人教版八年级下册数学 18.2.3 正方形 同步练习题

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！人教版数学八年级下册《18．2．3正方形》单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是A．四条边相等B．对角线相等C．对角相等D．对角线互相垂直2．下列判断中正确的是A．四边相等的四边形是正方形B．四角相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形3．如图，正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为A．B．C．D．不能确定(3)(4)4．如图，将一边长为的正方形纸片的顶点折叠至边上的点，使，折痕为，则的长为A．B．C．D．5．下列是关于某个四边形的三个结论：它的对角线相等；它是一个正方形；它是一个矩形．下列推理过程正确的是A ．由推出，由推出B ．由推出，由推出C ．由推出，由推出D ．由推出，由推出6．如图，在正方形中，点、分别在、上，且，连接、相交于点，则下列结论不正确的是A ．B ．C ．D ．(6)(7)7．如图，在矩形内有一点，与分别平分和，点为矩形外一点，连接，现添加下列条件：，；，；，；，，其中能判定四边形是正方形的共有A ．个B ．个C ．个D ．个8．有一边长为的正方形纸片，先将正方形对折，设折痕为如下图，再沿过点的折痕将角翻折，使得点落在的上如下图，折痕交于点，则的长度为A ．B ．C ．D ．9．如图，正方形中，点在上，，，垂足分别为、，，则的长为A ．B ．C ．D ．10．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为A ．B ．C ．D ．(9)(10)二、填空题11．为正方形对角线上一点，且，则_______度．12．如图，在正方形中，点为上一点，与交于点，若，则_______．13．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的度数为______．(13)(14)14．如图，边长分别是和的两个正方形和并排放在一起，连接并延长交于点，交于点，则的长度为_________15．如图，正方形纸片的边长为，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为______．三、解答题16．如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．求证：≌；若，求的度数．17．如图，正方形的对角线、相交于点，是上一点，连接过点作，垂足为，与相交于点求证：．18．如图，是正方形，是边上任意一点，连接，作，，垂足分别为，求证：．19．已知：如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，分别是边，上的点，且．求证：．20．如图，在正方形中，点，分别在，上，且．试探索线段，的大小关系，写出你的结论并说明理由；连接，，分别取，，，的中点，，，，顺次连接，得到四边形：请在图中补全图形；四边形是什么特殊平行四边形？请说明理由．参考答案一、选择题1-10二、填空题11．12．13．14．15．三、解答题16．证明：四边形是正方形，，，，在和中，，≌；≌，，又，，，，，．17．证明：四边形是正方形．，．又，，．≌．．18．证明：四边形是正方形，，，，，，，，在和中，≌，，，，，．19．解：四边形为正方形，，，，，即，，≌，．20．解：．四边形是正方形，，，又，≌．．画出图形如下图所示：四边形是正方形．理由如下：，，，分别是，，，的中点，，．，．四边形是菱形．≌，．，．．又，，．四边形是正方形．。

正方形一、单选题1．下列命题正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线垂直的四边形是菱形C ．对角线互相垂直平分的四边形是矩形D ．对角线相等的菱形是正方形2．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个正方形，剪口与折痕所成的角的大小等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE=DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论：（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF ；（3）AO=OE ；（4）AOB DEOF S S 四边形∆=中正确的有 A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个4．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D ′的坐标是（ ）A ．（2，10）B ．（﹣2，0）C ．（2，10）或（﹣2，0）D ．（10，2）或（﹣2，0）5．如图，正方形ABCD 的边长为，对角线AC 、BD 相交于点O ，将AC 向两个方向延长，分别至点E 和点F ，且AE ＝CF ＝3，则四边形BEDF 的周长为( )A ．20B ．24C ．D ．6．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，P 为对角线BD 上的一个动点，则下列线段的长等于AP EP 最小值的是（ ）A ．AB B ．DEC ．BD D ．AF7．如图，在正方形ABCD 中，AD=5，点E 、F 是正方形ABCD 内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF 的长为（ ）A ．32BC ．75 D8．如图所示，正方形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上两点，连接BE ，BF ，DE ，DF ，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF 是菱形（ ）A ．∠1＝∠2B ．BE ＝DFC ．∠EDF ＝60°D ．AB ＝AF9．如图，在长方形ABCD 中，E ，G 分别为AB ，CD 边上的点，F 为BC 的中点，且1BE =，CG 4=，4BC =，EF FG ⊥，则EG 的长为（ ）A ．5B ．10C ．25D ．2010．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则下列说法正确的是( )A ．若四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 相等B ．若四边形EFGH 是正方形，则AC 与BD 互相垂直且相等C ．若AC ＝BD ，则四边形EFGH 是矩形D ．若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是菱形11．如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN ，EF ，M ，N ，E ，F 分别在边AB ，CD ，AD ，BC 上．小明认为：若MN ＝EF ，则MN ⊥EF ；小亮认为：若MN ⊥EF ，则MN ＝EF ，你认为( )A ．仅小明对B ．仅小亮对C ．两人都对D ．两人都不对 12．如图，正方形ABCD 中，AB=6，点E 在边CD 上，且CD=3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG=GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC =3．其中正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13．如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，则∠AED的度数为_________．14．如图，在正方形ABCD中，延长BC到点E，使CE＝AC，则∠BAE＝_____．15．如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE＝15°，则CE＝_____．16．已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．E、F分别是边AD、CD 上的点，若AE＝4cm，CF＝3cm，且OE⊥OF，则EF的长为_____cm．17．由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的边长为1，则图中阴影部分的面积为____．18．如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于_______．19．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是______．20．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF 交AD于点H，那么DH的长是______．三、解答题21．如图，正方形ABCD内的△BEC为正三角形，求∠DEA的度数．22．如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．23．已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．24．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上两点，BE交AF于点G，且DE=CF．（1）写出BE与AF之间的关系，并证明你的结论；（2）如图2，若AB=2，点E为AD的中点，连接GD，试证明GD是∠EGF的角平分线，并求出GD的长．25．数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，的正方形ABCD与边长为AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上.(1)小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由.(2)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长.26．已知：▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DP∥OC且DP＝OC，连接CP．得到四边形CODP．（1）如图（1），在▱ABCD中，若∠ABC＝90°，判断四边形CODP的形状，并证明；（2）如图（2），在▱ABCD中，若AB＝AD，判断四边形CODP的形状，并证明；（3）如图（3），在▱ABCD中，若∠ABC＝90°，且AB＝AD，判断四边形CODP的形状，不需证明．