教室座位选择问题(数学建模)

第十届“新秀杯”

校园数学建模竞赛

论文题目： 教室座位选择

学号 专业 联系方式

队员1 王 2016117557 电气工程

队员2 母博宇 2016117558 电气工程

队员3 佳峻 2016117577 电气工程

1 摘要

本文研究了关于西南交通大学峨眉校区的两种教室听课最佳座位选择的问题。我们根据题目中所给的示意图以及数据，联系实际，合理假设，建立模型进行求解，旨在找出最适合听课的座位。本篇论文我们通过仔细读题，确认该题属于数学规划最优解模型。

在问题一中：选择最优座位，则需要考虑视角，仰角两个决策指标，所以我们建立直角坐标系，使用向量夹角来表示视角α和仰角β，使用了满意度函数f(β,α)来衡量不同位置同学们满意度，以得到最佳位置。为了消除两项决策指标的量纲不同的影响，我们用变异系数法来衡量各项指标的权重大小，其中定义│β-6│和αmax-α为两个决策指标，分别求得权重并赋给两个决策变量，而满意度函数值f(β,α)函数值越小，则表示该座位越合适。因此我们进行了满意度函数最小值点的求解，解得在普通教室和阶梯教室最小值点均在第二排处取得。紧接着，我们又绘制了满意度函数与座位数n的函数图像进行验证。最后我们可以得到结论，普通教室最佳座位为第二排，阶梯教室最佳座位也为第二排。

问题二在问题一的基础上增加了一个决策指标L，我们在问题一的决策指标基础上增加了一个新的决策变量L，然后重新求解三个决策指标的变异系数，进行无量纲化，再分别求得权重，赋给三个决策变量，进行满意度函数g(β,α,L)最小值点的求解，我们解得：普通教室g(β,α,L)最小是在第一排取得，阶梯教室g(β,α,L)最小也是在第一排处取得。我们又绘制了满意度函数g(β,α,L)与座位排数n的图像进行验证，综上，我们得出普通教室的第一排，阶梯教室的第一排是最佳座位。

本文最大的特色在于：通过满意度函数，将三个量纲不同的决策函数综合起来，作为座位的属性，给出了衡量舒适度的方法。此种数学模型能够帮助我们找到教室里或者诸如电影院之类的房间的最佳座位。

关键词：满意度函数 变异系数法 MATLAB软件

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一．问题提出

自高中升入大学，许多学生一下子从紧的学习进入到自由宽松的学习氛围中，也有一部分同学依旧保持着热忱的学习热情，在大学上课前抢着去占座位。

西南交通大学峨眉校区六号楼的教室大体可以分为两类，一类是普通教室，一类是阶梯教室。据悉，座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角是学生眼睛到屏幕上下边缘的夹角，越大越好；仰角是学生眼睛到屏幕上边缘与水平线的夹角，太大会引起人的头部过分上仰而引起不适，最适宜的角度大约为30，另外所占座位越靠前排越容易集中精神，也越好。

我们设屏幕下边缘距地面高度为1h，屏幕高2h，普通教室第一排与屏幕的水平距离为1D，阶梯教室第一排与屏幕的水平距离为2D ，每一排的距离为d，普通教室总共为学生平均坐高为c（指眼睛到地面的距离）。已知参数11.2h，23h，13D ，24D，1.1c（单位：m），普通教室总共有8排，阶梯教室总共有14排且从第6排开始有阶梯，每节阶梯有一排座位且高度为0.1m。

1、假设不考虑座位与距离老师远近产生的影响，请分别选出普通教室和阶梯教室的最佳座位；

2、考虑座位与距离老师远近产生的影响，请分别选出普通教室和阶梯教室的最佳座位。

二．基本假设

1.人的双眼简化为一个质点，将示意剖视图中的座椅和人简化为通过人眼的竖直线段，竖直线段的上端点为人眼被简化成的质点。

2.人在座位上晃动时眼睛的位置变化对问题的影响忽略不计。

3.黑板的宽度忽略不计。

4.老师的位置与黑板的位置重合，且老师的位置固定不变。

三. 符号说明

符号 意义 单位 备注

X 建立直角坐标系后x轴方向上的变量 下标的字母表示某一点

Y 建立直角坐标系后y轴方向上的变量 下标的字母表示某一点

N 人眼所表示的质点 3

四.问题分析

大学的学习依然需要我们的努力，而听课的质量则是关键，好的座位能够提升我们的听课效率。不同的座位所对应的视角α、仰角β以及距离老师的远近不同，学生的听课效率也有所差异。所以，下面我们将结合这三个因素，综合考虑最佳听课位置。

在问题一中，未考虑与老师的距离因素，所以，我们只需研究视角α与仰角β两个因素。因为教室又分为两种：我们可以发现，其中阶梯教室是有一部分与普通教室的属性完全一样的。所以，我们可以讨论阶梯教室的情况，从而建立适用于两种情况的模型；而问题二，是在问题一的基础上，加了一个约束因素，即座位与老师的距离L。此时我们想到了用构造一个平面坐标系来将支点，夹角放入坐标系中进行讨论，用坐标变换来表示视角、仰角、学生与老师的距离，使问题更加清晰明白。

