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相似三角形的性质和实际应用相似三角形是初中数学中一个重要的概念，它有着广泛的实际应用。
本文将介绍相似三角形的性质以及在实际生活中的应用。
一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同的形状但大小不同的三角形。
相似三角形的性质有以下几点：1.对应角相等：如果两个三角形的三个内角分别对应相等，则它们是相似三角形。
例如，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则△ABC∽△DEF。
2.对应边成比例：相似三角形中，对应边的长度成比例。
即如果两个三角形的两个对应边的比值相等，则它们是相似三角形。
例如，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC∽△DEF。
3.周长比例：相似三角形的周长之比等于对应边长度之比。
设两个相似三角形的周长分别为L1和L2，对应边长度之比为k，则有L1/L2=k。
4.面积比例：相似三角形的面积之比等于对应边长度平方的比值。
设两个相似三角形的面积分别为S1和S2，对应边长度之比为k，则有S1/S2=k²。
二、相似三角形的实际应用1.测量高度：相似三角形的性质可以在测量高度时应用。
例如，在测量一座高楼的高度时，可以利用相似三角形的原理，通过测量自己的身高及影子的长度，然后利用身高与影子的长度之比，以及高楼与其影子的长度之比，计算出高楼的高度。
2.影视特技：在电影、电视剧等影视制作中，有时需要通过特技手法来表现出高楼倒塌等场景。
这时，可以利用相似三角形的性质，制作比例缩小的模型，然后通过摄影机的角度选择和镜头拉远，使得模型在电影中看起来像真实的大楼倒塌一样。
3.地图测量：在地图制作和测量工作中，也经常使用相似三角形的原理。
通过测量地面上的一段距离和其在地图上的投影长度，可以得到地面与地图的比例，从而便于进行地图上其他地点的距离估算。
4.影像重建：在计算机视觉和计算机图形学领域，相似三角形的概念也被广泛应用。
通过计算图像中物体的相似三角形关系，可以进行三维模型的重建，实现计算机生成的虚拟现实场景。
相似三角形的应用相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。
相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，通过这种比例关系，我们可以运用相似三角形解决各种实际问题。
本文将重点介绍相似三角形的应用领域及其在数学和几何中的具体运用。
一、相似三角形在实际问题中的应用1. 测量高度和距离：相似三角形的应用在测量高度和距离方面非常常见。
例如，在无法直接测量建筑物或树木的高度时，可以通过相似三角形的比例关系，利用已知的高度和距离来计算未知的高度。
类似地，当无法直接测量两个物体之间的距离时，可以利用相似三角形的比例关系来推算出距离。
2. 图像的放大和缩小：在艺术和设计领域中，相似三角形的应用非常重要。
当我们需要将一幅图像进行放大或缩小时，可以利用相似三角形的性质来确定新图像与原图像的比例关系，从而实现图像的变形。
3. 建筑设计与规划：在建筑设计与规划中，相似三角形的应用也非常普遍。
通过相似三角形可以计算出建筑物的高度、宽度、长度等尺寸信息，从而帮助设计师进行准确的规划和设计。
二、相似三角形在数学中的应用1. 比例和比值的计算：相似三角形的比例关系可以用来计算不同长度之间的比例和比值。
通过相似三角形的性质，我们可以建立起各种数学关系式，进行比例和比值的计算，从而解决许多实际和抽象的问题。
2. 三角函数的定义和性质：在三角函数的定义和性质中，相似三角形也扮演着重要角色。
例如，在定义正弦、余弦和正切函数时，就需要利用相似三角形的性质来推导出它们的数学表示式。
相似三角形的运用使得三角函数的计算和应用更加简便和灵活。
3. 几何图形的相似性判定：相似三角形的性质在判定几何图形的相似性方面起着至关重要的作用。
根据相似三角形的比例关系，我们可以通过对角、边长比较等方法来判断两个图形是否相似，并进一步推导出它们之间的其他性质。
总结：相似三角形在实际问题、数学和几何中都有着广泛的应用。
通过运用相似三角形的比例关系，我们可以解决测量、计算和设计等问题，在数学和几何中推导出各种定理和性质。
相似三角形的应用举例相似三角形是指在形状相似的两个三角形中，对应的角度相等，而对应的边长成比例关系。
这一性质使得相似三角形在实际生活中有着广泛的应用。
本文将举例介绍相似三角形在地理测量、影视制作和建筑设计等领域的具体应用。
一、地理测量中的相似三角形应用地理测量中常常使用相似三角形原理来测量高处物体的高度以及难以直接测量的距离。
以测量一座建筑物的高度为例，通过在平面上选择两个不同位置，测量出与地平线夹角相同的两个点，再利用三角形相似原理计算出建筑物的高度。
这样的测量方法可以避免测量过程中的误差和测量的困难，提高测量的准确性和效率。
二、影视制作中的相似三角形应用在影视制作中，相似三角形的应用尤为重要。
例如，在电影中要制作一个逼真的远景特写，如果直接拍摄远处的景象，可能会因为远离拍摄现场而导致细节无法清晰展现。
为了解决这个问题，可以利用相似三角形的原理，在近距离拍摄一个类似的模型或者画面，然后通过电脑生成与实景相似的远景效果。
这种利用相似三角形的方法可以在节约成本的同时，制作出逼真的远景特写效果。
三、建筑设计中的相似三角形应用相似三角形在建筑设计中有着广泛的应用，特别是在设计高层建筑时更是如此。
以设计一座摩天大楼为例，建筑师需要保证高楼的结构坚固稳定，同时也要满足美学上的要求。
在设计过程中，利用相似三角形的原理可以根据大楼的比例尺度，在小模型上进行实际尺寸的计算和预测。
这种预测方法不仅可以方便地展示设计方案，还可以在施工前发现和修正设计中的不足之处，提高整体设计质量。
通过上述几个具体例子，我们可以看到相似三角形在地理测量、影视制作和建筑设计中的重要应用。
相似三角形原理的运用，使得我们能够更加准确地进行测量、制作出逼真的特效和设计出稳固美观的建筑物。
这一应用不仅提高了工作效率，还为我们提供了更多实际问题的解决方案。
因此，相似三角形的学习与应用在我们的生活中具有重要的意义。
相似三角形的应用在几何学中，相似三角形是一种非常重要的概念。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
本文将探讨相似三角形的应用，并介绍在现实生活中如何使用相似三角形进行测量和求解问题。
一、地图测量地图是我们在日常生活中常用的工具之一。
地图上的距离和大小都是通过测量获得的。
由于地球是一个球体，所以将其展示在平面地图上会引起形状的改变。
利用相似三角形的性质，我们可以通过测量地图上的两条边和它们对应的实际距离，来计算其他位置的距离。
例如，假设我们知道地图上两个城市之间的距离为10厘米，而实际距离为100公里。
如果我们需要计算其他两个城市之间的距离，可以利用相似三角形的比例关系，设这两个城市之间的距离为x公里，则可以得到以下比例关系：10厘米/100公里 = x厘米/x公里。
通过解这个比例关系，我们就可以计算出实际距离。
二、建筑测量在建筑领域，使用相似三角形可以帮助我们测量高处的物体或建筑物的高度。
如果我们无法直接测量高度，但可以测量到某个位置的斜边长度和水平距离，那么我们可以利用相似三角形的性质来计算物体的高度。
以测量一栋建筑物的高度为例，我们可以在地面上选取一个合适的位置，测量从这个位置到建筑物顶部的斜边长度为10米，而与地面垂直的水平距离为5米。
我们可以设建筑物的高度为h米，则可以得到相似三角形的比例关系：10米/5米= h米/x米。
通过解这个比例关系，我们就可以计算出建筑物的高度。
三、影视特效影视特效制作中，相似三角形也起到了关键的作用。