答案1．D 2．B 3．B 4．C 5．D 6．D 7．D 8．B9．A 10．B 11．C 12．C13．150 14．67.5°15．416．5 17．181920．21．150°．22．证明见解析.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°，AD∥BC，∴∠EAF=∠BMA，∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°=∠B，在△ABM和△EFA中，∵EAF BMAAFE BAE AM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△EFA（AAS），∴AB=EF．23．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=90°．∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠BCD=∠DCE=90°．又∵CG=CE，∴△BCG≌△DCE．（2）解：四边形E′BGD是平行四边形．理由如下：∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE=AE′．∵CE=CG，∴CG=AE′．∵四边形ABCD是正方形，∴BE′∥DG，AB=CD．∴AB﹣AE′=CD﹣CG．即BE′=DG．∴四边形E′BGD是平行四边形．24．解：（1）BE=AF，BE⊥AF，理由：四边形ABCD是正方形，∴BA=AD=CD，∠BAE=∠D=90°，∵DE=CF，∴AE=DE，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE=AF，∠ABE=∠DAF，∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠DAE+∠AEB=90°，∴∠BGA=90°，∴BE⊥AF；（2）如图2，过点D作DN⊥AF于N，DM⊥BE交BE的延长线于M，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，∵S△ADF=12AD×FD=12AD×DN，∴，∵△BAE≌△ADF，∴S△BAE=S△ADF，∵BE=AF，∴AG=DN，又∵∠AGE=∠DME，∠AEG=∠DEM ∴△AEG≌△DEM（AAS），∴AG=DM，∴DN=DM，∵DM⊥BE，DN⊥AF，∴GD平分∠MGN，∴∠DGN=12∠MGN=45°，∴△DGN是等腰直角三角形，∴．25．(1)Q四边形ABCD与四边形AEFG是正方形∴AD＝AB,∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE∴△ADG≌△ABE∴∠AGD＝∠AEB如图1，延长EB交DG于点HQ△ADG中∠AGD＋∠ADG＝90°∴∠AEB＋∠ADG＝90°Q△DEH中, ∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°∴∠DHE＝90°∴DG BE(2)Q四边形ABCD与四边形AEFG是正方形∴AD＝AB, ∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE∴∠DAB＋∠BAG＝∠GAE＋∠BAG∴∠DAG＝∠BAEQ AD＝AB, ∠DAG＝∠BAE,AG＝AE∴△ADG≌△ABE(SAS)∴DG＝BE如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M, ∠AMD＝∠AMG＝90°Q BD是正方形ABCD的对角线∴∠MDA＝∠MDA＝∠MAB＝45°, BD＝2∴AM＝12BD＝1在Rt△AMG中，∵222AM GM AG＋＝∴GM＝2∵DG＝DM＋GM＝1＋2＝3∴BE＝DG＝326．（1）四边形CODP是菱形，证明：∵DP∥OC，DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，▱ABCD中，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴OD=OC，∴四边形CODP是菱形；（2）四边形CODP是矩形，证明：▱ABCD中，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴∠DOC=90°，∴四边形CODP是矩形；（3）四边形CODP是正方形，证明：∵▱ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD，∴四边形ABCD是正方形，∴∠DOC=90°，OD=OC，∴四边形CODP是正方形．。

18.2.3正方形同步测试一．选择题1．如图，四边形ABCD中，AC、BD交于点O，则根据下列条件能判定它是正方形的是（）A．∠DAB＝90°且AD＝BC B．AB＝BC且AC＝BDC．∠DAB＝90°且AC⊥BD D．AC⊥BD且AO＝BO＝CO＝DO2．已知正方形ABCD中，对角线AC＝4，这个正方形的面积是（）A．8B．16C．8D．163．如图，G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A，已知GD＝5，则FG为（）A．3B．3.2C．4D．4.84．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有（）个等腰直角三角形．A．2B．4C．8D．165．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则∠COP 的度数为（）A．15°B．22.5°C．25°D．17.5°6．如图，正方形ABCD中，∠DAF＝35°，AF交BD于点E，则∠BEC的度数为（）A．65°B．70°C．75°D．80°7．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB 的度数等于（）A．60°B．65°C．75°D．80°8．如图，正方形ABCD的边长为12，E，F分别为BC，AD边上的点，且BE＝DF＝5，M，N 分别为AB，CD边上的点，且MN⊥AE交AE，CF于点G，H，则GH的长为（）A．6B．C．D．9．如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（）A．2B．4C．D．210．如图，已知边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD的中点，连接AC，点G、H在AC上，且AC＝4AG＝4CH，则四边形EHFG的面积为（）A．8B．4C．D．二．填空题11．在正方形ABCD中，AC、BD交于点O，OE⊥DC于点E，若OE＝2cm，则正方形ABCD 的面积为cm2．12．已知正方形ABCD对角线AC，BD相交于点O，且AC＝16cm，则DO＝cm，BO＝cm，∠OCD＝度．13．如图，正方形ABCD的边长为8，E为边AD上一点．若BE＝10，则CE＝．14．如图，P是正方形ABCD内任意一点，△APD与△BPC的面积之和为8cm2，则AB＝cm．15．如图，P为边长为1的正方形ABCD内的一点，△P AB为等边三角形，则S△ADP+S△BPC ＝．三．解答题16．如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F，试说明BE＝CF+AE．17．如图，在正方形ABCD中，H是DC边上一点，E是CB延长线上的一点，且DH＝BE，请判断△AEH的形状，并说明你的理由．18．如图所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE＝AD，DF＝BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．参考答案一．选择题1．解：A，不能判定它是正方形；B，不能判定它是正方形；C，不能判定它是正方形；D，能，因为对角线相等且互相垂直平分；故选：D．2．解：由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，2AB2＝42，AB2＝8．故选：A．3．解：∵G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A，GD＝5，∴∠C＝∠E＝90°，∠EDG＝∠ADC＝90°，ED＝FG，AD＝CD＝4，∴∠EDA＝∠CDG，∴△EDA∽△CDG，∴，即，解得，ED＝3.2，∴FG＝3.2，故选：B．4．解：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OD＝OC＝OB，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∴△AOB，△BOC，△COD，△AOD，△ABC，△BCD，△ADC，△DAB是等腰直角三角形，故选：C．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠OBC＝45°，∵BP＝OB，∴∠BOP＝∠BPO＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠COP＝90°﹣67.5°＝22.5°．故选：B．6．解：∵四边形ABCD为正方形，∴DA＝DC，∠ADE＝∠CDE＝45°，又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDF（SAS）．∴∠DCE＝∠DAF＝35°，∴∠BEC＝∠CDE+∠DCE＝45°+35°＝80°．故选：D．7．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∵△AEF为等边三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝60°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴∠BAE＝∠DAF，∵∠BAE+∠DAF＝90°﹣60°＝30°，∴∠BAE＝15°，∴∠AEB＝90°﹣15°＝75°．故选：C．8．解：∵正方形ABCD的边长为12，∴AB＝CD＝AD＝BC＝12，AD∥EC，∵BE＝DF＝5，∴AF＝CE＝7，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AB＝12，BE＝5，∴AE＝＝＝13，∵S平行四边形AFCE＝AF×AB＝AE×GH，∴7×12＝13×GH，∴GH＝，故选：C．9．