浅谈小波分析理论及其应用

第８卷第２期　２００８年６月　南京工业职业技术学院学报　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎａｎｊｉｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｉｎｄｕｓｔｒｙ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｖｏ１．８．Ｎｏ．２　Ｊｕｎ．，２００８　

文章编号：１６７１—４６４４（２００８）０２—００２１—０３　

小波分析及其去噪应用　

倪瑛，林植平　

（南京工业职业技术学院　电气与自动化系，江苏　南京２１００４６）　

摘要：基于小波变换的特点，分析了小渡变换用于去噪的原理和方法，重点探讨了小渡闽值去噪的原理和方法，并　

对小波分析和小渡变换去噪在某些具体领域的应用情况作了简单介绍。　关键词：小波分析；去噪；阈值；傅立叶变换　

中图分类号：ＴＮ９１１．７　文献标识码：Ａ　

在实际应用领域中得到的信号总是会混杂着一定的噪　

声，而噪声的存在严重干扰了信号的本来面目，不利于进一　

步的信号分析和处理。近几年来，在信号处理领域，利用小　

波方法消噪已越来越广泛。小波变换由于具有良好的时频　

局部化性质，为消噪提供了有力的工具。由于噪声和有用信　

号的频率分布特点及小波变换的时频特性，使小波信号消噪　

具有较好的优势。　

１　小波变换去噪原理及方法　

１．１小波变换及消噪方法　

小波变换是一种信号的时频分析方法，很适合探测正常　信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，有效区分信号中　

