1.2.2同角三角函数的关系

1.2.2同角三角函数的基本关系猜想：sin 2α+cos 2α=1 αααcos sin tan =二、知识探究（一）：基本关系（1、以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者的长度构成直角三角形，由勾股定理得sin 2α+cos 2α=12、根据三角函数的定义当)(2Z k k ∈+≠ππα时，有αααtan cos sin =） 思考1：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P ，那么，正弦线MP 和余弦线OM 的长度有什么内在联系？由此能得到什么结论？MP 2+OM 2=1sin 2α+cos 2α=1思考2：上述关系反映了角α的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？sin 2α+cos 2α=1思考3：设角α的终边与单位圆交于点P(x ,y )，根据三角函数定义，有sin α=y ，cos α=x ，)0(tan ≠=x xy α， 由此可得sin α，cos α，tan α满足什么关系？ αααtan cos sin =思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是什么？)(2Z k k ∈+≠ππα思考5：平方关系和商数关系是反映同一个角的三角函数之间的两个基本关系，它们都是恒等式，如何用文字语言描述这两个关系？sin 2α+cos 2α=1 αααtan cos sin = 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于这个角的正切.三、知识探究（二）：基本变形思考1：对于平方关系sin 2α+cos 2α=1可作哪些变形？sin 2α=1-cos 2αcos 2α=1-sin 2α(sinα+cos α)2=1+2sinαcos α(sinα-cos α)2=1-2sinαcos α思考2：对于商数关系αααtan cos sin =可作哪些变形？ s inα=cos αtan α αααtan sin cos = 四、课本例6练习P20 1、2、3、4五、课本例7练习P20 5六、小结1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的，由此可以派生出许多变形公式，应用中具有灵活、多变的特点.2.利用平方关系求值时往往要进行开方运算，因此要根据角所在的象限确定三角函数值符号，必要时应就角所在象限进行分类讨论．3.化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问题，具有一定的技巧性，需要加强训练，不断总结、提高.七、习题例1、化简︒-440sin 12分析1：︒=︒=︒-=︒-80cos 80cos 80sin 1440sin 1222分析2：︒=︒=︒=︒=︒-80cos 440cos |440cos |440cos 440sin 122练习1、4sin 12-练习2、教材P22 B 组2例2、已知tanα=2，求下列各式的值.ααααsin 11sin 112cos sin 11++-⨯）（）（ 例3、已知π<<=+q q q 0,51cos sin 求sin q -cos q 的值. 练习3、P21 12练习4、已知21cos sin =+q q ，求sin 4q +cos 4q 的值. 例4、 已知tanα=2，(1)求sinα和cosα的值. (2)1sin cos sin 5cos 3cos sin sin 222++--ααααααα求 (3)αααα22cos 3cos sin sin 2-+求八、作业P21习题1.2A 组：11 13(1)(2)。

1.2.2同角三角函数的基本关系三维目标：一. 知识与技能：理解并掌握同角三角函数的基本关系式平方关系：1cos sin 22=+αα；商数关系：αααcos sin tan =，准确使用同角三角函数的基本关系式实行三角函数的求值；二. 过程与方法：通过提出问题，从而对特殊角的三角函数值的计算观察，找出规律，并利用几何画板软件用大量的实验数据说明这个规律的普遍存有性，进而尝试用三角函数的定义给出证明，最终得到同角三角函数的两个基本关系式；这表达了由特殊到一般的认知规律，由感性理解升华到理性思考的数学过程；完全符合提出问题、分析问题、解决问题的科学方法的要求；三. 情感、态度与价值观：通过本节内容的学习探究，让学生体会到发现数学、感知数学、研究数学、利用数学并处理数学问题的愉悦；培养学生科学地研究问题的习惯，融会贯通前后数学知识的水平，进一步挖掘知识、感受数学的内在美.教学重点：同角三角函数的基本关系式的发现、推导及其应用。

教学难点：已知一个三角函数值（但不知角的范围）求出其它三角函数值（结果不惟一时的分类讨论）。

教学过程：一、知识回顾：1．任意角的三角函数的定义： 比值ry 叫做α的正弦, 记作：r y =αsin ；比值r x叫做α的余弦, 记作：r x=αcos ； 比值x y叫做α的正切, 记作：x y=αtan 。

2．已知角的象限确定三角函数值的符号及三角函数的定义域.二、问题情境：当角α确定后，α的正弦、余弦、正切值也随之确定了，他们之间究竟有何关系呢？三、学生活动：1.求值：（1）22sin 30cos 30+= （2）22sin 45cos 45+=（3）22sin 60cos 60+= （4）22sin 90cos 90+=你能猜想出αsin 与αcos 之间的关系吗？2.求值：（1） sin 6cos 6ππ= ,tan 6π= （2）sin 4cos 4ππ= ，tan 4π=（3） sin 3cos 3ππ= ，tan 3π= （4）3sin43cos 4ππ= ，3tan 4π=你能猜想出sin α，cos α与αtan 之间的关系吗？四、数学建构：1.猜想：1cos sin 22=+αα，α=ααtan cos sin 。

1.2.2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系式 1．公式(1)平方关系： sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系： sin αcos α＝tan α. 2．公式推导如图，以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 的长作为直角三角形三边长，而且OP ＝1．由勾股定理，得OM 2＋MP 2＝1，因此x 2＋y 2＝1， 即sin 2α＋cos 2α＝1．根据三角函数的定义，当α≠k π＋π2(k ∈Z )时，有sin αcos α＝tan α．这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切． [知识点拨]对同角三角函数基本关系式的理解(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1成立，但是sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．