解：如图，连接EF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，∴∠AOE＝∠DOF；在△AOE与△DOF中，，∴△AOE≌△DOF（ASA），∴OE＝OF（设为λ）；∴△EOF是等腰直角三角形，由勾股定理得：EF2＝OE2+OF2＝2λ2；∴EF＝OE＝λ，∵正方形ABCD的边长是4，∴OA＝2，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度），由题意可得：2≤λ≤2，∴2≤EF≤4．所以线段EF的最小值为2．故选：D．10．解：如图，连接BD交AC于点O，连接EF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠EAG＝∠FCH，∵点E、F分别为AB、CD的中点，∴AE＝CF，∵AC＝4AG＝4CH，∴AG＝OG＝OH＝CH，∴△EAG≌△FCH（SAS），∴EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，∴∠EGH＝∠FHG，∴EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴GH与EF互相平分，∴EF经过点O，∵S△AEO＝S正方形ABCD＝×16＝2，又∵AG＝OG，∴S△EOG＝S△AEO＝1，∴S平行四边形EGFH＝4S△EOG＝4．故选：B．二．填空题11．解：AC、BD为正方形ABCD的对角线，所以AC、BD相等且互相垂直平分，∵OE＝2cm，且O为AC的中点，OE⊥CD，AD⊥DC∴E为CD的中点，∴＝＝，即AD＝4cm，∴正方形ABCD的面积为42cm2＝16cm2，故答案为16．12．解：∵正方形ABCD，AC＝16cm∴DO＝AC＝8＝BO∠OCD＝45°．故答案为8，8，45．13．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝AD＝8，∴AE＝＝＝6，∴DE＝AD﹣AE＝2，∴CE＝＝＝2；故答案为：2．14．解：如图，过点P作EF∥AB，MN∥BC，则正方形ABCD被分成四个小矩形，所以，S△APE＝S△APM，S△BPM＝S△BPF，S△CPF＝S△CPN，S△DPE＝S△DPN，∴S△APD+S△BPC＝S正方形ABCD，∵△APD与△BPC的面积之和为8cm2，∴正方形ABCD的面积为16cm2，∴AB＝4cm．故答案为：4．15．解：设△ADP的高为h1，△BPC的高为h2，根据题意列方程得：S△ADP+S△BPC＝AD×h1+BC×h2＝BC（h1+h2）＝×1×1＝．故答案为．三．解答题16．解：延长DA至点G使AG＝CF，连接BG，在△ABG和△CBF中，∵，∴△ABG≌△CBF，∴∠BFC＝∠BGA，∠CBF＝∠ABG，∵BF平分∠CBE交CD于F，∴∠CBF＝∠EBF，∴∠ABG＝∠EBF，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFC，∴∠EBG＝∠BFC，∴∠EBG＝∠BGA，∴BE＝GE，∴BE＝CF+AE．17．解：△AEH为等腰直角三角形．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABE＝90°∴在Rt△ADH和Rt△ABE中，，∴Rt△ADH≌Rt△ABE（SAS），∴AH＝AE，∠DAH＝∠BAE．∴∠HAE＝∠DAB＝90°则△AEH为等腰直角三角形．18．证明：∵四边形ABCD是正方形，DE＝AD，∴DE∥BC，DE＝BC，∴四边形BCED为平行四边形，∴∠1＝∠4．又∵BD＝FD，∴∠1＝∠2＝∠3＝×45°，∠3＝∠4＝×45°，∴BC＝GC＝CD．因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG＝45°，∴∠CDG＝（180°﹣45°）＝，又∵∠GHD＝90°﹣∠3＝90°﹣＝，∴∠HDG＝∠GHD，从而GH＝GD，即△GHD是等腰三角形．。

第十八章平行四边形18.2.3 正方形一、选择题1、正方形具有而矩形不一定具有的特征是( )A．四个角都是直角B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线相等2、四边形ABCD的对角线AC = BD，且AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，则所构成的四边形是（）.A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形3、下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形4、如图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是( )A.3：4B.5：8C.9：16D.1：25、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF∠AB，垂足为F，则EF的长为（）A.1B.C. D.二、填空题6、如图，ABCD是正方形，E是CF上一点，若DBEF是菱形，则∠EBC=________．第6题图第7题图7、如图，已知正方形ABCD的边长为10，点P是对角线BD上的一个动点，M、N分别是BC、CD边上的中点，则PM＋PN的最小值是___________．8、如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为，线段O1O2的长为．9、正方形边长为a，若以此正方形的对角线为一边作正方形，则所作正方形的对角线长为.10、如图，在Rt△ABC中，△C=90°，DE垂直平分AC，DF△BC，当△ABC满足条件AC=BC时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）三、解答题11、如图，E是正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，求∠AEB的度数。

12、如右图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：DE=DF．（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）13、已知：如图，△ABC中，△ABC=90°，BD是△ABC的平分线，DE△AB于点E，DF△BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．14、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D 为AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECD 是正方形？请说明你的理由．15、如右图，要把边长为1的正方形ABCD 的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A 1B 1C 1D 1，试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的59，请说明理由.16、如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（8，8），将正方形ABCO绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连CH 、CG ．（1）求证：∠CBG∠∠CDG ；（2）求∠HCG 的度数；判断线段HG 、OH 、BG 的数量关系，并说明理由； （3）连结BD 、DA 、AE 、EB 得到四边形AEBD ，在旋转过程中，四边形AEBD 能否为矩形？如果能，请求出点H 的坐标；如果不能，请说明理由．参考答案：一、1、C 2、D 3、B 4、B 5、C 二、6、7、10、 8、1ab 49、2a10、考点： 正方形的判定． 专题： 计算题；开放型．分析：由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF 是正方形推出．解答：解：设AC=BC ，即△ABC 为等腰直角三角形，△△C=90°，DE 垂直平分AC ，DF △BC ， △△C=△CED=△EDF=△DFC=90°， DF=AC=CE ，DE=BC=CF ，11A1A 图3-21△DF=CE=DE=CF，△四边形DECF是正方形，故答案为：AC=BC．点评：此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形DECF是正方形推出△ABC满足的条件．三、11、∵△ADE中，AE＝AD，∠ADE＝75°，∴∠AED＝75°（等边对等角）∴∠EAD＝180°－75°×2＝30°又∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴△ABE中，AB＝AE，∠BAE＝120°∴∠AEB＝°°°12、（1）提示：证△DEB≌△DFC，（2）∠A=900167，四边形AFDE是平行四边形等（方法很多）13、考点：正方形的判定．专题：证明题．分析：由DE△AB，DF△BC，△ABC=90°，先证明四边形DEBF是矩形，再由BD是△ABC 的平分线，DE△AB于点E，DF△BC于点F得出DE=DF判定四边形DEBF是正方形．解答：解：△DE△AB，DF△BC，△△DEB=△DFB=90°，又△△ABC=90°，△四边形BEDF为矩形，△BD是△ABC的平分线，且DE△AB，DF△BC，△DE=DF，△矩形BEDF为正方形．点评：本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．14、（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴▱四边形BECD是菱形；（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．15、提示：AA1 = BB1 = CC1 = DD1 =13（或=23）.16、（1）∠正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF，∠CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°．在Rt∠CDG和Rt∠CBG中，，∠∠CDG∠∠CBG（HL）1 (180 2120-)30=（2）解：∠∠CDG∠∠CBG，∠∠DCG=∠BCG，DG=BG．在Rt∠CHO和Rt∠CHD中，∠ ，∠∠CHO∠∠CHD（HL），∠∠OCH=∠DCH，OH=DH，∠∠HCG=∠HCD+∠GCD= ∠OCD+ ∠DCB= ∠OCB=45°，∠HG=HD+DG=HO+BG（3）解：四边形AEBD可为矩形．如图，连接BD、DA、AE、EB，四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G为AB 中点的时候．∠DG=BG，∠DG=AG=EG=BG，即平行四边形AEBD对角线相等，则其为矩形，∠当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形．∠四边形DAEB为矩形，∠AG=EG=BG=DG．∠AB=6，∠AG=BG=3．设H点的坐标为（x，0），则HO=x∠OH=DH，BG=DG，∠HD=x，DG=3．在Rt∠HGA中，∠HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x，∠（x+3）2=32+（6﹣x）2，解得x=2．∠H点的坐标为（2，0）．。