的突变部分和噪声。因此利用小波变换进行信号消除的同　时，提取含噪信号，明显好于传统的Ｆｏｕｒｉｏｒ变换的分析方法。　

作为一种信号的时间一尺度（时问一频域）分析方法，它具有　

多分辨分析的特点，而且在时频两域都有表征信号局部特征　

的能力，是一种窗口大小固定不变，但形状可以改变的时频　

局部分析方法。　在信号处理领域，用小波分析降噪已得到了越来越广泛　的应用，目前已经成功地应用于许多领域０］。在本文中主要　

介绍小波阈值去噪的原理和基本方法。小波阈值消噪法是　

小波消噪方法中应用较广泛的一种方法，它具有方法简单、　

计算量小、去噪效果好的特点。小波阈值消噪法的去噪过程　

经济研究　小波分析及其在股市中的应用　杨洁　西南财经大学经济数学学院四川成都６ｌ　ｌ　１３０　【摘要】小波分析由于具有良好的时空频率变换特性，适合于对非平稳数据的分析，因此被广泛应用于股票市场。本文旨在分别阐述小波分析在股指教据分析和股市　趋势性分析两个方面的应用＇从而提高对股市的预测和分析能力，并为投资者决策提供科学的依据。　【关键词】小波分析奇异性股市趋势　１、引言　自９０年代．我国股票市场成立以来．短短数年问得到了快速的发　展。股票交易作为现代生活中常见的风险投资活动。其收益和风险是　相伴而生的。即高收益，高风险Ｉ１氐收益，低风险。因此现代许多学者对我　国股市信号进行研究．力图从中发现规律．从而在一定程度上规避风　险。小波分析作为一门新兴的数学理论与方法。具有良好的“自适应　性”和“变焦性”．被科学界誉为“数学显微镜”，其良好的时空频率　变换特性在信号处理方面展现出显著的优越性。本文旨在对小波分析　在我国股市的应用进行具体介绍，并对其进一步发展方向进行展望。　’２、小波分析基础概述　小波分析是基于泛函分￣ｆＴＳｎＦｏｕｒｉｅｒ分析基础上发展而来的－－Ｃ］　综合性技术。自今为止它已在众多学科领域得到成功应用，并表现出　显著的优越性。　２．１小波函数　设ｇ／（ｔ）∈　（尺）　（　ｊ表示平方可积的实数空间）其傅里叶变换为　１　，　（ｗ）。当　（ｗ）满足允许条件：　＝　＜ｏ０日寸，我们将　（ｆ）　称为一个母小波。　（ｆ）经过伸缩和平移卮得到　＝２　ｇ／（２　ｆ—ｋ），ｊ，　ｋ分别为伸缩因子和平移因子。　２．２连续小波变换　设　ｅ　（　ｎ／２（Ｒ）。且　（。）：。　肢　（ｘ）＝ｉ　Ｌ　（　生成的函数族（　．　）。叫做连续小波。　（ｗ）表示　（　）的Ｆ０ｕｒ１ｅｒ变　换。则对－厂∈Ｅ（Ｒ）定义的信号厂的连续小波变换是　（。，６）＝　厂＇　ｒ）＞＝Ｉ　ｍ　∽　（　２．３多分辨分析　空间￡２（尺）中的闭子空间序列｛　）　满足以下性质时，则称之为　ＬＺ（Ｒ）空间的一个多分辨分析。　２．３．１一致单调性：…　ｌ　ｃＶｏ　ｃ　ｃ…　２．３．２渐进完全性：Ｑ　（Ｏ）：　彤　２．３．３伸缩规则性：，（　∈　§ｆ（２ｘ）∈　２．３．４　Ｒｉ仑ｓｚ基存在性：存在　∈　，使得｛　—　）｝　是　的一组　Ｒｉｅｓｚ基。　３、小波分析在股市的应用　股指虽然是一组混沌的数据，但在其涨跌率变化等方面都有较强的　规律ｌ嘶口拟随　１１生因此对股市进行研究挖掘其潜在规饿对股市进行预　测。有助于提高投资者决策的科学性。过去对股市的研究大多基于统计　与Ｆｏｕｒｉｅ盼析的基础Ｌ但Ｆｏｕｒｉｅ　不具备空间局部性在对像股指这　样的非平稳数据的处理Ｅ。缺乏时域和频域的双重考虑。小波分析具有　良好的时空频率变化特陆完善了对突发信号的处理功能等，近门年被广　泛应用于对股市信号的研究包括股指数据分析、股市趋势Ｉ生分析等。　３．１在股市数据分析方面的应用——奇异性　无限次可导的函数是光滑的或没有奇异ｌ生而某点间断或某阶导　数不连续则称该点为奇异点。信号中的奇异性及不规则的突变部分往　往携带者重要的信息。因此对奇异点的位置及突变程度进行分析．具有　非常重要的意义。数学中。