《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习：必修部分 开卷速查62 排列与组合

开卷速查(五十二) 椭 圆A 级 基础巩固练1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．6C ．43D ．12解析：如图，设椭圆的另外一个焦点为F ，则△ABC 的周长为|AB |＋|AC |＋|BC |＝(|AB |＋|BF |)＋(|AC |＋|CF |)＝4a ＝4 3.答案：C2．已知2，m,8构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 22＝1的离心率为( )A.22 B ． 3C.22或 3D.22或62解析：因为2，m,8构成一个等比数列，所以m 2＝2×8＝16，即m ＝±4.若m ＝4，则圆锥曲线方程为x 24＋y 22＝1，此时为椭圆，其中a 2＝4，b 2＝2，c 2＝4－2＝2，所以a ＝2，c ＝2，离心率为e ＝c a ＝22.若m ＝－4，则圆锥曲线方程为y 22－x 24＝1，此时为双曲线，其中a 2＝2，b 2＝4，c 2＝4＋2＝6，所以a ＝2，c ＝6，离心率为e ＝c a ＝62＝ 3.所以选C.答案：C3．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8解析：将椭圆的方程转化为标准形式为y 2(m －2)2＋x 2(10－m )2＝1，显然m －2＞10－m ，即m ＞6且(m －2)2－(10－m )2＝22，解得m ＝8.答案：D4．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m ＜0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )A.34 B ．1 C ．2D ．4解析：圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2，则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m ＜0)， ∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0)． 由题意知直线l 的方程为x ＝－c ，又∵直线l 与圆M 相切，∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2. 答案：C5．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.答案：B6．椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是__________．解析：设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )． ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →＜0， 即x 2－3＋y 2＜0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24＜0，34x 2＜2，∴x 2＜83.解得－263＜x ＜263，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－263，263 7．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为__________．解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴m 2－n 2＝4①，e ＝12＝2m ，∴m ＝4，代入①得，n 2＝12，∴椭圆方程为x 216＋y212＝1.答案：x 216＋y 212＝18．椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B .若△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是__________．解析：设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立． 此时4a ＝12，则a ＝3.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2， 所以e ＝c a ＝23. 答案：239．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于__________．解析：∵直线y ＝3(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为60°， ∴∠MF 1F 2＝60°， ∠MF 2F 1＝30°.∴∠F 1MF 2＝90°，即F 1M ⊥F 2M . ∵|MF 1|＝c ，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， ∴|MF 2|＝2a －c .∵|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2.∴c 2＋(2a －c )2＝4c 2，即c 2＋2ac －2a 2＝0. ∴e 2＋2e －2＝0，解得e ＝3－1. 答案：3－110．[2014·课标全国Ⅱ]设F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 解析：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12， ca ＝－2(舍去)． 故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a . ①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎨⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1. ② 将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.B 级 能力提升练11．[2014·福建]设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2B ．46＋ 2C ．7＋ 2D ．6 2解析：设圆的圆心为C ，则C (0,6)，半径为r ＝2， 点C 到椭圆上的点Q (10cos α，sin α)的距离|CQ |＝(10cos α)2＋(sin α－6)2＝46－9sin 2α－12sin α＝50－9⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋232≤50＝52，当且仅当sin α＝－23时取等号， 所以|PQ |≤|CQ |＋r ＝52＋2＝62， 即P ，Q 两点间的最大距离是62，故选D. 答案：D12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能解析：因为椭圆的离心率e ＝12，所以c a ＝12，即a ＝2c ，b ＝a 2－c 2＝4c 2－c 2＝3c ，因此方程ax 2＋bx －c ＝0可化为2cx 2＋3cx －c ＝0， 又c ≠0，∴2x 2＋3x －1＝0，x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74＜2，即点(x 1，x 2)在x 2＋y 2＝2内．答案：A13．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e .