例如，在拍摄特技镜头时，为了保证画面的连贯性，摄影师和特效制作人员需要准确计算出角色与背景之间的相对位置。
通过利用相似三角形的性质，可以测量出摄影机与角色的距离和角度，进而确定背景的大小和位置。
这样，在特效制作时，就可以根据这些信息来合成或添加特效，使得特技镜头看起来更加真实和自然。
总结：相似三角形的应用非常广泛，不仅限于地图测量、建筑测量和影视特效等领域。
相似三角形的运用
相似三角形是指两个三角形对应角相等，对应边成比例的三角形。
相似三角形的运用在几何学中有广泛的应用，以下是其中的几个例子：
1. 三角形相似的性质：如果两个三角形相似，则它们的对应边成比例。
即如果三角形ABC和DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
2. 相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例。
这个性质可以用来证明三角形的相似性，也可以用来求解三角形中的各种量，如角度、边长、面积等。
3. 相似三角形的应用：相似三角形的应用非常广泛。
例如，在建筑设计中，相似三角形的性质可以用来确定建筑物的比例关系；在地图制图中，相似三角形的性质可以用来确定地图上不同地区的比例关系；在物理学中，相似三角形的性质可以用来解决力学问题，如斜面滑动、抛体运动等。
总之，相似三角形是几何学中非常重要的概念，它不仅可以用来证明三角形的相似性，还可以用来解决各种实际问题，是几何学中的重要工具之一。
相似三角形在现实生活中的应用场景
相似三角形的判定在现实生活中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
1.建筑和工程领域：在建筑设计和工程计算中，相似三角形的判定被用于解
决各种实际问题。
例如，工程师会利用相似三角形原理来计算建筑物的缩放比例，以确定建筑物的外观和尺寸是否符合设计要求。
此外，在桥梁、道路和水利工程的设计和建设中，工程师也需要用到相似三角形的概念来测量斜坡的斜率和角度等参数。
2.地图和导航领域：在地图和导航中，利用相似三角形的原理可以精确地测
量距离和角度。
例如，在地图上测量两点之间的距离时，可以利用相似三角形来计算实际距离。
此外，在导航中，飞行员和船员也需要用到相似三角形的概念来测量飞行或航行的角度和距离，以确保安全飞行或航行。
3.科学实验和观测：在科学实验和观测中，相似三角形的判定也被广泛用于
各种测量和计算。
例如，物理实验中常常需要测量物体的速度、加速度等物理量，这时可以利用相似三角形来测量或计算所需参数。
此外，在天文观测中，天文学家也会用到相似三角形的原理来测量天体的位置和距离。
4.日常生活中的应用：在日常生活中，我们也会遇到一些与相似三角形相关
的应用场景。
例如，摄影时需要调整相机的角度和高度，这时可以利用相似三角形的原理来计算所需的参数。
另外，在测量物体的尺寸或角度时，我们也可以利用相似三角形的概念来进行粗略的估算。
总之，相似三角形的判定在现实生活中有广泛的应用，涉及到建筑、工程、科学实验、导航、摄影等领域。
通过掌握相似三角形的原理和应用技巧，我们可以更好地解决各种实际问题，提高生活和工作的效率和质量。
4.5相似三角形的性质及应用一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABCA B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 二、三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.OEFDABC即12OD OE OF OA OB OC === . 要点：H OEFDAB C过点E 作EH ∥BC 交AD 于H ，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2EH ，从而得到BD=2EH ，再根据△BDO 和△EHO 相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证1=2OE HE OB BD ，同理其他比例也可以得到． 三、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC 、BD 、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB 的长.2．如乙图所示，可先测AC 、DC 及DE 的长，再根据相似三角形的性质计算AB 的长.要点：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 一、单选题1．两三角形的相似比是2：3，则其对应角的角平分线之比是（ ） A ．2:3 B ．2：3 C ．4：9 D ．8：27 【解答】B【提示】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴相似三角形对应角平分线的比是2：3，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角平分线的比，对应高的比，对应中线的比都等于相似比的性质．2．已知ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2，若BC 边上的中线长为1，则EF 边上的中线长是（ ） A ．2 B ．2 C ．3D ．4【解答】A【提示】由ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2可知：相似比为1:2，则对应中线的比为1:2，即可求出答案．【详解】∵ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2 ∴相似比为1:2 ∴其对应中线的比为1:2 ∵BC 边上的中线长为1 ∴EF 边上的中线长是2 故选：A【点睛】本题主要考查了相似三角形的相似比的相关知识点，熟练掌握相似三角形面积比、相似比、对应边的高线、中线的比的关系是解题的关键，属于基础知识题．3．如图点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（ ）．A ．AD DEAB BC =； B ．AD AE AC AB =；C ．AD AB DE BC ⋅=⋅； D ．AD AC AB AE ⋅=⋅． 【解答】D【提示】根据选项选出能推出ADE ABC ∆∆∽，推出D B ∠=∠或E C ∠=∠的即可判断． 【详解】解：A 、∵AD DEAB BC =，EAD BAC ∠=∠，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理. 无法判断ADE ∆与ABC ∆相似，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；B 、AD AE AC AB =EAD BAC ∠=∠， ADE ACB ∴∆∆∽，E B ∴∠=∠，D C ∠=∠，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；C 、由AD AB DE BC ⋅=⋅可知AB DEBC AD =，不能推出DAE BAC ∆∆∽，即不能推出D B ∠=∠，即不能推出两直线平行，故本选项错误；D 、∵AD AC AB AE ⋅=⋅，AD AEAB AC ∴=，EAD BAC ∠=∠， DAE BAC ∴∆∆∽，D B ∴∠=∠，//DE BC ∴，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似． 4．已知ABC 与DEF 相似，且A D ∠=∠，那么下列结论中，一定成立的是（ ） A ．B E ∠=∠ B ．AB ACDE DF =C ．相似比为AB DED ．