平面向量的坐标运算

1 课题：§5.4平面向量的坐标运算

（第一课时）

教材分析与教法设计

教

学

目

标

知

识

目

标

1、理解平面向量的坐标概念

（1）在巩固平面向量基本定理的基础上理解平面向量的坐标概念；

（2）会写出平面直角坐标系内给定向量的坐标.

2、掌握平面向量的坐标运算

（1）能正确理解向量加、减法的坐标运算法则；

（2）能熟练进行向量的坐标运算；

（3）掌握向量坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系.

能

力

要

求

1、通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；

2、通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；

3、借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.

情

感

态

度

设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物观主义观点.

重点 平面向量的坐标运算.

难点 理解向量坐标的意义.

方法 引导发现、合作探究.

教具 多媒体课件、实物投影仪、三角尺.

2 教学过程

环节 具体内容及形式 双边活动 设计意图

复

习

回

顾

判

断

题

1、单位向量都相等； （ 假 ）

2、坐标平面上的x轴和y轴都是向量. （ 假 ）

通过提问的方式让学生对命题作出判断；

教师从学生活动出发，进行

评价、拓展，为

新课的讲解作铺垫. 复习回顾: 复习向量定义，引出x

轴y轴正方向上的单位向量i和j.

3、如果e1 、e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数x,y，使a = x e1 + y e2 .

（ 真 ） 通过第3小题复习平面向量基本定理, 为下一步将基底特殊化引出新课做准备.

创

设

问

题

情

境

通过学生熟知的足球运动来创设问题情境，引入新课，并且建立数学与其它学科的联系.

平面向量的坐标运算导学案

学习目标

1. 会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算；

2. 能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标；

3. 体会向量是处理几何问题的工具.

学习过程

一、自主学习

复习：（1）向量122,0eee是共线的两个向量，则12,ee之间的关系可表示为 .

（2）向量12,ee是同一平面内两个不共线的向量，a为这个平面内任一向量，则向量a可用12,ee表示为 ，则不共线的向量1e、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组 .

问题：已知11,axy，22,bxy，能得出ab，ab，a的坐标吗？

新知：1212,abxxyy

1212,abxxyy

11,axy

例1 如图，已知11,Axy，22,Bxy，求AB的坐标.

小结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 减去 的坐标.

变式：你能在上图中标出坐标为2121,xxyy的P点吗？标出P点后，你能发现向量的坐标与点的坐标之间的联系吗？

例2 已知(2,1)a，(3,4)b，求ab，ab，34ab的坐标.

练1. 已知向量,ab的坐标，求ab，ab的坐标. （1）2,4,5,2ab （2）4,3,3,8ab

（3）2,3,2,3ab （4）3,0,0,4ab

二、课堂展示

例3 已知平行四边形ABCD的顶点2,1A，1,3B，3,4C，试求顶点D的坐标.

变式：若AC与BD的交点为O，试求点O的坐标.

练2. 已知A、B两点的坐标，求AB，BA的坐标.

（1）3,5,6,9AB （2）3,4,6,3AB

主备：赵强 审核：陈闯 编号： 班级 姓名

平面向量的坐标运算

学习目标 1.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

重、难点 平面向量的坐标表示

一 预习案

自主梳理

1．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝xi＋yj，我们把有序数对________叫做向量a的________，记作a＝________，其中x叫a在________上的坐标，y叫a在________上的坐标．

2．平面向量的坐标运算

(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝____________________，a－b＝__________________，λa＝______________.

(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝OB→－OA→＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标．

3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (b≠0)，则a∥b的充要条件是________________．

4．(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2的中点P的坐标为________________________．

(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则△P1P2P3的重心P的坐标为________________________．

自我检测

1．设a＝32，sin α，b＝cos α，13，且a∥b，则锐角α＝________.

2．已知向量a＝(6，－4)，b＝(0,2)，OC→＝c＝a＋λb，若C点在函数y＝sin π12x的图象上，则实数λ＝________.

平面向量坐标运算【教材分析】：本课是在平面向量坐标运算、内积定义基础上学习的，主要知识是平面向量内积的坐标运算与平面内两点间的距离公式，是后面学习曲线方程的重要公式和推导依据，是进一步学习相关数学知识的重要基础。

【教学目标】

1. 掌握平面向量内积的坐标表示，会应用平面向量内积的知识解决平面内有关长度、两向量的夹角和垂直的问题．

2. 能够根据平面向量的坐标，判断两向量是否垂直，求两向量的夹角等。

3. 通过学习平面向量的坐标表示，使学生进一步了解数学知识的相同性，培养学生辩证思维能力．提高学生数学知识的应用能力。

【教学重点】：平面向量内积的坐标公式式，平面向量垂直的充要条件，平面内两点间距离公式的应用．

【教学难点】：平面向量内积的坐标公式的推导和应用。

【教学方法】 本节课采用问题启发式教学和讲练结合的教学方法．

【教学过程】

环节 教学内容 师生互动 设计意图

复

习

导

入 前面我们学习了平面向量的平面直角坐标及其运算下面一起来回忆下这些知识：1.在平面直角坐标系中，21,ee是基向量，他们的坐标如何表示？任意向量a的坐标如何表示？aba,的坐标如何表示？

2.上节课我们学习了向量的内积，是怎么定义的呢？

a·b =

ba,cos =

3． 有哪些重要性质？

a·e= =

ab  ；

| a |=

∣a·b∣≤

4.满足哪些运算律

(1)交换律：a·b =b·a

(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； 教师提出问题．

学生回忆解答．师生共同回忆旧知识．

师：对平面向量的内积的研究不能仅仅停留在几何角度，还要寻求其坐标表示．引出探究问题．

为知识迁移做准备．

(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c