(2)sin 2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin 2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin 2α＋cos 2α＝1对一切α∈R 恒成立，而tan α＝sin αcos α仅对α≠π2＋k π(k ∈Z )成立．3．常用的等价变形sin 2α＋cos 2α＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，sin α＝±1－cos 2α，cos α＝±1－sin 2α；tan α＝sin αcos α⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝tan αcos α，cos α＝sin αtan α.[拓展]变形公式的应用要注意哪些方面？(1)使用变形公式sin α＝±1－cos 2α，cos α＝±1－sin 2α时，“±”号是由α的终边所在的象限确定的，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题．(2)对这些关系式不仅要牢牢掌握，还要能灵活运用(正用、逆用、变形应用)． Y 预习自测u xi zi ce1．已知sin α＝78，cos α＝158，则tan α等于( D )A ．78B ．158C ．157D ．715152．(2015·福建文)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( D ) A ．125B ．－125C ．512D ．－5123．化简1－sin 2440°＝__cos80°__．4．化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β＝__1__．H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨根据同角三角函数关系求值 典例1 (1)已知sin α＝15，求cos α，tan α的值；(2)已知cos α＝－35，求sin α，tan α的值．[解析] (1)∵sin α＝15>0，∴α是第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－125＝265，tan α＝sin αcos α＝612；当α为第二象限角时，cos α＝－265，tan α＝－612．(2)∵cos α＝－35<0，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－(－35)2＝45，tan α＝sin αcos α＝－43；当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－35)2＝－45，tan α＝sin αcos α＝43．『规律总结』 在使用开平方关系sin α＝±1－cos 2α和cos α＝±1－sin 2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．〔跟踪练习1〕已知sin α＝－45，并且α是第三象限的角，求cos α、tan α的值．[解析] ∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝1－sin 2α＝1－(－45)2＝925．又∵α是第三象限角，∴cos α<0 即cos α＝－925＝－35， ∴tan α＝sin αcos α＝(－45)×(－53)＝43．命题方向2 ⇨弦化切求值 典例2 已知tan α＝3． (1)求sin α和cos α的值； (2)求3sin α－cos α2cos α＋sin α的值；(3)求sin 2α－3sin αcos α＋1的值．[思路分析] tan α＝3，即sin α＝3cos α，结合sin 2α＋cos 2α＝1，解方程组可求出sin α和cos α；对于(2)，注意到分子分母都是sin α与cos α的一次式，可分子分母同除以cos α化为tan α的表达式；对于(3)，如果把分母视作1，进行1的代换，1＝sin 2α＋cos 2α然后运用(2)的方法，分子分母同除以cos 2α可化为tan α的表达式，也可以将sin α＝3cos α代入sin 2α＋cos 2α＝1中求出cos 2α，把待求式消去sin α，也化为cos 2α的表达式求解．[解析] (1)tan α＝3＝sin αcos α>0，∴α是第一或第三象限角．当α是第一象限角时，结合sin 2α＋cos 2α＝1，有 ⎩⎨⎧sin α＝31010cos α＝1010．当α是第三象限角时，结合sin 2α＋cos 2α＝1，有⎩⎨⎧sin α＝－31010cos α＝－1010．(2)∵tan α＝3，∴3sin α－cos α2cos α＋sin α＝3tan α－12＋tan α＝85．(3)∵tan α＝3，sin 2α＋cos 2α＝1， ∴原式＝sin 2α－3sin αcos α＋11＝2sin 2α－3sin α·cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋11＋tan 2α＝2×32－3×3＋11＋32＝1．『规律总结』 1.若已知tan α＝m ，求形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α(或a sin 2α＋b cos 2αc sin 2α＋d cos 2α)的值，其方法是将分子、分母同除以cos α(或cos 2α)转化为tan α的代数式，再求值，如果先求出sin α和cos α的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．2．形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α通常把分母看作1，然后用sin 2α＋cos 2α代换，分子、分母同除以cos 2α再求解．〔跟踪练习2〕已知tan α＝－12，求下列各式的值：(1)sin α＋2cos α； (2)cos α－5sin α3cos α＋sin α； (3)sin 2α－sin αcos α－3cos 2α5sin αcos α＋sin 2α＋1；(4)2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α．[解析] (1)tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－2sin α又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋4sin 2α＝1 ∴sin 2α＝15，∴sin α＝±55当α为第二象限角时，sin α＝55，cos α＝－255， sin α＋2cos α＝－355，当α为第四象限角时，cos α＝255，sin α＝－55，sin α＋2cos α＝355．