均值不等式题型

学 校： 年 级：高二 教学课题：均值不等式

学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：

教学目标 掌握均值不等式的基本运用

教学内容

一．均值不等式

1.（1）若Rba,，则abba222 (2)若Rba,，则222baab（当且仅当ba时取“=”）

（3）3333(0,0,0)abcabcabc（当且仅当abc时取到等号）

2.(1)若*,Rba，则abba2 (2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba时取“=”）

*,Rba，则22baab (当且仅当ba时取“=”）

(3)若三个正数a、b、c、则33abcabc()abcR、、（当且仅当abc时取到等号）.

3.若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）;若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）

若0x，则11122-2xxxxxx即或 (当且仅当ba时取“=”）

4.若0ab，则2abba (当且仅当ba时取“=”）

0,2baabab若则（当仅当a=b时取等号）

若0ab，则22-2abababbababa即或 (当且仅当ba时取“=”）

5.若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba时取“=”）

二、几个著名不等式

①平均不等式：2211222abababab，,abR（，当且仅当ab时取""号）.

（即调和平均几何平均算术平均平方平均）

变形公式： 222;22ababab 222().2abab

②幂平均不等式：

不等式的性质及均值不等式

一．不等式的性质

性质1：如果ba，那么ab；如果ab，那么ba（对称性）

性质2：如果ba，cb 那么ca（传递性）

由对称性、性质2可以表示为如果bc且ab那么ac

性质3：如果ba，那么cbca （加法单调性）反之亦然

性质4：如果ba且0c, 那么bcac；

如果ba且0c那么bcac （乘法单调性）

推论1 如果0ba且0dc，那么bdac（相乘法则）

推论1’（补充）如果0ba且dc0，那么dbca（相除法则）

推论2 如果0ba, 那么nnba )1(nNn且

性质5：如果0ba，那么nnba )1(nNn且

二．均值不等式

熟记以下几种均值不等式和变式：

1、abba222 2、 abba2 3、222baab 4、22baab

5、bbaabbabaaba11222022

6、abccba3333 7、 33abccba8、3333cbaabc 9、33cbaabc

10、nnnaaanaaa2121当然，不等式成立和等号成立二者的条件不能忽略。

三．极值定理及应用

已知yx,都是正数，求证：

1 如果积xy是定值p，那么当yx时和yx有最小值p2

2 如果和yx是定值s，那么当yx时积xy有最大值241s

证：∵Ryx, ∴ xyyx2

1当xyp (定值)时，pyx2 ∴yxp2

∵上式当yx时取“=” ∴当yx时有min)(yxp2

2当syx (定值)时，2sxy ∴241sxy ∵上式当yx时取“=” ∴当yx时有2max41)(sxy注意强调：1最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）

均值不等式常见题型版

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均值不等式

一、 根本知识梳理 1. 算术平均值：如果 a﹑ b∈ R ，那么 叫做这两个正数的算术平均值 .

+

2. 几何平均值：如果 a﹑ b∈ R+，那么 叫做这两个正数的几何平均值

3. 重要不等式：如果 a﹑ b∈ R，那么 a2 +b2≥ ( 当且仅当 a=b 时，取“ =〞 )

均值定理：如果 a﹑ b∈ R ，那么 a b ≥ ( 当且仅当 a=b 时，取“ =〞)

+ 2

均值定理可表达为：

4．变式变形：

1 ab a2 b2

;

2

2

a

2 b

;

2

3 b a ab 0 ;

a b

a 2 b

；

4 2

5 2 a2 b2 .

5. 利用均值不等式求最值， “和定，积最大；积定，和最小〞 ，即两个正数的和为定值，那么可求其积的最大值；积为定值，那么可求其和的最小值。

注意三个条件：“一正，二定，三相等〞即：〔 1〕各项或各因式非负； 〔 2〕和或积为定值；〔3〕各项或各因式都能取得相等的值。

6. 假设屡次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=〞号的一致性。

有时为了到达利用均值不等式的条件，需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑别离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景。

二、常见题型：

1、分式函数求最值，如果 y f ( x) 可表示为 y mg(x) A B 的形式，且 g (x) 在定 g(x)

义域内恒正或恒负， A 0, m 0, 那么可运用均值不等式来求最值。

均值不等式

1．重要不等式

对于任意实数a，b，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

2．均值定理

如果a，b∈R＋，那么a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

3．算术平均值与几何平均值

对任意两个正实数a，b，数a＋b2叫做a，b的算术平均值，数ab叫做a，b的几何平均值．故均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．

4．均值定理的常用推论

(1)ab≤a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)；

(2)ba＋ab≥2(a，b同号)；

(3)当ab>0时，ba＋ab≥2；当ab<0时，ba＋ab≤－2；

(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．

[情境导学]

在学习等差数列和等比数列时，我们知道两个正数a，b的等差中项和等比中项分别为a＋b2、ab，那么这两个中项有什么大小关系呢？能不能相等？什么条件下相等？本节我们就来研究这个问题．

探究点一 重要不等式a2＋b2≥2ab

思考 如何证明不等式a2＋b2≥2ab?

小结 一般地，对于任意实数a、b，我们有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．通常我们称a2＋b2≥2ab为重要不等式．

探究点二 基本不等式ab≤a＋b2

思考1 如果a>0，b>0，用a，b分别代替a2＋b2≥2ab中的a，b会得到怎样的不等式？

思考2 如何证明不等式ab≤a＋b2(a>0，b>0)?

思考3 对任意两个正实数a，b，数a＋b2叫做a，b的算术平均值，数ab叫做a，b的几何平均值．那么均值定理如何用它们表述？

小结 (1)如果a，b∈R＋，那么a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立，称为均值不等式，也称它为基本不等式．

(2)均值不等式用语言表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．

思考4 如果把ab看作是正数a，b的等比中项，a＋b2看作是正数a，b的等差中项，该定理如何叙述？