(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．解析：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)， 因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以(a －c )2＋b 2＝2c .整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a －1＝0，解得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ， 可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2， 直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )， 所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离 d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2. 因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0，得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.14．[2014·天津]设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切．求直线l 的斜率．解析：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以，椭圆的离心率e ＝22. (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1.设P (x 0，y 0)，由F 1(－c,0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0. ①- 11 - 又因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c 2＝1. ②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，代入①得y 0＝c 3，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝(x 1－0)2＋(y 1－c )2＝53c .设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即|k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 3－2c 3|k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k＝4±15.所以，直线l 的斜率为4＋15或4－15.。

开卷速查(六十七) 离散型随机变量及其分布列A 级 基础巩固练1．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为质量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．解析：(1)根据频率分布直方图可知，质量超过505克的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12.(2)Y 的可能取值为0,1,2，且Y 服从参数为N ＝40，M ＝12，n ＝2的超几何分布，故P(Y ＝0)＝C 012C 228C 240＝63130，P(Y ＝1)＝C 112C 128C 240＝2865，P(Y ＝2)＝C 212C 028C 240＝11130.所以Y 的分布列为2.每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．(1)随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(2)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (3)随机选取3件产品，求这3件产品都不能通过检测的概率． 解析：(1)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A ，事件A 等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”，∴P(A)＝610＋410×23＝1315.(2)由题可知X 的可能取值为0,1,2,3.P(X ＝0)＝C 34C 06C 310＝130，P(X ＝1)＝C 24C 16C 310＝310，P(X ＝2)＝C 14C 26C 310＝12，P(X ＝3)＝C 04C 36C 310＝16.∴X 的分布列如下：(3)设“随机选取3件产品都不能通过检测”的事件为B ，事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”，所以，P(B)＝130·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝1810.B 级 能力提升练3．一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选1个选项，答对得5分，不答或答错得0分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有2道题都可判断2个选项是错误的，有1道题可以判断1个选项是错误的，还有1道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：(1)得60分的概率； (2)所得分数X 的分布列．解析：(1)设“选对可判断2个选项是错误的2道题之一”为事件A ，“选对可判断1个选项是错误的1道题”为事件B ，“选对不理解题意的1道题”为事件C.则P(A)＝12，P(B)＝13，P(C)＝14， 所以得60分的概率P ＝12×12×13×14＝148.(2)依题意得，所得分数X 可能的取值为40,45,50,55,60. P(X ＝40)＝12×12×23×34＝18；P(X ＝45)＝C 12×12×12×23×34＋12×12×13×34＋12×12×23×14＝1748；P(X ＝50)＝12×12×23×34＋C 12×12×12×13×34＋C 12×12×12×23×14＋12×12×13×14＝1748；P(X ＝55)＝C 12×12×12×13×14＋12×12×23×14＋12×12×13×34＝748；P(X ＝60)＝12×12×13×14＝148. 所以所得分数X 的分布列为：4.2014年1065周年，来自北京大学和清华大学的6名大学生志愿者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、打扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有1名北京大学志愿者的概率是35.(1)求打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率；(2)设随机变量ξ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ξ的分布列．解析：(1)记“至少有1名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A ，则事件A 的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有北京大学志愿者x 名，1≤x<6，那么P(A)＝1－C 26－x C 26＝35，解得x ＝2，即来自北京大学的志愿者有2名，来自清华大学的志愿者有4名．记“打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名”为事件B ，则P(B)＝C 12C 14C 26＝815，所以打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率是815.(2)在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数ξ服从超几何分布，其中N ＝6，M ＝2，n ＝2，于是P(ξ＝k)＝C k 2C 2－k 4C 26，k ＝0,1,2，∴P(ξ＝0)＝C 02C 24C 26＝25，P(ξ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P(ξ＝2)＝C 22C 04C 26＝115.所以ξ的分布列为。