18.2.3正方形同步测试一．选择题1．下列对正方形的描述错误的是（）A．正方形的四个角都是直角B．正方形的对角线互相垂直C．对角线相等的平行四边形是正方形D．邻边相等的矩形是正方形2．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则PE+PQ的值是（）A．B．3C．D．3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．4﹣2B．3﹣4C．1D．4．如图，在边长为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若BF＝3，则小正方形边长为（）A．6B．5C．D．5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A 以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（）A．3.5B．5.5C．6.5D．3.5或6.56．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．4：9B．2：3C．1：2D．1：7．如图，在正方形ABCD所在平面内求一点P，使点P与正方形ABCD的任意两个顶点构成△P AB，△PBC，△P AD，△PCD均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（）A．8个B．9个C．10个D．11个8．如图，正方形ABCD的边长为1，取AB中点E，取BC中点F，连接DE，AF，DE与AF交于点O．连接OC，则OC＝（）A．1B．C．D．9．如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，OE ＝2，若CE•DE＝4，则正方形的面积为（）A．5B．6C．7D．810．如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，有以下四个结论：①BE+DF＝EF；②BM2+DN2＝MN2③若AB＝3，BE＝1，则BN＝3；④若CE＝2，则DN＝，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．一个正方形的对角线长为2，则其面积为．12．在正方形ABCD中，AB＝8，点P是正方形边上一点，若PD＝3AP，则AP的长为．13．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝5，BE＝12，则阴影部分的面积是．14．如图，B、E、F、D四点在同一条直线上，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为cm．15．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为．三．解答题16．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且△AEF是等边三角形．求证：CE ＝CF．17．如图，已知四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形．求证：∠CBF＝∠CDG．18．如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，点D为边BC上一动点，四边形ADEG 是正方形，连接GC，正方形对角线AE交BC于点F．（1）求证：△ABD≌△ACG；（2）若BD＝4，求AE的值；（3）若DF＝5，求BD的值．参考答案一．选择题1．解：A、正方形的四个角都是直角，所以选项A描述正确；B、正方形的对角线互相垂直，所以选项B描述正确；C、对角线相等的平行四边形是矩形，所以选项C描述错误；D、邻边相等的矩形是正方形，所以选项D描述正确；故选：C．2．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB＝45°，∠B＝90°．∵PE⊥BC，PQ⊥AB，∴∠PQB＝∠PEB＝90°．∴∠PQB＝∠PEB＝∠B＝90°．∴四边形PQBE为矩形．∴PE＝BQ．∵PQ⊥AB，∠CAB＝45°，∴△P AQ为等腰三角形．∴PQ＝AQ．∴PE+PQ＝BQ+AQ＝AB＝3．故选：B．3．解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝4，∵正方形的边长为4，∴BD＝4，∴BE＝BD﹣DE＝4﹣4，∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BE＝×（4﹣4）＝4﹣2．故选：A．4．解：在△BEF与△CFD中，∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CFD，∴＝，∵BF＝3，BC＝12，∴CF＝BC﹣BF＝12﹣3＝9，又∵DF＝＝＝15，∴＝，∴EF＝，故选：C．5．解：如图，当点M在BC上时，∵△ABM′和△DCE全等，∴BM＝CE，由题意得：BM′＝2t﹣4＝3，所以t＝3.5（秒）；当点M在AD上时，∵△ABM″和△CDE全等，∴AM″＝CE，由题意得：AM″＝16﹣2t＝3，解得t＝6.5（秒）．所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时．△ABM和△DCE全等．故选：D．6．解：如图，设大正方形的边长为x，根据图形可得：∵，∴＝，∴＝，∴S1＝S正方形ABCD，∴S1＝x2，∵＝，∴＝，∴S2＝S正方形ABCD，∴S2＝x2，∴S1：S2＝x2：x2＝4：9，故选：A．7．解：分为三种情况：①正方形对角线的交点P1；②作AD边的垂直平分线MN，以点D为圆心，以DC为半径画弧，交MN于点P2和P3；以点C为圆心，以DC为半径画弧，交MN于点P4和P5，如图：③同理，作AB边的垂直平分线，分别以点A和点B为圆心，AD为半径画弧，与该垂直平分线也有4个交点．综上，符合题意的所有点P的个数为：1+4+4＝9（个）．故选：B．8．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠DAE＝90°，在△ABF和△DAE中，，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAD＝∠DAF+∠DAO＝90°，∴∠ADE+∠DAO＝90°，∴∠AOD＝90°，∵E、F分别为AB，BC的中点，∴AE＝AB，BF＝BC，∵AB＝BC，∴AE＝BF，过C作CG⊥DE于G，∵∠OAD+∠ADO＝∠ADO+∠CDG＝90°，∴∠OAD＝∠CDG，在△ADO和△DCG中，，∴△ADO≌△DCG（AAS），∴AO＝DG，∵tan∠ADE＝＝＝，∴DO＝2AO＝2DG，∴DG＝OG，∴CG为DO的垂直平分线，∴OC＝DC＝1，故选：A．9．解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，∵∠CED＝90°，∴四边形OMEN是矩形，∴∠MON＝90°，∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM，∴∠COM＝∠DON，∵四边形ABCD是正方形，∴OC＝OD，在△COM和△DON中，，∴△COM≌△DON（AAS），∴OM＝ON，CM＝DN，∴四边形OMEN是正方形，∵OE＝2，∴2NE2＝OE2＝（2）2＝8，∴NE＝ON＝2，∵DE+CE＝DE+EM+MC＝DE+EM+DN＝EN+EM＝2EN＝4，设DE＝a，CE＝b，∴a+b＝4，∵CE•DE＝4，CD2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×4＝8，∴S正方形ABCD＝8．故选：D．10．解：①延长CB，截取BI＝DF，连接AI，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABE＝∠ADC＝90°，∴∠ABI＝90°，在△ADF和△ABI中，，∴△ADF≌△ABI（SAS），∴∠BAI＝∠DAF，AI＝AF，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠BAI+∠BAE＝45°，即∠EAI＝45°，∴∠EAI＝∠EAF，∵AE＝AE，∴△AIE≌△AFE（SAS），∴IE＝FE，即DE+BF＝EF，故①正确；②过B作BD的垂线，截取BH＝ND，连接AH，HM，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADB＝∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，∴∠ABH＝45°＝∠ADN，在△ADN和△ABH中，，∴△ADN≌△ABH（SAS），∴∠DAN＝∠BAH，AN＝AH，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠DAN+∠BAM＝∠BAH+∠BAM＝45°，∴∠MAN＝∠HAM＝45°，在△AHM和△ANM中，，∴△AHM≌△ANM（SAS），∴MH＝MN，在Rt△BHM中，HM2＝BH2+BM2，∴MN2＝BM2+DN2，故②正确；③连接AC，过E作EH⊥AC于点H，∵四边形ABCD为正方形，AB＝3，∴∠ACB＝∠BAC＝∠ADB＝∠CAD＝45°，AB＝BC＝3，∴∠HEC＝∠HCE＝45°，∵BE＝1，∴CE＝2，∴EH＝，∴BE≠HE，∵∠BAE≠∠CAE，∵∠EAF＝∠CAD＝45°，∴∠BAE≠∠DAF，∴∠EAF+∠BAE≠∠ADN+∠DAF，∵∠BAN＝∠EAF+∠BAE，∠BNA＝≠∠ADN+∠DAF，∴∠BAN≠∠BNA，∴AB≠BN，∵AB＝3，∴BN≠3，故③错误；④过点D作DG⊥BD过N作NG∥BC，与DG交于点G，连接CG，与AF的延长线交于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°∴∠CDG＝∠ADC＝45°，NG⊥CD，∴∠DNG＝∠DGN＝45°，∴DN＝DG，∵∠ADN＝∠CDG＝45°，∴△ADN≌△CDG（SAS），∴∠DAN＝∠DCG，∵∠DAN+∠AFD＝90°，∠AFD＝∠CFH，∴∠HCF+∠CFH＝90°，∴∠CHF＝90°，∵∠CBD＝∠EAF＝45°，∴A、B、E、N四点共圆，∴∠ABE+∠ANE＝180°，∴∠ANE＝90°＝∠CHF，∴EN∥CG，∴四边形CENG为平行四边形，∴NG＝EC＝2，∴DN＝CG•sin45°＝2×＝，故④正确，故选：C．