函数的局部奇异性常用Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ｝￣数来表　示，即Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ￣数越大。奇异性越小。该点的光滑度越大，反之亦然。　［定理１］设厂（　）∈　（尺），［ａ，ｂ］为Ｒ上的闭区间，　：　，对任意大于　０的Ｗ，厂（ｆ）是在区间（ａ＋　６一ｗ）上均匀Ｌｉｐｓｃｈｉｚ（ａ）的函数．当且仅　当存在一个常数Ａ　和ｔ∈（ｎ＋ｗ，ｂ—ｗ１，对任意的ｓ＞０有：　ｆ　／（ｆ）Ｉ　Ａ（２　）　或ｌｏｇ』　／（ｆ）』≤ｌｏｇ：ｋ＋　定理ｌ给出了小波变换值的变化规律与Ｌｉｐｓｃｈｉｚ指数奇异性之间　的关系。综上，通过小波变换值的变化，可检验信号的局部奇异｝生。　奇异性分析在我国股市的具体应用步骤是：因为我国股市数据的　时间序列不长，且噪音较大，因此先对其采用收益率、增长率和自然对　数等方法进行预处理。达到降低噪音水平的作用。其次。选取合适的小　波函数，对信息数据进行小波处理。再次。对小波频谱图进行分析，找出　它的局部极值点。由以上理论得，这些极值点即为股市数据的奇异点。　最后，对各个奇异点进行深入分栀可得出哪些因素对股市有重大影响．　为股市决策给出科学的建议。　３．２股市趋势性分析　股市趋势性分析分为基础分析和技术分析两种．基础分析侧重于　国家甚至世界政治、经济宏观上对股市的影响：技术分析侧重于股市　价格内在的运作规律。在实际中，基础分析和技术分析应相辅相成，相　互补充。　３．２．１基础性分析——周期性　股市是由长期升势和长期跌势更替出现、不断循环形成的周期　性市场。从宏观角度讲。股票市场作为国民经济的“晴雨表”。它的周　期领先于经济周期．通过对股市周期性的分析。可预测国民经济的走势：　从微观角度讲如果能掌握股市的周期１生就可以对股市进行预测。从而　指导投资者规避风险和谋取更高的收益。　利用小波分析将股市信号分解到不同的尺度上，即将信号投影到　不同的频段。小尺度下较好的保存了信号的高频部分。体现了信号较　小的周期：大尺度较好的保存了信号的低频部分，体现了信号较大的周　期。由此为基础，我们可以分析出股市的周期性。　３．２．２技术性分析　常用的股市分析方法为移动平均法　口选取一条短期的移动平均　线和一条长期的移动平均线．当短期移动平均线上穿过长期的时，它们　的交点为黄金交叉点（买入时刻）：当短期移动平均线下穿过长期时。　交点为死亡交叉点（卖出时刻）。因为移动平均法存在着滞后性．所　以很难得到最优解。经过小波分解后的低频部分也能反映股票的变　化趋势．且不具有滞后『生。所以将小波低频替代掉移动平均，效果会更　好。许多学者经过实证研究发现，小波生成线不适合做长期趋势线。因　此只用小波替换掉短期平均线的效果最佳。　４、总结与展望　小波分析理论起源于８０年代，虽出现的时间较短．但已被广泛应用　于信号处理、分形识别等各个领垅尤其是在经济方面的应用前景。得　到了国内外学者的广泛认可。本文基于这一背景。主要介绍７，ｂ波分　析的理论知识及其在股市各个方面的应用。通过对过去成果的总结．　笔者掌握了小波分析在股市的两个应用方向。下—步将收集股市最新　数据对以上应用进行实证研究，并结合神经网络等知识对小波分析理　论进行完善，从而更全面得对股市进行分析和预测。　参考文献　…王哲，王春峰等．小波分析在股市数据分析中的应用．系统工程学　报，１９９９。１４（３）：２８６－２８９．　［２１周明磊．非参数估计与小波分析在股市趋势线中的应用．数理统　计与管理．２００５，２５（４）：７０－７５．　【３】侯木舟，袁修贵．基于ＭＡＴＬＡＢ的小波分析在股市技术分析中的　应用．２００１。１９（５）：８６－９１，　【４１侯守国，张世英．基于小波分析的股市高频互相关研究．中国管理　科学．２００６，１４（３）：Ｉ－６．　２０１　１．１２　