相似比为BCEF【解答】D【提示】根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论．【详解】解：∵B 可以与E 对应，也可以与F 对应，∴∠B=∠E 或∠B=∠F ，A 不一定成立； 同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴AB AC DE DF =或AB ACDF DE =，B 不一定成立；同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴相似比可能是AB DE ，也可能是ABDF ，C 不一定成立；∵∠A=∠D ，即∠A 与∠D 是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC 与EF 是对应比，∴相似比为BCEF ，∴D 一定成立， 故选D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的． 5．如图，小明站在 C 处看甲、乙两楼楼顶上的点 A 和点 E ．C ，E ，A 三点在同一直线上，B ，C 相距 20 米，D ，C 相距 40 米，乙楼的高 BE 为 15 米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高 AD 为 （ ）A ．40 米B ．20 米C ．15 米D ．30 米【解答】D【提示】证明ADC EBC ∽△△，利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：90ADC ∠=︒，90EBC ∠=︒，C ∠是公共角，∴ADC EBC ∽△△， ∴AD DCEB BC =， ∵20m BC =，40m DC =，15m BE =， ∴40=15=30m 20DC AD EB BC =⨯⨯．故选：D【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及性质． 6．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥垂足为D ，那么下列结论错误的是（ ）A ．22AC BD BC AD ⋅=⋅B ．22BC BD CD AB ⋅=⋅C ．AD BC AC CD ⋅=⋅ D ．CD BC AC BD ⋅=⋅ 【解答】B【提示】根据直角三角形的性质与相似三角形的判定可知△ADC ∽△CDB ∽△ACB ，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解. 【详解】∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ， ∴△ADC ∽△CDB ∽△ACB ∴AC2=AD·AB ，BC2=BD·AB ，故22AC BD BC AD ⋅=⋅，A 正确，B 错误；∵△ADC ∽△CDB∴AD AC CDCD BC BD == ∴AD BC AC CD ⋅=⋅，CD BC AC BD ⋅=⋅,C,D 选项正确； 故选B.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质及相似三角形的判定.7．如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE=CF=14AC ．连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则ADG BGHS S △△的值为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．1【解答】C【提示】首先证明AG ：AB=CH ：BC=1：3，推出GH ∥AC ，推出△BGH ∽△BAC ，可得223924ADC BAC BGHBGHS S BA SSBG （）（）====,13ADG ADCSS=，由此即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ，DC=AB ， ∵AC=CA ， ∴△ADC ≌△CBA ， ∴S △ADC=S △ABC ，∵AE=CF=14AC ，AG ∥CD ，CH ∥AD ，∴AG ：DC=AE ：CE=1：3，CH ：AD=CF ：AF=1：3， ∴AG ：AB=CH ：BC=1：3， ∴GH ∥AC ， ∴△BGH ∽△BAC ， ∴223924ADC BAC BGHBGHS S BA S SBG （）（）====，∵13ADG ADCS S=，∴913434ADG BGHS S=⨯=.故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．8．如图，在正方形ABCD 中，ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC 、CP 、AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是（ ）A ．AE=2DEB ．CFP APHC ．CFP APCD ．2CP PH PB =⋅【解答】C【提示】A.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题． B.根据两角相等两个三角形相似即可判断．C.通过计算证明∠DPB≠∠DPF ，即可判断．D.利用相似三角形的性质即可证明． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D=∠DAB=90°， ∵△ABP 是等边三角形， ∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°， ∴∠DAE=30°， ∴AE=2DE ，故A 正确; ∵AB ∥CD ，∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°， 又∵BC=BP ，∠PBC=30°， ∴∠BPC=∠BCP=75°， ∴∠CPF=105°，∴∠PHA=∠CPF ，又易得∠APB=∠CFP=60°， ∴△CFP ∽△APH ，故B 正确; ∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF ， ∴△PFC 与△PCA 不相似，故C 错误; ∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°， ∴∠PCH=∠PBC ， ∵∠CPH=∠BPC ， ∴△PCH ∽△PBC ，∴PC PHPB PC =,∴PC2=PH•PB ，故D 正确， 故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图所示，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点，且//DE AC ，AE 、CD 相交于点O ．若45::2DOE COA S S ∆∆=，则BDES ∆与CDE S ∆的比是（ ）A ．1：2B ．1： 3C ．2：3D ．2：5 【解答】C【提示】利用相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：∵//DE AC ， ∴DEO CAO ∆∆∽， ∵45::2DOE COA S S ∆∆=，∴2425DE AC ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴25DE AC =， ∵//DE AC ， ∴25BE DE BC AC ==， ∴23BE EC =，∴BDES ∆与CDE S ∆的比2:3=，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．