下载文档原格式
圆锥曲线解题技巧之对称性利用圆锥曲线的对称性质简化计算和证明过程提高解题效率在圆锥曲线解题中，对称性是一种常用的技巧，可以用来简化计算和证明过程，提高解题效率。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们都具有不同的对称性质，可以通过利用这些对称性质来解题。
1. 椭圆的对称性利用椭圆是一种闭合曲线，具有中心对称性质。
利用椭圆的对称性，可以简化计算和证明过程。
例如，在求解椭圆的焦点坐标时，可以利用对称性质来减少计算量。
假设椭圆的中心为原点，主轴在x轴上，次轴在y轴上。
设椭圆上一点的坐标为(x, y)，则椭圆上对称的另一点的坐标为(-x, -y)。
通过利用对称性，可以避免重复计算，简化求解过程。
2. 双曲线的对称性利用双曲线是一种开口曲线，具有轴对称性质。
在利用双曲线的对称性解题时，可以根据曲线的性质进行推导。
例如，在求解双曲线的渐近线方程时，可以利用双曲线的轴对称性质来简化证明过程。
双曲线的轴对称性可以使得我们只需要证明其中一条渐近线的方程，然后通过对称性得到另一条渐近线的方程。
3. 抛物线的对称性利用抛物线是一种开口方向确定的曲线，具有顶点对称性质。
在利用抛物线的对称性解题时，可以利用顶点对称性来简化计算和证明过程。
例如，在求解抛物线的焦点坐标时，可以利用抛物线的顶点对称性质简化计算，将问题转化为求解顶点的坐标。
通过利用对称性，可以减少计算量，提高解题效率。
综上所述，对称性是解决圆锥曲线问题的重要技巧之一。
通过利用椭圆的中心对称性、双曲线的轴对称性和抛物线的顶点对称性，可以简化计算和证明过程，提高解题效率。
在解题过程中，我们应当充分利用圆锥曲线的对称性质，并善于将问题转化为利用对称性质求解对应的简化问题，从而更加高效地解决圆锥曲线问题。
第1讲 点关于直线的对称问题知识与方法1.如右图所示，已知点()00,P x y 和直线:0l Ax By C ++=，求P 关于直线l 的对称点P '这类问题，通常可以设P '的坐标为(),a b ，利用PP '的中点在对称轴l 上，以及PP l '⊥来建立方程组，求解a 和b .2.技巧：当对称轴直线的斜率是1±时，可直接由对称轴方程将x 、y 反解出来，再将点P 的坐标分别代入即可得出所求对称点的坐标.典型例题【例题】已知点()1,2A ，则A 关于直线:220l x y −−=的对称的点A '的坐标为_______.【解析】如图，设(),A a b '，则AA '的中点为12,22a b G ++⎛⎫⎪⎝⎭， 点G 在直线l 上，所以1222022a b ++−⋅−=①， 又AA l '⊥，所以221211212b a +−⋅=−+−②， 联立①②可解得：3a =，2b =−，所以点A '的坐标为()3,2−.【答案】()3,2−变式1 已知点()1,2A ，则：（1）点A 关于直线1:10l x y −−=对称的点A '的坐标为_______；（2）点A 关于直线2:10l x y +−=对称的点A ''的坐标为_______；【解析】（1）1101x y x y y x =+⎧−−=⇒⎨=−⎩，将点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得30x y =⎧⎨=⎩，所以()3,0A '；（2）1101x y x y y x =−⎧+−=⇒⎨=−⎩，点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得10x y =−⎧⎨=⎩，所以()1,0A ''−.【答案】（1）()3,0；（2）()1,0−【反思】当对称轴的斜率为1±时，可以使用小技巧来求对称点的坐标，若斜率不是1±，则不能这样做.变式2 已知直线:10l x y −+=和点()2,0A ，()3,3B −−，点P 在直线l 上，则PA PB +的最小值为_______.【解析】如图，1101x y x y y x =−⎧−+=⇒⎨=+⎩将点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得13x y =−⎧⎨=⎩， 所以A 关于直线l 的对称点为()1,3A '−， 由图可知PA PA '=，从而PA PB PA PB '+=+，故当P 为线段A B '与直线l 交点时，PA PB +最小，且最小值为A B '=.【答案】变式3 一只虫子从原点出发，先爬到直线:10l x y −+=上的点P ，再爬到点()1,1A ，则虫子爬行的最短路程为_______.