(2)cos α－5sin α3cos α＋sin α＝1－5tan α3＋tan α＝1－5×(－12)3－12＝75．(3)sin 2α－sincos α－3cos 2α5sincos α＋sin 2α＋1＝sin 2α－sin αcos α－3cos 2α5sin αcos α＋2sin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan α－32tan 2α＋5tan α＋1＝(－12)2－(－12)－32(－12)2＋5(－12)＋1＝94． (4)2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α＋1tan 2α＋1＝85．命题方向3 ⇨化简三角函数式典例3 (1)1－2sin10°cos10°sin10°－1－sin 210°；(2)1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α．[思路分析] (1)把二次根式中的被开方式化为完全平方式．(2)中所含角α的三角函数次数相对较高，且分子、分母含常数“1”．解答本题中的(1)、(2)时应充分利用“sin 2α＋cos 2α＝1”这一条件．[解析] (1)原式＝(cos10°－sin10°)2sin10°－cos 210°＝|cos10°－sin10°|sin10°－cos10°＝cos10°－sin10°sin10°－cos10°＝－1．(2)解法一：原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2α·sin 2α3cos 2α·sin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23． 解法二：原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2sin 2αcos 2α]1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α) ＝1－1＋2cos 2αsin 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2αsin 2α] ＝2cos 2αsin 2α3cos 2αsin 2α＝23． 『规律总结』 三角函数式的化简过程中常用的方法：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．〔跟踪练习3〕已知α是第三象限角，化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α．[解析] 1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝(1＋sin α)2cos 2α－(1－sin α)2cos 2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝2sin α|cos α|． ∵α是第三象限角，∴|cos α|＝－cos α． 原式＝2sin α－cos α＝－2tan α， 故1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α．命题方向4 ⇨三角恒等式的证明 典例4 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α．[思路分析] 思路一右式分子分母同乘以tan α－sin α→由右式向左式转化思路二 左右两式切化弦→整理化简得证[解析] 方法一：∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．方法二：∵左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α，∴左边＝右边，原等式成立．『规律总结』 利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式 三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有： (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简； (2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子；(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异； (4)变更命题法，如要证明a b ＝c d ，可证ad ＝bc 或证d b ＝ca等；(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．〔跟踪练习4〕证明下列三角恒等式： 2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x ．[解析] 左边＝2sin x cos x[sin x ＋(cos x －1)][sin x －(cos x －1)]＝2sin x cos x sin 2x －(cos x －1)2＝sin x1－cos x ＝sin x (1＋cos x )1－cos 2x＝1＋cos xsin x＝右边，所以原等式成立． X 学科核心素养ue ke he xin su yang sin θ±cos θ，sin θ·cos θ三者的关系及方程思想的运用 sin θ±cos θ，sin θ·cos θ三者的关系：(1)对于三角函数式sin θ±cos θ，sin θ·cos θ之间的关系，可以通过(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θ·cos θ进行转化．(2)若已知sin θ±cos θ，sin θ·cos θ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sin θ，cos θ的值，从而求出其余的三角函数值．典例5 已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，求sin θ，cos θ，sin θ－cos θ，tan θ，sin 3θ＋cos 3θ的值．[解析] 本题考查已知三角函数的关系式，求其他三角函数式的值．解题时先根据已知关系式求出角的范围和三角函数值，进而解决问题．∵sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，∴1＋2sin θ·cos θ＝125，∴2sin θ·cos θ＝－2425<0．又θ∈(0，π)，sin θ>0，∴cos θ<0，∴θ∈(π2，π)．∴sin θ－cos θ>0．∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1＋2425＝4925，∴sin θ－cos θ＝75，∴⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝15，sin θ－cos θ＝75⇒⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝－35，∴tan θ＝sin θcos θ＝45－35＝－43，sin 3θ＋cos 3θ＝37125．『规律总结』 在解三角函数问题时要注意题目中的隐含条件，本题就是灵活运用了平方关系，列方程求出sin θ，cos θ，使问题得解．〔跟踪练习5〕已知sin θ、cos θ是方程4x 2－4mx ＋2m －1＝0的两个根，3π2<θ<2π，求角θ．[解析]∵⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝m ，sin θ·cos θ＝2m －14，Δ＝16(m 2－2m ＋1)≥0，代入(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ，得m ＝1±32．又∵3π2<θ<2π.∴sin θ·cos θ＝2m －14<0，sin θ＋cos θ＝m ＝1－32，∴sin θ＝－32，cos θ＝12．又∵3π2<θ<2π，∴θ＝5π3．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi典例6 已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为__________． [错解] 将sin θ＋cos θ＝3－12两边平方，得1＋2sin θcos θ＝1－32，即sin θcos θ＝－34，易知θ≠π2．故sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝－34，解得tan θ＝－3或tan θ＝－33． [错因分析] 题设条件sin θ＋cos θ＝3－12隐含sin θ>－cos θ这一条件，结合所得sin θcos θ＝－34<0可进一步得到θ的范围，错解忽略了这一点，从而造成增解． [正解] 同错解，解得tan θ＝－3或tan θ＝－33． ∵θ∈(0，π)，sin θcos θ＝－34<0，∴θ∈(π2，π)，由sin θ＋cos θ＝3－12>0可得sin θ>－cos θ，即|sin θ|>|cos θ|，故θ∈(π2，3π4)，则tan θ<－1，∴tan θ＝－3．[点评] 有些关于三角函数的条件求值问题，表面上角的范围不受条件限制，实际上只要对已知式稍加变形，就会推出三角函数值间的限制关系，这种限制关系本身就隐含了角的取值范围．解题时，同学们如果忽略了对已知条件中三角函数值间限制关系的挖掘，就很可能出错．〔跟踪练习6〕已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α的值为 －2 ．[解析] ∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，且π<α<5π4，∴cos α<sin α，∴cos α－sin α<0， ∴cos α－sin α＝－34＝－32． K 课堂达标验收e tang da biao yan shou 1．化简1－sin 23π5的结果是( C )A ．cos 3π5B ．sin 3π5C ．－cos 3π5D ．－sin 3π52．已知tan α＝12，0<α<π，则sin α－cos α＝ －5．． [解析] 由tan α＝12>0，知α为锐角，所以sin α＝55，cos α＝255，∴sin α－cos α＝－55．3．(2016·四川资阳阳安中学月考)已知tan α＝－43，则sin α＋cos αsin α－cos α等于( A )A ．17B ．－17C ．－7D ．74．化简：(1sin α＋1tan α)(1－cos α)＝__sin α__．A 级 基础巩固一、选择题1．α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( B ) A ．513B ．－513C ．512D ．－512[解析] ∵α是第四象限角，∴sin α<0． ∵⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝1213，sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝－513．2．已知cos α＝23，则sin 2α等于( A )A ．59B ．±59C ．53D ．±53[解析] sin 2α＝1－cos 2α＝59．3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( D )A ．15B ．－15C ．513D ．－513[解析] 不妨设α对应的锐角为α′，tan α′＝512，构造直角三角形如图，则|sin α|＝sin α′＝513， ∵α为第四象限角，∴sin α<0，∴sin α＝－513．4．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α等于( C ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2[解析] 原式＝(1＋sin 2αcos 2α)·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1．5．已知sin α－3cos α＝0，则sin 2α＋sin αcos α值为( B ) A ．95B ．65C ．3D ．4[解析] 由sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3， 又sin 2α＋sin αcos α＝sin 2α＋sin αcod αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α1＋tan 2α＝1210＝65．6．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，那么这个三角形的形状为( B )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形[解析] (sin α＋cos α)2＝49，∴2sin αcos α＝－59<0，又∵α∈(0，π)，sin α>0.∴cos α<0，∴α为钝角． 二、填空题7．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则∠A ＝__60°__．[解析] ∵2sin 2A ＝3cos A ，∴2(1－cos 2A )＝3cos A ，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，∴cos A ＝12，cos A ＝－2(舍去)，∴A ＝60°．