开卷速查(选修4－4－1) 坐标系A 级 基础巩固练1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y.(1)求点A ⎝⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标；(2)点B 经过φ变换得到点B ′⎝⎛⎭⎪⎫－3，12，求点B 的坐标；(3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得到的直线l ′的方程． 解析：(1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2， 于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1， ∴A ′(1，－1)为所求．(2)设B(x ，y)，由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′.由于点B ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12，于是x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×12＝1， ∴B(－1,1)为所求．(3)由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′.代入直线l ：y ＝6x ，得到经过伸缩变换后的方程y ′＝x ′，因此直线l 的方程为y ＝x.2．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1， 即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝1＋t(t 为参数)与圆C ：ρ＝42cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4. (1)试判断直线l 和圆C 的位置关系； (2)求圆上的点到直线l 的距离的最大值．解析：(1)直线l 的参数方程消去参数t ，得x ＋y －1＝0.由圆C 的极坐标方程，得ρ2＝42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，化简得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，即(x －2)2＋(y －2)2＝8，故该圆的圆心为C(2,2)，半径r ＝2 2.从而圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2＋2－1|12＋12＝322，显然322＜22，所以直线l 和圆C 相交．(2)由(1)知圆心C 到直线l 的距离为d ＝322，所以圆上的点到直线l 的距离的最大值为322＋22＝722.4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求点M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解析：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1，从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2. θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)由(1)得点M 的直角坐标为(2,0)，点N 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233. 所以点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．B 级 能力提升练5．在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1.(1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP|·|OQ|＝2，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解析：(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离为d ＝32＞1，所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点．(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则⎩⎨⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.①因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C 2上， 所以ρ0cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π3＝1，② 将①代入②，得2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，即ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1，因此点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32为圆心，1为半径的圆．6．[2014·辽宁]将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解析：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x ，y)．依题意，得⎩⎨⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. 故C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t ，(t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得：⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.。