【解析】问题等价于求直线l 上的动点P 到原点O 和点A 的距离之和的最小值，如图，1101x y x y y x =−⎧−+=⇒⎨=+⎩，将点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得02x y =⎧⎨=⎩， 所以点A 关于直线l 的对称点为()0,2A '，从而PA PA '=，故PO PA PO PA '+=+， 由图可知当P 为线段A O '与l 交点时，PO PA '+取得最小值，此时PO PA +也最小，且最小值为2.【答案】2【反思】求直线l 上的动点P 到直线l 同侧两定点A 、B 距离之和的最小值问题的解题步骤是：（1）求点A 关于直线l 的对称点A '；（2）求A B '的长，即为所求最小值.强化训练1.（★★）点()2,4A 关于直线:2330l x y +−=的对称点A '的坐标为_______.【解析】设(),A a b '，如图，一方面，AA '的中点24,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上，所以24233022a b ++⋅+⋅−=①， 另一方面，AA l '⊥，所以42123b a −⎛⎫⋅−=− ⎪−⎝⎭②， 联立①②解得：2a b ==−，所以A '的坐标为()2,2−−.【答案】()2,2−−2.（★★）点()3,2A −关于直线:10l x y −−=的对称点A '的坐标为_______.【解析】1101x y x y y x =+⎧−−=⇒⎨=−⎩将点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得12x y =−⎧⇒⎨=⎩点A '的坐标为()1,2−.【答案】()1,2−3.（★★★）已知P 是直线:20l x y +−=上的动点，点()3,0A −，()0,1B −，则PA PB +的最小值为_______.【解析】2202x y x y y x =−⎧+−=⇒⎨=−⎩， 将点B 的坐标代入这两个式子的右侧可得32x y =⎧⎨=⎩， 所以点B 关于直线l 的对称点为()3,2B '，从而PB PB '=，所以PA PB PA PB '+=+，由图可知当A 、P 、B '三点共线时，PA PB '+取得最小值AB '=，所以()min PA PB +=.【答案】。
圆锥曲线中的对称问题上海西南位育中学 叶春怡我们常常会遇到这样的问题：第一类是整个曲线关于某点（或直线）对称，第二类是圆锥曲线上的两点关于某直线对称。
这就是本文讨论的“圆锥曲线中的对称问题”。
例1． 求椭圆1422=+y x 关于点M （3，5）对称的曲线方程。
1-1解：设所求曲线上任一点),(y x P ，如图1-1，根据中心对称的性质，P 、P /关于M （3，5）对称，得)10,6('yx P --的坐标是，它应在椭圆1422=+y x 上，于是有1)10(4)6(22=-+-y x ， 即P 点坐标需满足的方程是1)10(4)6(22=-+-y x 。
本例是圆锥曲线对称问题中一类非常典型的问题，即求某一曲线关于定点的对称曲线的方程。
这一类型问题的基本解法和结论：求曲线0),(=y x f 关于点M ),(b a 第一步，设所求曲线上任一点),(y x P ；第二步，易得P 点关于M 的对称点为,2('x a P -第三步，)2,2('y b x a P --在已知曲线上，满足已知曲线方程，代入得0)2,2(=--y b x a f ；第四步，作结论0)2,2(=--y b x a f 即为所求曲线方程。
事实上对其它曲线方程，上面的步骤和结论同样成立。
例2． 求曲线C ：2x y =关于直线l ：x+y-1=0对称的曲线C ’的方程。
解：在曲线C ’任取一点P （x,y ）.设其关于直线l 对称的点P /（x /,y /），则点P /在曲线C ：2x y =上。
由对称的性质知直线l 垂直平分线段PP /，即线段PP /的中点（2/x x +，2/y y +）在直线l 上，且直线PP /的斜率xx yy --//与直线l 的斜率-1之积为-1。
通过解方程组xx yy --//（-1）=-1 2/x x ++2/y y +-1=0得x /=1+-y y /=-1+-x将P /（x /,y /）的坐标代入曲线C ：2x y =中即得曲线C ’的方程为022=+-y y x 。