第１４卷第４期　２００２年８月　电力系统及其自动化学报　Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＥＰＳＡ　Ｖｏ１．１４　Ｎｏ．４　Ａｕｇ．　２００２　

电力系统暂态信号的小波分析方法及其应用　、　（一）小波变换在电力系统暂态信号分析中的应用综述　

何正友　钱清泉　（西南交通大学电气自动化研究所成都６１００３】）　ＴＨＥ　ＥＬＥＣＴＲＩＣ　ＰＯＷＥＲ　ＳＹＳＴＥＭ　ＴＲＡＮＳＩＥＮＴ　ＳｌＧＮＡＬ　ＷＡＶＥＬＥＴ　ＡＮＡＬＹ’ＳＩＳ　ＭＥＴＨＯＤ　ＡＮＤ　ＩＴＳ　ＡＰＰＬＩＣＡＴＯＮ　（一）ＴＨＥ　ＡＰＰＬｌＣＡＴｌｏＮ　ｏＦ　ＷＡＶＥＬＥＴ　ＴＲＡＮＳＦｏＲＭ　ｌＮ　Ｅｌ　ＥＣＴＲｌＣ　ＰｏＷＥＲ　ＳＹＳＴＥＭ　ＴＲＡＮＳＩＥＮＴ　ＳＩＧＮＡＩ　ＡＮＡＩ　ＹＳＩＳ　ＳＩＳｙＭＭＡＲＩＺＩＮＧ　Ｈｅ　Ｚｈｅｎｇｙｏｕ　Ｑｉａｎ　Ｑｉｎｇｑｕａｎ　（Ｉｎｓｔ．ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ　Ｊｉａｏｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ，６１００３１）　

ＡＢＳＴＲＡＣＴ　Ｔｈｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　Ｏｆ　ｐｏｗｅｒ　ｓｙｓｔｅｍ　ｔｒａｎｓｉｅｎｔ　ｓｉｇｎａｌｓ　ｉＳ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｓ　ｏｆ　ｆａｕｌｔ　ｄｉａｇｎｏｓｉｓ　ａｓ　ｗｅｌｌ　ａｓ　ｔｈｅ　ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｎｅｗ　ｔｒａｎｓｉｅｎｔ　ｐｒｏｔｅｃｔｉｏｎ　ｔｈｅｏｒｙ．Ｗａｖｅｌｅｔ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　ｉＳ　ａ　ｐｏｗｅｒｆｕｌ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｔｏｏｌｓ　ｆｏｒ　ｔｒａｎｓｉｅｎｔ　ｓｉｇｎａｌｓ　ａｎａｌｙｓｉｓ．　Ｔｈｅ　ｓｔｕｄｙ　ｃｏｎｔｅｎｔ　ａｎｄ　ｓｔｕｄｙ　ｓｔａｔｕｓ　ｉｎ　ｑｕｏ　ｏｆ　ｐｏｗｅｒ　ｓｙｓｔｅｍ　ｔｒａｎｓｉｅｎｔ　ｓｉｇｎａｌｓ　ｗａｖｅｌｅｔ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　ａｒｅ　ｓｕｍｍａｒｉｚｅｄ．Ｓｏｍｅ　ｏｆ　ｎｅｗ　ｉｄｅａｓ　ｉｓ　ｂｒｉｎｇ　ｆｏｒｔｈ．Ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ａｎｄ　ｍｏｒｅ　ｓｔｕｄｙ　ｃｏｎ—　ｔｅｎｔ　ａｒｅ　ｉｎｄｉｃａｔｅｄ．　Ｋｅｙ　Ｗｏｒｄｓ　ｗａｖｅｌｅｔ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ｍｏｄｕｌｅ　ｍａｘｉｍｕｍ，ｔｒａｎ—　ｓｉｅｎｔ　ｐｒｏｔｅｃｔｉｏｎ，ｆａｕｌｔ　ｄｉａｇｎｏｓｉｓ　摘要暂态信号分析是电力系统故障诊断和暂态保护的基　础和依据，小波变换为暂态信号分析提供了强有力的数学　工具。本文对国内外小波变换在电力系统暂态信号分析的　应用研究内容及现状进行了综述，展示了一些新思路，指出　了存在的问题和进一步研究的方向。　关键词小波变换模极大值暂态保护故障诊断　１　引言　暂态信号的识别、处理和利用是电力系统状　态监视、故障诊断、电能质量分析的依据，也是新一　代继电保护一暂态保护技术发展的基础。高压输　电线路和电力设备故障发生后，其电压和电流中含　有大量的非基频暂态分量，而且故障分量随着时　刻、故障点位置、故障点过渡电阻以及系统工况的　不同而不同，故障引起的暂态信号是一非平稳随机　过程。电压下降和闪变、瞬时中断、谐波等信号也是　非平稳信号。传统的方法大多是基于傅里叶变换的　数字滤波实现，由于傅里叶变换不具有频率局部化　①本文受国家自然科学基金的资助（项目编号：５９９７７０１９）　本文２００１年１２月３日收到　特性，因而该方法在处理非平稳故障信号时有着局　限性。　九十年代以来，小波理论及其工程应用逐渐得　到各国数学家和工程技术人员的高度重视。小波分　析被认为是对傅里叶分析的重大突破，与短时傅里　叶变换相比，小波变换提供了一个可调的时间一　频率窗，当观察高频信号时它的时窗自动变窄，当　研究低频信号时时窗自动变宽，即具有“变焦距”　的特点［１］。小波变换的另一特征就是它能表征信号　的奇异性，用信号在不同尺度上小波变换的模极大　值或Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ指数表示信号的突变特征，是小波变　换的另一个实用领域。　小波变换应用于电力系统的研究最近几年才　得以展开，分析和处理暂态信号更是一个新的课　题，但它已在暂态信号分析领域显示了其优越性和　广阔的应用前景Ｉ－２，３，４，３５３。结合近几年国内外小　波理论及其在电力系统暂态信号分析领域的研究　成果和文献，本文综述了小波在滤波与去噪、暂态　信号检测与分类、谐波分析、继电保护、故障测距、　数据压缩及故障录波、设备故障诊断等方面的应　用，探讨了存在的问题和有待于研究的方向。　２　小波变换在电力系统故障信号分析中　的应用　电力系统暂态信号分析包括滤波与去噪、信　

