝（3，﹣2，z），∥，⊥，则z＝2．【分析】利用向量垂直和向量平行的性质直接求解．【解答】解：∵＝（x，4，1），＝（﹣2，y，﹣1），＝（3，﹣2，z），∥，⊥，∴，解得x＝2，y＝﹣4，z＝2，∴z＝2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24．已知空间向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，x），＝（1，﹣x，2），若（+）⊥，则x＝﹣4．【分析】利用向量坐标运算法则先求出两向量的向量和，再由向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵空间向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，x），∴＝（﹣2，1，3+x），∵＝（1，﹣x，2），（+）⊥，∴（）•＝﹣2﹣x+2（3+x）＝0，x＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．25．已知向量，，若，则k的值为﹣6．【分析】先利用向量加法的坐标运算求出的坐标，然后利用向量垂直的充要条件结合数量积的坐标运算，列出关于k的方程，求解即可．【解答】解：因为向量，，所以，又因为，所以，解得k＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，涉及了向量加法、数量积的坐标运算、向量垂直的充要条件，解题的关键是熟练掌握空间向量的坐标运算，属于基础题．26．已知平面α，β的法向量分别为＝（﹣2，m，1），＝（n，4，﹣2），若α∥β，则m﹣n＝﹣6．【分析】由α∥β，利用向量平行的性质列出方程，能求出m，n，由此能求出m﹣n的值．【解答】解：∵平面α，β的法向量分别为＝（﹣2，m，1），＝（n，4，﹣2），α∥β，∴，解得m＝﹣2，n＝4，∴m﹣n＝﹣2﹣4＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．27．已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），且k+与2﹣互相垂直，则k＝．【分析】利用空间向量坐标运算法则求出，，再由与互相垂直，能求出k．【解答】解：∵向量，，∴＝（k﹣1，k，2），＝（3，2，﹣2），∵与互相垂直，∴（）•（）＝3（k﹣1）+2k﹣4＝0，解得k＝．故答案为：．【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，是基础题．四．解答题（共5小题）28．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DC＝DA＝2，DD1＝4，点E在C1C上，且CE＝1．（1）求异面直线A1D与B1B所成角的正切值；（2）求证：A1C⊥平面DBE；（3）求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值．【分析】（1）说明∠AA1D是异面直线A1D与B1B所成角，解三角形AA1D，直接求异面直线A1D与B1B所成角的正切值；（2）建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出，计算，即可证明A1C⊥平面DBE；（3）向量为平面DBE的一个法向量，求出平面DA1E的法向量，利用求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值．【解答】解：如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz．则B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A1（2，0，4）．，（1）解：∵AA1∥BB1∴∠AA1D是异面直线A1D与B1B所成角∵在Rt△AA1D中，A1A＝4，AD＝2∴即异面直线A1D与B1B所成角的正切值为．（2）证明：∵，，∴A1C⊥BD，A1C⊥DE又DB∩DE＝D∴A1C⊥平面DBE．（3）解：由（2）知向量为平面DBE的一个法向量设平面DA1E的法向量＝（x，y，z）由，，得2y+z＝0，2x+4z＝0令z＝﹣2，得x＝4，y＝1，∴＝（4，1，﹣2），又二面角A1﹣DE﹣B为锐角∴二面角A1﹣DE﹣B的余弦值为．【点评】本题考查用向量证明垂直，二面角及其度量，异面直线所成的角，考查学生分析问题解决问题的能力，计算能力，是中档题．29．已知，（1）若，求x的值；（2）若，求x的值．【分析】（1）利用向量的共线定理的充要条件即可得出；（2）利用非零向量垂直的充要条件即可求出．【解答】解：（1）∵，∴存在实数λ使﹣4＝2λ，2＝﹣λ，x＝3λ，∴λ＝﹣2，x＝﹣6．（2），，∴（﹣2）•1+1•（﹣x）+（3+x）•2＝0，∴x＝﹣4．【点评】熟练掌握向量的共线定理、非零向量垂直的充要条件是解题的关键．30．已知空间中三点A（2，0，﹣2），B（1，﹣1，﹣2），C（3，0，﹣4），设＝，＝．（Ⅰ）若||＝3，且∥，求向量；（Ⅱ）已知向量k+与互相垂直，求k的值；（Ⅲ）求△ABC的面积．【分析】（I）推导出，＝，利用||＝，能求出结果．（II）k+＝k（﹣1，﹣1，0）+（1，0，﹣2）＝（1﹣k，﹣k，﹣2），＝（1，0，﹣2），由向量k+与互相垂直，能求出k的值．（III）求出＝（﹣1，﹣1，0），＝（1，0，﹣2），＝（2，1，﹣2），cos＜＞＝＝＝﹣，sin＜＞＝＝，由此能求出△ABC的面积．【解答】解：（I）∵空间中三点A（2，0，﹣2），B（1，﹣1，﹣2），C（3，0，﹣4），设＝，＝，∴，∵||＝3，且∥，∴＝，∴||＝，∴m＝±1，∴＝（2，1，﹣2）或＝（﹣2，﹣1，2）．（II）k+＝k（﹣1，﹣1，0）+（1，0，﹣2）＝（1﹣k，﹣k，﹣2），＝（1，0，﹣2），∵向量k+与互相垂直，∴（）＝1﹣k+4＝0，解得k＝5．∴k的值是5．（III）＝（﹣1，﹣1，0），＝（1，0，﹣2），＝（2，1，﹣2），cos＜＞＝＝＝﹣，sin＜＞＝＝，∴S△ABC＝＝＝．【点评】本题考查向量的求法，考查实数值、三角形的面积的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．31．已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设＝，＝．（1）求和的夹角的余弦值；（2）若向量k+与k﹣2互相垂直，求实数k的值．【分析】（1）利用向量的坐标运算和向量的夹角公式即可得出；（2）利用，可得＝0即可解得．【解答】解：（1）＝（﹣1，1，2）﹣（﹣2，0，2）＝（1，1，0）．＝（﹣3+2，0﹣0，4﹣2）＝（﹣1，0，2）．∴cosθ＝＝＝﹣．∴和的夹角的余弦值为﹣．（2）k+＝（k，k，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），k﹣2＝（k，k，0）﹣（﹣2，0，4）＝（k+2，k，﹣4）．∵，∴＝（k﹣1，k，2）•（k+2，k，﹣4）＝（k﹣1）（k+2）+k2﹣8＝0，即2k2+k﹣10＝0，解得k＝﹣或k＝2．【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的夹角公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．32．已知＝（λ+1，1，2λ），＝（6，2m﹣1，2）．（1）若∥，分别求λ与m的值；（2）若||＝，且与＝（2，﹣2λ，﹣λ）垂直，求．【分析】（1）根据空间向量共线的坐标表示，列方程组求出λ和m的值；（2）根据时•＝0，列方程求出λ的值，再验证||是否为即可．【解答】解：（1）由，得（λ+1，1，2λ）＝k（6，2m﹣1，2），所以，解得λ＝，m＝3；（2）||＝，且，所以•＝0，即2（λ+1）﹣2λ﹣2λ2＝0，化简得λ2＝1，解得λ＝±1；λ＝1时，＝（2，1，2），||＝＝3，不满足题意；λ＝﹣1时，＝（0，1，﹣2），||＝＝，满足题意；所以．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与运算问题，也考查了向量共线与垂直的应用问题，是中档题．第21页（共21页）。