圆锥曲线上两点关于直线对称问题的解法圆锥曲线上两点关于直线对称问题是高考命题的一个热点问题，该问题集中点弦、垂直、直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、方程函数不等式、点差法等重要数学知识和思想方法于一体，符合在知识网络交汇处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内设置问题的命题特点，此类试题综合性强，但难度适中,对数学知识和能力的考查具有一定的深度,具有很好的选拔功能,是高考命题的热点.圆锥曲线上两点关于直线对称问题主要有联立方程和点差法两种解法,本文结合典型例题对这两种解法进行对比解读,供参考.例1（2010年高考安徽卷理科第19题）椭圆经过点,对称轴为坐标轴,焦点在轴上,离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）求的平分线所在的直线的方程;（Ⅲ）在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在,请找出;若不存在,说明理由.解（Ⅰ）椭圆的方程为（过程略）;（Ⅱ）直线的方程为（过程略）;（Ⅲ）法1（联立方程）假设在椭圆上存在关于直线对称的相异两点,设线段的中点为.因为直线与直线垂直,所以设直线的方程为：,由此得将其代入椭圆方程得,①.因为是此方程的两个根,所以,所以.又点在直线上,所以,所以点的坐标为.又点在直线上,所以,解得,所以点的坐标为,因为点的坐标满足椭圆方程,所以点在椭圆上,不在椭圆内,故不存在这样的两点.另解：将代入①得,因方程有两个相等实根,两点重合这与假设矛盾,故不存在这样的两点.法2（点差法）假设在椭圆上存在关于直线对称的相异两点,设线段的中点为.因为两点在椭圆上,故有,两式相减得,.又为线段的中点,则有,所以.因为直线与直线垂直,所以,所以,所以①.又点在直线上,所以②.解①②得点的坐标为,因为点的坐标满足椭圆方程,所以点在椭圆上,不在椭圆内,故不存在这样的两点.点评本题第三问是一道探究椭圆上是否存在关于已知直线对称的相异两点的存在性探索题,既可用方程思想求解也可用点差法解答,因为答案是不存在，所以最后的关键是找出矛盾,这个矛盾既可以是假设相异的两点重合,也可以是线段的中点在椭圆上,不在椭圆内.例2已知椭圆中心在原点,焦点在轴上,一个顶点的坐标为,且其右焦点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程;(2）是否存在斜率为的直线,使与已知曲线交于不同的两点,且有.若存在,求的取值范围;若不存,请说明理由.解（1）求得（过程略）;（2）法1（联立方程）设直线的方程为,将其代入椭圆方程得.设,则方程的两个根,故.因点在直线上,所以.又点在椭圆内,所以有,即,化简得①.又,所以,即,化简得②.由①②消去得,,又,所以的取值范围是.法2（点差法）假设存在这样的直线,设点为线段的中点,设,则,因为点在椭圆上,所以,两式相减得,,即,所以,即①.又,所以,则②.由①②得,所以,又因为点在椭圆内,所以有,即,解得,又,所以的取值范围是.例3试确定实数的取值范围,使抛物线上存在两点关于直线对称.法1（联立方程）因为设为抛物线上关于对称的两个点,设线段的中点为.又直线与直线垂直,故可设直线的方程为,将其代入得.因为是该方程的两个根,故.又点在直线上,所以,又因为点在抛物线内,所以即,也就是,,又恒成立,所以.法2（点差法）显然,设为抛物线上关于对称的两个点,设线段的中点为.则,又直线与直线垂直,所以,即.下同法1略.例4（06年高考福建卷）已知椭圆的左焦点为,为坐标原点.（1）求过点,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点,线段的垂直平分线与轴交于点,求点的横坐标的取值范围.解（1）略；（2）法1（联立方程）设,设为线段的中点,设过左焦点且不与坐标轴垂直的直线的方程为,将其代入椭圆方程整理得,.因为是方程的两个根,所以.又点在直线上,所以,故点的坐标为.又,所以,故直线的点斜式方程为.令得,,又,所以,故点的横坐标的取值范围是.法2（点差法）设,则有,两式相减得,.又设为线段的中点,则有,所以.因为,所以,即,所以线段的垂直平分线的点斜式方程为,令得点的横向坐标为.又,所以,即,又所以即,故点的横坐标的取值范围是.评注本题因直线过左焦点,线段的中点必在椭圆内,故需另寻它法求范围.法1用函数值域求范围,法2用不等式求范围.综上可知,解决圆锥曲线上两点关于直线对称问题,要充分利用“垂直”与“中点”这两个条件,“联立方程”和“点差法”只是将这两个几何条件代数化的一种途径,“主动设点（设弦端点坐标、设弦中点坐标）设线（设直线方程）、引入多元设而不求”是解决这类问题的基本方法和必由之路。
務虫例谈圆锥曲线中的中点和对称问题■浙江省吴兴高级中学杨金军解析几何是高中数学的重点内容之一，直线和圆锥曲线构成了解析几何的核心部分。