因为是求解最优化问题，所以我们想到了构造满意度函数。最后因为我们M 与人眼在同一水平线且位于黑板上的点

P 与N点在同一竖直线的位于黑板下边缘的点

Q 与N在同一竖直线的位于黑板上边缘的点

n 学生座位所处的排数

L 学生与老师的距离 米（m） 适用于问题二

h1 屏幕下边缘距地面高度 米（m） 已知为1.2

h2 屏幕高度 米（m） 已知为3

d 每一排的距离 米（m） 已知为0.5

c 学生的平均坐高 米（m） 已知为1.1

D1 普通教室第一排到屏幕的距离 米（m） 已知为3

D2 阶梯教室第一排到屏幕的距离 米（m） 已知为4

h3 阶梯教室每节阶梯高度 米（m） 已知为0.1

α 视角：学生眼睛到屏幕上下边缘的夹角 弧度

β 仰角：学生眼睛到屏幕上边缘与水平线的夹角 弧度

αmax 普通教室和阶梯教室α角的最大值 弧度 不同问题中分别表示两个教室α角

f() 满意度函数 问题一

g() 满意度函数 问题二

V 变异系数

δ 标准差

平均值

K 权重 下标为不同指标 X 4 并不知道视角、仰角与学生与老师距离对听课效率的影响程度，所以我们又使用了变异系数法来确定权重，来衡量不同座位所含的因素β，α或因素β，α和L对听课效率的影响程度大小，从而选出最佳位置。

下面是两个问题思路的流程图：

权重

未知

用

坐

标

表

示

流程图

4.2问题一的概述：

本部分我们将主要说明如何使用题中所给的数据。对于我们所求的视角和仰角，可以在直角坐标系中，通过向量的夹角来求解。而题中的数据则可以确定物体在直角坐标系中的坐标，即将物理模型转换为数学模型。

通过分析可知，视角与仰角的表达式是由多个已知量和一个未知量（座位的排数n）组成的，所以，我们就将现实生活问题用数学模型表达了出来。接下来，我们就可以用构造满意函数的方法比较不同座位的视角与仰角对问题的影响程度。

4.3问题二的概述：

问题二是在问题一的基础上，增加了一个学生与老师的距离因素，从而再来讨论不同座位对学习效率的影响。首先，我们需要考虑阶梯教室中前排的同学能否挡住后排同学的视线。因为在视角的围，后面同学的视线易被前排同学挡住。经过数学计算，我们发现后面同学的视线并不会被前排同学挡住。这就消除了我们的顾虑。接着我们通过分析数据发现，距离L=D2+(n-1)d,即L也是由n来确定的。这样，则三个因素可由n来连接的。示意图如下所示：

表示

流程图

五、模型的建立与求解 题目分析 提取决定因素 建立直角坐标系 构造满意函数 变异系数法

视角 仰角 距离

视角

仰角

距离 n的表达式 满意度函数 5 5.1 问题一模型建立与求解

5.1.1 问题一的分析

首先，我们进行数据预处理，将本题中的角度全部由弧度制来表示，如30o转化为6，方便计算和应用。

问题一给我们提出了一个问题：在不考虑座位与距离老师远近产生的影响的情况下，分别选出普通教室和阶梯教室的最佳座位。

根据题意，我们只需要考虑选择不同座位时β，α的不同对满意程度所带来的影响便可确定最佳位置。由此我们可以建立满意度函数f(β,α),进而求出满意程度最大的座位，即满意度函数在定义域的最值点即可。

而此题中满意程度由人的仰角β和视角α所决定，仰角β最适宜的角度为6,即β越接近6，β所决定的满意度越高。因此我们用│β-6│（即β与6差值的绝对值）来表示β与6的接近程度，│β-6│越小，β与6越接近，即β所决定的满意度越高。对于视角α，它表示的是学生眼睛到屏幕上下边缘的夹角，α越大越好，即α所决定的满意度越高。我们用αmax-α来表示α的大小，αmax表示每一种情境中所有位置中α角的最大值。αmax-α越小，说明α越大，即α所决定的满意度越高。

为建立满意度函数，我们要表示出各个位置的β角和α角。设黑板所在直线为y轴，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系。我们可以利用两个向量之间的夹角来表示出β角和α角。如图1所示。

图1

5.1.2 问题一模型的建立

现在我们来构建满意度函数，满意度需要用决策变量│β-6│和αmax-α来衡量。│β-6│和αmax-α我们采用直角坐标系中向量知识可以求得。很明显，每一排座位都对应一个β和α，那么当最适宜的β和α在不同座位处取得时， 6 我们应该怎样来衡量β和α的重要性呢，也就是我们应该怎样来确定│β-6│和αmax-α的权重。

而本题中由于评价指标体系中的各项指标的量纲不同，不宜直接比较│β-6│和αmax-α差别程度。为了消除各项评价指标的量纲不同的影响，本题中我们需要用各项指标的变异系数来衡量各项指标取值的差异程度。由此，便可确定│β-6│和αmax-α的权重，我们的满意度函数也就可以顺利构建出。

接下来，我们来确定权重以及│β-6│和αmax-α，以来建立模型。

1)权重的确定：

我们采用变异系数法来确定权重。决策指标的变异系数公下：

Vi= （i=1，2，3，4……n） (1)

此式中，是Vi第i项指标的变异系数，也称为标准差系数；问题一中共有两项指标，│β-6│和αmax-α。δi分别是是第i项指标的标准差,在问题一即为│β-6│和αmax-α分别组成的数组的标准差；是第i项指标的平均数，在问题一中即为│β-6│和αmax-α分别组成的数组的平均值；各项指标的权重为：

Ki= （2）

在问题一中，我们将 │β-6│和αmax-α的权重分别记为K1和K2。