二．填空题11．解：方法一：∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝BO＝AC＝1，∠AOB＝90°，由勾股定理得，AB＝，S正＝（）2＝2．方法二：因为正方形的对角线长为2，所以面积为：2×2＝2．故答案为：2．12．解：当点P在AD上时，∵PD＝3AP，PD+AP＝8，∴AP＝2，当点P在AB上时，∵PD2＝AP2+AD2，∴9AP2＝AP2+64，∴AP＝2，综上所述：AP＝2或2，故答案为2或2．13．解：在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝5，BE＝12，由勾股定理得：AB＝＝13，∴正方形的面积是13×13＝169，∵△AEB的面积是AE×BE＝×5×12＝30，∴阴影部分的面积是169﹣30＝139，故答案为：139．14．解：连接AC，BD交于点O，∵B、E、F、D四点在同一条直线上，∴E，F在BD上，∵正方形AECF的面积为50cm2，∴AC2＝50，AC＝10cm，∵菱形ABCD的面积为120cm2，∴＝120，BD＝24cm，所以菱形的边长AB＝＝13cm．故答案为：13．15．解：连接MC，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，∴四边形MECF为矩形，∴EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，∴MC＝BC＝×6＝3，∴EF的最小值为3；故答案为：3．三．解答题16．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴AF＝AE，在Rt△ADF和Rt△ABE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL），∴DF＝BE，∴CE＝CF．17．证明：∵四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形，∴CB＝CD，CF＝CG，∠BCD＝∠FCG＝90°，∴∠BCF+∠DCF＝∠DCF+∠DCG＝90°，∴∠BCF＝∠DCG，在△BCF和△DCG中，，∴△BCF≌△DCG（SAS），∴∠CBF＝∠CDG．18．（1）证明：∵四边形ADEG是正方形，∴AD＝AG，∠DAG＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DAG，∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAG，∴∠BAD＝∠CAG，在△ABD和△ACG中，，∴△ABD≌△ACG（SAS）．（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，∴∠B＝∠ACB＝45°，在Rt△ABC中，∴BC＝＝＝12，∵BD＝4，∴DC＝BC﹣BD＝12﹣4＝8，由（1）知△ABD≌△ACG，∴GC＝BD＝4，∠ACG＝∠B＝45°，∴∠ACB+∠ACG＝45°+45°＝90°，连接DG，在Rt△DCG中，DG＝＝＝4，∵四边形ADEG是正方形，∴AE＝DG，∴AE＝4．（3）∵四边形ADEG是正方形，∴AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠DAE＝∠AED＝45°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠F AC＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，由（1）知△ABD≌△ACG，∴∠BAD＝∠CAG，AD＝AG，BD＝GC，∴∠CAG+∠F AC＝∠BAD+∠F AC＝45°，∴∠F AG＝45°，∴∠F AG＝∠F AD，在△DAF和△GAF中，，∴△DAF≌△GAF（SAS），∴GF＝DF，∵DF＝5，∴GH＝5，设BD＝x，则FC＝12﹣5﹣x＝7﹣x，由（2）知∠FCG＝90°，在Rt△FCG中，GC2+FC2＝FG2，∴x2+（7﹣x）2＝52，∴x1＝3，x2＝4，∴BD的值为3或4．。

人教版数学八年级下册同步训练：18.2.3《正方形》一、选择题1.如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A. 12B. 13C. 26D. 302.如图所示，E．F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，错误的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD 于G，下列有四个结论：①AF＝FH，②∠HAE＝45°，③BD＝2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④4.一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（）A. 4B. 6C. 10D. 125.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（）A. 75°B. 60°C. 54°D. 67.5°6.在平面直角坐标系中，称横．纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（）A. 13B. 21C. 17D. 257.在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（）A. 4条B. 8条C. 12条D. 16条8.如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD中点，P为CE中点，F为BP中点，则F到BD的距离等于（）A. B. C. D.9.搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD．AN．CM将正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中点，N是BC的中点，AN与CM交于O点．已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的△CON的面积为（）A. 96cm2B. 48cm2C. 24cm2D. 以上都不对10.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE＝BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM＋PN＝（）A. 1B.C.D. 1＋11.顶点为A（6，6），B（－4，3），C（－1，－7），D（9，－4）的正方形在第一象限的面积是（）A. 25B. 36C. 49D. 3012.ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为（）A. B. C. D.13.如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC＋PE的和最小，则这个最小值为（）A. 4B. 2C. 2D. 214.如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝()A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm15.如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为()A. 14B. 15C. 16D. 17二、填空题16.如图所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是________cm2．17.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC 边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE＝FP，则P点坐标为________．18.如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为________，线段O1O2的长为________．19.已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为________和________．（只写一组）20.如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有________个．三、解答题21.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．（1）求证：；（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E⊥A1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当A1E1＝6，C1E1＝4时，求BD的长22.已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE ＝BF．23.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，则∠EAF为多少度．24.如图，正方形ABCD中，AB＝，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15度．（1）求证：DF＋BE＝EF；（2）求∠EFC的度数；（3）求△AEF的面积．25.已知正方形ABCD的边长为4cm，E，F分别为边DC，BC上的点，BF＝1cm，CE＝2cm，BE，DF相交于点G，求四边形CEGF的面积．答案解析部分一、选择题1.【答案】C【解析】解答：解：设AB＝3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；斜边长为的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对．故选C分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．