圆锥曲线中的中点弦问题、对称问题一直是高考数学试题中的常考问题之一，这类问题常涉及直线与圆锥曲线的位置关系、方程与函数等重要的数学知识。
纵观近几年各地的高考模拟试题和高考真题，我们会发现这类试题既注重对数学基础知识的全面考査，又注重对数学思想和思维方法的考查，而且试题综合性强、题目新颖、灵活多样，对同学们的解题能力要求比较高。
解析几何是高考数学的热点更是难点，所以有“得解几者得数学”之说，本文对解几中的中点弦及对称问题的求解策略进行探究，为同学们高考助力O一、中点问题直线和圆锥曲线相交弦的中点有关问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题，在高考选择题、填空题、解答题中时有出现，属于中档偏难题型。
解决这类问题的常用策略有数形结合法、消元法、点差法、公式法等，具体选用哪种方法视问题实际背景而定。
151!f（2020年衢丽湖三地市教学质量2检测）已知椭圆丁：脊+b=l,抛物线M：录=2i>a的焦点为F,且动点在抛物线M的准线上。
（1）当点G在椭圆T上时，求|GF|的值；（2）如图1,过点G的直线Zi与椭圆丁交于P,Q两点，与抛物线M交于A,B两点，且G是线段PQ的中点，过点F的直线12交抛物线M于C,D两点，若AC//BD,求直线l i的斜率k的取值范围。
图1解析：（1）因为点G（-1,O在椭圆上，所12以忑+『=1，解得/=忑。
又因为点在抛物线的准线上，所以p=2,则所以|GF|=A+F/19—2°（2）由题意知点G在椭圆内，所以#+护VI,解得i2<—Ob2由椭圆的中点弦公式可得k x=-—・空=_丄._1=1yc4Z所以直线ty—e=£（h+1）。
设直线乙：工=加夕+1（皿工0）。
联立直线厶和抛物线M的方程任=4丈（》一i）—1,9消去工整理得y2~16tyL=仏，+16/+4=0。
高考数学中圆锥曲线的对称问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在高考数学中，圆锥曲线是一个十分重要的内容，其中对称问题是一个常见但又十分关键的概念。
在解题过程中，对称性的运用常常能够简化问题的复杂度，同时也有助于更快地找到解题的思路。
掌握圆锥曲线的对称性质对于高考数学的学习十分重要。
我们来看一下圆锥曲线在平面直角坐标系中的对称性质。
对于椭圆、双曲线和抛物线这三种常见的圆锥曲线，它们都具有不同的对称性质。
在平面直角坐标系中，我们可以将这三种圆锥曲线分别绕着x轴、y轴、原点进行对称。
这种对称性质不仅有助于我们确定曲线的性质，还能够方便我们进行求解和计算。
以椭圆为例，椭圆具有关于x轴和y轴的对称性。
具体来说，如果一个点(x, y)在椭圆上，则点(x, -y)、(-x, y)、(-x, -y)也在椭圆上。
这种对称性质不仅可以用于确定椭圆的形状和位置，还可以用于求解椭圆上的点的坐标，简化计算过程。
对于双曲线，它具有关于x轴和y轴的对称性以及关于原点的对称性。
这种对称性质同样可以用于求解双曲线上的点的坐标，简化计算过程。
除了在平面直角坐标系中的对称性质外，圆锥曲线还存在着一些特殊的对称性质。
对于一个椭圆的长轴和短轴，它们的交换并不改变椭圆的性质，这是椭圆的一种特殊对称性质。
这种特殊的对称性质对于解题有一定的指导意义，能够帮助我们更好地理解椭圆的性质。
对称性还可以帮助我们求解一些特殊的问题。
当我们需要计算一条平行于坐标轴的直线与圆锥曲线的交点时，可以利用对称性质将问题简化，降低解题的难度。
除了在平面直角坐标系中的对称性质外，圆锥曲线还有一些其他的对称性。
在极坐标系中，椭圆和双曲线具有关于极轴和极点的对称性。
这种对称性质同样可以应用在计算中，帮助我们更好地理解和解决问题。
在解题过程中，对称性质是一个十分有用的工具。
通过合理地利用曲线的对称性，我们可以更快地找到解题思路，简化计算过程，提高解题效率。
在学习圆锥曲线的过程中，我们应该重点掌握曲线的对称性质，并灵活地运用于解题中。
圆锥曲线中的一类对称问题 例：已知椭圆22:143x y C +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线:4l y x m =+，椭圆C 上有不同的两点关于这条直线对称。
法一：利用判别式及韦达定理来求解两点,A B 关于直线l 对称，对称中体现的两要点：垂直和两点连线中点在对称直线l 上，因此使用这种方法求解时,必须同时确保: ⑴垂直;⑵平分⑶存在,下面就说明三个确保的实施。