高中数学专题练习：关于平面向量数量积运算的三类经典题型[题型分析·高考展望] 平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算，应用十分广泛，对向量本身，通过数量积运算可以解决位置关系的判定、夹角、模等问题，另外还可以解决平面几何、立体几何中许多有关问题，因此是高考必考内容，题型有选择题、填空题，也在解答题中出现，常与其他知识结合，进行综合考查.常考题型精析题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2D.－3＋2 2点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b ＝0时得不到a ＝0或b ＝0，根据平面向量数量积的性质有|a |2＝a 2，但|a·b |≤|a |·|b |.变式训练1 (·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角例2 (1)(·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4D.π(2)(·石家庄模拟)已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝－2x 3＋3|a |x 2＋6a·b x ＋5在R 上单调递减，则向量a ，b 夹角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π 点评 求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.变式训练2 若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量b 与a ＋b 的夹角为( ) A.π6 B.5π6 C.π3D.2π3题型三 利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB→|的最小值为________. 点评 (1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a ＝(x ，y )，求向量a 的模只需利用公式|a |＝x 2＋y 2即可求解. (2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a 的模进行如下转化：|a |＝a 2. 变式训练3 (·浙江)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝__________，y 0＝________，|b |＝________.高考题型精练1.(·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD→ 等于( )A.－32a 2 B.－34a 2 C.34a 2D.32a 22.(·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎨⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎨⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |23.(·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A.6B.7C.8D.94.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝p ，则p ·(b －a )等于( )A.－12B.12C.－32D.325.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( ) A.(0，52]B.(52，72]C.(52，2]D.(72，2]6.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB→等于( )A.2B.3C.4D.67.(·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6D.08.(·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD→的值是________.9.设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________.10.(·湖南衡阳八中第六次月考)已知点O 是锐角△ABC 的外心，AB ＝8，AC ＝12，A ＝π3.若AO →＝xAB →＋yAC →，则6x ＋9y ＝________. 11.已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1).(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值;(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，π3])的取值范围.12.(·黄冈模拟)在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD→＝511DB →. (1)求|AB→－AC →|; (2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值.答案精析关于平面向量数量积运算的三类经典题型 常考题型精析 例1 (1)2 (2)D 解析 (1)如图，AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝(AB →＋13BC →)·(AD →＋1λDC →) ＝AB →·AD →＋1λAB →·DC →＋13BC →·AD →＋13λBC →·DC→ ＝2×2×cos 120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋13λ×2×2×cos 120°＝－2＋4λ＋43－23λ＝103λ－23，又∵AE →·AF →＝1，∴103λ－23＝1，∴λ＝2. (2)方法一 设|P A →|＝|PB →|＝x ，∠APB ＝θ， 则tan θ2＝1x ，从而cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2＝x 2－1x 2＋1.P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos θ ＝x 2·x 2－1x 2＋1＝x 4－x 2x 2＋1＝(x 2＋1)2－3(x 2＋1)＋2x 2＋1＝x 2＋1＋2x 2＋1－3≥22－3， 当且仅当x 2＋1＝2，即x 2＝2－1时取等号， 故P A →·PB →的最小值为22－3. 方法二 设∠APB ＝θ，0<θ<π， 则|P A →|＝|PB→|＝1tan θ2. P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos θ ＝(1tan θ2)2cos θ ＝cos 2θ2sin 2θ2·(1－2sin2θ2)＝(1－sin 2θ2)(1－2sin 2θ2)sin 2θ2.令x ＝sin 2θ2，0<x ≤1， 则P A →·PB→＝(1－x )(1－2x )x ＝2x ＋1x －3≥22－3，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时取等号. 故P A →·PB→的最小值为22－3. 方法三 以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ， 则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1， 设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，P (x 0,0)， 则P A →·PB →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21.