10．如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点,,C D E 在同一条直线上，顶点, ,B C G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，EGC ∠的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH 交EC 于点N ．则BCCG 的值为（ ）A ．31-B ．3C ．21-D ．2【解答】C【详解】∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，,,BC DC CE CG BCE DCG ∴==∠=∠．在BCE和DCG △中，,,(),,BC DC BCE DCG BCE DCG SAS BEC BGH CE CG =⎧⎪∠=∠∴∴∠=∠⎨⎪=⎩≌．90BGH CDG ∠+∠=︒，,90CDG HDE BEC HDE ∠=∠∴∠+∠=︒．GH BE ∴⊥．GH 平分,EGC BGH EGH ∠∴∠=∠．()BGH EGH ASA ∴≌．BH EH ∴=．又O 是EG 的中点，//HO BG ∴．D C DHN G ∴∽△△．DN HN DC CG ∴=．设HN a =，正方形ECGF 的边长是2b ，则2BC a =，22,,22b a aCD a NC b a b -==∴=，即2220a ab b +-=，解得(12)a b =-+或(12)a b =--（舍去），则221,212a BCb CG =-∴=-．二、填空题11．若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为 _________． 【解答】3：5【提示】根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比即可得出答案． 【详解】∵两个相似三角形的面积比是9：25 ∴两个相似三角形的相似比是3：5 ∴对应边上的中线的比为3：5 故答案为：3：5．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 12．如图，△ABC ∽△CBD ，AB=9，BD=25，则BC=______．【解答】15【提示】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可求解． 【详解】解：∵△ABC ∽△CBD ，∴AB CBCB BD =，即2BC AB BD =⨯， AB=9，BD=25，2292522515BC AB BD ∴=⨯=⨯==，15BC =∴， 故答案为：15【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键． 13．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为_________． 【解答】8【提示】首先设与它相似的三角形的最短边的长为x ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案．【详解】解：设与它相似的三角形的最短边的长为x ，则 2624x =，∴8x =；∴三角形的最短边为8． 故答案为：8．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．14．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE ，过点E 作EF AE ⊥交DC 于点F ．若4AB =，6BC =，则DF 的长为______．【解答】74【提示】结合矩形的性质证明BAECEF ∆∆可求得CF 的长，再利用DF CD DF =-可求解．【详解】解：四边形ABCD 为矩形，90B C ∴∠=∠=︒，4CD AB ==，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，EF AE⊥，90AEF∴∠=︒，90AEB CEF∴∠+∠=︒，BAE CEF∴∠=∠，BAE CEF∴∆∆，::AB CE BE CF∴=，E是BC的中点，6BC=，3BE CE∴==，4AB=，4:33:CF∴=，解得94CF=，97444DF CD DF∴=-=-=．故选：7 4．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明BAE CEF∆∆是解题的关键．15．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm．【解答】32【提示】首先根据题意画出图形，然后根据△APM∽△BPN有AP AMBP BN=，然后再利用动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1和8BN≥即可求出AM的最小值．【详解】解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；∴△APM∽△BPN；∴APBP＝AMBN，∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，∴AMBN＝41，即AM＝4BN；∴当BN≥8cm时，AM≥32cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A 向下压32cm ． 故答案为：32．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 16．如图，已知,20,60AB BC ACBAD DAE AD DE AE ︒︒==∠=∠=，则DAC ∠的度数为_________．【解答】40°【提示】由AB BC ACAD DE AE ==可判定△ABC ∽△ADE ，得到∠BAC=∠DAE ，再根据20BAD ︒∠=，60DAE ︒∠=，可得出∠DAC 的度数.【详解】解：∵AB BC ACAD DE AE ==， ∴~ABC ADE ， ∴60BAC DAE ︒∠=∠=， 又∵20BAD ︒∠=， ∴40DAC ︒∠=． 故答案为：40°.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能根据AB BC ACAD DE AE ==判定出△ABC ∽△ADE.17．如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，1cot 2B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为_____．【解答】207【提示】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，由勾股定理可得出AB ，由面积法求出CM ，证明△CGF ∽△CAB ，再根据对应边成比例，即可得出答案． 【详解】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，如图所示： ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，1cot B 2=，∴设BC ＝k ，则AC ＝2k ，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k ）2＋k2，解得：k ＝25， ∴BC ＝25，AC ＝45， ∴CM ＝AC BC AB ⋅＝452510⨯＝4，∵正方形DEFG 内接于△ABC ， ∴GF ＝EF ＝MN ，GF ∥AB ， ∴△CGF ∽△CAB ，∴CN GF =CM AB ，即4EF EF410-=， 解得：EF ＝207；故答案为：207．