解:椭圆上存在两点,A B 关于直线:4l y x m =+对称设直线AB 为:n x y +-=41 (确保垂直). 则直线AB 与椭圆有两个不同的交点22221413816480143y x n x nx n x y ⎧=-+⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩ 2192(413)0b ∆=--> (确保存在)即：n << ① 12881313n n x x -+=-= ,A B 两点的中点的横坐标为124,213x x n +=纵坐标为141241313n n n -⨯+= 则点412,1313n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线:4l y x m =+上,12441313n n m =⨯+. (确保平分) 413m n ⇒=- 把上式代入①中,得：1313m -<< 法二：点差法点差法是解决中点弦问题的一种常见方法，对称问题符合点差法的应用条件，过程如下 解:设椭圆上关于l 对称的两点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 的中点为00(,)M x y ，代入椭圆方程后作差，得 0121203144x y y x x y -=-=-- ① 由点00(,)M x y 在直线:4l y x m =+上，得004y x m =+ ②由①②解得00,3x m y m =-=-因为点00(,)M x y 在椭圆的内部所以 22()(3)143m m --+< 解得213213.1313m -<< 已知椭圆C ： 22221x y a b +=的左焦点为F ，若点F 关于直线12y x =-的对称点P 在椭圆C 上， 则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．3D ．5 【答案】D【解析】椭圆左焦点坐标为(),0F c -，它关于直线12y x =-的对称点为34,55P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，据此可得222234551c c a b⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理可得：22222291625b c a c a b +=，结合222b a c =- 整理可得： 4224950250c a c a -+=，即： ()()4222950250,5950e e e e -+=--=，椭圆的离心率01e << ，则255,9e e ==．故选D ．。
2021年高考数学专题41 圆锥曲线中的对称问题黄金解题模板【高考地位】在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求方程中参数的范围. 这类问题涉及的知识面广，解题灵活性大，是高考中的一个热点和难点. 因此，掌握这类问题的解法是必要的和重要的.【方法点评】方法一判别式法使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题解题模板：第一步假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程；第二步联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标；第三步把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式；第四步利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.例1. 【xx湖南省邵阳市洞口县第一中学模拟】在中，顶点所对三边分别是已知,且成等差数列.(I )求顶点的轨迹方程；(II) 设顶点A的轨迹与直线相交于不同的两点，如果存在过点的直线,使得点关于对称，求实数的取值范围【点晴】第（II）题的关键是理解求实数的取值范围，其实是要解关于的不等式，所以要通过已知条件找到该不等式.而通过直线与椭圆有两个交点可得判别式大于，即可得包含的不等式，而通过该不等式结合对称的条件得到的与的关系式即可求出的取值范围.例2、已知椭圆的离心率是，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）设椭圆与直线相交于不同的两点、，又点，当时，求实数的取值范围．【解析】过点,,椭圆的方程为当时，，则解得综上所述，的取值范围是【变式演练1】在抛物线上恒有两点关于直线对称，求的取值范围．【解析】设、关于直线对称，直线方程为，代入得，，设、，中点，则∵点在直线上，∴∴，代入，得，即，解得。