由OA ⊥P A ⇒OA →·P A →＝(x 1，y 1)·(x 1－x 0，y 1)＝0⇒x 21－x 1x 0＋y 21＝0，又x 21＋y 21＝1，所以x 1x 0＝1.从而P A →·PB →＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21＝x 21－2＋x 20－(1－x 21) ＝2x 21＋x 20－3≥22－3.故P A →·PB →的最小值为22－3. 变式训练1 9解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA→|2＋0＝32＝9. 例2 (1)A (2)D解析 (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0. 又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ， 即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0. ∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.(2)设向量a ，b 的夹角为θ，因为f (x )＝－2x 3＋3|a |x 2＋6a·b x ＋5，所以f ′(x )＝－6x 2＋6|a |x ＋6a·b ，又函数f (x )在R 上单调递减，所以f ′(x )≤0在R 上恒成立，所以Δ＝36|a |2－4×(－6)×(6a·b )≤0，解得a·b ≤－14|a |2，因为a·b ＝|a||b |·cos θ，且|a |＝2|b |≠0， 所以|a||b |cos θ＝12|a |2cos θ≤－14|a |2，解得cos θ≤－12，因为θ∈[0，π]，所以向量a ，b 的夹角θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π，故选D.变式训练2 A解析 方法一 由已知，得|a ＋b |＝|a －b |，将等式两边分别平方，整理可得a ·b ＝0.①由已知，得|a ＋b |＝2|a |，将等式两边分别平方，可得a 2＋b 2＋2a ·b ＝4a 2.②将①代入②，得b 2＝3a 2，即|b |＝3|a |. 而b ·(a ＋b )＝a ·b ＋b 2＝b 2，故cos 〈b ，a ＋b 〉＝b ·(a ＋b )|b |·|a ＋b |＝b 23|a |·2|a |＝3a 23|a |·2|a |＝32.又〈b ，a ＋b 〉∈[0，π]，所以〈b ，a ＋b 〉＝π6. 故选A.方法二 如图，作OA→＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ， 则OC→＝a ＋b ，BA →＝a －b . 由|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |， 可得|OC→|＝|BA →|＝2|OA →|， 所以平行四边形OACB 是矩形， BC→＝OA →＝a .从而|OC →|＝2|BC →|. 在Rt △BOC 中，|OB→|＝|OC→|2－|BC →|2＝3|BC →|， 故cos ∠BOC ＝|OB →||OC →|＝32，所以∠BOC ＝π6.从而〈b ，a ＋b 〉＝∠BOC ＝π6，故选A. 例3 (1)A (2)5解析 (1)因为平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°， 所以|2a ＋b |＝(2a )2＋b 2＋2×|2a |×|b |cos 120° ＝22×12＋22＋2×2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.(2)方法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |P A →＋3PB→|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|P A →＋3PB→|的最小值为5. 方法二 设DP→＝xDC →(0<x <1)，∴PC →＝(1－x )DC →， P A →＝DA→－DP →＝DA →－xDC →， PB→＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →， ∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC→，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC→2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.变式训练3 1 2 2 2解析 方法一 对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，说明当x ＝x 0，y ＝y 0时，|b －(x e 1＋y e 2)|取得最小值1.|b －(x e 1＋y e 2)|2＝|b |2＋(x e 1＋y e 2)2－2b ·(x e 1＋y e 2)＝|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y ，要使|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y 取得最小值，需要把x 2＋y 2＋xy －4x －5y 看成关于x 的二次函数，即f (x )＝x 2＋(y －4)x ＋y 2－5y ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x ＝2－y 2，所以当x ＝2－y 2时，f (x )取得最小值，代入化简得f (x )＝34(y －2)2－7，显然当y ＝2时，f (x )min ＝－7，此时x ＝2－y2＝1，所以x 0＝1，y 0＝2.此时|b |2－7＝1，可得|b |＝2 2.方法二 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，e 2＝(1,0,0)，b ＝(m ，n ，t ). 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t . ∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ， ∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2－y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值.此时t 2＝1，故|b |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝2 2. 高考题型精练1.D [如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2， ∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.]2.D [由于|a ＋b |，|a －b |与|a |，|b |的大小关系与夹角大小有关，故A ，B 错.当a ，b 夹角为锐角时，|a ＋b |>|a －b |，此时，|a ＋b |2>|a |2＋|b |2;当a ，b 夹角为钝角时，|a ＋b |<|a －b |，此时，|a －b |2>|a |2＋|b |2;当a ⊥b 时，|a ＋b |2＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2，故选D.]3.B [∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故P A →＋PC→＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，∴P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y ).