(教案)集合的基本运算
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集合的基本运算
【教材分析】
集合是数学的基本和重要语言之一，在数学以及其他的领域都有着广泛的应用，用集合及对应的语言来描述函数，是高中阶段的一个难点也是重点，因此集合语言作为一种研究工具，它的学习非常重要。本节内容主要是集合的基本运算的学习，重在让学生类比结合实例，通过类比，引入集合间的运算，安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如类比等。值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用图形的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用直观图进行求补集的运算。
【教学目标与核心素养】
课程目标 核心素养
1．理解两个集合的并集与交集、全集和补集的含义；
2．掌握求两个简单集合的交集与并集的方法；
3．会求给定子集的补集。 a．数学抽象：对集合两个集合的交集、并集、全集概念的理解；
b．逻辑推理：补集的理解；
c．数学运算：会求集合间的交集、并集及其补集的运算；
d．直观想象：在借助Venn图理解集合的基本运算．体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想；
e．数学建模：通过观察身边的实例，发现集合间的基本运算，体验其现实意义。
【教学重难点】
重点：交集与并集，全集与补集的概念。
难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系。
【教学过程】
一、交集
1．情境与问题：
学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求： 2 / 7
（1）中考的物理成绩不低于80分；（2）中考的数学成绩不低于70分。
如果满足条件（1）的同学组成的集合记为P，满足条件（2）的同学组成的集合记为M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合为s，那么这三个集合之间有什么联系呢？
【设计意图】通过生活中的大家熟悉的情境中提取数学概念，使其更通俗易懂。
【师生活动】老师组织学生分组讨论，派代表表述本组结论。由此可知：集合S中的元素既属于集合P，又属于集合M．从而引出“交集”的学习。
2．感受新知
交集的定义：一般地，给定两个集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素（即A和B的公共元素）组成的集合，称为A与B的交集．记作：AB，读作“A交B”．
图形语言：
想一想：如果集合A，B没有公共元素，那么它们的交集是什么？（空集）
练一练：
1．{1,2,3,4,5}{3,4,5,6,8}{3,4,5}
2．{(,)|0}{(,)|0}xyyxyx={(0,0)}
3．(5,2),(3,4]ABAB，则(3,2)
【设计意图】通过练习，加深对交集的概念的理解
【师生活动】独立完成想一想及练习，教师提问，学生回答，并指正。
3．深化认知 交集运算的性质: 对于任意两个集合,,AB都有：
（1）ABBA （2）AAA （3）AA
（4）如果AB，则ABA，反之成立．
4．经典例题：
例1．下列每对集合的交集：
（1）{1,3},B{1,3};A
（2）{1,3,5,7},D{2,4,6,8};C
（3）(1,3],[2,2).EF 3 / 7
【师生活动】学生回答，学生纠错，教师点评，归纳方法。
（1）{3} （2） （3）(1,2)
归纳方法：
1．当已知集合是用列举法表示时，可直接依据定义运算，也可借助Venn图简化计算；
2．当已知集合是用描述法表示时，可借 助数轴求解。
例2．已知{|}{|}AxxBxx是菱形，是矩形，求.AB
【师生活动】解：{|}.ABxx是正方形
【设计意图】以上设置两道例题，是通过让学生思考并回答，使学生能清楚理解交集运算，锻炼学生解决问题的能力。
二、并集
1．情境与问题
某班班主任准备召开一个意见征求会，要求所有上一次考试中语文成绩低于70分或英语低于70分的同学参加。如果记语文成绩低于70分的同学组成的集合为M，英语成绩低于70分的所有同学组成的集合为N，需要去参加意见征求会的同学组成的集合为P，那么这三个集合之间有什么联系呢？
【设计意图】类比交集的学习方式，提取数学概念，使其更通俗易懂。