【变式演练2】求证：抛物线=－1上不存在关于直线=对称的两点。
证明如图2-83，若P、Q两点关于y=x对称，可设P(、)、Q(，)且≠，、∈R，则：两式相减得：+=－2，=－2－，再代入前一式得+2+2=0，其判别式△=4－8<0。
所以R 这与题设矛盾。
∴PQ两点不存在。
方法二点差法使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题解题模板：第一步设出两点和中点坐标（x，y）；第二步用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式；第三步联立直线方程，求出交点，即中点；第四步由中点位置及对应范围求出参数取值范围.例3、若抛物线y=-1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围．【变式演练3】如图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点．（Ⅰ）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；（Ⅱ）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明为定值，并求此定值．解析如下（I）解：设抛物线的标准方程为，则，从而．因此焦点的坐标为，又准线方程的一般式为．从而所求准线的方程为．解法二：设，，直线的斜率为，则直线方程为．将此式代入得，故．记直线与的交点为，则，，故直线的方程为，令，得点的横坐标，故．从而为定值．【高考再现】1. 【xx北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.由，得.则，.因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.直线ON的方程为，点B的坐标为.因为，所以.故A为线段BM的中点.【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.2. 【xx天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.【答案】（1），.（2），或.【考点】直线与椭圆综合问题【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键.3. 【xx高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，现有下列命题：若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A.单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是 .【答案】②③4. 【xx高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系中,直线l:y=t(t≠0)交y 轴于点M,交抛物线C：于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.（I）求；（II）除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.【答案】（I）2（II）没有【解答】试题分析：先确定,的方程为,代入整理得,解得,,得,由此可得为的中点,即.（II）把直线的方程,与联立得,解得,即直线与只有一个公共点,所以除以外直线与没有其它公共点.考点：直线与抛物线【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.【反馈练习】1. 【xx云南昆明一中一模】已知动点满足：. （1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点的直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.【答案】（1）；（2）直线过定点，证明见解析.【解析】试题分析：（1）动点到点，的距离之和为，且，所以动点的轨迹为椭圆，从而可求动点的轨迹的方程；（2）直线的方程为：，由得，，根据韦达定理可得，直线的方程为，即可证明其过定点.试题解析：（1）由已知，动点到点，的距离之和为，且，所以动点的轨迹为椭圆，而，，所以，所以，动点的轨迹的方程： .2．