故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.]4.A [以OA ，OB 所在直线分别作为x 轴，y 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (1,0)，B (0,1)，C (34，14)，直线l 的方程为y －14＝x －34，即x －y －12＝0. 设P (x ，x －12)，则p ＝(x ，x －12)，而b －a ＝(－1,1)，所以p ·(b －a )＝－x ＋(x －12)＝－12.]5.D [由题意，知B 1，B 2在以O 为圆心的单位圆上，点P 在以O 为圆心，12为半径的圆的内部.又AB 1→⊥AB 2→，AP →＝AB 1→＋AB 2→， 所以点A 在以B 1B 2为直径的圆上，当P 与O 点重合时，|OA→|取得最大值2， 当P 在半径为12的圆周上时，|OA →|取得最小值72， 故选D.]6.C [在△ABC 中，因为∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，所以AB ＝42，且B ＝A ＝45°.因为BM →＝3MA →，所以BM →＝34BA →.所以CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋BM →·CB →＝CB →2＋34BA →·CB →＝16＋34×42×4cos 135°＝4.] 7.B [设a 与b 的夹角为θ，由于x i ，y i (i ＝1,2,3,4)均由2个a 和2个b 排列而成，记S ＝ i ＝14(x i ·y i )，则S 有以下三种情况：①S ＝2a 2＋2b 2;②S ＝4a ·b ;③S ＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.∵|b |＝2|a |，∴①中S ＝10|a |2，②中S ＝8|a |2cos θ，③中S ＝5|a |2＋4|a |2cos θ. 易知②最小，即8|a |2cos θ＝4|a |2，∴cos θ＝12，可求θ＝π3，故选B.]8.22解析 由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22. 9.π2解析 由e 1·e 2＝32，可得cos 〈e 1，e 2〉＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝32， 故〈e 1，e 2〉＝π6，〈e 2，－e 1〉＝π－〈e 2，e 1〉＝5π6.f (e 1，e 2)＝e 1cos π6－e 2sin π6＝32e 1－12e 2，f (e 2，－e 1)＝e 2cos 5π6－(－e 1)sin 5π6＝12e 1－32e 2.f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝(32e 1－12e 2)·(12e 1－32e 2)＝32－e 1·e 2＝0，所以f (e 1，e 2)⊥f (e 2，－e 1).故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π2.10.5解析 如图，设点O 在AB ，AC 上的射影是点D ，E ，它们分别为AB ，AC 的中点，连接OD ，OE .由数量积的几何意义，可得AB →·AO →＝|AB →|·|AD →|＝32，AC →·AO →＝|AC →|·|AE →|＝72，依题意有AB →·AO→＝xAB →2＋yAC →·AB →＝64x ＋48y ＝32，即4x ＋3y ＝2，AC →·AO →＝xAB →·AC →＋yAC →2＝48x ＋144y ＝72，即2x ＋6y ＝3，将两式相加可得6x ＋9y ＝5.11.解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0.所以tan x ＝－34.故cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b＝2(sin x ＋cos x ，－14)·(cos x ，－1)＝sin 2x ＋cos 2x ＋32＝2sin(2x ＋π4)＋32.由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，所以sin A ＝a sin B b ＝3×632＝22.所以A ＝π4或A ＝3π4.因为b >a ，所以A ＝π4.所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)＝2sin(2x ＋π4)－12.因为x ∈[0，π3]，所以2x ＋π4∈[π4，11π12]. 所以32－1≤f (x )＋4cos(2A ＋π6)≤2－12.所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)的取值范围为[32－1，2－12].12.解 (1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线，可知|AD →|＝511|DB →|.又AD ＝5，所以DB ＝11. 在Rt △ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75，在Rt △BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196，所以BC ＝14.所以|AB→－AC →|＝|CB →|＝14.(2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14.由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12. 由x ＝AB→＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →， 知k ＝x ·y＝(AB →＋tAC →)·(tAB→＋AC →) ＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB→＋t |AC →|2 ＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t＝80t 2＋356t ＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝1时，k 取得最小值516.。

6.2.2 平面向量的共线定理、数量积(精练)【题组一 共线定理】1．(2021·江西宜春·高一期末)如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为( )A ．19B ．13C ．1D ．3【答案】A【解析】由题意可知，13AN NC =，所以4AC AN =，又29AP mAB AC =+，即89AP mAB AN =+.因为B 、P 、N 三点共线，所以819m +=，解得19m =. 故选：A ．2．(2021·黑龙江·哈师大附中高一期末)ABC 中，点M 满足CM MA λ=，若BM xBA yBC =+，则x y +的值为( ) A ．1 B ．23C ．12D ．13【答案】A【解析】因为CM MA λ=，所以()11111BM BC CA BC BA BC BC BA λλλλλλλ=+=+-=+++++， 又因为BM xBA yBC =+， 所以111y x λλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因此1x y +=，故选：A.3．(2021·上海·高一课时练习)如图所示，在ABC ∆中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，23AE AD =，AB a =，AC b =(1)用a 、b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF ； (2)求证：B ，E ，F 三点共线. 【答案】(1)1()2AD a b =+，1()3AE a b =+，12AF b =，1(2)3BE b a =-，1(2)2BF b a =-;(2)证明见解析. 