8．已知tan α＝cos α，那么sin α＝ 2． [解析] 由于tan α＝sin αcos α＝cos α，则sin α＝cos 2α，所以sin α＝1－sin 2α，解得sin α＝－1±52． 又sin α＝cos 2α≥0，所以sin α＝－1＋52．三、解答题9．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α(1＋1tan α)＝1sin α＋1cos α． [证明] 左边＝sin α(1＋sin αcos α)＋cos α(1＋cos αsin α)＝sin α＋sin 2αcos α＋cos α＋cos 2αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋sin 2α＋cos 2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边． 即原等式成立．10．已知tan α＝7，求下列各式的值． (1)sin α＋cos α2sin α－cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α．[解析] (1)sin α＋cos α2sin α－cos α＝sin α＋cos αcos α2sin α－cos αcos α＝tan α＋12tan α－1＝7＋12×7－1＝813．(2)sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝tan 2α＋tan α＋3tan 2α＋1＝49＋7＋349＋1＝5950． B 级 素养提升一、选择题1．已知sin α－cos α＝－54，则sin α·cos α等于( C )A ．74B ．－916C ．－932D ．932[解析] 将所给等式两边平方，得1－2sin αcos α＝2516，故sin αcos α＝－932．2．若π<α<3π2，1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α的化简结果为( D )A ．2tan αB ．－2tan αC ．2sin αD ．－2sin α[解析] 原式＝(1－cos α)21－cos 2α＋(1＋cos α)21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＋1＋cos α|sin α|＝2|sin α|∵π<α<3π2，∴原式＝－2sin α．3．若sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θ·cos θ＝( D )A ．－417B ．45C ．±417D ．417[解析] 由sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝2，得tan θ＝4，sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝417． 4．如果sin x ＋cos x ＝15，且0<x <π，那么tan x 的值是( A )A ．－43B ．－43或－34C ．－34D ．43或－34[解析] 将所给等式两边平方，得sin x cos x ＝－1225，∵0<x <π，∴sin x >0，cos x <0， ∴sin x ＝45，cos x ＝－35，∴tan x ＝－43．二、填空题5．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，则tan θ＝ －34或－512 ．[解析] 由sin 2θ＋cos 2θ＝1得，m ＝0或8． m ＝0时，sin θ＝－35，cos θ＝45，tan θ＝－34；m ＝8时，sin θ＝513，cos ＝－1213，tan θ＝－512．6．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝ 11． [解析] 因为tan A ＝23>0，则∠A 是锐角，则sin A >0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin 2A ＋cos 2A ＝1，sin A cos A ＝23，得sin A ＝2211． 7．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1． [解析] 由tan 2α＝2tan 2β＋1，可得tan 2β＝12(tan 2α－1)，即sin 2βcos 2β＝12(sin 2αcos 2α－1)，故有sin 2β1－sin 2β＝12(sin 2α1－sin 2α－1)＝12×2sin 2α－11－sin 2α，整理得sin 2β1－sin 2β＝sin 2α－121－sin 2α，即sin 2β(1－sin 2α)＝(1－sin 2β)(sin 2α－12)，展开得12sin 2β＝sin 2α－12，即sin 2β＝2sin 2α－1．8．化简下列式子．(1)cos 6α＋sin 6α＋3sin 2αcos 2α； (2)若x 是第二象限角，化简sin x1－cos x·tan x －sin xtan x ＋sin x．[解析] (1)原式＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α)＋3sin 2α·cos 2α＝cos 4α＋2sin 2αcos 2α＋sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2＝1．(2)原式＝sin x 1－cos x·sin x －sin x cos x sin x ＋sin x cos x＝sin x 1－cos x·1－cos x 1＋cos x＝sin x 1－cos x·(1＋cos x )(1－cos x )(1＋cos x )2＝sin x 1－cos x ·|sin x |1＋cos x．∵x 为第二象限角，∴sin x >0，∴原式＝sin 2x1－cos 2x＝1．C 级 能力拔高设A 是三角形的内角，且sin A 和cos A 是关于x 的方程25x 2－5ax －12a ＝0的两个根． (1)求a 的值； (2)求tan A 的值．[解析] (1)∵sin A 和cos A 是关于x 的方程25x 2－5ax －12a ＝0的两个根，∴由韦达定理得 ⎩⎨⎧sin A ＋cos A ＝15a ，①sin A ·cos A ＝－1225a ，②将①两边分别平方得sin 2A ＋2sin A cos A ＋cos 2A ＝125a 2，即1－2425a ＝a 225，解得a ＝－25或a ＝1.当a ＝－25时，sin A ＋cos A ＝－5不合题意，故a ＝1．(2)由⎩⎨⎧sin A ＋cos A ＝a5，sin A cos A ＝－1225a ，得sin A >0，cos A <0，∴sin A ＝45，cos A ＝－35.∴tan A ＝sin Acos A＝－43．。