本题考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性质，解题的关键是记熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏2.【答案】A【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD∵CE＝DF∴DE＝AF∴△ADE≌△BAF∴①AE＝BF，S△ADE＝S△BAF，∠DEA＝∠AFB，∠EAD＝∠FBA∴④S△AOB＝S四边形DEOF∵∠ABF＋∠AFB＝∠DAE＋∠DEA＝90°∴∠AFB＋∠EAF＝90°∴②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO＝OE．故选A【分析】根据四边形ABCD是正方形及CE＝DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE＝BF，以及△ADE 和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB＝S四边形DEOF；可以证出∠ABO＋∠BAO＝90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO＝OE．本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质3.【答案】D【解析】解答：解：①连接FC，延长HF交AD于点L，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDF＝45°．∵AD＝CD，DF＝DF，∴△ADF≌△CDF．∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．∵∠ALH＋∠LAF＝90°，∴∠LHC＋∠DAF＝90°．∵∠ECF＝∠DAF，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC．∴FH＝AF．②∵FH⊥AE，FH＝AF，∴∠HAE＝45°．③连接AC交BD于点O，可知：BD＝2OA，∵∠AFO＋∠GFH＝∠GHF＋∠GFH，∴∠AFO＝∠GHF．∵AF＝HF，∠AOF＝∠FGH＝90°，∴△AOF≌△FGH．∴OA＝GF．∵BD＝2OA，∴BD＝2FG．④延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则：LI＝HC，根据△MEC≌△MIC，可得：CE＝IM，同理，可得：AL＝HE，∴HE＋HC＋EC＝AL＋LI＋IM＝AM＝8．∴△CEM的周长为8，为定值．故（1）（2）（3）（4）结论都正确．故选D．分析：①作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF＝CF，故需证明FC＝FH，可证：AF＝FH；②由FH⊥AE，AF＝FH，可得：∠HAE＝45°；③作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD＝2FG，只需证OA＝GF即可，根据△AOF≌△FGH，可证OA ＝GF，故可证BD＝2FG；（4）作辅助线，延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则IL＝HC，可证AL＝HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CI＝IM，故△CEM的周长为边AM的长，为定值解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等4.【答案】D【解析】【解答】解：∵卡片的边长为1.5，∴卡片的对角线长为2＜＜3，且小方格的对角线长＜1.5．故该卡片可以按照如图所示放置：图示为n取最大值的时候，n＝12．故选D【分析】要n取最大值，就让边长为1.5的正方形卡片边与小方格的边成一定角度．本题考查的是已知正方形边长正方形对角线长的计算，旋转正方形卡片并且找到合适的位置使得n为最大值，是解题的关键5.【答案】B【解析】【解答】解：如图，连接BD，∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，∴∠EBC=∠BEC= （180°﹣∠BCE）=15°∵∠BCM= ∠BCD=45°，∴∠BMC=180°﹣（∠BCM+∠EBC）=120°，∴∠AMB=180°﹣∠BMC=60°∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，∴∠AMD=∠AMB=60°故选B．【分析】连接BD，根据BD，AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线，所以∠AMD=AMB，要求∠AMD，求∠AMB即可．6.【答案】D【解析】【解答】正方形边上的整点为（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（4，1）、（5，2）、（1，4）、（2，5）、（3，6）；在其内的整点有（1，3）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（5，3）．故选D【分析】根据正方形边长的计算，计算出边长上的整点，并且根据边长的坐标找出在正方形范围内的整点．本题考查的是正方形四条边上整点的计算，找到每条边上整点变化的规律是解本题的关键7.【答案】D【解析】【解答】解：符合题目要求的一共16条直线，下图虚线所示直线均符合题目要求．【分析】根据正方形的性质，一个值为另一个值的3倍，所以本题需要分类讨论，①该直线切割正方形，确定直线的位置；②该直线在正方形外，确定直线的位置．本题考查了分类讨论计算点到直线的距离，找到直线的位置是解题的关键8.【答案】D【解析】【解答】解：连接DP，S△BDP＝S△BDC－S△DPC－S△BPC＝－×1× －×1×＝，∵F为BP的中点，∴P到BD的距离为F到BD的距离的2倍．∴S△BDP＝2S△BDF，∴S△BDF＝，设F到BD的距离为h，根据三角形面积计算公式，S△BDF＝×BD×h＝，计算得：h＝＝．故答案为：D．【分析】连接DP，根据三角形BDF的面积可求解。

18.2.3正方形1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( A )A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直平分且相等2．下列说法正确的是(C)A．有一个角是直角的四边形是正方形B．四个角都相等的四边形是正方形C．有一组邻边相等的矩形是正方形D．四条边都相等的四边形是正方形3．[2019·永嘉期末]如图18－2－47所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB＝AE，则∠EBC的度数是(C)A．45°B．30°C．22.5° D．20°【解析】∵正方形ABCD中，∠BAC＝45°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，∵∠ABE＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝22.5°.图18－2－474．如图18－2－48，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有(C)A．4个B．6个C．8个D．10个【解析】∵在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴AB＝BC＝CD ＝AD，OA＝OD＝OC＝OB，∴△ABC，△BCD，△ADC，△ABD，△AOB，△BOC，△COD，△AOD都是等腰三角形，一共8个．故选C.5．如图18－2－49，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是(D)A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是正方形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形【解析】根据DE∥AC，DF∥AB，可证明四边形AEDF是平行四边形，再根据矩形，菱形的判定方法依次分析即可做出判断．若AD⊥BC，无法判定四边形AEDF是矩形，∴A错误；若AD垂直平分BC，可以判定四边形AEDF是菱形，∴B错误；若BD＝CD，无法判定四边形AEDF是菱形，∴C错误；若AD平分∠BAC，则∠EAD＝∠F AD＝∠ADF，∴AF＝DF，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故D正确．图18－2－49图18－2－506．[2018·温州一模]七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．如图18－2－50是一个七巧板迷宫，它恰好拼成了一个正方形ABCD，其中点E，P分别是AD，CD的中点，AB＝22，一只蚂蚁从A处沿图中实线爬行到出口P 处，则它爬行的最短路径长为(B)A．3 B．2＋ 2C．4 D．3 2【解析】∵正方形ABCD中，E，P分别是AD，CD的中点，AB＝22，∴AE＝DE＝DP＝2，∠D＝90°，∴EP＝DE2＋PD2＝（2）2＋（2）2＝2，∴蚂蚁从点A处沿图中实线爬行到出口点P处，它爬行的最短路程为AE＋EP ＝2＋2.7．在▱ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下列给出的四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是__①③④__.【解析】①有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形，即①正确；②BD为平行四边形的对角线，AB为平行四边形的其中一条边，所以AB＝BD时，平行四边形不可能是正方形，即②错误；③对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，由题意OB＝OC，得AC＝BD，由OB⊥OC得AC⊥BD，即四边形ABCD为正方形，即③正确；④邻边相等的平行四边形是菱形；对角线相等的菱形是正方形．依题意在平行四边形ABCD中，由AB＝AD，得四边形ABCD为菱形，又∵AC＝BD，∴四边形ABCD为正方形，即④正确．8．[2018·舟山]如图18－2－51，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．图18－2－51证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，又∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．