【解析】(1)如图，延长AD 到G ，使12AD AG =连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，所以AG a b =+， 11()22AD AG a b ==+，21()33==+AE AD a b ，1122==AF AC b ，则 11()(2)33=-=+-=-BE AE AB a b a b a ，11(2)22=-=-=-BF AF AB b a b a .(2)证明：由(1)可知23BE BF =，因为BE 与BF 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线. 【题组二 共线定理的应用】1．(2021·福建·泉州五中高一期中)ABC 中，AM MB =，AN NC λ=，CM 与BN 相交于点O ，若AOM 与AON 的面积之比为3:4，则正实数λ的值为( ) A ．14B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】由AOM 与AON 的面积之比为3:4，令AOM 的面积为3，则AON 的面积为4， 因为AM MB =，所以3AOMBOMS S==，因为AN NC λ=，所以14ONCAONS Sλλ==，因为2ABCAMCABNCBNSSSS==+，因为:AN NC λ=， 所以:ABNCBNSSλ=,所以3344(334)2(34)λλ+++++=⨯++，解得12λ=，故选：C2．(2021·上海市行知中学高一期中)设O 为△ABC 内部的一点，且230OA OB OC ++=，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为________． 【答案】2:1【解析】若2OD OB =，3OE OC =，∴230OA OB OC OA OD OE ++=++=，即O 为△ADE 的重心， 令AOCSx =，BOCSy =，则3AOES x =，6EODSy =，∴36x y =，由::2:1AOCBOCS Sx y ==，故答案为：2:13．(2021·浙江浙江·高一期末)已知O 为ABC 内的一点，满足340OA OB OC ++=，则AOC △与ABC 的面积之比为________． 【答案】38【解析】分别取,AC BC 的中点,D E ，连接,AE DE ，340OA OB OC ++=，()3OA OC OB OC ∴+=-+，即26OD OE =-， 3OD OE ∴=-，34DO DE ∴=，34AOC AECS S ∴=； 又E 为BC 中点，12AEC ABC S S ∴=，38AOC ABC S S ∴=. 故答案为：38.【题组三 向量的数量积】1．(2021·陕西·绥德中学高一月考(文))已知a ，b 均为单位向量，若a ，b 的夹角为23π，则a b ⋅=( ) ABC ．12D ．12-【答案】 D【解析】因为a ，b 均为单位向量，a ，b 的夹角为23π， 所以21cos 32a b a b π⋅=⋅⋅=-， 故选：D2．(2021·四川巴中·高一期末(理))在菱形ABCD 中，2AB BD ==，若点E 为BC 中点，则AD AE ⋅=( ) A ．2 B ．4 C ．2+D ．6【答案】B【解析】由E 为BC 中点知12AE AB BC =+，由菱形的性质知AD BC =，故12AE AB AD =+；由2AB BD AD ===知60DAB ∠=︒，所以22111122242222AD AE AD AB AD AD AB AD ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭． 故选：B.3．(2021·全国·高一课时练习)如图所示，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=1，则AB BC 的值是_____.【答案】-1【解析】由题意可得，()2||||cos 180cos 1AB AB BC AB BC B AB BC B AB BC AB BC︒⋅=⋅⋅-∠=-⋅⋅∠=-⋅⋅=-=-.故答案为-1.4．(2021·全国·高一课时练习)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，点F 在AD 上，2AF FD =，则BE CF ⋅=___________. 【答案】23【解析】由题可得12BE BC CE BA BC =+=+，13CF CD DF BA BC =+=-， 1123BE CF BA BC BA BC ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222151112202263233BA BA BC BC =+⋅-=⨯+-⨯=. 故答案为：23.5．(2021·全国·高一课时练习)(多选)在ABC 中，||2,||45AB AC BAC ==∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅的可能值有( ) A ．2- B ．1- C ．2 D ．3【答案】CD【解析】设(01)PC t AC t =≤≤，则(1)AP t AC =-， 因为(1)PB A AB AB t AC P =-=--,所以2=[(1)](1)AB t AC t AC t AB AC t t A PB PC C ⋅--⋅=⋅--22cos 45(1)t t =⨯⋅︒--⨯ 284t t =-2118()42t =--因为01t ≤≤，所以1·42PB PC -≤≤， 所以PB PC ⋅的取值范围为1[,4]2-，故选：CD【题组四 向量的夹角】1．(2021·重庆第二外国语学校高一月考)若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则122a e e =+与1232b e e =-+的夹角为( ) A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C【解析】由已知，1212121||||cos ,2e e e e e e ⋅=⋅⋅<>=， 所以22121211227(2)(32)622e e e e e e e e +⋅-+=-+⋅+=-，22212121122|2|(2)447e e e e e e e e +=+=+⋅+= 22212121122|32|(32)91247e e e e e e e e -+=-+=-⋅+=设向量122a e e =+与1232b e e =-+的夹角为α， 则[]71cos ,0,1802αα-=-∈︒︒120α∴=︒故选：C2．(2021·天津红桥·高一学业考试)已知3a →=，2b →=，若3a b →→⋅=-，则a →与b →夹角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°【答案】C【解析】因为3a →=，2b →=， 3a b →→⋅=-,所以31cos ,322a ba b a b→→→→→→⋅-===-⨯,因为,0,180a b →→⎡⎤∈⎣⎦，所以,120a b →→=.故选：C3．(2021·江西·九江一中高一月考)已知非零向量,a b 满足43a b =，a 与b 夹角的余弦值为13，若()xa b b +⊥，则实数x =( )A ．4-B ．94-C ．4D ．94【答案】A【解析】由4||3||a b =可设||4(0)b t t =>，则||3a t =.因为()xa b b +⊥，所以()()221||344441603x xa b b x t t t b t t a x b =⋅+=⨯⨯+⋅⨯+⨯=+=，又0t >，所以4x =-.故选：A.4．(2021·福建泉州·高一期末)如图，在ABC 中，AB AC =，M ，N 分别是AB ，AC 的中点.(1)设AB a =，AC b =，试用a ，b 表示BN ，CM ； (2)若BN CM ⊥，求cos BAC ∠.【答案】(1)12BN b a =-，12CM a b =-；(2)45.