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 是边AC 上一点，以BE 为斜边往BC 侧作等腰Rt BEF △，连接,CF AF ，若6AB =，四边形ABFC 的面积为12，则AE =_________，AF =_________．【解答】 234【提示】如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，由面积和差关系可求3BCF S ∆=，通过证明ABE CBF ∆∆∽，可得2()ABE BCF S AB S BC∆∆=，可求2EH =，由勾股定理可求AE ，BE ，EF 的长，通过证明BEH EFQ ∆∆∽，可得2BE EH BH EF QF EQ ===，可求22EQ =，2QF =，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，90ACB ∠=︒，AC BC =，2AB BC ∴，=6AB ，32AC BC ∴==四边形ABFC 的面积为12，12ABC BCF S S ∆∆∴+=， 3BCF S ∆∴=，等腰Rt BEF ∆，2BE BF ∴，45EBF∠=︒，=45ABC ∠︒，ABE CBF ∴∠=∠，2AB BE BC FB == ABE CBF ∴∆∆∽，∴2()ABE BCF S AB S BC ∆∆=， 326ABE S ∆∴=⨯=，∴162AB EH ⨯=，2EH ∴=，45CAB ∠=︒，EH AB ⊥，45CAB AEH ∴∠=∠=︒，2AH EH ∴==，222AE EH ==，4BH ∴=，2CE =，2221825BE CE BC ∴=+=+=，10EF ∴=，180AEH BEH FEB QEF ∠+∠+∠+∠=︒， 90BEH FEQ ∴∠+∠=︒，且90BEH EBH ∠+∠=︒EBH QEF ∴∠=∠，且90Q BHE ∠=∠=︒，BEH EFQ ∴∆∆∽， ∴2BE EH BHEF QF EQ ===， 22EQ ∴=，2QF =， 42AQ ∴=，2232234AF AQ QF ∴=+=+=，故答案为：22，34．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求出EH 的长是本题的关键．三、解答题19．如图，在ABP 中，C ，D 分别是,AP BP 上的点．若4,5,6,3CD CP DP AC BD =====．(1)求证：ABP DCP ∽△△； (2)求AB 的长． 【解答】(1)见解析(2)AB＝8【提示】（1）△ABP与△DCP有公共角，分别计算PDPC与APBP的值，得到PD PCPA PB=，根据相似三角形的判定定理得出结论；（2）运用相似三角形的性质计算即可．（1）证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝6，BD＝3，∴AP＝AC+CP＝6+4＝10，BP＝BD+DP＝3+5＝8，∴54PDPC=，10584APBP==，∴PD APPC BP=，即PD PCPA PB=，∵∠DPC＝∠APB，∴△ABP∽△DCP；（2）解：∵△ABP∽△DCP，∴AB PBCD PC=，即844AB=，∴AB＝8．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题．解决问题的关键是掌握：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．(1)求证：△AEF∽△CBF；(2)若BE⊥AC，求AE：ED．【解答】(1)见解析(2)1：3【提示】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE=12x，则DE=32x，从而可计算出AE：DE．（1）解：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，∵BE⊥AC，∴∠AFB=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABF=∠ACB，∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，∴△ABE∽△BCA，∴AE ABAB BC=，即2AE xx x=，∴AE=12x，∴DE=AD-AE=32x，∴AE：DE=13:22x x=1：3．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．21．如图，为了测量平静的河面的宽度EP，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM PN=，两岸均高出水平面0.75米，即0.75DE FP==米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直与河面EP，求河宽EP是多少米？【解答】河宽为12米【提示】连接DF ，根据题意可得出四边形DEPF 为矩形，由ADB NDF ∽△△可求得DF ，便可解决问题．【详解】解：如图，连接DF ，∵点B 、D 、F 共线，DE 、MF 均垂直与河面EP ，且0.75DE FP ==， 4.5MF =， ∴四边形DEPF 为矩形， ∴DF EP =，∴ 4.50.75 5.25PN FM FP =+=+=， ∴ 5.250.756FN PN FP =+=+=， ∵AB 、DE 、MF 均垂直与河面EP ， ∴90ABD NFD ∠=∠=︒， ∵ADB NDF ∠=∠， ∴ADB NDF ∽△△； ∴AB NFBD DF =， ∵ 1.6AB =， 3.2BD =， ∴1.663.2DF =，∴12DF =， ∴12EP =（米）． 答：河宽EP 是12米．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的判定和性质等知识．关键是构造和证明三角形相似．22．如图，已知AD ，BC 相交于点E ，且△AEB ∽△DEC ，CD ＝2AB ，延长DC 到点G ，使CG ＝12CD ，连接AG ．(1)求证：四边形ABCG 是平行四边形；(2)若∠GAD ＝90°，AE ＝2，CG ＝3，求AG 的长． 【解答】(1)证明见解析； (2)35AG =【提示】（1）根据相似三角形的性质可得AB ∥CD ，再由CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，可得AB ＝CG ，即可证明；（2）由平行四边形的性质可得AG ∥BC ，可得∠AEB ＝90°，再由CG ＝3可得AB ＝3，利用勾股定理可得BE ，再由相似三角形的性质可得CE ，从而得出BC ，即可求解． （1）证明：∵△AEB ∽△DEC ， ∴∠B ＝∠BCD ， ∴AB ∥CD ， 即AB ∥CG ，∵CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，∴AB ＝CG ，∴四边形ABCG 是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCG 是平行四边形，AE ＝2，CG ＝3， ∴AG ∥BC ，AG ＝BC ，AB ＝CG ＝3， ∵∠GAD ＝90°， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，由勾股定理可得：BE 22AB AE -即BE ＝22325-=，∵△AEB ∽△DEC ， ∴12BE AB CE CD ==， ∴CE ＝25，∴BC ＝BE+CE ＝35， ∴AG ＝BC ＝35．