9．如图18－2－52，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB，ED.(1)求证：△BEC≌△DEC；(2)延长BE交AD于点F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．图18－2－52解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE＝45°.又∵EC＝EC，∴△BEC≌△DEC(SAS)；(2)∵△BEC≌△DEC，∠BED＝120°，∴∠BEC＝∠DEC＝60°，∴∠AEF＝∠BEC＝60°.又∵∠DAC＝45°，∴∠EFD＝∠DAC＋∠AEF＝45°＋60°＝105°.10．如图18－2－53，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1，若点P在对角线BD上移动，则P A＋PE的最小值是．图18－2－53第10题答图【解析】如答图，作出点E关于BD的对称点E′，E′在边BC上，连接AE′与BD 交于点P，此时AP＋PE最小，∵PE＝PE′，∴AP＋PE＝AP＋PE′＝AE′，在Rt△ABE′中，AB＝3，BE′＝BE＝1，根据勾股定理得AE′＝10，则P A＋PE的最小值为10.11．如图18－2－54为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G 在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1 500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F，若小敏行走的路程为3 100 m，则小聪行走的路程为__4__600__m.图18－2－54【解析】连接GC，由四边形ABCD为正方形可得△ADG≌△CDG，∴GC＝AG，由四边形GECF为矩形可得GC＝EF，∴EF＝AG，小敏行走的路线为B→A→G→E，∴BA＋AG＋GE＝3 100.小聪行走的路线为B→A→D→E→F，∴BA ＋AD＋DE＋EF＝BA＋1 500＋GE＋AG＝3 100＋1 500＝4 600(m)．12．如图18－2－55，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．图18－2－55第12题答图解：(1)AG 2＝GE 2＋GF 2.理由：如答图，连接GC ，由正方形的性质知AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，在△ADG 和△CDG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，GD ＝GD ，∴△ADG ≌△CDG (SAS)，∴AG ＝CG ，由题意知∠GEC ＝∠GFC ＝∠DCB ＝90°，∴四边形GFCE 是矩形，∴GF ＝EC .在Rt △GEC 中，根据勾股定理，得GC 2＝GE 2＋EC 2，∴AG 2＝GE 2＋GF 2；(2)作AH⊥BD于点H，由题意知∠AGB＝60°，∠ABG＝45°，∴△ABH为等腰直角三角形，△AGH为含30°角的直角三角形，∵AB＝1，∴AH＝BH＝22，HG＝66，∴BG＝22＋66.13．如图18－2－56①，已知E，F，G，H分别是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形：①②③图18－2－56(1)如图②，将图①中的点C移动至与点E重合的位置，F，G，H仍是BC，CD，DA的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；(2)如图③，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，A，C，B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与BC，CD，DA的中点F，G，H组成正方形CFGH；(3)在(2)条件下求出正方形CFGH的边长．解：第13题答图①(1)证明：如答图①，连接BD.∵C，H是AB，DA的中点，∴CH是△ABD的中位线，∴CH∥BD，CH＝12BD，同理FG∥BD，FG＝12BD，∴CH∥FG，CH＝FG，∴四边形CFGH是平行四边形；第13题答图②(2)如答图②所示；(3)如答图②，∵BC＝5，∴CF＝12BC＝52，即正方形CFGH的边长是5 2.。

18.2.3正方形同步习题一．选择题1．下列说法正确的是）A．有一个角是直角的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．有一组邻边相等的菱形是正方形D．各边都相等的四边形是正方形2．如图，正方形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，AE＝BF，下列结论错误的是（）A．BE＝CF B．∠AEB+∠BFC＝180°C．∠DAE＝∠BFC D．AE⊥BF3．将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为4，正方形C的边长为3，则正方形B的面积为（）A．25B．5C．16D．124．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．4：9B．2：3C．1：2D．1：5．如图，正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，DE平分∠BDC交AC于F，交BC于E．若正方形ABCD的边长为2，则OF的值为（）A．2B．﹣1C．D．26．如图，四边形ABCD和EFGH都是正方形，点E，H在AD，CD边上，点F，G在对角线AC 上若AB＝6，则EFGH的面积是（）A．6B．8C．9D．127．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点E在边BC上的延长线上，点G在CD上，若AB＝2，则线段DF的最小值为（）A．1B．C．D．28．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，EA平分∠BEF，AG⊥EF，垂足为点G．则∠EAF的度数为（）A．45°B．30°C．60°D．40°9．如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连接AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知AE＝12，则线段FG的长是（）A．2B．4C．5D．610．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AD、CD上，BE＝2，若∠EBF＝45°，连接EF，则EF的长为（）A．3B．C．D．+2二．填空题11．如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BA，则∠DCE的度数为．12．如图，正方形ABCD．延长BC到E，连接AE，若CE＝BC，则∠AEB＝．13．如图，正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，正方形的边长为4，则阴影部分面积为．14．如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，已知△ADP≌△ABP′，AB＝6，DP＝2，求PP′＝．15．如图，正方形ABCD的面积为5，正方形CEFG的面积为2，点G在线段CD上，且B、C、E三点在一条直线上，联结AC、AE，则△ACE的面积是．三．解答题16．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF．求证：△ABE≌△ADF．17．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E在CD边上，以线段CE为边长在正方形ABCD 的外部作正方形CEFG，以线段AD和DE为邻边作矩形ADEH，若S正方形CEFG＝S矩形ADEH．（1）求线段CE的长；（2）若点M为BC边的中点，连接MD，求证：MD＝MG．18．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，线段BE与AC交于点F．（1）求∠AEB和∠BFC的度数；（2）若AD＝6，求BE2的值．参考答案1．B2．B3．A4．A5．C6．B7．B8．A9．A10．B11．22.5°12．22.5°13．14．415．16．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠ADF＝90°，∴∠B＝∠ADF，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）．17．（1）3﹣3；（2）证明：∵点M为BC边的中点，∴MC＝3，在Rt△MCD中，DM＝＝3，∵MG＝MC+CG＝3+3﹣3＝3，∴MD＝MG．18．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，又∵∠BAC＝45°，∴∠BFC＝45°+15°＝60°．（2）过E作EG⊥AD，并与AB交于H，∵△ADE是等边三角形，EG⊥AD，∴AG＝GD＝3，∴GE＝3，∵四边形ABCD是正方形，∴BH＝3，∵HE＝HG+GE＝6+3，在Rt△BHE中，BE2＝．。