开卷速查(选修4－4－2) 参数方程A 级 基础巩固练1．[2014·江苏]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解析：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t .解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.2．已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解析：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α，(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离 d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．3．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 1、直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解析：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎨⎧x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0.得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4.或⎩⎨⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝1，－ab2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.4．[2014·福建]已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 解析：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.B 级 能力提升练5．[2014·全国课标Ⅰ]已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t ，(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解析：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|P A |＝d sin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43， 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.6．[2014·全国课标Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解析：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.。

开卷速查(七)二次函数与幂函数A级基础巩固练1．函数y＝x－x 13的图像大致为()ABCD解析：函数y＝x－x 13为奇函数．排除C、D；当x＞0时，由x－x 13＞0，即x3＞x可得x2＞1，即x＞1，结合选项，选A.答案：A 2．幂函数y ＝x m 2－4m(m ∈Z )的图像如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：∵y ＝x m 2－4m(m ∈Z )的图像与坐标轴没有交点， ∴m 2－4m ＜0，即0＜m ＜4.又∵函数的图像关于y 轴对称，且m ∈Z ， ∴m 2－4m 为偶数，因此m ＝2. 答案：C3．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，那么它的图像可能是( )ABCD解析：∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0.∴图像开口向上与y 轴交于负半轴． 答案：D4．已知f (x )＝x12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b ) 解析：因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a .答案：C5．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( )A ．f (－3)<c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<c <f (－3)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)解析：由已知可得二次函数图像关于直线x ＝1对称，则f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (2)＝f (0)＝c .答案：D6．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－x2＋2x，作出f(x)的大致图像如图中实线所示，结合图像可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，即－2＜a＜1.答案：C7．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x m－2为奇函数，则m＝__________.解析：由f(x)＝(m2－5m＋7)x m－2为幂函数得：m2－5m＋7＝1，解得m＝2或m＝3，又因为该函数为奇函数，所以m＝3.答案：38．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝__________.解析：由f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，可知b≠0，∴f(x)为二次函数，f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.∵f(x)为偶函数，∴其对称轴为x＝0，∴－(2a＋ab)＝0，解得a＝0或b＝－2.若a＝0，则f(x)＝bx2，与值域是(－∞，4]矛盾，∴a≠0，b ＝－2，又f(x)的最大值为4，∴2a2＝4，∴f(x)＝－2x2＋4.答案：－2x 2＋49．二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意x 恒有f (2＋x )＝f (2－x )，若f (1－2x 2)＜f (1＋2x －x 2)，则x 的取值范围是__________．解析：由f (2＋x )＝f (2－x )，知x ＝2为对称轴，由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴较近的点的纵坐标较小，∴|1－2x 2－2|＜|1＋2x －x 2－2|，即|2x 2＋1|＜|x 2－2x ＋1|，∴2x 2＋1＜x 2－2x ＋1，∴－2＜x ＜0.答案：(－2,0)10．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－3,2)时，f (x )＞0；当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )＜0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立，求c 的取值范围． 解析：由题意，得x ＝－3和x ＝2是函数f (x )的零点，且a ＜0，则⎩⎨⎧0＝a ×(－3)2＋(b －8)×(－3)－a －ab ，0＝a ×22＋(b －8)×2－a －ab .解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝5.∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(1)由图像知，函数在[0,1]内单调递减， ∴当x ＝0时，y ＝18； 当x ＝1时，y ＝12.