【解析】(1)因为M ，N 分别是AB ，AC 的中点，所以12AM a =，12AN b = 所以1122BN AN AB AC AB b a =-=-=-，1122CM AM AC AB AC a b =-=-=- (2)因为BN CM ⊥，所以0BN CM ⋅=，所以11022b a a b ⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简整理得221150224a b a b +-⋅=，又因为AB AC =，所以a b =即22a b =所以254a b a ⋅=即245a b a⋅=，所以2445cos 5aAB AC a b BAC AB AC a b a⋅⋅∠====⋅⋅5(2021·四川雅安·高一期末)设两个向量a ，b ，满足||2a =，1b ||=.(1)若(2)()22a b a b -⋅+=+a ，b 的夹角；(2)若a ，b 夹角为60°，向量27ta b +与a tb +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围. 【答案】(1)34π；(2)17,2⎛⎛⎫-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】(1)22(2)()24222a b a b a a b ba b ，2a b ⋅=-，即2cos 2a b a bθ⋅==-[0,]θπ∈，所以34πθ= (2)222(27)()2(27)70ta b a tb tat a b tb，且27ta b +与a tb +不共线，221570t t ∴++<，272t ≠172t ∴-<<-，且t ≠1417,,22t ⎛⎛⎫∴∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．(2021·辽宁锦州·高一期末)已知1e ，2e 为单位向量，满足1235e e -≤，122a e e =+，12b e e =+，向量a ，b 的夹角为θ.(1)求12e e ⋅的取值范围； (2)求2cos θ的最小值. 【答案】(1)5,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(2)99100. 【解析】1)因为1235e e -≤，所以21235e e -≤ 所以129615e e -⋅+≤，所以1256e e ⋅≥. 又12121212cos ,cos ,1e e e e e e e e ⋅==≤ 所以12e e ⋅的取值范围是5,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)()()()2212122222212122cos 2e e e e a b a b e e e e θ⎡⎤+⋅+⋅⎣⎦==++ ()()()()2121212121233911085422e e e e e e e e e e +⋅+⋅==+⋅+⋅+⋅设12e e t ⋅=，则516t ≤≤所以()29191cos 1108854t t t θ+⎛⎫==- ⎪++⎝⎭9199158100546⎛⎫ ⎪≥-= ⎪ ⎪+⨯⎝⎭ 所以2cos θ的最小值是99100. 【题组五 向量的模长】1．(2021·甘肃·嘉峪关市第一中学高一期末)已知3,2,a b a ==与b 的夹角为6π，则a b+=___________.【解析】22223232413a b a a b b +⋅+=+⨯+==， 13a b ∴+=.2．(2021·上海·高一课时练习)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2BC ＝16，AB AC AB AC+=-，则|AM |等于________． 【答案】2【解析】由216BC =，得||4BC =，||||||4AB AC AB AC CB +=-==，而||2||AB AC AM +=∴||2AM =故答案为：2．3．(2021·全国·高一课时练习)已知向量a ，b 的夹角为120°，|a ﹣2b |＝2|a |＝2，则|b |＝___． 【解析】向量,a b 的夹角为120︒，222a b a -==， ∴2(2)4a b -=，||1a =，22444a a b b ∴-⋅+=，即2141||cos1204||4b b -⋅⋅⋅+=，求得113||4b -+=.4．(2021·全国·高一课时练习)已知,a b 为共线的两个向量，且1,2a b ==，则2a b -=___. 【答案】0或4【解析】依题意,a b 共线，且为非零向量， 当,a b 同向时，1212a b ⋅=⨯⨯=，()2222244480a b a ba ab b -=-=-⋅+=-，当,a b 反向时，()1212a b ⋅=⨯⨯-=-，()2222244484a b a b a a b b -=-=-⋅+=+=.故答案为：0或45．(2021·山东任城·高一期中)已知平面向量a ，b ，c 满足2a =，1b =，1a b ⋅=-，且a c -与b c -的夹角为4π，则c 的最大值为 ______________．【【解析】∵2a ||=，1b ||=，1a b ⋅=-，∴cos ＜a ，b ，即a 与b 的夹角为34π，如图，作OA a =，OB b =，OC c =，连接AC ，BC ，则a c -＝CA ，b c -＝CB ， ∴∠ACB ＝4π， 又∠AOB ＝34π，∴O ，A ，C ，B 四点共圆， 故当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时A ＝B ＝2π，OA OB ＝1，∠BOC ＝34π﹣∠AOC ，在Rt AOC △中，OC ＝cos OAAOC∠，在Rt BOC 中，OC ＝cos OBBOC∠，∴cos OA AOC ∠＝cos OB BOC ∠＝13cos()4AOC π-∠，∴cos ∠AOC (∠AOC ∠AOC )， 整理得，2cos ∠AOC ＝sin ∠AOC ， ∴tan ∠AOC ＝2，cos ∠AOC∴OC ＝1|c |．6．(2021·河南·高一期末)向量a ，b 满足1a =，()0a b a +⋅=，()2a b b +⊥，则b =___________.【解析】由题意，()0a b a +⋅=，()2a b b +⊥20a a b ∴+⋅=，220a b b ⋅+= 222b a ∴= ||2||2b a ∴==7．(2021·上海·高一课时练习)设1e ，2e 为单位向量，非零向量12b xe ye =+，,x y R ∈．若1e ，2e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于________． 【答案】2 【解析】1e ，2e 为单位向量，1e 和2e 的夹角等于6π，∴1211cos 6e e π⋅=⨯⨯=当0x =时，则||0||x b =；非零向量12b xe ye =+，22212||2b b x xye e y ∴==+⋅+=∴当0x ≠时，2||||x b x ==+ 故当y x =时，||||x b 取得最大值为2， 综上，||||xb 取得最大值为2．故答案为：2．8．(2021·全国·高一课时练习)在平行四边形ABCD 中，已知||1,||2,1AB AD AB AD ==⋅=，则||AC =( ) A B C ．D ．【答案】B【解析】在平行四边形ABCD 中，AC AB AD =+，因||1,||2,1AB AD AB AD ==⋅=， 于是得2222||()21AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+=所以||7=AC .故选：B9．(2021·全国·高一课时练习)若向量a ，b ，c 均为单位向量，且a b ⊥，则||a b c --的最小值为( ) A 1 B ．1 C 1 D 【答案】A【解析】因为0a b ⋅=，所以2222b a b a a b -=+-⋅= ∴()()22222232a b c a b c a b b a c b a c --=++⋅+-⋅=+--⋅则当c 与b a -反向时()b a c -⋅最小，a b c --最小，此时()b ac -⋅=所以32a b c --≥-1，所以a b c --的最小值为1， 故选：A.10．(2021·上海·高一课时练习)在△ABC 中，1,2||||AC AB BC BAAB BA ⋅⋅==，则AB 边的长度为( ) A ．