人教版数学八年级下册《18.2.3 正方形》单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．正方形具有而矩形不一定有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角互补D．四个角相等2．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，则⊥EAF=（）度A．30°B．45°C．50°D．60°3．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO=3，则AB的长为（）A．2B．3C D．4．如图，长方形ABCD的周长是12cm，分别以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 2cm，那么长方形ABCD的面积是（）A．6 2cmcm D．4 2 cm B．7 2cm C．8 25．下列命题中，正确的是（）．A．有一个角是90︒的四边形是矩形B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形C．两组邻角相等的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形6．已知在平行四边形ABCD中，⊥A＝90°，如果添加一个条件，可使该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A．⊥D＝90°B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD 7．过正方形的中心作两条互相垂直的直线，则以这两条直线与正方形各边交点为顶点的四边形是（）A．筝形B．矩形C．菱形D．正方形8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD 的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（）C DA．2B9ABCD中，点E是对角线AC上一点，且EF AB⊥于点F ，连接DE ，当22.5ADE ∠=︒时，EF =（ ）A ．1B ．2C 1D ．1410．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，⊥AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：⊥BE ＝DF ，⊥⊥DAF ＝15°，⊥AC 垂直平分EF ，⊥BE +DF ＝EF ，⊥S △CEF ＝S △ABE +S △ADF ，其中正确的结论有（ ）个．A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题 11．如图在3×3的正方形网格中⊥1+⊥2﹣⊥3+⊥4+⊥5＝___度．12．如图，在正方形ABCD 中4AB =．若以CD 为底边向其形外作等腰直角DCE ，连接BE ，则BE 的长为______．13．如图，两个边长均为2的正方形重叠在一起，O 是正方形ABCD 的中心，则阴影部分的面积是_____．14．如图．将正方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、CB 均落在对角线BD 上，得折痕BE 、BF ，则⊥EBF 的大小为_____．15．正方形ABCD 的边长为4，点,M N 在对角线AC 上（可与点,A C 重合），2MN =，点,P Q 在正方形的边上．下面四个结论中，⊥存在无数个四边形PMQN 是平行四边形；⊥存在无数个四边形PMQN 是菱形；⊥存在无数个四边形PMQN 是矩形；⊥至少存在一个四边形PMQN 是正方形．所有正确结论的序号是_______．三、解答题16．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是CD AD 、边上的点，且,25AE BF DAE =∠=︒．求AFB ∠的度数．17．如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A＝PE，PE交CD于点F．（1）证明：PC＝PE；（2）求⊥CPE的度数．18．已知，如图，四边形ABCD是菱形，⊥B是锐角，AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H，在AB边上取点E，使得AE＝AH，在CD边上取点G，使得CG＝CF．联结EF、FG、CH、HE．(1)求证：四边形EFGH是矩形．(2)若⊥B＝45度，求证:四边形EFGH是正方形．19．如图，在ABC＝，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF BC∠︒∆中，90BAC交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：AD AF＝；＝．试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．（2）如果AB AC20．在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点．连接AE，过点B作BF⊥AE于F．交AD于H．(1)如图1，过点D作DG⊥AE于G，求证：⊥AFB⊥⊥DGA；(2)(3)如图3，AB＝1，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长．参考答案1．A 2．B 3．D 4．C 5．D 6．D 7．D 8．D 9．C 10．B 11．135°12．13．114．45°##45度15．⊥⊥⊥16．解：⊥在正方形ABCD 中，⊥AD =AB ，⊥D =⊥F AB =90°，在Rt ADE △和Rt BAF △中，AD AB AE BF=⎧⎨=⎩， ⊥Rt ADE Rt BAF ≅（HL ），⊥25ABF DAE ∠=∠=︒，又⊥90AFB ABF ∠+∠=︒，⊥90-65AFB ABF ∠=︒∠=︒．故答案为：65︒．17.（1）证明：⊥四边形ABCD 是正方形，BD 是正方形ABCD 的对角线，⊥AB ＝BC ，⊥ABP ＝⊥CBP ＝45°，在⊥ABP 和⊥CBP 中，=AB BC ABP CBP PB PB =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，⊥⊥ABP ⊥⊥CBP （SAS ），⊥P A＝PC，⊥P A＝PE，⊥PC＝PE，（2）解：由（1）知，⊥ABP⊥⊥CBP，⊥⊥BAP＝⊥BCP，⊥⊥DAP＝⊥DCP，⊥P A＝PE，⊥⊥DAP＝⊥E，⊥⊥DCP＝⊥E，⊥⊥CFP＝⊥EFD，⊥180°﹣⊥PFC﹣⊥PCF＝180°﹣⊥DFE﹣⊥E，即⊥CPE＝⊥EDF＝90°．18.(1)证明⊥四边形ABCD是菱形⊥AD BC，AB=BC=CD=AD，⊥BAD=⊥BCD，⊥ABC=⊥ADC ⊥⊥ABC+⊥BAD=180°⊥AF⊥BC，CH⊥AD⊥⊥AFC=⊥AHC=90°⊥AD BC⊥ ⊥F AH=180°－⊥AFC=90°⊥四边形AFCH为矩形，⊥AH=CF⊥AE＝AH，CG＝CF⊥AH＝CF＝AE＝CG，BF=BE=DH=DG⊥⊥AEH⊥⊥CFG(SAS)，△BEF⊥⊥DGH(SAS)⊥EH=FG，EF=GH⊥四边形EFGH是平行四边形⊥BE＝BF⊥△BEF是等腰三角形⊥⊥BEF=⊥BFE=12（180°－⊥ABC）=90°-12⊥ABC同理可得⊥AEH=1902︒-⊥BAD⊥⊥BFE+⊥AEH=11802︒-（⊥ABC+⊥BAD）=90°⊥⊥HEF=180°－（⊥BFE+⊥AEH）=90°⊥四边形EFGH是矩形．(2)证明：如图，连结BD，FH，AC，设BD、AC、FH相交于点O.⊥四边形ABCD是菱形⊥AD BC，AB=BC=CD=AD，AC⊥BD⊥⊥ADB=⊥CBD，△ABD是等腰三角形，⊥BOC==90°⊥⊥ABD=⊥ADB⊥⊥ABD=⊥CBD=12⊥ABC=22.5°⊥⊥BCO=180°-⊥CBD-⊥BOC=67.5°⊥四边形AFCH为矩形⊥OF=OC，⊥AFC=90°⊥⊥FOC 是等腰三角形⊥⊥OFC =⊥BCO =67.5°⊥⊥AFH =⊥AFC -⊥OFC =22.5°⊥BE ＝BF⊥△BEF 是等腰三角形⊥⊥BEF =⊥BFE =12（180°－⊥ABC ）=90°-12⊥ABC =67.5°⊥AF ⊥BC⊥⊥AFB =90°⊥⊥AFE =⊥AFB -⊥BFE =22.5°⊥⊥EFH =⊥AFE +⊥AFH =45°⊥四边形EFGH 是矩形⊥⊥FEH =90°⊥⊥EHF =180－⊥FEH －⊥EFH =45°⊥⊥EFH =⊥EHF⊥EF =EH⊥四边形EFGH 是正方形．19.(1)证明：⊥AD 是中线， E 是 AD 的中点，⊥AF ⊥BC ， EAF EDB ∴∠=∠,AE DE ∴=，在AEF ∆和DEB ∆中，EAF EDE AE DEAEF DEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()AEF DEB ASA ∴∆≅∆)，AF BD ∴=，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是中线，12AD BD DC BC ∴===, AD AF ∴=；(2)解：四边形ADCF 是正方形，理由如下；AF BD DC ==，//AF BC ，∴四边形ADCF 是平行四边形，AB AC =，AD 是中线，AD BC ∴⊥，AD AF ∴=，∴四边形ADCF 是正方形．20.(1)证明：⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AB ＝AD ，⊥BAD ＝90°⊥DG ⊥AE ，BF ⊥AE⊥⊥AFB ＝⊥DGA ＝90°⊥⊥F AB +⊥DAG ＝90°，⊥DAG +⊥ADG ＝90°⊥⊥BAF ＝⊥ADG在⊥AFB 和⊥DGA 中⊥AFB DGA BAF ADG AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥⊥AFB ⊥⊥DGA （AAS ）．(2)证明：如图2，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J由题意知⊥BAH＝⊥ADE＝90°，AB＝AD＝CD⊥BF⊥AE⊥⊥AFB＝90°⊥⊥DAE+⊥EAB＝90°，⊥EAB+⊥ABH＝90°⊥⊥DAE＝⊥ABH在⊥ABH和⊥DAE中⊥BAH ADE AB ADABH DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩⊥⊥ABH⊥⊥DAE（ASA）⊥AH＝DE⊥点E为CD的中点⊥DE＝EC＝12CD⊥AH＝DH⊥DE＝DH⊥DJ⊥BJ，DK⊥AE⊥⊥J＝⊥DKE＝⊥KFJ＝90°⊥四边形DKFJ是矩形⊥⊥JDK＝⊥ADC＝90°⊥⊥JDH＝⊥KDE在⊥DJH和⊥DKE中⊥J DKEJDH KDE DH DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥⊥DJH⊥⊥DKE（AAS）⊥DJ＝DK，JH＝EK⊥四边形DKFJ是正方形⊥FK＝FJ＝DK＝DJ⊥DF2FJ=⊥FH+FE＝FJ﹣HJ+FK+KE＝2FJ．(3)解：如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD 于K，设PT＝b由（2）得⊥ABH⊥⊥DAE（ASA）⊥AH＝DE⊥⊥EDH＝90°，点P为EH的中点⊥PD＝12EH＝PH＝PE⊥PK⊥DH，PT⊥DE⊥⊥PKD＝⊥KDT＝⊥PTD＝90°⊥四边形PTDK是矩形⊥PT＝DK＝b，PK＝DT⊥PH＝PD＝PE，PK⊥DH，PT⊥DE ⊥PT是⊥DEH的中位线⊥DH＝2DK＝2b，DE＝2DT⊥AH＝DE＝1﹣2b⊥PK＝12DE＝12﹣b，QK＝DQ﹣DK＝12﹣b⊥PK＝QK⊥⊥PKQ＝90°⊥⊥PKQ是等腰直角三角形⊥⊥KQP＝45°⊥点P在线段QR上运动，⊥DQR是等腰直角三角形⊥QR＝2⊥点P。