第２６卷第３期　Ｖ０１．２６　Ｎｏ．３　长春师范学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｌ￣ｇｃｈｕｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　２０ｃｒ７年６月　Ｊｔｍ．２００ｒ７　

基于小波分析理论及其数字滤波的应用研究　

祁红光　

（沙洋师范高等专科学校，湖北荆ｆ－ｊ　４４８２００）　

［摘　要］系统分析了小波变换的物理意义和特点，包括积分小波变换、二进小波变换和小波的分解　重构。并进一步将小波变换原理应用于微机保护数字滤波器。可得出基于小波变换的微机保护数字滤　波器具有傅里叶变换不可比拟的优越性，可以准确地滤除信号中的直流分量和高频分量。　［关键词］小波变换；多分辨分析；分解与重构；数字滤波　［中图分类号］ＴＮ７１３　［文献标识码］Ａ　［文章编号］１００８—１７８Ｘ（２００７）０３—００２０－０４　

１　引言　

一门新的学科分支——小波分析（Ｗａｖｅｌｅｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ）正在众多学科领域掀起研究热潮。从信号处理角度　讲，小波分析在时、频域同时具有良好的局部化性质（１ｏｃａｌｉｚａｔｉｏｎ），因而它为传统的时域分析与频域分析提　供了有机的联合。它已在数字滤波、压缩编码、计算机视觉、分形、瞬态谱估计、纹理识别等领域得到越来　越多的应用。　２　Ｇａｂｏｒ变换　

一个在中的函数常用于表示具有有限能量的一个模拟信号，并且它的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换　

．　ｒ∞　）＝Ｊ一　ｅ一　厂（ｔ）ｄｔ　（１）　

揭示信号的谱信息。这里ｔ与　分别表示时间与频率变量。但是，式（１）对于由信号厂的局部观测提取谱的信　号，需要一个比较好的时间窗。　对于时间局部化的“最优窗”，用任一Ｇａｕｓｓｉａｎ函数　１　，２　ｇ口（￡）＝丰ｅ一　（２）　、／翮　实现，其中作为窗函数，ａ＞０是定值。这里，最佳性是用测不准原理描述。对于任何定值，一个函数ｆＥ　Ｌ　（侬）的“Ｇａｂｏｒ变换”定义为　ｒ∞　（Ｇ　）（　）＝Ｊ一　（ｅ一　ｔ））　（ｔ—ｂ）ｄｔ　（３）