∴f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]． (2)令g (x )＝－3x 2＋5x ＋c .∵g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞上单调递减，要使g (x )≤0在[1,4]上恒成立，则需要g (1)≤0.即－3＋5＋c ≤0，解得c ≤－2.∴当c ≤－2时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立．B 级 能力提升练11．已知x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2－ax ＋a2＞0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(0,4)解析：二次函数图像开口向上，对称轴为x ＝a2，又x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2－ax ＋a2＞0恒成立，即f (x )最小值＞0.①当a 2≤－1，即a ≤－2时，f (－1)＝1＋a ＋a 2＞0，解得a ＞－23，与a ≤－2矛盾；②当a 2≥1，即a ≥2时，f (1)＝1－a ＋a2＞0， 解得a ＜2，与a ≥2矛盾；③当－1＜a 2＜1，即－2＜a ＜2时，Δ＝(－a )2－4·a2＜0，解得0＜a ＜2.综上得实数a 的取值范围是(0,2)． 答案：A12．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)，对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x 0∈[－1,2]时，由f (x )＝x 2－2x 得f (x 0)∈[－1,3]，又对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，∴当x 1∈[－1,2]时，g (x 1)∈[－1,3]．当a ＞0时，⎩⎨⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，解得a ≤12.综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 13．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b ＜1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解析：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a ＞0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎨⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎨⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0.当a ＜0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎨⎧f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎨⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b ＜1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4. ∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．14．[2015·“江淮十校”联考]设二次函数f (x )＝x 2－ax ＋b ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1,2}，求函数f (x )的解析式；(2)若F (x )＝f (x )＋2－a －a 2且f (1)＝0，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数a 的取值范围．解析：(1)由f (x )＝x ，得x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0.∵A ＝{x |f (x )＝x }＝{1,2}，∴1,2是关于x 的一元二次方程x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0的两个实数根．∴⎩⎨⎧a ＋1＝3，b ＝2.⇒⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.∴f (x )＝x 2－2x ＋2.(2)∵f (1)＝0，∴1－a ＋b ＝0，b ＝a －1. ∴F (x )＝f (x )＋2－a －a 2＝x 2－ax ＋(1－a 2)．①当Δ≤0，即(－a )2－4(1－a 2)≤0，－255≤a ≤255时，应满足⎩⎨⎧a2≤0，－255≤a ≤255⇒－255≤a ≤0.②当Δ＞0，即a ＜－255或a ＞255时，设方程F (x )＝0的两个实数根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)．若a2≥1，则x 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥1，F (0)＝1－a 2≤0⇒a ≥2；若a2≤0，则x 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤0，F (0)＝1－a 2≥0.⇒－1≤a ＜－255.综上，实数a的取值范围是－1≤a≤0或a≥2.。

开卷速查 (十四 )导数的应用(一)A 级基础牢固练1．函数 f(x)＝x2－2ax＋a 在区间 (－∞，1)上有最小值，则函数 g(x)＝f x在区间 (1，＋∞ )上必然 ()xA．有最小值B．有最大值C．是减函数 D.是增函数剖析：由函数 f(x)＝x2－2ax＋a 在区间 (－∞，1)上有最小值，可得＜，又＝f x a a∈ ，＋∞a1g(x)x x x x(1)上 g′(x)＞0，所以 g(x)在(1，＋∞)上为增函数．答案： D2．函数 f(x)＝x3－3x2＋2 在区间 [ －1,1]上的最大值是 ()A．－ 2 B.0C．2 D.4剖析： f′(x)＝3x2－6x，令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 2.∴f(x)在[－1,0)上是增函数， f(x)在(0,1]上是减函数．∴f(x)max＝ f(0)＝2.答案： C3．若函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 有极值，则导函数f′(x)的图像不可以能是 ()ABCD剖析：若函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 有极值，则此函数在某点两侧的单调性相反，也就是说导函数 f′(x)在此点两侧的导函数值的符号相反，所以导函数的图像要穿过x 轴，观察四个选项中的图像只有 D 项是不吻合要求的，即 f′(x)的图像不可以能是 D，应选 D.答案： D4．已知函数＝3－3x＋c 的图像与 x 轴恰有两个公共点，则c＝y x()A．－2 或 2 B.－9 或 3 C．－1 或 1 D.－3 或 1剖析：设 f(x)＝x3－3x＋c，对 f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0，可得 x＝±1，易知 f(x)在 (－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递加，在(－1,1)上单调递减．