【xx江西宜春六校联考】椭圆：的离心率为，过右焦点垂直于轴的直线与椭圆交于，两点且，又过左焦点任作直线交椭圆于点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）椭圆上两点，关于直线对称，求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.（Ⅱ）依题意直线不垂直轴，当直线的斜率时，可设直线的方程为（），则直线的方程为．由得，，即，①设的中点为，则，，点在直线上，∴，故，②此时与①矛盾，故时不成立．当直线的斜率时，，（，），的面积，∵，∴，∴面积的最大值为，当且仅当时取等号．3．【xx黑龙江齐齐哈尔一模】如图，已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，两个焦点分别为，，四边形的面积是四边形的面积的2倍.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，是椭圆上位于直线两侧的两点.若直线过点，且，求直线的方程.【答案】（1）;（2）（2）由（1）易知点的坐标分別为.因为，所以直线的斜率之和为0.设直线的斜率为，则直线的斜率为，，直线的方程为，由可得，∴，同理直线的方程为，可得，∴，，∴满足条件的直线的方程为，即为.4．【xx江西宜春六校联考】已知点，点在轴上，动点满足，且直线与轴交于点，是线段的中点．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）若点是曲线的焦点，过的两条直线，关于轴对称，且交曲线于、两点，交曲线于、两点，、在第一象限，若四边形的面积等于，求直线，的方程．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ），．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设直线：，则得，，，依题意可知，四边形是等腰梯形，，由，即，∴，∴，所以．直线，的方程分别为，．5．【xx天津市耀华中学模拟】中心在原点，焦点在轴上的椭圆，下顶点，且离心率. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）经过点且斜率为的直线交椭圆于，两点.在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.∴∴由于对任意恒成立，因此∴恒成立∴恒成立即恒成立，因此综上，存在点满足题意.6．【xx浙东北联盟】已知，为抛物线上的两个动点，其中，且（1）求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点坐标；（2）求面积的最大值．7. 已知椭圆（）的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）当时，求直线的方程；（3）记椭圆的右顶点为，点（）在椭圆上，直线交轴于点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得（为坐标原点）？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）由已知，点在椭圆上，因此解得所以椭圆的方程为．（3）假设轴上存在点，使得，“存在点使得”等价于“存在点使得”即满足，因为，所以，直线的方程为，所以，即，因为点与点关于轴对称，所以．同理可得，因为，，，所以，所以或，故在轴上存在点，使得，点的坐标为或．8. 【xx四川省成都市第七中学模拟】已知椭圆：的左、右焦点分别为且离心率为，为椭圆上三个点，的周长为，线段的垂直平分线经过点.（1）求椭圆的方程；（2）求线段长度的最大值.点睛：圆锥曲线的大题一般第一问都是求曲线方程，第二问求一些最值范围问题；或者证明定值定点问题；求参数范围问题；做这些题目时要注意，一是转化题目中的条件，比如：垂直平分，实质就是斜率的关系；二是注意计算中能否因式分解，提公因式等技巧。
9.【xx河南郑州市第一中模拟】已知椭圆：的离心率与双曲线：的离心率互为倒数，且经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，已知是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且与交于点，为坐标原点，求证：三点共线．（2）因为线段线段的中垂线的斜率为，所以线段所在直线的斜率为.所以可设线段所在直线的方程为，设点，联立，消去，并整理得，。