【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质．23．如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点E 是边AC 上一点，且满足ADE B ∠=∠．(1)证明：ADB AED ∆∆；(2)若3AE =，5AD =，求AB 的长． 【解答】(1)见解析(2)253【提示】（1）证出∠BAD=∠EAD ．根据相似三角形的判定可得出结论； （2）由相似三角形的性质可得出AD ABAE AD =，则可得出答案． （1）∵AD 是∠BAC 的角平分线， ∴∠BAD=∠EAD ． ∵∠ADE=∠B ， ∴△ADB ∽△AED ． （2）∵△ADB ∽△AED ， ∴AD ABAE AD =，∵AE=3，AD=5， ∴535AB =， ∴253AB =． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ．求证：2CF GF EF =⋅．【解答】见解析【提示】根据平行四边形的性质得到AD BC ∥，AB CD ∥，得到△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，AB CD ∥，∴△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ∴GF DF CF BF =，CF DFEF BF =， ∴GF CFCF EF =， 即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，已知cm,cm,23,36,117AD a AC b BC AC B D ===∠∠=︒=︒，ABC DAC △∽△．（1）求AB 的长；（2）求DC 的长； （3）求BAD ∠的度数．【解答】（1）32cm a ；（2）2cm3b ；（3）153︒【提示】（1）由ABC DAC △∽△，可得：,AB BCAD AC =再代入数据可得答案；（2）由ABC DAC △∽△，可得：,AC BCDC AC =再代入数据可得答案；（3）由ABC DAC △∽△，可得：117,36,BAC D B DAC ∠=∠=︒∠=∠=︒再利用角的和差可得答案； 【详解】解：（1）23,,BC AC AD a ==3,2BC AC ∴= ABC DAC △∽△，,AB BCAD AC ∴= 3,2AB a ∴= 3.2AB a ∴=（2） ABC DAC △∽△，,AC BCDC AC ∴= 而3,,2BC AC b AC == 3,2b DC ∴=2.3DC b ∴=（3） ABC DAC △∽△，36,117,B D ∠=︒∠=︒117,36,BAC D B DAC ∴∠=∠=︒∠=∠=︒11736153.BAD BAC DAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键.26．如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点F ．点E 在BD 上，且BAE CAD ∠=∠，AB ACAE AD =．(1)求证：ABC AED ∽△△． (2)若20BAE ∠=︒，求∠CBD 的度数． 【解答】(1)证明见解析 (2)20︒【提示】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明．（2）根据（1）中ABC AED ∽△△，得出ADB ACB ∠=∠，再根据对顶角相等，AFD BFC ∠=∠，证得AFD BFC ∽△△，得出CBD CAD BAE ∠=∠=∠，即可求解． （1）∵BAE CAD ∠=∠∴BAE EAF CAD EAF ∠+∠=∠+∠， ∴BAC DAE ∠=∠， AB ACAE AD =，∵在ABC 和AED △中， AB ACAE AD BAC DAE ⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，∴ABC AED ∽△△． （2）∵ABC AED ∽△△， ∴ADB ACB ∠=∠，又∵AFD BFC ∠=∠，对顶角相等，∴AFD BFC ∽△△， ∴CBD CAD ∠=∠，∵BAE CAD ∠=∠，20BAE ∠=︒，∴20CAD ∠=︒， 故答案为：20︒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 27．如图，四边形ABCD 为正方形，且E 是边BC 延长线上一点，过点B 作BF ⊥DE 于F 点，交AC 于H 点，交CD 于G 点．(1)求证：△BGC ∽△DGF ； (2)求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； (3)若点G 是DC 中点，求GFCE 的值．【解答】(1)见解析 (2)见解析 (3)5GF CE=【提示】（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到△BGC ∽△DCF ．（2）由第一问的结论可得到相似比，既有DG BC DF BG ⋅=⋅，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论．（3）通过ASA 判定出△BGC ≌△DEC ，进而根据第一问结论可得△BGC ∽△DGF ，然后通过相似比设未知数，赋值CG x =，即可求出GFCE 的值．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴90BCD ADC ∠=∠=︒ ∵BF DE ⊥ ∴90GFD ∠=︒ ∴BCD GFD ∠=∠，又∵BGC DGF ∠=∠， ∴△BGC ∽△DCF ． （2）证明：由（1）知△BGC ∽△DGF ， ∴BG BCDG DF =， ∴DG BC DF BG ⋅=⋅ ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB BC =∴DG AB DF BG ⋅=⋅． （3）解：由（1）知△BCC ∽△DGF ， ∴FDG CBG ∠=∠，在△BGC 与△DEC 中，,{,=,CBG CDE BCG DCE BC CD ∠=∠∠=∠ ∴△BGC ≌△DEC （ASA ） ∴CG EC = ∵G 是CD 中点 ∴CG DG = ∴::GF CE CF DC = ∵△BGC ∽△DGF ∴::GF DG CG BG =在Rt △BGC 中，设CG x =，则2BC x =，BC =∴CG BG =∴GF CE=【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键．28．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上一点（含端点A 、B ），过点B 作BE 垂直于射线CD ，垂足为E ，点F 在射线CD 上，且EF BE =，连接AF 、BF ．（1）求证：ABF CBE ∽；（2）如图2，连接AE ，点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点，连接PM 、MN 、PN ．求PMN ∠的度数及MNPM 的值；（3）在（2）的条件下，若2BC =PMN 面积的最大值．【解答】（1）证明见解析；（2）135PMN ∠=；=2MN PM 3）14 【提示】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可．（2）PMN ∠的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，MNPM 的比值转换为AFCE 的比值即可求得.