1B ．3C ．5D ．9【答案】B 【解析】由1||AC AB AB ⋅=得||||cos 1||AC AB AAB ⋅=，即||cos 1AC A =，所以222||||||||12||||AB AC BC AC AB AC +-⋅=⋅，所以222||||||2||AB AC BC AB +-=， 同理由2||BC BABA ⋅=可得222||||||4||BC BA AC AB +-=， 两个等式相加可得22||6||AB AB =，解得||3AB =， 所以AB 边的长度为3. 故选：B【题组六 向量的投影】1．(2021·重庆·西南大学附中)已知向量a ，b 满足3=a ，2b =，且a ⊥(a -b )，则a 在b 方向上的投影为( )A B ．3 C ．D ．32【答案】D【解析】由题设，2()0a a b a a b ⋅-=-⋅=，即2||||cos ,a b a b a ⋅<>=， ∴3cos ,2a b <>=. ∴a 在b 方向上的投影为3||cos ,2a ab <>=.故选：D2．(2022·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足：||||2==a b ，2a b ⋅=-，且||1+-=a b c ，则向量c 在向量a 方向上的投影的取值范围为___________. 【答案】[0,2]【解析】平面向量a ，b ，c 满足：||||2==a b ，2a b ⋅=-，设向量a ，b 的夹角为θ，则cos 4cos 2a b a b θθ⋅=⋅==-，所以1cos 2θ=-，因为[]0,θπ∈，所以23θπ=如图，将a ，b ，c 的起点重合，可知a b +与a 的夹角为60︒，又因为||2a b +=，||1+-=a b c ，所以向量c 在向量a 方向上的投影的最小值为0，最大值为2，所以向量c 在向量a 方向上的投影的取值范围为[0,2]故答案为：[0,2]3．(2021·河北·高三月考)已知向量a 、b 满足24a b ==，26a b -=，则b 在a 上的投影为______． 【答案】12-【解析】根据题意，()22226242242a b a b a b a b a b -=⇔-=⇔+-⋅=⇒⋅=-，所以b 在a 上的投影为1cos ,2a b b b aa ⋅<>==-，故答案为：12-.4．(2021·江西·临川一中高三月考(文))已知4b =，a 与b 的夹角150θ︒=，则向量b 在向量a 方向上的投影为___________.【答案】-【解析】4b =，a 与b 的夹角150θ︒=b ∴在a 方向上的投影为cos 4cos1504b θ︒⎛=⨯=⨯=- ⎝⎭故答案为：-5．(2021·云南·昭通市昭阳区第一中学高二月考(文))已知向量a 与b 的夹角为30，且3a =，1b =，设m a b =+，n a b =-，则向量m 在n 方向上的投影为___________． 【答案】2【解析】a 与b 的夹角为30，且3a =，1b =∴ 3·31cos302a b ︒=⨯⨯=,()222=2321n a b a a b b ∴=--+=-又m a b =+，n a b=-()()222m n a ba b ab ∴=+-=-=，设,=m n θ,m 在n 方向上的投影为cos ,=m n m n m m n m m nn⋅=m ∴在n 方向上的投影为=2m n n故答案为：26．(2021·云南省大姚县第一中学高一月考)已知||2,a e =为单位向量，当它们的夹角为56π时，则a 在e 方向上的投影为________．【答案】【解析】因为a 在e 方向上的投影为cos a a e ，，且2a =，所以5cos 2cos 6a a e π==，，故答案为：7．(2021·河北·石家庄市华西高级中学高一月考)已知3a =，5b =且,45a b =，则a 在b 上的投影向量为__________．【解析】因为3a =，5b =且,45a b =， 则a 在b 上的投影向量为232cos 4532510b b a b b =⨯⨯=，. 8．(2021·重庆市江津中学校高一月考)已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO AB AC =+，OA AB =，则向量BA 在向量BC 上的投影向量为________． 【答案】14BC【解析】由2AO AB AC =+，可得O 为BC 的中点，设△ABC 的外接圆的半径为r ，可得|AB |＝|OA |＝|OB |＝|OC |＝r ，2BC r =, 则60ABC ∠=所以向量BA 在向量BC 上的投影为cos602r BA =， 则向量BA 在向量BC 上的投影向量为124r BC BC BC ⋅=. 故答案为：14BC .【题组七 向量的综合运用】1．(2021·全国·高一课时练习)已知在ABC 中，4,8AB AC AB AC ==⋅=，则ABC 的形状是( )三角形 A ．直角 B ．等腰直角 C ．等边 D ．钝角【答案】C【解析】由题得||||cos AB AC AB AC BAC →→→→⋅=∠，所以8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12， 因为0°<∠BAC <180°，所以∠BAC ＝60°. 又AB ＝AC ，故ABC 是等边三角形. 故选：C.2．(2021·云南·昆明市外国语学校高一月考)若O 为ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0OA OB OA OB OC -⋅+-=，则ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【解析】在ABC 中，取AB 的中点D ，连接CD ，如图所示：因为()(2)0OA OB OA OB OC -⋅+-=， 所以()()0OA OB OA OC OB OC -⋅-+-=，所以()020BA CA CB BA CD ⋅+=⇒⋅=，即BA CD ⊥，即AC BC =. 又因为ABC 中是否有直角不确定，AC 和AB 是否相等也无法确定， 所以ABC 为等腰三角形. 故选：A3．(2021·云南省下关第一中学高一期中)在ABC 中，3AB =，2AC =，1324AD AB AC =+，则直线AD 通过ABC 的( ) A ．垂心 B ．外心 C ．重心 D ．内心【答案】D【解析】因为3,2AB AB AC AC ====,∴133242AB AC ==， 设0013,24AB AB AC AC ==,则00AB AC =， 又001324AD AB AC AB AC =+=+， ∴AD 在BAC ∠的角平分线上， 由于三角形中AB AC ≠,故三角形的BC 边上的中线，高线，中垂线都不与BAC ∠的角平分线重合， 故AD 经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心， 故选D.4．(2021·上海·高一专题练习)O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC μ⎛⎫⎪=++⎪⎝⎭，[)0,μ∈+∞，则P 点的轨迹一定经过ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心【答案】B【解析】因为,AB AC ABAC分别表示向量,AB AC 方向上的单位向量，所以AB AC ABAC+的方向与BAC ∠的角平分线一致，又因为AB AC OP OA AB AC μ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭， 所以AB AC OP OA AP AB AC μ⎛⎫⎪-==+ ⎪⎝⎭， 所以向量AP 的方向与BAC ∠的角平分线一致 所以P 点的轨迹一定经过ABC 的内心． 故选：B ．5．(2021·吉林·延边二中高一月考)点,,O N P 满足||||||,0,OA OB OC NA NB NC PA PB PB PC PC PA ==++=⋅=⋅=⋅则点,,O N P 依次是ABC 的( )A ．重心，外心，垂心B ．重心，外心，内心C ．外心，重心，垂心D ．