若 f(1)＝1－3＋c＝0，可得 c＝2；若 f(－1)＝－ 1＋3＋c＝0，可得 c＝－ 2.答案： A5．函数 f(x)＝x3－3x－1，若对于区间 [ －3,2]上的任意 x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数 t 的最小值是 ()A．20 B.18C．3 D.0剖析：因为 f′(x)＝3x2－3＝3(x－ 1)(x＋1)，令 f′(x)＝0，得 x＝±1，所以－ 1,1 为函数的极值点．又 f(－3)＝－ 19，f(－1)＝1，f(1)＝－ 3，f(2)＝1，所以在区间 [ －3,2]上 f(x)max＝1，f(x)min＝－ 19.又由题设知在区间[－3,2]上 f(x)max－f(x)min≤t，从而 t≥20，所以 t 的最小值是 20.答案： A6．已知定义在R上的奇函数 f(x)，设其导函数为 f′(x)，当 x∈(－∞，0]时，恒有 xf′(x)<f(－x)，令 F(x)＝xf(x)，则满足 F(3)>F(2x－1)的实数 x 的取值范围是 ()A．(－1,2) B. －1，121C. 2，2D.(－2,1)剖析：由 F(x)＝xf(x)，得 F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝xf′(x)－f(－x)<0，F(x)为偶函数，从而 F(x)在3<2x－1<3，解得－ 1<x<2.7．若函数 f(x)＝13x3－23x2＋ax＋4 恰在 [ －1,4]上单调递减，则实数所以 F(x)在(－∞，0]上单调递减，又可证[0，＋∞ )上单调递加，故原不等式可化为－答案： Aa 的值为 __________．剖析：∵f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4，∴f′(x)＝ x2－3x＋a.又函数 f(x)恰在 [ －1,4]上单调递减，∴－ 1,4是 f′(x)＝ 0 的两根，∴ a＝－ 1×4＝－ 4.答案：－48．已知函数 f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在 x＝－ 1 时有极值 0，则 m ＋n＝__________.剖析：∵f′(x)＝3x2＋6mx＋n，∴由已知可得f－1 ＝－1 3＋3m －1 2＋n －1 ＋ m2＝0，f′ －1 ＝3× －1 2＋6m －1 ＋n＝0，m＝1，m＝2，∴或n＝3，n＝9，m＝1，时，f′(x)＝3x2＋6x＋ 3＝3(x＋1)2≥0 恒成立与 x＝－ 1当n＝3是极值点矛盾，m＝2，时， f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，当n＝9显然 x＝－ 1 是极值点，吻合题意，∴m＋n＝11.答案： 119．右图是函数 y＝f(x)的导函数的图像，给出下面四个判断．①f(x)在区间 [ －2，－ 1]上是增函数；②x＝－1 是 f(x)的极小值点；③ f (x)在区间 [ －1,2]上是增函数，在区间 [2,4] 上是减函数； ④x ＝3 是 f(x)的极小值点．其中，所有正确判断的序号是__________．剖析：由函数 y ＝f(x)的导函数的图像可知：(1) f (x)在区间 [ －2，－ 1]上是减函数，在[ －1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数；(2) f (x)在 x ＝－ 1 处获取极小值，在 x ＝2 处获取极大值．故②③正确．答案： ②③10．已知函数 f(x)＝ax2＋blnx 在 x ＝1 处有极值 12.(1)求 a ，b 的值；(2)判断函数 y ＝f(x)的单调性并求出单调区间．b剖析： (1)f ′(x)＝2ax ＋x ，1又 f(x)在 x ＝1 处有极值 2，1 1∴ f 1 ＝2， 即a ＝2，f ′ 1 ＝0， 2a ＋b ＝0.1解得 a ＝2，b ＝－ 1.1 2 (2)由(1)可知 f(x)＝2x － lnx ，其定义域是 (0，＋ ∞)，且 f ′(x)＝ x－1＝ x ＋1 x －1 .xx令 f ′(x)＝0，解得 x ＝1 或 x ＝－ 1(舍去)．当 x 变化时， f ′(x)，f(x)的变化情况以下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值所以函数 y＝f(x)的单调减区间是 (0,1)，单调增区间是 (1，＋∞)．B 级能力提升练11．[2014 ·安徽 ]设函数 f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中 a＞ 0.(1)谈论 f(x)在其定义域上的单调性；(2)当 x∈[0,1] 时，求 f(x)获取最大值和最小值时的x 的值．剖析： (1)f(x)的定义域为 (－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.令 f′(x)＝0，得 x1＝－1－ 4＋3a，3－1＋ 4＋3ax2＝3，x1＜x2.所以 f′(x)＝－ 3(x－x1)(x－x2)．当 x＜x1或 x＞x2时， f′(x)＜0；当 x1＜x＜x2时， f′(x)＞0.故 f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递加．(2)因为 a＞0，所以 x1＜0，x2＞0. ①当 a≥4 时， x2≥1.由(1)知， f(x)在[0,1] 上单调递加．所以 f(x)在 x＝0 和 x＝ 1 处分别获取最小值和最大值．②当 0＜a＜4 时， x2＜1.由(1)知， f(x)在[0，x2]上单调递加，在 [x2,1]上单调递减．－1＋ 4＋3a所以 f(x)在 x＝x2＝3处获取最大值．又 f(0)＝1，f(1)＝a，所以当 0＜a＜1 时， f(x)在 x＝1 处获取最小；当 a＝1 ， f(x)在 x＝0 和 x＝1 同获取最小；当 1＜a＜4 ， f(x)在 x＝0 获取最小．e x212．[2014 山· ] 函数 f(x)＝x2－k x＋lnx (k 常数，e＝2.718 28⋯是自然数的底数 )．(1)当 k≤0 ，求函数 f(x)的区；(2)若函数 f(x)在(0,2)内存在两个极点，求k 的取范．剖析： (1)函数 y＝f(x)的定域 (0，＋∞)．f′(x)＝2 x－2xe x22＋1 x e4－k－x x xx xxe －2e k x－2x－ 2 e x－kx＝x3.由 k≤0 可得 e x－kx>0，所以当 x∈(0,2)， f′(x)<0，函数 y＝f(x)减，x∈ (2，＋∞)， f′(x)>0，函数 y＝f(x)增．所以 f(x)的减区 (0,2)，增区 (2，＋∞ )．(2)由(1)知， k≤0 ，函数f(x)在(0,2)内减，故f(x)在(0,2)内不存在极点；当 k>0 ，函数 g(x)＝e x－kx， k∈(0，＋∞)．因g′(x)＝e x－k＝e x－e lnk，当 0<k≤1 ，当 x∈(0,2)， g′(x)＝e x－k>0，y＝g(x)增．故 f(x)在(0,2)内不存在两个极点；当 k>1 ，得 x∈(0，ln k)， g′(k)<0，函数 y＝g(x)减．x∈ (lnk，＋∞)时， g′(x)>0，函数 y＝g(x)单调递加．所以函数 y＝g(x)的最小值为 g(lnk)＝k(l －ln k)．g 0 >0，g lnk <0，函数f(x)在 (0,2)内存在两个极值点当且仅当解得g 2 >0，0<lnk<2，e2e<k< 2，综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时， k 的取值范围为e2e，2 .。