（3）过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q ，12PMN S MN PQ =△，将相关线段关系转化为CE ，可得关系218PMN S CE =△，观察图象，当2CE BC == 【详解】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，AC BC = ∴2AB BC =,45ABC BAC ∠=∠= ∵BE 垂直于射线CD , ∴90,BEF ∠= 又∵EF BE =∴2FB EB =,45FBE EFB ∠=∠= ∵+ABC ABE ABE FBE ∠∠=∠+∠ 即：ABF CBE ∠=∠又∵2AB BFCB BE == ∴ABF CBE ∽（2）解：∵点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点∴//PM CN ，//MN AF ，11,22PM CE MN AF== ∴MPN CNP ∠=∠,CNM EFA ∠=∠∴+MPN MNP CNP MNP CNM EFA ∠∠=∠+∠=∠=∠ 又∵ABF CBE ∽ ∴90AFB CEB ∠=∠= 又∵45EFB ∠=∴904545EFA AFB BFE ∠=∠-∠=-= ∴+45MPN MNP ∠∠=又∵++180MPN MNP PMN ∠∠∠= ∴18045135PMN ∠=-=又∵12=12AFMN AFPM CECE = 又∵ABF CBE ∽ ∴=2AF AB CE CB = ∴=2MNPM（3）如下图：过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q , 135,PMN ∠=︒ 45,PMQ MPQ ∴∠=︒=∠,PQ ∴= 111221222228216PMNS MN PQ AF PM AF CE AF CE ==⨯⨯==△又∵BC =∴AF =∴221168PMN S CE ==△∴当CE 取得最大值时，PMN 取得最大值， ,BE CE ⊥E ∴在以BC 的中点为圆心，BC 为直径的圆上运动，∴当CE CB ==CE 最大，∴11=2=84S ⨯， 【点睛】本题考查的是三角形相似和判定、以及三角形面积最大值的求法，根据题意找见相关的等量是解题关键．。
相似三角形应用举例在我们的日常生活和学习中，相似三角形的应用无处不在。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
通过利用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，下面就让我们一起来看看一些具体的例子。
一、测量物体的高度假设我们想要测量一棵大树的高度，但又无法直接测量。
这时候，相似三角形就派上用场了。
我们可以在同一时刻，在大树旁边立一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大树的影子长度。
因为在同一时刻，太阳光线的角度是相同的，所以杆子和它的影子以及大树和它的影子分别构成了两个相似三角形。
假设杆子的高度为h1，杆子影子的长度为 s1，大树影子的长度为 s2，大树的高度为 h2。
根据相似三角形的性质，我们可以得到：h1 ／ s1 ＝ h2 ／ s2通过已知的 h1、s1 和 s2，就可以计算出大树的高度 h2。
例如，杆子高度为2 米，影子长度为15 米，大树影子长度为9 米。
那么：2 ／ 15 ＝ h2 ／ 915h2 ＝ 2 × 915h2 ＝ 18h2 ＝ 12 米所以，这棵大树的高度约为 12 米。
二、计算河的宽度当我们面对一条河流，想要知道它的宽度，但又无法直接跨越测量时，相似三角形同样能帮助我们解决问题。
我们可以在河的一侧选择一个点A，然后在河的对岸选择一个点B，使得 A、B 两点与河岸基本在同一直线上。
接着，在河的这一侧，沿着河岸选定一个点 C，使得 AC 垂直于河岸，并测量出 AC 的长度。
然后，我们再沿着 AC 的方向向前走一段距离，到达点 D，使得点 D、A、B 三点在同一直线上，并且测量出 CD 的长度。
由于三角形 ABC 和三角形 ADC 有一个共同的角∠A，并且∠ACB＝∠ACD ＝ 90°，所以这两个三角形相似。
假设河宽为AB ＝x，AC ＝a，CD ＝b。
根据相似三角形的性质，我们有：AC ／ AB ＝ CD ／ AC即 a ／ x ＝ b ／ a通过已知的 a 和 b，就可以计算出河的宽度 x。
10-例110-例2 /question_50043781.htm10-例3 /question_50338273.htm2004•南宁）某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如图1）（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后（图1中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金；（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB≌△DPC且S△APD=S△BPC，并说出你的理由．考点：相似三角形的应用；梯形．专题：压轴题．分析：（1）由太阳花的单价和钱数可先求出△AMD的面积，再由AD∥BC证出△AMD∽△CMB，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，得出△BMC的面积，从而算出所要花费的钱数；（2）由△AMD∽△CMB，根据相似三角形对应高的比等于它们的相似比，可求出两三角形AD与BC边上的高之比，再根据三角形的面积公式可求出AD边上的高，从而可求出整个梯形的高及面积．进而求出三角形AMB和三角形DCM的面积和，然后根据两种花的单价来计算哪种花合算；（3）由（2）可知整个梯形高为12，要保证△APB≌△DPC且S△APD=S△BPC，P点必须在AD和BC的垂直平分线上，且P到AD的距离是P 到BC距离的2倍，即到AD的距离应该为8．160+640+80×10=1600（元），∴应种植茉莉花刚好用完所筹集的资金；（3）由（2）知梯形高为12，要保证△APB≌△DPC且S△APD=S△BPC P点必须在AD和BC的垂直平分线上，且P到AD的距离是P到BC 距离的2倍，即到AD的距离应该为8．点评：此题主要考查了相似三角形的性质以及应用．10-例4 /question_50043786.htm解答：（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C=90°．∵∠BAC=90°，∴∠BAF=∠C．∵OE⊥OB，∴∠BOA+∠COE=90°，∵∠BOA+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠COE．∴△ABF∽△COE．（2）解：过O作AC垂线交BC于H，则OH∥AB，由（1）得∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C．∴∠AFB=∠OEC，∴∠AFO=∠HEO，而∠BAF=∠C，∴∠FAO=∠EHO，∴△OEH∽△OFA，∴OF：OE=OA：OH又∵O为AC的中点，OH∥AB．∴OH为△ABC的中位线，10-例5 /question_50325191.htm（2012•包头）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B 同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD 于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．考点：相似形综合题．专题：压轴题；探究型．10-例6 /question_50073558.htm10-1点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用．