外心，重心，内心【答案】C【解析】依题意，由||||||OA OB OC ==得，O 到ABC 的三个顶点的距离相等， 所以O 为外心；设AB 的中点为D ，则由0NA NB NC →++=得2ND NC =-，所以N 为重心； 由PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅得0PB CA ⋅=， 所以PB AC ⊥，同理可得PA BC ⊥，所以P 为垂心. 故选：C6．(2021·河北·张家口市第一中学高一月考)(多选)下列命题中假命题的是( ) A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使()a b R λλ=∈ B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若||1a b ->，则ππ3θ<≤ C ．若0a b ⋅=，则a b ⊥D ．已知1e 与2e 是互相垂直的单位向量，若向量12e ke +与12ke e +的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是0k >.【答案】ACD【解析】A.根据共线向量定理可知，此时0b ≠，故错误；B.因为||1a b ->，所以2221a a b b -⋅+>，所以2cos 1a b θ<，所以1cos 2θ<， 又因为[]0,θπ∈，所以π3θπ<≤，故正确； C.当,a b 中有零向量时，此时0a b ⋅=，因为零向量方向是任意的，所以a b ⊥不一定满足，故错误； D.因为向量12e ke +与12ke e +的夹角为锐角，所以()()12120k k e e e e +⋅+>， 所以20k >，即0k >，且12e ke +与12ke e +不同向，当向量12e ke +与12ke e +共线时，设()1212e ke ke e λ+=+，所以1k k λλ=⎧⎨=⎩，所以1k =±，显然1k =时，12e ke +与12ke e +同向， 综上可知，k 的取值范围是()()0,11,+∞，故错误；故选：ACD.7．(2021·黑龙江齐齐哈尔·高一期末)(多选)G 是ABC 的重心，2AB =，4AC =，120CAB ∠=︒，P 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是( )A ．0GA GB GC ++=B ．AC 在AB 方向上的投影向量等于AB C ．43GB AG ⋅=-D ．()AP BP CP ⋅+的最小值为-1 【答案】AC【解析】A ：当点G 为ABC 的重心时，如图所示：四边形BDCG 为平行四边形，根据重心性质可得2AG GO =.则20GA GB GC GA GD GA GO ++=+=+=，∴A 正确，B ：∵AC 在AB 方向上的投影为1cos120422AC ⎛⎫︒=⨯-=- ⎪⎝⎭，∴AC 在AB 方向上的投影向量为AB -，∴B 错误， C ：∵G 是ABC 的重心， ∴()()()1112333GB BA BC BA BA AC AB AC =-+=-++=-，()13AG AB AC =+， ∴()()()22112299GB AG AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=-⋅+=+⋅- 11482416923⎡⎤⎛⎫=+⨯⨯--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴C 正确， D ：当P 与G 重合时，∵()()AP BP CP AG BG CG ⋅+=⋅+ ()22214293AG AB AC AB AC =-=-++⋅=-，与()AP BP CP ⋅+的最小值为1-矛盾 ∴D 错误， 故选：AC ．8．(2021·江苏·常熟市海虞中学高一月考)(多选)设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，则下列结论中正确的有( ) A ．a b a b -<-B ．()()0a b c c a b ⋅⋅-⋅⋅=C ．()()b ac c a b ⋅-⋅与a 垂直 D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=-【答案】CD 【解析】对于A ：由向量的减法运算以及其几何意义可知：a b a b -≤-，当a ，b 同向时等号成立，故选项A 不正确；对于B ：()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()c a b ⋅⋅表示与b 共线的向量，所以()()0a b c c a b ⋅⋅-⋅⋅=不一定成立，故选项B 不正确；对于C ：()()()()0b a c c a b a b a c a c a b a ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⎣⎦，所以()()b ac c a b ⋅-⋅与a 垂直，故选项C 正确；对于D ：()()222222323296649494a b a b a a b a b b a b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-=-，故选项D 正确； 故选：CD.9．(2021·福建·三明一中高一月考)(多选)下列说法正确的是( )A ．两个向量的夹角的范围是[]0,π．B ．向量AB 与向量CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．C ．两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．D ．若()0a b a c a ⋅=⋅≠，则b c =【答案】AC【解析】A 选项，两个向量的夹角的范围是[]0,π，A 正确.B 选项，向量AB 与向量CD 是共线向量，则,,,A BCD 不一定四点共线，B 错误.C 选项，两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量，C 正确.D 选项，()0cos ,cos ,a b a c a a b b a a c a c ⋅=⋅≠⇔=cos ,cos ,b a b a c c ⇔=，无法得出b c =，D 错误. 故选：AC10．(2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一月考)(多选)设O 为ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则正确的( )A ．O 为ABC 的外心||||||sin a OA OB OC A⇔=== B ．O 为ABC 的重心0OA OB OC ⇔++=C ．O 为ABC 的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅D ．O 为ABC 的内心0aOA bOB cOC ⇔++=【答案】BCD【解析】A.当O 为三角形的外心，由正弦定理可得：2sin a OA OB OC A===，故A 错误； B.当O 为三角形的重心，O 为中线的交点，延长AO 交BC 于点M ，可得2AO OM =，所以2,0AO OM OB OC OA OB OC ==+∴++=.反之，取BC 中点M ，若0OA OB OC ++=，则20OA OM +=，则可得A ,O ,M 三点共线且2OA OM =，即A 为三角形的重心.故B 正确；C.当O 为三角形的垂心，0()0OA BC OA BC OA OC OB OA OC OA OB ⊥⇒=⇒-=⇒=，同理可证OB OC OA OB =，即OA OB OB OC OC OA ==，反之也成立，故C 正确；D. 当O 为三角形的内心，O 为三角形的角平分线，则,AF AE bc a BF a CE==，如图过A 作CF 的平行线交BE 的延长线于点N ，过A 作BE 的平行线交CF 于点M ，则四边形AMON 为平行四边形OM ON AEAFc b OA OM ON CO BO CO BO CO BO CE BF a aCO BO =+=+=+=+ 所以00aOA cCO bBO aOA cOC bOB --=⇒++=，反之也成立，故D 正确； 故选：BCD.。