【师生活动】老师组织学生分组讨论，可得：集合P中的元素要么属于集合M，要么属于集合N．从而引出“并集”的学习。
2．深化认知
一般地，给定两个集合A、B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集。
记作：,AB读作“A并B”。
图形语言：
练一练：
（1）{1,3,5}{2,3,4,6}
（2）(5,2),(3,4],AB 则AB 4 / 7
注意：同时属于A和B的元素，在AB中只能出现一次。
【设计意图】通过练习，加深对并集的概念的理解。
【师生活动】学生回答，学生纠错，教师点评。（1）{1,2,3,4,5,6}（2）(5,4]
3．尝试与发现
并集运算的性质：对于任意两个集合,,AB都有：
（1）AB （2）AA （3）AA
（4）如果AB， 则AB ，反之也成立．
【设计意图】类比交集运算的性质，探索并得出交集运算的性质．
【师生活动】（1）BA（2）A（3）A（4）B
4．经典例题：
例3 已知区间(3,1),[2,3],AB 求,.ABAB
解：在数轴上表示A和B，如图：
由图可得：AB ,AB
【师生活动】教师指导学生完成（1）[2,1)（2）(3,3]
5．探索与发现
（1）设有限集M所含元素的个数用()cardM表示，并规定()0card．已知{x|x}B{x|x}A是外语兴趣小组的成员，是数学兴趣小组的成员，且()=20cardA，()=8cardB ,(A)=4,cardB你能求出(A)cardB吗？
（2）设,AB为两个有限集，讨论()cardA、()cardB,(A)cardB，(A)cardB之间的关系。
【设计意图】利用维恩图，采用数形结合的方式解决实际问题，并归纳猜想公式。
【师生活动】画出维恩图，可得：（1）(A)cardB=24，
（2）(A)card(A)card(B)card(AB)cardB 5 / 7
三、补集
1．情境与问题：如果学校里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所有女同学组成的集合记为F，那么：
（1）这三个集合之间有什么联系呢？（2）如果xS且xM，你能得到什么结论？
【师生活动】分组讨论：（1）集合M和F都是集合S的子集（2）如果xS且xM，则一定有.xF
2．感受新知
（1）全集定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个定的集合为全集，全集通常用U表示。
（2）补集定义：如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集。记作：,UCA，读作“A在U中的补集”。
图形语言：
（3）练一练：
（1）{1,2,3,4,5,6},A{1,3,5},U则UCA
（2）(5,2],A则RCA
【设计意图】通过练习，加深对补集的概念的理解。
【师生活动】学生回答，学生纠错，教师点评。（1）{2,4,6}（2）(,5](2,)
（4）补集运算的性质：
给定全集U及一个子集,A补集的运算性质有：
（1）(CA)UA （2）()UACA （3）(CA)UUC
【设计意图】利用维恩图，加深对补集的性质的理解。
【师生活动】学生回答，学生纠错，教师点评。（1）U（2）（3）A
（5）经典例题：
例4 已知2{|7},A{|7},B{|027},UxNxxUxxUx求,,UUCACB
()(),C(AB).UUUCACB 6 / 7
分析：注意U中的元素都是自然数，而且A，B都是U的子集。
【师生活动】学生先独立完成，然后小组交流，总结错误原因，老师点评
例5 已知(1,),(,2].AB 求,.RRCACB
解：在数轴表示A和B，如图所示：
由图可知：RCA ，RCB ．
【设计意图】通过例题，使学生掌握补集的运算。
【师生活动】利用数轴，看图可得RCA (,1]，RCB(2,)
（6）探索与研究
给定三个集合,,ABC，式子(AB)C的意义是什么？(AC)(BC)呢？画维恩图研究这两个式子之间的关系，并研究(AB)C和(AC)(BC)之间的关系。
【师生活动】利用维恩图，分析可得：(AB)C(AC)(BC)
(AB)C(AC)(BC)
四、练习反馈，培养能力
练习A（教材P19）
【设计意图】通过让学生思考并回答，巩固新知，查缺补漏。
【师生活动】学生回答，教师点评
五、课堂小结
回顾本节课，你有什么收获？
【师生活动】：学生可以从以下四点分别回答： 7 / 7
1．交集 2．并集 3．补集
作业：教材P19 练习B