10-2/question_50279246.htm（2012•南京）如图，在▱ABCD中，AD=10cm，CD=6cm，E为AD上一点，且BE=BC，CE=CD，则DE=3.6cm．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：压轴题．分析：先根据平行四边形的性质得出∠2=∠3，再根据BE=BC，CE=CD，∠1=∠2，∠3=∠D，进而得出∠1=∠2=∠3=∠D，故可得出△BCE ∽△CDE，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=10cm，CD=6cm，∴BC=AD=10cm，AD∥BC，∴∠2=∠3，∵BE=BC，CE=CD，∴BE=BC=10cm，CE=CD=6cm，∠1=∠2，∠3=∠D，∴∠1=∠2=∠3=∠D，∴△BCE∽△CDE，10-3/question_50105902.htm（2007•宁波）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）A．24m B．22m C．20m D．18m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：压轴题．分析：过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD，斜坡上的DE．然后根据影长的比分别求得AG，GB长，把它们相加即可．解答：解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．10-5/question_50318181.htm10-6/question_50352848.htm（2012•泰安）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（）A．9：4 B．3：2 C．4：3 D．16：9考点：翻折变换（折叠问题）．专题：数形结合．分析：设BF=x，则CF=3-x，B'F=x，在Rt△B′CF中，利用勾股定理求出x的值，继而判断△DB′G∽△CFB′，根据面积比等于相似比的平方即可得出答案．答：解：设BF=x，则CF=3-x，B'F=x，又点B′为CD的中点，∴B′C=1，在Rt△B′CF中，B'F2=B′C2+CF2，即x2=1+（3-x）2，10-7/question_50207311.htm 10-8/question_50274196.htm10-9/question_50110171.htm10-10/question_50029769.htm（4）提问举例：①当点E运动到CE：ED=5：1时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少；②当点E运动到CE：ED=2：3时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少；③当点E运动到CE：ED=m：n（m，n是正整数）时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少．评分说明：提出类似①的问题给1分，类似②的问题给3分，类似③的问题给4分；附加分最多4分，可计入总分，但总分不能超过12分．点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．10-11/question_50171518.htm10-12 .已知梯形ABCD中AB‖CD，∠ABC=90°，BD⊥AD，BC=5，BD=13，则梯形ABCD的面积为_回答∵∠C=∠ABC=90，BD=13 BC = 5∴CD=12又∵CD∥BA，∴∠CDB=∠ABD而∠ADB=∠C=90∴△ABD∽△DBC∴AB ：BD = BD ：CD∴AB = BD²÷CD = 169/12S（ABCD）= 1/2×(AB+CD)×BC=(169/12+12 )×5×1/2=1565/2410-13/question_50309336.htm10-14/question_50159324.htm10-15梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积为P^2 和q^2.则梯形的面积为提问者采纳由题意可知这两个三角形是相似三角形面积比是P^2/Q^2,则上下底之比与两个三角形的高之比是P/Q设上下底分别为mP,mQ,两个三角形对应的高分别为nP,nQ有mP*nP/2=P^2,得mn=2梯形面积=(mP+mQ)(nP+nQ)/2=mn(P+Q)^2/2=2(P+Q)^2/2=(P+Q)^2 另外有：10-1610-17 /question_50056283.htm 10-18点评：此题考查了三角形相似的判定与性质、平行线分线段成比例定理、比例变形及二次函数的应用，综合性比较强．10-19（2011•宁夏）在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？（2）当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y 的值最大，最大值是多少？考点：翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．10-20点评：注意梯形中常见的辅助线：平移一腰、作两条高．构造等腰三角形的时候的题目，注意分情况讨论．此题的知识综合性较强，能够从中发现平行四边形、等腰三角形等，根据它们的性质求解．10-21 本题看书本P98及答案P232。
如图，小明小刚站在路灯AB下，且点B，D，F，G在一条直线上，测得小明的影子DF=3m，小刚的影长FG=5m。
若小明的身高是1.6m，小刚的身高是1.88m。
（1）求路灯AB的高度、（2）若小明的眼睛与地面的距离为1.58m，此时在G处的一棵树GK恰好处于小明的盲区内，求此树GK的高及树的影长GP。
（保留两位有效数字）提问者采纳解（1）：1:AB/(BD+DF) =CD/DF =tan(∠AFB)2:AB/(BD+DF+FG) =HF/FG =tan(∠AGB)有上式得出AB=(1.6/3)×(BD+3)=(1.88/5)×(BD+3+5)BD=8.9492m AB=6.3728m（2）：1:AB/(BD+DF+FG+GP)=KG/GP = 6.37/(8.95+3+5+GP2 :HM/CM=KN/CN[ HM=HF-CD=0.28mCM=DF=3mCN=DG=DF+FG=8mKN=KG-NG=KG-CD=KG-1.6 将HM,CM,CN,KN代入2式，得：0.28/3=(KG-1.6)/8KG=2.34667m，将KG代入1式，得：GP=9.894668m10-22/question_50200365.htm（2011•温州）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为a．（1）当b=3时，①求直线AB的解析式；②若点P′的坐标是（-1，m），求m的值；（2）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当P′D：DC=1：3时，求a的值；（3）是否同时存在a，b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形．专题：压轴题．分析：（1）①利用待定系数法即可求得函数的解析式；②把（-1，m）代入函数解析式即可求得m的值；（2）可以证明△PP′D∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解；（3）分P在第一，二，三象限，三种情况进行讨论．利用相似三角形的性质即可求解．。
